Parabola Questions in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{l}{r} = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = 1 - \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{l}{r} = 1 - \cos \theta$ મળે.
તેથી,$l = r(1 - \cos \theta) = r - r \cos \theta$.
$x = r \cos \theta$ અને $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ હોવાથી,$l = \sqrt{x^2 + y^2} - x$ મળે.
તેથી,$\sqrt{x^2 + y^2} = x + l$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 + y^2 = (x + l)^2 = x^2 + 2lx + l^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$y^2 = 2lx + l^2 = 2l(x + \frac{l}{2})$.
આ એક પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ છે.

(B) ધારો કે પરવલય $y^2=4x$ પર બિંદુ $Q$ ના યામ $(x, y)$ છે.
અંતર $PQ$ એ $PQ = \sqrt{(x-2)^2 + (y-0)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y^2 = 4x$ મૂકતા,આપણને $PQ = \sqrt{(x-2)^2 + 4x} = \sqrt{x^2 - 4x + 4 + 4x} = \sqrt{x^2 + 4}$ મળે છે.
ન્યૂનતમ અંતર શોધવા માટે,ધારો કે $f(x) = x^2 + 4$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$f'(x) = 2x$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 0$ મળે છે.
કારણ કે $f''(x) = 2 > 0$,તેથી વિધેય $x = 0$ આગળ ન્યૂનતમ છે.
ન્યૂનતમ અંતર $PQ = \sqrt{0^2 + 4} = \sqrt{4} = 2$ છે.

(B) આપેલ ખૂણો $\theta = \sin^{-1}(\frac{3}{5})$ હોવાથી,$\tan \theta = \frac{3}{4}$ થાય. રેખાનો ઢાળ $m = \frac{3}{4}$ છે.
બિંદુ $(-1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $m = \frac{3}{4}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 1 = \frac{3}{4}(x + 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4y = 3x + 7$ થાય.
વક્ર $x^2 = 4y - 9$ માં $4y = 3x + 7$ મૂકતા:
$x^2 = (3x + 7) - 9$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
$(x - 1)(x - 2) = 0$
તેથી,$x = 1$ અને $x = 2$.
$x = 1$ માટે,$4y = 10 \Rightarrow y = \frac{5}{2}$. બિંદુ $A = (1, \frac{5}{2})$.
$x = 2$ માટે,$4y = 13 \Rightarrow y = \frac{13}{4}$. બિંદુ $B = (2, \frac{13}{4})$.
અંતર $|AB| = \sqrt{(2 - 1)^2 + (\frac{13}{4} - \frac{5}{2})^2} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$ એકમ.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+2 x y+y^{2}-5 x+5 y-5=0$ છે.
આને $(x+y)^{2} = 5x - 5y + 5$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $X = x+y$ અને $Y = x-y+1$.
આ સમીકરણ $X^{2} = 5Y$ સ્વરૂપનું છે,જે પરવલય દર્શાવે છે.
$(ax+by+c)^2 = k(bx-ay+d)$ સ્વરૂપના પરવલયની અક્ષ $ax+by+c=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$x+y=0$ એ પરવલયની અક્ષ છે.

(C) આપેલ શંકુનું સમીકરણ $x^{2}-6x+4y+1=0$ છે.
$x$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(x^{2}-6x+9)-9+4y+1=0$
$(x-3)^{2}+4y-8=0$
$(x-3)^{2}=-4(y-2)$.
આ $(x-h)^{2}=-4a(y-k)$ સ્વરૂપનું પરવલય છે,જ્યાં $(h,k)=(3,2)$ અને $4a=4$,તેથી $a=1$.
આ પરવલયનું નાભિ $(h, k-a)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(3, 2-1) = (3,1)$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $y^{2}+4x+4y+k=0$
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$y^{2}+4y+4-4+4x+k=0$
$(y+2)^{2} = -4x+4-k$
$(y+2)^{2} = -4(x - \frac{4-k}{4})$
આને પરવલયના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y-k')^{2} = -4a(x-h')$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 4$ મળે છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $4$ એકમ છે.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $y^2 + 6x - 2y + 13 = 0$.
$y$ વાળા પદોને એકસાથે ગોઠવતા: $y^2 - 2y = -6x - 13$.
$y$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(y^2 - 2y + 1) = -6x - 13 + 1$.
આનું સાદું રૂપ: $(y - 1)^2 = -6x - 12$.
જમણી બાજુથી $-6$ સામાન્ય લેતા: $(y - 1)^2 = -6(x + 2)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $(h, k)$ શિરોબિંદુ છે:
અહીં,$h = -2$ અને $k = 1$.
તેથી,શિરોબિંદુ $(-2, 1)$ છે.

(C) આપેલ છે કે બિંદુ $P$ ના યામ $x = 2t^2 + 4$ અને $y = 4t + 6$ છે.
બીજા સમીકરણ પરથી,$4t = y - 6$,જેનો અર્થ છે કે $t = \frac{y - 6}{4}$.
$t$ ની આ કિંમતને $x$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = 2\left(\frac{y - 6}{4}\right)^2 + 4$
$x - 4 = 2 \cdot \frac{(y - 6)^2}{16}$
$x - 4 = \frac{(y - 6)^2}{8}$
$(y - 6)^2 = 8(x - 4)$
આ સમીકરણ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સ્વરૂપનું છે,જે પરવલય દર્શાવે છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=4ax$ છે.
ધારો કે પરવલય પરના બિંદુ $P$ ના યામ $(at^{2}, 2at)$ છે.
નાભિ $F$ એ $(a, 0)$ છે અને નિયામિકા $x = -a$ છે.
બિંદુ $P(at^{2}, 2at)$ માંથી નિયામિકા $x = -a$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $Q$ એ $(-a, 2at)$ છે.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,અંતર $PF$ એ અંતર $PQ$ જેટલું છે.
$PQ = \sqrt{(at^{2} - (-a))^{2} + (2at - 2at)^{2}} = a(t^{2}+1)$.
$PF = \sqrt{(at^{2}-a)^{2} + (2at-0)^{2}} = a(t^{2}+1)$.
$PQ = PF$ હોવાથી,$\triangle PQF$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં,સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે,તેથી $\angle PQF = \angle PFQ$.
તેથી,$\tan \angle PQF = \tan \angle PFQ$.
આમ,$\frac{\tan \angle PQF}{\tan \angle PFQ} = 1$.

(D) ધારો કે બિંદુ $B$ ના યામ $(at^2, 2at)$ છે. શિરોબિંદુ $A$ એ $(0, 0)$ પર છે.
$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{2at - 0}{at^2 - 0} = \frac{2}{t}$ છે.
$BC \perp AB$ હોવાથી,$BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = -\frac{t}{2}$ થાય.
$B(at^2, 2at)$ માંથી પસાર થતી અને $-\frac{t}{2}$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $BC$ નું સમીકરણ:
$y - 2at = -\frac{t}{2}(x - at^2)$
પરવલયની અક્ષ $(y = 0)$ પર બિંદુ $C$ શોધવા માટે:
$0 - 2at = -\frac{t}{2}(x - at^2)$
$4at = t(x - at^2)$
$4a = x - at^2$
$x = 4a + at^2$
તેથી,$C$ ના યામ $(4a + at^2, 0)$ છે.
અક્ષ પર $BC$ નો પ્રક્ષેપ એ અંતર $DC$ છે,જ્યાં $D$ એ અક્ષ પર $B$ નો પ્રક્ષેપ છે,એટલે કે $D(at^2, 0)$.
$DC = |x_C - x_D| = |(4a + at^2) - at^2| = 4a$ એકમ.

(A) ધારો કે બિંદુઓના યામ $P_i(at_i^2, 2at_i)$ છે,જ્યાં $i = 1, 2, 3, 4$.
$P_1 P_2$ અને $P_3 P_4$ નાભિસ્થ જીવાઓ હોવાથી,$t_1 t_2 = -1$ અને $t_3 t_4 = -1$ થાય.
$P_i$ અને $P_j$ ને જોડતી જીવાનું સમીકરણ $(t_i + t_j)y = 2x + 2at_i t_j$ છે.
$P_1 P_3$ માટે,સમીકરણ $(t_1 + t_3)y = 2x + 2at_1 t_3$ ... $(1)$ છે.
$P_2 P_4$ માટે,સમીકરણ $(t_2 + t_4)y = 2x + 2at_2 t_4$ ... $(2)$ છે.
$t_2 = -1/t_1$ અને $t_4 = -1/t_3$ મૂકતા,સમીકરણ $(2)$ માંથી મળે છે કે છેદબિંદુ $x = -a$ રેખા પર આવેલું છે,જે પરવલયની નિયામિકા છે.

(B) પરવલય $y^{2}=4ax$ નું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ છે.
શિરોબિંદુ $O$ માંથી પસાર થતી અને $x$-અક્ષ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ $y = x \tan \alpha$ છે.
આ રેખા અને પરવલયનું છેદબિંદુ $P$ શોધવા માટે,$y = x \tan \alpha$ ને $y^{2}=4ax$ માં મૂકતા:
$(x \tan \alpha)^{2} = 4ax$
$x^{2} \tan^{2} \alpha = 4ax$
$P$ એ ઉગમબિંદુ નથી,તેથી $x \neq 0$,એટલે કે $x \tan^{2} \alpha = 4a$,જે આપણને $x = 4a \cot^{2} \alpha$ આપે છે.
તેથી $y = (4a \cot^{2} \alpha) \tan \alpha = 4a \cot \alpha$.
આમ,$P$ ના યામ $(4a \cot^{2} \alpha, 4a \cot \alpha)$ છે.
જીવા $OP$ ની લંબાઈ એ $(0,0)$ થી $(4a \cot^{2} \alpha, 4a \cot \alpha)$ સુધીનું અંતર છે:
$OP = \sqrt{(4a \cot^{2} \alpha)^{2} + (4a \cot \alpha)^{2}}$
$OP = \sqrt{16a^{2} \cot^{4} \alpha + 16a^{2} \cot^{2} \alpha}$
$OP = 4a \cot \alpha \sqrt{\cot^{2} \alpha + 1}$
$OP = 4a \cot \alpha \operatorname{cosec} \alpha$ (કારણ કે $0 < \alpha < 90^{\circ}$,$\cot \alpha > 0$ અને $\operatorname{cosec} \alpha > 0$).

(D) $PQ$ એ નાભિ જીવા હોવાથી,$P(at^{2}, 2at)$ માટે $Q$ ના યામ $(\frac{a}{t^{2}}, \frac{-2a}{t})$ થશે.
$QR$ નો ઢાળ = $\frac{2ar - (-2a/t)}{ar^{2} - a/t^{2}} = \frac{2a(r + 1/t)}{a(r - 1/t)(r + 1/t)} = \frac{2}{r - 1/t} = \frac{2t}{rt - 1}$.
$PK$ નો ઢાળ = $\frac{2at - 0}{at^{2} - 2a} = \frac{2at}{a(t^{2} - 2)} = \frac{2t}{t^{2} - 2}$.
$PK \parallel QR$ હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન થાય:
$\frac{2t}{rt - 1} = \frac{2t}{t^{2} - 2}$.
$t \neq 0$ લેતા,$rt - 1 = t^{2} - 2$.
$rt = t^{2} - 1$.
$r = \frac{t^{2} - 1}{t}$.

(C) $\Delta PQR$ નું ક્ષેત્રફળ ત્યારે મહત્તમ થાય છે જ્યારે $R$ થી રેખા $PQ$ નું અંતર મહત્તમ હોય.
ધારો કે $R$ એ $(t^{2}, 2t)$ છે. રેખા $PQ$ એ $P(4, -4)$ અને $Q(9, 6)$ માંથી પસાર થાય છે.
$PQ$ નો ઢાળ $m = \frac{6 - (-4)}{9 - 4} = \frac{10}{5} = 2$ છે.
રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $y - 6 = 2(x - 9) \Rightarrow 2x - y - 12 = 0$ છે.
$R(t^{2}, 2t)$ થી $2x - y - 12 = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $d = \frac{|2t^{2} - 2t - 12|}{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{|2(t^{2} - t - 6)|}{\sqrt{5}} = \frac{2|t - 3||t + 2|}{\sqrt{5}}$ છે.
$R$ એ $P$ અને $Q$ વચ્ચેના ચાપ પર હોવા માટે,પેરામીટર $t$ એ $-2$ અને $3$ ની વચ્ચે હોવું જોઈએ.
ધારો કે $f(t) = t^{2} - t - 6$. અંતરને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $f'(t) = 2t - 1 = 0$ સેટ કરીને $f(t)$ નો નિર્ણાયક બિંદુ શોધીએ છીએ,જે $t = \frac{1}{2}$ આપે છે.
$t = \frac{1}{2}$ પર,$R$ ના યામ $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}, 2\left(\frac{1}{2}\right)\right) = \left(\frac{1}{4}, 1\right)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો $x+y=4$ $(i)$ અને $x-y=2$ $(ii)$ છે.
$(i)$ અને $(ii)$ ને ઉકેલતા,આપણને $x=3$ અને $y=1$ મળે છે.
બિંદુ $(3, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $m = \tan(\tan^{-1}(3/4)) = 3/4$ ઢાળ ધરાવતી રેખા:
$(y-1) = \frac{3}{4}(x-3) \Rightarrow y = \frac{3x-5}{4}$.
આ કિંમતને પરવલયના સમીકરણ $y^{2}=4(x-3)$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{3x-5}{4}\right)^{2} = 4(x-3)$
$\frac{9x^{2}-30x+25}{16} = 4x-12$
$9x^{2}-30x+25 = 64x-192$
$9x^{2}-94x+217 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,$x_{1}+x_{2} = \frac{94}{9}$ અને $x_{1}x_{2} = \frac{217}{9}$.
તેથી $|x_{1}-x_{2}| = \sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}$
$= \sqrt{\left(\frac{94}{9}\right)^{2} - 4\left(\frac{217}{9}\right)}$
$= \sqrt{\frac{8836}{81} - \frac{868}{9}} = \sqrt{\frac{1024}{81}} = \frac{32}{9}$.

(B) પરવલય $y^{2}=8x$ નું શિરોબિંદુ $M(0,0)$ છે.
ધારો કે પરવલય પરનું બીજું બિંદુ $N(2t^{2}, 4t)$ છે,જ્યાં $t$ એક પ્રાચલ છે.
ધારો કે $P(x, y)$ એ જીવા $MN$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x = \frac{0 + 2t^{2}}{2} = t^{2}$
$y = \frac{0 + 4t}{2} = 2t$
બીજા સમીકરણ પરથી,$t = \frac{y}{2}$.
આ કિંમતને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = (\frac{y}{2})^{2}$
$x = \frac{y^{2}}{4}$
$y^{2} = 4x$
આમ,$P$ નો બિંદુપથ $y^{2}=4x$ છે.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,તેના પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(at^2, 2at)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
ધારો કે નાભિસ્થ જીવાના બે અંત્યબિંદુઓ $P(at_1^2, 2at_1)$ અને $Q(at_2^2, 2at_2)$ છે.
જીવા $PQ$ નો ઢાળ $m = \frac{2at_2 - 2at_1}{at_2^2 - at_1^2} = \frac{2}{t_1 + t_2}$ થાય.
આ જીવા નાભિ $(a, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેનો ઢાળ $m = \frac{2at_1 - 0}{at_1^2 - a} = \frac{2t_1}{t_1^2 - 1}$ પણ થાય.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{2}{t_1 + t_2} = \frac{2t_1}{t_1^2 - 1}$.
$t_1^2 - 1 = t_1(t_1 + t_2) = t_1^2 + t_1 t_2$.
$-1 = t_1 t_2$.
તેથી,$t_1 t_2 = -1$.

(A) રેખાનું સમીકરણ $y = \sqrt{3}x - 3$ છે. ઢાળ $m = \sqrt{3}$ હોવાથી,$\theta = 60^\circ$.
બિંદુ $X(\sqrt{3}, 0)$ થી $r$ અંતરે રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $x = \sqrt{3} + \frac{r}{2}$ અને $y = \frac{r\sqrt{3}}{2}$ છે.
આ કિંમતોને પરવલય $y^2 = x + 2$ માં મૂકતા:
$(\frac{r\sqrt{3}}{2})^2 = (\sqrt{3} + \frac{r}{2}) + 2$
$3r^2 - 2r - 4(\sqrt{3} + 2) = 0$.
સમીકરણના બીજ $r_1$ અને $r_2$ એ $XP$ અને $XQ$ દર્શાવે છે.
બીજનો ગુણાકાર $r_1 r_2 = \frac{-4(\sqrt{3} + 2)}{3}$.
તેથી,$XP \cdot XQ = |r_1 r_2| = \frac{4(2 + \sqrt{3})}{3}$.

(B) પરવલય $y^2 = 12x$ છે,તેથી $4a = 12$,જેનો અર્થ છે કે $a = 3$. નાભિ $(3, 0)$ છે.
આપાત કિરણ નાભિ $(3, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $m = \tan(\tan^{-1} \frac{3}{4}) = \frac{3}{4}$ છે.
આપાત કિરણનું સમીકરણ $y - 0 = \frac{3}{4}(x - 3)$ અથવા $x = \frac{4y}{3} + 3$ છે.
આ કિંમતને પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 12x$ માં મૂકતા:
$y^2 = 12(\frac{4y}{3} + 3) = 16y + 36$.
$y^2 - 16y - 36 = 0$.
$(y - 18)(y + 2) = 0$.
કિરણ પ્રથમ ચરણમાં જતું હોવાથી,આપણે $y = 18$ લઈશું.
પરવલયનો ગુણધર્મ છે કે નાભિમાંથી પસાર થતું કોઈપણ કિરણ પરવલયની અક્ષને સમાંતર પરાવર્તિત થાય છે.
પરવલય $y^2 = 12x$ ની અક્ષ $x$-અક્ષ $(y = 0)$ છે.
આમ,પરાવર્તિત કિરણ એ $y$-યામ $18$ ધરાવતા બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી આડી રેખા છે.
તેથી પરાવર્તિત કિરણનું સમીકરણ $y = 18$ છે.

(D) પરવલયના નાભિલંબ અને શિરોબિંદુ આગળના સ્પર્શક વચ્ચેનું અંતર $a$ છે,જ્યાં $4a$ એ નાભિલંબની લંબાઈ છે.
આપેલ સમીકરણો $x+y-8=0$ અને $x+y-12=0$ છે.
આ બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $a = \frac{|-8 - (-12)|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}$ થાય.
નાભિલંબની લંબાઈ $4a$ છે.
લંબાઈ $= 4 \times (2 \sqrt{2}) = 8 \sqrt{2} \text{ એકમ}$.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના યામ અનુક્રમે $(t_{1}^{2}, 2t_{1})$ અને $(t_{2}^{2}, 2t_{2})$ છે.
$AB$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું કેન્દ્ર $(\frac{t_{1}^{2}+t_{2}^{2}}{2}, t_{1}+t_{2})$ છે.
પરવલય $y^{2}=4x$ ની ધરી $x$-અક્ષ છે,જેનું સમીકરણ $y=0$ છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા એ કેન્દ્રના $y$-યામનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે.
તેથી,$r = |t_{1}+t_{2}|$,જેનો અર્થ છે કે $t_{1}+t_{2} = \pm r$.
રેખા $AB$ નો ઢાળ $m = \frac{2t_{2}-2t_{1}}{t_{2}^{2}-t_{1}^{2}} = \frac{2}{t_{1}+t_{2}}$ છે.
$t_{1}+t_{2} = \pm r$ મૂકતા,આપણને ઢાળ $m = \pm \frac{2}{r}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A, B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^{2}=ay$ છે,જેનો અર્થ છે $y=\frac{x^{2}}{a}$.
રેખાનું સમીકરણ $y=2x+1$ છે.
પરવલયના સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{x^{2}}{a}=2x+1 \Rightarrow x^{2}-2ax-a=0$.
ધારો કે બીજ $x_{1}$ અને $x_{2}$ છે. તો $x_{1}+x_{2}=2a$ અને $x_{1}x_{2}=-a$.
તફાવત $|x_{1}-x_{2}| = \sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}} = \sqrt{4a^{2}+4a} = 2\sqrt{a^{2}+a}$.
બિંદુઓ $y=2x+1$ પર હોવાથી,$(x_{1}, y_{1})$ અને $(x_{2}, y_{2})$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$ છે.
$y_{2}-y_{1} = 2(x_{2}-x_{1})$ હોવાથી,$d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+4(x_{2}-x_{1})^{2}} = |x_{2}-x_{1}|\sqrt{5}$.
આપેલ છે કે $d=\sqrt{40}$,તેથી $\sqrt{40} = 2\sqrt{a^{2}+a} \cdot \sqrt{5} \Rightarrow \sqrt{40} = \sqrt{20(a^{2}+a)}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $40 = 20(a^{2}+a) \Rightarrow a^{2}+a-2=0$.
$(a+2)(a-1)=0$,તેથી $a=1$ અથવા $a=-2$.

(A) $\triangle OAB$ સમબાજુ ત્રિકોણ છે અને $O$ શિરોબિંદુ $(0,0)$ છે,તેથી પરવલયની ધરી ($x$-અક્ષ) $\angle AOB$ ને દુભાગે છે.
આમ,$OA$ દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનતો ખૂણો $30^{\circ}$ છે.
$OA$ નો ઢાળ $m = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
રેખા $OA$ નું સમીકરણ $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ છે.
$y = \frac{x}{\sqrt{3}}$ ને પરવલય $y^2 = 4ax$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2 = 4ax \Rightarrow \frac{x^2}{3} = 4ax$.
બિંદુ $A$ માટે $x \neq 0$ હોવાથી,$x = 12a$.
તેથી $y = \frac{12a}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}a$.
બિંદુ $A$ એ $(12a, 4\sqrt{3}a)$ છે.
$AB$ એ $x$-અક્ષને લંબ હોવાથી,લંબાઈ $AB = 2y_A = 2(4\sqrt{3}a) = 8\sqrt{3}a$.
$\triangle OAB$ સમબાજુ હોવાથી,બાજુની લંબાઈ $8\sqrt{3}a$ છે.

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $(at^2, 2at)$ બિંદુએ $yt = x + at^2$ છે.
અહીં,$4a = 9$,તેથી $a = \frac{9}{4}$.
સ્પર્શક $(4, 10)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $10t = 4 + \frac{9}{4}t^2$.
$4$ વડે ગુણતા,$40t = 16 + 9t^2$,અથવા $9t^2 - 40t + 16 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(9t - 4)(t - 4) = 0$,જે $t = 4$ અથવા $t = \frac{4}{9}$ આપે છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{1}{t} = \tan \theta$ છે.
આપેલ છે કે $\tan \theta > 2$,તેથી $\frac{1}{t} > 2$,જેનો અર્થ છે કે $t < \frac{1}{2}$.
આમ,$t = \frac{4}{9}$ એ યોગ્ય પેરામીટર છે.
સ્પર્શબિંદુ $(at^2, 2at) = \left(\frac{9}{4} \times \left(\frac{4}{9}\right)^2, 2 \times \frac{9}{4} \times \frac{4}{9}\right) = \left(\frac{4}{9}, 2\right)$ છે.

(A) બિંદુ $P$ ના યામ $(at^2, 2at)$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + at^2$ છે. $y=0$ લેતા,$x = -at^2$ મળે,તેથી $T = (-at^2, 0)$.
$P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે. $y=0$ લેતા,$x = 2a + at^2$ મળે,તેથી $G = (2a + at^2, 0)$.
સ્પર્શક અને અભિલંબ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$\angle PTG = 90^\circ$,જે સૂચવે છે કે $TG$ એ $P, T$ અને $G$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વ્યાસ $TG$ ની લંબાઈ $= |(2a + at^2) - (-at^2)| = |2a + 2at^2| = 2a(1+t^2)$.
તેથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા $\frac{1}{2} TG = a(1+t^2)$ છે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y = ax^2 + bx + c$ છે.
બિંદુ $(1,1)$ પરવલય પર હોવાથી,$1 = a(1)^2 + b(1) + c$,તેથી $a + b + c = 1$ ...$(1)$.
બિંદુ $(-1,0)$ પરવલય પર હોવાથી,$0 = a(-1)^2 + b(-1) + c$,તેથી $a - b + c = 0$ ...$(2)$.
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા,$2b = 1$,તેથી $b = \frac{1}{2}$.
$b = \frac{1}{2}$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$a + c = \frac{1}{2}$ ...$(3)$.
કોઈપણ બિંદુ $(x,y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2ax + b$ છે.
બિંદુ $(1,1)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $2a(1) + b = 2a + b$ છે.
રેખા $y=x$ નો ઢાળ $1$ છે,તેથી $2a + b = 1$.
$b = \frac{1}{2}$ મૂકતા,$2a + \frac{1}{2} = 1$,તેથી $2a = \frac{1}{2}$,એટલે કે $a = \frac{1}{4}$.
$(3)$ પરથી,$c = \frac{1}{2} - a = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
આમ,$a = \frac{1}{4}, b = \frac{1}{2}, c = \frac{1}{4}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $y^{2}-4y=4x-4a$ છે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(y-2)^{2}-4=4x-4a$ મળે.
આ સાદું રૂપ આપતા $(y-2)^{2}=4(x-(a-1))$ મળે.
આથી,શિરોબિંદુ $(a-1, 2)$ છે.
શિરોબિંદુ રેખાઓ $L_1: x+y-3=0$ અને $L_2: 2x+2y-1=0$ ની વચ્ચે આવેલું છે.
તેથી,$(a-1+2-3)(2(a-1)+2(2)-1) < 0$.
$(a-2)(2a+1) < 0$.
આ અસમતા ઉકેલતા,$a \in \left(-\frac{1}{2}, 2\right)$ મળે છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=12x$ છે. $y^{2}=4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a=12$,તેથી $a=3$ મળે.
આપેલ રેખા $y=4x+3$ નો ઢાળ $m=4$ છે.
પરવલય $y^{2}=4ax$ ના બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ આગળના અભિલંબનો ઢાળ $m_{n} = -\frac{y_{1}}{2a}$ છે.
અભિલંબ રેખા $y=4x+3$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $4$ થશે. તેથી,$-\frac{y_{1}}{2(3)} = 4$,જે $y_{1} = -24$ આપે છે.
$y_{1} = -24$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા,$(-24)^{2} = 12x$,તેથી $576 = 12x$,જે $x_{1} = 48$ આપે છે.
પરવલય પરનું બિંદુ $(48, -24)$ છે.
$(48, -24)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y - (-24) = 4(x - 48)$ છે,જે $4x - y - 216 = 0$ થાય છે.
આપેલ રેખા $4x - y + 3 = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_{1} = 0$ અને $Ax + By + C_{2} = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_{1} - C_{2}|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ છે.
અહીં,$d = \frac{|3 - (-216)|}{\sqrt{4^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{|3 + 216|}{\sqrt{16 + 1}} = \frac{219}{\sqrt{17}}$.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 64x$ $(i)$ છે.
પરવલય પરનું બિંદુ જે રેખા $4x + 3y + 35 = 0$ ની સૌથી નજીક હોય ત્યાં સ્પર્શક રેખાને સમાંતર હોય છે.
રેખા $4x + 3y + 35 = 0$ નો ઢાળ $m = -\frac{4}{3}$ છે.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 64$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{32}{y}$ મળે.
સ્પર્શક રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોય:
$\frac{32}{y} = -\frac{4}{3} \Rightarrow y = -24$.
$y = -24$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$(-24)^{2} = 64x$ $\Rightarrow 576 = 64x$ $\Rightarrow x = 9$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(9, -24)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $f(x) = x^{2} + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -b$ થાય.
પરવલય $y = f(x)$ નું શિરોબિંદુ $x = -\frac{b}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2}$ આગળ મળે છે.
હવે,$f(x)$ નું વિકલન કરતા:
$f'(x) = \frac{dy}{dx} = 2x + b$.
બિંદુ $x = \frac{\alpha + \beta}{2} = -\frac{b}{2}$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$f'\left(-\frac{b}{2}\right) = 2\left(-\frac{b}{2}\right) + b = -b + b = 0$.
ઢાળ $0$ હોવાનો અર્થ એ છે કે સ્પર્શક રેખા આડી છે,એટલે કે તે $x$-અક્ષને સમાંતર છે.
તેથી,સ્પર્શક અને $x$-અક્ષની ધન દિશા વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ છે.

(A) આપેલ પરવલયો $y = x^{2}$ અને $y = -(x-2)^{2}$ છે.
$y = x^{2}$ નો સ્પર્શક $y = mx - \frac{m^{2}}{4}$ છે.
આ રેખા $y = -(x-2)^{2}$ નો પણ સ્પર્શક છે,જેને $(y-0) = -1(x-2)^{2}$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $y = mx + c$ એ $y = a(x-h)^{2} + k$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $c = k - \frac{m^{2}}{4a}$ છે.
અહીં,$a = -1, h = 2, k = 0$. તેથી,$c = 0 - \frac{m^{2}}{4(-1)} = \frac{m^{2}}{4}$.
$c$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$-\frac{m^{2}}{4} = \frac{m^{2}}{4}$ $\Rightarrow \frac{m^{2}}{2} = 0$ $\Rightarrow m = 0$.
$m = 0$ માટે,સ્પર્શક $y = 0$ છે.
$m$ ની માત્ર એક જ કિંમત હોવાથી,માત્ર $1$ સામાન્ય સ્પર્શક મળે છે.

(C) પરવલયોના સમીકરણો $y^2=4ax$ અને $x^2=4by$ છે.
$y^2=4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx-2am-am^3$ છે.
$x^2=4by$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx+2b+\frac{b}{m^2}$ છે.
સામાન્ય અભિલંબ માટે,સમીકરણો સમાન હોવા જોઈએ,તેથી $-2am-am^3 = 2b+\frac{b}{m^2}$.
$m^2$ વડે ગુણતા,આપણને $-2am^3-am^5 = 2bm^2+b$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$am^5+2am^3+2bm^2+b=0$ મળે છે.
આ $m$ માં $5$ ઘાતનું બહુપદી સમીકરણ હોવાથી,$m$ માટે વધુમાં વધુ $5$ વાસ્તવિક ઉકેલો મળે.
તેથી,સામાન્ય અભિલંબની મહત્તમ સંખ્યા $5$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = x$ છે,જે $y^{2} = 4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $4a = 1$,તેથી $a = \frac{1}{4}$ થાય.
પરવલય $y^{2} = 4ax$ માટે,બિંદુ $(h, k)$ માંથી ત્રણ ભિન્ન અભિલંબ દોરવાની શરત $h > 2a$ છે.
અહીં,બિંદુ $(d, 0)$ છે,તેથી $h = d$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $d > 2 \times \frac{1}{4}$ મળે છે.
તેથી,$d > \frac{1}{2}$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે,જ્યાં $4a = 4$,તેથી $a = 1$.
પરવલય $y^2 = 4x$ ની નિયામિકા (directrix) $x = -a$ એટલે કે $x = -1$ છે.
આપેલ બિંદુ $(-1, -6)$ છે.
બિંદુનો $x$-યામ $-1$ હોવાથી,તે પરવલયની નિયામિકા પર આવેલું છે.
પરવલયના ગુણધર્મ મુજબ,નિયામિકા પરના કોઈપણ બિંદુમાંથી દોરેલા સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ હોય છે.
તેથી,બે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\pi / 2$ છે.

(C) ધારો કે પરવલય $y^{2}=4x$ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના યામ અનુક્રમે $(t^{2}, 2t)$ અને $(m^{2}, 2m)$ છે. પરવલયનું શિરોબિંદુ $X(0, 0)$ છે.
$PQ$ એ શિરોબિંદુ $X$ પર કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $XP$ અને $XQ$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$XP$ નો ઢાળ $= \frac{2t-0}{t^{2}-0} = \frac{2}{t}$.
$XQ$ નો ઢાળ $= \frac{2m-0}{m^{2}-0} = \frac{2}{m}$.
આપેલ છે કે,$(\frac{2}{t}) \times (\frac{2}{m}) = -1 \Rightarrow tm = -4$.
$(t^{2}, 2t)$ અને $(m^{2}, 2m)$ માંથી પસાર થતી રેખા $PQ$ નું સમીકરણ:
$y - 2t = \frac{2m-2t}{m^{2}-t^{2}}(x - t^{2})$
$y - 2t = \frac{2(m-t)}{(m-t)(m+t)}(x - t^{2})$
$y - 2t = \frac{2}{m+t}(x - t^{2})$.
$PQ$ એ પરવલયની અક્ષ ($x$-અક્ષ) ને $R(\alpha, 0)$ માં છેદે છે,તેથી $y=0$ અને $x=\alpha$ મૂકતા:
$0 - 2t = \frac{2}{m+t}(\alpha - t^{2})$
$-t(m+t) = \alpha - t^{2}$
$-tm - t^{2} = \alpha - t^{2}$
$\alpha = -tm$.
$tm = -4$ હોવાથી,$\alpha = -(-4) = 4$.
આમ,શિરોબિંદુ $X(0, 0)$ થી $R(4, 0)$ નું અંતર $4$ છે.

(D) પરવલય $x^2=8y$ નું શિરોબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $Q$ ના યામ $(x_1, y_1)$ છે. કારણ કે $Q$ પરવલય પર છે,તેથી $x_1^2 = 8y_1$.
ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(h, k)$ છે.
વિભાજનના સૂત્ર મુજબ,$P$ એ $OQ$ નું $1:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે:
$h = \frac{1 \cdot x_1 + 3 \cdot 0}{1+3} = \frac{x_1}{4} \Rightarrow x_1 = 4h$
$k = \frac{1 \cdot y_1 + 3 \cdot 0}{1+3} = \frac{y_1}{4} \Rightarrow y_1 = 4k$
આ કિંમતોને પરવલયના સમીકરણ $x_1^2 = 8y_1$ માં મૂકતા:
$(4h)^2 = 8(4k)$
$16h^2 = 32k$
$h^2 = 2k$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,$P$ નો બિંદુપથ $x^2 = 2y$ મળે છે.

(D) ધારો કે પરવલય $(y - 6)^2 = 2(x - 4)$ પરના બિંદુ $Q$ ના યામ $(4 + \frac{t^2}{2}, 6 + t)$ છે.
આપેલ છે $P = (2, 0)$.
ધારો કે $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $R(h, k)$ છે.
તેથી $h = \frac{2 + 4 + \frac{t^2}{2}}{2} = 3 + \frac{t^2}{4}$ અને $k = \frac{0 + 6 + t}{2} = 3 + \frac{t}{2}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$\frac{t}{2} = k - 3$,તેથી $t = 2(k - 3)$.
$h$ ના સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા:
$h = 3 + \frac{(2(k - 3))^2}{4} = 3 + \frac{4(k - 3)^2}{4} = 3 + (k - 3)^2$.
$h - 3 = (k - 3)^2$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,આપણને $(y - 3)^2 = x - 3$ મળે છે.
$y^2 - 6y + 9 = x - 3$.
$y^2 - 6y - x + 12 = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણ $6y = 2a^3x^2 + 3a^2x - 12a$ છે.
$2a^3$ વડે ભાગતા,$x^2 + \frac{3}{2a}x = \frac{6y + 12a}{2a^3}$ મળે.
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x + \frac{3}{4a})^2 = \frac{48y + 105a}{16a^3}$ મળે.
શિરોબિંદુ $(h, k)$ માટે $h = -\frac{3}{4a}$ અને $k = -\frac{35a}{16}$ થાય.
$h = -\frac{3}{4a}$ પરથી $a = -\frac{3}{4h}$ મળે.
$k$ માં $a$ ની કિંમત મૂકતા: $k = \frac{105}{64h}$ મળે.
તેથી,બિંદુપથ $xy = \frac{105}{64}$ છે.

(D) ધારો કે જીવા શિરોબિંદુ $V(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને પરવલય $y^{2}=4ax$ ને $P(at^{2}, 2at)$ માં છેદે છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ જીવા $VP$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$h = \frac{at^{2}+0}{2} = \frac{at^{2}}{2}$ અને $k = \frac{2at+0}{2} = at$.
$k = at$ પરથી,આપણને $t = \frac{k}{a}$ મળે છે.
$h$ ના સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા: $h = \frac{a}{2} \left(\frac{k}{a}\right)^{2} = \frac{k^{2}}{2a}$.
આમ,$k^{2} = 2ah$.
મધ્યબિંદુ $(h, k)$ નો બિંદુપથ $y^{2} = 2ax$ છે.
આને $(y-0)^{2} = 4\left(\frac{a}{2}\right)(x-0)$ તરીકે લખી શકાય.
પરવલય $Y^{2} = 4AX$ માટે,નિયામિકા $X = -A$ છે.
અહીં,$A = \frac{a}{2}$,તેથી નિયામિકા $x = -\frac{a}{2}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $(7x+5)^{2}+(7y+3)^{2}=\lambda^{2}(4x+3y-24)^{2}$ છે.
આ સમીકરણ $SP^{2} = \lambda^{2} PM^{2}$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $S$ નાભિ છે અને $PM$ એ નિયામિકાથી લંબ અંતર છે.
પરવલય માટે ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = 1$ હોવી જોઈએ.
અહીં,$e = \lambda \cdot \frac{\sqrt{4^2+3^2}}{7} = \lambda \cdot \frac{5}{7}$.
પરવલય માટે $e = 1$ હોવાથી,$\lambda \cdot \frac{5}{7} = 1$.
તેથી,$\lambda = \pm \frac{7}{5}$.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી જીવાનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
જીવાનું સમીકરણ $y = \frac{k}{h}x$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માં કિંમત મૂકતા,આપણને $k^2 = 2ah$ મળે છે.
તેથી,બિંદુપથ $y^2 = 2ax$ છે,જે એક પરવલય છે.

(B) પરવલય $y^{2}=8x$ છે,તેથી $4a=8 \Rightarrow a=2$. નાભિ $A$ એ $(2,0)$ છે.
ધારો કે બિંદુઓ $B$ અને $C$ અનુક્રમે $(2t_{1}^{2}, 4t_{1})$ અને $(2t_{2}^{2}, 4t_{2})$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{2t_{1}^{2}+2t_{2}^{2}+2}{3}, \frac{4t_{1}+4t_{2}+0}{3}) = (\frac{7}{3}, \frac{4}{3})$ છે.
યામોને સરખાવતા:
$2(t_{1}^{2}+t_{2}^{2}+1) = 7 \Rightarrow t_{1}^{2}+t_{2}^{2} = \frac{5}{2}$.
$4(t_{1}+t_{2}) = 4 \Rightarrow t_{1}+t_{2} = 1$.
હવે,$(t_{1}-t_{2})^{2} = (t_{1}+t_{2})^{2} - 4t_{1}t_{2}$.
$t_{1}^{2}+t_{2}^{2} = (t_{1}+t_{2})^{2} - 2t_{1}t_{2} = \frac{5}{2}$ હોવાથી,$1 - 2t_{1}t_{2} = \frac{5}{2}$ $\Rightarrow 2t_{1}t_{2} = -\frac{3}{2}$ $\Rightarrow t_{1}t_{2} = -\frac{3}{4}$.
તેથી,$(t_{1}-t_{2})^{2} = 1 - 4(-\frac{3}{4}) = 1+3 = 4$.
$(BC)^{2} = (2t_{1}^{2}-2t_{2}^{2})^{2} + (4t_{1}-4t_{2})^{2} = 4(t_{1}^{2}-t_{2}^{2})^{2} + 16(t_{1}-t_{2})^{2}$.
$(BC)^{2} = 4(t_{1}+t_{2})^{2}(t_{1}-t_{2})^{2} + 16(t_{1}-t_{2})^{2} = 4(1)^{2}(4) + 16(4) = 16 + 64 = 80$.

(C) પરવલય $x^2 = 4y$ પરનું પ્રચલ બિંદુ $P(2t, t^2)$ છે.
રેખા $x - y - 1 = 0$ માં $P$ નું પ્રતિબિંબ $Q(h, k)$ છે.
પ્રતિબિંબના સૂત્ર મુજબ,$\frac{h - 2t}{1} = \frac{k - t^2}{-1} = -2 \frac{2t - t^2 - 1}{2} = t^2 - 2t + 1$.
આથી,$h = t^2 + 1$ અને $k = 2t - 1$.
$k = 2t - 1$ પરથી $t = \frac{k + 1}{2}$ મળે.
$h = t^2 + 1$ માં $t$ ની કિંમત મૂકતા,$h = (\frac{k + 1}{2})^2 + 1$.
$h - 1 = \frac{(k + 1)^2}{4} \implies (k + 1)^2 = 4(h - 1)$.
આમ,પ્રતિબિંબિત પરવલયનું સમીકરણ $(y + 1)^2 = 4(x - 1)$ છે.
સરખામણી કરતા $a = 1, b = 4, c = 1$ મળે.
તેથી,$a + b + c = 1 + 4 + 1 = 6$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=16x$ છે,જે $y^{2}=4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a=4$.
ધારો કે બિંદુ $A$ ના યામ $(at_{1}^{2}, 2at_{1}) = (16, 16)$ છે.
તેથી,$2(4)t_{1} = 16 \Rightarrow t_{1}=2$.
$AB$ નાભિ જીવા હોવાથી,તેના અંત્યબિંદુઓના પ્રાચલનો ગુણાકાર $t_{1}t_{2}=-1$ થાય.
તેથી,$2t_{2}=-1 \Rightarrow t_{2}=-\frac{1}{2}$.
બિંદુ $B$ ના યામ $(at_{2}^{2}, 2at_{2}) = (4(-\frac{1}{2})^{2}, 2(4)(-\frac{1}{2})) = (1, -4)$ મળે.
બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ જીવા $AB$ નું $5:2$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
કિસ્સો $1$: $P$ એ $AB$ નું $5:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે:
$\alpha = \frac{5(1) + 2(16)}{5+2} = \frac{37}{7}$,$\beta = \frac{5(-4) + 2(16)}{5+2} = \frac{12}{7}$.
$\alpha+\beta = \frac{37+12}{7} = \frac{49}{7} = 7$.
કિસ્સો $2$: $P$ એ $BA$ નું $5:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે:
$\alpha = \frac{5(16) + 2(1)}{5+2} = \frac{82}{7}$,$\beta = \frac{5(16) + 2(-4)}{5+2} = \frac{72}{7}$.
$\alpha+\beta = \frac{82+72}{7} = \frac{154}{7} = 22$.
$\alpha+\beta$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $7$ છે.

(C) પરવલય $y^{2}=12x$ છે,તેથી $4a=12 \Rightarrow a=3$. પરવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(3t^{2}, 6t)$ તરીકે લઈ શકાય.
$OP$ નો ઢાળ $m_{OP} = \frac{2}{t}$ છે.
$\angle OPA=90^{\circ}$ હોવાથી,$OP \perp PA$,તેથી $PA$ નો ઢાળ $m_{PA} = -\frac{t}{2}$ છે.
$PA$ રેખાનું સમીકરણ $y-6t = -\frac{t}{2}(x-3t^{2})$ છે.
$x$-અક્ષ પરના બિંદુ $A$ માટે,$y=0$ લેતા: $x = 3t^{2}+12$.
તેથી,$A = (3t^{2}+12, 0)$.
$\triangle OPA$ ના મધ્યકેન્દ્ર $G(h, k)$ માટે:
$h = \frac{6t^{2}+12}{3} = 2t^{2}+4$ અને $k = \frac{6t}{3} = 2t$.
$t = \frac{k}{2}$ લેતા,$h = 2(\frac{k}{2})^{2}+4 = \frac{k^{2}}{2}+4$.
$2h = k^{2}+8 \Rightarrow k^{2} = 2h-8$.
આમ,બિંદુપથ $y^{2} = 2x-8$ અથવા $y^{2}-2x+8=0$ છે.

(B) ધારો કે પરવલય $y^2=4x$ છે. પરવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(t^2, 2t)$ છે.
જીવા ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ અને $P(t^2, 2t)$ માંથી પસાર થાય છે.
જીવા $OP$ નું મધ્યબિંદુ $M(h, k)$ એ $h = \frac{t^2+0}{2} = \frac{t^2}{2}$ અને $k = \frac{2t+0}{2} = t$ દ્વારા મળે છે.
$t=k$ ને $h = \frac{t^2}{2}$ માં મૂકતા,આપણને $h = \frac{k^2}{2}$ મળે છે,તેથી $k^2=2h$.
બિંદુપથ $S$ એ $y^2=2x$ છે.
ધારો કે $P(x_0, y_0)$ એ $S$ પરનું બિંદુ છે,તેથી $y_0^2=2x_0$. $P$ એ $S$ પર હોવાથી,આપણે $P$ ને $(2t^2, 2t)$ તરીકે લખી શકીએ કારણ કે $(2t)^2 = 2(2t^2)$.
ધારો કે $R(x, y)$ એ બિંદુ છે જે $OP$ નું $3:1$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{3(2t^2) + 1(0)}{3+1} = \frac{6t^2}{4} = \frac{3t^2}{2}$
$y = \frac{3(2t) + 1(0)}{3+1} = \frac{6t}{4} = \frac{3t}{2}$
$y = \frac{3t}{2}$ પરથી,આપણને $t = \frac{2y}{3}$ મળે છે.
$t$ ની કિંમત $x = \frac{3t^2}{2}$ માં મૂકતા:
$x = \frac{3}{2} \left(\frac{2y}{3}\right)^2 = \frac{3}{2} \cdot \frac{4y^2}{9} = \frac{2y^2}{3}$
આમ,$3x = 2y^2$,અથવા $2y^2=3x$.

(A) પરવલય $y^{2} = 4ax$ માટે,જ્યાં $4a = 12$,તેથી $a = 3$. પરવલય પરના બિંદુઓ $P_{1}(3t_{1}^{2}, 6t_{1})$ અને $P_{2}(3t_{2}^{2}, 6t_{2})$ છે.
જીવા $P_{1}P_{2}$ શિરોબિંદુ $(0, 0)$ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $OP_{1}$ અને $OP_{2}$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
ઢાળ $m_{1} = \frac{6t_{1}}{3t_{1}^{2}} = \frac{2}{t_{1}}$ અને $m_{2} = \frac{6t_{2}}{3t_{2}^{2}} = \frac{2}{t_{2}}$.
તેથી,$(\frac{2}{t_{1}})(\frac{2}{t_{2}}) = -1 \implies t_{1}t_{2} = -4$.
હવે,$x_{1}x_{2} = (3t_{1}^{2})(3t_{2}^{2}) = 9(t_{1}t_{2})^{2} = 9(-4)^{2} = 9(16) = 144$.
અને $y_{1}y_{2} = (6t_{1})(6t_{2}) = 36(t_{1}t_{2}) = 36(-4) = -144$.
તેથી,$x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} = 144 - (-144) = 144 + 144 = 288$.