Parabola Questions in Gujarati

(D) પરવલય $y^2=lx$ ની અક્ષ $x$-અક્ષ છે,જેનું સમીકરણ $y=0$ છે.
રેખા $y=mx+c$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $m=0$ થશે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $y=c$ બને છે.
આપેલ છે કે રેખા પરવલયને $\left(\frac{c^2}{8}, c\right)$ બિંદુમાં છેદે છે,તેથી આ બિંદુ પરવલયના સમીકરણ $y^2=lx$ નું સમાધાન કરશે.
સમીકરણ $y^2=lx$ માં $y=c$ અને $x=\frac{c^2}{8}$ મૂકતા:
$c^2 = l \left(\frac{c^2}{8}\right)$
$c \neq 0$ ધારીને,બંને બાજુ $c^2$ વડે ભાગતા:
$1 = \frac{l}{8}$
$l = 8$
પરવલય $y^2=lx$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $l$ છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $8$ છે.

(C) $y$-અક્ષને સમાંતર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $y = Ax^2 + Bx + C$ છે ...$(i)$
બિંદુ $(0,4)$ પરવલય પર હોવાથી,$4 = A(0)^2 + B(0) + C$,તેથી $C = 4$ ...(ii)
બિંદુ $(1,9)$ પરવલય પર હોવાથી,$9 = A(1)^2 + B(1) + 4$,તેથી $A + B = 5$ ...(iii)
બિંદુ $(4,5)$ પરવલય પર હોવાથી,$5 = A(4)^2 + B(4) + 4$,તેથી $16A + 4B = 1$ અથવા $4A + B = \frac{1}{4}$ ...(iv)
સમીકરણ (iv) માંથી (iii) બાદ કરતા: $3A = \frac{-19}{4}$,તેથી $A = \frac{-19}{12}$
$A$ ની કિંમત સમીકરણ (iii) માં મૂકતા: $B = 5 + \frac{19}{12} = \frac{79}{12}$
આમ,પરવલયનું સમીકરણ $y = \frac{-19}{12} x^2 + \frac{79}{12} x + 4$ છે.

(B) આપેલ પરવલય $y^2+6y-2x+5=0$ છે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$y^2+6y+9-9-2x+5=0$
$(y+3)^2-4-2x=0$
$(y+3)^2=2(x+2)$.
$(y-k)^2=4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા,શિરોબિંદુ $(h, k) = (-2, -3)$ મળે છે. તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
નિયામિકા માટે,$4a=2 \implies a=\frac{1}{2}$.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = h-a$ છે.
$x = -2 - \frac{1}{2} = -2.5$,અથવા $2x+5=0$.
વિધાન $II$ માં આપેલ નિયામિકા $y+3=0$ હોવાથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.

(C) આપેલ છે કે નાભિ $S(3,0)$ છે,ધારો કે $P(x, y)$ એ પરવલય પરનું કોઈ બિંદુ છે.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,$P$ થી નાભિ $S$ નું અંતર એ $P$ થી નિયામિકાના લંબ અંતર જેટલું હોય છે.
$SP^2 = PM^2$
$(x-3)^2 + (y-0)^2 = (x+3)^2$
$y^2 = (x+3)^2 - (x-3)^2$
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y^2 = (x+3+x-3)(x+3-x+3)$
$y^2 = (2x)(6)$
$y^2 = 12x$

(D) . સમીકરણ $y^2-2y+1 = -4x-3+1 \implies (y-1)^2 = -4(x+\frac{1}{2})$ છે. શિરોબિંદુ $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ છે,જે $(III)$ છે.
$(B)$. સમીકરણ $x^2+8x+16 = -12y-4+16 \implies (x+4)^2 = -12(y-1)$ છે. શિરોબિંદુ $(-4, 1)$ છે,જે $(V)$ છે.
$(C)$. સમીકરણ $y^2-2y+1 = x-2+1 \implies (y-1)^2 = 1(x-1)$ છે. અહીં $4a=1 \implies a=\frac{1}{4}$. નાભિ $(h+a, k) = (1+\frac{1}{4}, 1) = \left(\frac{5}{4}, 1\right)$ છે,જે $(I)$ છે.
$(D)$. સમીકરણ $x^2-2x+1 = 8y+23+1 \implies (x-1)^2 = 8(y+3)$ છે. અહીં $4a=8 \implies a=2$. નાભિ $(h, k+a) = (1, -3+2) = (1, -1)$ છે,જે $(IV)$ છે.
આમ,સાચી જોડ $A-III, B-V, C-I, D-IV$ છે.

(A) ધારો કે પરવલયનું સમીકરણ $y = ax^2 + bx + c$ છે ... $(i)$
પરવલય $(0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2 = a(0)^2 + b(0) + c$,એટલે કે $c = 2$.
તે $(1, -3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $-3 = a(1)^2 + b(1) + 2$,જે $a + b = -5$ આપે છે ... (ii)
તે $(-1, 5)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $5 = a(-1)^2 + b(-1) + 2$,જે $a - b = 3$ આપે છે ... (iii)
સમીકરણ (ii) અને (iii) નો સરવાળો કરતા,$2a = -2$ મળે,તેથી $a = -1$.
$a = -1$ ને સમીકરણ (ii) માં મુકતા,$-1 + b = -5$,તેથી $b = -4$.
આમ,પરવલયનું સમીકરણ $y = -x^2 - 4x + 2$ છે.
$(2, k)$ આ પરવલય પર હોવાથી,$x = 2$ મુકતા:
$k = -(2)^2 - 4(2) + 2 = -4 - 8 + 2 = -10$.

(C) આપેલ પરવલય $y^2=4ax$ છે. $P(9,9)$ પરવલય પર હોવાથી,$81=4 \times a \times 9$,જે $a=\frac{9}{4}$ આપે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે નાભિ જીવાના અંત્યબિંદુઓ $P(at^2, 2at)$ અને $Q(\frac{a}{t^2}, -\frac{2a}{t})$ છે.
$P(9,9)$ ની સરખામણી $(at^2, 2at)$ સાથે કરતા,$2at=9$ $\Rightarrow 2(\frac{9}{4})t=9$ $\Rightarrow t=2$ મળે છે.
આમ,$Q = (\frac{a}{t^2}, -\frac{2a}{t}) = (\frac{9/4}{4}, -\frac{2(9/4)}{2}) = (\frac{9}{16}, -\frac{9}{4})$.
તેથી,$p=\frac{9}{16}$ અને $q=-\frac{9}{4}$.
માટે $p-q = \frac{9}{16} - (-\frac{9}{4}) = \frac{9}{16} + \frac{36}{16} = \frac{45}{16}$.

(C) પરવલય $x^2=12y$ છે,જે $x^2=4ay$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $4a=12$,તેથી $a=3$. નાભિ $(0,3)$ છે.
જીવા નાભિ $(0,3)$ અને બિંદુ $(3,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} = 1$ છે,જે $y = 3-x$ માં પરિણમે છે.
$y = 3-x$ ને પરવલયના સમીકરણ $x^2 = 12y$ માં મૂકતા:
$x^2 = 12(3-x)$
$x^2 = 36 - 12x$
$x^2 + 12x - 36 = 0$.
ધારો કે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના યામો $x_1$ અને $x_2$ છે. આ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + 12x - 36 = 0$ ના બીજ છે.
બીજોના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,$x_1 + x_2 = -12$ અને બીજોનો ગુણાકાર $x_1 x_2 = -36$.
યામોના વ્યસ્તનો સરવાળો $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{-12}{-36} = \frac{1}{3}$.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=16x$ છે. તેને $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$a=4$ મળે છે.
પરવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ $(at^2, 2at) = (4t^2, 8t)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
બિંદુ $P(4,8)$ માટે,$4t_1^2=4 \implies t_1=1$ (કારણ કે $8t_1=8$).
બિંદુ $R(16,16)$ માટે,$4t_2^2=16 \implies t_2=2$ (કારણ કે $8t_2=16$).
$PQ$ અને $RT$ નાભિસ્થ જીવાઓ હોવાથી,નાભિસ્થ જીવાના અંત્યબિંદુઓના પ્રાચલનો ગુણાકાર $-1$ થાય છે.
જીવા $PQ$ માટે,$t_P \cdot t_Q = -1 \implies 1 \cdot t_Q = -1 \implies t_Q = -1$. તેથી,$Q = (4(-1)^2, 8(-1)) = (4, -8)$.
જીવા $RT$ માટે,$t_R \cdot t_T = -1 \implies 2 \cdot t_T = -1 \implies t_T = -1/2$. તેથી,$T = (4(-1/2)^2, 8(-1/2)) = (1, -4)$.
અંતર સૂત્ર મુજબ $QT = \sqrt{(4-1)^2 + (-8 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

(B) આપેલ પરવલય $y^2=16x$ છે. $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$a=4$ મળે. તેથી,નાભિ $(4,0)$ છે.
નાભિ જીવા $(2,2)$ અને $(4,0)$ માંથી પસાર થાય છે. ઢાળ $m = \frac{0-2}{4-2} = -1$ છે.
નાભિ જીવાનું સમીકરણ $y-0 = -1(x-4)$ એટલે કે $x+y=4$ છે.
બેવડા કોટિની લંબાઈ $24$ છે. તેથી $2|y|=24$,એટલે કે $y=12$ અથવા $y=-12$.
$y^2=16x$ માં $y=12$ મૂકતા,$144=16x$,તેથી $x=9$ મળે.
નાભિ જીવા $x+y=4$ માં $x=9$ મૂકતા,$9+y=4$,તેથી $y=-5$ મળે.
આમ,છેદબિંદુ $(9,-5)$ છે.

(C) આપેલ પરવલય $y^2=8x$ છે,જે $y^2=4ax$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી $a=2$. નાભિ $(a, 0) = (2, 0)$ છે.
ધારો કે પરવલય પરના બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (at_1^2, 2at_1)$ અને $(x_2, y_2) = (at_2^2, 2at_2)$ છે.
જીવા નાભિમાંથી પસાર થતી હોવાથી,તે $(2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,જે સૂચવે છે કે $t_1 t_2 = -1$.
જીવા બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પણ પસાર થાય છે. $(at_1^2, 2at_1)$ અને $(at_2^2, 2at_2)$ ને જોડતી જીવાનું સમીકરણ $y(t_1+t_2) = 2x + 2at_1 t_2$ છે.
$a=2$ અને $t_1 t_2 = -1$ મૂકતા,આપણને $y(t_1+t_2) = 2x - 4$ મળે છે.
જીવા $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$2(t_1+t_2) = 2(1) - 4 = -2$,તેથી $t_1+t_2 = -1$.
આપણે $x_1+x_2 = at_1^2 + at_2^2 = a(t_1^2 + t_2^2) = a((t_1+t_2)^2 - 2t_1 t_2)$ શોધવાનું છે.
$a=2$,$t_1+t_2 = -1$,અને $t_1 t_2 = -1$ ની કિંમતો મૂકતા:
$x_1+x_2 = 2((-1)^2 - 2(-1)) = 2(1+2) = 2(3) = 6$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = \frac{8}{a} x$ છે.
બિંદુ $(1, 4)$ પરવલય પર હોવાથી,$x = 1$ અને $y = 4$ મુકતા:
$4^2 = \frac{8}{a} (1)$ $\Rightarrow 16 = \frac{8}{a}$ $\Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
સમીકરણ $y^2 = 16x$ મળે છે,જ્યાં $4A = 16 \Rightarrow A = 4$.
નાભિ જીવાની લંબાઈનું સૂત્ર $A(t + 1/t)^2$ છે.
બિંદુ $(1, 4)$ માટે $2At = 4$ $\Rightarrow 8t = 4$ $\Rightarrow t = 1/2$.
લંબાઈ $L = 4(1/2 + 2)^2 = 4(5/2)^2 = 4(25/4) = 25$.

(D) આપેલ સમીકરણ $25[(x-2)^2+(y-3)^2]=(3x-4y+7)^2$ છે.
$25$ વડે ભાગતા,આપણને $(x-2)^2+(y-3)^2 = \left(\frac{3x-4y+7}{5}\right)^2$ મળે છે.
આ $SP^2 = PM^2$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $S(2,3)$ નાભિ છે અને $3x-4y+7=0$ નિયામિકા છે.
અહીં,નાભિથી નિયામિકાનું અંતર $a = \left|\frac{3(2)-4(3)+7}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\right| = \left|\frac{6-12+7}{5}\right| = \frac{1}{5}$ છે.
પરવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $4a$ છે.
તેથી,લંબાઈ $= 4 \times \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $(y + 2)^2 = -4(x - 1)$ છે.
અહીં $A = -1$ છે. પ્રાચલિત યામ $x - 1 = -t^2$ અને $y + 2 = -2t$ છે.
બિંદુ $P(-3, 2)$ માટે $t = -2$ મળે છે.
નાભિ જીવાના અંત્યબિંદુઓ માટે $t_1 t_2 = -1$ હોવાથી,$t_2 = \frac{1}{2}$ મળે.
બિંદુ $Q$ ના યામ $(\frac{3}{4}, -3)$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{-2}{y + 2}$ છે.
$Q$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_T = 2$ મળે છે.
તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $m_N = \frac{-1}{m_T} = \frac{-1}{2}$ થાય.

(A) ધારો કે જીવાનું રેખા $y=ax$ સાથેનું છેદબિંદુ $M(\alpha, a\alpha)$ છે. $M$ એ જીવાનું મધ્યબિંદુ હોવાથી,એક અંત્યબિંદુ $A(4,4)$ અને બીજું અંત્યબિંદુ $Q(x_1, y_1)$ છે:
$\alpha = \frac{4+x_1}{2} \Rightarrow x_1 = 2\alpha - 4$
$a\alpha = \frac{4+y_1}{2} \Rightarrow y_1 = 2a\alpha - 4$
બિંદુ $Q(x_1, y_1)$ પરવલય $y^2=4x$ પર હોવાથી:
$(2a\alpha - 4)^2 = 4(2\alpha - 4)$
$4a^2\alpha^2 - 16a\alpha + 16 = 8\alpha - 16$
$4a^2\alpha^2 - (16a+8)\alpha + 32 = 0$
બે ભિન્ન જીવાઓ માટે,દ્વિઘાત સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો હોવા જોઈએ,તેથી વિવેચક $D > 0$:
$D = (16a+8)^2 - 4(4a^2)(32) > 0$
$64(2a+1)^2 - 512a^2 > 0$
$64(4a^2 + 4a + 1) - 512a^2 > 0$
$-256a^2 + 256a + 64 > 0$
$4a^2 - 4a - 1 < 0$
$4a^2 - 4a - 1 = 0$ ઉકેલતા $a = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$ મળે છે.
આમ,અંતરાલ $\left(\frac{1-\sqrt{2}}{2}, \frac{1+\sqrt{2}}{2}\right)$ છે,જે $\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ છે.

(C) ધારો કે $P(t^2, 2t)$ એ પરવલય $y^2=4x$ ની નાભિ જીવા $PQ$ નો એક અંત્યબિંદુ છે. બીજા અંત્યબિંદુ $Q$ ના યામ $(\frac{1}{t^2}, \frac{-2}{t})$ છે,કારણ કે $tt' = -1$.
આપેલ છે કે જીવા $X$-અક્ષની ધન દિશા સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી જીવાનો ઢાળ $\tan \theta$ છે.
$\tan \theta = \frac{\frac{-2}{t} - 2t}{\frac{1}{t^2} - t^2} = \frac{2t}{t^2-1}$.
વૈકલ્પિક રીતે,નાભિ જીવાના ઢાળના સૂત્ર મુજબ: $\tan \theta = \frac{2}{t - \frac{1}{t}}$,તેથી $t - \frac{1}{t} = 2 \cot \theta$.
નાભિ જીવા $PQ$ ની લંબાઈ $a(t + \frac{1}{t})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a=1$.
$PQ = (t + \frac{1}{t})^2 = (t - \frac{1}{t})^2 + 4$.
$t - \frac{1}{t} = 2 \cot \theta$ મૂકતા:
$PQ = (2 \cot \theta)^2 + 4 = 4 \cot^2 \theta + 4 = 4(1 + \cot^2 \theta) = 4 \operatorname{cosec}^2 \theta$.

(D) પરવલયનો અર્ધ-નાભિલંબ એ તેની કોઈપણ નાભિકેન્દ્રિય જીવાના રેખાખંડોનો હરાત્મક મધ્યક છે.
ધારો કે $l$ એ અર્ધ-નાભિલંબની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે નાભિકેન્દ્રિય જીવાના રેખાખંડો $b$ અને $c$ છે.
બે સંખ્યાઓ $b$ અને $c$ નો હરાત્મક મધ્યક $H = \frac{2bc}{b+c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,અર્ધ-નાભિલંબની લંબાઈ $l = \frac{2bc}{b+c}$ થાય.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2+8x-2y+17=0$ છે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$(y^2-2y+1) + 8x + 17 - 1 = 0$
$(y-1)^2 + 8x + 16 = 0$
$(y-1)^2 = -8x - 16$
$(y-1)^2 = -8(x+2)$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y-k)^2 = -4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 8$ મળે છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $8$ છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 9x$ છે,તેથી $4a = 9$,જે $a = \frac{9}{4}$ આપે છે.
ધારો કે સ્પર્શકનો ઢાળ $m$ છે. સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m} = mx + \frac{9}{4m}$ છે.
સ્પર્શક $(1, 5)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$5 = m(1) + \frac{9}{4m}$.
$4m$ વડે ગુણતા,$20m = 4m^2 + 9$,અથવા $4m^2 - 20m + 9 = 0$.
ધારો કે બીજ $m_1$ અને $m_2$ છે. તો $m_1 + m_2 = 5$ અને $m_1 m_2 = \frac{9}{4}$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ દ્વારા મળે છે.
$|m_1 - m_2| = \sqrt{(m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2} = \sqrt{25 - 4(\frac{9}{4})} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$.
આમ,$\tan \theta = |\frac{4}{1 + 9/4}| = |\frac{4}{13/4}| = \frac{16}{13}$.
કારણ કે $\tan \frac{\pi}{4} = 1$ અને $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \approx 1.732$,અને $1 < \frac{16}{13} < 1.732$,તેથી $\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{3}$.

(B) આપેલ પરવલય $(y-2)^2 = 3(x-1)$ છે.
$(y-k)^2 = 4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા,$h=1, k=2$ અને $4a=3$,તેથી $a = \frac{3}{4}$ મળે.
નાભિના યામ $(h+a, k) = (1 + \frac{3}{4}, 2) = (\frac{7}{4}, 2)$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(h+a, k \pm 2a) = (\frac{7}{4}, 2 \pm \frac{3}{2})$ છે.
તેથી,અંત્યબિંદુઓ $(\frac{7}{4}, \frac{7}{2})$ અને $(\frac{7}{4}, \frac{1}{2})$ છે.
$q > 3$ હોવાથી,બિંદુ $L$ એ $(\frac{7}{4}, \frac{7}{2})$ છે.
પરવલય $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ માટે $(x_1, y_1)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $(y-k)(y_1-k) = 2a(x+x_1-2h)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(y-2)(\frac{7}{2}-2) = 2(\frac{3}{4})(x+\frac{7}{4}-2(1))$
$(y-2)(\frac{3}{2}) = \frac{3}{2}(x-\frac{1}{4})$
$y-2 = x-\frac{1}{4}$
$x-y+\frac{7}{4} = 0$,જેનું સાદું રૂપ $4x-4y+7=0$ થાય છે.

(C) આપેલ રેખા: $x-2y+k=0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{k}{2}$.
$y=mx+c$ સાથે સરખાવતા,$m=\frac{1}{2}$ અને $c=\frac{k}{2}$ મળે.
આપેલ પરવલય: $y^2-4x-4y+8=0$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં: $(y-2)^2 = 4(x-1)$.
$x = 2y-k$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(y-2)^2 = 4(2y-k-1) \Rightarrow y^2-12y+(8+4k) = 0$.
સ્પર્શક હોવા માટે,વિવેચક $D=0$ થવો જોઈએ:
$(-12)^2 - 4(8+4k) = 0 \Rightarrow 144 - 32 - 16k = 0$.
$112 = 16k \Rightarrow k = 7$.

(A) રેખા $y=1+2x$ ને $2x-y+1=0$ તરીકે લખી શકાય. ધારો કે રેખા પરવલયને $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે. $P(0,1)$ માંથી પસાર થતી અને $m=2$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું પ્રાચલ સ્વરૂપ $\frac{x-0}{\cos \theta} = \frac{y-1}{\sin \theta} = r$ છે,જ્યાં $\tan \theta = 2$. તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ અને $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
$x = \frac{r}{\sqrt{5}}$ અને $y = 1 + \frac{2r}{\sqrt{5}}$ ને પરવલયના સમીકરણ $x^2=4ay$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{r}{\sqrt{5}}\right)^2 = 4a\left(1 + \frac{2r}{\sqrt{5}}\right)$
$\frac{r^2}{5} = 4a + \frac{8ar}{\sqrt{5}}$
$r^2 - 8\sqrt{5}ar - 20a = 0$
ધારો કે $r_1$ અને $r_2$ આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે. અંતઃખંડની લંબાઈ $|r_1 - r_2| = \sqrt{40}$ છે.
$(r_1 - r_2)^2 = (r_1 + r_2)^2 - 4r_1r_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$40 = (8\sqrt{5}a)^2 - 4(-20a)$
$40 = 320a^2 + 80a$
$32a^2 + 8a - 4 = 0$
$8a^2 + 2a - 1 = 0$
$(4a-1)(2a+1) = 0$
$a>0$ હોવાથી,આપણને $4a=1$ મળે છે.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2=4ax$ છે,જેનું શિરોબિંદુ $V(0,0)$ છે.
પરવલય પરનું બિંદુ $P(at^2, 2at)$ ધારો.
$V(0,0)$ અને $P(at^2, 2at)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $\frac{2at-0}{at^2-0} = \tan \theta$ છે.
તેથી,$\frac{2}{t} = \tan \theta$,જેનો અર્થ છે કે $t = 2 \cot \theta$.
રેખાખંડ $VP$ ની લંબાઈ $\sqrt{(at^2)^2 + (2at)^2} = a|t|\sqrt{t^2+4}$ છે.
$t = 2 \cot \theta$ મૂકતા:
$VP = 2a \cot \theta \cdot 2 \sqrt{\cot^2 \theta + 1} = 4a \cot \theta \operatorname{cosec} \theta = \frac{4a \cos \theta}{\sin^2 \theta}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) રેખાનું સમીકરણ $y = x + 4K$ છે. પરવલય $y^2 = 8x$ (જ્યાં $a=2$) માટે સ્પર્શકની શરત $c = a/m$ છે.
અહીં,$c = 4K$,$a = 2$,અને $m = 1$.
તેથી,$4K = 2/1 \implies 4K = 2 \implies K = 1/2$.
સ્પર્શબિંદુ $P$ એ $(a/m^2, 2a/m) = (2/1^2, 2(2)/1) = (2, 4)$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $(x_1, y_1)$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = -\frac{y_1}{2a}(x - x_1)$ છે.
$x_1 = 2, y_1 = 4, a = 2$ મૂકતા: $y - 4 = -\frac{4}{2(2)}(x - 2) \implies y - 4 = -1(x - 2) \implies x + y - 6 = 0$.
બિંદુ $(K, 2K)$ એ $(1/2, 1)$ છે.
$(1/2, 1)$ થી $x + y - 6 = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|1/2 + 1 - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|3/2 - 6|}{\sqrt{2}} = \frac{|-9/2|}{\sqrt{2}} = \frac{9}{2\sqrt{2}}$ છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 32x$ છે,તેથી $4a = 32$,જેનો અર્થ છે કે $a = 8$.
બિંદુ $P(8, 16)$ એ $(at^2, 2at)$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી $t_1 = 2$.
$t_1$ આગળનો અભિલંબ પરવલયને $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1} = -2 - \frac{2}{2} = -3$ આગળ મળે છે.
$Q$ ના યામ $(at_2^2, 2at_2) = (8(-3)^2, 16(-3)) = (72, -48)$ છે.
$Q(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y(-48) = 2(8)(x + 72)$ $\Rightarrow -48y = 16(x + 72)$ $\Rightarrow -3y = x + 72$ $\Rightarrow x + 3y + 72 = 0$.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે.
અહીં,$4a = 11$,તેથી $a = \frac{11}{4}$.
સ્પર્શક બિંદુ $(1, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $4 = m(1) + \frac{11}{4m}$.
$4m$ વડે ગુણતા,આપણને $16m = 4m^2 + 11$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4m^2 - 16m + 11 = 0$ થાય છે.
$m_1$ અને $m_2$ એ આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ હોવાથી,$m_1 + m_2 = 4$ અને $m_1m_2 = \frac{11}{4}$ મળે.
આપણે $2(m_1^2 + m_2^2) = 2((m_1 + m_2)^2 - 2m_1m_2)$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા,$2(4^2 - 2 \times \frac{11}{4}) = 2(16 - \frac{11}{2}) = 2(\frac{32 - 11}{2}) = 21$ મળે છે.

(A) રેખા $4x - y = 0$ પરના બિંદુ $P(h, k)$ માટે $k = 4h$ છે. પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ હોય,તો બિંદુનો બિંદુપથ $(y^2 - 4ax) \tan^2 \alpha = (x + a)^2$ છે. અહીં $a = 1$ અને $\alpha = \frac{\pi}{3}$ લેતા,$3(y^2 - 4x) = (x + 1)^2$ મળે. $P(h, 4h)$ મૂકતા $47h^2 - 14h - 1 = 0$ મળે. તેથી $h$ નો સરવાળો $\frac{14}{47}$ થાય.

(D) આપેલ પરવલયો $S \equiv y^2 - 4ax = 0$ અને $S' \equiv y^2 + 4ax = 0$ છે.
ધારો કે $P$ એ $S' = 0$ પરનું બિંદુ $P = \left(-\frac{t^2}{4a}, t\right)$ છે.
$P$ માંથી અક્ષો પરના લંબના પાદ $A = \left(-\frac{t^2}{4a}, 0\right)$ અને $B = (0, t)$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\frac{x}{-t^2/4a} + \frac{y}{t} = 1$ એટલે કે $4ax - ty + t^2 = 0$ છે.
પરવલય $S \equiv y^2 = 4ax$ ને બિંદુ $Q(at_1^2, 2at_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y t_1 = x + at_1^2$ છે.
સરખામણી કરતા,આપણને $t_1 = \frac{t}{2}$ મળે છે.

(D) પરવલય $y^2=4ax$ પરના બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું નાભિ અંતર $x_1+a$ છે.
આપેલ પરવલય $y^2=kx$ છે,તેથી $4a=k \Rightarrow a=k/4$.
નાભિ અંતર $x_1+a = 2 + k/4 = 3$ છે.
$k/4 = 1 \Rightarrow k=4$.
પરવલય $y^2=4x$ છે.
બિંદુ $P(2, y_1)$ એ $y^2=4x$ પર હોવાથી,$y_1^2 = 4(2) = 8 \Rightarrow y_1 = \pm 2\sqrt{2}$.
તેથી $P$ એ $(2, 2\sqrt{2})$ અથવા $(2, -2\sqrt{2})$ છે.
$y^2=4x$ માટે $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2(x+x_1)$ છે.
$P(2, 2\sqrt{2})$ માટે: $y(2\sqrt{2}) = 2(x+2)$ $\Rightarrow \sqrt{2}y = x+2$ $\Rightarrow x - \sqrt{2}y + 2 = 0$.
$P(2, -2\sqrt{2})$ માટે: $y(-2\sqrt{2}) = 2(x+2)$ $\Rightarrow -\sqrt{2}y = x+2$ $\Rightarrow x + \sqrt{2}y + 2 = 0$.
આમ,સ્પર્શકનું સમીકરણ $x \pm \sqrt{2}y + 2 = 0$ છે.

(D) આપેલ પરવલય $y^2-4y-4x+8=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(y-2)^2 = 4(x-1)$ મળે છે.
પરવલય $(y-k_0)^2 = 4a(x-h_0)$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $(y-k_0) = m(x-h_0) + \frac{a}{m}$ છે.
અહીં $h_0=1, k_0=2, a=1$ છે. તેથી,$y = mx - m + \frac{1}{m} + 2$.
આપેલ સ્પર્શક $y = \frac{1}{2}x + \frac{k}{2}$ છે.
ઢાળ સરખાવતા,$m = \frac{1}{2}$ મળે છે.
અંતઃખંડ સરખાવતા,$\frac{k}{2} = -\frac{1}{2} + 2 + 2 = \frac{7}{2}$,તેથી $k=7$.
પરવલય પરનું બિંદુ $(1, 7)$ છે.
વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y-2}$ મળે છે.
$(1, 7)$ બિંદુએ ઢાળ $\frac{2}{7-2} = \frac{2}{5}$ થાય.

(C) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\alpha = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે. \\ બિંદુઓ $A(1, 2), B(4, -4), C(2, 2\sqrt{2})$ મૂકતા: \\ $\alpha = \frac{1}{2} |1(-4 - 2\sqrt{2}) + 4(2\sqrt{2} - 2) + 2(2 - (-4))| = 3\sqrt{2}$. \\ પરવલય માટે,બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ સ્પર્શકો દ્વારા બનતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું હોય છે. \\ તેથી,$\alpha = 2\beta$,જેનો અર્થ છે કે $\beta = \frac{3\sqrt{2}}{2}$. \\ આમ,$\alpha \beta = (3\sqrt{2}) \times \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) = 9$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=8x$ છે. $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a=8$,તેથી $a=2$ મળે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ પરવલય $y^2=4ax$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x+x_1)$ છે.
બિંદુ $P(2,4)$ માટે,સ્પર્શક $4y = 4(x+2) \Rightarrow y = x+2$ $(i)$ છે.
બિંદુ $Q(18,-12)$ માટે,સ્પર્શક $-12y = 4(x+18) \Rightarrow -3y = x+18$ $(ii)$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$(i)$ માંથી $x = y-2$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$-3y = (y-2) + 18$ $\Rightarrow -3y = y + 16$ $\Rightarrow 4y = -16$ $\Rightarrow y = -4$.
$y = -4$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$x = -4-2 = -6$ મળે.
છેદબિંદુ $(-6, -4)$ છે.
$(-6, -4)$ માંથી પસાર થતી અને $m = \frac{1}{2}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - (-4) = \frac{1}{2}(x - (-6))$ $\Rightarrow y+4 = \frac{1}{2}(x+6)$ $\Rightarrow 2y+8 = x+6$ $\Rightarrow x-2y = 2$.

(C) આપેલ છે કે $\triangle SPM$ સમબાજુ છે.
પરવલય $y^2=8(x-3)$ માટે,$4a=8$,તેથી $a=2$.
શિરોબિંદુ $(3, 0)$ છે અને નાભિ $S(5, 0)$ છે.
નિયામિકા $x=1$ છે.
$P(x, y)$ માટે,$PS = PM = |x-1|$.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે $PS=SM$ હોવું જોઈએ.
$SM^2 = (5-1)^2 + y^2 = 16 + y^2$.
$PS^2 = (x-1)^2 = 16 + y^2$.
$y^2 = 8(x-3)$ મૂકતા,$(x-1)^2 = 16 + 8(x-3) = 8x - 8$.
$x^2 - 2x + 1 = 8x - 8 \Rightarrow x^2 - 10x + 9 = 0$.
$(x-9)(x-1) = 0$. તેથી $x=9$.
$y^2 = 8(9-3) = 48 \Rightarrow y = \pm 4\sqrt{3}$.
તેથી $P = (9, 4\sqrt{3})$.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2=4ax$ છે.
ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $y=mx+c$ છે.
જો આ રેખા પરવલયને સ્પર્શતી હોય,તો શરત $c = \frac{a}{m}$ થાય.
આ કિંમત રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા,$y = mx + \frac{a}{m}$ મળે.
બંને બાજુ $m$ વડે ગુણતા,$my = m^2x + a$ મળે.
$m$ ને $\frac{1}{m}$ વડે બદલતા,$y = \frac{1}{m}x + am^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $my = x + am^2$ થાય.
પદોને ગોઠવતા,$x - my + am^2 = 0$ મળે છે.

(A) વિધાન $I$ માટે: પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ બિંદુ $P(x,y)$ નું નાભિ $S(2,3)$ થી અંતર અને નિયામિકા $x+2y+5=0$ થી અંતર સમાન હોય છે.
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = \frac{(x+2y+5)^2}{1^2+2^2}$
ગણતરી કરતા $4x^2+y^2-4xy-30x-50y+40=0$ મળે છે. તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ માટે: સમીકરણ $x^2-4x+16y+52=0$ ને $(x-2)^2 = -16(y+3)$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $4a=16$,તેથી $a=4$. શિરોબિંદુ $(2,-3)$ છે.
નિયામિકા $y = k+a = -3+4 = 1$ એટલે કે $y-1=0$ થાય. તેથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.

(B) આપેલ પ્રાચલિત સમીકરણો $x = -2 + 2t^2$ અને $y = 2 + 4t$ છે.
$y = 2 + 4t$ પરથી,આપણને $t = \frac{y - 2}{4}$ મળે છે.
$t$ ની આ કિંમતને $x = -2 + 2t^2$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = -2 + 2 \left( \frac{y - 2}{4} \right)^2$
$x = -2 + 2 \left( \frac{(y - 2)^2}{16} \right)$
$x = -2 + \frac{(y - 2)^2}{8}$
બંને બાજુ $8$ વડે ગુણતા:
$8x = -16 + (y - 2)^2$
$8x = -16 + y^2 - 4y + 4$
$8x = y^2 - 4y - 12$
પદોને ગોઠવતા:
$y^2 - 8x - 4y - 12 = 0$.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આપેલ પરવલયો $x^2=108y$ અને $y^2=32x$ છે.
$x^2=4ay$ માટે,$4a=108 \Rightarrow a=27$. સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx-27m^2$ છે $... (i)$.
$y^2=4ax$ માટે,$4a=32 \Rightarrow a=8$. સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{8}{m}$ છે $... (ii)$.
બંને સમીકરણો સમાન હોવાથી,$-27m^2 = \frac{8}{m}$.
$m^3 = -\frac{8}{27} \Rightarrow m = -\frac{2}{3}$.
$m$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$y = -\frac{2}{3}x - 27(-\frac{2}{3})^2$
$y = -\frac{2}{3}x - 12$
$3y = -2x - 36$
$2x + 3y + 36 = 0$.

(B) પરવલય $y^2=16x$ ના બિંદુ $P(4,8)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $8y = 8(x+4)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = x+4$ $\dots(i)$ થાય છે.
સ્પર્શક $(i)$ એ પરવલય $y^2 = 16x+80$ ને $A$ અને $B$ માં છેદે છે,તેથી $y = x+4$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x+4)^2 = 16x + 80$
$x^2 + 8x + 16 = 16x + 80$
$x^2 - 8x - 64 = 0$.
ધારો કે $A$ ના યામ $(x_1, y_1)$ અને $B$ ના યામ $(x_2, y_2)$ છે. દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 8x - 64 = 0$ ના બીજ $x_1$ અને $x_2$ છે. બીજનો સરવાળો $x_1 + x_2 = 8$ થાય.
$AB$ ના મધ્યબિંદુ $M(h, k)$ ના યામ $h = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{8}{2} = 4$ છે.
મધ્યબિંદુ રેખા $y = x+4$ પર હોવાથી,$k = h+4 = 4+4 = 8$ મળે.
આમ,$AB$ નું મધ્યબિંદુ $(4,8)$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે,જ્યાં $4a = 3$,તેથી $a = \frac{3}{4}$.
પરવલય પરના બિંદુ $(at^2, 2at)$ માટે,$t$ આગળનો અભિલંબ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
બિંદુ $P\left(\frac{3}{4}, \frac{3}{2}\right)$ માટે,$at^2 = \frac{3}{4} \implies t_1 = 1$.
બિંદુ $Q(3,3)$ માટે,$at^2 = 3 \implies t_2 = 2$.
જો $t_1$ અને $t_2$ આગળના અભિલંબ $R(t_3)$ પર મળે,તો $t_3 = -(t_1 + t_2) = -(1 + 2) = -3$.
$R$ ના યામ $(at_3^2, 2at_3) = (\frac{3}{4}(-3)^2, 2(\frac{3}{4})(-3)) = (\frac{27}{4}, -\frac{9}{2})$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે,જ્યાં $4a = 7$,તેથી $a = \frac{7}{4}$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ ના બિંદુ $(at^2, 2at)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
અભિલંબ બિંદુ $(2, 0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,આપણે $x = 2$ અને $y = 0$ ને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$0 = -t(2) + 2(\frac{7}{4})t + \frac{7}{4}t^3$
$0 = -2t + \frac{7}{2}t + \frac{7}{4}t^3$
$0 = \frac{3}{2}t + \frac{7}{4}t^3$
$0 = t(\frac{3}{2} + \frac{7}{4}t^2)$
આનાથી $t = 0$ અથવા $t^2 = -\frac{6}{7}$ મળે છે.
વાસ્તવિક $t$ માટે $t^2$ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી માત્ર $t = 0$ એ એકમાત્ર વાસ્તવિક ઉકેલ છે.
આમ,માત્ર $1$ અભિલંબ દોરી શકાય છે.

(C) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ છે જ્યાં $a = 1$. પરવલય $y^2 = 4x$ પરના બિંદુ $(t^2, 2t)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2t + t^3$ છે.
જો આ અભિલંબ બિંદુ $P(h, k)$ માંથી પસાર થાય,તો $k = -th + 2t + t^3$,જેનું સાદું રૂપ $t^3 + (2-h)t - k = 0$ થાય છે.
ધારો કે આ ત્રિઘાત સમીકરણના બીજ $t_1, t_2, t_3$ છે. આ ત્રણ અભિલંબના લંબપાદના પ્રાચલો છે.
લંબપાદના યામ $(t_1^2, 2t_1), (t_2^2, 2t_2), (t_3^2, 2t_3)$ છે.
આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $G(x_g, y_g) = (\frac{t_1^2 + t_2^2 + t_3^2}{3}, \frac{2(t_1 + t_2 + t_3)}{3})$ છે.
સમીકરણ $t^3 + (2-h)t - k = 0$ પરથી,$\sum t_i = 0$ અને $\sum t_i t_j = 2-h$.
$\sum t_i = 0$ હોવાથી,મધ્યકેન્દ્રનો $y$-યામ $y_g = 0$ થાય છે,જે $G(2,0)$ સાથે સુસંગત છે.
હવે,$x_g = \frac{(\sum t_i)^2 - 2\sum t_i t_j}{3} = \frac{0^2 - 2(2-h)}{3} = \frac{2(h-2)}{3}$.
$x_g = 2$ આપેલ હોવાથી,$\frac{2(h-2)}{3} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $h-2 = 3$,તેથી $h = 5$.