Relation between roots and coefficients Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3-3x^2+2x-1=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta+\gamma = -(-3)/1 = 3$ થાય.
નવા સમીકરણ $x^3-x-1=0$ ના બીજ $(\alpha-K), (\beta-K), (\gamma-K)$ છે.
સમીકરણ $x^3+0x^2-x-1=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $0$ છે.
તેથી,$(\alpha-K)+(\beta-K)+(\gamma-K) = 0$.
$(\alpha+\beta+\gamma) - 3K = 0$.
બીજનો સરવાળો મૂકતા: $3 - 3K = 0$.
$3K = 3$,જે આપણને $K = 1$ આપે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^3-2x^2+4x-1=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે. વિએટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha+\beta+\gamma=2$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=4$,અને $\alpha\beta\gamma=1$.
$\alpha\beta\gamma=1$ હોવાથી,$\beta\gamma=\frac{1}{\alpha}$,$\alpha\gamma=\frac{1}{\beta}$,અને $\alpha\beta=\frac{1}{\gamma}$ થાય.
નવા સમીકરણના બીજ $\beta\gamma+\frac{1}{\alpha} = \frac{2}{\alpha}$,$\alpha\gamma+\frac{1}{\beta} = \frac{2}{\beta}$,અને $\alpha\beta+\frac{1}{\gamma} = \frac{2}{\gamma}$ છે.
ધારો કે $y = \frac{2}{x}$,તો $x = \frac{2}{y}$. મૂળ સમીકરણમાં આ કિંમત મૂકતા: $(\frac{2}{y})^3 - 2(\frac{2}{y})^2 + 4(\frac{2}{y}) - 1 = 0$.
$\frac{8}{y^3} - \frac{8}{y^2} + \frac{8}{y} - 1 = 0$.
$-y^3$ વડે ગુણતા,આપણને $y^3 - 8y^2 + 8y - 8 = 0$ મળે છે.
આમ,માંગેલ સમીકરણ $x^3-8x^2+8x-8=0$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$a, b$ અને $c$ એ સમીકરણ $x^3+qx+r=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$a+b+c=0$
$ab+bc+ca=q$
$abc=-r$
કારણ કે $a+b+c=0$,તેથી $(a+b+c)^2=0$.
$a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0$
$a^2+b^2+c^2+2(q)=0$
$a^2+b^2+c^2=-2q$
હવે,પદાવલિ $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ ને ધ્યાનમાં લેતા:
$= a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+c^2+a^2-2ca$
$= 2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca)$
$= 2(-2q) - 2(q)$
$= -4q - 2q$
$= -6q$

(A) ધારો કે ત્રિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha, -\alpha,$ અને $\beta$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + (-\alpha) + \beta = 2p \Rightarrow \beta = 2p$.
બબ્બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha(-\alpha) + (-\alpha)\beta + \alpha\beta = 3q$.
$-\alpha^2 - \alpha\beta + \alpha\beta = 3q \Rightarrow -\alpha^2 = 3q$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha(-\alpha)\beta = 4r$.
$-\alpha^2 \beta = 4r$.
$\beta = 2p$ અને $-\alpha^2 = 3q$ ની કિંમત ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(3q)(2p) = 4r$.
$6pq = 4r$.
$r = \frac{6pq}{4} = \frac{3pq}{2}$.

(B) ધારો કે સમીકરણ $x^3 - ax^2 + ax - 1 = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિએટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = a$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = a$
$\alpha\beta\gamma = 1$
નવા સમીકરણના બીજ $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ છે.
નવું સમીકરણ મૂળ સમીકરણ જેવું જ હોવાથી,બીજનો સમૂહ ${\alpha^2, \beta^2, \gamma^2}$ એ ${\alpha, \beta, \gamma}$ સમાન હોવો જોઈએ.
$\alpha\beta\gamma = 1$ આપેલ હોવાથી,જો $\alpha = \beta = \gamma = 1$ લઈએ,તો $x^3 - ax^2 + ax - 1 = (x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ મળે.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$a = 3$ મળે છે.

(D) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $2x^3+3x^2-5x-7=0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -\frac{3}{2}$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -\frac{5}{2}$
$\alpha\beta\gamma = \frac{7}{2}$
આપણે $\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2} = \frac{\beta^2\gamma^2+\alpha^2\gamma^2+\alpha^2\beta^2}{(\alpha\beta\gamma)^2}$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)$ ગણો.
કિંમતો મૂકતા:
$= (-\frac{5}{2})^2 - 2(\frac{7}{2})(-\frac{3}{2}) = \frac{25}{4} + \frac{21}{2} = \frac{25+42}{4} = \frac{67}{4}$.
હવે,$(\alpha\beta\gamma)^2 = (\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$.
તેથી,$\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2} = \frac{67/4}{49/4} = \frac{67}{49}$.

(D) ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે. આપેલ સમીકરણ $x^3-12x^2+kx-18=0$ પરથી,આપણી પાસે સંબંધો છે:
$\alpha+\beta+\gamma = 12$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = k$
$\alpha\beta\gamma = 18$
આપેલ છે કે એક બીજ બાકીના બે બીજના સરવાળા કરતાં ત્રણ ગણું છે,ધારો કે $\alpha = 3(\beta+\gamma)$.
આને બીજના સરવાળામાં મૂકતા: $\alpha + \frac{\alpha}{3} = 12 \implies \frac{4\alpha}{3} = 12 \implies \alpha = 9$.
તેથી $\beta+\gamma = 3$ અને $\beta\gamma = \frac{18}{\alpha} = \frac{18}{9} = 2$.
આપણે $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-k$ શોધવાનું છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = 12^2 - 2k = 144 - 2k$.
આમ,$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-k = 144 - 2k - k = 144 - 3k$.
કારણ કે $\beta+\gamma=3$ અને $\beta\gamma=2$,બીજ $\beta$ અને $\gamma$ એ $t^2-3t+2=0$ ના બીજ છે,જે $1$ અને $2$ છે.
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = k$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને $k = 9(3) + 2 = 27 + 2 = 29$ મળે છે.
અંતે,$144 - 3(29) = 144 - 87 = 57$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3+a x^2+b x+c=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = b$ છે અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma = -c$ છે.
આપણે $\alpha^{-1}+\beta^{-1}+\gamma^{-1}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\alpha^{-1}+\beta^{-1}+\gamma^{-1} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\beta \gamma + \alpha \gamma + \alpha \beta}{\alpha \beta \gamma}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{b}{-c} = -\frac{b}{c}$ મળે છે.

(C) ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે. આપેલ છે કે $\alpha + \beta = \gamma$.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha + \beta + \gamma = -p$.
$\alpha + \beta = \gamma$ મૂકતા,આપણને $2\gamma = -p$ મળે,તેથી $\gamma = -\frac{p}{2}$.
$\gamma$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે: $(-\frac{p}{2})^3 + p(-\frac{p}{2})^2 + q(-\frac{p}{2}) - 5 = 0$.
$-\frac{p^3}{8} + \frac{p^3}{4} - \frac{pq}{2} - 5 = 0$.
$8$ વડે ગુણતા,આપણને $-p^3 + 2p^3 - 4pq - 40 = 0$ મળે.
$p^3 - 4pq = 40$.
$p(p^2 - 4q) = 40$.

(C) $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2 - 6x - 2 = 0$ ના બીજ હોવાથી,$\alpha^2 = 6\alpha + 2$ અને $\beta^2 = 6\beta + 2$ મળે.
$\alpha^8$ વડે ગુણતા,$\alpha^{10} = 6\alpha^9 + 2\alpha^8$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha^{10} - 2\alpha^8 = 6\alpha^9$.
તે જ રીતે,$\beta$ માટે,$\beta^{10} - 2\beta^8 = 6\beta^9$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(\alpha^{10} - \beta^{10}) - 2(\alpha^8 - \beta^8) = 6(\alpha^9 - \beta^9)$.
વ્યાખ્યા મુજબ,$a_n = \alpha^n - \beta^n$,તેથી $a_{10} - 2a_8 = 6a_9$.
તેથી,$\frac{a_{10} - 2a_8}{2a_9} = \frac{6a_9}{2a_9} = 3$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^5 - 5x^4 + 9x^3 - 9x^2 + 5x - 1 = 0$ છે.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x = 1$ એ એક બીજ છે,તેથી $\alpha_1 = 1$.
બહુપદીને $(x-1)$ વડે ભાગતા,આપણને ઘટાડેલું સમીકરણ મળે છે: $x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1 = 0$.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 4(x + \frac{1}{x}) + 5 = 0$ મળે છે.
ધારો કે $x + \frac{1}{x} = a$. તો $x^2 + \frac{1}{x^2} = a^2 - 2$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $(a^2 - 2) - 4a + 5 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $a^2 - 4a + 3 = 0$ થાય છે.
$a$ માટે ઉકેલતા,આપણને $(a - 3)(a - 1) = 0$ મળે છે,તેથી $a = 1$ અથવા $a = 3$.
$a = 1$ માટે,$x + \frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x^2 - x + 1 = 0$. બીજ $\alpha_2, \alpha_3$ છે. $x^2 - x + 1 = 0$ હોવાથી,$\frac{1}{x^2} = x - 1$ મળે. તેથી $\frac{1}{\alpha_2^2} + \frac{1}{\alpha_3^2} = (\alpha_2 + \alpha_3) - 2 = 1 - 2 = -1$.
$a = 3$ માટે,$x + \frac{1}{x} = 3 \Rightarrow x^2 - 3x + 1 = 0$. બીજ $\alpha_4, \alpha_5$ છે. $x^2 - 3x + 1 = 0$ હોવાથી,$\frac{1}{x^2} = 3x - 1$ મળે. તેથી $\frac{1}{\alpha_4^2} + \frac{1}{\alpha_5^2} = 3(\alpha_4 + \alpha_5) - 2 = 3(3) - 2 = 7$.
અંતે,$\frac{1}{\alpha_1^2} + \frac{1}{\alpha_2^2} + \frac{1}{\alpha_3^2} + \frac{1}{\alpha_4^2} + \frac{1}{\alpha_5^2} = \frac{1}{1^2} + (-1) + 7 = 1 - 1 + 7 = 7$.

(C) ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $12x^3-20x^2+x+3=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = \frac{5}{3}$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{1}{12}$
$\alpha\beta\gamma = -\frac{1}{4}$
આપણને $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ બીજ વાળું સમીકરણ જોઈએ છે.
બીજનો સરવાળો: $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = \frac{376}{144}$.
બબ્બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma) = \frac{121}{144}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha^2\beta^2\gamma^2 = (\alpha\beta\gamma)^2 = \frac{9}{144}$.
જરૂરી સમીકરણ $x^3 - (\sum \alpha^2)x^2 + (\sum \alpha^2\beta^2)x - (\alpha^2\beta^2\gamma^2) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $144x^3 - 376x^2 + 121x - 9 = 0$.

(B) ધારો કે સમીકરણ $ax^3+bx+c=0$ ના બીજ $2\alpha, \alpha, \beta$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,બીજનો સરવાળો $2\alpha + \alpha + \beta = 0$ થાય (કારણ કે $x^2$ નો સહગુણક $0$ છે),તેથી $\beta = -3\alpha$.
બબ્બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો $(2\alpha)(\alpha) + (\alpha)(\beta) + (2\alpha)(\beta) = \frac{b}{a}$ થાય.
$\beta = -3\alpha$ મૂકતા: $2\alpha^2 + \alpha(-3\alpha) + 2\alpha(-3\alpha) = \frac{b}{a}$ $\Rightarrow 2\alpha^2 - 3\alpha^2 - 6\alpha^2 = \frac{b}{a}$ $\Rightarrow -7\alpha^2 = \frac{b}{a}$ $\Rightarrow \alpha^2 = -\frac{b}{7a}$.
બીજનો ગુણાકાર $(2\alpha)(\alpha)(\beta) = -\frac{c}{a}$ $\Rightarrow 2\alpha^2(-3\alpha) = -\frac{c}{a}$ $\Rightarrow -6\alpha^3 = -\frac{c}{a}$ $\Rightarrow \alpha^3 = \frac{c}{6a}$.
ગુણાકારના સમીકરણની બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\alpha^3)^2 = (\frac{c}{6a})^2 \Rightarrow \alpha^6 = \frac{c^2}{36a^2}$.
સરવાળાના સમીકરણની બંને બાજુ ઘન કરતા: $(\alpha^2)^3 = (-\frac{b}{7a})^3 \Rightarrow \alpha^6 = -\frac{b^3}{343a^3}$.
$\alpha^6$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા: $\frac{c^2}{36a^2} = -\frac{b^3}{343a^3}$ $\Rightarrow 343ac^2 = -36b^3$ $\Rightarrow 36b^3 + 343ac^2 = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^3-ax^2+bx-c=0$ $(i)$.
ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $(i)$ ના બીજો છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma=a$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b$
$\alpha\beta\gamma=c$
આપેલ છે કે બીજોના ઘનનો સરવાળો શૂન્ય છે: $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0$.
આપણે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ: $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0-3c = (\alpha+\beta+\gamma)((\alpha+\beta+\gamma)^2-3(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha))$.
$-3c = a(a^2-3b)$.
$-3c = a^3-3ab$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $a^3+3c = 3ab$.

(C) આપેલ ઘન સમીકરણ $x^3+0x^2+2x+5=0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 0$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 2$
$\alpha\beta\gamma = -5$
આપણે $\sum \frac{\beta+\gamma}{\alpha^2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\alpha+\beta+\gamma = 0$ હોવાથી,$\beta+\gamma = -\alpha$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sum \frac{\beta+\gamma}{\alpha^2} = \sum \frac{-\alpha}{\alpha^2} = \sum -\frac{1}{\alpha} = -\left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}\right)$
$= -\left(\frac{\beta\gamma+\alpha\gamma+\alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}\right)$
$= -\left(\frac{2}{-5}\right) = \frac{2}{5}$

(A) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3 - ax^2 + bx - c = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = a$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = c$
આપણે $\alpha^{-2} + \beta^{-2} + \gamma^{-2} = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} + \frac{1}{\gamma^2}$ શોધવાનું છે.
આને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{\beta^2\gamma^2 + \alpha^2\gamma^2 + \alpha^2\beta^2}{(\alpha\beta\gamma)^2} = \frac{(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\alpha + \beta + \gamma)}{(\alpha\beta\gamma)^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{b^2 - 2(c)(a)}{c^2} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3+3x^2+4x+5=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -3$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 4$
$\alpha\beta\gamma = -5$
ધારો કે $A=1+4\alpha, B=1+4\beta, C=1+4\gamma$.
બીજનો સરવાળો: $A+B+C = 3+4(\alpha+\beta+\gamma) = 3+4(-3) = -9$.
બબ્બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો: $AB+BC+CA = 3+8(\alpha+\beta+\gamma) + 16(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = 3+8(-3)+16(4) = 43$.
બીજનો ગુણાકાર: $ABC = 1+4(\alpha+\beta+\gamma)+16(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)+64(\alpha\beta\gamma) = 1-12+64-320 = -267$.
માગેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3 - (A+B+C)x^2 + (AB+BC+CA)x - ABC = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^3+9x^2+43x+267=0$ મળે છે.

(A) ધારો કે ઘન સમીકરણ $x^3-7x^2+36=0$ ના બીજ $a, 2a$ અને $b$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો: $a + 2a + b = 7 \Rightarrow 3a + b = 7$ ... $(i)$
બબ્બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો: $a(2a) + 2a(b) + b(a) = 0$ (કારણ કે $x$ નો સહગુણક $0$ છે)
$2a^2 + 3ab = 0 \Rightarrow a(2a + 3b) = 0$
$a$ એ $0$ હોઈ શકે નહીં ($36 \neq 0$ હોવાથી),તેથી $2a + 3b = 0 \Rightarrow b = -\frac{2a}{3}$.
$b$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $3a - \frac{2a}{3} = 7$ $\Rightarrow \frac{7a}{3} = 7$ $\Rightarrow a = 3$.
તેથી $b = 7 - 3(3) = -2$.
બીજ $a=3, 2a=6, b=-2$ છે.
આમ,માત્ર $1$ ઋણ બીજ છે.

(C) આપેલ છે કે $2, 3, 6$ એ બહુપદી $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ ના શૂન્યો છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,આપણે લખી શકીએ:
$f(x) = (x - 2)(x - 3)(x - 6)$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = (x^2 - 5x + 6)(x - 6)$
$f(x) = x^3 - 6x^2 - 5x^2 + 30x + 6x - 36$
$f(x) = x^3 - 11x^2 + 36x - 36$
આને $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = -11$,$b = 36$,$c = -36$
હવે,$a - c$ ની ગણતરી કરતા:
$a - c = -11 - (-36) = -11 + 36 = 25$

(A) આપેલ સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
ધારો કે નવા બીજ $y_1 = \frac{1}{3\alpha-1}$ અને $y_2 = \frac{1}{3\beta-1}$ છે.
નવા બીજનો સરવાળો $S = \frac{1}{3\alpha-1} + \frac{1}{3\beta-1} = \frac{3\beta-1+3\alpha-1}{(3\alpha-1)(3\beta-1)} = \frac{3(\alpha+\beta)-2}{9\alpha\beta-3(\alpha+\beta)+1}$.
કિંમતો મૂકતા,$S = \frac{3(-\frac{b}{a})-2}{9(\frac{c}{a})-3(-\frac{b}{a})+1} = \frac{-3b-2a}{9c+3b+a} = -\frac{3b+2a}{a+3b+9c}$.
નવા બીજનો ગુણાકાર $P = \frac{1}{(3\alpha-1)(3\beta-1)} = \frac{1}{9\alpha\beta-3(\alpha+\beta)+1} = \frac{1}{9(\frac{c}{a})-3(-\frac{b}{a})+1} = \frac{a}{a+3b+9c}$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - Sx + P = 0$ છે,જે $x^2 - (-\frac{3b+2a}{a+3b+9c})x + \frac{a}{a+3b+9c} = 0$ આપે છે.
$(a+3b+9c)$ વડે ગુણતા,આપણને $(a+3b+9c)x^2 + (3b+2a)x + a = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ ઘાત સમીકરણ: $x^3+3x^2-7x+5=0$.
ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -3$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -7$
$\alpha\beta\gamma = -5$
આપણે $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} = \frac{\beta\gamma+\alpha\gamma+\alpha\beta}{\alpha\beta\gamma} = \frac{-7}{-5} = \frac{7}{5}$.

(A) આપેલ ઘન સમીકરણ $x^3 - p x^2 + q x - r = 0$ ... $(i)$.
ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = p$ ... $(ii)$
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = q$ ... $(iii)$
$\alpha \beta \gamma = r$ ... $(iv)$
આપેલ છે કે બે બીજ મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે,ધારો કે $\alpha = -\beta$.
$\alpha = -\beta$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$-\beta + \beta + \gamma = p \implies \gamma = p$.
$\gamma = p$ ને $(iv)$ માં મૂકતા:
$\alpha \beta (p) = r \implies -\beta^2 p = r \implies \beta^2 = -\frac{r}{p}$.
$\alpha = -\beta$ અને $\gamma = p$ ને $(iii)$ માં મૂકતા:
$-\beta^2 + \beta p - \beta p = q \implies -\beta^2 = q$.
$\beta^2$ માટેની બંને અભિવ્યક્તિઓને સરખાવતા:
$-\frac{r}{p} = -q \implies r = pq$.

(B) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3-2x^2+3x-4=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 2$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 3$
$\alpha\beta\gamma = 4$
આપણે $\sum \alpha\beta(\alpha+\beta) = \alpha\beta(\alpha+\beta) + \beta\gamma(\beta+\gamma) + \gamma\alpha(\gamma+\alpha)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\alpha+\beta+\gamma = 2$ હોવાથી,$\alpha+\beta = 2-\gamma$,$\beta+\gamma = 2-\alpha$,અને $\gamma+\alpha = 2-\beta$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$\sum \alpha\beta(\alpha+\beta) = \alpha\beta(2-\gamma) + \beta\gamma(2-\alpha) + \gamma\alpha(2-\beta)$
$= 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) - 3(\alpha\beta\gamma)$
$= 2(3) - 3(4)$
$= 6 - 12 = -6$.

(C) આપેલ ઘન સમીકરણ $x^3+0x^2+4x+1=0$ છે.
$a, b,$ અને $c$ એ બીજ હોવાથી,વિએટાના સૂત્રો મુજબ:
$a+b+c = 0$
$ab+bc+ca = 4$
$abc = -1$
$a+b+c=0$ પરથી,આપણને $a+b = -c$,$b+c = -a$,અને $c+a = -b$ મળે છે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} = \frac{1}{-c} + \frac{1}{-a} + \frac{1}{-b}$
$= -(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$
$= -(\frac{bc+ac+ab}{abc})$
$= -(\frac{4}{-1}) = 4$.

(A) ધારો કે સમીકરણ $x^3+p x^2+q x+r=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \text{ અને } \gamma$ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha+\beta+\gamma = -p$ $(i)$.
આપેલ છે કે બે બીજનો સરવાળો શૂન્ય છે,તેથી $\beta+\gamma=0$ લો.
આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $\alpha = -p$ મળે છે.
$\alpha$ એ સમીકરણનું બીજ હોવાથી,તે $x^3+p x^2+q x+r=0$ નું સમાધાન કરશે.
$x = -p$ મૂકતા:
$(-p)^3 + p(-p)^2 + q(-p) + r = 0$
$-p^3 + p^3 - p q + r = 0$
$-p q + r = 0$
$r = p q$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $x^3+p x^2+q x+r=0$ ના બીજ છે।
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha+\beta+\gamma = -p$ $(i)$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = q$ $(ii)$
$\alpha\beta\gamma = -r$ $(iii)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(1+\alpha^2)(1+\beta^2)(1+\gamma^2) = |(1+i\alpha)(1+i\beta)(1+i\gamma)|^2$.
ધારો કે $f(x) = x^3+px^2+qx+r = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$.
તેથી $f(i) = (i-\alpha)(i-\beta)(i-\gamma) = i^3+pi^2+qi+r = -i-p+qi+r = (r-p) + i(q-1)$.
તેમજ $f(-i) = (-i-\alpha)(-i-\beta)(-i-\gamma) = -i^3+pi^2-qi+r = i-p-qi+r = (r-p) - i(q-1)$.
આમ,$(1+\alpha^2)(1+\beta^2)(1+\gamma^2) = (i-\alpha)(i-\beta)(i-\gamma) \times (-i-\alpha)(-i-\beta)(-i-\gamma) = f(i) \times f(-i)$.
$= ((r-p) + i(q-1))((r-p) - i(q-1)) = (r-p)^2 + (q-1)^2$.

(B) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $x^3+\frac{1}{4} x^2-\frac{1}{16} x+\frac{1}{144}=0$ $(i)$ છે.
જો નવા સમીકરણના બીજ એ સમીકરણ $(i)$ ના બીજ કરતાં $k$ ગણા હોય,તો આપણે $x$ ને $\frac{x}{k}$ વડે બદલીએ છીએ.
$\left(\frac{x}{k}\right)^3+\frac{1}{4}\left(\frac{x}{k}\right)^2-\frac{1}{16}\left(\frac{x}{k}\right)+\frac{1}{144}=0$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $k^3$ વડે ગુણતા:
$x^3+\frac{k}{4} x^2-\frac{k^2}{16} x+\frac{k^3}{144}=0$
સહગુણકો પૂર્ણાંક હોવા માટે,$k$ એવો હોવો જોઈએ કે જેથી $4$ એ $k$ ને ભાગે,$16$ એ $k^2$ ને ભાગે,અને $144$ એ $k^3$ ને ભાગે.
વિકલ્પો તપાસતા:
જો $k=12$ હોય,તો $\frac{k}{4} = \frac{12}{4} = 3$,$\frac{k^2}{16} = \frac{144}{16} = 9$,અને $\frac{k^3}{144} = \frac{1728}{144} = 12$.
બધા સહગુણકો $(1, 3, -9, 12)$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$k=12$ એ શક્ય કિંમત છે.

(A) ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3-2x^2+10x-8=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 2$,
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 10$,
$\alpha\beta\gamma = 8$.
આપણે $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ બીજ ધરાવતું સમીકરણ મેળવવું છે.
નવા બીજનો સરવાળો $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (2)^2 - 2(10) = 4 - 20 = -16$.
બબ્બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો $\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma) = (10)^2 - 2(8)(2) = 100 - 32 = 68$.
નવા બીજનો ગુણાકાર $\alpha^2\beta^2\gamma^2 = (\alpha\beta\gamma)^2 = (8)^2 = 64$.
માગેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3 - (\text{બીજનો સરવાળો})x^2 + (\text{બબ્બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો})x - (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^3 - (-16)x^2 + 68x - 64 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $x^3+16x^2+68x-64=0$ થાય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^3-6x^2+11x-6=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 6$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 11$
$\alpha\beta\gamma = 6$
$a, b, c$ ની ગણતરી:
$b = \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 11$
$a = \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = 6^2 - 2(11) = 36 - 22 = 14$
$c = (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = (6-\gamma)(6-\alpha)(6-\beta)$
સમીકરણ $x^3-6x^2+11x-6 = (x-1)(x-2)(x-3)$ હોવાથી,બીજ $1, 2, 3$ છે.
$c = (6-1)(6-2)(6-3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $b=11, a=14, c=60$.
તેથી,$b < a < c$.

(A) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ: $x^3-b x^2+c x-d=0$.
ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં બીજ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$1$. બીજનો સરવાળો: $\frac{a}{r} + a + ar = b \Rightarrow a(\frac{1}{r} + 1 + r) = b$ ... $(i)$
$2$. બે-બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો: $\frac{a}{r} \cdot a + a \cdot ar + ar \cdot \frac{a}{r} = c \Rightarrow a^2(\frac{1}{r} + r + 1) = c$ ... (ii)
$3$. બીજનો ગુણાકાર: $\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = d \Rightarrow a^3 = d$ ... (iii)
(ii) ને $(i)$ વડે ભાગતા: $\frac{a^2(\frac{1}{r} + 1 + r)}{a(\frac{1}{r} + 1 + r)} = \frac{c}{b} \Rightarrow a = \frac{c}{b}$.
$a = \frac{c}{b}$ ને (iii) માં મૂકતા: $(\frac{c}{b})^3 = d$ $\Rightarrow \frac{c^3}{b^3} = d$ $\Rightarrow c^3 = b^3 d$.

(D) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $x^3+2x^2-4x+1=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
આપણે એવું સમીકરણ શોધવા માંગીએ છીએ જેના બીજ $3\alpha, 3\beta, 3\gamma$ હોય.
ધારો કે $y = 3x$,જેનો અર્થ છે $x = \frac{y}{3}$.
મૂળ સમીકરણમાં $x = \frac{y}{3}$ મૂકતા:
$(\frac{y}{3})^3 + 2(\frac{y}{3})^2 - 4(\frac{y}{3}) + 1 = 0$
$\frac{y^3}{27} + \frac{2y^2}{9} - \frac{4y}{3} + 1 = 0$
આખા સમીકરણને $27$ વડે ગુણતા:
$y^3 + 6y^2 - 36y + 27 = 0$
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,જરૂરી સમીકરણ $x^3+6x^2-36x+27=0$ મળે છે.

(C) આપેલ ઘાત સમીકરણ $x^3+ax^2+bx+c=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -a$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = -c$
આપણે $\alpha^{-1}+\beta^{-1}+\gamma^{-1} = \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}$ શોધવાનું છે.
લસાઅ લેતા:
$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{b}{-c} = -\frac{b}{c}$.

(B) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $2x^3 + 0x^2 - 2x - 1 = 0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
ત્રિઘાત સમીકરણ $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ માટે વિએટાના સૂત્રો મુજબ,બબ્બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો $\Sigma \alpha \beta = \frac{c}{a}$ થાય છે.
અહીં,$a = 2$,$b = 0$,$c = -2$,અને $d = -1$ છે.
તેથી,$\Sigma \alpha \beta = \frac{-2}{2} = -1$.
આપણે $(\Sigma \alpha \beta)^2$ શોધવાનું છે.
$(\Sigma \alpha \beta)^2 = (-1)^2 = 1$.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $\sqrt{2}x^2 - bx + (8 - 2\sqrt{5}) = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = \frac{b}{\sqrt{2}}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{8 - 2\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} - \sqrt{10}$ થાય.
બે બીજનો હરાત્મક મધ્યક $(HM)$ $HM = \frac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $HM = 4$,તેથી $4 = \frac{2(4\sqrt{2} - \sqrt{10})}{\frac{b}{\sqrt{2}}}$.
$4 = \frac{2(4\sqrt{2} - \sqrt{10}) \cdot \sqrt{2}}{b}$.
$4 = \frac{2(8 - \sqrt{20})}{b} = \frac{2(8 - 2\sqrt{5})}{b} = \frac{16 - 4\sqrt{5}}{b}$.
$4b = 16 - 4\sqrt{5}$.
$4$ વડે ભાગતા,$b = 4 - \sqrt{5}$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^3-13x^2+kx+189=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha+\beta+\gamma=13$ અને $\alpha\beta\gamma=-189$.
$\beta-\gamma=2$ આપેલ છે,તેથી $\beta+\gamma=16$ અને $\alpha=-3$ મળે છે.
સમીકરણમાં $\alpha=-3$ મૂકતા,$k=15$ મળે છે.
તેથી $\beta+\gamma : k+\alpha = 16 : (15-3) = 16 : 12 = 4:3$.

(B) ધારો કે સમીકરણ $x^4+2x^3-7x^2-8x+12=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ છે.
આપેલ છે કે બે બીજનો સરવાળો શૂન્ય છે,ધારો કે $\alpha + \beta = 0$,એટલે કે $\beta = -\alpha$.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma + \delta = -2$ છે.
$\alpha + \beta = 0$ હોવાથી,$\gamma + \delta = -2$ મળે.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma \delta = 12$ છે.
$\beta = -\alpha$ હોવાથી,$-\alpha^2 \gamma \delta = 12$ અથવા $\alpha^2 \gamma \delta = -12$ મળે.
બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો $\alpha \beta + \alpha \gamma + \alpha \delta + \beta \gamma + \beta \delta + \gamma \delta = -7$ છે.
$\beta = -\alpha$ મૂકતા,$-\alpha^2 + \gamma \delta = -7$ મળે,તેથી $\gamma \delta = \alpha^2 - 7$.
ગુણાકારના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\alpha^2(\alpha^2 - 7) = -12$,એટલે કે $\alpha^4 - 7\alpha^2 + 12 = 0$.
$y = \alpha^2$ લેતા,$y^2 - 7y + 12 = 0$,તેથી $(y-3)(y-4) = 0$.
આમ $\alpha^2 = 4$ લેતા $\gamma \delta = -3$ મળે.
$\gamma^2 + \delta^2 = (\gamma + \delta)^2 - 2\gamma \delta = (-2)^2 - 2(-3) = 4 + 6 = 10$.

(B) ધારો કે સમીકરણ $x^3-2x^2+3x-4=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
તેથી $\alpha+\beta+\gamma=2$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=3$,અને $\alpha\beta\gamma=4$.
આપણે એવું સમીકરણ શોધીએ છીએ જેના બીજ $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ હોય.
ધારો કે $y=x^2$,તેથી $x=\sqrt{y}$.
મૂળ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(\sqrt{y})^3-2(\sqrt{y})^2+3\sqrt{y}-4=0$.
$y\sqrt{y}-2y+3\sqrt{y}-4=0$.
$\sqrt{y}(y+3)=2y+4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $y(y+3)^2=(2y+4)^2$.
$y(y^2+6y+9)=4y^2+16y+16$.
$y^3+6y^2+9y=4y^2+16y+16$.
$y^3+2y^2-7y-16=0$.
આમ,જરૂરી સમીકરણ $x^3+2x^2-7x-16=0$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$1) \alpha+\beta = 5\gamma$ અને $\alpha\beta = -6\delta$
$2) \gamma+\delta = 5\alpha$ અને $\gamma\delta = -6\beta$
સરવાળાના સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(\alpha+\beta) + (\gamma+\delta) = 5(\gamma+\alpha) \implies \beta+\delta = 4(\alpha+\gamma)$.
સરવાળાના સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\alpha+\beta) - (\gamma+\delta) = 5(\gamma-\alpha) \implies \alpha+\beta-\gamma-\delta = 5\gamma-5\alpha \implies 6\alpha+\beta = 6\gamma+\delta$.
$\alpha\beta = -6\delta$ અને $\gamma\delta = -6\beta$ પરથી,$\alpha\beta\gamma\delta = 36\beta\delta$ મળે. જો $\beta\delta \neq 0$ હોય,તો $\alpha\gamma = 36$.
આ પદ્ધતિ ઉકેલતા $\alpha=\gamma$ અને $\beta=\delta$ મળે છે. મૂળ સમીકરણોમાં મૂકતા: $\alpha+\alpha = 5\alpha \implies 3\alpha=0 \implies \alpha=0$. આમ $\alpha=\beta=\gamma=\delta=0$.
જોકે,જો આપણે શૂન્યતર બીજ વિચારીએ,તો પણ સરવાળો $\alpha+\beta+\gamma+\delta = 0$ મળે છે.