જો બિંદુ $(5, -3)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 = 10$ પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે,તો સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ શું થાય?

બિંદુ $(-1, -4)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$ પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે. તો સ્પર્શકની જીવાની લંબાઈ શોધો.

નીચેના વિધાનો અંગે સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો:
વિધાન $I$: વર્તુળો $x^2+y^2+ax+by+c=0$ અને $x^2+y^2+bx+ay+c=0$ ની સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $\frac{\sqrt{(a+b)^2-8c}}{2}$ છે.
વિધાન $II$: જો બે વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદતા હોય,તો તેમની રેડિકલ અક્ષ (radical axis) એ તેમની સામાન્ય જીવા છે.

ધારો કે $P$ અને $Q$ એ વર્તુળ $S \equiv x^2+y^2-a^2=0$ ના બે બાહ્ય બિંદુઓ છે. ધારો કે વર્તુળ $S=0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $P$ ની સ્પર્શક જીવા $Q$ માંથી પસાર થાય છે. જો $l_1$ અને $l_2$ એ $P$ અને $Q$ માંથી વર્તુળ $S=0$ પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ હોય,તો $PQ=$

આપેલ છે કે $a > 2b > 0$ અને રેખા $y = mx - b \sqrt{1 + m^2}$ એ વર્તુળો $x^2 + y^2 = b^2$ અને $(x - a)^2 + y^2 = b^2$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે. તો $m$ નું ધન મૂલ્ય શોધો.

રેખા $2x - y + 3 = 0$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 4 = 0$ ને જે બિંદુઓમાં છેદે છે ત્યાં દોરેલા સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ શોધો.