ધન પૂર્ણાંકો n_1, n_2 માટે, પદાવલિ (1 + i)^{n | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ પદાવલિ: $(1 + i)^{n_1} + (1 + i^3)^{n_1} + (1 + i^5)^{n_2} + (1 + i^7)^{n_2}$.$i^3 = -i$, $i^5 = i$, અને $i^7 = -i$ હોવાથી, પદાવલિ નીચે મુજબ

Vedclass · Accepted Answer

$n_1 > 0, n_2 > 0$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ પદાવલિ: $(1 + i)^{n_1} + (1 + i^3)^{n_1} + (1 + i^5)^{n_2} + (1 + i^7)^{n_2}$.$i^3 = -i$, $i^5 = i$, અને $i^7 = -i$ હોવાથી, પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:$(1 + i)^{n_1} + (1 - i)^{n_1} + (1 + i)^{n_2} + (1 - i)^{n_2}$.ધારો કે $z = (1 + i)^{n} + (1 - i)^{n}$.ધ્રુવીય સ્વરૂપ $1 + i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$ અને $1 - i = \sqrt{2} e^{-i\pi/4}$ નો ઉપયોગ કરતા:$z = (\sqrt{2})^n (e^{in\pi/4} + e^{-in\pi/4}) = 2^{n/2} \cdot 2 \cos(n\pi/4) = 2^{n/2+1} \cos(n\pi/4)$.કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $2^{n/2+1} \cos(n\pi/4)$ હંમેશા વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી, આવા બે પદોનો સરવાળો પણ હંમેશા વાસ્તવિક જ રહે છે.તેથી, આ પદાવલિ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $n_1$ અને $n_2$ માટે વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

ધન પૂર્ણાંકો $n_1, n_2$ માટે, પદાવલિ $(1 + i)^{n_1} + (1 + i^3)^{n_1} + (1 + i^5)^{n_2} + (1 + i^7)^{n_2}$, જ્યાં $i = \sqrt{-1}$ છે, તે વાસ્તવિક સંખ્યા છે જો અને માત્ર જો:

Similar Questions

સમીકરણ $x^3-3x^2+3x-9=0$ ના બીજ ...... છે.

જો $a \pm ib$ અને $b \pm ai$ એ $x^4-10x^3+50x^2-130x+169=0$ ના બીજ હોય,તો $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=$

જો $z_1=x_1+i y_1$, $z_2=x_2+i y_2$, $z_3=x_1+\frac{i x_2}{2}$, અને $z_4=2 y_1+i y_2$ એવી સંકર સંખ્યાઓ હોય કે જેથી $|z_1|=1$, $|z_2|=2$, અને $\operatorname{Re}(z_1 \bar{z}_2)=0$ થાય, તો:

જો $2i$ એ $f(z) = z^4 + z^3 + 2z^2 + 4z - 8 = 0$ નું એક બીજ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું $f(z) = 0$ નું બીજ ન હોઈ શકે?

જ્યારે $x = \frac{4 + 5i}{2}$ હોય ત્યારે $4x^3 - 4x^2 - 7x + 127$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module