જો {z_1} = a + ib અને {z_2} = c + id એ સંકર સ | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(d)Since $|{z_1}| = |{z_2}| = 1$, we have

${z_1} = \cos {	heta _1} + i\sin {	heta _1},{z_2} = \cos {	heta _2} + i\sin {	heta _2}$

where ${

Vedclass · Accepted Answer

ઉપરોક્ત બધાજ

Vedclass · Answer

(d)Since $|{z_1}| = |{z_2}| = 1$, we have

${z_1} = \cos {	heta _1} + i\sin {	heta _1},{z_2} = \cos {	heta _2} + i\sin {	heta _2}$

where ${	heta _1} = arg({z_1})$ and ${	heta _2} = arg({z_2})$

Also, ${z_1} = a + ib$ and ${z_2} = c + id.$

Therefore$a = \cos {	heta _1}$,$b = \sin {	heta _1},c = \cos {	heta _2}$ and $d = \sin {	heta _2}$

Also, $R({z_1}{\overline z _2}) = 0$

==> $R[(\cos {	heta _1} + i\sin {	heta _1})(\cos {	heta _2} - i\sin {	heta _2})] = 0$

==> $R[(\cos ({	heta _1} - {	heta _2}) + i\sin ({	heta _1} - {	heta _2})] = 0$

==> $\cos ({	heta _1} - {	heta _2}) = 0$

==> ${	heta _1} - {	heta _2} = \frac{\pi }{2}$

==> ${	heta _1} = {	heta _2} + \frac{\pi }{2}$

Now, ${w_1} = a + ic = \cos {	heta _1} + i\cos {	heta _2}$$ = \cos {	heta _1} + i\sin {	heta _1}$

==> $|{w_1}| = 1$

Similarly, $|{w_2}| = 1$

Next ${w_1}{\overline w _2} = (\cos {	heta _1} + i\sin {	heta _1})(\cos {	heta _2} - i\sin {	heta _2})$

$ = \cos ({	heta _1} - {	heta _2}) + i\sin ({	heta _1} - {	heta _2})$

==> $|{w_1}{\overline w _2}| = 1$

Finally, $R({\overline w _1}{w_2}) = R({w_2}{\overline w _1})$

$ = R[(\cos {	heta _2} + i\sin {	heta _2})(\cos {	heta _1} - i\sin {	heta _1})]$

$ = R[\cos ({	heta _2} - {	heta _1}) + i\sin ({	heta _2} - {	heta _1})]$

$ = \cos ({	heta _2} - {	heta _1}) = \cos \left( {\frac{{ - \pi }}{2}} ight) = 0$

Similar Questions

જો $z$ અને $\omega $ એ બે શૂન્યતર સંકર સંખ્યા છે કે જેથી $|z\omega |\, = 1$ અને $arg(z) - arg(\omega ) = \frac{\pi }{2},$ તો $\bar z\omega $ મેળવો.

જો $z $ એ એકમ માંનાક અને $\theta $ કોણાંક ધરાવતી સંકર સંખ્યા હોય,તો ${\rm{arg}}\left( {\frac{{1 + z}}{{1 + \bar {\; z\;}}}} \right)$ મેળવો.

કોઈ સંકર સંખ્યા $z$ માટે, $ \bar z = \left( {\frac{1}{z}} \right)$ તોજ શક્ય છે જો . . . ..

જો $z_1 = 6 + i$ અને $z_2 = 4 -3i$ તથા સંકર સંખ્યા $z$ એવી મળે કે જેથી $arg\ \left( {\frac{{z - {z_1}}}{{{z_2} - z}}} \right) = \frac{\pi }{2}$, થાય તો $z$ માટે

જો $z=x+\mathrm{i} y, x y \neq 0$ એ સમીકરણ $z^2+\mathrm{i} \bar{z}=0$ નું સમાધાન કરે, તો $\left|\mathrm{z}^2\right|=$............................