Geometrical problems regarding circle and its properties Questions in Gujarati

(D) વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ દ્વારા $x$-અક્ષ પર બનતા અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{g^2 - c}$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે $(c=0)$,તેથી $x$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2\sqrt{g^2} = 2|g|$ છે.
આપેલ છે કે $2|g| = 10$,તેથી $|g| = 5$.
તે જ રીતે,$y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2\sqrt{f^2} = 2|f|$ છે.
આપેલ છે કે $2|f| = 24$,તેથી $|f| = 12$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ છે.
અહીં $c = 0$ હોવાથી,$r = \sqrt{g^2 + f^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

(D) પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ નું કેન્દ્ર $C_1 = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = a$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2gx + g^2 - b^2 = 0$ ને $(x - g)^2 + y^2 = b^2$ તરીકે લખી શકાય,જેનું કેન્દ્ર $C_2 = (g, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = b$ છે.
બે વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે જો તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું હોય,એટલે કે $d(C_1, C_2) = r_1 + r_2$.
$C_1(0, 0)$ અને $C_2(g, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{(g - 0)^2 + (0 - 0)^2} = |g|$ છે.
આમ,$|g| = a + b$. જો $g, a, b > 0$ હોય,તો $g = a + b$ મળે.

(A) વર્તુળના ભૌમિતિક ગુણધર્મ મુજબ,ત્રણ અસમરેખ બિંદુઓમાંથી પસાર થતું માત્ર એક જ અનન્ય વર્તુળ દોરી શકાય છે. આ વર્તુળને તે ત્રણ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું પરિવર્તુળ કહેવામાં આવે છે.

(A) વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4y = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (0, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{0^2 + 2^2 - 0} = 2$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 - 8y = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (0, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{0^2 + 4^2 - 0} = 4$ છે.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(0-0)^2 + (4-2)^2} = 2$ છે.
અહીં $|r_2 - r_1| = |4 - 2| = 2$ હોવાથી,$d = |r_2 - r_1|$ મળે છે.
તેથી,વર્તુળો એકબીજાને અંદરથી સ્પર્શે છે.

(D) પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 3^2$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C_1 = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 3$ છે.
બીજું વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2ax + 2y + 1 = 0$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C_2 = (-a, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-a)^2 + (-1)^2 - 1} = |a|$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{a^2 + 1}$ છે.
કિસ્સો $1$: વર્તુળો બહારથી સ્પર્શે છે,$d = r_1 + r_2 \Rightarrow \sqrt{a^2 + 1} = 3 + |a|$,જેનો કોઈ ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: વર્તુળો અંદરથી સ્પર્શે છે,$d = |r_1 - r_2|$ $\Rightarrow \sqrt{a^2 + 1} = |3 - |a||$ $\Rightarrow a^2 + 1 = 9 + a^2 - 6|a|$ $\Rightarrow |a| = 4/3$.
તેથી,$a = 4/3$ અથવા $a = -4/3$.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 3y = 0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $C_1 = (2, 3/2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 5/2$ છે.
અભિલંબ $x^2 + 2xy + 3x + 6y = 0$ એટલે કે $(x + 3)(x + 2y) = 0$ છે.
કેન્દ્ર $C_2$ એ રેખાઓ $x + 3 = 0$ અને $x + 2y = 0$ નું છેદબિંદુ છે,જે $(-3, 3/2)$ મળે છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 5$ છે.
શરત $d = r_2 - r_1$ મુજબ,$5 = r_2 - 5/2$,તેથી $r_2 = 15/2$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x + 3)^2 + (y - 3/2)^2 = (15/2)^2$ એટલે કે $x^2 + y^2 + 6x - 3y - 45 = 0$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળો ${C_1}: x^2 + (y - 1)^2 = 3^2$ અને ${C_2}: (x - 1)^2 + y^2 = 5^2$ છે.
કેન્દ્રો અને ત્રિજ્યાઓ નીચે મુજબ છે:
${C_1} = (0, 1)$ અને ત્રિજ્યા ${r_1} = 3$.
${C_2} = (1, 0)$ અને ત્રિજ્યા ${r_2} = 5$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ છે.
આપણે $d$ ની સરખામણી ત્રિજ્યાઓના તફાવત $|r_2 - r_1| = |5 - 3| = 2$ સાથે કરીએ છીએ.
અહીં $d = \sqrt{2} \approx 1.414$ અને $|r_2 - r_1| = 2$ હોવાથી,$d < |r_2 - r_1|$ મળે છે.
જ્યારે કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યાઓના તફાવત કરતા ઓછું હોય,ત્યારે એક વર્તુળ બીજાની અંદર સંપૂર્ણપણે આવેલું હોય છે.

(B) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$(x + a)^2 + (y + b)^2 = a^2 \implies x^2 + y^2 + 2ax + 2by + b^2 = 0$
$(x + \alpha)^2 + (y + \beta)^2 = \beta^2 \implies x^2 + y^2 + 2\alpha x + 2\beta y + \alpha^2 = 0$
સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$g_1 = a, f_1 = b, c_1 = b^2$
$g_2 = \alpha, f_2 = \beta, c_2 = \alpha^2$
બે વર્તુળો લંબ છેદતા હોય તો શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$2(a\alpha) + 2(b\beta) = b^2 + \alpha^2$
$2(a\alpha + b\beta) = b^2 + \alpha^2$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 20y + 90 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(0, 10)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{10}$ છે.
રેખા $mx - y = 0$ વર્તુળની બહાર હોય તે માટે,કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
$\frac{|m(0) - 10|}{\sqrt{m^2 + 1}} > \sqrt{10}$.
$\frac{10}{\sqrt{m^2 + 1}} > \sqrt{10}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{100}{m^2 + 1} > 10$.
$10 > m^2 + 1$,તેથી $m^2 < 9$.
આમ,$|m| < 3$.

(B) બે વર્તુળોની રેડિકલ ધરી એ એવા બિંદુનો બિંદુપથ છે જ્યાંથી બંને વર્તુળો પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ માટે,રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભૂમિતિનો એક મૂળભૂત ગુણધર્મ છે કે બે વર્તુળોની રેડિકલ ધરી હંમેશા તેમના કેન્દ્રોને જોડતી રેખાને લંબ હોય છે.

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$x^2 + y^2 - 2x + 6y + 6 = 0$ $(i)$
$x^2 + y^2 - 5x + 6y + 15 = 0$ $(ii)$
પ્રમાણિત સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા:
વર્તુળ $(i)$ માટે: $g = -1, f = 3, c = 6$. કેન્દ્ર $A = (1, -3)$,ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 - 6} = 2$.
વર્તુળ $(ii)$ માટે: $g = -2.5, f = 3, c = 15$. કેન્દ્ર $B = (2.5, -3)$,ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-2.5)^2 + 3^2 - 15} = 0.5$.
કેન્દ્રો $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(2.5 - 1)^2 + (-3 - (-3))^2} = 1.5$.
ત્રિજ્યાઓનો તફાવત $|r_1 - r_2| = |2 - 0.5| = 1.5$.
અહીં $d = |r_1 - r_2|$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને આંતરિક રીતે સ્પર્શે છે.

(C) જીવા દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરેલો ખૂણો એ ગુરુ વૃત્તખંડ પર આંતરેલા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
ગુરુ વૃત્તખંડ પરનો ખૂણો ${45^\circ}$ હોવાથી,કેન્દ્ર $C(0,0)$ પરનો ખૂણો $2 \times {45^\circ} = {90^\circ}$ થશે.
ધારો કે $P$ એ કેન્દ્ર $C(0,0)$ થી જીવા $y = mx + 1$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $CPR$ માં,જ્યાં $CR$ એ ત્રિજ્યા $r = 1$ છે,ખૂણો $\angle PCR = {45^\circ}$ છે.
તેથી,$CP = r \cos({45^\circ}) = 1 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખા $mx - y + 1 = 0$ નું લંબ અંતર $\frac{|m(0) - 0 + 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}}$ છે.
$CP$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$m^2 + 1 = 2$
$m^2 = 1$
$m = \pm 1$.
આપેલા વિકલ્પોમાં $-1$ છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $-1$ છે.

(A) પ્રથમ વર્તુળ $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = r^2$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C_1 = (1, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે.
બીજું વર્તુળ $x^2 + y^2 - 8x + 2y + 8 = 0$ છે. પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં: $(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 3^2$. તેથી,કેન્દ્ર $C_2 = (4, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-1 - 3)^2} = 5$ છે.
બે વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટેની શરત $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ છે.
$1$) $r + 3 > 5 \Rightarrow r > 2$.
$2$) $|r - 3| < 5 \Rightarrow -2 < r < 8$. $r$ ધન હોવાથી,$0 < r < 8$.
આમ,$2 < r < 8$ મળે છે.

(A) પ્રથમ વર્તુળ પ્રથમ ચરણમાં છે અને બંને અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $C_1 = (12, 12)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 12$ છે.
બીજા વર્તુળનું કેન્દ્ર $C_2 = (8, 9)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 7$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(12 - 8)^2 + (12 - 9)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$ છે.
ત્રિજ્યાઓનો તફાવત $|r_1 - r_2| = |12 - 7| = 5$ છે.
અહીં $d = |r_1 - r_2|$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને આંતરિક રીતે સ્પર્શે છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ વર્તુળ $C_1$ નું કેન્દ્ર $O_1(3, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે.
ધારો કે બીજા વર્તુળ $C_2$ નું કેન્દ્ર $O_2(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = R$ છે.
વર્તુળ $C_1$ એ વર્તુળ $C_2$ ની અંદર સંપૂર્ણપણે આવેલું હોય તે માટે,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના તફાવત કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
એટલે કે,$d < R - r$,જ્યાં $d$ એ કેન્દ્રો $(3, 4)$ અને $(0, 0)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
આમ,શરત $5 < R - r$ અથવા $R - r > 5$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 93 = 0$ છે.
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -1, f = 2, c = -93$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(-g, -f) = (1, -2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{1 + 4 + 93} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ $2r = 14\sqrt{2}$ છે.
ચોરસ વર્તુળમાં અંતર્ગત હોવાથી,તેનો વિકર્ણ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો હોય છે.
ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $l$ છે. તો $l\sqrt{2} = 14\sqrt{2}$,તેથી $l = 14$ મળે.
બાજુઓ યામ અક્ષોને સમાંતર હોવાથી,દરેક બાજુનું કેન્દ્ર $(1, -2)$ થી અંતર $l/2 = 7$ છે.
બાજુઓના $x$-યામ $1 \pm 7$,એટલે કે $x = -6$ અને $x = 8$ છે.
બાજુઓના $y$-યામ $-2 \pm 7$,એટલે કે $y = -9$ અને $y = 5$ છે.
આમ,ચોરસના શિરોબિંદુઓ $(-6, -9), (-6, 5), (8, -9), (8, 5)$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
જો બિંદુ $(m, \frac{1}{m})$ આ વર્તુળ પર હોય,તો $m^2 + \frac{1}{m^2} + 2gm + \frac{2f}{m} + c = 0$ થાય.
$m^2$ વડે ગુણતા,આપણને $m^4 + 2gm^3 + cm^2 + 2fm + 1 = 0$ સમીકરણ મળે છે.
આ $m$ માં ચતુર્થ ઘાતનું સમીકરણ છે જેના બીજ $m_1, m_2, m_3, m_4$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર એ અચળ પદ અને મુખ્ય સહગુણકનો ગુણોત્તર છે.
તેથી,$m_1 \cdot m_2 \cdot m_3 \cdot m_4 = \frac{1}{1} = 1$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 11 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
બિંદુ $(4, 5)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ $L = \sqrt{4^2 + 5^2 - 4(4) - 2(5) - 11} = 2$ છે.
ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= L \times r = 2 \times 4 = 8 \text{ sq. units}$.

(C) $C(-\sqrt{8}, \sqrt{8})$ માંથી પસાર થતી અને $135^\circ$ નો ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$m = \tan(135^\circ) = -1$.
તેથી,$y - \sqrt{8} = -1(x + \sqrt{8})$,જેનું સાદું રૂપ $y - \sqrt{8} = -x - \sqrt{8}$ એટલે કે $x + y = 0$ થાય છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x = 5\cos\theta, y = 5\sin\theta$ છે,જે $x^2 + y^2 = 25$ દર્શાવે છે.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $x + y = 0$ નું અંતર $d = \frac{|0 + 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = 0$ છે.
કેન્દ્રથી રેખાનું અંતર $0$ હોવાથી,રેખા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
તેથી,રેખા $x + y = 0$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વ્યાસ $AB$ ની લંબાઈ $2r = 2 \times 5 = 10$ થાય.

(B) આપેલ વર્તુળો $S_1 \equiv x^2 + y^2 = 2^2$ અને $S_2 \equiv x^2 + y^2 - 6x - 8y - 24 = 0$ છે.
$S_2$ માટે,કેન્દ્ર $(3, 4)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{3^2 + 4^2 - (-24)} = \sqrt{49} = 7$ છે.
$S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (0, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ છે.
કેન્દ્રો $C_1(0, 0)$ અને $C_2(3, 4)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = 5$ છે.
અહીં $d = |r_2 - r_1| = |7 - 2| = 5$ હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને અંતઃસ્પર્શ કરે છે.
જ્યારે બે વર્તુળો અંતઃસ્પર્શ કરે,ત્યારે ફક્ત $1$ સામાન્ય સ્પર્શક હોય છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ ${x^2} + {y^2} - px - qy = 0$ છે.
ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $x$-અક્ષ પર $(h, 0)$ છે.
મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ છે,જ્યાં $T = xx_1 + yy_1 - \frac{p}{2}(x + x_1) - \frac{q}{2}(y + y_1)$ અને $S_1 = x_1^2 + y_1^2 - px_1 - qy_1$.
$(x_1, y_1) = (h, 0)$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$xh - \frac{p}{2}(x + h) - \frac{q}{2}y = h^2 - ph$.
આ જીવા $(p, q)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = p$ અને $y = q$ મૂકતા:
$ph - \frac{p}{2}(p + h) - \frac{q^2}{2} = h^2 - ph$.
$2$ વડે ગુણતા:
$2ph - p^2 - ph - q^2 = 2h^2 - 2ph$.
પદોને ગોઠવતા:
$2h^2 - 3ph + p^2 + q^2 = 0$.
બે ભિન્ન જીવાઓ માટે,$h$ માં દ્વિઘાત સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો હોવા જોઈએ.
તેથી,વિવેચક $D > 0$:
$D = (-3p)^2 - 4(2)(p^2 + q^2) > 0$.
$9p^2 - 8p^2 - 8q^2 > 0$.
$p^2 - 8q^2 > 0$.
તેથી,$p^2 > 8q^2$.

(B) પ્રથમ વર્તુળ $C_1$ બંને અક્ષોને સ્પર્શે છે અને તેની ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ છે. તેથી,તેનું કેન્દ્ર $(2, 2)$ છે.
ધારો કે બીજા વર્તુળ $C_2$ ની ત્રિજ્યા $a$ છે. $C_2$ પણ બંને અક્ષોને સ્પર્શતું હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર $(a, a)$ છે.
$C_2$ એ $C_1$ ને બહારથી સ્પર્શતું હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું હોવું જોઈએ:
$\sqrt{(a - 2)^2 + (a - 2)^2} = a + 2$
$\sqrt{2(a - 2)^2} = a + 2$
$\sqrt{2}|a - 2| = a + 2$
$a > 2$ હોવાથી,$\sqrt{2}(a - 2) = a + 2$.
$a\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = a + 2$
$a(\sqrt{2} - 1) = 2 + 2\sqrt{2}$
$a = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{2} - 1} = 6 + 4\sqrt{2}$.

(C) પરવલય $y = x^2$ માટે $(2, 4)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{1}{2}(y + 4) = x(2)$ એટલે કે $4x - y - 4 = 0$ છે.
વર્તુળ આ બિંદુએ સ્પર્શતું હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર $(h, k)$ એ $(2, 4)$ બિંદુએ દોરેલા અભિલંબ પર હશે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $4$ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{4}$ થાય.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - 4 = -\frac{1}{4}(x - 2)$ એટલે કે $x + 4y = 18$ મળે.
તેથી,$h + 4k = 18$ $(i)$.
વર્તુળ $(0, 1)$ અને $(2, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી કેન્દ્ર $(h, k)$ થી આ બિંદુઓનું અંતર સમાન હોય:
$(h - 2)^2 + (k - 4)^2 = (h - 0)^2 + (k - 1)^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $4h + 6k = 19$ $(ii)$ મળે.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા,$k = \frac{53}{10}$ અને $h = -\frac{16}{5}$ મળે.
આમ,કેન્દ્ર $\left( -\frac{16}{5}, \frac{53}{10} \right)$ છે.

(D) છેદબિંદુ શોધવા માટે,$x^2 = ab - y^2$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{ab - y^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $y^2(\frac{b^2 - a^2}{a^2b^2}) = \frac{a - b}{a}$ મળે છે.
$y^2 = \frac{ab^2}{a + b}$ અને $x^2 = \frac{a^2b}{a + b}$ મળે છે.
છેદબિંદુ $(x, y) = (a\sqrt{\frac{b}{a+b}}, b\sqrt{\frac{a}{a+b}})$ છે.
ઉપવલયના સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = -\frac{b}{a} \sqrt{\frac{b}{a}}$ અને વર્તુળના સ્પર્શકનો ઢાળ $m_2 = -\sqrt{\frac{a}{b}}$ છે.
ખૂણો $\theta = \tan^{-1}\left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}\right|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{a - b}{\sqrt{ab}}\right)$ મળે છે.

(A) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 - 3x + 8y - 4 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2g = -3 \Rightarrow g = -\frac{3}{2}$ અને $2f = 8 \Rightarrow f = 4$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (\frac{3}{2}, -4)$ છે.
ધારો કે વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
કેન્દ્ર એ વ્યાસનું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{6 + h}{2} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow 6 + h = 3$ $\Rightarrow h = -3$.
$\frac{-3 + k}{2} = -4$ $\Rightarrow -3 + k = -8$ $\Rightarrow k = -5$.
આમ,વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $(-3, -5)$ છે.

(C) પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 6y - 3 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{2^2 + 3^2 - (-3)} = \sqrt{4 + 9 + 3} = 4$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 - 1} = \sqrt{1 + 1 - 1} = 1$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ છે.
અહીં $C_1C_2 = r_1 + r_2$ $(5 = 4 + 1)$ હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
તેથી,સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $3$ છે.

(A) પ્રથમ વર્તૂળ $x^2 + y^2 - 2x - 1 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2 + 0^2 - (-1)} = \sqrt{2}$ છે.
બીજા વર્તૂળ $x^2 + y^2 - 2y - 7 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (0, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{0^2 + 1^2 - (-7)} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ છે.
અહીં $|r_2 - r_1| = |2\sqrt{2} - \sqrt{2}| = \sqrt{2}$ મળે છે.
આમ,$d = |r_2 - r_1|$ હોવાથી,બંને વર્તૂળો એકબીજાને અંદરથી સ્પર્શે છે.
જ્યારે બે વર્તૂળો અંદરથી સ્પર્શતા હોય,ત્યારે ફક્ત $1$ સામાન્ય સ્પર્શક મળે.

(B) કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખા $mx - y + c = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $d$ નીચે મુજબ મળે છે:
$d = \frac{|m(0) - (0) + c|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{1 + m^2}}$
ત્રિજ્યા $a$,અર્ધ-જીવા $b$ અને લંબ અંતર $d$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$a^2 = b^2 + d^2$
$d^2 = a^2 - b^2$
$d$ ની કિંમત મૂકતા:
$\left(\frac{|c|}{\sqrt{1 + m^2}}\right)^2 = a^2 - b^2$
$\frac{c^2}{1 + m^2} = a^2 - b^2$
$c^2 = (1 + m^2)(a^2 - b^2)$

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 5^2$ છે,જેનું કેન્દ્ર $O(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
ધારો કે $Q = (3, 4)$ અને $R = (-4, 3)$.
$OQ$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{4-0}{3-0} = \frac{4}{3}$ છે.
$OR$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{3-0}{-4-0} = -\frac{3}{4}$ છે.
અહીં $m_1 \times m_2 = \frac{4}{3} \times (-\frac{3}{4}) = -1$ હોવાથી,રેખાઓ $OQ$ અને $OR$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\angle QOR = \frac{\pi}{2}$ થાય.
વર્તુળના પ્રમેય મુજબ,ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો એ વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુએ બનતા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle QPR = \frac{1}{2} \angle QOR = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.

(C) આપેલ વર્તૂળ $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 11 = 0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (2, -1)$ છે.
સમાંતર જીવાઓની સંહતિ $x - 2y + c = 0$ છે.
આ જીવાઓને લંબ અને વર્તૂળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી રેખા એ વ્યાસ છે.
જીવાનો ઢાળ $m = 1/2$ છે.
વ્યાસનો ઢાળ $m' = -2$ થશે.
$(2, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $-2$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - (-1) = -2(x - 2)$
$y + 1 = -2x + 4$
$2x + y - 3 = 0$.

(A) આપેલ વર્તૂળ $x^2 + y^2 - 2x = 0$ $(i)$ અને રેખા $y = x$ $(ii)$ છે.
$(i)$ માં $y = x$ મૂકતા,$x^2 + x^2 - 2x = 0$ મળે,જેનું સાદુંરૂપ $2x^2 - 2x = 0$ થાય.
આથી $2x(x - 1) = 0$,એટલે કે $x = 0$ અથવા $x = 1$.
$x = 0$ માટે $y = 0$,તેથી $A = (0, 0)$.
$x = 1$ માટે $y = 1$,તેથી $B = (1, 1)$.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તૂળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
બિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(1, 1)$ મૂકતા,$(x - 0)(x - 1) + (y - 0)(y - 1) = 0$ મળે.
જેનું સાદુંરૂપ $x(x - 1) + y(y - 1) = 0$ એટલે કે $x^2 - x + y^2 - y = 0$ અથવા $x^2 + y^2 - x - y = 0$ થાય.

(B) આપેલ મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,વર્તૂળ $S: x^2 + y^2 - 8x = 0$ છે.
મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1) = (4, 3)$ છે.
$T = x(4) + y(3) - 4(x + 4) = 4x + 3y - 4x - 16 = 3y - 16$.
$S_1 = (4)^2 + (3)^2 - 8(4) = 16 + 9 - 32 = -7$.
$T = S_1$ લેતા,$3y - 16 = -7$ મળે છે.
$3y = 9$,જેનું સાદું રૂપ $y = 3$ થાય છે.

(C) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બિંદુ $(3, -4)$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 3 = 0$ આપેલ છે.
સ્પર્શકની લંબાઈનો વર્ગ $S_1 = x_1^2 + y_1^2 - 4x_1 - 6y_1 + 3$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $S_1 = (3)^2 + (-4)^2 - 4(3) - 6(-4) + 3$.
$S_1 = 9 + 16 - 12 + 24 + 3$.
$S_1 = 40$.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 4y - 4 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g = 0$,$f = 2$,અને $c = -4$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (0, -2)$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{0^2 + 2^2 - (-4)} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ છે.
કેન્દ્ર $(0, -2)$ થી રેખા $x - y + 1 = 0$ પરના લંબ અંતર $p$ ની ગણતરી $p = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.
$p = \frac{|1(0) - 1(-2) + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|0 + 2 + 1|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r^2 - p^2}$ દ્વારા મળે છે.
લંબાઈ $= 2\sqrt{(2\sqrt{2})^2 - (\frac{3}{\sqrt{2}})^2} = 2\sqrt{8 - \frac{9}{2}} = 2\sqrt{\frac{16 - 9}{2}} = 2\sqrt{\frac{7}{2}} = \sqrt{4 \cdot \frac{7}{2}} = \sqrt{14}$.

(D) વર્તૂળ $C_1: x^2 + y^2 = 4$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$.
વર્તૂળ $C_2: x^2 + y^2 - 6x - 8y - 24 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (3, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{3^2 + 4^2 - (-24)} = \sqrt{49} = 7$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $|C_1C_2| = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = 5$.
અહીં $|C_1C_2| = |r_1 - r_2| = 5$ હોવાથી,વર્તૂળો એકબીજાને અંદરથી સ્પર્શે છે.
જ્યારે વર્તૂળો અંદરથી સ્પર્શે,ત્યારે તેમને માત્ર $1$ સામાન્ય સ્પર્શક હોય.
તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
કારણ $(R)$ એ વર્તૂળો માટેનું પ્રમાણિત ભૌમિતિક પ્રમેય છે,જે સાચું છે.
આમ,$A$ ખોટું છે પરંતુ $R$ સાચું છે.

(A) આપેલ વર્તૂળ $x^2 + y^2 = 4$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
બિંદુ $P(6, 8)$ થી કેન્દ્ર $C(0, 0)$ સુધીનું અંતર:
$d = \sqrt{(6-0)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
વર્તૂળથી બિંદુનું ન્યૂનત્તમ અંતર $d - r = 10 - 2 = 8$ છે.
વર્તૂળથી બિંદુનું મહત્તમ અંતર $d + r = 10 + 2 = 12$ છે.
આમ,ન્યૂનત્તમ અને મહત્તમ અંતર અનુક્રમે $8$ અને $12$ છે.

(C) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 + x + y - 4 = 0$ માટે,લંબાઈ $T_1 = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1 + 2 - 4} = \sqrt{4} = 2$.
બીજા વર્તુળ માટે,સમીકરણને પ્રમાણિત કરતા: $x^2 + y^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}y + \frac{k}{3} = 0$.
લંબાઈ $T_2 = \sqrt{1^2 + 2^2 - \frac{1}{3}(1) - \frac{1}{3}(2) + \frac{k}{3}} = \sqrt{4 + \frac{k}{3}}$.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \frac{4}{3}$ હોવાથી,$\frac{2}{\sqrt{4 + k/3}} = \frac{4}{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{4}{4 + k/3} = \frac{16}{9} \Rightarrow 36 = 64 + \frac{16k}{3}$.
$-28 = \frac{16k}{3} \Rightarrow k = -\frac{21}{4}$.

(C) રેખાઓ $y - \sqrt{3}x = 6$ અને $y + \sqrt{3}x = 6$ છે,અને $x$-અક્ષ $y = 0$ છે.
$y = 0$ માટે,રેખાઓ $x$-અક્ષને $x = -2\sqrt{3}$ અને $x = 2\sqrt{3}$ પર છેદે છે.
બંને રેખાઓનું છેદબિંદુ $(0, 6)$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0, 6)$,$B(-2\sqrt{3}, 0)$ અને $C(2\sqrt{3}, 0)$ છે.
આ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
પરિકેન્દ્ર $(0, k)$ એ $(0, 6)$ અને $(2\sqrt{3}, 0)$ થી સમાન અંતરે હોવું જોઈએ.
તેથી,$|6 - k| = \sqrt{(2\sqrt{3} - 0)^2 + (0 - k)^2}$.
$(6 - k)^2 = 12 + k^2$.
$36 - 12k + k^2 = 12 + k^2$.
$12k = 24$,તેથી $k = 2$.
પરિકેન્દ્ર $(0, 2)$ છે અને ત્રિજ્યા $R = |6 - 2| = 4$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 4^2$ છે.
$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 16$.
$x^2 + y^2 - 4y = 12$.

(B) વર્તૂળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ છે. કેન્દ્ર $C(2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2^2 + 1^2 - (-20)} = \sqrt{25} = 5$ છે.
બિંદુ $P(10, 7)$ થી કેન્દ્ર $C(2, 1)$ સુધીનું અંતર $PC = \sqrt{(10 - 2)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10$ છે.
અહીં $PC > r$ $(10 > 5)$ હોવાથી,બિંદુ $P$ વર્તૂળની બહાર છે.
વર્તૂળથી બિંદુ $P$ નું મહત્તમ અંતર $PC + r = 10 + 5 = 15$ થાય.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. વર્તુળ $X$-અક્ષને $(3, 0)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રનો $x$-યામ $h = 3$ અને ત્રિજ્યા $r = |k|$ છે.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 3)^2 + (y - k)^2 = k^2$ થાય.
આનું સાદું રૂપ $x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2ky + k^2 = k^2$ એટલે કે $x^2 + y^2 - 6x - 2ky + 9 = 0$ મળે.
વર્તુળ ધન $Y$-અક્ષ પર $8$ નો અંતઃખંડ કાપે છે. $x = 0$ મૂકતા,$y^2 - 2ky + 9 = 0$ મળે.
$Y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{f^2 - c}$ છે,જ્યાં $f = -k$ અને $c = 9$.
તેથી,$2\sqrt{(-k)^2 - 9} = 8 \implies \sqrt{k^2 - 9} = 4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$k^2 - 9 = 16 \implies k^2 = 25 \implies k = 5$ (કારણ કે તે ધન $Y$-અક્ષ પર છે).
$k = 5$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,$x^2 + y^2 - 6x - 2(5)y + 9 = 0$ એટલે કે $x^2 + y^2 - 6x - 10y + 9 = 0$ મળે.

(B) વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(1, 2)$ અને વર્તુળ પરના બિંદુ $(4, 6)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$r = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2}$.
$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે.
$r = 5$ મૂકતા,આપણને $A = \pi(5)^2 = 25\pi$ મળે છે.

(B) પ્રથમ વર્તુળ $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = r^2$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, 3)$ અને ત્રિજ્યા $R_1 = r$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 - 8x + 2y + 8 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (4, -1)$ અને ત્રિજ્યા $R_2 = \sqrt{16 + 1 - 8} = 3$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ છે.
બે વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટેની શરત $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $|r - 3| < 5 < r + 3$.
$r + 3 > 5$ પરથી,$r > 2$ મળે છે.
$|r - 3| < 5$ પરથી,$-5 < r - 3 < 5$,એટલે કે $-2 < r < 8$ મળે છે. ત્રિજ્યા ધન હોવાથી $0 < r < 8$.
આમ,$2 < r < 8$ મળે છે.

(C) રેખાનું સમીકરણ $y - 1 = m(x - 1)$ છે,જે $mx - y + (1 - m) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ માટે કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $a = 2$ છે.
રેખા વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટે કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર $d < 2$ હોવું જોઈએ.
$d = \frac{|m(0) - (0) + (1 - m)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|1 - m|}{\sqrt{m^2 + 1}}$.
શરત $\frac{|1 - m|}{\sqrt{m^2 + 1}} < 2$ મુજબ,બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(1 - m)^2 < 4(m^2 + 1)$.
$1 - 2m + m^2 < 4m^2 + 4$,એટલે કે $3m^2 + 2m + 3 > 0$.
અહીં વિવેચક $D = 2^2 - 4(3)(3) = -32 < 0$ હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણ હંમેશા ધન છે.
તેથી,$m$ ના અનંત મૂલ્યો શક્ય છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0$ છે.
વ્યાપક સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g = -2$,$f = -2$,અને $c = 4$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (2, 2)$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 - 4} = \sqrt{4 + 4 - 4} = \sqrt{4} = 2$ છે.
કેન્દ્ર $(2, 2)$ થી $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ બંનેનું અંતર ત્રિજ્યા $r = 2$ જેટલું હોવાથી,વર્તુળ બંને અક્ષોને સ્પર્શે છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $2x^2 + 2y^2 = 3$ છે.
$2$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 = \frac{3}{2}$ અથવા $x^2 + y^2 - \frac{3}{2} = 0$ મળે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $(1, 5)$ ને $x^2 + y^2 - \frac{3}{2} = 0$ માં મૂકતા:
લંબાઈ $= \sqrt{1^2 + 5^2 - \frac{3}{2}} = \sqrt{1 + 25 - 1.5} = \sqrt{26 - 1.5} = \sqrt{24.5}$.
$\sqrt{24.5} = \sqrt{\frac{49}{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2}$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $2x^2 + 2y^2 + 3x + 4y - 1 = 0$ છે.
$2$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 + \frac{3}{2}x + 2y - \frac{1}{2} = 0$ મળે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-\frac{3}{4}, -1)$ છે.
વ્યાસ $y = 2x + k$ એ કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$-1 = 2(-\frac{3}{4}) + k$
$-1 = -\frac{3}{2} + k$
$k = \frac{1}{2}$.

(C) $6$ લંબાઈની બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણના અંતઃવર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ છે.
ચોરસ આ વર્તુળમાં અંતર્ગત છે,તેથી ચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો થાય.
ચોરસનો વિકર્ણ $d = 2r = 2\sqrt{3}$.
ધારો કે ચોરસની બાજુ $x$ છે. તો $x\sqrt{2} = d = 2\sqrt{3}$.
$x = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{6}$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= x^2 = (\sqrt{6})^2 = 6$.

(B) આપેલ વર્તૂળ $x^2 + y^2 = 8$ છે,જેને $x^2 + y^2 = (2\sqrt{2})^2$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,ત્રિજ્યા $r = 2\sqrt{2}$ છે.
વર્તૂળ $x^2 + y^2 = r^2$ ના પ્રધાન વૃતનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 2r^2$ થાય છે.
$r^2 = 8$ મૂકતા,આપણને પ્રધાન વૃતનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 2(8) = 16$ મળે છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળ $Y$-અક્ષને $(0, 4)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રનું $Y$-અક્ષથી અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય,એટલે કે $|h| = r$.
વર્તુળ $(0, 4)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રનો $y$-યામ $k = 4$ અથવા $k = -4$ હોવો જોઈએ.
આમ,કેન્દ્ર $(\pm r, \pm 4)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x \mp r)^{2} + (y \mp 4)^{2} = r^{2}$ થાય.
તે $X$-અક્ષ પર $6$ એકમનો અંતઃખંડ કાપે છે,તેથી અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{r^{2} - k^{2}} = 6$ થાય.
$\sqrt{r^{2} - 4^{2}} = 3 \implies r^{2} - 16 = 9 \implies r^{2} = 25 \implies r = 5$.
$r=5$ અને $k=\pm 4$ મૂકતા,કેન્દ્ર $(\pm 5, \pm 4)$ મળે છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x \pm 5)^{2} + (y \pm 4)^{2} = 25$ થાય.