Relation between roots and coefficients Questions in Gujarati

(A) સમીકરણ $ax^2 + 2bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta$ માટે,$\alpha + \beta = -\frac{2b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ છે.
સમીકરણ $px^2 + 2qx + r = 0$ ના બીજ $\gamma, \delta$ માટે,$\gamma + \delta = -\frac{2q}{p}$ અને $\gamma\delta = \frac{r}{p}$ છે.
જો $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ એ $G.P.$ માં હોય,તો સામાન્ય ગુણોત્તર $k$ લેતા,$\beta = \alpha k$,$\gamma = \alpha k^2$,અને $\delta = \alpha k^3$ થાય.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી: $\alpha(1+k) = -\frac{2b}{a}$ અને $\alpha^2k = \frac{c}{a}$.
બીજા સમીકરણ પરથી: $\alpha k^2(1+k) = -\frac{2q}{p}$ અને $\alpha^2k^5 = \frac{r}{p}$.
સરવાળાના સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $k^2 = \frac{aq}{bp}$.
ગુણાકારના સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $k^4 = \frac{ar}{pc}$.
તેથી,$(\frac{aq}{bp})^2 = \frac{ar}{pc} \Rightarrow \frac{a^2q^2}{b^2p^2} = \frac{ar}{pc}$.
આમ,$q^2ac = b^2pr$ મળે છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (a - 2)x + (a - 3) = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha + \beta = a - 2$ અને $\alpha \beta = a - 3$ મળે.
બીજના ઘનનો સરવાળો $S = \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta (\alpha + \beta)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$S = (a - 2)^3 - 3(a - 3)(a - 2)$.
આ પદનું વિસ્તરણ કરતા: $S = (a^3 - 6a^2 + 12a - 8) - 3(a^2 - 5a + 6) = a^3 - 9a^2 + 27a - 26$.
આને $S = (a - 3)^3 + 1$ તરીકે લખી શકાય.
કારણ કે $a \ge 3$,પદ $(a - 3)^3$ અ-ઋણ છે અને તેની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ થાય જ્યારે $a = 3$ હોય.
આમ,બીજના ઘનનો સરવાળો $a = 3$ માટે ન્યૂનતમ થાય છે.

(A) આપેલ ઘન સમીકરણ: ${x^3} + px + q = 0$ .....$(i)$
ઘન સમીકરણ $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ ના બીજના ગુણધર્મો મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} = -\frac{0}{1} = 0$
બબ્બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} = p$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} = -q$
આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ: ${\alpha^3} + {\beta^3} + {\gamma^3} - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha + \beta + \gamma)(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 - \alpha\beta - \beta\gamma - \gamma\alpha)$
કારણ કે $\alpha + \beta + \gamma = 0$,તેથી નિત્યસમની જમણી બાજુ $0$ થશે.
તેથી,${\alpha^3} + {\beta^3} + {\gamma^3} - 3\alpha\beta\gamma = 0$
${\alpha^3} + {\beta^3} + {\gamma^3} = 3\alpha\beta\gamma$
$\alpha\beta\gamma = -q$ મૂકતા,આપણને મળે:
${\alpha^3} + {\beta^3} + {\gamma^3} = 3(-q) = -3q$.

(B) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજોના ગુણધર્મો મુજબ,$\alpha + \beta = p + 3$ અને $\alpha \beta = 5p - 2$.
બીજોના વર્ગોનો સરવાળો $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\alpha^2 + \beta^2 = (p + 3)^2 - 2(5p - 2)$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$\alpha^2 + \beta^2 = p^2 + 6p + 9 - 10p + 4 = p^2 - 4p + 13$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પૂર્ણવર્ગ બનાવીએ: $p^2 - 4p + 13 = (p^2 - 4p + 4) + 9 = (p - 2)^2 + 9$.
પદાવલિ $(p - 2)^2 + 9$ તેની ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે પ્રાપ્ત કરે છે જ્યારે $(p - 2)^2 = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $p = 2$.

(A) આપેલ શરત $f(12 - x) = f(x)$ સૂચવે છે કે દ્વિઘાત વિધેય $f(x)$ નો આલેખ શિરોલંબ રેખા $x = \frac{12 - x + x}{2} = 6$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
દ્વિઘાત વિધેય $f(x) = ax^2 + bx + c$ માટે,સંમિતિની ધરી $x = -\frac{b}{2a}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = \frac{1}{4}$ અને $x$ નો સહગુણક $b$ છે.
સંમિતિની ધરીને $6$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે: $-\frac{b}{2(1/4)} = 6$.
$-\frac{b}{1/2} = 6$.
$-2b = 6$.
$b = -3$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha^2 + \beta^2 = 5$ અને $3(\alpha^5 + \beta^5) = 11(\alpha^3 + \beta^3)$.
ધારો કે $\alpha \beta = 2$. તો $\alpha^2 + \beta^2 = 5$ પરથી $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2 - px + 2 = 0$ ના બીજ છે.
$p^2 - 2(2) = 5 \implies p^2 = 9 \implies p = 3$.
બીજ $1$ અને $2$ મળે છે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $3(1^5 + 2^5) = 3(33) = 99$ અને $11(1^3 + 2^3) = 11(9) = 99$.
આમ,$\alpha \beta = 2$ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3 - x - 1 = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha + \beta + \gamma = 0$.
તેથી,$\beta + \gamma = -\alpha$,$\gamma + \alpha = -\beta$,અને $\alpha + \beta = -\gamma$.
જરૂરી સમીકરણના બીજ $\frac{1}{-\alpha}, \frac{1}{-\beta}, \frac{1}{-\gamma}$ છે,જે $-\frac{1}{\alpha}, -\frac{1}{\beta}, -\frac{1}{\gamma}$ તરીકે સરળ બને છે.
ધારો કે $y = -\frac{1}{x}$,તેથી $x = -\frac{1}{y}$.
મૂળ સમીકરણ $x^3 - x - 1 = 0$ માં $x = -\frac{1}{y}$ મૂકતા:
$(-\frac{1}{y})^3 - (-\frac{1}{y}) - 1 = 0$
$-\frac{1}{y^3} + \frac{1}{y} - 1 = 0$
$-y^3$ વડે ગુણતા:
$1 - y^2 + y^3 = 0$
$y^3 - y^2 + 1 = 0$.
આમ,જરૂરી સમીકરણ $x^3 - x^2 + 1 = 0$ છે.

(A) ધારો કે $y = 2\alpha + 1$,તેથી $\alpha = \frac{y - 1}{2}$.
$\alpha$ એ $x^3 + 2x - 5 = 0$ નું બીજ હોવાથી,આપણે $\alpha$ ને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(\frac{y - 1}{2})^3 + 2(\frac{y - 1}{2}) - 5 = 0$
$\frac{y^3 - 3y^2 + 3y - 1}{8} + y - 1 - 5 = 0$
$y^3 - 3y^2 + 3y - 1 + 8y - 48 = 0$
$y^3 - 3y^2 + 11y - 49 = 0$
આને $x^3 + bx^2 + cx + d = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $b = -3, c = 11, d = -49$ મળે છે.
તેથી,$|b + c + d| = |-3 + 11 - 49| = |-41| = 41$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha, \beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - ax + b = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,$\alpha + \beta = a$ અને $\alpha \beta = b$ થાય.
આપણને $V_n = \alpha^n + \beta^n$ આપેલ છે.
$V_{n+1} = \alpha^{n+1} + \beta^{n+1}$ પદને ધ્યાનમાં લો.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,તેઓ $x^2 = ax - b$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે. તેથી,$\alpha^2 = a\alpha - b$ અને $\beta^2 = a\beta - b$.
$\alpha^{n-1}$ અને $\beta^{n-1}$ વડે ગુણતા,આપણને $\alpha^{n+1} = a\alpha^n - b\alpha^{n-1}$ અને $\beta^{n+1} = a\beta^n - b\beta^{n-1}$ મળે છે.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\alpha^{n+1} + \beta^{n+1} = a(\alpha^n + \beta^n) - b(\alpha^{n-1} + \beta^{n-1})$.
$V_n$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $V_{n+1} = aV_n - bV_{n-1}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^3 + qx - r = 0$ માટે,$\alpha + \beta + \gamma = 0$,$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = q$,અને $\alpha \beta \gamma = r$ છે.
$\alpha \beta \gamma = r$ હોવાથી,$\beta \gamma = \frac{r}{\alpha}$,$\gamma \alpha = \frac{r}{\beta}$,અને $\alpha \beta = \frac{r}{\gamma}$ મળે.
નવા સમીકરણના બીજ $\frac{r+1}{\alpha}$,$\frac{r+1}{\beta}$,અને $\frac{r+1}{\gamma}$ છે.
ધારો કે $y = \frac{r+1}{x}$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{r+1}{y}$.
આ કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $\left( \frac{r+1}{y} \right)^3 + q \left( \frac{r+1}{y} \right) - r = 0$.
$y^3$ વડે ગુણતા: $(r+1)^3 + q(r+1)y^2 - ry^3 = 0$.
ગોઠવતા $ry^3 - q(r+1)y^2 - (r+1)^3 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે સમીકરણ $x^3 + 3x^2 - 1 = 0$ ના ત્રણ બીજ $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma = -(\frac{-1}{1}) = 1$ થાય.
તેથી,$\alpha \beta = \frac{1}{\gamma}$.
કારણ કે $\gamma$ એ મૂળ સમીકરણનું બીજ છે,તે $\gamma^3 + 3\gamma^2 - 1 = 0$ નું સમાધાન કરે છે.
ધારો કે $x = \alpha \beta = \frac{1}{\gamma}$,જેનો અર્થ છે કે $\gamma = \frac{1}{x}$.
$\gamma = \frac{1}{x}$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{1}{x})^3 + 3(\frac{1}{x})^2 - 1 = 0$
$\frac{1}{x^3} + \frac{3}{x^2} - 1 = 0$
$x^3$ વડે ગુણતા,આપણને $1 + 3x - x^3 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^3 - 3x - 1 = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^3 - 2x^2 + 3x - 2 = 0$ છે.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x = 1$ એક બીજ છે.
$(x - 1)$ વડે ભાગતા,આપણને $(x - 1)(x^2 - x + 2) = 0$ મળે છે.
તેથી,$\alpha = 1$ અને $\beta, \gamma$ એ $x^2 - x + 2 = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,$\beta + \gamma = 1$ અને $\beta \gamma = 2$.
આપણે $S = \frac{\alpha \beta}{\alpha + \beta} + \frac{\alpha \gamma}{\alpha + \gamma} + \frac{\beta \gamma}{\beta + \gamma}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\alpha = 1$ મૂકતા: $S = \frac{\beta}{1 + \beta} + \frac{\gamma}{1 + \gamma} + 2 = \frac{\beta + \beta \gamma + \gamma + \beta \gamma}{1 + (\beta + \gamma) + \beta \gamma} + 2$.
કિંમતો મૂકતા: $S = \frac{1 + 2(2)}{1 + 1 + 2} + 2 = \frac{5}{4} + 2 = \frac{13}{4}$.

(D) આપેલ છે કે $P(x) = x^2 + ax + b = (x - a)(x - b)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - (a + b)x + ab = x^2 + ax + b$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$a = -(a + b)$ $\Rightarrow 2a + b = 0$ $\Rightarrow b = -2a$.
$b = ab$.
કિસ્સો $1$: જો $b \neq 0$,તો $a = 1$. $b = -2a$ માં કિંમત મૂકતા,$b = -2$ મળે.
તેથી $P(x) = x^2 + x - 2$. $P(2) = 2^2 + 2 - 2 = 4$.
કિસ્સો $2$: જો $b = 0$,તો $2a + 0 = 0 \Rightarrow a = 0$.
તેથી $P(x) = x^2$. $P(2) = 2^2 = 4$.
બંને કિસ્સામાં,$P(2) = 4$ મળે છે.

(D) $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3 - x - 2 = 0$ ના બીજ હોવાથી,$\alpha^3 = \alpha + 2$,$\beta^3 = \beta + 2$,અને $\gamma^3 = \gamma + 2$ મળે.
$\alpha^2$ વડે ગુણતા,$\alpha^5 = \alpha^3 + 2\alpha^2 = (\alpha + 2) + 2\alpha^2 = 2\alpha^2 + \alpha + 2$ મળે.
તે જ રીતે,$\beta^5 = 2\beta^2 + \beta + 2$ અને $\gamma^5 = 2\gamma^2 + \gamma + 2$ મળે.
સરવાળો કરતા,$\alpha^5 + \beta^5 + \gamma^5 = 2(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) + (\alpha + \beta + \gamma) + 6$ મળે.
સમીકરણ $x^3 + 0x^2 - x - 2 = 0$ પરથી,$\sum \alpha = 0$ અને $\sum \alpha\beta = -1$ મળે.
નિત્યસમ $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\sum \alpha)^2 - 2(\sum \alpha\beta) = 0^2 - 2(-1) = 2$ નો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા: $\alpha^5 + \beta^5 + \gamma^5 = 2(2) + 0 + 6 = 10$.

(C) ધારો કે $a^2(a + p) = b^2(b + p) = c^2(c + p) = k$.
તેથી $a, b, c$ એ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3 + px^2 - k = 0$ ના બીજ છે.
આને પ્રમાણિત ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3 + Ax^2 + Bx + C = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = p$,$B = 0$,અને $C = -k$ મળે છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બબ્બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો એ $x$ નો સહગુણક $B$ છે.
તેથી,$ab + bc + ca = 0$.

(A) ધારો કે $x^2 + (k + 1)x + \lambda = 0$ સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\alpha^2$ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી:
$\alpha + \alpha^2 = -(k + 1)$
$\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = \lambda$
જો બીજ એકબીજાના વર્ગ હોય,તો આપણે નીચેના કિસ્સાઓ વિચારીએ:
$1$. જો $\alpha = 0$,તો $\alpha^2 = 0$. સમીકરણ $x^2 = 0$ બને છે,તેથી $k+1 = 0 \implies k = -1$.
$2$. જો $\alpha = 1$,તો $\alpha^2 = 1$. સમીકરણ $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 = 0$ બને છે. $x^2 + (k+1)x + \lambda = 0$ સાથે સરખાવતા,$k+1 = -2 \implies k = -3$.
$3$. જો $\alpha = \omega$ (જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે),તો $\alpha^2 = \omega^2$. સમીકરણ $x^2 + x + 1 = 0$ છે. $x^2 + (k+1)x + \lambda = 0$ સાથે સરખાવતા,$k+1 = 1 \implies k = 0$.
$k$ ના શક્ય મૂલ્યો $-1, -3, 0$ છે.
આ મૂલ્યોનો સરવાળો $(-1) + (-3) + 0 = -4$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $|f(a)| + |f(b)| + |f(c)| = 0$. નિરપેક્ષ મૂલ્ય હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,આનો અર્થ એ થાય કે $f(a) = 0, f(b) = 0$,અને $f(c) = 0$.
આમ,$a, b, c$ એ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3 - 2x + 2 = 0$ ના બીજ છે.
કોઈપણ બીજ $x$ માટે,$x^3 - 2x + 2 = 0$,જેનો અર્થ થાય છે $x^3 = 2x - 2$.
$x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ કારણ કે $f(0) = 2 \neq 0$),આપણને $x^2 = 2 - \frac{2}{x}$ મળે,અથવા $x^2 + \frac{2}{x} = 2$.
$a, b, c$ બીજ હોવાથી,$a^2 + \frac{2}{a} = 2$,$b^2 + \frac{2}{b} = 2$,અને $c^2 + \frac{2}{c} = 2$.
આપણે $f^2(a^2 + \frac{2}{a}) + f^2(b^2 + \frac{2}{b}) - f^2(c^2 + \frac{2}{c}) = f^2(2) + f^2(2) - f^2(2) = f^2(2)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$f(2) = 2^3 - 2(2) + 2 = 8 - 4 + 2 = 6$.
તેથી,$f^2(2) = 6^2 = 36$.

(A) આપેલ છે $\alpha + \beta = 3$ અને $|\alpha - \beta| = 4$.
બીજા સમીકરણનો વર્ગ કરતા,$(\alpha - \beta)^2 = 16$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$.
કિંમતો મૂકતા: $16 = (3)^2 - 4\alpha\beta$.
$16 = 9 - 4\alpha\beta \Rightarrow 4\alpha\beta = 9 - 16 = -7$.
તેથી,$\alpha\beta = -\frac{7}{4}$.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 - 3x - \frac{7}{4} = 0$.
$4$ વડે ગુણતા,$4x^2 - 12x - 7 = 0$ મળે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $x^3 - 3x^2 - 9x + c = (x - a)^2 (x - b)$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $(x^2 - 2ax + a^2)(x - b) = x^3 - bx^2 - 2ax^2 + 2abx + a^2x - a^2b = x^3 - (2a + b)x^2 + (a^2 + 2ab)x - a^2b$
$x^3 - 3x^2 - 9x + c$ સાથે સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$2a + b = 3$ $(1)$
$a^2 + 2ab = -9$ $(2)$
$c = -a^2b$ $(3)$
$(1)$ પરથી,$b = 3 - 2a$. તેને $(2)$ માં મૂકતા:
$a^2 + 2a(3 - 2a) = -9$
$a^2 + 6a - 4a^2 = -9$
$-3a^2 + 6a + 9 = 0$
$a^2 - 2a - 3 = 0$
$(a - 3)(a + 1) = 0$
તેથી,$a = 3$ અથવા $a = -1$.
જો $a = 3$,તો $b = 3 - 2(3) = -3$. તેથી $c = -(3)^2(-3) = 27$.
જો $a = -1$,તો $b = 3 - 2(-1) = 5$. તેથી $c = -(-1)^2(5) = -5$.
આમ,$c = -5$ અથવા $27$.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = a + c$ થાય.
$a$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{2b}{a} = 1 + \frac{c}{a}$ મળે $(i)$.
આપેલ છે કે $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = 15$,તેથી $\frac{b}{a} = -15$.
આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,$2(-15) = 1 + \frac{c}{a}$,જેનો અર્થ છે કે $-30 = 1 + \frac{c}{a}$,તેથી $\frac{c}{a} = -31$.
કારણ કે $\alpha \beta = \frac{c}{a}$,તેથી $\alpha \beta = -31$.

(B) ધારો કે $x^2 + ax + b = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta$ છે અને $x^2 + bx + a = 0$ ના બીજ $\alpha', \beta'$ છે.
આપેલ છે કે $|\alpha - \beta| = |\alpha' - \beta'|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha' - \beta')^2$ મળે.
$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$a^2 - 4b = b^2 - 4a$.
પદોને ગોઠવતા,$a^2 - b^2 = 4b - 4a$ મળે.
$(a - b)(a + b) = -4(a - b)$.
કારણ કે $a \neq b$,આપણે બંને બાજુને $(a - b)$ વડે ભાગી શકીએ:
$a + b = -4$.

(C) આપેલ છે $x^3 + 8x + 1 = 0$,જેના બીજ $a, b, c$ છે. તેથી,$x^3 = -(8x + 1)$.
કોઈપણ બીજ $r$ માટે,$r^3 = -(8r + 1)$,જેનો અર્થ છે કે $8r + 1 = -r^3$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{bc}{(-b^3)(-c^3)} + \frac{ac}{(-a^3)(-c^3)} + \frac{ab}{(-a^3)(-b^3)}$
$= \frac{bc}{b^3 c^3} + \frac{ac}{a^3 c^3} + \frac{ab}{a^3 b^3} = \frac{1}{b^2 c^2} + \frac{1}{a^2 c^2} + \frac{1}{a^2 b^2}$
$= \frac{a^2 + b^2 + c^2}{a^2 b^2 c^2}$
સમીકરણ $x^3 + 0x^2 + 8x + 1 = 0$ પરથી,$\sum a = 0$,$\sum ab = 8$,અને $abc = -1$.
$a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab + bc + ca) = (0)^2 - 2(8) = -16$.
$(abc)^2 = (-1)^2 = 1$.
તેથી,કિંમત $\frac{-16}{1} = -16$ થાય.

(B) ધારો કે $P(x) = x^3 - 2x^2 + 4x + 5074$. કારણ કે $r_1, r_2, r_3$ એ $P(x) = 0$ ના બીજ છે,આપણે બહુપદીને $P(x) = (x - r_1)(x - r_2)(x - r_3)$ તરીકે લખી શકીએ.
આપણે $(r_1 + 2)(r_2 + 2)(r_3 + 2)$ ની કિંમત શોધવી છે.
નોંધો કે $(r_1 + 2)(r_2 + 2)(r_3 + 2) = -(-r_1 - 2)(-r_2 - 2)(-r_3 - 2) = -((-2 - r_1)(-2 - r_2)(-2 - r_3))$.
આ $-P(-2)$ ની બરાબર છે.
બહુપદી $P(x)$ માં $x = -2$ મૂકતા:
$P(-2) = (-2)^3 - 2(-2)^2 + 4(-2) + 5074$
$P(-2) = -8 - 2(4) - 8 + 5074$
$P(-2) = -8 - 8 - 8 + 5074 = -24 + 5074 = 5050$.
તેથી,$(r_1 + 2)(r_2 + 2)(r_3 + 2) = -P(-2) = -5050$.

(A) આપેલ છે કે $\sin \alpha$ અને $\cos \alpha$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\sin \alpha + \cos \alpha = -\frac{b}{a}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{c}{a}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
આને $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1$ તરીકે લખી શકાય.
બીજના સરવાળા અને ગુણાકારની કિંમતો મૂકતા:
$(-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a}) = 1$
$\frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} = 1$
બંને બાજુ $a^2$ વડે ગુણતા:
$b^2 - 2ac = a^2$
પદોને ગોઠવતા,આપણને $a^2 - b^2 + 2ac = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. તેથી $\alpha + \beta = -b/a$ અને $\alpha\beta = c/a$.
આપેલ છે કે $\alpha + \beta = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $-b/a = \frac{b^2 - 2ac}{c^2} \Rightarrow -bc^2 = ab^2 - 2a^2c$.
$2a^2c = ab^2 + bc^2$.
$abc$ વડે ભાગતા: $\frac{2a}{b} = \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$.
આ દર્શાવે છે કે $\frac{c}{a}, \frac{a}{b}, \frac{b}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,તેમના વ્યસ્ત $\frac{a}{c}, \frac{b}{a}, \frac{c}{b}$ એ $H.P.$ માં છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^4 - 100x^3 + 2x^2 + 4x + 10 = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ છે.
વ્યસ્તનો સરવાળો $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} + \frac{1}{\delta}$ શોધવા માટે,$x = \frac{1}{y}$ મૂકતા.
સમીકરણમાં મૂકતા: $(\frac{1}{y})^4 - 100(\frac{1}{y})^3 + 2(\frac{1}{y})^2 + 4(\frac{1}{y}) + 10 = 0$.
$y^4$ વડે ગુણતા: $1 - 100y + 2y^2 + 4y^3 + 10y^4 = 0$,એટલે કે $10y^4 + 4y^3 + 2y^2 - 100y + 1 = 0$.
આ નવા સમીકરણના બીજ $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}, \frac{1}{\delta}$ છે.
બીજનો સરવાળો $= -\frac{y^3 \text{ નો સહગુણક}}{y^4 \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$.

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ હોય તો મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ માટે,મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}, \frac{\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}}{3}\right)$ છે.
સમીકરણ $x^3 - 3px^2 + 3qx - 1 = 0$ માટે,વિએટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 3p$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 3q$
$\alpha\beta\gamma = 1$
આ કિંમતો મધ્યકેન્દ્રના સૂત્રમાં મૂકતા:
$x$-યામ $= \frac{3p}{3} = p$
$y$-યામ $= \frac{\frac{\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}}{3} = \frac{3q}{3(1)} = q$
આમ,મધ્યકેન્દ્ર $(p, q)$ છે.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજનો હરાત્મક મધ્યક $H$ શોધવાનું સૂત્ર $H = \frac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $(5 + \sqrt{2})x^2 - (4 + \sqrt{5})x + (8 + 2\sqrt{5}) = 0$ પરથી:
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = \frac{4 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}}$
બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{8 + 2\sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}}$
આ કિંમતો $H$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$H = 2 \cdot \frac{\frac{8 + 2\sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}}}{\frac{4 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}}}$
$H = 2 \cdot \frac{8 + 2\sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$
$H = 2 \cdot \frac{2(4 + \sqrt{5})}{4 + \sqrt{5}}$
$H = 2 \cdot 2 = 4$

(B) ધારો કે સમીકરણ $x^{2} + (2 - \lambda)x + (10 - \lambda) = 0$ ના બીજો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજોના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha + \beta = \lambda - 2$ અને $\alpha\beta = 10 - \lambda$.
બીજોના ઘનનો સરવાળો $S = \alpha^{3} + \beta^{3} = (\alpha + \beta)^{3} - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$S = (\lambda - 2)^{3} - 3(10 - \lambda)(\lambda - 2)$.
$S = (\lambda - 2)[(\lambda - 2)^{2} - 3(10 - \lambda)] = (\lambda - 2)(\lambda^{2} - 4\lambda + 4 - 30 + 3\lambda) = (\lambda - 2)(\lambda^{2} - \lambda - 26)$.
$S = \lambda^{3} - 3\lambda^{2} - 24\lambda + 52$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$\frac{dS}{d\lambda} = 3\lambda^{2} - 6\lambda - 24 = 0$.
$3(\lambda - 4)(\lambda + 2) = 0$.
ન્યૂનતમ માટે,$\frac{d^{2}S}{d\lambda^{2}} = 6\lambda - 6$. $\lambda = 4$ માટે,$18 > 0$,તેથી તે ન્યૂનતમ છે.
બીજોનો તફાવત $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\lambda - 2)^{2} - 4(10 - \lambda)}$ છે.
$\lambda = 4$ માટે,$|\alpha - \beta| = \sqrt{(4 - 2)^{2} - 4(10 - 4)} = \sqrt{4 - 24} = \sqrt{-20}$.
તફાવતનું માન $|\sqrt{-20}| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{1}{\sqrt{\alpha}}$ અને $\frac{1}{\sqrt{\beta}}$ એ $ax^2 + bx + 1 = 0$ ના બીજ છે.
બીજનો સરવાળો: $\frac{1}{\sqrt{\alpha}} + \frac{1}{\sqrt{\beta}} = -\frac{b}{a} \Rightarrow \frac{\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha \beta}} = -\frac{b}{a}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\frac{1}{\sqrt{\alpha \beta}} = \frac{1}{a} \Rightarrow a = \sqrt{\alpha \beta}$.
$a$ ની કિંમત સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha \beta}} = -\frac{b}{\sqrt{\alpha \beta}} \Rightarrow b = -(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})$.
આપેલ સમીકરણ $x^2 + (b^3 - 3ab)x + a^3 = 0$ છે.
અહીં $b^3 - 3ab = -(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})^3 - 3(\sqrt{\alpha \beta})(-(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})) = -(\alpha^{3/2} + \beta^{3/2} + 3\sqrt{\alpha \beta}(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})) + 3\sqrt{\alpha \beta}(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}) = -(\alpha^{3/2} + \beta^{3/2})$.
તેમજ,$a^3 = (\sqrt{\alpha \beta})^3 = \alpha^{3/2} \beta^{3/2}$.
સમીકરણ $x^2 - (\alpha^{3/2} + \beta^{3/2})x + \alpha^{3/2} \beta^{3/2} = 0$ બને છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha^{3/2}$ અને $\beta^{3/2}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 4\sqrt{2}kx + 2k^4 - 1 = 0$ છે.
બીજના સરવાળા અને ગુણાકારના સૂત્ર મુજબ,$\alpha + \beta = 4\sqrt{2}k$ અને $\alpha\beta = 2k^4 - 1$.
$\alpha^2 + \beta^2 = 66$ આપેલ છે.
$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(4\sqrt{2}k)^2 = 66 + 2(2k^4 - 1)$
$32k^2 = 64 + 4k^4$ $\Rightarrow k^4 - 8k^2 + 16 = 0$ $\Rightarrow (k^2 - 4)^2 = 0$.
તેથી $k^2 = 4$,એટલે કે $k = \pm 2$.
$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 + \beta^2 - \alpha\beta) = (4\sqrt{2}k)(67 - 2k^4)$.
$k = -2$ લેતા,$\alpha^3 + \beta^3 = (-8\sqrt{2})(67 - 32) = -280\sqrt{2}$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + px + \frac{3p}{4} = 0$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,$\alpha + \beta = -p$ અને $\alpha \beta = \frac{3p}{4}$ મળે.
આપેલ છે કે $|\alpha - \beta| = \sqrt{10}$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $(\alpha - \beta)^2 = 10$ મળે.
નિત્યસમ $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(-p)^2 - 4 \left( \frac{3p}{4} \right) = 10$.
આથી $p^2 - 3p = 10$,અથવા $p^2 - 3p - 10 = 0$ મળે.
અવયવ પાડતા,$(p - 5)(p + 2) = 0$ મળે.
તેથી,$p = 5$ અથવા $p = -2$.
આમ,$p \in \{-2, 5\}$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha^3 + \beta^3 = -p$ અને $\alpha \beta = q$.
ધારો કે જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $x_1 = \frac{\alpha^2}{\beta}$ અને $x_2 = \frac{\beta^2}{\alpha}$ છે.
બીજનો સરવાળો $x_1 + x_2 = \frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha} = \frac{\alpha^3 + \beta^3}{\alpha \beta} = \frac{-p}{q}$ થાય.
બીજનો ગુણાકાર $x_1 \times x_2 = \frac{\alpha^2}{\beta} \times \frac{\beta^2}{\alpha} = \alpha \beta = q$ થાય.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$x^2 - (\frac{-p}{q})x + q = 0$.
$x^2 + \frac{p}{q}x + q = 0$.
$q$ વડે ગુણતા,$qx^2 + px + q^2 = 0$ મળે છે.

(D) ધારો કે સમીકરણ $x^2 - (\sin \alpha - 2)x - (1 + \sin \alpha) = 0$ ના બીજો $x_1$ અને $x_2$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ:
$x_1 + x_2 = \sin \alpha - 2$
$x_1 x_2 = -(1 + \sin \alpha)$
આપણે $S = x_1^2 + x_2^2$ ને ન્યૂનતમ બનાવવું છે.
$S = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$
$S = (\sin \alpha - 2)^2 - 2(-(1 + \sin \alpha))$
$S = \sin^2 \alpha - 4 \sin \alpha + 4 + 2 + 2 \sin \alpha$
$S = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha + 6$
$S$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,ધારો કે $u = \sin \alpha$,જ્યાં $u \in [-1, 1]$.
$S(u) = u^2 - 2u + 6 = (u - 1)^2 + 5$.
ન્યૂનતમ કિંમત $u = 1$ પર મળે છે.
તેથી $\sin \alpha = 1$,એટલે કે $\alpha = \frac{\pi}{2}$.

(D) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $81x^2 + kx + 256 = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\alpha^3$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \alpha^3 = -\frac{k}{81}$ $(1)$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \alpha^3 = \alpha^4 = \frac{256}{81}$ $(2)$
$(2)$ પરથી,$\alpha^4 = (\frac{4}{3})^4$,તેથી $\alpha = \pm \frac{4}{3}$.
કિસ્સો $1$: જો $\alpha = \frac{4}{3}$,તો $\alpha + \alpha^3 = \frac{4}{3} + \frac{64}{27} = \frac{100}{27}$.
$(1)$ માં કિંમત મૂકતા: $\frac{100}{27} = -\frac{k}{81} \implies k = -300$.
કિસ્સો $2$: જો $\alpha = -\frac{4}{3}$,તો $\alpha + \alpha^3 = -\frac{100}{27}$.
$(1)$ માં કિંમત મૂકતા: $-\frac{100}{27} = -\frac{k}{81} \implies k = 300$.
વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $-300$ છે.

(B) ધારો કે સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. આપેલ છે કે $\lambda = \frac{\alpha}{\beta}$.
$\lambda + \frac{1}{\lambda} = 1$ હોવાથી,$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = 1$.
આથી $\alpha^2 + \beta^2 = \alpha\beta$ મળે.
બંને બાજુ $2\alpha\beta$ ઉમેરતા,$(\alpha + \beta)^2 = 3\alpha\beta$ મળે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $3m^2x^2 + m(m - 4)x + 2 = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{m - 4}{3m}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{2}{3m^2}$ છે.
આ કિંમતો $(\alpha + \beta)^2 = 3\alpha\beta$ માં મૂકતા:
$\left(-\frac{m - 4}{3m}\right)^2 = 3 \left(\frac{2}{3m^2}\right)$.
$\frac{(m - 4)^2}{9m^2} = \frac{2}{m^2}$.
$m \neq 0$ હોવાથી,$9m^2$ વડે ગુણતા:
$(m - 4)^2 = 18$.
$m^2 - 8m + 16 = 18 \Rightarrow m^2 - 8m - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$m = 4 \pm 3\sqrt{2}$.
તેથી ન્યૂનતમ કિંમત $4 - 3\sqrt{2}$ છે.

(D) સમીકરણ $x^{2}-x-1=0$ માટે,વિએટાના સૂત્રો મુજબ $\alpha+\beta=1$ અને $\alpha\beta=-1$ છે.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,$\alpha^{2}-\alpha-1=0$ અને $\beta^{2}-\beta-1=0$ થાય.
આને $\alpha^{k-2}$ અને $\beta^{k-2}$ વડે ગુણતા,આપણને $p_{k}=p_{k-1}+p_{k-2}$ સંબંધ મળે છે.
કિંમતો ગણતા:
$p_{1}=1$
$p_{2}=3$
$p_{3}=4$
$p_{4}=7$
$p_{5}=11$
વિકલ્પો તપાસતા:
$A: 1+3+4+7+11 = 26$ (સત્ય)
$B: p_{5}=11$ (સત્ય)
$C: p_{5}-p_{4} = 11-7 = 4 = p_{3}$ (સત્ય)
$D: p_{2} \cdot p_{3} = 3 \cdot 4 = 12 \neq p_{5}$ (અસત્ય)
તેથી,વિકલ્પ $D$ અસત્ય છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $a$ અને $b$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,
$A.M. = \frac{a+b}{2} = 8 \Rightarrow a+b = 16$ $(1)$
$G.M. = \sqrt{ab} = 5 \Rightarrow ab = 25$ $(2)$
દ્વિઘાત સમીકરણ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે,
$x^{2} - x(\text{બીજનો સરવાળો}) + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$
$x^{2} - x(a+b) + (ab) = 0$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી કિંમતો મૂકતા,
$x^{2} - 16x + 25 = 0$
આમ,જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - 16x + 25 = 0$ છે.

(A) $\alpha$ અને $\beta$ એ $5x^{2} + 6x - 2 = 0$ ના બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
$5\alpha^{2} + 6\alpha - 2 = 0 \implies 5\alpha^{n+2} + 6\alpha^{n+1} - 2\alpha^{n} = 0$ ($\alpha^{n}$ વડે ગુણતા).
તે જ રીતે,$5\beta^{n+2} + 6\beta^{n+1} - 2\beta^{n} = 0$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને $5(\alpha^{n+2} + \beta^{n+2}) + 6(\alpha^{n+1} + \beta^{n+1}) - 2(\alpha^{n} + \beta^{n}) = 0$ મળે છે.
આ $5S_{n+2} + 6S_{n+1} - 2S_{n} = 0$ માં પરિણમે છે.
$n = 4$ માટે,$5S_{6} + 6S_{5} - 2S_{4} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $5S_{6} + 6S_{5} = 2S_{4}$.

(D) સમીકરણ $x^{2}-x+2\lambda=0$ માટે,$\alpha+\beta=1$ અને $\alpha\beta=2\lambda$ મળે.
સમીકરણ $3x^{2}-10x+27\lambda=0$ માટે,$\alpha+\gamma=\frac{10}{3}$ અને $\alpha\gamma=9\lambda$ મળે.
બીજના સરવાળાની બાદબાકી કરતા: $(\alpha+\gamma)-(\alpha+\beta)=\frac{10}{3}-1 \Rightarrow \gamma-\beta=\frac{7}{3}$.
બીજના ગુણાકારનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{\alpha\gamma}{\alpha\beta}=\frac{9\lambda}{2\lambda}$ $\Rightarrow \frac{\gamma}{\beta}=\frac{9}{2}$ $\Rightarrow \gamma=\frac{9}{2}\beta$.
$\gamma$ ની કિંમત $\gamma-\beta=\frac{7}{3}$ માં મુકતા: $\frac{9}{2}\beta-\beta=\frac{7}{3}$ $\Rightarrow \frac{7}{2}\beta=\frac{7}{3}$ $\Rightarrow \beta=\frac{2}{3}$.
તેથી $\gamma=\frac{9}{2} \times \frac{2}{3}=3$.
$\alpha+\beta=1$ હોવાથી,$\alpha=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$.
$\alpha\beta=2\lambda$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}=2\lambda \Rightarrow \lambda=\frac{1}{9}$.
અંતે,$\frac{\beta\gamma}{\lambda}=\frac{(2/3) \times 3}{1/9}=18$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $7x^{2}-3x-2=0$ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha+\beta = \frac{3}{7}$ અને $\alpha\beta = \frac{-2}{7}$ મળે.
આપણે $S = \frac{\alpha}{1-\alpha^{2}}+\frac{\beta}{1-\beta^{2}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$S = \frac{(\alpha+\beta)-\alpha\beta(\alpha+\beta)}{1-((\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta)+(\alpha\beta)^{2}}$.
કિંમતો મૂકતા: અંશ = $\frac{27}{49}$ અને છેદ = $\frac{16}{49}$ મળે.
તેથી,$S = \frac{27}{16}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x(2x+1)=1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4x^{2}+2x-1=0$ થાય છે.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,$\alpha+\beta = -\frac{1}{2}$ મળે.
તેથી,$\beta = -\frac{1}{2} - \alpha$.
$\alpha$ એ બીજ હોવાથી,$4\alpha^{2}+2\alpha-1=0$ થાય,એટલે કે $1 = 4\alpha^{2}+2\alpha$.
$\beta$ માં આ કિંમત મૂકતા:
$\beta = -\frac{4\alpha^{2}+2\alpha}{2} - \alpha = -2\alpha^{2} - \alpha - \alpha = -2\alpha^{2} - 2\alpha = -2\alpha(\alpha+1)$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-64x+256=0$ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha+\beta = 64$ અને $\alpha\beta = 256$.
આપણે પદાવલિ $E = \left(\frac{\alpha^{3}}{\beta^{5}}\right)^{\frac{1}{8}}+\left(\frac{\beta^{3}}{\alpha^{5}}\right)^{\frac{1}{8}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$E = \frac{\alpha^{3/8}}{\beta^{5/8}} + \frac{\beta^{3/8}}{\alpha^{5/8}}$.
લસાઅ લેતા,$E = \frac{\alpha^{3/8} \cdot \alpha^{5/8} + \beta^{3/8} \cdot \beta^{5/8}}{(\alpha\beta)^{5/8}}$.
$E = \frac{\alpha^{(3/8+5/8)} + \beta^{(3/8+5/8)}}{(\alpha\beta)^{5/8}} = \frac{\alpha+\beta}{(\alpha\beta)^{5/8}}$.
અહીં $\alpha\beta = 256 = 2^{8}$ હોવાથી,$(\alpha\beta)^{5/8} = (2^{8})^{5/8} = 2^{5} = 32$.
કિંમતો મૂકતા,$E = \frac{64}{32} = 2$.

(D) આપેલ છે કે $p + q = 2$ અને $p^{4} + q^{4} = 272$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $p^{2} + q^{2} = (p + q)^{2} - 2pq = 2^{2} - 2pq = 4 - 2pq$.
વળી,$p^{4} + q^{4} = (p^{2} + q^{2})^{2} - 2p^{2}q^{2} = 272$.
$p^{2} + q^{2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$(4 - 2pq)^{2} - 2(pq)^{2} = 272$.
$16 - 16pq + 4(pq)^{2} - 2(pq)^{2} = 272$.
$2(pq)^{2} - 16pq - 256 = 0$.
$(pq)^{2} - 8pq - 128 = 0$.
ધારો કે $t = pq$. તો $t^{2} - 8t - 128 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $t = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4(1)(-128)}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 512}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{8 \pm 24}{2}$.
$t = 16$ અથવા $t = -8$.
$p$ અને $q$ ધન હોવાથી,$pq$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $pq = 16$.
$p$ અને $q$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - (p+q)x + pq = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^{2} - 2x + 16 = 0$ મળે છે.

(D) ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(a, c), (2, b), (a, b)$ અને મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{10}{3}, \frac{7}{3}\right)$ છે.
$x$-યામ સરખાવતા: $\frac{a+2+a}{3} = \frac{10}{3} \implies 2a + 2 = 10 \implies a = 4$.
$y$-યામ સરખાવતા: $\frac{c+b+b}{3} = \frac{7}{3} \implies c + 2b = 7$.
$a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$2b = a + c$. $a=4$ મૂકતા,$2b = 4 + c \implies c = 2b - 4$.
$c$ ની કિંમત $c + 2b = 7$ માં મૂકતા: $(2b - 4) + 2b = 7 \implies 4b = 11 \implies b = \frac{11}{4}$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $4x^{2} + \frac{11}{4}x + 1 = 0$ મળે.
બીજ $\alpha, \beta$ માટે,$\alpha + \beta = -\frac{11}{16}$ અને $\alpha\beta = \frac{1}{4}$.
$\alpha^{2} + \beta^{2} - \alpha\beta = (\alpha + \beta)^{2} - 3\alpha\beta = \left(-\frac{11}{16}\right)^{2} - 3\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{121}{256} - \frac{3}{4} = -\frac{71}{256}$.

(B) કારણ કે $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$,સંકર બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે. તેથી,બીજું બીજ $1+2i$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
બીજનો સરવાળો $= -\alpha = (1-2i) + (1+2i) = 2 \implies \alpha = -2$.
બીજનો ગુણાકાર $= \beta = (1-2i)(1+2i) = 1^{2} - (2i)^{2} = 1 + 4 = 5$.
તેથી,$\alpha - \beta = -2 - 5 = -7$.

(A) $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^{2}-6x-2=0$ ના બીજ હોવાથી,$\alpha^{2}-6\alpha-2=0$ અને $\beta^{2}-6\beta-2=0$ મળે.
પ્રથમ સમીકરણને $\alpha^{8}$ વડે ગુણતા,$\alpha^{10}-6\alpha^{9}-2\alpha^{8}=0$ મળે.
તે જ રીતે,બીજા સમીકરણને $\beta^{8}$ વડે ગુણતા,$\beta^{10}-6\beta^{9}-2\beta^{8}=0$ મળે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા,$(\alpha^{10}-\beta^{10})-6(\alpha^{9}-\beta^{9})-2(\alpha^{8}-\beta^{8})=0$ મળે.
$a_{n}=\alpha^{n}-\beta^{n}$ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,આ $a_{10}-6a_{9}-2a_{8}=0$ માં પરિણમે છે.
પદોને ગોઠવતા,$a_{10}-2a_{8}=6a_{9}$ મળે.
તેથી,$\frac{a_{10}-2a_{8}}{3a_{9}} = \frac{6a_{9}}{3a_{9}} = 2$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = 0$ ના બીજ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^{2} - x - 1 = 0$ મળે છે.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,તેઓ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$\alpha^{2} - \alpha - 1 = 0 \Rightarrow \alpha^{n+1} = \alpha^{n} + \alpha^{n-1}$
$\beta^{2} - \beta - 1 = 0 \Rightarrow \beta^{n+1} = \beta^{n} + \beta^{n-1}$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$(\alpha^{n+1} + \beta^{n+1}) = (\alpha^{n} + \beta^{n}) + (\alpha^{n-1} + \beta^{n-1})$
આ પુનરાવર્તિત સંબંધ $p_{n+1} = p_{n} + p_{n-1}$ સૂચવે છે.
$p_{n+1} = 29$ અને $p_{n-1} = 11$ આપેલ હોવાથી:
$29 = p_{n} + 11$
$p_{n} = 29 - 11 = 18$.
તેથી,$p_{n}^{2} = 18^{2} = 324$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+5 \sqrt{2} x+10=0$ છે. $\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે: $\alpha^{2} + 5 \sqrt{2} \alpha + 10 = 0 \implies \alpha^{2} = -5 \sqrt{2} \alpha - 10$ અને $\beta^{2} = -5 \sqrt{2} \beta - 10$.
વળી,$P_{n} = \alpha^{n} - \beta^{n}$.
પદાવલિ $E = \frac{P_{17} P_{20} + 5 \sqrt{2} P_{17} P_{19}}{P_{18} P_{19} + 5 \sqrt{2} P_{18}^{2}}$ ધ્યાનમાં લો.
અંશમાં $P_{17}$ અને છેદમાં $P_{18}$ સામાન્ય લેતા:
$E = \frac{P_{17}(P_{20} + 5 \sqrt{2} P_{19})}{P_{18}(P_{19} + 5 \sqrt{2} P_{18})}$.
$P_{n} = \alpha^{n} - \beta^{n}$ મૂકતા:
$P_{20} + 5 \sqrt{2} P_{19} = (\alpha^{20} - \beta^{20}) + 5 \sqrt{2} (\alpha^{19} - \beta^{19}) = \alpha^{19}(\alpha + 5 \sqrt{2}) - \beta^{19}(\beta + 5 \sqrt{2})$.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,$\alpha + 5 \sqrt{2} = -\frac{10}{\alpha}$ અને $\beta + 5 \sqrt{2} = -\frac{10}{\beta}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$P_{20} + 5 \sqrt{2} P_{19} = \alpha^{19}(-\frac{10}{\alpha}) - \beta^{19}(-\frac{10}{\beta}) = -10 \alpha^{18} + 10 \beta^{18} = -10 P_{18}$.
તે જ રીતે,$P_{19} + 5 \sqrt{2} P_{18} = \alpha^{18}(\alpha + 5 \sqrt{2}) - \beta^{18}(\beta + 5 \sqrt{2}) = -10 \alpha^{17} + 10 \beta^{17} = -10 P_{17}$.
આમ,$E = \frac{P_{17}(-10 P_{18})}{P_{18}(-10 P_{17})} = 1$.

(B) આપેલ છે કે $a+b+c=1$,$ab+bc+ca=2$,અને $abc=3$.
પ્રથમ,નિત્યસમ $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2} + 2(ab+bc+ca)$ નો ઉપયોગ કરીને $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ શોધો:
$1^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2} + 2(2)$
$a^{2}+b^{2}+c^{2} = 1 - 4 = -3$.
ત્યારબાદ,નિત્યસમ $(ab+bc+ca)^{2} = a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} + 2abc(a+b+c)$ નો ઉપયોગ કરીને $a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}$ શોધો:
$2^{2} = a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} + 2(3)(1)$
$4 = a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} + 6$
$a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} = 4 - 6 = -2$.
અંતે,નિત્યસમ $a^{4}+b^{4}+c^{4} = (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2} - 2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$ નો ઉપયોગ કરો:
$a^{4}+b^{4}+c^{4} = (-3)^{2} - 2(-2)$
$a^{4}+b^{4}+c^{4} = 9 + 4 = 13$.