Equations of circle Questions in Gujarati

(A) વર્તુળ $x$-અક્ષ પરના બિંદુઓ $(4, 0)$ અને $(-4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
બિંદુઓ $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $y$-અક્ષ પર હોવું જોઈએ.
ધારો કે કેન્દ્ર $(0, c)$ છે.
કેન્દ્ર $(0, c)$ થી બિંદુ $(4, 0)$ સુધીનું અંતર ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(4-0)^2 + (0-c)^2} = 5$.
$16 + c^2 = 25$ $\Rightarrow c^2 = 9$ $\Rightarrow c = \pm 3$.
આમ,કેન્દ્રો $(0, 3)$ અને $(0, -3)$ છે.
કેન્દ્ર $(0, 3)$ માટે,સમીકરણ $x^2 + (y-3)^2 = 5^2 \Rightarrow x^2 + y^2 - 6y - 16 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(0, -3)$ માટે,સમીકરણ $x^2 + (y+3)^2 = 5^2 \Rightarrow x^2 + y^2 + 6y - 16 = 0$ છે.

(D) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$c=0$ મળે.
વર્તુળ $x$-અક્ષ પર $-2$ નો અંતઃખંડ કાપે છે,એટલે કે તે $(-2,0)$ માંથી પસાર થાય છે. સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(-2)^2 + 0^2 + 2g(-2) + 2f(0) + 0 = 0$ $\Rightarrow 4 - 4g = 0$ $\Rightarrow g = 1$.
વર્તુળ $y$-અક્ષ પર $3$ નો અંતઃખંડ કાપે છે,એટલે કે તે $(0,3)$ માંથી પસાર થાય છે. સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $0^2 + 3^2 + 2g(0) + 2f(3) + 0 = 0$ $\Rightarrow 9 + 6f = 0$ $\Rightarrow f = -\frac{3}{2}$.
$g=1$,$f=-\frac{3}{2}$,અને $c=0$ ની કિંમત સામાન્ય સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2+y^2+2(1)x+2(-\frac{3}{2})y+0=0$.
આથી,માંગેલ સમીકરણ $x^2+y^2+2x-3y=0$ મળે છે.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $x^2+y^2-3x-4y+2=0$.
વર્તુળ $x$-અક્ષને છેદે છે,તેથી તે બિંદુઓ માટે $y=0$ લેતા.
$x^2 + (0)^2 - 3x - 4(0) + 2 = 0$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા:
$(x-1)(x-2) = 0$
આથી $x=1$ અને $x=2$ મળે છે.
તેથી,છેદબિંદુઓ $(1,0)$ અને $(2,0)$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+8x+10y-8=0$ છે.
તેને વર્તુળના વ્યાપક સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$2g = 8 \implies g = 4$
$2f = 10 \implies f = 5$
$c = -8$
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-4, -5)$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ દ્વારા મળે છે.
$r = \sqrt{4^2+5^2-(-8)} = \sqrt{16+25+8} = \sqrt{49} = 7$.
આમ,કેન્દ્ર $(-4, -5)$ અને ત્રિજ્યા $7$ છે.

(D) વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(4,7)$ અને $(-2,-1)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$(x-4)(x+2) + (y-7)(y+1) = 0$.
વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - 2x - 8 + y^2 - 6y - 7 = 0$,જે $x^2 + y^2 - 2x - 6y - 15 = 0$ માં પરિણમે છે.
વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
સરખામણી કરતા,$g = -1$,$f = -3$,અને $c = -15$.
$X$-અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{g^2 - c}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$AB = 2\sqrt{(-1)^2 - (-15)} = 2\sqrt{1 + 15} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8$.
આમ,$AB = 8$.

(B) વર્તુળનો પરિઘ $10 \pi$ છે. $2 \pi r = 10 \pi$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = 5$ મળે.
વર્તુળના વ્યાસ તેના કેન્દ્રમાં છેદતા હોવાથી,આપણે સમીકરણો ઉકેલીએ:
$2x + 3y + 1 = 0$ $(i)$
$3x - y - 4 = 0$ $(ii)$
$(ii)$ પરથી,$y = 3x - 4$. આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$2x + 3(3x - 4) + 1 = 0$
$2x + 9x - 12 + 1 = 0$
$11x - 11 = 0 \Rightarrow x = 1$.
તેથી $y = 3(1) - 4 = -1$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, -1)$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 5^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 25$
$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 23 = 0$.

(B) વર્તુળનો પરિઘ $4 \pi$ છે.
પરિઘનું સૂત્ર $2 \pi r = 4 \pi$ હોવાથી,$r = 2$ મળે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
કેન્દ્ર $(-2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ મૂકતા:
$(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 2^2$
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4$
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 4$
$x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0$.

(B) વર્તુળનું કેન્દ્ર તેના વ્યાસના છેદબિંદુ પર હોય છે.
આપેલ વ્યાસના સમીકરણો:
$x + 2y - 5 = 0$ ... $(i)$
$3x - y - 1 = 0$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા,$6x - 2y - 2 = 0$ ... $(iii)$
$(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + 2y - 5) + (6x - 2y - 2) = 0$
$7x - 7 = 0 \Rightarrow x = 1$
$x = 1$ ને $(i)$ માં મુકતા:
$1 + 2y - 5 = 0$ $\Rightarrow 2y = 4$ $\Rightarrow y = 2$
તેથી,કેન્દ્ર $(h, k) = (1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 25$
$x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$

(D) વર્તુળ $X$-અક્ષને $(1, 0)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રનો $x$-યામ $1$ છે.
વર્તુળ $Y$-અક્ષને $(0, 1)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રનો $y$-યામ $1$ છે.
આમ,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1^2$ મળે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 1$ મળે.
સાદુરૂપ આપતા,$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ મળે.

(D) વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (5, 4)$ છે.
વર્તુળ $Y$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્રના $x$-યામનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે.
આમ,$r = |5| = 5$.
વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(x-5)^2 + (y-4)^2 = 5^2$.
વિસ્તરણ કરતા,$(x^2 - 10x + 25) + (y^2 - 8y + 16) = 25$.
સાદું રૂપ આપતા,$x^2 + y^2 - 10x - 8y + 41 = 25$.
તેથી,$x^2 + y^2 - 10x - 8y + 16 = 0$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+6x+2ky+25=0$ છે.
વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=3$,$f=k$,અને $c=25$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-3, -k)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{3^2+k^2-25} = \sqrt{k^2-16}$ છે.
વર્તુળ $Y$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા એ કેન્દ્રના $x$-યામના માનાંક જેટલી હોય,એટલે કે $r = |-g| = |-3| = 3$.
ત્રિજ્યા માટેના બંને પદોને સરખાવતા: $\sqrt{k^2-16} = 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $k^2-16 = 9$.
$k^2 = 25$,તેથી $k = \pm 5$.

(D) વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $x$ તથા $y$ અક્ષ પર અનુક્રમે $a$ અને $b$ અંતઃખંડ બનાવે છે.
તેથી,વર્તુળ $(a,0)$ અને $(0,b)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.
યામ અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,$(a,0)$ અને $(0,b)$ ને જોડતો રેખાખંડ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
$(x_1, y_1) = (a,0)$ અને $(x_2, y_2) = (0,b)$ મૂકતા:
$(x-a)(x-0) + (y-0)(y-b) = 0$
$x(x-a) + y(y-b) = 0$
$x^2 - ax + y^2 - by = 0$
$x^2 + y^2 - ax - by = 0$

(B) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2-6x-8y=0$ છે.
આને સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=-3$,$f=-4$,અને $c=0$ મળે છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ સૂત્ર $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$r = \sqrt{(-3)^2+(-4)^2-0} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \text{ એકમ}$.
વર્તુળનો વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 5 = 10 \text{ એકમ}$ છે.

(D) રેખા $y-x=0$ પર $(m, n)$ નું પ્રતિબિંબ બિંદુ $(n, m)$ છે.
ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(n, m)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-n)^2 + (y-m)^2 = r^2$ ... $(i)$ છે.
વર્તુળ $X$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્રના $y$-યામના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલી થાય,તેથી $r = |m|$.
આમ,$r^2 = m^2$.
સમીકરણ $(i)$ માં $r^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$(x-n)^2 + (y-m)^2 = m^2$
$x^2 - 2nx + n^2 + y^2 - 2my + m^2 = m^2$
$x^2 + y^2 - 2nx - 2my + n^2 = 0$.

(D) કેન્દ્ર $C = (2,3)$.
ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(2,3)$ થી રેખા $3x-4y+1=0$ નું લંબ અંતર છે.
$r = \frac{|3(2)-4(3)+1|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \frac{|6-12+1|}{\sqrt{9+16}} = \frac{|-5|}{5} = 1$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2+(y-k)^2 = r^2$ છે.
$(x-2)^2+(y-3)^2 = 1^2$.
$x^2-4x+4+y^2-6y+9 = 1$.
$x^2+y^2-4x-6y+12 = 0$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) વર્તુળ $x^2+y^2-3x-4y-1=0$ નું કેન્દ્ર $C(\frac{3}{2}, 2)$ છે.
આપેલ છે કે માંગેલ વર્તુળ બિંદુ $C(\frac{3}{2}, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનું કેન્દ્ર $(5, 2)$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r$ એ આ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે:
$r = \sqrt{(5 - \frac{3}{2})^2 + (2 - 2)^2} = \frac{7}{2}$.
માટે,વર્તુળનું સમીકરણ $(x-5)^2 + (y-2)^2 = (\frac{7}{2})^2$ થશે.
$x^2 - 10x + 25 + y^2 - 4y + 4 = \frac{49}{4}$
$x^2 + y^2 - 10x - 4y + 29 = \frac{49}{4}$
બંને બાજુ $4$ વડે ગુણતા:
$4x^2 + 4y^2 - 40x - 16y + 116 = 49$
$4x^2 + 4y^2 - 40x - 16y + 67 = 0$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $(x+1)(x+2)+(y-1)(y+3)=0$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2+3x+2+y^2+2y-3=0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2+3x+2y-1=0$ થાય છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$2g=3 \implies g=\frac{3}{2}$,$2f=2 \implies f=1$,અને $c=-1$ મળે છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (1)^2 - (-1)} = \sqrt{\frac{9}{4}+1+1} = \sqrt{\frac{17}{4}}$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = \pi (\frac{17}{4}) = \frac{17 \pi}{4}$ થાય છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) $(h, k)$ કેન્દ્ર અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ છે.
અહીં કેન્દ્ર $(h, k) = (1, 2)$ આપેલ છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્રના $y$-યામના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલી થાય.
$r = |k| = |2| = 2$.
$h=1$,$k=2$,અને $r=2$ ને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x-1)^2+(y-2)^2=2^2$
$(x-1)^2+(y-2)^2=4$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2 x^2 + 2 y^2 - 3 x + 2 y - 1 = 0$
$2$ વડે ભાગતા: $x^2 + y^2 - \frac{3}{2} x + y - \frac{1}{2} = 0$
વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા:
$2g = -\frac{3}{2} \Rightarrow g = -\frac{3}{4}$
$2f = 1 \Rightarrow f = \frac{1}{2}$
$c = -\frac{1}{2}$
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$
$r = \sqrt{(-\frac{3}{4})^2 + (\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2})}$
$r = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}}$
$r = \sqrt{\frac{9 + 4 + 8}{16}} = \sqrt{\frac{21}{16}}$
$r = \frac{\sqrt{21}}{4} \text{ એકમ.}$

(C) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ છે.
વર્તુળ અક્ષો પર અંતઃખંડ કાપે છે,તેથી છેદબિંદુઓ $(5,0)$ અને $(0,6)$ છે.
સમીકરણમાં $(5,0)$ મૂકતા: $5^2+0^2+2g(5)+2f(0)=0 \implies 25+10g=0 \implies g = -2.5$.
સમીકરણમાં $(0,6)$ મૂકતા: $0^2+6^2+2g(0)+2f(6)=0 \implies 36+12f=0 \implies f = -3$.
$g$ અને $f$ ની કિંમતો સામાન્ય સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2+y^2+2(-2.5)x+2(-3)y=0$.
આનું સાદું રૂપ $x^2+y^2-5x-6y=0$ થાય છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના યામ અનુક્રમે $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ છે.
આપેલ છે કે $x_1$ અને $x_2$ એ $2x^2 + 4x - 7 = 0$ ના બીજ છે,તેથી બીજનો સરવાળો $x_1 + x_2 = -\frac{4}{2} = -2$ થાય.
આપેલ છે કે $y_1$ અને $y_2$ એ $3x^2 - 12x - 1 = 0$ ના બીજ છે,તેથી બીજનો સરવાળો $y_1 + y_2 = -\frac{-12}{3} = 4$ થાય.
$PQ$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું કેન્દ્ર એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(\frac{-2}{2}, \frac{4}{2}) = (-1, 2)$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે: રેખાઓ $x+2y-5=0$ અને $2x-3y+4=0$ એ વર્તુળના વ્યાસ છે.
વ્યાસનું છેદબિંદુ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે,તેથી સમીકરણો ઉકેલતા:
$x+2y=5$ $(i)$
$2x-3y=-4$ (ii)
$(i)$ ને $2$ વડે ગુણતા,$2x+4y=10$ (iii) મળે.
(iii) માંથી (ii) બાદ કરતા: $7y=14 \Rightarrow y=2$.
$y=2$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $x+2(2)=5 \Rightarrow x=1$.
આમ,કેન્દ્ર $(h, k) = (1, 2)$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $9\pi$ છે,તેથી $\pi r^2 = 9\pi \Rightarrow r^2=9$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ મુજબ:
$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9
x^2-2x+1 + y^2-4y+4 = 9
x^2+y^2-2x-4y-4=0$.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2 \lambda x-2 \lambda y+\lambda^2=0$ છે.
કેન્દ્ર $(-\lambda, \lambda)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \lambda$ છે.
રેખા $12x+5y-60=0$ છે.
કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય.
$\frac{|12(-\lambda)+5(\lambda)-60|}{\sqrt{12^2+5^2}} = \lambda$.
$|-7\lambda-60| = 13\lambda$.
ઉકેલતા,$\lambda = 10$ અથવા $\lambda = -3$ મળે.
બીજા ચરણ માટે $\lambda > 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $\lambda = 10$.

(A) સમાંતર રેખાઓ $3x - 4y - 10 = 0$ અને $3x - 4y + 30 = 0$ વચ્ચેનું અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વ્યાસ $d = \frac{|30 - (-10)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{40}{5} = 8$.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 4$.
કેન્દ્ર $(h, k)$ એ રેખા $x + 2y = 0$ પર છે,તેથી $h = -2k$.
કેન્દ્ર બંને સમાંતર રેખાઓથી સમાન અંતરે છે. આપેલ રેખાઓની વચ્ચેની રેખા $3x - 4y + 10 = 0$ છે.
$x = -2k$ ને $3x - 4y + 10 = 0$ માં મૂકતા,$3(-2k) - 4k + 10 = 0$ મળે છે,જે $-10k = -10$ થાય છે,તેથી $k = 1$.
તેથી $h = -2(1) = -2$. કેન્દ્ર $(-2, 1)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 4^2$ છે.
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 16$.
$x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0$.

(B) ચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(16,0)$,$C(16,16)$,અને $D(0,16)$ છે.
વર્તુળ ચોરસને પરિગત હોવાથી,વિકર્ણ $AC$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
$A$ ના યામ $(0,0)$ અને $C$ ના યામ $(16,16)$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
$A$ અને $C$ ના યામ મૂકતા:
$(x-0)(x-16) + (y-0)(y-16) = 0$
$x(x-16) + y(y-16) = 0$
$x^2 - 16x + y^2 - 16y = 0$
$x^2 + y^2 = 16(x+y)$
આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 = 4k(x+y)$ સાથે સરખાવતા:
$4k = 16$
$k = 4$

(C) $x^2+5x+6=0$ ના બીજ $\alpha, \beta$ છે. વિએટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha+\beta = -5$ અને $\alpha\beta = 6$ થાય.
$y^2+6y+7=0$ ના બીજ $\gamma, \delta$ છે. વિએટાના સૂત્રો મુજબ,$\gamma+\delta = -6$ અને $\gamma\delta = 7$ થાય.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
અહીં,અંત્યબિંદુઓ $(\alpha, \gamma)$ અને $(\beta, \delta)$ છે.
તેથી,સમીકરણ $(x-\alpha)(x-\beta) + (y-\gamma)(y-\delta) = 0$ થશે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta + y^2 - (\gamma+\delta)y + \gamma\delta = 0$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 - (-5)x + 6 + y^2 - (-6)y + 7 = 0$.
જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 + 5x + 6y + 13 = 0$ થાય છે.

(A) લંબચોરસની બાજુઓ $x=4, x=-2, y=5, y=-2$ છે.
લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(4, 5), (-2, 5), (-2, -2)$ અને $(4, -2)$ છે.
વિકર્ણના અંત્યબિંદુઓ $(4, 5)$ અને $(-2, -2)$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(x-4)(x+2) + (y-5)(y+2) = 0$
$x^2 + 2x - 4x - 8 + y^2 + 2y - 5y - 10 = 0$
$x^2 + y^2 - 2x - 3y - 18 = 0$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-8x-12y+\alpha=0$ છે. કેન્દ્ર $(4, 6)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{4^2+6^2-\alpha} = \sqrt{52-\alpha}$ છે.
વર્તુળ પ્રથમ ચરણમાં અક્ષોને સ્પર્શ્યા વગર આવેલું હોવાથી,કેન્દ્રથી અક્ષોનું અંતર ત્રિજ્યા કરતા વધારે હોવું જોઈએ: $r < 4$ અને $r < 6$. તેથી,$r < 4$,જેનો અર્થ છે $\sqrt{52-\alpha} < 4$ $\Rightarrow 52-\alpha < 16$ $\Rightarrow \alpha > 36$.
$(6, 6)$ એ અંદરનું બિંદુ હોવાથી,તેને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા $6^2+6^2-8(6)-12(6)+\alpha < 0$ મળે છે.
$36+36-48-72+\alpha < 0$ $\Rightarrow \alpha - 48 < 0$ $\Rightarrow \alpha < 48$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $36 < \alpha < 48$ મળે છે.

(B) બિંદુ $P(x_1, y_1)$ નો વર્તુળ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ ની સાપેક્ષે પાવર શોધવાનું સૂત્ર $P = (x_1 - h)^2 + (y_1 - k)^2 - r^2$ છે.
અહીં બિંદુ $P(-3, 7)$,કેન્દ્ર $(h, k) = (3, 7)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$P = (-3 - 3)^2 + (7 - 7)^2 - 2^2$
$P = (-6)^2 + (0)^2 - 4$
$P = 36 + 0 - 4$
$P = 32$.
આમ,બિંદુનો પાવર $32$ છે.

(D) ધારો કે $(h, k)$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
વર્તુળ $(0,2)$ પર $y$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = |h|$ અને કેન્દ્રનો $y$-યામ $k = 2$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-2)^2 = h^2$ છે.
તે $(-1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$(-1-h)^2 + (0-2)^2 = h^2$
$1 + 2h + h^2 + 4 = h^2$
$2h = -5 \Rightarrow h = -\frac{5}{2}$.
વર્તુળનું સમીકરણ $\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 + (y-2)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2$ છે.
વિકલ્પ $(d)$ $(-4, 0)$ તપાસતા:
$\left(-4 + \frac{5}{2}\right)^2 + (0-2)^2 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 4 = \frac{9}{4} + 4 = \frac{25}{4} = \left(\frac{5}{2}\right)^2$.
આમ,વર્તુળ $(-4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.

(C) આપેલ વર્તુળ $3x^2+3y^2+x+y-1=0$ છે.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2+y^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}=0$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(h, k) = \left(-\frac{1}{6}, -\frac{1}{6}\right)$ છે અને ત્રિજ્યા $r$ માટે $r^2 = h^2+k^2-c = \frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{3} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}$ થાય.
બિંદુ $(2,-2)$ માંથી વર્તુળ $x^2+y^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}=0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $L$ માટે $L^2 = x_1^2+y_1^2+\frac{1}{3}x_1+\frac{1}{3}y_1-\frac{1}{3}$ થાય.
$L^2 = (2)^2+(-2)^2+\frac{1}{3}(2)+\frac{1}{3}(-2)-\frac{1}{3} = 4+4+\frac{2}{3}-\frac{2}{3}-\frac{1}{3} = 8-\frac{1}{3} = \frac{23}{3}$.
વર્તુળ $S$ ની ત્રિજ્યા $L$ હોવાથી,ત્રિજ્યાનો વર્ગ $R^2 = \frac{23}{3}$ થાય.
વર્તુળ $S$ નું સમીકરણ $(x+\frac{1}{6})^2+(y+\frac{1}{6})^2 = \frac{23}{3}$ છે.
બિંદુ $(2,1)$ ની વર્તુળ $S$ ની સાપેક્ષ પાવર $(x_1+\frac{1}{6})^2+(y_1+\frac{1}{6})^2 - R^2$ થાય.
$= (2+\frac{1}{6})^2+(1+\frac{1}{6})^2 - \frac{23}{3} = (\frac{13}{6})^2+(\frac{7}{6})^2 - \frac{23}{3} = \frac{169}{36}+\frac{49}{36} - \frac{276}{36} = \frac{218-276}{36} = -\frac{58}{36} = -\frac{29}{18}$.

(C) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે,જ્યાં ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ $C_1: x^2+y^2-6x+12y+15=0$ માટે,$g=-3, f=6, c=15$ છે.
$r_1 = \sqrt{(-3)^2+6^2-15} = \sqrt{9+36-15} = \sqrt{30}$.
બીજા વર્તુળ $C_2: x^2+y^2-6x+12y-15=0$ માટે,$g=-3, f=6, c=-15$ છે.
$r_2 = \sqrt{(-3)^2+6^2-(-15)} = \sqrt{9+36+15} = \sqrt{60}$.
ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(C) વર્તુળ પ્રથમ ચરણમાં છે અને બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(c, c)$ અને ત્રિજ્યા $c$ છે,જ્યાં $c > 0$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-c)^2 + (y-c)^2 = c^2$ છે.
રેખા $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$ છે,જેને $4x + 3y - 12 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
વર્તુળ આ રેખાને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(c, c)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $c$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|4c + 3c - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = c$
$\frac{|7c - 12|}{5} = c$
$|7c - 12| = 5c$
કિસ્સો $1$: $7c - 12 = 5c \implies 2c = 12 \implies c = 6$.
કિસ્સો $2$: $7c - 12 = -5c \implies 12c = 12 \implies c = 1$.
આમ,$c = 1$ અથવા $c = 6$.

(D) વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $(x_1, y_1)$ નો પાવર $S_1 = x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $(1, 6)$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 + 4x - 6y - a = 0$ માટે,પાવર $-16$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$(1)^2 + (6)^2 + 4(1) - 6(6) - a = -16$
$1 + 36 + 4 - 36 - a = -16$
$5 - a = -16$
$-a = -21$
$a = 21$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ એ વ્યાસ $x+2y-2=0$ અને $2x+3y-1=0$ નું છેદબિંદુ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$x+2y=2$ $(1)$
$2x+3y=1$ $(2)$
$(1)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $2x+4y=4$ $(3)$
$(3)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $(2x+4y)-(2x+3y) = 4-1$,તેથી $y=3$.
$(1)$ માં $y=3$ મૂકતા: $x+2(3)=2 \implies x+6=2 \implies x=-4$.
તેથી,કેન્દ્ર $(-4, 3)$ છે.
ત્રિજ્યા $R$ એ કેન્દ્ર $(-4, 3)$ અને બિંદુ $(8, 8)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$R^2 = (8 - (-4))^2 + (8 - 3)^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2$ છે:
$(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 169$
$x^2 + 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 169$
$x^2 + y^2 + 8x - 6y - 144 = 0$.
$x^2 + y^2 + px + qy + r = 0$ સાથે સરખાવતા,$p=8, q=-6, r=-144$ મળે છે.
તેથી $p^2 + q^2 + r = 8^2 + (-6)^2 - 144 = 64 + 36 - 144 = 100 - 144 = -44$.

(A) આપેલ સમીકરણ $|x-2|+|y-3|=4$ એ એક ચોરસ દર્શાવે છે જેના શિરોબિંદુઓ $(6, 3), (-2, 3), (2, 7)$ અને $(2, -1)$ છે.
આ ચોરસનું કેન્દ્ર $(2, 3)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર પણ $(2, 3)$ થશે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 2\sqrt{2}$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^2+(y-3)^2=(2\sqrt{2})^2$ થાય.
તેથી,$x^2+y^2-4x-6y+5=0$ મળે છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળ $(2,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$4+4g+c=0$,તેથી $c = -4-4g$.
$X$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2\sqrt{g^2-c} = 5$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4(g^2-c) = 25$.
$c = -4-4g$ મૂકતા,$4(g^2+4g+4) = 25$,જે $4g^2+16g-9=0$ માં પરિણમે છે.
$g$ માટે ઉકેલતા,$g = -4.5 = -9/2$.
કેન્દ્ર $(-g, -f)$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$g < 0$ લેતા,$c = 14$.
આમ,સમીકરણ $x^2+y^2-9x-2ky+14=0$ મળે છે.

(C) $\triangle ABC$ માં,$\angle A = 90^{\circ}$ હોવાથી,બાજુ $BC$ એ પરિવર્તુળનો વ્યાસ બનશે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $B(2, -4)$ અને $C(1, 5)$ આપેલા છે,તેથી વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ દ્વારા મળે છે.
યામો મૂકતા:
$(x - 2)(x - 1) + (y - (-4))(y - 5) = 0$
$(x^2 - x - 2x + 2) + (y^2 - 5y + 4y - 20) = 0$
$x^2 + y^2 - 3x - y - 18 = 0$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે,$\left|\frac{z-3}{z-2i}\right|=2$.
$z=x+iy$ મૂકતા,આપણને $|(x-3)+iy| = 2|x+i(y-2)|$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x-3)^2 + y^2 = 4(x^2 + (y-2)^2)$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - 6x + 9 + y^2 = 4(x^2 + y^2 - 4y + 4)$.
$x^2 - 6x + 9 + y^2 = 4x^2 + 4y^2 - 16y + 16$.
પદોને ગોઠવતા,$3x^2 + 3y^2 + 6x - 16y + 7 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 + 2x - \frac{16}{3}y + \frac{7}{3} = 0$.
વર્તુળના સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$2g = 2 \Rightarrow g = 1$ અને $2f = -\frac{16}{3} \Rightarrow f = -\frac{8}{3}$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-1, \frac{8}{3})$ છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
બિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$c = 0$ મળે.
બિંદુ $(2,0)$ માટે,$4 + 4g = 0 \Rightarrow g = -1$.
બિંદુ $(0,-2)$ માટે,$4 - 4f = 0 \Rightarrow f = 1$.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x + 2y = 0$ છે.
બિંદુ $(k,-2)$ આ વર્તુળ પર હોવાથી:
$k^2 + (-2)^2 - 2(k) + 2(-2) = 0$
$k^2 + 4 - 2k - 4 = 0$
$k(k - 2) = 0$
બિંદુઓ ભિન્ન હોવાથી,$k = 2$ મળે.

(B) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે,જ્યાં ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2+8x-6y=0$ માટે,$g=4, f=-3, c=0$. તેથી,$r_1 = \sqrt{4^2+(-3)^2-0} = 5$. પરિમિતિ $P_1 = 10\pi$.
બીજા વર્તુળ $4x^2+4y^2-4x-12y-186=0$ માટે,$4$ વડે ભાગતા: $x^2+y^2-x-3y-46.5=0$. અહીં $g=-0.5, f=-1.5, c=-46.5$. તેથી,$r_2 = \sqrt{0.25+2.25+46.5} = \sqrt{49} = 7$. પરિમિતિ $P_2 = 14\pi$.
ત્રીજા વર્તુળ $x^2+y^2-6x+6y-9=0$ માટે,$g=-3, f=3, c=-9$. તેથી,$r_3 = \sqrt{9+9+9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5.196$. પરિમિતિ $P_3 = 6\sqrt{3}\pi \approx 10.39\pi$.
પરિમિતિઓની સરખામણી કરતા: $10\pi < 10.39\pi < 14\pi$,એટલે કે $P_1 < P_3 < P_2$.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx'+2fy'+c=0$ છે.
બિંદુઓ $(-1,0), (-1,1)$ અને $(1,1)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$1$) $(-1,0)$ માટે: $1-2g+c=0 \implies c=2g-1$.
$2$) $(-1,1)$ માટે: $2-2g+2f+c=0$.
$c=2g-1$ મૂકતા: $2f+1=0 \implies f=-1/2$.
$3$) $(1,1)$ માટે: $2+2g+2f+c=0$.
$f=-1/2$ અને $c=2g-1$ મૂકતા: $4g=0 \implies g=0$ અને $c=-1$.
સમીકરણ $x^2+y^2-y-1=0$ મળે છે.
$ax^2+ay^2+2gx+2fy-2=0$ સ્વરૂપમાં લાવવા માટે $2$ વડે ગુણતા: $2x^2+2y^2-2y-2=0$.
સરખામણી કરતા $a=2$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 1), B(-2, 2)$ અને $C(2, -2)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ લો.
બિંદુઓને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1, 1)$ માટે: $2g + 2f + c = -2$ $(i)$
$(-2, 2)$ માટે: $-4g + 4f + c = -8$ $(ii)$
$(2, -2)$ માટે: $4g - 4f + c = -8$ $(iii)$
$(ii)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા: $-8g + 8f = 0 \Rightarrow g = f$.
$g = f$ ને $(i)$ અને $(ii)$ માં મૂકતા: $4g + c = -2$ અને $c = -8$.
$c = -8$ ને $4g + c = -2$ માં મૂકતા: $g = \frac{3}{2}$.
આમ,કેન્દ્ર $\left(-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}\right)$ મળે છે.
રેખા $3x - 4y + 1 = 0$ થી લંબ અંતર $d = \frac{|3(-\frac{3}{2}) - 4(-\frac{3}{2}) + 1|}{5} = \frac{1}{2}$ થાય.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(-1, 1), (0, -1)$ અને $(1, 0)$ વર્તુળ પર હોવાથી:
$(-1, 1)$ માટે: $1 + 1 - 2g + 2f + c = 0 \Rightarrow -2g + 2f + c = -2 \dots (i)$
$(0, -1)$ માટે: $0 + 1 + 0 - 2f + c = 0 \Rightarrow -2f + c = -1 \dots (ii)$
$(1, 0)$ માટે: $1 + 0 + 2g + 0 + c = 0 \Rightarrow 2g + c = -1 \dots (iii)$
સમીકરણ $(ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,$2c = -2 \Rightarrow c = -1$.
$c = -1$ ને $(iii)$ માં મૂકતા,$2g - 1 = -1 \Rightarrow g = 0$.
$c = -1$ ને $(ii)$ માં મૂકતા,$-2f - 1 = -1 \Rightarrow f = 0$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 1 = 0$ મળે છે.
બિંદુ $(1, k)$ વર્તુળ પર હોવાથી: $1^2 + k^2 - 1 = 0$ $\Rightarrow k^2 = 0$ $\Rightarrow k = 0$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
બિંદુઓ $(2,0)$ અને $(1,2)$ વર્તુળ પર હોવાથી:
$4 + 4g + c = 0 \Rightarrow 4g + c = -4$ $(i)$
$1 + 4 + 2g + 4f + c = 0 \Rightarrow 2g + 4f + c = -5$ $(ii)$
વર્તુળના સાપેક્ષમાં બિંદુ $(0,2)$ ની પાવર $S(0,2) = 0^2 + 2^2 + 2g(0) + 2f(2) + c = 4 + 4f + c$ છે.
પાવર $4$ આપેલ હોવાથી,$4 + 4f + c = 4 \Rightarrow 4f + c = 0$ $(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા: $(2g + 4f + c) - (4f + c) = -5 - 0$ $\Rightarrow 2g = -5$ $\Rightarrow g = -\frac{5}{2}$.
$g$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $4(-\frac{5}{2}) + c = -4$ $\Rightarrow -10 + c = -4$ $\Rightarrow c = 6$.
$c$ ની કિંમત $(iii)$ માં મૂકતા: $4f + 6 = 0 \Rightarrow f = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-\frac{5}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 - 6} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{9}{4} - 6} = \sqrt{\frac{34}{4} - 6} = \sqrt{\frac{17}{2} - 6} = \sqrt{\frac{5}{2}}$.

(D) વર્તુળનું કેન્દ્ર તેના વ્યાસ $x - y = 2$ અને $2x + 3y = 14$ નું છેદબિંદુ છે.
$x - y = 2$ પરથી $y = x - 2$ મળે.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $2x + 3(x - 2) = 14$.
$2x + 3x - 6 = 14$ $\Rightarrow 5x = 20$ $\Rightarrow x = 4$.
તેથી $y = 4 - 2 = 2$.
આમ,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(4, 2)$ છે.
વર્તુળ $(1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે. ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(4, 2)$ અને બિંદુ $(1, -2)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$r = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(\alpha, \beta)$ છે. કેન્દ્ર $x-y+1=0$ રેખા પર હોવાથી,$\beta = \alpha+1$. તેથી,$C = (\alpha, \alpha+1)$.
આપેલ બિંદુઓ $P(3,1)$ અને $Q(-2,4)$ વર્તુળ પર છે,તેથી $CP^2 = CQ^2$.
$(\alpha-3)^2 + (\alpha+1-1)^2 = (\alpha+2)^2 + (\alpha+1-4)^2$
$(\alpha-3)^2 + \alpha^2 = (\alpha+2)^2 + (\alpha-3)^2$
$\alpha^2 = (\alpha+2)^2$
$\alpha^2 = \alpha^2 + 4\alpha + 4$
$4\alpha = -4 \Rightarrow \alpha = -1$.
તેથી,કેન્દ્ર $C(-1, 0)$ છે.
ત્રિજ્યા $r = CP = \sqrt{(-1-3)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$.
વર્તુળના પ્રચલ સમીકરણો $x = h + r \cos \theta$ અને $y = k + r \sin \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x = -1 + \sqrt{17} \cos \theta$ અને $y = \sqrt{17} \sin \theta$ મળે.

(B) વર્તુળ બિંદુઓ $A(3,4)$,$B(3,2)$ અને $C(1,4)$ માંથી પસાર થાય છે.
અહીં $AB$ એ શિરોલંબ રેખાખંડ $(x=3)$ છે અને $AC$ એ સમક્ષિતિજ રેખાખંડ $(y=4)$ છે,તેથી $A(3,4)$ આગળનો ખૂણો $90^\circ$ છે.
આમ,$BC$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
$BC$ નું મધ્યબિંદુ એ કેન્દ્ર $(h, k) = (\frac{3+1}{2}, \frac{2+4}{2}) = (2, 3)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(2, 3)$ થી $(3, 4)$ સુધીનું અંતર છે:
$r = \sqrt{(3-2)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
પ્રાચલ સમીકરણો $x = 2 + \sqrt{2} \cos \theta$ અને $y = 3 + \sqrt{2} \sin \theta$ છે.
$x = a + r \cos \theta$ અને $y = b + r \sin \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$,$b = 3$ અને $r = \sqrt{2}$ મળે છે.
તેથી,$b^a \cdot r^a = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.