જો બે વર્તુળો $S_1$ અને $S_2$ માં સમાન લંબાઈના ચાપ કેન્દ્ર આગળ અનુક્રમે $75^{\circ}$ અને $120^{\circ}$ ના ખૂણા આંતરે છે,તો તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2}$ કેટલો થાય?

ધારો કે $S_1, S_2,$ અને $S_3$ એ એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતા ત્રણ વર્તુળો છે જે એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે. દરેક વર્તુળની જોડીના સામાન્ય સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે અને લંબાવવામાં આવે છે જેથી તેઓ છેદાય અને $R$ પરિવૃત ત્રિજ્યા ધરાવતો ત્રિકોણ $ABC$ બનાવે. તો $R$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $PQ$ એ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=9$ નો વ્યાસ છે. જો $\alpha$ અને $\beta$ એ અનુક્રમે $P$ અને $Q$ માંથી સીધી રેખા $x+y=2$ પર દોરેલા લંબની લંબાઈ હોય,તો $\alpha \beta$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

ધારો કે આપેલ વક્ર પરના તમામ બિંદુઓ પરના અભિલંબ એક નિશ્ચિત બિંદુ $(a, b)$ માંથી પસાર થાય છે. જો વક્ર $(3, -3)$ અને $(4, -2\sqrt{2})$ માંથી પસાર થતો હોય,અને આપેલ છે કે $a - 2\sqrt{2}b = 3$,તો $(a^{2} + b^{2} + ab)$ ની કિંમત ..... થાય.

જો રેખાઓ $3x - 4y + 4 = 0$ અને $6x - 8y - 7 = 0$ એક જ વર્તુળના સ્પર્શકો હોય,તો તે વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?

ધારો કે $S_1$ અને $S_2$ બે અસમાન વર્તુળો છે,$AB$ અને $CD$ આ વર્તુળોના સીધા સામાન્ય સ્પર્શકો છે. એક ત્રાંસો સામાન્ય સ્પર્શક $PQ$,$AB$ ને $R$ માં અને $CD$ ને $S$ માં છેદે છે. જો $AB=10$ હોય,તો $RS$ નું મૂલ્ય શું થાય?