ધારો કે $S_1, S_2,$ અને $S_3$ એ એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતા ત્રણ વર્તુળો છે જે એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે. દરેક વર્તુળની જોડીના સામાન્ય સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે અને લંબાવવામાં આવે છે જેથી તેઓ છેદાય અને $R$ પરિવૃત ત્રિજ્યા ધરાવતો ત્રિકોણ $ABC$ બનાવે. તો $R$ ની કિંમત શોધો.

વર્તૂળ $x^2 + y^2 = 16$ ની જીવાનું સમીકરણ મેળવો જે બિંદુ $(2, -1)$ આગળ દુભાગે છે.

ધારો કે $C$ એ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-x+2 y=\frac{11}{4}$ નું કેન્દ્ર છે અને $P$ એ વર્તુળ પરનું એક બિંદુ છે. એક રેખા બિંદુ $C$ માંથી પસાર થાય છે,જે રેખા $CP$ સાથે $\frac{\pi}{4}$ નો ખૂણો બનાવે છે અને વર્તુળને બિંદુઓ $Q$ અને $R$ માં છેદે છે. તો ત્રિકોણ $PQR$ નું ક્ષેત્રફળ (એકમ$^{2}$ માં) શોધો.

વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2x - 4y - 11 = 0$ ના વ્યાસનું સમીકરણ જે $2x - y + 3 = 0$ રેખા પરના જીવાઓને દુભાગે છે તે શોધો.

જો વર્તુળ $x^2+y^2-2x-6y+6=0$ નો એક વ્યાસ એ $(2,1)$ કેન્દ્ર ધરાવતા મોટા વર્તુળની જીવા હોય,તો મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.

પ્રદેશ $R = \{( x , y ) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : x \geq 0 \text{ અને } y^2 \leq 4- x \}$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $F$ એ બધા વર્તુળોનો સમૂહ છે જે $R$ માં સમાયેલ છે અને જેના કેન્દ્રો $x$-અક્ષ પર છે. ધારો કે $C$ એ $F$ માં સૌથી મોટી ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે. ધારો કે $(\alpha, \beta)$ એ બિંદુ છે જ્યાં વર્તુળ $C$ વક્ર $y^2=4- x$ ને મળે છે.
$(1)$ વર્તુળ $C$ ની ત્રિજ્યા. . . . . .
$(2)$ $\alpha$ નું મૂલ્ય. . . . .
$(1)$ અને $(2)$ માટે જવાબ આપો: