Equations of circle Questions in Gujarati

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ રેખા $x-4y=1$ પર હોવાથી,$-g-4(-f)=1$ મળે,જે $-g+4f=1$ $\dots(i)$ થાય છે.
વર્તુળ બિંદુ $(3,7)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $3^2+7^2+2g(3)+2f(7)+c=0$,એટલે કે $6g+14f+c=-58$ $\dots(ii)$.
વર્તુળ બિંદુ $(5,5)$ માંથી પણ પસાર થાય છે,તેથી $5^2+5^2+2g(5)+2f(5)+c=0$,એટલે કે $10g+10f+c=-50$ $\dots(iii)$.
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા,$4g-4f=8$ મળે,એટલે કે $g-f=2$ $\dots(iv)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(iv)$ ઉકેલતા,$f=1$ અને $g=3$ મળે છે.
$g=3$ અને $f=1$ ની કિંમત $(iii)$ માં મૂકતા,$c=-90$ મળે છે.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+6x+2y-90=0$ છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
તે $(1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1+4+2g-4f+c=0 \Rightarrow 2g-4f+c=-5$ $(i)$.
તે $(4, -3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $16+9+8g-6f+c=0 \Rightarrow 8g-6f+c=-25$ $(ii)$.
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $(8g-6f+c) - (2g-4f+c) = -25 - (-5) \Rightarrow 6g-2f = -20$ $(iii)$.
કેન્દ્ર $(-g, -f)$ એ $3x+2y=7$ પર છે,તેથી $3(-g)+2(-f)=7 \Rightarrow -3g-2f=7$ $(iv)$.
$(iii)$ માંથી $(iv)$ બાદ કરતા: $(6g-2f) - (-3g-2f) = -20 - 7$ $\Rightarrow 9g = -27$ $\Rightarrow g = -3$.
$g=-3$ ને $(iii)$ માં મુકતા: $6(-3)-2f = -20$ $\Rightarrow -18-2f = -20$ $\Rightarrow -2f = -2$ $\Rightarrow f = 1$.
$g=-3$ અને $f=1$ ને $(i)$ માં મુકતા: $2(-3)-4(1)+c = -5$ $\Rightarrow -6-4+c = -5$ $\Rightarrow c = 5$.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x+2y+5=0$ છે.

(A) વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસો $3x - 4y - 7 = 0$ અને $2x - 3y - 5 = 0$ નું છેદબિંદુ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
પ્રથમ સમીકરણને $3$ વડે અને બીજાને $4$ વડે ગુણતા: $9x - 12y = 21$ અને $8x - 12y = 20$.
બાદબાકી કરતા $x = 1$ મળે છે.
$x = 1$ ને $2x - 3y - 5 = 0$ માં મૂકતા $2(1) - 3y - 5 = 0$ મળે,તેથી $-3y = 3$,એટલે કે $y = -1$.
કેન્દ્ર $(h, k) = (1, -1)$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = 49\pi$ છે,તેથી $r^2 = 49$,એટલે કે $r = 7$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 7^2$.
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 49$.
$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 47 = 0$.

(A) વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસ $2x - 3y = 5$ અને $3x - 4y = 7$ નું છેદબિંદુ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
પ્રથમ સમીકરણને $3$ વડે અને બીજાને $2$ વડે ગુણતા: $6x - 9y = 15$ અને $6x - 8y = 14$.
બાદબાકી કરતા $y = -1$ મળે છે. $y = -1$ ને $2x - 3(-1) = 5$ માં મૂકતા $2x + 3 = 5$ મળે,તેથી $x = 1$.
કેન્દ્ર $(1, -1)$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = 154$ છે.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,$\frac{22}{7} r^2 = 154$,તેથી $r^2 = 49$ અને $r = 7$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 7^2$ થાય.
વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 49$.
$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 47 = 0$.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $x^2+y^2-6x-2y+9=0$.
$x$ અને $y$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(x^2-6x+9) + (y^2-2y+1) = -9+9+1$.
$(x-3)^2 + (y-1)^2 = 1^2$.
વર્તુળનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે,જ્યાં કેન્દ્ર $(h, k) = (3, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
પ્રચલ સમીકરણો $x = h + r \cos \theta$ અને $y = k + r \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = 3 + 1 \cos \theta$ અને $y = 1 + 1 \sin \theta$.
તેથી,$x = 3 + \cos \theta$ અને $y = 1 + \sin \theta$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2-ax-by=0$ છે.
વર્ગ પૂર્ણ કરતા,આપણને મળે છે:
$(x-\frac{a}{2})^2 + (y-\frac{b}{2})^2 = \frac{a^2+b^2}{4}$.
આ એક વર્તુળ દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $(h, k) = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}}$ છે.
વર્તુળના પ્રચલ સમીકરણો $x = h + r \cos \theta$ અને $y = k + r \sin \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x = \frac{a}{2} + \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}} \cos \theta$ અને $y = \frac{b}{2} + \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}} \sin \theta$ મળે છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. તે રેખા $x-4y=1$ પર હોવાથી,$h = 1+4k$. તેથી,કેન્દ્ર $(4k+1, k)$ છે.
વર્તુળ બિંદુઓ $(3,7)$ અને $(5,5)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી કેન્દ્રથી આ બિંદુઓનું અંતર સમાન (ત્રિજ્યા $r$) છે:
$(4k+1-3)^2 + (k-7)^2 = (4k+1-5)^2 + (k-5)^2$
$(4k-2)^2 + (k-7)^2 = (4k-4)^2 + (k-5)^2$
$16k^2 - 16k + 4 + k^2 - 14k + 49 = 16k^2 - 32k + 16 + k^2 - 10k + 25$
$17k^2 - 30k + 53 = 17k^2 - 42k + 41$
$12k = -12 \Rightarrow k = -1$.
$k = -1$ ને $h = 1+4k$ માં મૂકતા,$h = 1+4(-1) = -3$ મળે. તેથી,કેન્દ્ર $(-3, -1)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $(-3, -1)$ અને $(5, 5)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$r^2 = (5 - (-3))^2 + (5 - (-1))^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે:
$(x + 3)^2 + (y + 1)^2 = 100$
$x^2 + 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 = 100$
$x^2 + y^2 + 6x + 2y - 90 = 0$.

(A) આપેલ છે કે વર્તુળનો પરિઘ $10 \pi$ એકમ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પરિઘ $C = 2 \pi r$,તેથી $2 \pi r = 10 \pi$,જે $r = 5$ આપે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (2, -3)$ છે.
વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 5^2$.
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$.
વિસ્તરણ કરતા,$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 25$.
$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 25$.
$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$.

(C) વર્તુળનું વ્યાપક સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $c=0$ મળે.
વર્તુળ $X$-અક્ષ પર $-2$ નો અંતઃખંડ કાપે છે,તેથી તે $(-2,0)$ માંથી પસાર થાય છે. સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(-2)^2 + 0^2 + 2g(-2) + 2f(0) + 0 = 0$ $\Rightarrow 4 - 4g = 0$ $\Rightarrow g = 1$.
વર્તુળ $Y$-અક્ષ પર $3$ નો અંતઃખંડ કાપે છે,તેથી તે $(0,3)$ માંથી પસાર થાય છે. સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $0^2 + 3^2 + 2g(0) + 2f(3) + 0 = 0$ $\Rightarrow 9 + 6f = 0$ $\Rightarrow f = -\frac{3}{2}$.
$g=1$ અને $f=-\frac{3}{2}$ ની કિંમત વ્યાપક સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2+y^2+2(1)x+2(-\frac{3}{2})y+0=0$.
આથી સાદું રૂપ આપતા $x^2+y^2+2x-3y=0$ મળે છે.

(B) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-6x+4y-3=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(x^{2}-6x+9) + (y^{2}+4y+4) = 3+9+4$
$(x-3)^{2} + (y+2)^{2} = 16$
$(x-3)^{2} + (y+2)^{2} = 4^{2}$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$ સાથે સરખાવતા,કેન્દ્ર $(h, k) = (3, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ મળે છે.
વર્તુળના પ્રાચલ સમીકરણો $x = h + r \cos \theta$ અને $y = k + r \sin \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x = 3 + 4 \cos \theta$ અને $y = -2 + 4 \sin \theta$ મળે છે.

(D) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}+2x-4y+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $A$ એ $(-1, 2)$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-8x+6y+17=0$ માટે,કેન્દ્ર $B$ એ $(4, -3)$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_{1}, y_{1})$ અને $(x_{2}, y_{2})$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0$ છે.
$A$ અને $B$ ના યામ મૂકતા:
$(x-(-1))(x-4)+(y-2)(y-(-3))=0$
$(x+1)(x-4)+(y-2)(y+3)=0$
$x^{2}-4x+x-4+y^{2}+3y-2y-6=0$
$x^{2}+y^{2}-3x+y-10=0$.

(C) વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $x$-અક્ષ પર $3$ તથા $y$-અક્ષ પર $-5$ અંતઃખંડ બનાવે છે,તેથી બિંદુઓ $(3,0)$ અને $(0,-5)$ વર્તુળ પર આવેલા છે.
વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુએ વ્યાસ દ્વારા બનતો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,$(3,0)$ અને $(0,-5)$ ને જોડતો રેખાખંડ વર્તુળનો વ્યાસ છે કારણ કે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પરનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
બિંદુઓ $(3,0)$ અને $(0,-5)$ મૂકતા:
$(x-3)(x-0) + (y-0)(y-(-5)) = 0$
$x(x-3) + y(y+5) = 0$
$x^{2} - 3x + y^{2} + 5y = 0$
$x^{2} + y^{2} - 3x + 5y = 0$

(D) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ છે,જ્યાં ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-4x+6y-k=0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$2g = -4 \Rightarrow g = -2$
$2f = 6 \Rightarrow f = 3$
$c = -k$
ત્રિજ્યા $r = 5$ આપેલ હોવાથી:
$5 = \sqrt{(-2)^{2} + (3)^{2} - (-k)}$
$5 = \sqrt{4 + 9 + k}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$25 = 13 + k$
$k = 25 - 13 = 12$

(A) પ્રથમ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-2x+3y-3=0$ નું કેન્દ્ર $C_{1} = (1, -3/2)$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}+6x-12y-5=0$ નું કેન્દ્ર $C_{2} = (-3, 6)$ છે.
વ્યાસના અંતિમ બિંદુઓ $(x_{1}, y_{1})$ અને $(x_{2}, y_{2})$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_{1})(x-x_{2}) + (y-y_{1})(y-y_{2}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(x-1)(x+3) + (y+3/2)(y-6) = 0$
$x^{2}+2x-3 + y^{2}-9/2y-9 = 0$
$x^{2}+y^{2}+2x-9/2y-12 = 0$
$2$ વડે ગુણતા: $2x^{2}+2y^{2}+4x-9y-24 = 0$.

(B) લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(a, b)$,$(-a, b)$,$(-a, -b)$,અને $(a, -b)$ છે.
વર્તુળ આ શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતું હોવાથી,લંબચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળનો વ્યાસ બને છે.
$(a, b)$ અને $(-a, -b)$ ને જોડતા વિકર્ણને વ્યાસ તરીકે લેતા,વર્તુળનું સમીકરણ:
$(x - a)(x + a) + (y - b)(y + b) = 0$
$x^2 - a^2 + y^2 - b^2 = 0$
$x^2 + y^2 = a^2 + b^2$

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + k = 0$ છે.
તે $(2,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $4 + 4g + k = 0 \Rightarrow k = -4 - 4g$.
તે $(0,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1 + 2f + k = 0 \Rightarrow k = -1 - 2f$.
તે $(4,5)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $41 + 8g + 10f + k = 0$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $g = -\frac{13}{6}$,$f = -\frac{17}{6}$,અને $k = \frac{14}{3}$ મળે છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $3(x^{2} + y^{2}) - 13x - 17y + 14 = 0$ છે.
બિંદુ $(0, c)$ આ વર્તુળ પર હોવાથી,$x=0$ અને $y=c$ મૂકતા:
$3c^{2} - 17c + 14 = 0$.
$(3c - 14)(c - 1) = 0$.
તેથી,$c = 1$ અથવા $c = \frac{14}{3}$.
$(0,1)$ પહેલેથી જ આપેલ બિંદુ હોવાથી,$c = \frac{14}{3}$ મળે છે.

(C) આપેલ વર્તુળ $2x^2+2y^2-6x+8y+1=0$ છે.
$2$ વડે ભાગતા,$x^2+y^2-3x+4y+\frac{1}{2}=0$ મળે.
કેન્દ્ર $(\frac{3}{2}, -2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_1$ માટે $r_1^2 = (\frac{3}{2})^2 + (-2)^2 - \frac{1}{2} = \frac{23}{4}$ થાય.
ધારો કે માંગેલ વર્તુળ $x^2+y^2-3x+4y+k=0$ છે.
તેની ત્રિજ્યા $r_2$ માટે $r_2^2 = \frac{25}{4} - k$ થાય.
ક્ષેત્રફળ બમણું હોવાથી,$r_2^2 = 2r_1^2$.
$\frac{25}{4} - k = 2(\frac{23}{4}) = \frac{23}{2}$.
$k = -\frac{21}{4}$.
આમ,સમીકરણ $x^2+y^2-3x+4y-\frac{21}{4}=0$ અથવા $4x^2+4y^2-12x+16y-21=0$ મળે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x-4y-12=0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (3, 2)$ છે.
આપેલ વર્તુળ સાથે સમકેન્દ્રી વર્તુળનું કેન્દ્ર પણ $(3, 2)$ જ રહેશે.
ધારો કે માંગેલ વર્તુળનું સમીકરણ $(x-3)^2+(y-2)^2=r^2$ છે.
વર્તુળ $Y$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = |3| = 3$ થશે.
સમીકરણમાં $r=3$ મૂકતા: $(x-3)^2+(y-2)^2=3^2$.
વિસ્તરણ કરતા: $x^2-6x+9+y^2-4y+4=9$.
આમ,$x^2+y^2-6x-4y+4=0$ મળે છે.

(A) વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(3, 4)$ થી રેખા $5x + 12y - 11 = 0$ નું લંબ અંતર છે.
$r = \left| \frac{5(3) + 12(4) - 11}{\sqrt{5^2 + 12^2}} \right| = \left| \frac{15 + 48 - 11}{\sqrt{25 + 144}} \right| = \frac{52}{13} = 4$.
કેન્દ્ર $(h, k) = (3, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4^2$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = 16$
$x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણો $x = 6 \cos \theta$ અને $y = 6 \sin \theta$ છે.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરતા,આપણને $x^{2} = 36 \cos^{2} \theta$ અને $y^{2} = 36 \sin^{2} \theta$ મળે છે.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$x^{2} + y^{2} = 36 \cos^{2} \theta + 36 \sin^{2} \theta$
$x^{2} + y^{2} = 36(\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta)$
કારણ કે $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$,તેથી:
$x^{2} + y^{2} = 36$.

(B) આપેલ પ્રાચલિત સમીકરણો $x = 4a \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)$ અને $y = \frac{8at}{1+t^2}$ છે.
ધારો કે $t = \tan \theta$. તો $\cos 2\theta = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ અને $\sin 2\theta = \frac{2t}{1+t^2}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,$x = 4a \cos 2\theta$ અને $y = 4a \sin 2\theta$ મળે.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$x^2 + y^2 = (4a \cos 2\theta)^2 + (4a \sin 2\theta)^2$
$x^2 + y^2 = 16a^2 (\cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta)$
$x^2 + y^2 = (4a)^2$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $4a$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $x=3+5 \cos \theta$ અને $y=2+5 \sin \theta$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{x-3}{5} = \cos \theta$ અને $\frac{y-2}{5} = \sin \theta$ મળે છે.
નિત્યસમ $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદોને મૂકતા:
$(\frac{x-3}{5})^{2} + (\frac{y-2}{5})^{2} = 1$.
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{x^{2}-6x+9}{25} + \frac{y^{2}-4y+4}{25} = 1$.
$25$ વડે ગુણતા: $x^{2}-6x+9 + y^{2}-4y+4 = 25$.
સરળ બનાવતા: $x^{2}+y^{2}-6x-4y+13 = 25$.
આમ,કાર્તેઝિયન સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-6x-4y-12 = 0$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $x^2+y^2+ax+by=0$.
$x$ અને $y$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(x^2+ax+\frac{a^2}{4}) + (y^2+by+\frac{b^2}{4}) = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$.
આનું સાદું રૂપ: $(x+\frac{a}{2})^2 + (y+\frac{b}{2})^2 = \frac{a^2+b^2}{4}$.
આને વર્તુળના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને કેન્દ્ર $(h, k) = (-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2})$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}}$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળ માટે પ્રચલ સમીકરણો $x = h + r \cos \theta$ અને $y = k + r \sin \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x = -\frac{a}{2} + \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}} \cos \theta$ અને $y = -\frac{b}{2} + \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}} \sin \theta$ મળે છે.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ: $2x + 3y - k = 0, k > 0$.
અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x}{k/2} + \frac{y}{k/3} = 1$.
આમ,$A$ અને $B$ ના યામ $(\frac{k}{2}, 0)$ અને $(0, \frac{k}{3})$ છે.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times \frac{k}{2} \times \frac{k}{3} = \frac{k^{2}}{12}$.
ક્ષેત્રફળ $= 12$ આપેલ છે,તેથી $\frac{k^{2}}{12} = 12$ $\Rightarrow k^{2} = 144$ $\Rightarrow k = 12$ ($k > 0$ હોવાથી).
તેથી,$A = (6, 0)$ અને $B = (0, 4)$.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
બિંદુઓ $(6, 0)$ અને $(0, 4)$ મૂકતા:
$(x - 6)(x - 0) + (y - 0)(y - 4) = 0$
$x(x - 6) + y(y - 4) = 0$
$x^{2} - 6x + y^{2} - 4y = 0$
$x^{2} + y^{2} - 6x - 4y = 0$.

(B) બે બિંદુઓ $A(x_1, y_1)$ અને $B(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતા સૌથી નાના વર્તુળનો વ્યાસ રેખાખંડ $AB$ હોય છે.
આપેલ બિંદુઓ $A(2,2)$ અને $B(3,3)$ છે.
વ્યાસ $AB$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
યામો મૂકતા,$(x-2)(x-3) + (y-2)(y-3) = 0$ મળે.
વિસ્તરણ કરતા,$(x^2 - 5x + 6) + (y^2 - 5y + 6) = 0$ મળે.
સાદું રૂપ આપતા,$x^2 + y^2 - 5x - 5y + 12 = 0$ મળે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. વર્તુળ $Y$-અક્ષને $(0,3)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = |h|$ થાય. આમ,કેન્દ્ર $(\pm r, 3)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x \mp r)^{2} + (y-3)^{2} = r^{2}$ છે.
વર્તુળ $X$-અક્ષ પર $8$ એકમનો અંતઃખંડ બનાવે છે,તેથી $2\sqrt{r^{2}-k^{2}} = 8$.
અહીં $k=3$ છે,તેથી $2\sqrt{r^{2}-3^{2}} = 8 \implies \sqrt{r^{2}-9} = 4 \implies r^{2}-9 = 16 \implies r^{2} = 25 \implies r = 5$.
કેન્દ્ર $(\pm 5, 3)$ મળે છે.
સમીકરણ $(x \mp 5)^{2} + (y-3)^{2} = 5^{2}$ થશે.
$x^{2} \mp 10x + 25 + y^{2} - 6y + 9 = 25$.
$x^{2} + y^{2} \mp 10x - 6y + 9 = 0$.

(D) બિંદુઓ $(1,0), (0,1)$ અને $(0,0)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - x - y = 0$ છે.
આપેલ છે કે બિંદુ $(2k, 3k)$ વર્તુળ પર છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(2k)^2 + (3k)^2 - (2k) - (3k) = 0$
$4k^2 + 9k^2 - 5k = 0$
$13k^2 - 5k = 0$
$k(13k - 5) = 0$
$k \neq 0$ હોવાથી,$k = \frac{5}{13}$ મળે.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=1$ નું કેન્દ્ર $O(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_{1} = 1$ છે.
ધારો કે માંગેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(4,3)$ અને ત્રિજ્યા $r_{2}$ છે.
કેન્દ્રો $O$ અને $C$ વચ્ચેનું અંતર $OC = \sqrt{(4-0)^{2} + (3-0)^{2}} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$OC = r_{1} + r_{2}$
$5 = 1 + r_{2}$
$r_{2} = 4$.
કેન્દ્ર $(h,k) = (4,3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ:
$(x-4)^{2} + (y-3)^{2} = 4^{2}$
$x^{2} - 8x + 16 + y^{2} - 6y + 9 = 16$
$x^{2} + y^{2} - 8x - 6y + 9 = 0$.

(B) આપેલ છે કે,
$x = 2 + 3 \cos \theta \implies x - 2 = 3 \cos \theta \implies \cos \theta = \frac{x - 2}{3}$
$y = 1 - 3 \sin \theta \implies y - 1 = -3 \sin \theta \implies \sin \theta = \frac{y - 1}{-3}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\left(\frac{y - 1}{-3}\right)^2 + \left(\frac{x - 2}{3}\right)^2 = 1$
$\frac{(y - 1)^2}{9} + \frac{(x - 2)^2}{9} = 1$
$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$
વર્તુળના પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ સાથે સરખાવતા,કેન્દ્ર $(h, k) = (2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{9} = 3$ મળે છે.

(C) કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$ છે.
અહીં કેન્દ્ર $(h, k) = (-a, -b)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{a^{2}-b^{2}}$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$(x - (-a))^{2} + (y - (-b))^{2} = (\sqrt{a^{2}-b^{2}})^{2}$
$(x+a)^{2} + (y+b)^{2} = a^{2}-b^{2}$
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^{2} + 2ax + a^{2} + y^{2} + 2by + b^{2} = a^{2} - b^{2}$
બંને બાજુથી $a^{2}$ બાદ કરતા અને $b^{2}$ ઉમેરતા:
$x^{2} + y^{2} + 2ax + 2by + b^{2} + b^{2} = 0$
$x^{2} + y^{2} + 2ax + 2by + 2b^{2} = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2-6x+10y-2=0$ છે.
$x$ અને $y$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(x^2-6x+9) + (y^2+10y+25) - 9 - 25 - 2 = 0$.
$(x-3)^2 + (y+5)^2 = 36$.
ઉગમબિંદુને $(3, -5)$ પર સ્થાનાંતરિત કરવા માટે,આપણે $x = X+3$ અને $y = Y-5$ મૂકીએ છીએ,જેનો અર્થ છે કે $X = x-3$ અને $Y = y+5$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $X^2 + Y^2 = 36$ મળે છે.
આમ,નવું સમીકરણ $x^2+y^2=36$ છે.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ છે અને તેની મધ્યગા $AD = 9$ એકમ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,મધ્યકેન્દ્ર $O$ એ મધ્યગા $AD$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર હોવાથી અને તે શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતું હોવાથી,$O$ એ $\triangle ABC$ નું પરિકેન્દ્ર છે.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,પરિકેન્દ્ર અને મધ્યકેન્દ્ર એક જ હોય છે.
તેથી,કેન્દ્ર $O$ થી શિરોબિંદુ $A$ સુધીનું અંતર એ વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ છે.
$R = AO = \frac{2}{3} AD = \frac{2}{3} \times 9 = 6$ એકમ.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર કેન્દ્ર અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = R^2$ છે.
$R = 6$ મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 = 6^2 = 36$ મળે છે.

(A) અહીં $\angle APB = 90^{\circ}$ હોવાથી,બિંદુ $P$ એ $AB$ વ્યાસવાળા વર્તુળ પર આવેલું છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
અહીં,$(x_1, y_1) = (2, 3)$ અને $(x_2, y_2) = (-1, 1)$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$(x-2)(x+1) + (y-3)(y-1) = 0$
$x^2 + x - 2x - 2 + y^2 - y - 3y + 3 = 0$
$x^2 + y^2 - x - 4y + 1 = 0$

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
બિંદુઓ $(1,1), (-6,0),$ અને $(-2,2)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$1$) $(1,1)$ માટે: $2g + 2f + c = -2$.
$2$) $(-6,0)$ માટે: $-12g + c = -36$.
$3$) $(-2,2)$ માટે: $-4g + 4f + c = -8$.
સમીકરણ $(3)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા: $-6g + 2f = -6 \implies f = 3g - 3$.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$c = 12g - 36$.
આ કિંમતો $(1)$ માં મૂકતા: $2g + 2(3g - 3) + (12g - 36) = -2 \implies 20g = 40 \implies g = 2$.
તેથી $f = 3$ અને $c = -12$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 4x + 6y - 12 = 0$ છે.
વિકલ્પ $(C) (-2,-8)$ ચકાસતા: $(-2)^2 + (-8)^2 + 4(-2) + 6(-8) - 12 = 4 + 64 - 8 - 48 - 12 = 0$.
આમ,બિંદુ $(-2,-8)$ વર્તુળ પર આવેલું છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ $(i)$
જો સમીકરણ $(i)$ વર્તુળ દર્શાવે,તો $a=b$ અને $h=0$ થાય.
આ કિંમતો $(i)$ માં મૂકતા: $bx^2+by^2+2gx+2fy+c=0$.
$b$ વડે ભાગતા ($b \neq 0$ હોવાથી): $x^2+y^2+2(\frac{g}{b})x+2(\frac{f}{b})y+\frac{c}{b}=0$.
બિંદુ વર્તુળ માટે,ત્રિજ્યા $r=0$ હોવી જોઈએ.
વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ની ત્રિજ્યા $\sqrt{g^2+f^2-c}$ છે.
અહીં,$g' = \frac{g}{b}$,$f' = \frac{f}{b}$,અને $c' = \frac{c}{b}$ છે.
તેથી,$r^2 = (\frac{g}{b})^2 + (\frac{f}{b})^2 - \frac{c}{b} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{g^2+f^2}{b^2} = \frac{c}{b}$.
$b^2$ વડે ગુણતા,આપણને $g^2+f^2 = bc$ મળે છે.
$g^2+f^2 \geq 0$ હોવાથી,$bc \geq 0$ થાય.
ઉગમબિંદુ સિવાયના બિંદુ વર્તુળ માટે,$g^2+f^2 > 0$,તેથી $bc > 0$.

(C) દ્વિઘાત વક્રનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + by^2 + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
વર્તુળ દર્શાવવા માટે,$x^2$ નો સહગુણક અને $y^2$ નો સહગુણક સમાન હોવા જોઈએ (એટલે કે $a = b$) અને $xy$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ (એટલે કે $h = 0$).
આમ,સમીકરણ $a(x^2 + y^2) + 2gx + 2fy + c = 0$ બને છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા આપણને $a(0)^2 + a(0)^2 + 2g(0) + 2f(0) + c = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $c = 0$.
તેથી,શરતો $a = b, h = 0, c = 0$ છે.

(C) ધારો કે જરૂરી વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. આપેલ છે કે પરિઘ $10 \pi$ છે.
$2 \pi r = 10 \pi$
$\Rightarrow r = 5$
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (2, -3)$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 5^2$
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 25$
$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) વર્તુળ બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(h, h)$ અને ત્રિજ્યા $|h|$ છે.
આપેલ છે કે વર્તુળ રેખા $3x - 4y - 12 = 0$ ને પણ સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(h, h)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $|h|$ જેટલું થાય.
$\therefore \left|\frac{3h - 4h - 12}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}\right| = |h|$
$\Rightarrow \left|\frac{-h - 12}{5}\right| = |h|$
$\Rightarrow |-h - 12| = 5|h|$
કિસ્સો $1$: $-h - 12 = 5h$ $\Rightarrow 6h = -12$ $\Rightarrow h = -2$.
કિસ્સો $2$: $-h - 12 = -5h$ $\Rightarrow 4h = 12$ $\Rightarrow h = 3$.
$h = 3$ માટે,સમીકરણ $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 3^2$ થાય.
$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 6y + 9 = 9$
$x^2 + y^2 - 6x - 6y + 9 = 0$.

(D) આપેલ રેખાઓ $3x + 4y - 18 = 0$ અને $3x + 4y + 2 = 0$ વર્તુળના સમાંતર સ્પર્શકો છે.
આ સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|2 - (-18)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{20}{5} = 4$ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ $4$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{4}{2} = 2$ થાય.
ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. કેન્દ્ર $2x + y + 3 = 0$ પર હોવાથી,$2h + k + 3 = 0 \Rightarrow k = -2h - 3$ મળે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ થી સ્પર્શક $3x + 4y + 2 = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = 2$ જેટલું થાય:
$\frac{|3h + 4k + 2|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 2$ $\Rightarrow |3h + 4(-2h - 3) + 2| = 10$ $\Rightarrow |-5h - 10| = 10$.
આથી $h = -4$ અથવા $h = 0$ મળે.
જો $h = -4$ હોય,તો $k = 5$ મળે. કેન્દ્ર $(-4, 5)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 2^2 \Rightarrow x^2 + y^2 + 8x - 10y + 37 = 0$ થાય.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $2x^2 + 2y^2 = 9$ છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 + y^2 = \frac{9}{2}$ મળે છે.
આ $x^2 + y^2 = r^2$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $r^2 = \frac{9}{2}$,તેથી $r = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ માટે પ્રચલ સમીકરણો $x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ છે.
$r = \frac{3}{\sqrt{2}}$ મૂકતા,આપણને $x = \frac{3}{\sqrt{2}} \cos \theta$ અને $y = \frac{3}{\sqrt{2}} \sin \theta$ મળે છે.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x+ky+4=0$ $(i)$ છે.
વર્તુળ $(i)$ નું કેન્દ્ર $C \equiv (1, -k/2)$ છે.
વર્તુળ $S$ એ વર્તુળ $(i)$ સાથે સમકેન્દ્રી હોવાથી,$S$ નું સમીકરણ $(x-1)^2 + (y+k/2)^2 = r^2$ $(ii)$ થાય.
કેન્દ્ર $(1, -k/2)$ એ વ્યાસની રેખા $3x-2y+4=0$ પર આવેલું છે.
રેખાના સમીકરણમાં કેન્દ્રના યામ મૂકતા: $3(1) - 2(-k/2) + 4 = 0$ $\Rightarrow 3 + k + 4 = 0$ $\Rightarrow k = -7$.
$k = -7$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા,આપણને $(x-1)^2 + (y-7/2)^2 = r^2$ $(iii)$ મળે છે.
વર્તુળ $S$ બિંદુ $(3, -2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આ યામોને સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા:
$(3-1)^2 + (-2-7/2)^2 = r^2$
$2^2 + (-11/2)^2 = r^2$
$4 + 121/4 = r^2$
$r^2 = (16+121)/4 = 137/4$.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{137}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{137}$ થાય.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે ... $(i)$
$X$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{g^2-c} = \frac{2\sqrt{13}}{3} \Rightarrow g^2-c = \frac{13}{9}$ ... $(ii)$
$Y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{f^2-c} = \frac{2\sqrt{22}}{3} \Rightarrow f^2-c = \frac{22}{9}$ ... $(iii)$
ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{38}}{3}$ હોવાથી,$r^2 = g^2+f^2-c = \frac{38}{9}$ ... $(iv)$
$(ii)$ અને $(iii)$ પરથી,$g^2 = c + \frac{13}{9}$ અને $f^2 = c + \frac{22}{9}$.
$(iv)$ માં કિંમત મૂકતા: $(c + \frac{13}{9}) + (c + \frac{22}{9}) - c = \frac{38}{9}$
$c + \frac{35}{9} = \frac{38}{9} \Rightarrow c = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
હવે,$g^2 = \frac{1}{3} + \frac{13}{9} = \frac{16}{9} \Rightarrow g = \pm \frac{4}{3}$
અને $f^2 = \frac{1}{3} + \frac{22}{9} = \frac{25}{9} \Rightarrow f = \pm \frac{5}{3}$
કેન્દ્ર $C(-g, -f)$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$g$ ધન અને $f$ ઋણ હોવું જોઈએ.
આમ,$C = (-\frac{4}{3}, \frac{5}{3})$.

(D) ધારો કે વર્તુળ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે. તે $(2,3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(2-h)^2 + (3-k)^2 = r^2$.
$x=2$ રેખા પરનો અંતઃખંડ $2\sqrt{r^2 - (2-h)^2} = 3$ છે. $r^2 - (2-h)^2 = (3-k)^2$ મૂકતા,$2\sqrt{(3-k)^2} = 3$,તેથી $|3-k| = 1.5$,એટલે કે $k = 4.5$ અથવા $k = 1.5$.
$y=3$ રેખા પરનો અંતઃખંડ $2\sqrt{r^2 - (3-k)^2} = 4$ છે. $r^2 - (3-k)^2 = (2-h)^2$ મૂકતા,$2\sqrt{(2-h)^2} = 4$,તેથી $|2-h| = 2$,એટલે કે $h = 4$ અથવા $h = 0$.
કેન્દ્ર $(h,k)$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$h, k > 0$.
$(h,k) = (4, 4.5)$ કિસ્સો લેતા: $r^2 = (2-4)^2 + (3-4.5)^2 = 4 + 2.25 = 6.25$.
સમીકરણ $(x-4)^2 + (y-4.5)^2 = 6.25$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 8x - 9y + 30 = 0$ છે.

(A) ધારો કે $x_1$ અને $x_2$ એ સમીકરણ $x^2+2x-a^2=0$ ના બીજ છે. તેથી,$(x-x_1)(x-x_2) = x^2+2x-a^2 = 0$.
તે જ રીતે,ધારો કે $y_1$ અને $y_2$ એ સમીકરણ $y^2+4y-b^2=0$ ના બીજ છે. તેથી,$(y-y_1)(y-y_2) = y^2+4y-b^2 = 0$.
ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના યામ અનુક્રમે $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ છે.
$AB$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણોની કિંમતો મૂકતા:
$(x^2+2x-a^2) + (y^2+4y-b^2) = 0$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$x^2+y^2+2x+4y-a^2-b^2=0$.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળ $y$-અક્ષને $(0, 4)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(\pm r, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ થાય.
આથી,$g^2 = r^2 = 16$ અને $f = \pm 4$.
વર્તુળ $y$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,અચળ પદ $c = f^2 = 16$ થાય.
$x$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2\sqrt{g^2-c} = 6$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{g^2-c} = 3$,તેથી $g^2-c = 9$.
$c = 16$ મૂકતા,$g^2 = 16+9 = 25$,તેથી $g = \pm 5$.
$g = \pm 5$,$f = \pm 4$,અને $c = 16$ ને સામાન્ય સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2+y^2 \pm 10x \pm 8y + 16 = 0$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચું સમીકરણ $x^2+y^2 \pm 10x - 8y + 16 = 0$ છે.

(C) વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (2, -3)$ છે.
વર્તુળ $X$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્રના $y$-યામનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે.
$r = |k| = |-3| = 3$.
વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 3^2$ મળે.
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 9$.
$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 + 9 = 9$.
$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0$.

(B) ચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(a, 0)$,$C(a, a)$ અને $D(0, a)$ છે.
ચોરસ વર્તુળમાં અંતર્ગત હોવાથી,વિકર્ણ $AC$ (અથવા $BD$) એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1) = (0, 0)$ અને $(x_2, y_2) = (a, a)$ લઈને વર્તુળનું સમીકરણ:
$(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$
$(x - 0)(x - a) + (y - 0)(y - a) = 0$
$x(x - a) + y(y - a) = 0$
$x^2 - ax + y^2 - ay = 0$
$x^2 + y^2 - a(x + y) = 0$

(D) ધારો કે $C(h, k)$ એ આપેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
કેન્દ્ર $C(h, k)$ એ રેખા $x-y-1=0$ પર હોવાથી,$h-k-1=0$,એટલે કે $h=k+1$.
ત્રિજ્યા $3$ હોવાથી,$C(h, k)$ થી $P(7, 3)$ નું અંતર $3$ છે.
તેથી,$(h-7)^2 + (k-3)^2 = 3^2 = 9$.
$h=k+1$ મૂકતા,$(k+1-7)^2 + (k-3)^2 = 9$.
$(k-6)^2 + (k-3)^2 = 9$.
$k^2 - 12k + 36 + k^2 - 6k + 9 = 9$.
$2k^2 - 18k + 36 = 0$.
$k^2 - 9k + 18 = 0$.
$(k-6)(k-3) = 0$,તેથી $k=6$ અથવા $k=3$.
જો $k=6$,તો $h=7$,તેથી $C=(7, 6)$. સમીકરણ $(x-7)^2 + (y-6)^2 = 9$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 14x - 12y + 76 = 0$ મળે.
જો $k=3$,તો $h=4$,તેથી $C=(4, 3)$. સમીકરણ $(x-4)^2 + (y-3)^2 = 9$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 = 0$ મળે.
આપેલ વિકલ્પો તપાસતા,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $L_1 \equiv x+y=6$ અને $L_2 \equiv x+2y=4$.
બે વ્યાસ $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C$ છે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$x+y=6 \Rightarrow x=6-y$
$L_2$ માં કિંમત મૂકતા: $(6-y)+2y=4 \Rightarrow y=-2$.
તેથી $x=6-(-2)=8$.
આમ,કેન્દ્ર $C$ એ $(8, -2)$ છે.
વર્તુળ બિંદુ $P(6, 2)$ માંથી પસાર થાય છે. ત્રિજ્યા $r$ એ અંતર $CP$ છે.
$r^2 = CP^2 = (8-6)^2 + (-2-2)^2 = 2^2 + (-4)^2 = 4 + 16 = 20$.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
$(x-8)^2 + (y+2)^2 = 20$
$x^2 - 16x + 64 + y^2 + 4y + 4 = 20$
$x^2 + y^2 - 16x + 4y + 48 = 0$.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે. \\
વર્તુળ $x$-અક્ષને $(3, 0)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(h, k)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = |k|$ છે. \\
તેથી સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = k^2$ બને છે. \\
તે $(3, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(3-h)^2 + (0-k)^2 = k^2$ $\Rightarrow (3-h)^2 = 0$ $\Rightarrow h = 3$. \\
તે $(1, -2)$ માંથી પણ પસાર થાય છે,તેથી $h=3$ મૂકતા: $(1-3)^2 + (-2-k)^2 = k^2$. \\
$(-2)^2 + 4 + 4k + k^2 = k^2$ \\
$4 + 4 + 4k = 0$ $\Rightarrow 4k = -8$ $\Rightarrow k = -2$. \\
$h=3$ અને $k=-2$ ને $(x-h)^2 + (y-k)^2 = k^2$ માં મૂકતા: \\
$(x-3)^2 + (y+2)^2 = (-2)^2$ \\
$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = 4$ \\
$x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0$.