Chord of contact of tangent and common chord Questions in Gujarati

(A) બે વર્તુળો $S_1: x^2 + y^2 + 3x + 7y + 2p - 5 = 0$ અને $S_2: x^2 + y^2 + 2x + 2y - p^2 = 0$ ની સામાન્ય જીવા (રેડિકલ અક્ષ) નું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2 + y^2 + 3x + 7y + 2p - 5) - (x^2 + y^2 + 2x + 2y - p^2) = 0$
$x + 5y + 2p - 5 + p^2 = 0 \quad \dots(i)$
$P$ અને $Q$ છેદબિંદુઓ અને બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતું વર્તુળ હોવા માટે,બિંદુ $(1, 1)$ એ સામાન્ય જીવા $PQ$ પર ન હોવું જોઈએ.
સમીકરણ $(i)$ માં $(1, 1)$ મૂકતા:
$1 + 5(1) + 2p - 5 + p^2 \neq 0$
$p^2 + 2p + 1 \neq 0$
$(p + 1)^2 \neq 0$
$p \neq -1$
આમ,$p = -1$ સિવાયની $p$ ની તમામ કિંમતો માટે $P, Q$ અને $(1, 1)$ માંથી પસાર થતું વર્તુળ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(C) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ પરની સંપર્ક જીવાનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માટે,સંપર્ક જીવા $gx + fy + c = 0$ છે (સમીકરણ $1$).
બિંદુ $(g, f)$ માટે,સંપર્ક જીવા $2gx + 2fy + g^2 + f^2 + c = 0$ છે (સમીકરણ $2$).
આ બે રેખાઓ સમાંતર છે. સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
સમીકરણ $1$ ને $2gx + 2fy + 2c = 0$ તરીકે લખતા,અંતર $d = \frac{|g^2 + f^2 - c|}{2\sqrt{g^2 + f^2}}$ મળે છે.

(A) વક્રનું સમીકરણ $4x^2 + y^2 - x + 4y = 0$ છે.
જીવાનું સમીકરણ $y = mx + c$ ધારો,જેનો અર્થ છે $\frac{y - mx}{c} = 1$.
રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વક્રના સમીકરણને સમઘાત બનાવતા:
$4x^2 + y^2 - x\left( \frac{y - mx}{c} \right) + 4y\left( \frac{y - mx}{c} \right) = 0$.
$c$ વડે ગુણતા:
$4cx^2 + cy^2 - xy + mx^2 + 4y^2 - 4mxy = 0$.
$(4c + m)x^2 - (1 + 4m)xy + (c + 4)y^2 = 0$.
જીવા ઉગમબિંદુ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(4c + m) + (c + 4) = 0$.
$5c + m + 4 = 0$,જે આપે છે $c = -\frac{m}{5} - \frac{4}{5}$.
$c$ ની કિંમત $y = mx + c$ માં મૂકતા:
$y = mx - \frac{m}{5} - \frac{4}{5}$.
$y + \frac{4}{5} = m\left( x - \frac{1}{5} \right)$.
આ સમીકરણ નિશ્ચિત બિંદુ $\left( \frac{1}{5}, -\frac{4}{5} \right)$ માંથી પસાર થાય છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 7 = 0$ છે. કેન્દ્ર $C = (1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $R = 3$ છે.
બિંદુ $(4, 4)$ માંથી સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $T = 0$ મુજબ $4x + 4y - (x + 4) - (y + 4) - 7 = 0$ એટલે કે $x + y - 5 = 0$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(1, 1)$ થી જીવાનું લંબ અંતર $d = \frac{|1 + 1 - 5|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ છે.
જીવા $AB$ ની લંબાઈ $2\sqrt{R^2 - d^2} = 2\sqrt{9 - \frac{9}{2}} = 2\sqrt{\frac{9}{2}} = 3\sqrt{2}$ થાય.

(B) ધારો કે $P$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = R^2$ પરનું બિંદુ છે. $P$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ પર દોરેલા સ્પર્શકો નાના વર્તુળને $S$ અને $T$ બિંદુએ સ્પર્શે છે.
રેખા $ST$ એ $P$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ પરના સ્પર્શકોની સંપર્ક જીવા છે.
આ જીવાનું ઉગમબિંદુથી અંતર $d = \frac{r^2}{R}$ છે.
જો આ રેખા બીજા વર્તુળને સ્પર્શતી હોય,તો $R = 2r$ એ સાચો સંબંધ છે.

(D) ધારો કે $P(x_1, y_1)$ એ રેખા $3x + 4y = 12$ પરનું એક બિંદુ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $P(x_1, y_1)$ ની સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $x x_1 + y y_1 - 4 = 0$ છે.
આપેલ છે કે $3x_1 + 4y_1 - 12 = 0$,જેને $x_1 + \frac{4}{3} y_1 - 4 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,સ્પર્શક જીવા હંમેશા બિંદુ $\left(1, \frac{4}{3}\right)$ માંથી પસાર થાય છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 7 = 0$ છે. કેન્દ્ર $C(1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
બિંદુ $P(4, 4)$ થી કેન્દ્ર $C$ નું અંતર $PC = \sqrt{(4-1)^2 + (4-1)^2} = 3\sqrt{2}$ છે.
સ્પર્શકની લંબાઈ $L = \sqrt{PC^2 - r^2} = \sqrt{18 - 9} = 3$ છે.
સ્પર્શજીવાની લંબાઈ $= \frac{2Lr}{\sqrt{L^2 + r^2}} = \frac{2 \times 3 \times 3}{\sqrt{3^2 + 3^2}} = \frac{18}{\sqrt{18}} = 3\sqrt{2}$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$ છે.
ત્રિજ્યા $R = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 - 1} = 2$.
બિંદુ $(-1, -4)$ માટે $S_1 = (-1)^2 + (-4)^2 - 2(-1) + 4(-4) + 1 = 4$.
સ્પર્શકની લંબાઈ $L_t = \sqrt{S_1} = 2$.
સ્પર્શકની જીવાની લંબાઈ $= \frac{2RL_t}{\sqrt{R^2 + L_t^2}} = \frac{2(2)(2)}{\sqrt{2^2 + 2^2}} = \frac{8}{\sqrt{8}} = 2\sqrt{2}$ એકમ.

(B) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ પર દોરેલા સ્પર્શકની સ્પર્શજીવાનું સમીકરણ $T = 0$ મુજબ $gx + fy + c = 0$ થાય $(i)$.
વર્તુળ $S = x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ અને રેખા $L = gx + fy + c = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0$ છે.
$(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c) + \lambda(gx + fy + c) = 0$ $(ii)$.
આ વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x=0, y=0$ મુકતા:
$(0 + 0 + 0 + 0 + c) + \lambda(0 + 0 + c) = 0$
$c + \lambda c = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
સમીકરણ $(ii)$ માં $\lambda = -1$ મુકતા:
$(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c) - (gx + fy + c) = 0$
$x^2 + y^2 + gx + fy = 0$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 2)^2 + y^2 = 1$ છે,જેનું વિસ્તરણ $x^2 + y^2 - 4x + 3 = 0$ થાય છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી સ્પર્શકની જીવાનું સમીકરણ $T = 0$ દ્વારા મળે છે.
સમીકરણમાં $(x_1, y_1) = (0, 0)$ મૂકતા,આપણને $-2x + 3 = 0$ મળે છે,એટલે કે $x = \frac{3}{2}$.
કેન્દ્ર $(2, 0)$ થી જીવા $x = \frac{3}{2}$ નું અંતર $d = |2 - \frac{3}{2}| = \frac{1}{2}$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
સ્પર્શકની જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{1^2 - (\frac{1}{2})^2} = 2\sqrt{\frac{3}{4}} = \sqrt{3}$ થાય.

(A) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0$ અને $S_2: x^2 + y^2 - 2y - 3 = 0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2 + y^2 - 6x + 5) - (x^2 + y^2 - 2y - 3) = 0$
$-6x + 2y + 8 = 0$
$3x - y - 4 = 0$ ... $(1)$
વર્તુળ $S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1(3, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{3^2 + 0^2 - 5} = 2$ છે.
કેન્દ્ર $(3, 0)$ થી સામાન્ય જીવા $(1)$ પરનું લંબ અંતર $p$:
$p = \frac{|3(3) - 0 - 4|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r_1^2 - p^2}$ છે.
$= 2\sqrt{2^2 - (\frac{\sqrt{10}}{2})^2} = 2\sqrt{4 - \frac{10}{4}} = 2\sqrt{\frac{6}{4}} = \sqrt{6}$.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ છે. ધારો કે $P(3 \sec \theta, 2 \tan \theta)$ એ અતિવલય પરનું બિંદુ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 9$ માટે $P$ ની સાપેક્ષ સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $T = 0$ એટલે કે $(3 \sec \theta)x + (2 \tan \theta)y = 9$ ..... $(1)$.
વળી,મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ એટલે કે $hx + ky = h^2 + k^2$ ..... $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા,$\frac{3 \sec \theta}{h} = \frac{2 \tan \theta}{k} = \frac{9}{h^2 + k^2}$.
$\sec \theta = \frac{3h}{h^2 + k^2}$ અને $\tan \theta = \frac{9k}{2(h^2 + k^2)}$.
$\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\left( \frac{3h}{h^2 + k^2} \right)^2 - \left( \frac{9k}{2(h^2 + k^2)} \right)^2 = 1$.
આથી,$\frac{h^2}{9} - \frac{k^2}{4} = \left( \frac{h^2 + k^2}{9} \right)^2$.
તેથી,$\lambda = 1$.

(A) ધારો કે બે વર્તુળોની ત્રિજ્યા $r_1 = 4$ અને $r_2 = 8$ છે. વર્તુળો કાટખૂણે છેદતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = C_1C_2$ એ $d^2 = r_1^2 + r_2^2$ દ્વારા મળે છે.
$d^2 = 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80$.
$d = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.
ધારો કે $P$ એ છેદબિંદુ છે અને $M$ એ $P$ નો કેન્દ્રોને જોડતી રેખા $C_1C_2$ પરનો લંબપાદ છે. સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $PQ = 2PM$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PC_1C_2$ માં,$PM$ એ કર્ણ $C_1C_2$ પરનો વેધ છે.
$\triangle PC_1C_2$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times C_1P \times C_2P = \frac{1}{2} \times C_1C_2 \times PM$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
$4 \times 8 = (4\sqrt{5}) \times PM$.
$PM = \frac{32}{4\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}}$.
તેથી,સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $PQ = 2 \times PM = 2 \times \frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{16}{\sqrt{5}}$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$ છે.
ત્રિજ્યા $R = \sqrt{(-1)^2 + (2)^2 - 1} = 2$.
કેન્દ્ર $(1, -2)$ થી બિંદુ $P(-1, -4)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2}$.
સ્પર્શકની જીવાની લંબાઈ $L = \frac{2R\sqrt{d^2 - R^2}}{d}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $L = \frac{2(2)\sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 2^2}}{2\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{4}}{2\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \text{ એકમ}$.

(C) ધારો કે $C_{1}$ અને $C_{2}$ બે છેદતા વર્તુળો છે.
$C_{1}$ નું સમીકરણ: $x^{2} + y^{2} + 5x - 8y + 1 = 0$
$C_{2}$ નું સમીકરણ: $x^{2} + y^{2} - 3x + 7y - 25 = 0$
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $C_{1} - C_{2} = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^{2} + y^{2} + 5x - 8y + 1) - (x^{2} + y^{2} - 3x + 7y - 25) = 0$
$8x - 15y + 26 = 0$
વર્તુળ $x^{2} + y^{2} - 2x = 0$ માટે,કેન્દ્ર $(1, 0)$ છે.
બિંદુ $(x_{0}, y_{0})$ થી રેખા $ax + by + c = 0$ નું અંતર $d = \frac{|ax_{0} + by_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{|8(1) - 15(0) + 26|}{\sqrt{8^{2} + (-15)^{2}}}$
$d = \frac{|8 + 26|}{\sqrt{64 + 225}} = \frac{34}{\sqrt{289}} = \frac{34}{17} = 2$.
આમ,અંતર $2$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2 + y^2 + 2x + 4y - 20 = 0$ અને $S_2: x^2 + y^2 + 6x - 8y + 10 = 0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ છે.
$(x^2 + y^2 + 2x + 4y - 20) - (x^2 + y^2 + 6x - 8y + 10) = 0$
$-4x + 12y - 30 = 0 \Rightarrow 2x - 6y + 15 = 0$.
વર્તુળ $S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 - (-20)} = \sqrt{25} = 5$.
કેન્દ્ર $C_1(-1, -2)$ થી સામાન્ય જીવા $2x - 6y + 15 = 0$ પરના લંબનું અંતર $p$:
$p = \frac{|2(-1) - 6(-2) + 15|}{\sqrt{2^2 + (-6)^2}} = \frac{25}{\sqrt{40}}$.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r_1^2 - p^2}$ છે.
$= 2\sqrt{25 - \frac{625}{40}} = 2\sqrt{\frac{375}{40}} = 5\sqrt{\frac{3}{2}}$.

(A) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2 + y^2 - 4x - 12 = 0$ જેનું કેન્દ્ર $(2, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
બીજું વર્તુળ $C_2: x^2 + y^2 + 4x - 12 = 0$ જેનું કેન્દ્ર $(-2, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
સામાન્ય જીવા મેળવવા માટે બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $-8x = 0$,તેથી $x = 0$ ($y$-અક્ષ).
$y$-અક્ષ પરના છેદબિંદુઓ $x = 0$ મૂકતા $y^2 - 12 = 0$,તેથી $y = \pm 2\sqrt{3}$ મળે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $(2, 0)$,$(-2, 0)$,$(0, 2\sqrt{3})$ અને $(0, -2\sqrt{3})$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $d_1 = 4$ અને $d_2 = 4\sqrt{3}$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \text{ ચોરસ એકમ}$ થાય.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકોની સ્પર્શજીવાનું સમીકરણ $T = 0$ એટલે કે $gx + fy + c = 0$ થાય.
આપેલ વર્તુળ અને સ્પર્શજીવાના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c) + \lambda(gx + fy + c) = 0$ છે.
આ વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=0, y=0$ મૂકતા:
$(0^2 + 0^2 + 0 + 0 + c) + \lambda(0 + 0 + c) = 0
$ $\Rightarrow c + \lambda c = 0
$ $\Rightarrow \lambda = -1$ ($c \neq 0$ ધારીને).
$\lambda = -1$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c) - (gx + fy + c) = 0
\Rightarrow x^2 + y^2 + gx + fy = 0$.

(C) વક્રોના સમીકરણો $x^2 + y^2 = 9$ અને $y^2 = 8x$ છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y^2 = 8x$ મૂકતા: $x^2 + 8x = 9$.
$x^2 + 8x - 9 = 0$.
$(x + 9)(x - 1) = 0$.
પરવલય $y^2 = 8x$ માટે $x$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 1$.
$x = 1$ માટે,$y^2 = 8(1) = 8$,તેથી $y = \pm 2\sqrt{2}$.
છેદબિંદુઓ $A(1, 2\sqrt{2})$ અને $B(1, -2\sqrt{2})$ છે.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $L_1 = |2\sqrt{2} - (-2\sqrt{2})| = 4\sqrt{2} \approx 5.66$.
પરવલય $y^2 = 8x$ એ $y^2 = 4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $4a = 8$,તેથી $a = 2$.
નાભિલંબની લંબાઈ $L_2 = 4a = 8$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$4\sqrt{2} < 8$,તેથી $L_1 < L_2$.

(B) પ્રથમ વર્તુળનું સમીકરણ $S_1: x^2 + y^2 + 5Kx + 2y + K = 0$ છે.
બીજા વર્તુળનું સમીકરણ $S_2: x^2 + y^2 + Kx + \frac{3}{2}y - \frac{1}{2} = 0$ છે.
બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ની સામાન્ય જીવા $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2 + y^2 + 5Kx + 2y + K) - (x^2 + y^2 + Kx + \frac{3}{2}y - \frac{1}{2}) = 0$
$4Kx + \frac{1}{2}y + K + \frac{1}{2} = 0$.
આ રેખા આપેલી રેખા $4x + 5y - K = 0$ ને સમાન છે.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{4K}{4} = \frac{1/2}{5} = \frac{K + 1/2}{-K}$ મળે છે.
$\frac{4K}{4} = \frac{1}{10}$ પરથી,આપણને $K = \frac{1}{10}$ મળે છે.
બીજી સમાનતા તપાસતા: $\frac{1}{10} = \frac{1/10 + 1/2}{-1/10} = \frac{6/10}{-1/10} = -6$.
$K = \frac{1}{10} \neq -6$ હોવાથી,$K$ ની એવી કોઈ કિંમત નથી જેના માટે રેખાઓ સમાન હોય.

(B) ધારો કે બે વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 5 \ cm$ અને $r_2 = 12 \ cm$ છે. વર્તુળો $90^o$ ના ખૂણે છેદતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13 \ cm$ થાય.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2x$ ધારો. સામાન્ય જીવા કેન્દ્રોને જોડતી રેખાને લંબ હોય છે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સૂત્ર મુજબ: $\frac{1}{2} \times r_1 \times r_2 = \frac{1}{2} \times d \times x$.
$\frac{1}{2} \times 5 \times 12 = \frac{1}{2} \times 13 \times x$.
$60 = 13x \implies x = \frac{60}{13}$.
તેથી,સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2x = \frac{120}{13} \ cm$ થાય.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-8x-4y+16=0$ છે.
$x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-4, f=-2, c=16$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (4, 2)$ છે અને ત્રિજ્યા $R = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} = \sqrt{16+4-16} = \sqrt{4} = 2$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી વર્તુળ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $L = \sqrt{S_{1}} = \sqrt{0^{2}+0^{2}-8(0)-4(0)+16} = \sqrt{16} = 4$ છે.
સ્પર્શક જીવા $AB$ ની લંબાઈનું સૂત્ર $AB = \frac{2LR}{\sqrt{L^{2}+R^{2}}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$AB = \frac{2 \times 4 \times 2}{\sqrt{4^{2}+2^{2}}} = \frac{16}{\sqrt{16+4}} = \frac{16}{\sqrt{20}} = \frac{16}{2\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}}$ મળે છે.
તેથી,$(AB)^{2} = \left(\frac{8}{\sqrt{5}}\right)^{2} = \frac{64}{5}$ થાય.

(C) વર્તુળ $C_{1}: x^{2}+y^{2}=2$ ને બિંદુ $M(-1, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x(-1) + y(1) = 2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - y + 2 = 0$ થાય છે.
ધારો કે $O(3, 2)$ એ $C_{2}$ નું કેન્દ્ર છે અને $r = \sqrt{5}$ તેની ત્રિજ્યા છે.
કેન્દ્ર $O(3, 2)$ થી રેખા $x - y + 2 = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|3 - 2 + 2|}{\sqrt{1^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ છે.
ધારો કે $P$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $\Delta OPA$ માં,$OA = r = \sqrt{5}$ અને $OP = d = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
તેથી $AP = \sqrt{OA^{2} - OP^{2}} = \sqrt{5 - \frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\Delta OAN$ માં,$\angle OAN = 90^{\circ}$. ધારો કે $\angle AON = \theta$. તો $\tan \theta = \frac{AP}{OP} = \frac{1/\sqrt{2}}{3/\sqrt{2}} = \frac{1}{3}$.
$\Delta OAN$ માં,$AN = OA \tan \theta = \sqrt{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
તેમજ,$ON = \sqrt{OA^{2} + AN^{2}} = \sqrt{5 + \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{50}{9}} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$.
$\Delta ANB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \cdot AB \cdot PN$. અહીં $PN = \frac{AN^{2}}{ON} = \frac{5/9}{5\sqrt{2}/3} = \frac{1}{3\sqrt{2}}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot AP) \cdot PN = AP \cdot PN = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{6}$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^{2} + y^{2} = 1$ છે,જ્યાં કેન્દ્ર $C(2,0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકો માટે સ્પર્શક જીવા $AB$ નું સમીકરણ $T = 0$ મુજબ $2x = 3$ એટલે કે $x = \frac{3}{2}$ મળે છે.
કેન્દ્ર $C(2,0)$ થી જીવા $AB$ નું લંબઅંતર $d = |2 - \frac{3}{2}| = \frac{1}{2}$ છે.
જીવા $AB$ ની લંબાઈ $2\sqrt{r^{2} - d^{2}} = 2\sqrt{1 - \frac{1}{4}} = 2\sqrt{\frac{3}{4}} = \sqrt{3}$ છે.
ત્રિકોણ $OAB$ માં પાયો $AB = \sqrt{3}$ અને વેધ $OM = \frac{3}{2}$ છે.
તેથી,ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

(A) $(2, 3)$ કેન્દ્ર અને $r = 4$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$ એટલે કે $x^2 + y^2 - 4x - 6y - 3 = 0$ છે.
રેખા $x + y = 3$ એ બિંદુ $S(\alpha, \beta)$ માટે વર્તુળની સ્પર્શકની જીવા (chord of contact) છે.
બિંદુ $(\alpha, \beta)$ માટે સ્પર્શકની જીવાનું સમીકરણ $T = 0$ મુજબ: $x\alpha + y\beta - 2(x + \alpha) - 3(y + \beta) - 3 = 0$.
પદો ગોઠવતા: $(\alpha - 2)x + (\beta - 3)y - (2\alpha + 3\beta + 3) = 0$.
આને આપેલ રેખા $x + y - 3 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{\alpha - 2}{1} = \frac{\beta - 3}{1} = \frac{2\alpha + 3\beta + 3}{3}$.
$\frac{\alpha - 2}{1} = \frac{\beta - 3}{1}$ પરથી $\beta = \alpha + 1$ મળે.
$\beta = \alpha + 1$ ને $\alpha - 2 = \frac{2\alpha + 3(\alpha + 1) + 3}{3}$ માં મૂકતા:
$3(\alpha - 2) = 5\alpha + 6$ $\Rightarrow 3\alpha - 6 = 5\alpha + 6$ $\Rightarrow -2\alpha = 12$ $\Rightarrow \alpha = -6$.
તેથી $\beta = -5$.
આમ,$4\alpha - 7\beta = 4(-6) - 7(-5) = -24 + 35 = 11$.

(C) ધારો કે $O(0, 0)$ એ $C_1$ નું કેન્દ્ર છે અને $A(\alpha, 0)$ એ $C_2$ નું કેન્દ્ર છે. ધારો કે $P$ એ બે વર્તુળોનું છેદબિંદુ છે. ત્રિજ્યાઓ $OP = 5$ અને $AP = 4$ છે. કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $OA = \alpha$ છે.
$\Delta OAP$ માં,બાજુઓ $5, 4$ અને $\alpha$ છે. $P$ આગળનો ખૂણો $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{63}}{8}\right)$ છે,તેથી $\sin \theta = \frac{\sqrt{63}}{8}$.
$\Delta OAP$ નું ક્ષેત્રફળ બે રીતે ગણી શકાય:
$1$) ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times OP \times AP \times \sin \theta = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 \times \frac{\sqrt{63}}{8} = \frac{5\sqrt{63}}{4}$.
$2$) ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times \alpha \times \left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{\alpha \beta}{4}$.
બંને ક્ષેત્રફળોને સરખાવતા: $\frac{\alpha \beta}{4} = \frac{5\sqrt{63}}{4} \Rightarrow \alpha \beta = 5\sqrt{63}$.
તેથી,$(\alpha \beta)^2 = 25 \times 63 = 1575$.

(A) વર્તુળ $C_1$ નું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ છે. $C_1$ નું કેન્દ્ર $(1,1)$ છે.
$(-1,0)$ કેન્દ્ર અને $r=2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ $C_2$ નું સમીકરણ $(x+1)^2+(y-0)^2=2^2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2+2x-3=0$ થાય છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1-S_2=0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2-2x-2y+1) - (x^2+y^2+2x-3) = 0$
$-4x-2y+4=0$
$2x+y=2$.
આ રેખા $y$-અક્ષને જ્યાં $x=0$ હોય ત્યાં છેદે છે. $2x+y=2$ માં $x=0$ મૂકતા $y=2$ મળે છે. આમ,બિંદુ $P(0,2)$ છે.
$P(0,2)$ નું $C_1(1,1)$ ના કેન્દ્રથી અંતર $d = \sqrt{(1-0)^2+(1-2)^2} = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$ છે.
અંતરનો વર્ગ $d^2 = 2$ થાય.

(A) ધારો કે $P(t, \frac{4t - 20}{5})$ એ રેખા $4x - 5y = 20$ પરનું બિંદુ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 9$ માટે $P$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકોની સ્પર્શજીવાનું સમીકરણ $T = 0$ મુજબ:
$tx + (\frac{4t - 20}{5})y = 9$ --- $(1)$
ધારો કે $M(h, k)$ એ આ જીવાનું મધ્યબિંદુ છે. મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ મુજબ:
$hx + ky = h^2 + k^2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા:
$\frac{t}{h} = \frac{4t - 20}{5k} = \frac{9}{h^2 + k^2}$
$\frac{t}{h} = \frac{9}{h^2 + k^2}$ પરથી,$t = \frac{9h}{h^2 + k^2}$ મળે.
$\frac{4t - 20}{5k} = \frac{9}{h^2 + k^2}$ પરથી,$4t - 20 = \frac{45k}{h^2 + k^2}$ મળે.
$t$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$4(\frac{9h}{h^2 + k^2}) - 20 = \frac{45k}{h^2 + k^2}$
$36h - 20(h^2 + k^2) = 45k$
$20(h^2 + k^2) - 36h + 45k = 0$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ:
$20(x^2 + y^2) - 36x + 45y = 0$

(D) પરવલય $y^2=8x$ નું નાભિ $S \equiv (2, 0)$ છે.
સામાન્ય જીવા શોધવા માટે,વર્તુળના સમીકરણમાંથી પરવલયનું સમીકરણ બાદ કરો:
$(x^2+y^2-2x-4y) - (y^2-8x) = 0$
$x^2+6x-4y = 0$
$y^2=8x$ હોવાથી,જીવાના સમીકરણમાં $x = \frac{y^2}{8}$ મૂકતા:
$(\frac{y^2}{8})^2 + 6(\frac{y^2}{8}) - 4y = 0$
$\frac{y^4}{64} + \frac{3y^2}{4} - 4y = 0$
$y^4 + 48y^2 - 256y = 0$
$y(y^3 + 48y - 256) = 0$
એક ઉકેલ $y=0$ છે,જે $x=0$ આપે છે. તેથી,$P \equiv (0, 0)$.
$y^3 + 48y - 256 = 0$ માટે,નિરીક્ષણ દ્વારા,$y=4$ એ બીજ છે $(64 + 192 - 256 = 0)$.
જો $y=4$ હોય,તો $x = \frac{16}{8} = 2$. તેથી,$Q \equiv (2, 4)$.
$\triangle PQS$ ના શિરોબિંદુઓ $P(0, 0)$,$Q(2, 4)$,અને $S(2, 0)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(4-0) + 2(0-0) + 2(0-4)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0 + 0 - 8| = \frac{1}{2} |-8| = 4$.

(B) ધારો કે $S \equiv x^{2}+y^{2}-2x-6y+6=0$ અને $P(x_{1}, y_{1}) = (0,1)$.
$S_{1} = (0)^{2}+(1)^{2}-2(0)-6(1)+6 = 1$.
$T = x(0) + y(1) - (x+0) - 3(y+1) + 6 = -x - 2y + 3$.
સ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ $SS_{1} = T^{2}$ છે:
$(x^{2}+y^{2}-2x-6y+6)(1) = (-x-2y+3)^{2}$
$x^{2}+y^{2}-2x-6y+6 = x^{2}+4y^{2}+4xy-6x-12y+9$
$3y^{2}+4xy-4x-6y+3=0$.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2-4x+10y+20=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (2, -5)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{2^2 + (-5)^2 - 20} = 3$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+8x-6y-24=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-4, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 - (-24)} = 7$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (-5 - 3)^2} = 10$ છે.
અહીં $d = r_1 + r_2$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2-4x+10y+20) - (x^2+y^2+8x-6y-24) = 0$.
$-12x + 16y + 44 = 0$.
$-4$ વડે ભાગતા,$3x - 4y - 11 = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે બંને વર્તુળોની ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળોના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$S_1: (x-2)^2 + (y-3)^2 = r^2$
$S_2: (x-4)^2 + (y-5)^2 = r^2$
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x-2)^2 + (y-3)^2 - [(x-4)^2 + (y-5)^2] = r^2 - r^2$
$(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9) - (x^2 - 8x + 16 + y^2 - 10y + 25) = 0$
$x^2 - 4x + y^2 - 6y + 13 - x^2 + 8x - y^2 + 10y - 41 = 0$
$4x + 4y - 28 = 0$
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $x + y - 7 = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે $S_{1} \equiv x^{2}+y^{2}+2ax+c=0$ અને $S_{2} \equiv x^{2}+y^{2}+2by+c=0$.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_{1}-S_{2}=0$ એટલે કે $2ax-2by=0$ અથવા $ax-by=0$ છે.
તેથી,$y = \frac{ax}{b}$.
$y = \frac{ax}{b}$ ને $S_{1}=0$ માં મૂકતા,આપણને $(a^{2}+b^{2})x^{2} + 2ab^{2}x + cb^{2} = 0$ મળે છે.
ધારો કે બીજ $x_{1}, x_{2}$ છે. તો $x_{1}+x_{2} = -\frac{2ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}$ અને $x_{1}x_{2} = \frac{cb^{2}}{a^{2}+b^{2}}$.
તે જ રીતે,$x = \frac{by}{a}$ ને $S_{2}=0$ માં મૂકતા,$(a^{2}+b^{2})y^{2} + 2ba^{2}y + ca^{2} = 0$ મળે છે.
ધારો કે બીજ $y_{1}, y_{2}$ છે. તો $y_{1}+y_{2} = -\frac{2ba^{2}}{a^{2}+b^{2}}$ અને $y_{1}y_{2} = \frac{ca^{2}}{a^{2}+b^{2}}$.
વ્યાસ તરીકે સામાન્ય જીવા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_{1})(x-x_{2}) + (y-y_{1})(y-y_{2}) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા $x^{2} - (x_{1}+x_{2})x + x_{1}x_{2} + y^{2} - (y_{1}+y_{2})y + y_{1}y_{2} = 0$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^{2} + y^{2} + \frac{2ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}x + \frac{2a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}y + \frac{c(b^{2}+a^{2})}{a^{2}+b^{2}} = 0$.
આમ,સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+\frac{2ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}x+\frac{2a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}y+c=0$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળો $S_{1} \equiv x^{2}+y^{2}-2x-2y-7=0$ અને $S_{2} \equiv x^{2}+y^{2}+4x+2y+k=0$ છે.
અહીં,$g_{1}=-1, f_{1}=-1, c_{1}=-7$ અને $g_{2}=2, f_{2}=1, c_{2}=k$ છે.
વર્તુળો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,$2(g_{1}g_{2} + f_{1}f_{2}) = c_{1} + c_{2}$.
$2((-1)(2) + (-1)(1)) = -7 + k$
$2(-2 - 1) = -7 + k$
$-6 = -7 + k \Rightarrow k = 1$.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_{1} - S_{2} = 0$ છે.
$(x^{2}+y^{2}-2x-2y-7) - (x^{2}+y^{2}+4x+2y+1) = 0$
$-6x - 4y - 8 = 0 \Rightarrow 3x + 2y + 4 = 0$.
વર્તુળ $S_{1}$ માટે,કેન્દ્ર $C_{1} = (1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_{1} = \sqrt{1^{2} + 1^{2} - (-7)} = \sqrt{9} = 3$ છે.
કેન્દ્ર $C_{1}(1, 1)$ થી જીવા $3x + 2y + 4 = 0$ નું લંબ અંતર $d$:
$d = \frac{|3(1) + 2(1) + 4|}{\sqrt{3^{2} + 2^{2}}} = \frac{|9|}{\sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{13}}$.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r_{1}^{2} - d^{2}}$ છે.
$= 2\sqrt{3^{2} - (\frac{9}{\sqrt{13}})^{2}} = 2\sqrt{9 - \frac{81}{13}} = 2\sqrt{\frac{117 - 81}{13}} = 2\sqrt{\frac{36}{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$.

(C) ધારો કે બંને વર્તુળોની ત્રિજ્યા $r$ છે.
$(2,3)$ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ:
$S_{1} \equiv (x-2)^{2} + (y-3)^{2} = r^{2} \quad \dots(i)$
$(5,6)$ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ:
$S_{2} \equiv (x-5)^{2} + (y-6)^{2} = r^{2} \quad \dots(ii)$
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ રેડિકલ અક્ષ $S_{1} - S_{2} = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x-2)^{2} + (y-3)^{2} - ((x-5)^{2} + (y-6)^{2}) = 0$
$(x^{2} - 4x + 4 + y^{2} - 6y + 9) - (x^{2} - 10x + 25 + y^{2} - 12y + 36) = 0$
$6x + 6y - 48 = 0$
$6$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x + y - 8 = 0$

(D) વર્તુળ $x^2+y^2-4x-4y+8=0$ માટે બિંદુ $P(h, k)$ ની સંપર્ક જીવાનું સમીકરણ $xh+yk-2(x+h)-2(y+k)+8=0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(h-2)x + (k-2)y - 2h - 2k + 8 = 0$ મળે છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{h-2}{k-2}$ છે.
આપેલ છે કે રેખા $X$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી ઢાળ $1$ છે.
આમ,$-\frac{h-2}{k-2} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $h+k=4$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2, 2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = 0$ છે.
તેથી,$(2, 2)$ બિંદુ માટે સંપર્ક જીવા વ્યાખ્યાયિત નથી,તેથી $(2, 2)$ શક્ય નથી.

(D) ધારો કે જરૂરી છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે. વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 4 = 0$ ના સંદર્ભમાં સ્પર્શક જીવાની સમીકરણ $T = 0$ દ્વારા મળે છે:
$xx_1 + yy_1 - 2(x + x_1) - 3(y + y_1) + 4 = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$(x_1 - 2)x + (y_1 - 3)y + (4 - 2x_1 - 3y_1) = 0$ $(i)$
આ રેખા $4x + 4y - 11 = 0$ દર્શાવતી હોવાથી,સહગુણકો પ્રમાણસર હશે:
$\frac{x_1 - 2}{4} = \frac{y_1 - 3}{4} = \frac{4 - 2x_1 - 3y_1}{-11} = K$
આથી,$x_1 = 4K + 2$ અને $y_1 = 4K + 3$.
ત્રીજા ગુણોત્તરમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{4 - 2(4K + 2) - 3(4K + 3)}{-11} = K$
$\frac{-20K - 9}{-11} = K$ $\Rightarrow -20K - 9 = -11K$ $\Rightarrow K = -1$
$x_1 = 4(-1) + 2 = -2$ અને $y_1 = 4(-1) + 3 = -1$.
આમ,છેદબિંદુ $(-2, -1)$ છે.

(D) આપેલ વર્તુળ $S: x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C(2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
$P, A$ અને $B$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનો વ્યાસ $PC$ છે.
$PC$ નું મધ્યબિંદુ નવા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે: $M = \left(\frac{-4 + 2}{2}, \frac{0 + 3}{2}\right) = \left(-1, \frac{3}{2}\right)$.
વ્યાસ $PC$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x + 4)(x - 2) + (y - 0)(y - 3) = 0$ છે.
આનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 + 2x - 3y - 8 = 0$ મળે છે.
સરખામણી કરતા,$2g = 2 \implies g = 1$ અને $2f = -3 \implies f = -\frac{3}{2}$.
તેથી,$(g, f) = \left(1, -\frac{3}{2}\right)$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 4 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k) = (2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
રેખા $2x - y + 3 = 0$ માટે $l = 2, m = -1, n = 3$ છે.
છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ માટેનું સૂત્ર: $x_1 = h - \frac{r^2 l}{lh + mk + n}$ અને $y_1 = k - \frac{r^2 m}{lh + mk + n}$.
અહીં છેદ $D = 2(2) - 1(3) + 3 = 4$ છે.
$x_1 = 2 - \frac{9(2)}{4} = -\frac{5}{2}$ અને $y_1 = 3 - \frac{9(-1)}{4} = \frac{21}{4}$.
તેથી,છેદબિંદુ $\left(-\frac{5}{2}, \frac{21}{4}\right)$ છે.

(D) ધારો કે $(h, k)$ એ સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ છે. વર્તુળ $x^2+y^2=12$ માટે સ્પર્શકોની સંપર્ક જીવા (chord of contact) નું સમીકરણ $hx+ky=12$ અથવા $hx+ky-12=0$ છે.
આ સંપર્ક જીવા એ બંને વર્તુળોની સામાન્ય જીવા છે. સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ બંને વર્તુળોના સમીકરણોની બાદબાકી કરીને મળે છે: $(x^2+y^2-12) - (x^2+y^2-5x+3y-2) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $5x-3y-10=0$ થાય છે.
કારણ કે $hx+ky-12=0$ અને $5x-3y-10=0$ એક જ રેખા દર્શાવે છે,તેથી તેમના સહગુણકો પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ:
$\frac{h}{5} = \frac{k}{-3} = \frac{-12}{-10} = \frac{6}{5}$.
આમ,$h = 5 \times \frac{6}{5} = 6$ અને $k = -3 \times \frac{6}{5} = -\frac{18}{5}$.
છેદબિંદુ $\left(6, -\frac{18}{5}\right)$ છે.

(D) બે વર્તુળોના સામાન્ય સ્પર્શકો તેમના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા પર બાહ્ય રીતે તેમની ત્રિજ્યાઓના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
આપેલ વર્તુળો $(x+11)^2+(y-2)^2=15^2$ અને $(x-11)^2+(y+2)^2=5^2$ માટે,કેન્દ્રો $C_1 = (-11, 2)$ અને $C_2 = (11, -2)$ છે અને ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 15$ અને $r_2 = 5$ છે.
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $r_1 : r_2 = 15 : 5 = 3 : 1$ છે.
બાહ્ય વિભાજનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{15(11) - 5(-11)}{15 - 5} = \frac{165 + 55}{10} = 22$
$y = \frac{15(-2) - 5(2)}{15 - 5} = \frac{-30 - 10}{10} = -4$
આમ,છેદબિંદુ $(22, -4)$ છે.

(C) વર્તુળ $x^2+y^2-4x+2y-5=0$ ના $(3,-4)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x-3y-15=0$ મળે છે.
જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ $(h,k)$ હોય,તો તેનું સમીકરણ $T=S_1$ મુજબ $x(h+8)+y(k+1) = h^2+k^2+8h+k$ મળે.
આ રેખા $x-3y-15=0$ સાથે સરખાવતા,મધ્યબિંદુ $(-6,-7)$ મળે છે જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2=a^2$ ના સંદર્ભમાં $P(x_1, y_1)$ ની સ્પર્શકની જીવાનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = a^2$ છે.
$\angle AOB = 90^{\circ}$ હોવાથી,ઉગમબિંદુ આગળ રેખાઓ લંબ છે.
આ શરત મુજબ,$x_1^2+y_1^2 = 2a^2$ મળે છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-2y-7=0$ છે. કેન્દ્ર $C(1,1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
$P(4,4)$ થી $C(1,1)$ નું અંતર $d = 3\sqrt{2}$ છે.
સ્પર્શકની લંબાઈ $L = \sqrt{d^2-r^2} = 3$ છે.
સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $x+y=5$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{RL^3}{R^2+L^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $R=3$ અને $L=3$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $= \frac{3 \times 27}{9+9} = \frac{81}{18} = 4.5$ ચોરસ એકમ.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $S = x^2 + y^2 + 4x + 6y - 3 = 0$ છે. કેન્દ્ર $O(-2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
બિંદુ $P(1, 1)$ માટે,અંતર $OP = 5$.
સ્પર્શકની લંબાઈ $PA = \sqrt{OP^2 - r^2} = 3$.
$\triangle PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{r \cdot PA^3}{r^2 + PA^2} = \frac{4 \cdot 3^3}{4^2 + 3^2} = \frac{108}{25}$.

(C) ધારો કે $C_1: x^2+y^2=r_1^2$,$C_2: x^2+y^2=r_2^2$,અને $C_3: x^2+y^2=r_3^2$.
ધારો કે $P(x_1, y_1)$ એ વર્તુળ $C_1$ પરનું બિંદુ છે,તેથી $x_1^2+y_1^2=r_1^2$.
$P$ થી વર્તુળ $C_2$ પરના સ્પર્શકોની સ્પર્શજીવાનું સમીકરણ $T=0$ છે,જે $x x_1+y y_1-r_2^2=0$ થાય.
આ રેખા વર્તુળ $C_3$ ને સ્પર્શતી હોવાથી,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r_3$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{|0 \cdot x_1+0 \cdot y_1-r_2^2|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}=r_3$.
$x_1^2+y_1^2=r_1^2$ મૂકતા,આપણને $\frac{r_2^2}{\sqrt{r_1^2}}=r_3$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $r_2^2=r_1 r_3$ થાય છે.
તેથી,$r_1, r_2, r_3$ એ $GP$ માં છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ અને બિંદુ $A(x_1, y_1)$ છે.
તો સંપર્ક જીવાનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $(x_1 + g)x + (y_1 + f)y + (gx_1 + fy_1 + c) = 0$ છે.
ધારો કે બીજું બિંદુ $B(x_2, y_2)$ છે જેમાંથી જીવા પસાર થાય છે,તેથી $x_1x_2 + gx_2 + y_1y_2 + fy_2 + gx_1 + fy_1 + c = 0$ ... $(i)$.
$AB$ ને વ્યાસ તરીકે લેતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - (x_1 + x_2)x - (y_1 + y_2)y + x_1x_2 + y_1y_2 = 0$ ... $(ii)$ થાય.
બે વર્તુળો $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ લંબછેદી હોય જો $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ હોય.
આપણા વર્તુળો માટે,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = 2g(-\frac{x_1 + x_2}{2}) + 2f(-\frac{y_1 + y_2}{2}) = -gx_1 - gx_2 - fy_1 - fy_2$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$-gx_1 - gx_2 - fy_1 - fy_2 = x_1x_2 + y_1y_2 + c$.
આમ,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$,જે દર્શાવે છે કે વર્તુળો લંબછેદી છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 6y - 8 = 0$ છે.
ધારો કે સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $P(a, b)$ છે. બિંદુ $P(a, b)$ માંથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકોની સ્પર્શજીવાનું સમીકરણ $T = 0$ દ્વારા મળે છે:
$xa + yb - (x + a) - 3(y + b) - 8 = 0$
$(a - 1)x + (b - 3)y - (a + 3b + 8) = 0$
આ સ્પર્શજીવા એ આપેલી રેખા $5x + y + 1 = 0$ સમાન છે.
બંને સમીકરણોના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{a - 1}{5} = \frac{b - 3}{1} = \frac{-(a + 3b + 8)}{1}$
$\frac{a - 1}{5} = \frac{b - 3}{1}$ પરથી,$a - 1 = 5b - 15 \Rightarrow a - 5b = -14$ $(i)$
$\frac{b - 3}{1} = -(a + 3b + 8)$ પરથી,$b - 3 = -a - 3b - 8 \Rightarrow a + 4b = -5$ (ii)
સમીકરણો $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા:
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા: $(a - 5b) - (a + 4b) = -14 - (-5)$ $\Rightarrow -9b = -9$ $\Rightarrow b = 1$
(ii) માં $b = 1$ મૂકતા: $a + 4(1) = -5 \Rightarrow a = -9$
આમ,બિંદુ $(-9, 1)$ છે.
$5a + b = 5(-9) + 1 = -45 + 1 = -44$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+4x+2y+1=0$ છે.
કેન્દ્ર $C = (-2, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
બિંદુ $(2,1)$ માટે સ્પર્શકની જીવાનું સમીકરણ $2x + y + 3 = 0$ મળે છે.
કેન્દ્રથી જીવા પરના લંબનું માપ $CM = \frac{2}{\sqrt{5}}$ છે.
જીવાની અડધી લંબાઈ $PM = \sqrt{r^2 - CM^2} = \frac{4}{\sqrt{5}}$ છે.
તેથી,જીવાની કુલ લંબાઈ $PQ = 2 \times PM = \frac{8}{\sqrt{5}}$ થાય.

(C) આપેલ વર્તુળો:
$S_1: x^2+y^2-4x+6y-3=0$
$S_2: x^2+y^2+2x-2y-2=0$
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં સમીકરણો:
$S_1: (x-2)^2+(y+3)^2 = 16 = 4^2$. કેન્દ્ર $C_1 = (2, -3)$,ત્રિજ્યા $r_1 = 4$.
$S_2: (x+1)^2+(y-1)^2 = 4 = 2^2$. કેન્દ્ર $C_2 = (-1, 1)$,ત્રિજ્યા $r_2 = 2$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = C_1C_2 = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-3 - 1)^2} = 5$.
સામાન્ય જીવા $AB$ એ કેન્દ્રોને જોડતી રેખાને લંબ છે. ધારો કે સામાન્ય જીવા $C_1C_2$ ને $M$ માં છેદે છે. $AM = h$ અને $C_1M = x$ લેતા,$C_2M = 5-x$.
$\triangle AC_1M$ માં,$h^2 + x^2 = 16$.
$\triangle AC_2M$ માં,$h^2 + (5-x)^2 = 4$.
બાદબાકી કરતા: $x^2 - (5-x)^2 = 12$ $\Rightarrow 10x = 37$ $\Rightarrow x = 3.7$.
$h^2 = 16 - (3.7)^2 = 2.31 = \frac{231}{100}$.
$h = \frac{\sqrt{231}}{10}$.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $AB = 2h = \frac{\sqrt{231}}{5}$.