$\cos (x + iy)$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $z$ એ એક સંકર સંખ્યા છે જે $|z|^3 + 2z^2 + 4\bar{z} - 8 = 0$ નું સમાધાન કરે છે,જ્યાં $\bar{z}$ એ $z$ નો સંકર અનુબદ્ધ છે. ધારો કે $z$ નો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય નથી.
યાદી-$I$ ની દરેક એન્ટ્રીને યાદી-$II$ ની સાચી એન્ટ્રી સાથે જોડો.

યાદી-$I$	યાદી-$II$
$(P)$ $|z|^2$ બરાબર છે	$(1)$ $12$
$(Q)$ $|z-\bar{z}|^2$ બરાબર છે	$(2)$ $4$
$(R)$ $|z|^2+|z+\bar{z}|^2$ બરાબર છે	$(3)$ $8$
$(S)$ $|z+1|^2$ બરાબર છે	$(4)$ $10$
	$(5)$ $7$

ધારો કે $A = \{\theta \in [0, 2\pi] : 1 + 10 \operatorname{Re}\left(\frac{2 \cos \theta + i \sin \theta}{\cos \theta - 3i \sin \theta}\right) = 0\}$. તો $\sum_{\theta \in A} \theta^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ એ સમીકરણ $z^2 + 4z - (1 + 12i) = 0$ ના ભિન્ન ઉકેલો છે. તો $|z_1|^2 + |z_2|^2$ ની કિંમત શોધો:

જો $z$ એક એવી સંકર સંખ્યા હોય કે જેથી $\left|z-\frac{4}{z}\right|=2$ થાય,તો $|z|$ ની મહત્તમ કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $(\bar{z})^2+|z|=0$ ના તમામ શૂન્યતર ઉકેલોનો સરવાળો અને ગુણાકાર છે,જ્યાં $z \in \mathbb{C}$. તો $4(\alpha^2+\beta^2)$ ની કિંમત શોધો: