વર્તુળો ${x^2} + {y^2} + 5x + 7y + 9 = 0$ અને ${x^2} + {y^2} + 7x + 5y + 9 = 0$ ની સામાન્ય જીવાની લંબાઈ શોધો.

રેખા $L$ એ વર્તુળો ${x^2} + {y^2} = 25$ અને ${x^2} + {y^2} - 8x + 7 = 0$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. બીજા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી રેખા $L$ પર દોરેલા લંબની લંબાઈ શોધો.

બે વર્તુળો $x^2+y^2-4x-12=0$ અને $x^2+y^2+4x-12=0$ ના સામાન્ય પ્રદેશમાં એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ અંતર્ગત છે. જો આ વર્તુળોના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા અને તેમની સામાન્ય જીવા આ સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો હોય, તો સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો. ($\sqrt{3}$ માં)

$x^2 + y^2 = a^2$ વર્તુળની જીવાના અંત્યબિંદુઓ પર દોરેલા સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ,જે $x^2 + y^2 = 2ax$ વર્તુળને સ્પર્શે છે,તે શોધો.

$15$ અને $20$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળો,જેમના કેન્દ્રો એકબીજાથી $25$ એકમ દૂર છે,તેમની સામાન્ય જીવાની લંબાઈ શોધો.

$5x^2-xy-5x+y=0$ દ્વારા દર્શાવેલ રેખાઓ વર્તુળ $S=0$ ના અભિલંબ છે. જો આ વર્તુળ,વર્તુળ $S^{\prime} \equiv x^2+y^2-2x+2y-7=0$ ને બહારથી સ્પર્શે છે,તો $S=0$ ના સાપેક્ષમાં $S^{\prime}=0$ ના કેન્દ્રની સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ શોધો.