Parabola Questions in Gujarati

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=4ax$ છે,જ્યાં $a=1$ છે.
પરવલય $y^2=4ax$ પરના બિંદુ $(at^2, 2at)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
જો આ અભિલંબ $(9,6)$ માંથી પસાર થાય,તો $6 = -9t + 2(1)t + (1)t^3$.
$6 = -7t + t^3 \Rightarrow t^3 - 7t - 6 = 0$.
કિંમતો તપાસતા,$t=-1$ એ એક ઉકેલ છે: $(-1)^3 - 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$.
$(t+1)$ વડે ભાગતા,આપણને $(t+1)(t^2 - t - 6) = 0 \Rightarrow (t+1)(t-3)(t+2) = 0$ મળે છે.
ઉકેલો $t = -1, 3, -2$ છે.
$t$ માટે $3$ ભિન્ન વાસ્તવિક કિંમતો હોવાથી,બિંદુ $(9,6)$ માંથી પરવલય પર $3$ ભિન્ન અભિલંબ દોરી શકાય છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 9x$ છે. $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 9$,તેથી $a = \frac{9}{4}$.
બિંદુ $P(9, 9)$ આગળ,પ્રાચલ $t_1$ લઈએ. તો $2at_1 = 9$ $\Rightarrow 2(\frac{9}{4})t_1 = 9$ $\Rightarrow t_1 = 2$.
$t_1$ આગળનો અભિલંબ પરવલયને $t_2$ આગળ મળે છે,જ્યાં $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1} = -2 - \frac{2}{2} = -3$.
$Q(a, b)$ ના યામ $(at_2^2, 2at_2) = (\frac{9}{4} \times (-3)^2, 2 \times \frac{9}{4} \times (-3)) = (\frac{81}{4}, -\frac{27}{2})$ છે.
આમ,$a = \frac{81}{4}$ અને $b = -\frac{27}{2}$.
$2a + b = 2(\frac{81}{4}) + (-\frac{27}{2}) = \frac{81}{2} - \frac{27}{2} = \frac{54}{2} = 27$.

(D) પરવલય $y^2=4ax$ ના અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx-2am-am^3$ છે.
પરવલય $y^2=4x$ માટે $a=1$ છે,તેથી સમીકરણ $y=mx-2m-m^3$ થાય.
અભિલંબ $(5,0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$x=5$ અને $y=0$ મૂકતા:
$0 = m(5) - 2m - m^3$
$0 = 3m - m^3$
$m(3 - m^2) = 0$
તેથી,ઢાળ $m=0$ અને $m=\pm\sqrt{3}$ મળે છે.
$m=\sqrt{3}$ માટે,અભિલંબનું સમીકરણ $y=\sqrt{3}(x-5)$ એટલે કે $\sqrt{3}x-y-5\sqrt{3}=0$ થાય.

(B) આપેલ પરવલય $y^2=12x$ છે,તેથી $4a=12 \Rightarrow a=3$.
ઢાળ $m$ વાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx-2am-am^3$ છે,જે $y=mx-6m-3m^3$ બને છે.
અભિલંબ $P(8,0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$0=8m-6m-3m^3$.
$2m-3m^3=0 \Rightarrow m(2-3m^2)=0$.
ઢાળ $m_1=0$,$m_2=\sqrt{\frac{2}{3}}$,અને $m_3=-\sqrt{\frac{2}{3}}$ મળે છે.
બિન-આડા અભિલંબના ઢાળ $m_2=\sqrt{\frac{2}{3}}$ અને $m_3=-\sqrt{\frac{2}{3}}$ છે.
આ બે અભિલંબ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_2-m_3}{1+m_2m_3} \right|$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = \left| \frac{\sqrt{\frac{2}{3}} - (-\sqrt{\frac{2}{3}})}{1 + (\sqrt{\frac{2}{3}})(-\sqrt{\frac{2}{3}})} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{1}{3}} \right| = 2\sqrt{6}$.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે.
અહીં $y^2 = 8x$ હોવાથી $a = 2$,તેથી સ્પર્શક $y = mx + \frac{2}{m}$ થાય.
આપેલ રેખા $2x + 3y + n = 0$ ને $y = -\frac{2}{3}x - \frac{n}{3}$ તરીકે લખતા.
ઢાળની સરખામણી કરતા,$m = -\frac{2}{3}$.
અંત:ખંડની સરખામણી કરતા,$-\frac{n}{3} = \frac{2}{m} = -3$,તેથી $n = 9$.
સ્પર્શબિંદુ $(2n, 4\sqrt{n}) = (18, 12)$ છે.
પરવલય $y^2 = 8x$ માટે,બિંદુ $(at^2, 2at)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
અહીં $(at^2, 2at) = (18, 12)$ અને $a = 2$ હોવાથી,$2t^2 = 18 \Rightarrow t = 3$.
અભિલંબનું સમીકરણ $y = -3x + 2(2)(3) + 2(3)^3 = -3x + 12 + 54$ થાય.
આમ,$3x + y - 66 = 0$.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=x$ છે,જે $y^2=4ax$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી $4a=1$ અથવા $a=\frac{1}{4}$.
પરવલય પરના કોઈપણ બિંદુને $(at^2, 2at) = (\frac{t^2}{4}, \frac{t}{2})$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1/2}{t/2} = \frac{1}{t}$ છે.
આ બિંદુએ અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{\text{સ્પર્શકનો ઢાળ}} = -t$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અભિલંબનો ઢાળ તે બિંદુના $x$-યામ જેટલો છે:
$-t = \frac{t^2}{4}$.
તેથી $t^2 + 4t = 0$,જેનો અર્થ છે $t(t+4) = 0$.
આમ,$t=0$ અથવા $t=-4$.
$t$ ના આ બે મૂલ્યો પરવલય પરના બે અલગ-અલગ બિંદુઓ દર્શાવે છે.
તેથી,આવા $2$ બિંદુઓ શક્ય છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=12x$ છે.
$y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$a=3$ મળે.
કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y_1} = \frac{6}{y_1}$ છે.
$A(3,-6)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{6}{-6} = -1$ છે.
તેથી,$A(3,-6)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m = -1/(-1) = 1$ છે.
$A(3,-6)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - (-6) = 1(x - 3)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = x - 9$ થાય છે.
છેદબિંદુ $P$ શોધવા માટે,$y = x - 9$ ને $y^2 = 12x$ માં મૂકતા:
$(x-9)^2 = 12x$ $\Rightarrow x^2 - 18x + 81 = 12x$ $\Rightarrow x^2 - 30x + 81 = 0$.
$(x-3)(x-27) = 0$.
$x=3$ એ બિંદુ $A$ હોવાથી,બિંદુ $P$ માટે $x=27$ મળે.
તેથી $y = 27 - 9 = 18$. આમ,$P(27, 18)$ મળે.
$P(27, 18)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x+x_1)$ મુજબ:
$y(18) = 2(3)(x+27)$ $\Rightarrow 18y = 6(x+27)$ $\Rightarrow 3y = x+27$ $\Rightarrow x-3y+27=0$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=4ax$ છે,જ્યાં $a=1$.
બિંદુ $(h,k)$ માંથી પસાર થતા અભિલંબનું સમીકરણ $my^3 + (2a-h)m^2 + k^2m - k = 0$ છે.
બિંદુ $(5,0)$ માટે,$h=5$ અને $k=0$ છે.
સમીકરણ $m(y^2-3)=0$ બને છે.
ત્રણ અભિલંબના લંબપાદો $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ છે.
પરવલય $y^2=4ax$ માટે,ત્રણ અભિલંબના લંબપાદો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{2}{3}(h-2a), 0\right)$ છે.
$h=5$ અને $a=1$ મુકતા,મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{2}{3}(5-2(1)), 0\right) = (2,0)$ મળે છે.

(B) આપેલ છે,અભિલંબનું સમીકરણ $mx - y + c = 0$.
પરવલય $y^2 = 16x$.
$y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$a = 4$ મળે.
બિંદુ $P$ ના યામ $(at^2, 2at) = (4t^2, 8t)$ ધારો.
બિંદુ $P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{1}{t}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m = -t$ છે,તેથી $t = -m$.
આમ,બિંદુ $P$ એ $(4m^2, -8m)$ છે.
બિંદુ $(at^2, 2at)$ નું નાભિ અંતર $a(1 + t^2)$ છે.
નાભિ અંતર $= 40$ આપેલ છે,તેથી $4(1 + t^2) = 40$ $\Rightarrow 1 + t^2 = 10$ $\Rightarrow t^2 = 9$ $\Rightarrow t = \pm 3$.
$t = -m$ હોવાથી,$m = \mp 3$,તેથી $m^2 = 9$.
બિંદુ $P$ એ $(4(9), 8(\mp 3)) = (36, \mp 24)$ છે.
$P$ એ અભિલંબ $mx - y + c = 0$ પર હોવાથી,$m(36) - (\mp 24) + c = 0$ મળે.
$m = \mp 3$ મૂકતા: $(\mp 3)(36) \pm 24 + c = 0 \Rightarrow \mp 108 \pm 24 + c = 0$.
જો $m = -3$ હોય,તો $t = 3$,$P = (36, 24)$,અભિલંબ $-3x - y + c = 0$ $\Rightarrow -3(36) - 24 + c = 0$ $\Rightarrow -108 - 24 + c = 0$ $\Rightarrow c = 132$.
જો $m = 3$ હોય,તો $t = -3$,$P = (36, -24)$,અભિલંબ $3x - y + c = 0$ $\Rightarrow 3(36) - (-24) + c = 0$ $\Rightarrow 108 + 24 + c = 0$ $\Rightarrow c = -132$.
બંને કિસ્સામાં,$|c| = 132$ મળે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 12x$ છે,જે $y^2 = 4ax$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી $a = 3$.
બિંદુ $P(3, 6)$ માટે $at^2 = 3$ અને $2at = 6$. $a = 3$ મૂકતા,$3t^2 = 3 \implies t = 1$.
$t$ આગળ અભિલંબ જીવાની લંબાઈ $l_1 = 2a(t^2+2) \sqrt{t^2+1}$ છે. $t = 1$ માટે,$l_1 = 2(3)(1+2) \sqrt{1+1} = 18 \sqrt{2}$.
$P(at^2, 2at)$ માંથી પસાર થતી નાભિ જીવાની લંબાઈ $l_2 = a(t + \frac{1}{t})^2$ છે. $t = 1$ માટે,$l_2 = 3(1 + 1)^2 = 12$.
તેથી,$\frac{l_1}{l_2} = \frac{18 \sqrt{2}}{12} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$.

(B) આપેલ પરવલય $y^2=16x$ માટે, $4a=16$ હોવાથી $a=4$ મળે।
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(4, 8)$ અને $(4, -8)$ છે।
બિંદુ $(4, 8)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = 1$ છે, તેથી અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -1$ થાય।
બિંદુ $(4, 8)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 8 = -1(x - 4) \implies y = -x + 12$ છે।
આ અભિલંબ $X$-અક્ષને $(12, 0)$ બિંદુ $P$ પર છેદે છે।
જીવા બિંદુ $P(12, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને અભિલંબને લંબ છે, તેથી જીવાનો ઢાળ $1$ છે।
જીવાનું સમીકરણ $y = x - 12$ છે।
$y = x - 12$ ને $y^2 = 16x$ માં મૂકતા, $(x - 12)^2 = 16x \implies x^2 - 40x + 144 = 0$ મળે।
ઉકેલતા $x = 4$ અને $x = 36$ મળે।
તેથી બિંદુઓ $(4, -8)$ અને $(36, 24)$ મળે।
જીવાની લંબાઈ $\sqrt{(36 - 4)^2 + (24 - (-8))^2} = \sqrt{32^2 + 32^2} = 32 \sqrt{2}$ થાય।

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 16x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$a = 4$ મળે છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે.
$a = 4$ મૂકતા,અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 8m - 4m^3$ થાય છે.
આપેલ રેખા $y = -x + k$ અભિલંબ હોવાથી,ઢાળ સરખાવતા $m = -1$ મળે છે.
$m = -1$ ને અભિલંબના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = (-1)x - 8(-1) - 4(-1)^3$
$y = -x + 8 + 4$
$y = -x + 12$
આને $y = -x + k$ સાથે સરખાવતા,$k = 12$ મળે છે.

(C) આપેલ વક્ર $y^2 = x$ છે,જે $y^2 = 4ax$ સ્વરૂપનું પરવલય છે જ્યાં $a = \frac{1}{4}$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે.
$a = \frac{1}{4}$ મૂકતા,$y = mx - \frac{m}{2} - \frac{m^3}{4}$ મળે છે.
અભિલંબ $(c, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = mc - \frac{m}{2} - \frac{m^3}{4}$.
આનું સાદું રૂપ $m(c - \frac{1}{2} - \frac{m^2}{4}) = 0$ થાય છે.
આમ,$m = 0$ ($X$-અક્ષ) અથવા $m^2 = 4c - 2$.
બાકીના બે અભિલંબના ઢાળ $m_1 = \sqrt{4c - 2}$ અને $m_2 = -\sqrt{4c - 2}$ છે.
આ બે અભિલંબ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $-1$ થાય,એટલે કે $m_1 m_2 = -1$.
તેથી,$-(\sqrt{4c - 2})^2 = -1$,જેનો અર્થ છે કે $4c - 2 = 1$.
$c$ માટે ઉકેલતા,$4c = 3$,તેથી $c = \frac{3}{4}$.

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના બિંદુ $P(at^2, 2at)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y + tx = 2at + at^3$ છે.
ધારો કે આ અભિલંબ પરવલયને ફરીથી બિંદુ $Q$ પર મળે છે. ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ એ પરવલયનું શિરોબિંદુ છે.
રેખાઓ $OP$ અને $OQ$ નું સંયુક્ત સમીકરણ પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 4ax$ ને અભિલંબના સમીકરણ $\frac{y + tx}{2at + at^3} = 1$ નો ઉપયોગ કરીને સમઘાત બનાવીને મેળવવામાં આવે છે:
$y^2 = 4ax \left( \frac{y + tx}{2at + at^3} \right)$
$y^2(2at + at^3) = 4ax(y + tx)$
$4atx^2 + 4axy - (2at + at^3)y^2 = 0$
$OP$ અને $OQ$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$4at - (2at + at^3) = 0$
$2at - at^3 = 0$
$at(2 - t^2) = 0$
અભિલંબ જીવા માટે $t \neq 0$ હોવાથી,$t^2 = 2$,એટલે કે $t = \pm \sqrt{2}$.
અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે. આ અભિલંબનો ઢાળ $m = -t$ છે.
તેથી,ઢાળ $m = \mp \sqrt{2}$,જે $\pm \sqrt{2}$ ને સમાન છે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = x$ છે. $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 1$,તેથી $a = \frac{1}{4}$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે.
$a = \frac{1}{4}$ મૂકતા,સમીકરણ $y = mx - \frac{m}{2} - \frac{m^3}{4}$ બને છે.
જો આ અભિલંબ બિંદુ $(C, 0)$ માંથી પસાર થાય,તો $0 = mC - \frac{m}{2} - \frac{m^3}{4}$.
આનું સાદું રૂપ $m(C - \frac{1}{2} - \frac{m^2}{4}) = 0$ થાય છે.
એક ઉકેલ $m = 0$ છે,જે $x$-અક્ષ પરનો અભિલંબ દર્શાવે છે.
ત્રણ ભિન્ન અભિલંબ દોરવા માટે,દ્વિઘાત સમીકરણ $\frac{m^2}{4} = C - \frac{1}{2}$ ને બે ભિન્ન શૂન્યતર વાસ્તવિક ઉકેલો હોવા જોઈએ.
આ માટે $C - \frac{1}{2} > 0$ હોવું જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે કે $C > \frac{1}{2}$.

(C) પરવલય $y^2=4ax$ પરના બિંદુ $P(at^2, 2at)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y + tx = 2at + at^3$ છે.
ધારો કે આ અભિલંબ પરવલયને ફરીથી બિંદુ $Q$ પર મળે છે. શિરોબિંદુ $O(0,0)$ ને બિંદુઓ $P$ અને $Q$ સાથે જોડતી રેખાઓ $OP$ અને $OQ$ નું સંયુક્ત સમીકરણ પરવલયના સમીકરણ $y^2=4ax$ ને અભિલંબના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને સમઘાત બનાવીને મેળવવામાં આવે છે:
$y^2 = 4ax \left( \frac{y+tx}{2at+at^3} \right)$
$y^2(2at + at^3) = 4ax(y + tx)$
$y^2(2at + at^3) = 4axy + 4atx^2$
$4atx^2 + 4axy - (2at + at^3)y^2 = 0$
કારણ કે $OP$ અને $OQ$ કાટખૂણે છે,તેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$4at - (2at + at^3) = 0$
$4at - 2at - at^3 = 0$
$2at - at^3 = 0$
$at(2 - t^2) = 0$
અભિલંબ જીવા માટે $t \neq 0$ હોવાથી,આપણને $t^2 = 2$ મળે છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=12x$ છે. $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$a=3$ મળે છે.
પરવલય $y^2=4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx-2am-am^3$ છે.
આપેલ અભિલંબ $x+y=k$ છે,જેને $y=-x+k$ તરીકે લખી શકાય. તેથી,$m=-1$.
$m=-1$ અને $a=3$ ને અભિલંબના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = (-1)x - 2(3)(-1) - 3(-1)^3$
$y = -x + 6 + 3$
$y = -x + 9$
$y = -x + 9$ ને $x+y=k$ સાથે સરખાવતા,$k=9$ મળે છે.
પરવલય $y^2=12x$ ની નાભિ $S(a, 0) = (3, 0)$ છે.
નાભિ $(3, 0)$ થી રેખા $x+y-9=0$ પરના લંબની લંબાઈ $p$:
$p = \frac{|1(3) + 1(0) - 9|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$p^2 = \frac{36}{2} = 18$.
હવે,$4k - 2p^2$ ની ગણતરી કરતા:
$4(9) - 2(18) = 36 - 36 = 0$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=4ax$ છે,જ્યાં $a=1$. બિંદુ $(1,0)$ એ પરવલયનું નાભિ છે.
પરવલય $y^2=4ax$ પરના બિંદુ $(at^2, 2at)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
જો આ અભિલંબ બિંદુ $(h, k) = (1, 0)$ માંથી પસાર થાય,તો $0 = -t(1) + 2(1)t + (1)t^3$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $0 = t + t^3$ અથવા $t(1 + t^2) = 0$ મળે છે.
$t$ માટેનો વાસ્તવિક ઉકેલ $t=0$ છે.
$t=0$ માટે,અભિલંબ $y = 0$ છે,જે $x$-અક્ષ છે.
આમ,બિંદુ $(1,0)$ માંથી પરવલય $y^2=4x$ પર માત્ર $1$ અભિલંબ દોરી શકાય છે.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2=4x$ છે.
$P(1,2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y(2) = 2(x+1)$ એટલે કે $y = x+1$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = 1$ છે.
તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $m' = -1$ થશે.
$P(1,2)$ માંથી પસાર થતા અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2 = -1(x - 1)$ એટલે કે $x + y = 3$ અથવા $x = 3 - y$ છે.
આ કિંમતને પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 4x$ માં મૂકતા:
$y^2 = 4(3 - y)$
$y^2 = 12 - 4y$
$y^2 + 4y - 12 = 0$
$(y - 2)(y + 6) = 0$
આથી $y = 2$ ($P$ બિંદુ માટે) અને $y = -6$ ($Q$ બિંદુ માટે) મળે છે.
$y = -6$ માટે,$x = 3 - (-6) = 9$.
આમ,$Q$ બિંદુના યામ $(9, -6)$ છે.

(A) આપેલ પરવલય $y^2=4x$ છે,જે $y^2=4ax$ ના સ્વરૂપમાં છે. સરખામણી કરતા,$a=1$ મળે છે.
પરવલય $y^2=4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{a}{m}$ છે.
સ્પર્શક $(1,4)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$4=m(1)+\frac{1}{m}$ મળે.
$m$ વડે ગુણતા,$m^2-4m+1=0$ મળે.
ધારો કે $m_1$ અને $m_2$ એ બે સ્પર્શકોના ઢાળ છે. તેથી $m_1+m_2=4$ અને $m_1m_2=1$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2} \right|$ દ્વારા મળે છે.
નિત્યસમ $|m_1-m_2| = \sqrt{(m_1+m_2)^2-4m_1m_2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan \theta = \frac{\sqrt{4^2-4(1)}}{1+1} = \frac{\sqrt{12}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ મળે.
આમ,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

(A) ધારો કે $P(x, y)$ એ પરવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,$P$ થી નાભિ $S(1, 0)$ નું અંતર એ $P$ થી નિયામિકા $x+2y-1=0$ ના લંબ અંતર જેટલું હોય છે.
$PS = PM$
$\sqrt{(x-1)^2 + (y-0)^2} = \frac{|x+2y-1|}{\sqrt{1^2+2^2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x-1)^2 + y^2 = \frac{(x+2y-1)^2}{5}$
$5(x^2 - 2x + 1 + y^2) = x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 2x - 4y$
$5x^2 - 10x + 5 + 5y^2 = x^2 + 4y^2 + 4xy - 2x - 4y + 1$
પદોને ગોઠવતા:
$4x^2 - 4xy + y^2 - 8x + 4y + 4 = 0$

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે,જ્યાં $4a = 8$,તેથી $a = 2$.
ધારો કે જીવાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે. રેખા $y = mx + c$ અને પરવલય $y^2 = 8x$ ના છેદબિંદુઓ $(mx + c)^2 = 8x$ દ્વારા મળે છે,જે $m^2x^2 + (2mc - 8)x + c^2 = 0$ માં પરિણમે છે.
ધારો કે બીજ $x_1$ અને $x_2$ છે. તો $x_1 + x_2 = -\frac{2mc - 8}{m^2}$ અને $x_1x_2 = \frac{c^2}{m^2}$.
જીવાનું મધ્યબિંદુ $(h, k) = (\frac{x_1 + x_2}{2}, m(\frac{x_1 + x_2}{2}) + c)$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $4$ છે અને તે પરવલયની અક્ષ $(y = 0)$ ને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રનો $y$-યામ $4$ અથવા $-4$ હોવો જોઈએ. આમ,$k = 4$ (ધન લેતા).
જીવાની લંબાઈ $L = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = |x_1 - x_2| \sqrt{1 + m^2} = 8$ (વ્યાસ $8$ છે).
પરવલયની જીવાના ગુણધર્મ મુજબ,ઢાળ $m = \frac{2}{t_1 + t_2}$ અને મધ્યબિંદુનો $y$-યામ $k = 2(t_1 + t_2) = 4$,જે $t_1 + t_2 = 2$ આપે છે.
આમ,$m = \frac{2}{2} = 1$.

(A) પરવલયનું આપેલ સમીકરણ $x^2=4ay$ છે.
જ્યારે અક્ષોને $90^{\circ}$ ના ખૂણે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે નવા યામ $(x', y')$ અને જૂના યામ $(x, y)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$x = x' \cos(90^{\circ}) - y' \sin(90^{\circ}) = -y'$
$y = x' \sin(90^{\circ}) + y' \cos(90^{\circ}) = x'$
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણ $x^2=4ay$ માં મૂકતા:
$(-y')^2 = 4a(x')$
$y'^2 = 4ax'$
આમ,નવું સમીકરણ $y^2=4ax$ મળે છે.

(B) પરવલય $y^2 = 12x$ ની નાભિ $S(3, 0)$ છે. ધારો કે $P(3t^2, 6t)$ એ પરવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
ધારો કે $Q(h, k)$ એ $SP$ નું $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું બિંદુ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$h = \frac{m(3t^2) + n(3)}{m+n}$ અને $k = \frac{m(6t) + n(0)}{m+n}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$t = \frac{k(m+n)}{6m}$.
$t$ ની કિંમત $h$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$h = \frac{3m(\frac{k(m+n)}{6m})^2 + 3n}{m+n} = \frac{\frac{k^2(m+n)^2}{12m} + 3n}{m+n}$.
$k^2 = \frac{12m}{m+n}h - \frac{36mn}{(m+n)^2}$.
આ $Y^2 = 4AX$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $4A = \frac{12m}{m+n}$.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{12m}{m+n}$ છે.

(C) ધારો કે $P(at^2, 2at)$ અને $Q(h, k)$ છે. આપેલ છે $A = (-1, 3)$.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$Q$ એ $AP$ ને $3:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે:
$h = \frac{3at^2 - 2}{5}$ અને $k = \frac{6at + 6}{5}$.
આના પરથી $5h+2 = 3at^2$ અને $5k-6 = 6at$ મળે.
વર્ગ કરતા અને સાદું રૂપ આપતા,$(5k-6)^2 = 12a(5h+2)$ મળે.
આ પરવલયનું સમીકરણ છે,જેનું નાભિ $(h, k) = \left(\frac{3a-2}{5}, \frac{6}{5}\right)$ થાય.
પ્રશ્નમાં $A(-2, 3)$ લેતા,જવાબ $\left(\frac{3a-4}{5}, \frac{6}{5}\right)$ મળે છે.

(B) પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $PF^2 = e^2 PM^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,જ્યાં પરવલય માટે $e=1$ છે.
આપેલ સમીકરણ $4[(x-a)^2+(y-b)^2]=(\alpha x+\beta y+7)^2$ ને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય:
$(x-a)^2+(y-b)^2 = \left(\frac{\alpha x+\beta y+7}{2}\right)^2$
$PF^2 = PM^2$ સ્વરૂપમાં લાવવા માટે,રેખાના સમીકરણને પ્રમાણિત કરતા:
$(x-a)^2+(y-b)^2 = \left(\frac{\alpha x+\beta y+7}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\right)^2 \cdot \frac{\alpha^2+\beta^2}{4}$
આ પરવલય દર્શાવે તે માટે ઉત્કેન્દ્રિયતા $e=1$ હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે સહગુણક $\frac{\alpha^2+\beta^2}{4} = 1^2$.
તેથી,$\alpha^2+\beta^2=4$.

(D) ધારો કે $P(t_1^2, 2t_1)$ અને $Q(t_2^2, 2t_2)$ એ જીવાના અંત્યબિંદુઓ છે.
ધારો કે બિંદુ $R(h, k)$ એ જીવા $PQ$ ને $1:3$ ના ગુણોત્તરમાં આંતરિક રીતે વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$h = \frac{1 \cdot t_2^2 + 3 \cdot t_1^2}{1+3} = \frac{t_2^2 + 3t_1^2}{4}$
$k = \frac{1 \cdot 2t_2 + 3 \cdot 2t_1}{1+3} = \frac{2t_2 + 6t_1}{4} = \frac{t_2 + 3t_1}{2}$
જીવા $PQ$ નો ઢાળ $2$ આપેલ છે:
$\frac{2t_2 - 2t_1}{t_2^2 - t_1^2} = 2$
$\frac{2(t_2 - t_1)}{(t_2 - t_1)(t_2 + t_1)} = 2$
$\frac{2}{t_2 + t_1} = 2 \Rightarrow t_1 + t_2 = 1 \Rightarrow t_2 = 1 - t_1$
$t_2 = 1 - t_1$ ની કિંમત $h$ અને $k$ માં મૂકતા:
$k = \frac{(1 - t_1) + 3t_1}{2} = \frac{2t_1 + 1}{2} = t_1 + \frac{1}{2} \Rightarrow t_1 = k - \frac{1}{2}$
$4h = 3t_1^2 + (1 - t_1)^2 = 3t_1^2 + 1 - 2t_1 + t_1^2 = 4t_1^2 - 2t_1 + 1$
$t_1 = k - \frac{1}{2}$ ની કિંમત $4h$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$4h = 4(k - \frac{1}{2})^2 - 2(k - \frac{1}{2}) + 1$
$4h = 4(k^2 - k + \frac{1}{4}) - 2k + 1 + 1$
$4h = 4k^2 - 4k + 1 - 2k + 2 = 4k^2 - 6k + 3$
$h = k^2 - \frac{3}{2}k + \frac{3}{4}$
$k^2 - \frac{3}{2}k = h - \frac{3}{4}$
$(k - \frac{3}{4})^2 = h - \frac{3}{4} + \frac{9}{16} = h - \frac{3}{16}$
$(y - k_0)^2 = 4a(x - h_0)$ સાથે સરખાવતા,શિરોબિંદુ $\left(\frac{3}{16}, \frac{3}{4}\right)$ મળે છે.

(C) આપેલ પરવલય $y^2=8x$ છે.
$y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a=8 \Rightarrow a=2$ મળે.
ધારો કે $P$ અને $Q$ ના પ્રચલ યામ $(at_1^2, 2at_1)$ અને $(at_2^2, 2at_2)$ છે.
તેથી,$P$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $yt_1=x+2t_1^2$ $(i)$ છે.
તે જ રીતે,$Q$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $yt_2=x+2t_2^2$ $(ii)$ છે.
પરવલય $y^2=8x$ ના શિરોબિંદુ આગળનો સ્પર્શક $y$-અક્ષ છે,એટલે કે $x=0$.
$M$ શોધવા માટે,સમીકરણ $(i)$ માં $x=0$ મૂકતા,$yt_1=2t_1^2 \Rightarrow y=2t_1$ મળે. આમ,$M=(0, 2t_1)$.
$N$ શોધવા માટે,સમીકરણ $(ii)$ માં $x=0$ મૂકતા,$yt_2=2t_2^2 \Rightarrow y=2t_2$ મળે. આમ,$N=(0, 2t_2)$.
આપેલ છે કે $MN=4$,તેથી $|2t_1-2t_2|=4$ $\Rightarrow |t_1-t_2|=2$ $\Rightarrow (t_1-t_2)^2=4$ $(iii)$.
સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $R(h, k) = (at_1t_2, a(t_1+t_2))$ છે.
તેથી,$(h, k) = (2t_1t_2, 2(t_1+t_2))$.
આનો અર્થ એ છે કે $t_1t_2 = h/2$ અને $t_1+t_2 = k/2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(t_1+t_2)^2 = (t_1-t_2)^2 + 4t_1t_2$.
કિંમતો મૂકતા,$(k/2)^2 = 4 + 4(h/2)$ $\Rightarrow k^2/4 = 4+2h$ $\Rightarrow k^2 = 16+8h = 8(h+2)$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2=8(x+2)$ મળે છે.

(B) ધારો કે $P = (3, 1)$ અને $Q = (x_1, y_1)$ એ પરવલય $y^2 = 8x$ પરનું બિંદુ છે.
ધારો કે $R(h, k)$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્ર મુજબ:
$h = \frac{3 + x_1}{2} \implies x_1 = 2h - 3$
$k = \frac{1 + y_1}{2} \implies y_1 = 2k - 1$
બિંદુ $Q(x_1, y_1)$ એ પરવલય $y^2 = 8x$ પર હોવાથી:
$(2k - 1)^2 = 8(2h - 3)$
$4k^2 - 4k + 1 = 16h - 24$
$4k^2 - 4k - 16h + 25 = 0$
તેથી,$R(h, k)$ નો બિંદુપથ $4y^2 - 4y - 16x + 25 = 0$ છે.

(D) ધારો કે $Q(h, k)$ એ નાભિ $F(a, 0)$ અને પરવલય $y^2=4ax$ પરના ચલ બિંદુ $P(x_0, y_0)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ $Q$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$(h, k) = \left(\frac{x_0+a}{2}, \frac{y_0+0}{2}\right) = \left(\frac{x_0+a}{2}, \frac{y_0}{2}\right)$
આના પરથી,આપણને મળે છે:
$h = \frac{x_0+a}{2} \Rightarrow x_0 = 2h - a$
$k = \frac{y_0}{2} \Rightarrow y_0 = 2k$
બિંદુ $P(x_0, y_0)$ એ પરવલય $y^2=4ax$ પર હોવાથી,આપણે $x_0$ અને $y_0$ ની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(2k)^2 = 4a(2h - a)$
$4k^2 = 8ah - 4a^2$
$k^2 = 2a(h - \frac{a}{2})$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2 = 2a(x - \frac{a}{2})$ મળે છે.
આ $Y^2 = 4AX$ સ્વરૂપનું પરવલય છે,જ્યાં $Y = y$,$X = x - \frac{a}{2}$,અને $4A = 2a \Rightarrow A = \frac{a}{2}$.
$Y^2 = 4AX$ માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $X = -A$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x - \frac{a}{2} = -\frac{a}{2}$
$x = 0$

(A) ધારો કે $P$ એ પરવલય $y^2=8x$ પરનું બિંદુ છે. $P$ ના યામ $(2t^2, 4t)$ તરીકે લઈ શકાય.
ધારો કે $M(x, y)$ એ રેખાખંડ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે,જ્યાં $A(1, 0)$ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{2t^2 + 1}{2}$ અને $y = \frac{4t + 0}{2} = 2t$.
$y = 2t$ પરથી,$t = \frac{y}{2}$ મળે.
$x$ ના સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા:
$x = \frac{2(\frac{y}{2})^2 + 1}{2} = \frac{2(\frac{y^2}{4}) + 1}{2} = \frac{\frac{y^2}{2} + 1}{2} = \frac{y^2 + 2}{4}$.
$4x = y^2 + 2$.
$y^2 = 4x - 2 = 4(x - \frac{1}{2})$.
આમ,મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ $y^2 = 4(x - \frac{1}{2})$ છે.

(C) આપેલ સંયુગ્મી રેખાઓ $2x + 3y + 12 = 0$ $(i)$ અને $x - y + k = 0$ $(ii)$ છે.
બે રેખાઓ પરવલયના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી ત્યારે કહેવાય જ્યારે એક રેખાનો ધ્રુવ (pole) બીજી રેખા પર હોય.
ધારો કે પરવલય $y^2 = 8x$ માટે રેખા $2x + 3y + 12 = 0$ નો ધ્રુવ $(x_1, y_1)$ છે.
$(x_1, y_1)$ નો ધ્રુવીય (polar) સમીકરણ $yy_1 = 4(x + x_1)$ છે,જે $4x - yy_1 + 4x_1 = 0$ થાય છે.
આને $2x + 3y + 12 = 0$ સાથે સરખાવતા,$\frac{4}{2} = \frac{-y_1}{3} = \frac{4x_1}{12}$ મળે છે.
$\frac{4}{2} = \frac{-y_1}{3}$ પરથી $y_1 = -6$ મળે છે.
$\frac{4}{2} = \frac{4x_1}{12}$ પરથી $x_1 = 6$ મળે છે.
આમ,ધ્રુવ $(6, -6)$ છે.
રેખાઓ સંયુગ્મી હોવાથી,ધ્રુવ $(6, -6)$ એ બીજી રેખા $x - y + k = 0$ પર હોવો જોઈએ.
કિંમતો મૂકતા: $6 - (-6) + k = 0$.
$12 + k = 0 \Rightarrow k = -12$.

(D) બે રેખાઓ $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ અને $l_2x + m_2y + n_2 = 0$ પરવલય $y^2 = 4ax$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય તેની શરત $l_1n_2 + l_2n_1 = 2am_1m_2$ છે.
આપેલ રેખાઓ $2x + 3y + 12 = 0$ અને $x - y + 4\lambda = 0$ છે અને પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે,તેથી $4a = 8$ એટલે કે $a = 2$.
અહીં,$l_1 = 2, m_1 = 3, n_1 = 12$ અને $l_2 = 1, m_2 = -1, n_2 = 4\lambda$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$2(4\lambda) + 1(12) = 2(2)(3)(-1)$
$8\lambda + 12 = -12$
$8\lambda = -24$
$\lambda = -3$.

(D) ધારો કે પરવલય $y^2=4x$ પરના બિંદુ $A$ ના યામ $(t^2, 2t)$ છે,જ્યાં $a=1$ છે.
$O$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ હોવાથી,$OA$ નું મધ્યબિંદુ $M(h, k)$ નીચે મુજબ મળે:
$h = \frac{0+t^2}{2} = \frac{t^2}{2} \implies t^2 = 2h$
$k = \frac{0+2t}{2} = t \implies t = k$
$t=k$ ને $t^2=2h$ માં મૂકતા,આપણને $k^2 = 2h$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2=2x$ મળે છે.

(C) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ છે. ધારો કે $P(at_1^2, 2at_1)$ અને $Q(at_2^2, 2at_2)$ એ પરવલય પરના બે બિંદુઓ છે જેથી $PQ$ એ નાભિ $S(a, 0)$ માંથી પસાર થતી નાભિસ્થ જીવા છે.
જીવા $PQ$ નું સમીકરણ $y(t_1 + t_2) = 2x + 2at_1t_2$ છે.
તે $(a, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$0 = 2a + 2at_1t_2$,જેનો અર્થ છે કે $t_1t_2 = -1$.
ધારો કે $(x_1, y_1)$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ ની સાપેક્ષમાં જીવા $PQ$ નો ધ્રુવ છે.
$(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવીયનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે,જેને $yy_1 - 2ax = 2ax_1$ તરીકે લખી શકાય.
આને જીવાના સમીકરણ $y(t_1 + t_2) - 2x = 2at_1t_2$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{y_1}{t_1 + t_2} = \frac{-2a}{-2} = \frac{2ax_1}{2at_1t_2}$
$\frac{y_1}{t_1 + t_2} = a$ પરથી,આપણને $y_1 = a(t_1 + t_2)$ મળે છે.
$a = \frac{x_1}{t_1t_2}$ પરથી,આપણને $x_1 = at_1t_2$ મળે છે.
કારણ કે $t_1t_2 = -1$,આપણને $x_1 = a(-1) = -a$ મળે છે.
આમ,ધ્રુવ $(x_1, y_1)$ નો બિંદુપથ $x = -a$ છે,જે પરવલયની નિયામિકા છે.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,જ્યાં $4a = 5$,તેથી $a = \frac{5}{4}$.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(at^2, 2at)$ છે.
$P(at^2, 2at)$ પરનો અભિલંબ પરવલયને ફરીથી $Q(at_1^2, 2at_1)$ પર મળે છે,જ્યાં $t_1 = -t - \frac{2}{t}$.
જીવા $PQ$ શિરોબિંદુ $(0,0)$ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $OP$ અને $OQ$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$OP$ નો ઢાળ $= \frac{2at}{at^2} = \frac{2}{t}$.
$OQ$ નો ઢાળ $= \frac{2at_1}{at_1^2} = \frac{2}{t_1}$.
આમ,$\left(\frac{2}{t}\right) \times \left(\frac{2}{t_1}\right) = -1 \implies t_1 = -\frac{4}{t}$.
$t_1$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $-t - \frac{2}{t} = -\frac{4}{t} \implies t = \frac{2}{t} \implies t^2 = 2 \implies t = \sqrt{2}$ (કારણ કે $P$ પ્રથમ ચરણમાં છે).
તેથી $t_1 = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$.
$Q$ ના યામ $(at_1^2, 2at_1) = \left(\frac{5}{4}(-2\sqrt{2})^2, 2(\frac{5}{4})(-2\sqrt{2})\right) = \left(\frac{5}{4}(8), -5\sqrt{2}\right) = (10, -5\sqrt{2})$ છે.

(D) બિંદુઓ $(1,0), (0,2),$ અને $(-1,-1)$ પરવલય $ax^2 + bx + cy + d = 0$ પર આવેલા હોવાથી:
$a(1)^2 + b(1) + c(0) + d = 0 \Rightarrow a + b + d = 0$ ... $(i)$
$a(0)^2 + b(0) + c(2) + d = 0 \Rightarrow 2c + d = 0$ ... $(ii)$
$a(-1)^2 + b(-1) + c(-1) + d = 0 \Rightarrow a - b - c + d = 0$ ... $(iii)$
$(i)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા: $(a + b + d) - (a - b - c + d) = 0$ $\Rightarrow 2b + c = 0$ $\Rightarrow c = -2b$.
$(ii)$ પરથી,$d = -2c = -2(-2b) = 4b$.
$(i)$ પરથી,$a = -b - d = -b - 4b = -5b$.
તેથી,$\frac{ad}{bc} = \frac{(-5b)(4b)}{b(-2b)} = \frac{-20b^2}{-2b^2} = 10$.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 32x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 32$ મળે,તેથી $a = 8$. નાભિ $S$ એ $(8, 0)$ છે.
પરવલય પરના બિંદુ $P(x_1, y_1)$ માટે,નાભિ-જીવાના બીજા અંત્યબિંદુ $Q(x_2, y_2)$ ના યામ $x_2 = \frac{a^2}{x_1}$ અને $y_2 = \frac{-4a^2}{y_1}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ $P = (\frac{1}{2}, 4)$ માટે,$x_2 = \frac{8^2}{1/2} = 128$ અને $y_2 = \frac{-4(8^2)}{4} = -64$ મળે.
આમ,$Q = (128, -64)$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $SQ$ શોધતા:
$SQ = \sqrt{(128 - 8)^2 + (-64 - 0)^2} = \sqrt{120^2 + (-64)^2} = \sqrt{14400 + 4096} = \sqrt{18496} = 136$.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{l}{r} = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = 1 - \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{l}{r} = 1 - \cos \theta$ મળે.
તેથી,$l = r(1 - \cos \theta) = r - r \cos \theta$.
$x = r \cos \theta$ અને $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ હોવાથી,$l = \sqrt{x^2 + y^2} - x$ મળે.
તેથી,$\sqrt{x^2 + y^2} = x + l$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 + y^2 = (x + l)^2 = x^2 + 2lx + l^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$y^2 = 2lx + l^2 = 2l(x + \frac{l}{2})$.
આ એક પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ છે.