Chord of contact of tangent and common chord Questions in Gujarati

(D) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-2x-2y-7=0$ અને $S_2: x^2+y^2+4x+2y+k=0$ છે.
તેઓ લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$.
અહીં,$g_1=-1, f_1=-1, c_1=-7$ અને $g_2=2, f_2=1, c_2=k$.
$2(-1)(2) + 2(-1)(1) = -7 + k$ $\Rightarrow -4 - 2 = -7 + k$ $\Rightarrow k = 1$.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ છે.
$(x^2+y^2-2x-2y-7) - (x^2+y^2+4x+2y+1) = 0$ $\Rightarrow -6x - 4y - 8 = 0$ $\Rightarrow 3x + 2y + 4 = 0$.
વર્તુળ $S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C = (1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{1^2+1^2-(-7)} = \sqrt{9} = 3$.
કેન્દ્ર $C(1, 1)$ થી જીવા $3x+2y+4=0$ પરના લંબની લંબાઈ $d = \frac{|3(1)+2(1)+4|}{\sqrt{3^2+2^2}} = \frac{9}{\sqrt{13}}$.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r^2-d^2} = 2\sqrt{3^2 - (\frac{9}{\sqrt{13}})^2} = 2\sqrt{9 - \frac{81}{13}} = 2\sqrt{\frac{117-81}{13}} = 2\sqrt{\frac{36}{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$ એકમ થાય.

(D) વર્તુળોના સમીકરણો $x^2 + y^2 = b^2$ અને $(x - a)^2 + y^2 = b^2$ છે.
રેખા $y = mx - b \sqrt{1 + m^2}$ એ પ્રથમ વર્તુળનો સ્પર્શક છે.
બીજા વર્તુળ $(x - a)^2 + y^2 = b^2$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = m(x - a) \pm b \sqrt{1 + m^2}$ થાય.
બંનેને સરખાવતા:
$mx - b \sqrt{1 + m^2} = mx - ma \pm b \sqrt{1 + m^2}$.
ધન ચિહ્ન લેતા:
$ma = 2b \sqrt{1 + m^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$m^2 a^2 = 4b^2 (1 + m^2) = 4b^2 + 4b^2 m^2$.
$m^2 (a^2 - 4b^2) = 4b^2$.
$m = \frac{2b}{\sqrt{a^2 - 4b^2}}$.

(D) વર્તુળ $C_1$ માટે કેન્દ્ર $O_1(1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$.
વર્તુળ $C_2$ માટે કેન્દ્ર $O_2(-2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 1$.
બાહ્ય સમાનતા કેન્દ્ર $S$ એ $O_1O_2$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં બહારથી વિભાજિત કરે છે,તેથી $S = (-5, -7)$.
$S$ માંથી પસાર થતી રેખા $mx-y+5m-7=0$ છે.
$O_1$ થી અંતર $2$ લેતા,$8m^2-24m+15=0$ મળે છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $15(x+5)^2 - 24(x+5)(y+7) + 8(y+7)^2 = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $15x^2-24xy+8y^2-18x-8y-73=0$ થાય છે.

(C) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ની સામાન્ય જીવાની સમીકરણ $S_1-S_2=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2+5kx+2y+k=0$ અને $S_2: x^2+y^2+kx+\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}=0$ છે.
સામાન્ય જીવા $(x^2+y^2+5kx+2y+k) - (x^2+y^2+kx+\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}) = 0$ છે.
આને સરળ બનાવતા,આપણને $4kx + \frac{1}{2}y + k + \frac{1}{2} = 0$ મળે છે,જે $8kx + y + 2k + 1 = 0$ છે.
આપણને આપેલ છે કે રેખા $4x+5y-k=0$ એ સામાન્ય જીવા છે.
બંને સમીકરણોના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{8k}{4} = \frac{1}{5} = \frac{2k+1}{-k}$.
$\frac{8k}{4} = \frac{1}{5}$ પરથી,આપણને $2k = \frac{1}{5}$ મળે છે,તેથી $k = \frac{1}{10}$.
$\frac{1}{5} = \frac{2k+1}{-k}$ પરથી,આપણને $-k = 10k+5$ મળે છે,તેથી $11k = -5$,જેનો અર્થ છે $k = -\frac{5}{11}$.
$k$ ની કિંમતો સુસંગત ન હોવાથી,$k$ ની એવી કોઈ કિંમત નથી જેના માટે આપેલ રેખા સામાન્ય જીવા હોય.

(A) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2+x-3y-10=0$ અને $S_2: x^2+y^2+2x-y-20=0$ છે.
સામાન્ય જીવા $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે,જે $(x^2+y^2+x-3y-10) - (x^2+y^2+2x-y-20) = 0$ છે.
આનું સાદું રૂપ $-x-2y+10=0$ અથવા $x+2y-10=0$ થાય છે.
$S_1$ અને $S_2$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળોનું કુળ $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ છે.
$(x^2+y^2+x-3y-10) + \lambda(x+2y-10) = 0$.
$x^2+y^2+(1+\lambda)x+(-3+2\lambda)y+(-10-10\lambda) = 0$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-\frac{1+\lambda}{2}, \frac{3-2\lambda}{2})$ છે.
સામાન્ય જીવા $x+2y-10=0$ વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્ર તેના પર હોવું જોઈએ:
$-\frac{1+\lambda}{2} + 2(\frac{3-2\lambda}{2}) - 10 = 0$.
$-1-\lambda + 6-4\lambda - 20 = 0 \implies -5\lambda - 15 = 0 \implies \lambda = -3$.
$\lambda = -3$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2+y^2+(1-3)x+(-3-6)y+(-10+30) = 0$.
$x^2+y^2-2x-9y+20=0$.
$x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0$ સાથે સરખાવતા,$\alpha=-2, \beta=-9, \gamma=20$ મળે છે.
આમ,$\alpha+2\beta+\gamma = -2 + 2(-9) + 20 = -2 - 18 + 20 = 0$.

(B) વર્તુળ $C_1$ નું સમીકરણ $x^2+y^2=16$ છે.
વર્તુળ $C_2$ નું સમીકરણ $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=25$ છે,જેનું વિસ્તરણ $x^2-2\alpha x+\alpha^2+y^2-2\beta y+\beta^2=25$ થાય છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $C_2-C_1=0$ દ્વારા મળે છે,જે $-2\alpha x-2\beta y+\alpha^2+\beta^2=9$ છે.
સામાન્ય જીવાનો ઢાળ $m = -\frac{\alpha}{\beta} = \frac{3}{4}$ છે.
ધારો કે $\alpha = -3\lambda$ અને $\beta = 4\lambda$.
સામાન્ય જીવા મહત્તમ લંબાઈની હોય તે માટે તે નાના વર્તુળ $C_1$ નો વ્યાસ હોવો જોઈએ,એટલે કે જીવા $C_1$ ના કેન્દ્ર $(0,0)$ માંથી પસાર થવી જોઈએ.
$(0,0)$ ને જીવાના સમીકરણમાં મૂકતા: $-2\alpha(0)-2\beta(0)+\alpha^2+\beta^2=9$,તેથી $\alpha^2+\beta^2=9$.
$\alpha$ અને $\beta$ ને $\lambda$ ના સ્વરૂપમાં મૂકતા: $(-3\lambda)^2+(4\lambda)^2=9$ $\Rightarrow 25\lambda^2=9$ $\Rightarrow \lambda = \pm \frac{3}{5}$.
જો $\lambda = \frac{3}{5}$ હોય,તો $\alpha = -\frac{9}{5}$ અને $\beta = \frac{12}{5}$,તેથી $\alpha+\beta = \frac{3}{5}$.

(D) ધારો કે $S \equiv x^2+y^2+3x+5y+4=0$ અને $S' \equiv x^2+y^2+5x+3y+4=0$.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S-S'=0$ છે.
$\Rightarrow (x^2+y^2+3x+5y+4) - (x^2+y^2+5x+3y+4) = 0$
$\Rightarrow -2x+2y=0$
$\Rightarrow x-y=0$.
$S=0$ નું કેન્દ્ર $C\left(-\frac{3}{2}, -\frac{5}{2}\right)$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 4} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4} - 4} = \sqrt{\frac{34}{4} - \frac{16}{4}} = \sqrt{\frac{18}{4}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
ધારો કે $p$ એ $C$ થી રેખા $x-y=0$ પરના લંબની લંબાઈ છે:
$p = \frac{|-\frac{3}{2} - (-\frac{5}{2})|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $AB = 2\sqrt{r^2-p^2}$.
$AB = 2\sqrt{\frac{9}{2} - \frac{1}{2}} = 2\sqrt{\frac{8}{2}} = 2\sqrt{4} = 2 \times 2 = 4$.

(D) બે વર્તુળોની રેડિકલ અક્ષનું સમીકરણ બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરીને મેળવવામાં આવે છે: $(x^2+y^2+ax+by+c) - (x^2+y^2+bx+ay+c) = 0$.
આ સાદું રૂપ આપતા $(a-b)x + (b-a)y = 0$ મળે છે,જે $(a-b)(x-y) = 0$ છે.
ધારો કે $a \neq b$,તો રેડિકલ અક્ષ $x-y=0$ એટલે કે $y=x$ રેખા છે.
પ્રથમ વર્તુળના સમીકરણમાં $y=x$ મૂકતા: $x^2+x^2+ax+bx+c=0 \Rightarrow 2x^2+(a+b)x+c=0$.
ધારો કે બીજ $x_1$ અને $x_2$ છે. તો $x_1+x_2 = -\frac{a+b}{2}$ અને $x_1x_2 = \frac{c}{2}$.
છેદબિંદુઓ $(x_1, x_1)$ અને $(x_2, x_2)$ છે.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ આ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે: $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (x_2-x_1)^2} = \sqrt{2(x_2-x_1)^2} = \sqrt{2} |x_2-x_1|$.
$|x_2-x_1| = \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{\frac{(a+b)^2}{4} - 2c} = \frac{\sqrt{(a+b)^2-8c}}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આમ,લંબાઈ $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{(a+b)^2-8c}}{2} = \frac{\sqrt{(a+b)^2-8c}}{\sqrt{2}}$ થાય છે.
તેથી,વિધાન-$I$ ખોટું છે.
વિધાન-$II$ એ વર્તુળોની ભૂમિતિનું પ્રમાણિત પ્રમેય છે,જે સાચું છે.
આથી,વિધાન-$I$ ખોટું છે અને વિધાન-$II$ સાચું છે.

(B) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-2x+4y-4=0$ અને $S_2: x^2+y^2+4x-6y-3=0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2-2x+4y-4) - (x^2+y^2+4x-6y-3) = 0$.
$-6x + 10y - 1 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $6x - 10y + 1 = 0$ થાય છે.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (1, 2)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ પરનું લંબ અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{|6(1) - 10(2) + 1|}{\sqrt{6^2 + (-10)^2}}$.
$d = \frac{|6 - 20 + 1|}{\sqrt{36 + 100}} = \frac{|-13|}{\sqrt{136}} = \frac{13}{\sqrt{136}}$ એકમ.

(D) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ની સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. \\ આપેલ વર્તુળો છે: \\ $S_1: x^2+y^2+2x+3y+1=0$ \\ $S_2: x^2+y^2-5x-6y+4=0$ \\ $S_1$ માંથી $S_2$ બાદ કરતા: \\ $(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2-5x-6y+4) = 0$ \\ $(2x - (-5x)) + (3y - (-6y)) + (1 - 4) = 0$ \\ $7x + 9y - 3 = 0$ \\ આમ,સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $7x+9y-3=0$ છે.

(C) વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-8x=0$ અને $S_2: x^2+y^2-9=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે.
$(x^2+y^2-8x) + \lambda(x^2+y^2-9) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 - 8x - 9\lambda = 0$
$x^2 + y^2 - \frac{8}{1+\lambda}x - \frac{9\lambda}{1+\lambda} = 0$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C\left(\frac{4}{1+\lambda}, 0\right)$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ એટલે કે $8x = 9$ છે.
સામાન્ય જીવા વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્ર $C$ એ રેખા $8x = 9$ પર આવેલું છે.
$8\left(\frac{4}{1+\lambda}\right) = 9$
$32 = 9(1+\lambda) = 9 + 9\lambda$
$9\lambda = 23 \Rightarrow \lambda = \frac{23}{9}$.
$\lambda = \frac{23}{9}$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{32}{9}x^2 + \frac{32}{9}y^2 - 8x - 23 = 0$
$9$ વડે ગુણતા,$32x^2 + 32y^2 - 72x - 207 = 0$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2+3x+5y+4=0$ અને $S_2: x^2+y^2+5x+3y+4=0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2+3x+5y+4) - (x^2+y^2+5x+3y+4) = 0$.
$-2x + 2y = 0$,જે $y = x$ માં પરિણમે છે.
$y = x$ ને $S_1$ માં મૂકતા,$x^2 + x^2 + 3x + 5x + 4 = 0$,એટલે કે $2x^2 + 8x + 4 = 0$ અથવા $x^2 + 4x + 2 = 0$.
ઉકેલ $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = -2 \pm \sqrt{2}$ છે.
$y = x$ હોવાથી,છેદબિંદુઓ $P(-2+\sqrt{2}, -2+\sqrt{2})$ અને $Q(-2-\sqrt{2}, -2-\sqrt{2})$ છે.
જીવા $PQ$ ની લંબાઈ $\sqrt{(-2-\sqrt{2} - (-2+\sqrt{2}))^2 + (-2-\sqrt{2} - (-2+\sqrt{2}))^2} = \sqrt{(-2\sqrt{2})^2 + (-2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળો $S_1 \equiv x^2+y^2+2x+2y+1=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2+4x+6y+4=0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ છે:
$(x^2+y^2+2x+2y+1) - (x^2+y^2+4x+6y+4) = 0$
$-2x - 4y - 3 = 0 \Rightarrow 2x + 4y + 3 = 0$.
વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda(L) = 0$ સ્વરૂપમાં લેતા:
$x^2+y^2+2x+2y+1 + \lambda(2x+4y+3) = 0$
$x^2+y^2+2x(1+\lambda) + 2y(1+2\lambda) + (1+3\lambda) = 0$.
કેન્દ્ર $(- (1+\lambda), -(1+2\lambda))$ છે.
વ્યાસ સામાન્ય જીવા પર હોવાથી,કેન્દ્ર $2x+4y+3=0$ પર આવેલું છે:
$2(-(1+\lambda)) + 4(-(1+2\lambda)) + 3 = 0$
$-10\lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{3}{10}$.
કિંમત મૂકતા:
$10x^2+10y^2+14x+8y+1=0$.

(A) ધારો કે બે વર્તુળો $S_1 \equiv x^2+y^2-6x-7=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2-10x+16=0$ છે.
સામાન્ય જીવા $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2-6x-7) - (x^2+y^2-10x+16) = 0$
$4x - 23 = 0 \Rightarrow x = \frac{23}{4}$.
છેદબિંદુઓ $x = \frac{23}{4}$ ને $S_1$ માં મૂકતા મળે છે:
$(\frac{23}{4})^2 + y^2 - 6(\frac{23}{4}) - 7 = 0$
$\frac{529}{16} + y^2 - \frac{138}{4} - 7 = 0$
$y^2 = \frac{135}{16}$.
તેથી,$y = \pm \frac{3\sqrt{15}}{4}$.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(\frac{23}{4}, \frac{3\sqrt{15}}{4})$ અને $(\frac{23}{4}, -\frac{3\sqrt{15}}{4})$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
$(x-\frac{23}{4})^2 + y^2 - \frac{135}{16} = 0$
$x^2 - \frac{23}{2}x + \frac{529}{16} + y^2 - \frac{135}{16} = 0$
$x^2 + y^2 - \frac{23}{2}x + \frac{197}{8} = 0$
$8$ વડે ગુણતા: $8x^2 + 8y^2 - 92x + 197 = 0$.

(B) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2+2x+2y+1=0$ અને $S_2: x^2+y^2+4x+3y+2=0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2+2x+2y+1) - (x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$.
$-2x-y-1=0$,જેનું સાદું રૂપ $2x+y+1=0$ થાય છે.
વર્તુળ $S_1$ નું કેન્દ્ર $(-1, -1)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2-1} = 1$ છે.
કેન્દ્ર $(-1, -1)$ થી રેખા $2x+y+1=0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|2(-1)+(-1)+1|}{\sqrt{2^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ છે.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r_1^2-d^2} = 2\sqrt{1-\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ છે.
સામાન્ય જીવા એ માંગેલ વર્તુળનો વ્યાસ છે,તેથી વ્યાસ $D = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
માંગેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = \frac{D}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ થાય.

(A) આપેલ છે,$S \equiv x^2+y^2-2x-4y+1=0$.
$y$-અક્ષ માટે,$x=0$ લેતા,$y^2-4y+1=0$ મળે.
$y$ માટે ઉકેલતા,$y = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
$OA > OB$ હોવાથી,$A(0, 2+\sqrt{3})$ અને $B(0, 2-\sqrt{3})$ મળે.
રેડિકલ ધરીનું સમીકરણ $S-S^{\prime}=0$ છે.
$(x^2+y^2-2x-4y+1) - (x^2+y^2-4x-2y+4) = 0 \Rightarrow 2x-2y-3=0$.
$y$-અક્ષ માટે,$x=0$ લેતા,$-2y-3=0 \Rightarrow y = -\frac{3}{2}$.
તેથી,$C$ એ $(0, -\frac{3}{2})$ છે.
ધારો કે $C$ એ $AB$ નું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $-\frac{3}{2} = \frac{k(2-\sqrt{3}) + 1(2+\sqrt{3})}{k+1}$.
ગણતરી કરતા $k = \frac{7+2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-7}$ મળે.
તેથી,ગુણોત્તર $(7+2\sqrt{3}) : (-7+2\sqrt{3})$ છે.

(A) પ્રથમ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
બીજા વર્તુળ $2x^2+2y^2+3x+8y+2c=0$ ને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$ મળે છે.
રેડિકલ ધરી બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરવાથી મળે છે: $(2g-\frac{3}{2})x + (2f-4)y = 0$,જેનું સાદું રૂપ $(4g-3)x + 4(f-2)y = 0$ થાય છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ ને સ્પર્શે છે,જેને $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ તરીકે લખી શકાય.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-1, -1)$ છે અને ત્રિજ્યા $1$ છે.
કેન્દ્ર $(-1, -1)$ થી રેખા $(4g-3)x + 4(f-2)y = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $1$ જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{|(4g-3)(-1) + 4(f-2)(-1)|}{\sqrt{(4g-3)^2 + (4(f-2))^2}} = 1$.
$|-(4g-3) - 4(f-2)| = \sqrt{(4g-3)^2 + 16(f-2)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(4g-3)^2 + 16(f-2)^2 + 8(4g-3)(f-2) = (4g-3)^2 + 16(f-2)^2$.
આથી $8(4g-3)(f-2) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $(4g-3)(f-2) = 0$.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2+6x+4y-12=0$ છે.
ત્રિજ્યા $r = 5$ મળે છે.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $L = 2\sqrt{r^2 - (d/2)^2} = 2\sqrt{17}$ પરથી $d = 4\sqrt{2}$ મળે છે.
બે વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\sin(\theta/2) = \frac{L}{2r} = \frac{\sqrt{17}}{5}$ થાય છે.

(D) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો $C_1: x^2+y^2-6x-4y+9=0$ અને $C_2: x^2+y^2+2x+2y-7=0$ છે.
$C_1$ ને $C_2$ માંથી બાદ કરતા, સ્પર્શબિંદુ આગળ સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ મળે છે:
$(x^2+y^2+2x+2y-7) - (x^2+y^2-6x-4y+9) = 0$
$8x+6y-16=0 \implies 4x+3y=8$.
આથી, $y = \frac{8-4x}{3}$.
આ કિંમત $C_1$ માં મૂકતા: $x^2 + (\frac{8-4x}{3})^2 - 6x - 4(\frac{8-4x}{3}) + 9 = 0$.
$9$ વડે ગુણતા: $9x^2 + (64 - 64x + 16x^2) - 54x - 12(8-4x) + 81 = 0$.
$25x^2 - 70x + 49 = 0 \implies (5x-7)^2 = 0$.
તેથી, $x = \alpha = \frac{7}{5}$.
હવે $y = \beta = \frac{8-4(7/5)}{3} = \frac{4}{5}$.
આપણે $7\beta$ શોધવાનું છે.
$7\beta = 7 \times \frac{4}{5} = \frac{28}{5}$.
અહીં $4\alpha = 4 \times \frac{7}{5} = \frac{28}{5}$.
તેથી, $7\beta = 4\alpha$.

(C) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ અને $S_2: x^2+y^2+2x+4y-11=0$ છે.
સામાન્ય જીવા શોધવા માટે,$S_1$ માંથી $S_2$ બાદ કરો:
$(x^2+y^2-2x-4y-4) - (x^2+y^2+2x+4y-11) = 0$
$-4x-8y+7 = 0$
$4x+8y-7 = 0$.
રેડિકલ અક્ષ (સામાન્ય જીવા) અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી વર્તુળો $4x+8y-7=0$ રેખા પર આવેલા બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.

(C) ધારો કે આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2+2x+3y+2=0$ અને $S_2: x^2+y^2+2x-3y-4=0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2+2x+3y+2) - (x^2+y^2+2x-3y-4) = 0$
$6y + 6 = 0 \Rightarrow y = -1$.
$y = -1$ ને $S_1 = 0$ માં મૂકતા:
$x^2 + (-1)^2 + 2x + 3(-1) + 2 = 0$
$x^2 + 1 + 2x - 3 + 2 = 0$
$x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x+2) = 0$.
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = -2$.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(0, -1)$ અને $(-2, -1)$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
$(x-0)(x+2) + (y+1)(y+1) = 0$
$x^2 + 2x + y^2 + 2y + 1 = 0$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C(2, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2^2 + (-1)^2 - (-4)} = \sqrt{4+1+4} = 3$ છે.
ધારો કે $P = (-3, 1)$. વ્યાસ $PC$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - (-3))(x - 2) + (y - 1)(y - (-1)) = 0$ થાય.
આનું સાદુંરૂપ $(x+3)(x-2) + (y-1)(y+1) = 0$ એટલે કે $x^2+x-6 + y^2-1 = 0$,અથવા $x^2+y^2+x-7=0$ મળે છે.
સ્પર્શબિંદુઓ $A$ અને $B$ આ વર્તુળ પર આવેલા છે કારણ કે $\angle PAC = 90^\circ$ અને $\angle PBC = 90^\circ$ છે.
તેથી,$\triangle PAB$ ના પરિવર્તનું સમીકરણ એ $PC$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતું વર્તુળ છે,જે $x^2+y^2+x-7=0$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળો $S_1 \equiv x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0$ અને $S_2 \equiv x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ છે.
$S_1$ નું કેન્દ્ર $C_1 = (-1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 1$ છે.
$S_2$ નું કેન્દ્ર $C_2 = (1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 1$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1 C_2 = 2\sqrt{2}$ છે.
ટ્રાન્સવર્સ સામાન્ય સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $P$ એ $C_1 C_2$ નું $1:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી $P = (0, 0)$.
$(0, 0)$ માંથી $S_1$ પરના સ્પર્શકોની જોડી $T^2 = S_1 S_{11}$ દ્વારા મળે છે.
$(x + y + 1)^2 = (x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1)(1)$.
$x^2 + y^2 + 1 + 2xy + 2x + 2y = x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1$.
$2xy = 0 \Rightarrow xy = 0$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના યામ અનુક્રમે $(h, k)$ અને $(p, q)$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2=a^2$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $P(h, k)$ ની સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $xh+yk=a^2$ છે.
આ જીવા $Q(p, q)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણને $ph+qk=a^2$ મળે છે.
$P$ અને $Q$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ $l_1 = \sqrt{h^2+k^2-a^2}$ અને $l_2 = \sqrt{p^2+q^2-a^2}$ છે.
તેનો વર્ગ કરતા,$l_1^2 = h^2+k^2-a^2$ અને $l_2^2 = p^2+q^2-a^2$ મળે છે.
અંતર $PQ = \sqrt{(h-p)^2+(k-q)^2} = \sqrt{h^2+k^2+p^2+q^2-2(hp+kq)}$.
$hp+kq=a^2$ મૂકતા,$PQ = \sqrt{(h^2+k^2)+(p^2+q^2)-2a^2}$ મળે છે.
$h^2+k^2 = l_1^2+a^2$ અને $p^2+q^2 = l_2^2+a^2$ મૂકતા,$PQ = \sqrt{(l_1^2+a^2)+(l_2^2+a^2)-2a^2} = \sqrt{l_1^2+l_2^2}$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-8x-10y+5=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-4)^2+(y-5)^2 = 36 = 6^2$ મળે.
આમ,કેન્દ્ર $C(4, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r = 6$ છે.
બિંદુ $P(-2, -3)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ $PA = \sqrt{S_1} = \sqrt{4+9+16+30+5} = 8$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle CAP$ માં,$\angle CAP = 90^\circ$.
ધારો કે $\angle APC = \frac{\theta}{2}$. તો $\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{CA}{PA} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
સૂત્ર $\tan \theta = \frac{2 \tan(\frac{\theta}{2})}{1-\tan^2(\frac{\theta}{2})}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \theta = \frac{2(\frac{3}{4})}{1-(\frac{3}{4})^2} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = \frac{24}{7}$.

(D) આપેલ વર્તુળ: $x^2+y^2-2gx-2hy+h^2=0$.
કેન્દ્ર $C = (g, h)$,ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+h^2-h^2} = |g|$.
સ્પર્શકની લંબાઈ $OP = OQ = \sqrt{S_1} = \sqrt{h^2} = |h|$.
$\triangle OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \cdot OP \cdot OQ \cdot \sin(2\theta) = \frac{1}{2} h^2 \sin(2\theta)$.
$\triangle OPC$ માં,$\angle OPC = 90^{\circ}$,તેથી $\tan \theta = \frac{PC}{OP} = \frac{|g|}{|h|}$.
હવે,$\sin(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1+\tan^2 \theta} = \frac{2|g||h|}{h^2+g^2}$.
$\triangle OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} h^2 \cdot \frac{2|g||h|}{h^2+g^2} = \frac{|g|h^3}{h^2+g^2}$ ચોરસ એકમ.

(D) ધારો કે બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શતા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. આવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ છે.
વર્તુળ $A=(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(1-r)^2 + (2-r)^2 = r^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$1 - 2r + r^2 + 4 - 4r + r^2 = r^2$,જે $r^2 - 6r + 5 = 0$ માં પરિણમે છે.
$r$ માટે ઉકેલતા,$(r-1)(r-5) = 0$,તેથી $r=1$ અથવા $r=5$.
બે વર્તુળો $C_1: (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ અને $C_2: (x-5)^2 + (y-5)^2 = 25$ છે.
સામાન્ય જીવા $AB$ એ $C_1 - C_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$C_1: x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$
$C_2: x^2 + y^2 - 10x - 10y + 25 = 0$
$C_1$ માંથી $C_2$ બાદ કરતા: $8x + 8y - 24 = 0$,અથવા $x + y = 3$.
$A=(1,2)$ એ $x+y=3$ પર હોવાથી,બિંદુ $B$ એ કેન્દ્રો $(1,1)$ અને $(5,5)$ ને જોડતી રેખા પર $A$ નું પ્રતિબિંબ છે. કેન્દ્રોની રેખા $y=x$ છે.
$y=x$ પર $(1,2)$ નું પ્રતિબિંબ $(2,1)$ છે. તેથી $B=(2,1)$.
લંબાઈ $AB = \sqrt{(2-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=125$ છે.
આપેલ છે કે $P(8, \beta)$ એ જીવાનું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ છે,એટલે કે $xx_1+yy_1=x_1^2+y_1^2$.
$(8, \beta)$ મૂકતા,$8x+\beta y = 64+\beta^2$ મળે,અથવા $8x+\beta y - (64+\beta^2) = 0$.
આ જીવાનો ઢાળ $m = -\frac{8}{\beta}$ છે.
$m$ પૂર્ણાંક હોવા માટે,$\beta$ એ $8$ નો ભાજક હોવો જોઈએ. તેથી,$\beta \in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \}$.
બિંદુ $P(8, \beta)$ વર્તુળની અંદર હોવું જોઈએ,તેથી $8^2+\beta^2 < 125$,જેનો અર્થ છે $64+\beta^2 < 125$,એટલે કે $\beta^2 < 61$.
કિંમતો તપાસતા:
જો $\beta = \pm 1$,$\beta^2 = 1 < 61$ (માન્ય,$m = \mp 8$).
જો $\beta = \pm 2$,$\beta^2 = 4 < 61$ (માન્ય,$m = \mp 4$).
જો $\beta = \pm 4$,$\beta^2 = 16 < 61$ (માન્ય,$m = \mp 2$).
જો $\beta = \pm 8$,$\beta^2 = 64 > 61$ (અમાન્ય).
આમ,$\beta$ માટે શક્ય મૂલ્યો $\pm 1, \pm 2, \pm 4$ છે,જે કુલ $6$ મૂલ્યો આપે છે.

(B) બે વર્તુળો $C_1: x^2+y^2-2x+2y+1=0$ અને $C_2: x^2+y^2-2x-2y-2=0$ ની સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $C_1 - C_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2-2x+2y+1) - (x^2+y^2-2x-2y-2) = 0$
$4y + 3 = 0 \Rightarrow y = -\frac{3}{4}$.
આ સામાન્ય જીવા વર્તુળ $S$ નો વ્યાસ હોવાથી,વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર રેખા $y = -\frac{3}{4}$ પર હોવું જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$y$-યામ $-\frac{3}{4}$ ધરાવતા બિંદુઓ $\left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)$,$\left(1, -\frac{3}{4}\right)$,અને $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)$ છે.
વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર $(1, -\frac{3}{4})$ છે.

(A) વર્તુળ $S_1 \equiv x^2+y^2-2x-1=0$ નું કેન્દ્ર $C(1,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{2}$ છે.
વર્તુળ $S_2 \equiv x^2+y^2-2x=0$ નું કેન્દ્ર $C(1,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 1$ છે.
$P$ એ $S_1$ પર હોવાથી,$PA$ અને $PB$ એ $P$ માંથી $S_2$ પરના સ્પર્શકો છે. તેથી,$CA \perp PA$ અને $CB \perp PB$.
$\triangle CAB$ માં,$CA = CB = r_2 = 1$. સ્પર્શક જીવા $AB$ એ $CP$ ને લંબ છે.
ધારો કે $M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $\triangle CAB$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,તેનું પરિકેન્દ્ર $O$ એ $CP$ રેખા પર આવેલું છે.
$CM = \frac{r_2^2}{CP} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
પરિ ત્રિજ્યા $R_{circum} = \frac{CA^2}{2CM} = \frac{1}{2(1/\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$O(h,k)$ નું $C(1,0)$ થી અંતર $1/\sqrt{2}$ છે.
$(h-1)^2 + k^2 = 1/2 \Rightarrow 2h^2 + 2k^2 - 4h + 1 = 0$.
આમ,બિંદુપથ $2x^2 + 2y^2 - 4x + 1 = 0$ છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=3$ છે. વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ ની સ્પર્શકની જીવાનું સમીકરણ $xx_1+yy_1=r^2$ છે.
બિંદુ $(2,0)$ માટે,$L_1: 2x+0y=3 \Rightarrow 2x-3=0$.
બિંદુ $(1,-2)$ માટે,$L_2: 1x-2y=3 \Rightarrow x-2y-3=0$.
બિંદુ $(4,4)$ માટે,$L_3: 4x+4y=3 \Rightarrow 4x+4y-3=0$.
સંગામી છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,$L_1$ અને $L_2$ ઉકેલતા: $x=\frac{3}{2}$,$y=\frac{1}{2}(\frac{3}{2}-3) = -\frac{3}{4}$.
બિંદુ $(\frac{3}{2}, -\frac{3}{4})$ ને $L_3$ માં મૂકતા: $4(\frac{3}{2})+4(-\frac{3}{4})-3 = 6-3-3 = 0$.
આ બિંદુ $L_3$ નું સમાધાન કરતું હોવાથી,રેખાઓ સંગામી છે.

(C) રેખા $3x-y+k=0$ એ વર્તુળ $x^2+y^2+4x-6y+3=0$ ને સ્પર્શે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-2, 3)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 - 3} = \sqrt{10}$ છે.
રેખા વર્તુળને સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્ર $(-2, 3)$ થી રેખા $3x-y+k=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું થાય.
$\frac{|3(-2) - (3) + k|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \sqrt{10}$
$|k-9| = 10$
$k = 19$ અથવા $k = -1$.
$k_1 < k_2$ હોવાથી,$k_1 = -1$ અને $k_2 = 19$ મળે.
બિંદુ $(-1, 19)$ માટે સ્પર્શકની જીવાનું સમીકરણ:
$-x + 19y + 2(x-1) - 3(y+19) + 3 = 0$
$x + 16y - 56 = 0$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+x+3y=0$ છે.
ધારો કે $A$ અને $B$ આગળના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $P(h, k)$ છે.
સ્પર્શક જીવા $AB$ નું સમીકરણ $T=0$ દ્વારા મળે છે:
$xh + yk + \frac{x+h}{2} + 3\left(\frac{y+k}{2}\right) = 0$
$x\left(h+\frac{1}{2}\right) + y\left(k+\frac{3}{2}\right) + \frac{h+3k}{2} = 0$.
આને આપેલ રેખા $x+y+1=0$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{h+1/2}{1} = \frac{k+3/2}{1} = \frac{(h+3k)/2}{1}$.
$h+1/2 = k+3/2$ પરથી,આપણને $h-k=1$ મળે છે.
$h+1/2 = (h+3k)/2$ પરથી,આપણને $2h+1 = h+3k$ મળે છે,એટલે કે $h-3k = -1$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $k=1$ અને $h=2$ મળે છે. તેથી $P=(2, 1)$.
$A$ અને $B$ માંથી પસાર થતા વર્તુળોનું કુળ $x^2+y^2+x+3y + \lambda(x+y+1) = 0$ છે.
આ વર્તુળ $P(2, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$4+1+2+3 + \lambda(2+1+1) = 0$,જે $10 + 4\lambda = 0$ આપે છે,તેથી $\lambda = -5/2$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+x+3y - \frac{5}{2}(x+y+1) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}y - \frac{5}{2} = 0$ થાય છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left(-\frac{-3/2}{2}, -\frac{1/2}{2}\right) = \left(\frac{3}{4}, -\frac{1}{4}\right)$ છે.

(B) રેખા $L \equiv -mx+y-1=0$ એ વર્તુળ $S \equiv x^2+y^2-1=0$ ની જીવા છે અને તે વર્તુળ $S_1 \equiv x^2+y^2-4x+1=0$ ને સ્પર્શે છે.
$S_1$ નું કેન્દ્ર $(2, 0)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2^2+0^2-1} = \sqrt{3}$ છે.
રેખા વર્તુળને સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્ર $(2, 0)$ થી રેખા $L$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{3}$ જેટલું થાય.
$\frac{|-m(2) + 0 - 1|}{\sqrt{(-m)^2 + 1^2}} = \sqrt{3}$
$\frac{|-2m-1|}{\sqrt{m^2+1}} = \sqrt{3}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{(2m+1)^2}{m^2+1} = 3$
$4m^2 + 4m + 1 = 3m^2 + 3$
$m^2 + 4m - 2 = 0$
$m$ માટે ઉકેલતા: $m = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2} = -2 \pm \sqrt{6}$.
$m$ ની કિંમત $L$ માં મૂકતા: $y - (-2 \pm \sqrt{6})x - 1 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $y + (2 \mp \sqrt{6})x - 1 = 0$ થાય.
$S \equiv x^2+y^2-1=0$ ના સાપેક્ષમાં બિંદુ $(h, k)$ ની સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $hx + ky - 1 = 0$ છે.
$hx + ky - 1 = 0$ ની સરખામણી $(2 \mp \sqrt{6})x + y - 1 = 0$ સાથે કરતા,આપણને $h = 2 \mp \sqrt{6}$ અને $k = 1$ મળે છે.
આમ,બિંદુ $(2 \pm \sqrt{6}, 1)$ છે.

(A) ધારો કે $(h, k)$ એ સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ છે. આ સ્પર્શકોની સ્પર્શજીવા એ બંને વર્તુળોની સામાન્ય જીવા છે.
બંને વર્તુળો $x^2+y^2=12$ અને $x^2+y^2-5x+3y-2=0$ ના સમીકરણોની બાદબાકી કરતા સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ મળે છે:
$(x^2+y^2-5x+3y-2) - (x^2+y^2-12) = 0$
$-5x+3y+10=0$,જે $5x-3y-10=0$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $(h, k)$ ના સાપેક્ષમાં વર્તુળ $x^2+y^2=12$ ની સ્પર્શજીવાનું સમીકરણ $hx+ky=12$ અથવા $hx+ky-12=0$ છે.
બંને સમીકરણો એક જ રેખા દર્શાવતા હોવાથી,તેમના સહગુણકો પ્રમાણમાં હશે:
$\frac{h}{5} = \frac{k}{-3} = \frac{-12}{-10} = \frac{6}{5}$.
$k$ માટે ગુણોત્તર સરખાવતા:
$\frac{k}{-3} = \frac{6}{5} \Rightarrow k = -\frac{18}{5}$.
આમ,છેદબિંદુનો યામ $-\frac{18}{5}$ છે.

(A) વર્તુળ $S_1: x^2+y^2-6x-8y+9=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1(3, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 4$ છે.
વર્તુળ $S_2: x^2+y^2+2x-2y+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2(-1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 1$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = 5$ છે.
અહીં $C_1C_2 = r_1 + r_2$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2-6x-8y+9) - (x^2+y^2+2x-2y+1) = 0$.
$-8x - 6y + 8 = 0$.
$-2$ વડે ભાગતા,આપણને $4x + 3y - 4 = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ વર્તુળો $S_1 \equiv x^2+y^2-2x+18y+78=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2+8x-6y-200=0$ છે.
કેન્દ્ર $C_1 = (1, -9)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$.
કેન્દ્ર $C_2 = (-4, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 15$.
અંતર $C_1C_2 = 13$.
અહીં $r_2 - r_1 = 13 = C_1C_2$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને આંતરિક રીતે સ્પર્શે છે.
સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ છે.
$-10x + 24y + 278 = 0$ અથવા $-5x + 12y + 139 = 0$.
વિકલ્પ $D$ ચકાસતા: $-5\left(\frac{-2}{5}\right) + 12\left(\frac{-47}{4}\right) + 139 = 2 - 141 + 139 = 0$.
તેથી,બિંદુ $\left(\frac{-2}{5}, \frac{-47}{4}\right)$ સામાન્ય સ્પર્શક પર આવેલું છે.

(B) વર્તુળોના સમીકરણો $C_1: x^2+y^2-6x+5=0$ અને $C_2: x^2+y^2+4y-5=0$ છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ મળે છે: $(x^2+y^2-6x+5) - (x^2+y^2+4y-5) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $-6x-4y+10=0$ અથવા $3x+2y-5=0$ થાય છે.
$C_1$ નું કેન્દ્ર $(3, 0)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{3^2+0^2-5} = 2$ છે.
કેન્દ્ર $(3, 0)$ થી રેખા $3x+2y-5=0$ નું અંતર $d = \frac{|3(3)+2(0)-5|}{\sqrt{3^2+2^2}} = \frac{4}{\sqrt{13}}$ છે.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r_1^2-d^2} = 2\sqrt{2^2 - (\frac{4}{\sqrt{13}})^2} = 2\sqrt{4 - \frac{16}{13}} = 2\sqrt{\frac{36}{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$ થાય છે.

(D) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2+y^2-4x-12=0$ અને $C_2: x^2+y^2+4x-12=0$ છે.
તેમના કેન્દ્રો $A(-2, 0)$ અને $B(2, 0)$ છે, અને બંનેની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2^2+0^2+12} = 4$ છે.
સામાન્ય જીવા સમીકરણોની બાદબાકી કરવાથી મળે છે: $(x^2+y^2+4x-12) - (x^2+y^2-4x-12) = 0$, જે $8x = 0$ એટલે કે $x = 0$ ($y$-અક્ષ) આપે છે.
છેદબિંદુઓ $C$ અને $D$ એ $x=0$ ને $x^2+y^2-4x-12=0$ માં મૂકવાથી મળે છે, જે $y^2 = 12$ આપે છે, તેથી $y = \pm 2\sqrt{3}$. આમ, $C(0, 2\sqrt{3})$ અને $D(0, -2\sqrt{3})$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $AB$ (લંબાઈ $d_1 = 4$) અને $CD$ (લંબાઈ $d_2 = 4\sqrt{3}$) છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ છે.

(A) વર્તુળો $S_1$ અને $S_2$ ની સામાન્ય જીવા $S_1 - S_2 = 0$ છે.
$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$
$-2x - 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.
$S_1$ અને $S_2$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે.
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (2+4\lambda)x + (3+3\lambda)y + (1+2\lambda) = 0$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-\frac{2+4\lambda}{2(1+\lambda)}, -\frac{3+3\lambda}{2(1+\lambda)})$ છે.
સામાન્ય જીવા $x = -\frac{1}{2}$ વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્ર આ રેખા પર આવેલું છે.
$-\frac{2+4\lambda}{2(1+\lambda)} = -\frac{1}{2}$ $\Rightarrow 3\lambda = -1$ $\Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$.
કિંમત મૂકતા,$2x^2+2y^2+2x+6y+1=0$ મળે છે.

(B) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2+4y=0$ અને $S_2: x^2+y^2-4x-5=0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે,જે $(x^2+y^2+4y) - (x^2+y^2-4x-5) = 0$ એટલે કે $4x+4y+5=0$ છે.
ધારો કે વર્તુળ $S=0$ નું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. સામાન્ય જીવા એ વર્તુળ $S=0$ નો વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્ર $(h, k)$ સામાન્ય જીવા $4x+4y+5=0$ પર આવેલું હશે. તેથી,$4h+4k+5=0$.
વર્તુળ $S=0$ નું કેન્દ્ર એ સામાન્ય જીવાનું મધ્યબિંદુ પણ છે. $S_1$ નું કેન્દ્ર $C_1(0, -2)$ અને $S_2$ નું કેન્દ્ર $C_2(2, 0)$ છે.
કેન્દ્રોને જોડતી રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = \frac{-2-0}{0-2}(x-2)$ એટલે કે $y = x-2$ અથવા $x-y-2=0$ છે.
વર્તુળ $S=0$ નું કેન્દ્ર $(h, k)$ એ સામાન્ય જીવા $4x+4y+5=0$ અને કેન્દ્રોની રેખા $x-y-2=0$ નું છેદબિંદુ છે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$4x+4y = -5$
$x-y = 2 \Rightarrow y = x-2$
પ્રથમ સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા: $4x + 4(x-2) = -5$ $\Rightarrow 8x - 8 = -5$ $\Rightarrow 8x = 3$ $\Rightarrow x = \frac{3}{8}$.
આમ,કેન્દ્રનો $x$-યામ $\frac{3}{8}$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2-4x-8y+4=0$ અને $S_2: x^2+y^2-8x-12y+16=0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1-S_2=0$ છે.
$(x^2+y^2-4x-8y+4) - (x^2+y^2-8x-12y+16) = 0$
$4x+4y-12=0 \implies x+y-3=0$.
$S_1$ માટે: $(x-2)^2+(y-4)^2 = 16$. કેન્દ્ર $O(2, 4)$,ત્રિજ્યા $r_1 = 4$.
કેન્દ્ર $O(2, 4)$ થી રેખા $x+y-3=0$ નું લંબ અંતર $d$:
$d = \frac{|2+4-3|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
જીવાની લંબાઈ $L = 2\sqrt{r_1^2-d^2}$.
$L = 2\sqrt{16 - \frac{9}{2}} = 2\sqrt{\frac{23}{2}} = \sqrt{46}$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ની સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2+2x+3y+1=0$ અને $S_2: x^2+y^2+4x+3y+2=0$ છે.
$S_1$ માંથી $S_2$ બાદ કરતા,$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $-2x - 1 = 0$ એટલે કે $x = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
$x = -\frac{1}{2}$ ને પ્રથમ વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $(-\frac{1}{2})^2 + y^2 + 2(-\frac{1}{2}) + 3y + 1 = 0$.
$\frac{1}{4} + y^2 - 1 + 3y + 1 = 0 \Rightarrow y^2 + 3y + \frac{1}{4} = 0$.
$4$ વડે ગુણતા,$4y^2 + 12y + 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 16}}{8} = \frac{-12 \pm 8\sqrt{2}}{8} = -\frac{3}{2} \pm \sqrt{2}$.
સામાન્ય જીવાના અંતિમ બિંદુઓ $(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2} + \sqrt{2})$ અને $(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2} - \sqrt{2})$ છે.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ આ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે: $\sqrt{(-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}))^2 + ((-\frac{3}{2} + \sqrt{2}) - (-\frac{3}{2} - \sqrt{2}))^2} = \sqrt{0^2 + (2\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{2}$ એકમ.

(A) પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2-2x-6y+(10-r^2)=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C_1 = (1, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2+3^2-(10-r^2)} = |r|$ છે.
બીજું વર્તુળ $x^2+y^2-8x+2y+8=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C_2 = (4, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{4^2+(-1)^2-8} = 3$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(4-1)^2+(-1-3)^2} = 5$ છે.
બે વર્તુળોને સામાન્ય જીવા હોય તે માટે,તેઓ બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદવા જોઈએ,જેની શરત $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $| |r| - 3 | < 5 < |r| + 3$.
આ ઉકેલતા આપણને $2 < |r| < 8$ મળે છે.

(B) આપેલ $S \equiv x^2+y^2-4=0$,તેથી $C_1(0,0)$ અને $r_1=2$.
ધારો કે $S^{\prime}=0$ નું કેન્દ્ર $C_2(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r_2=\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ છે.
$S^{\prime}=0$ નું સમીકરણ $(x-h)^2+(y-k)^2=\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{25}{2}$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2+y^2-2xh-2yk+h^2+k^2-\frac{25}{2}=0$ મળે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S-S^{\prime}=0$ છે,જે $2xh+2yk = h^2+k^2-\frac{17}{2}$ થાય.
સામાન્ય જીવાનો ઢાળ $-\frac{h}{k} = \frac{1}{4} \Rightarrow k = -4h$.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ મહત્તમ હોય જ્યારે તે નાના વર્તુળના કેન્દ્ર $C_1(0,0)$ માંથી પસાર થાય.
$(0,0)$ ને જીવાના સમીકરણમાં મૂકતા: $h^2+k^2 = \frac{17}{2}$.
$k=-4h$ ને $h^2+k^2=\frac{17}{2}$ માં મૂકતા,$h^2+(-4h)^2 = \frac{17}{2}$ $\Rightarrow 17h^2 = \frac{17}{2}$ $\Rightarrow h = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
જો $h = \frac{\sqrt{2}}{2}$,તો $k = -2\sqrt{2}$.
જો $h = -\frac{\sqrt{2}}{2}$,તો $k = 2\sqrt{2}$.
તેથી,કેન્દ્ર $C_2$ એ $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -2\sqrt{2}\right)$ અથવા $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 2\sqrt{2}\right)$ છે.

(A) આપેલ છે $S_1: x^2+y^2=16$. કેન્દ્ર $B(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1=4$ છે.
સામાન્ય જીવા મહત્તમ લંબાઈની હોવાથી,તે $S_1$ નો વ્યાસ હશે.
ધારો કે $PQ$ સામાન્ય જીવા છે. જીવાની લંબાઈ $2 \times 4 = 8$ છે.
ધારો કે $S_2$ નું કેન્દ્ર $A(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r_2=5$ છે.
કેન્દ્ર $A(h, k)$ થી સામાન્ય જીવા $PQ$ નું અંતર $d = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ છે.
સામાન્ય જીવા $PQ$ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $m = \frac{3}{4}$ છે.
રેખા $AB$ એ જીવા $PQ$ ને લંબ છે,તેથી $AB$ નો ઢાળ $-\frac{4}{3}$ થાય.
$AB$ નું અંતર $3$ છે.
પ્રચલિત સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,કેન્દ્ર $\left(\mp \frac{9}{5}, \pm \frac{12}{5}\right)$ મળે છે.

(D) આપેલ વર્તુળો $C_1: (x-a)^2+y^2=a^2$ અને $C_2: x^2+(y-a)^2=a^2$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2+y^2-2ax=0$ અને $x^2+y^2-2ay=0$ મળે છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $C_1 - C_2 = 0$ લેતા,$-2ax + 2ay = 0 \Rightarrow x-y=0$ મળે છે.
$y=x$ ને $x^2+y^2-2ax=0$ માં મૂકતા,$2x^2-2ax=0 \Rightarrow 2x(x-a)=0$ મળે છે.
આમ,છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(a,a)$ છે.
જીવાનું મધ્યબિંદુ $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ છે.
જીવાની લંબાઈ $\sqrt{2}a$ છે.
કેન્દ્ર $(a,0)$ થી રેખા $x-y=0$ નું અંતર $d = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચું નથી.

(D) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-3x+y-10=0$ અને $S_2: x^2+y^2-x+2y-20=0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ એટલે કે $2x+y-10=0$ છે.
વર્તુળોની સંહતિનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(\frac{3+\lambda}{2(1+\lambda)}, \frac{-(1+2\lambda)}{2(1+\lambda)})$ છે.
કેન્દ્ર $2x+y-10=0$ પર હોવાથી,$\lambda = -\frac{3}{4}$ મળે છે.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા,$x^2+y^2-9x-2y+20=0$ મળે છે.

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણોની બાદબાકી કરતા સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ મળે છે: $(x^2+y^2-6x-4y+9) - (x^2+y^2-8x-6y+23) = 0$
જેનું સાદું રૂપ $2x + 2y - 14 = 0$ એટલે કે $x + y - 7 = 0$ થાય છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-6x-4y+9=0$ માટે,કેન્દ્ર $(3, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{3^2 + 2^2 - 9} = 2$ છે.
કેન્દ્ર $(3, 2)$ થી રેખા $x + y - 7 = 0$ પરના લંબનું અંતર $d = \frac{|3 + 2 - 7|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ છે.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{4 - 2} = 2\sqrt{2}$ થાય.