Parabola Questions in Gujarati

(D) ધારો કે $Q = (2t, t^2)$ એ પરવલય $x^2 = 4y$ પરનું બિંદુ છે. શિરોબિંદુ $O$ એ $(0, 0)$ છે.
બિંદુ $P(h, k)$ એ $OQ$ નું $2:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$h = \frac{2(2t) + 3(0)}{2+3} = \frac{4t}{5} \Rightarrow t = \frac{5h}{4}$
$k = \frac{2(t^2) + 3(0)}{2+3} = \frac{2t^2}{5} = \frac{2}{5} \left(\frac{5h}{4}\right)^2 = \frac{5h^2}{8}$
આમ,બિંદુપથ $C$ એ $8k = 5h^2$ અથવા $5x^2 = 8y$ છે.
પરવલય $5x^2 = 8y$ ની જીવા જેનું બિંદુ $(1, 2)$ આગળ દુભાગે છે તેનું સમીકરણ $T = S_1$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $T = 5x(x_1) - 4(y + y_1)$ અને $S_1 = 5x_1^2 - 8y_1$.
કિંમતો મૂકતા:
$5x(1) - 4(y + 2) = 5(1)^2 - 8(2)$
$5x - 4y - 8 = 5 - 16$
$5x - 4y + 3 = 0$

(B) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4x$ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના યામ $P(t_1^2, 2t_1)$ અને $Q(t_2^2, 2t_2)$ છે.
$OP$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{2t_1}{t_1^2} = \frac{2}{t_1}$ છે અને $OQ$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{2t_2}{t_2^2} = \frac{2}{t_2}$ છે.
$OP \perp OQ$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,તેથી $(\frac{2}{t_1})(\frac{2}{t_2}) = -1$,જેનો અર્થ છે કે $t_1t_2 = -4$.
ધારો કે $M(h, k)$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $h = \frac{t_1^2 + t_2^2}{2}$ અને $k = \frac{2t_1 + 2t_2}{2} = t_1 + t_2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $k^2 = (t_1 + t_2)^2 = t_1^2 + t_2^2 + 2t_1t_2$.
કિંમતો મૂકતા,$k^2 = 2h + 2(-4) = 2h - 8$.
આમ,મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ $y^2 = 2(x - 4)$ છે.
આ $y^2 = 4a(x - h')$ સ્વરૂપનો પરવલય છે,જ્યાં $4a = 2$,તેથી $a = 0.5$.
નાભિલંબની લંબાઈ $4a = 2$ થાય.

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,$4a = 12$,તેથી $a = 3$. ધારો કે $P$ અને $Q$ ના યામ $(at_1^2, 2at_1)$ અને $(at_2^2, 2at_2)$ છે.
યામોનો ગુણોત્તર $2at_1 : 2at_2 = 1 : 2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $t_2 = 2t_1$.
જીવા $PQ$ ની લંબાઈ $a(t_2 - t_1) \sqrt{(t_2 + t_1)^2 + 4}$ છે.
$a = 3$ અને $t_2 = 2t_1$ મૂકતા,આપણને $3(t_1) \sqrt{(3t_1)^2 + 4} = 3\sqrt{13}$ મળે છે.
તેથી,$t_1 \sqrt{9t_1^2 + 4} = \sqrt{13}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$t_1^2(9t_1^2 + 4) = 13$. ધારો કે $u = t_1^2$,તો $9u^2 + 4u - 13 = 0$.
$u$ માટે ઉકેલતા,$(9u + 13)(u - 1) = 0$. $u > 0$ હોવાથી,$u = 1$,તેથી $t_1 = 1$ અને $t_2 = 2$.
બિંદુઓ $P(3, 6)$ અને $Q(12, 12)$ છે. નાભિ $S$ એ $(a, 0) = (3, 0)$ છે.
$SP$ નો ઢાળ $m_1 = (6 - 0) / (3 - 3) = \infty$ (શિરોલંબ રેખા $x = 3$).
$SQ$ નો ઢાળ $m_2 = (12 - 0) / (12 - 3) = 12 / 9 = 4/3$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ એ સદિશો $\vec{SP} = (0, 6)$ અને $\vec{SQ} = (9, 12)$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\cos \alpha = (\vec{SP} \cdot \vec{SQ}) / (|SP| |SQ|) = (0 \cdot 9 + 6 \cdot 12) / (6 \cdot \sqrt{9^2 + 12^2}) = 72 / (6 \cdot 15) = 72 / 90 = 4/5$.
$\cos \alpha = 4/5$ હોવાથી,$\sin \alpha = 3/5$ થાય.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે. $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$ મળે.
નિયામિકા $x = -2$ છે. તેથી બિંદુ $A(-2, 0)$ છે.
બિંદુ $B(\alpha, \beta)$ એ $y^2 = 8x$ પર હોવાથી,$\beta^2 = 8\alpha$.
$AB$ નો ઢાળ $\frac{\beta}{\alpha + 2} = \frac{3}{5}$ છે. તેથી $5\beta = 3\alpha + 6$. $\alpha = \frac{\beta^2}{8}$ મૂકતા,$3\beta^2 - 40\beta + 48 = 0$ મળે.
અવયવ પાડતા $(3\beta - 4)(\beta - 12) = 0$ મળે. $\alpha > 1$ હોવાથી,$\beta = 12$ અને $\alpha = 18$ મળે. તેથી $B = (18, 12)$.
નાભિ જીવા $BC$ એ નાભિ $S(2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. $BC$ નો ઢાળ $m = \frac{12 - 0}{18 - 2} = \frac{3}{4}$ છે.
$BC$ નું સમીકરણ $y = \frac{3}{4}(x - 2)$ છે. $y^2 = 8x$ માં મૂકતા $9x^2 - 164x + 36 = 0$ મળે.
$x_B = 18$ હોવાથી,$x_C = \frac{2}{9}$ મળે. તેથી $y_C = -\frac{4}{3}$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)| = 80/3$.
ક્ષેત્રફળના છ ગણા $= 6 \times (80/3) = 160$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y = x^2 + px + q$ છે. તે $(1, -1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$-1 = 1 + p + q$,જેનો અર્થ છે કે $q = -p - 2$.
પરવલય $y = ax^2 + bx + c$ નું શિરોબિંદુ $(-b/2a, -D/4a)$ પર હોય છે. $y = x^2 + px + q$ માટે,શિરોબિંદુ $(-p/2, q - p^2/4)$ છે.
શિરોબિંદુથી $x$-અક્ષનું અંતર એ શિરોબિંદુના $y$-યામનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે,જે $d = |q - p^2/4|$ છે.
$q = -p - 2$ મૂકતા,આપણને $d = |-p - 2 - p^2/4| = |p^2/4 + p + 2|$ મળે છે.
$d$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે દ્વિઘાત સમીકરણ $f(p) = p^2/4 + p + 2$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ. વિકલન $f'(p) = p/2 + 1$ છે. $f'(p) = 0$ લેતા $p = -2$ મળે છે.
જ્યારે $p = -2$ હોય,ત્યારે $q = -(-2) - 2 = 0$ થાય છે.
તેથી,$p^2 + q^2 = (-2)^2 + 0^2 = 4 + 0 = 4$.

(D) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $2\alpha$ છે.
બીજના સરવાળા પરથી,$\alpha + 2\alpha = 3\alpha = -\frac{9(k-1)}{k^2 - 15k + 27}$,જે આપે છે $\alpha = -\frac{3(k-1)}{k^2 - 15k + 27}$.
બીજના ગુણાકાર પરથી,$\alpha(2\alpha) = 2\alpha^2 = \frac{18}{k^2 - 15k + 27}$.
$\alpha$ ની કિંમત ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા: $2 \left[ -\frac{3(k-1)}{k^2 - 15k + 27} \right]^2 = \frac{18}{k^2 - 15k + 27}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{18(k-1)^2}{(k^2 - 15k + 27)^2} = \frac{18}{k^2 - 15k + 27}$.
આથી $(k-1)^2 = k^2 - 15k + 27$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $k^2 - 2k + 1 = k^2 - 15k + 27$.
$k$ માટે ઉકેલતા: $13k = 26$,તેથી $k = 2$.
પરવલય $y^2 = 6kx$ છે,જે $y^2 = 12x$ થાય.
$y^2 = 4ax$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $4a$ છે. અહીં,$4a = 6k = 6(2) = 12$.

(C) ધારો કે પરવલય $y^2 = 16x$ છે,તેથી $4a = 16$,જેનો અર્થ છે $a = 4$. શિરોબિંદુઓ $A$ અને $B$ એ $(4t_1^2, 8t_1)$ અને $(4t_2^2, 8t_2)$ છે.
શિરોબિંદુ $C$ એ $(4, 8)$ છે. કારણ કે $\angle C = 90^\circ$,ઢાળનો ગુણાકાર $m_{CA} \cdot m_{CB} = -1$ થાય.
$m_{CA} = \frac{8t_1 - 8}{4t_1^2 - 4} = \frac{2}{t_1 + 1}$.
તે જ રીતે,$m_{CB} = \frac{2}{t_2 + 1}$.
આમ,$\frac{2}{t_1 + 1} \cdot \frac{2}{t_2 + 1} = -1 \implies t_1t_2 + t_1 + t_2 + 5 = 0$.
મધ્યકેન્દ્ર $G(h, k)$ એ $h = \frac{4 + 4t_1^2 + 4t_2^2}{3}$ અને $k = \frac{8 + 8t_1 + 8t_2}{3}$ દ્વારા મળે છે.
આ સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને $G$ નો બિંદુપથ એક પરવલય મળે છે,જેના નાભિલંબની લંબાઈ $4a' = \frac{16}{9}$ છે.
નાભિલંબની લંબાઈના ત્રણ ગણા $3 \cdot \frac{16}{9} = \frac{16}{3}$ થાય.