TS EAMCET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) બસનો પ્રારંભિક વેગ,$u = 72 \ km/h = 72 \times \frac{5}{18} \ m/s = 20 \ m/s$.
પ્રતિપ્રવેગ,$a = -5 \ m/s^2$.
અંતિમ વેગ,$v = 0 \ m/s$ (અકસ્માત ટાળવા માટે).
ધારો કે પ્રતિક્રિયા સમય $t_r$ છે અને બ્રેકિંગ સમય $t_b$ છે.
પ્રતિક્રિયા સમય દરમિયાન કાપેલું અંતર (અચળ વેગ),$d_1 = u \times t_r = 20 \times t_r$.
બ્રેકિંગ દરમિયાન કાપેલું અંતર (પ્રતિપ્રવેગ),$d_2 = \frac{v^2 - u^2}{2a} = \frac{0^2 - 20^2}{2 \times (-5)} = \frac{-400}{-10} = 40 \ m$.
કુલ ઉપલબ્ધ અંતર $50 \ m$ છે,તેથી $d_1 + d_2 = 50 \ m$.
$20 \times t_r + 40 = 50$.
$20 \times t_r = 10$.
$t_r = \frac{10}{20} = 0.5 \ s$.

(C)
1. પ્રથમ $3 \,s$ માટે, કણ સ્થિર સ્થિતિ $(u=0)$ થી $a_1 = 2 \,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે ગતિ શરૂ કરે છે।
2. $t = 3 \,s$ પર વેગ:
$v = u + a_1 t = 0 + 2(3) = 6 \,m/s$
3. $t = 3 \,s$ પર સ્થાનાંતર:
$s_1 = ut + \frac{1}{2} a_1 t^2 = 0 + \frac{1}{2}(2)(3^2) = 9 \,m$
4. $t = 3 \,s$ પછી પ્રવેગ ઉલટાય છે, એટલે $a_2 = -2 \,m/s^2$. ધારો કે વધારાનો સમય $t'$ છે।
5. $t'$ સમયે સ્થાન:
$s = s_1 + vt' + \frac{1}{2} a_2 (t')^2$
6. કણ તેના પ્રારંભિક સ્થાન પર પાછો ફરે તે માટે $s = 0$ હોવું જોઈએ।
7. $0 = 9 + 6t' - \frac{1}{2}(2)(t')^2$
$0 = 9 + 6t' - (t')^2$
$(t')^2 - 6t' - 9 = 0$
8. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$t' = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(1)(-9)}}{2}
= \frac{6 \pm \sqrt{72}}{2}
= 3 \pm 3\sqrt{2}$
9. $t' > 0$ હોવાથી:
$t' = 3 + 3\sqrt{2} = 3(1+\sqrt{2}) \,s$
10. કુલ સમય:
$T = 3 + t' = 3 + 3 + 3\sqrt{2} = 6 + 3\sqrt{2} = 3(2+\sqrt{2}) \,s$

(B) આપેલ છે: હેલિકોપ્ટરનો વેગ $u = 288 \ km/h = 288 \times \frac{5}{18} \ m/s = 80 \ m/s$. ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$. ધારો કે હેલિકોપ્ટરની ઊંચાઈ $h$ છે અને બોમ્બની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ છે. જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે. સમક્ષિતિજ અવધિ $R = u \times t = u \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે. બોમ્બ ફેંકવાના બિંદુ અને અથડાવાના બિંદુને જોડતી રેખા સમક્ષિતિજ સાથે બનાવેલ ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \frac{h}{R}$ થાય. આપેલ છે કે $\theta = 45^{\circ}$,તેથી $\tan 45^{\circ} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $h = R$. $R = u \sqrt{\frac{2h}{g}}$ મૂકતા,આપણને $h = u \sqrt{\frac{2h}{g}}$ મળે છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $h^2 = u^2 \frac{2h}{g} \implies h = \frac{2u^2}{g}$. કિંમતો મૂકતા: $h = \frac{2 \times (80)^2}{10} = \frac{2 \times 6400}{10} = 1280 \ m$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટે કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $x_1 = u \cos \theta \times t_1$ છે,જ્યાં $t_1 = \frac{u \sin \theta}{g}$.
તેથી,$x_1 = \frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{u^2 \sin 2\theta}{2g}$.
બીજા પદાર્થ માટે જે '$(90^{\circ}-\theta)$' ખૂણે ફેંકવામાં આવ્યો છે,મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટેનું અંતર $x_2 = u \cos(90^{\circ}-\theta) \times t_2 = u \sin \theta \times \frac{u \cos \theta}{g} = \frac{u^2 \sin 2\theta}{2g}$ છે.
બંને પદાર્થો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું કુલ અંતર $D = x_1 + x_2 = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ થાય.

(B) $\text{ધારો કે પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ } u \text{ છે। મહત્તમ ઊંચાઈ } H \text{ પર, અંતિમ વેગ } v = 0 \text{ થાય છે। મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર } H = \frac{u^2}{2g} \text{ છે।}
h \text{ ઊંચાઈ પર, વેગ } v_h = 8 \,m/s \text{ છે। ગતિના સમીકરણ } v^2 = u^2 - 2gh \text{ નો ઉપયોગ કરતા } 8^2 = u^2 - 2gh, \text{ જેનો અર્થ છે } u^2 = 64 + 2gh.
\text{જો આપણે } h \text{ ઊંચાઈથી મહત્તમ ઊંચાઈ } H \text{ સુધીની ગતિને ધ્યાનમાં લઈએ, તો પ્રારંભિક વેગ } 8 \,m/s \text{ અને અંતિમ વેગ } 0 \text{ છે। કાપેલું અંતર } (H - h) \text{ છે।}
v^2 = u^2 - 2as \text{ નો ઉપયોગ કરતા } 0^2 = 8^2 - 2g(H - h), \text{ તેથી } 64 = 20(H - h), \text{ જે આપે છે } (H - h) = 3.2 \,m.
\text{આમ, પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત વધારાની ઊંચાઈ } 3.2 \,m \text{ છે।}$

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 19.6 \ m/s$,મહત્તમ ઊંચાઈ $H = 9.8 \ m$.
આપણે જાણીએ છીએ કે મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
$g = 9.8 \ m/s^2$ લેતા,$9.8 = \frac{(19.6)^2 \sin^2 \theta}{2 \times 9.8}$.
$9.8 = \frac{384.16 \sin^2 \theta}{19.6} \implies 9.8 = 19.6 \sin^2 \theta$.
$\sin^2 \theta = \frac{9.8}{19.6} = 0.5$,તેથી $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 45^\circ$.
અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
$\theta = 45^\circ$ હોવાથી,$\sin(2\theta) = \sin(90^\circ) = 1$.
$R = \frac{(19.6)^2}{9.8} = \frac{384.16}{9.8} = 39.2 \ m$.

(A) ધારો કે દડાને $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગથી $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે.
સમય $t$ પર શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = (u \sin \theta)t - \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દડો $t_1 = 2 \ s$ અને $t_2 = 8 \ s$ સમયે સમાન ઊંચાઈ $y$ પર હોવાથી:
$(u \sin \theta)t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2 = (u \sin \theta)t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2$
$u \sin \theta (t_2 - t_1) = \frac{1}{2}g(t_2^2 - t_1^2)$
$u \sin \theta = \frac{g(t_1 + t_2)}{2} = \frac{10(2 + 8)}{2} = 50 \ m/s$.
$\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$u \sin 45^{\circ} = u \cos 45^{\circ} = 50 \ m/s$,તેથી $u_x = 50 \ m/s$.
બે બિંદુઓ વચ્ચેનું સમક્ષિતિજ અંતર $d$ એ $t_1$ અને $t_2$ વચ્ચેનું સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર છે:
$d = u_x(t_2 - t_1) = 50 \times (8 - 2) = 50 \times 6 = 300 \ m$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે,જો કોઈ પદાર્થ $t_1$ સમયે એક બિંદુમાંથી પસાર થાય અને ત્યારબાદ $t_2$ સમય પછી જમીન પર પહોંચે,તો કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = t_1 + t_2 = 2.3 \ s + 5.7 \ s = 8.0 \ s$ થાય.
મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_{max} = \frac{T}{2} = \frac{8.0 \ s}{2} = 4.0 \ s$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{1}{2} g t_{max}^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $H = \frac{1}{2} \times 10 \ ms^{-2} \times (4.0 \ s)^2$.
$H = 5 \times 16 = 80 \ m$.
આમ,પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $80 \ m$ છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = \sqrt{3}x - 0.2x^2$ સાથે સરખાવતા:
$1$. $\tan \theta = \sqrt{3} \implies \theta = 60^\circ$.
$2$. $\frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = 0.2$.
અહીં $g = 10 \ ms^{-2}$ અને $\cos 60^\circ = 0.5$ લેતા,$\frac{10}{2u^2 (0.5)^2} = 0.2$.
$\frac{10}{2u^2 (0.25)} = 0.2 \implies \frac{10}{0.5u^2} = 0.2 \implies \frac{20}{u^2} = 0.2 \implies u^2 = 100 \implies u = 10 \ ms^{-1}$.
ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
$T = \frac{2 \times 10 \times \sin 60^\circ}{10} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \ s$.

(B) ધારો કે કંપવિસ્તાર $A = 6 \ cm$ છે અને મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર $x$ છે.
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે.
કણની ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ છે.
આપેલ છે કે સ્થિતિઊર્જા અને ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $U/K = 4/5$ છે.
સૂત્રો મૂકતા,$\frac{\frac{1}{2} k x^2}{\frac{1}{2} k (A^2 - x^2)} = \frac{4}{5}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{x^2}{A^2 - x^2} = \frac{4}{5}$ મળે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $5x^2 = 4(A^2 - x^2) = 4A^2 - 4x^2$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$9x^2 = 4A^2$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = \frac{4}{9} A^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,$x = \frac{2}{3} A$ મળે.
$A = 6 \ cm$ આપેલ હોવાથી,$x = \frac{2}{3} \times 6 \ cm = 4 \ cm$ મળે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિમાં,બળ $F = -kx = -m\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મહત્તમ બળ $F_{max} = m\omega^2 A$ છે.
આપેલ છે કે સ્થાન $x$ પર બળ $F_{max}$ ના $86.6 \%$ છે,તેથી $F = 0.866 F_{max} = \frac{\sqrt{3}}{2} F_{max}$.
$F = m\omega^2 x$ અને $F_{max} = m\omega^2 A$ હોવાથી,આપણને $x = \frac{\sqrt{3}}{2} A$ મળે છે.
$SHM$ માં સ્થાન $x$ પર કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ છે.
$x = \frac{\sqrt{3}}{2} A$ મૂકતા,$v = \omega \sqrt{A^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2} A)^2} = \omega \sqrt{A^2 - \frac{3}{4} A^2} = \omega \sqrt{\frac{1}{4} A^2} = \frac{1}{2} \omega A$ મળે છે.
મહત્તમ વેગ $v_{max} = \omega A$ છે.
તેથી,તે બિંદુએ વેગ અને મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v}{v_{max}} = \frac{\frac{1}{2} \omega A}{\omega A} = \frac{1}{2}$ થાય.

(D) ડેમ્પ્ડ હાર્મોનિક ઓસિલેટરનો $t$ સમયે કંપનવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t = 10 \ s$ સમયે,$A(t) = A_0/2$.
તેથી,$A_0/2 = A_0 e^{-b(10)/2m} \implies 1/2 = e^{-5b/m} \implies \ln(2) = 5b/m$.
ઓસિલેટરની યાંત્રિક ઉર્જા $E(t) = \frac{1}{2} k A(t)^2 = \frac{1}{2} k A_0^2 e^{-bt/m} = E_0 e^{-bt/m}$ છે.
આપણે તે સમય $t'$ શોધવો છે જેના માટે $E(t') = E_0/2$ થાય.
તેથી,$E_0/2 = E_0 e^{-bt'/m} \implies 1/2 = e^{-bt'/m} \implies \ln(2) = bt'/m$.
$\ln(2)$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $5b/m = bt'/m \implies t' = 5 \ s$.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આવૃત્તિ $f$ (એકમ સમયમાં થતા દોલનોની સંખ્યા) $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$ છે.
આપેલ સ્થળે $g$ અચળ હોવાથી,$f \propto \frac{1}{\sqrt{L}}$,જેનો અર્થ છે કે $L \propto \frac{1}{f^2}$.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1 = 72 \text{ દોલનો/મિનિટ}$ અને અંતિમ આવૃત્તિ $f_2 = 90 \text{ દોલનો/મિનિટ}$ છે.
તેથી,$\frac{L_2}{L_1} = \left( \frac{f_1}{f_2} \right)^2 = \left( \frac{72}{90} \right)^2 = \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{16}{25} = 0.64$.
આનો અર્થ એ છે કે નવી લંબાઈ $L_2$ એ મૂળ લંબાઈ $L_1$ ના $64 \%$ છે.
લંબાઈમાં ઘટાડો $\Delta L = L_1 - L_2 = L_1 - 0.64 L_1 = 0.36 L_1$ છે.
તેથી,ટકાવારીમાં ઘટાડો $36 \%$ છે.

(D) અવમંદિત હાર્મોનિક ઓસિલેટરનો કોઈપણ સમયે $t$ કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_0$ એ $t=0$ સમયે પ્રારંભિક કંપવિસ્તાર છે અને $b$ એ અવમંદન અચળાંક છે.
$t_1$ સમયે,કંપવિસ્તાર $A_1 = A_0 e^{-bt_1/2m}$ છે. તેથી,$e^{-bt_1/2m} = \frac{A_1}{A_0}$.
$t_2$ સમયે,કંપવિસ્તાર $A_2 = A_0 e^{-bt_2/2m}$ છે. તેથી,$e^{-bt_2/2m} = \frac{A_2}{A_0}$.
આપણે $t = t_1 + t_2$ સમયે કંપવિસ્તાર $A$ શોધવો છે,જે $A(t_1+t_2) = A_0 e^{-b(t_1+t_2)/2m}$ છે.
આને $A(t_1+t_2) = A_0 (e^{-bt_1/2m}) (e^{-bt_2/2m})$ તરીકે લખી શકાય છે.
ઘાતાંકીય પદો માટેના સમીકરણો મૂકતા,આપણને $A(t_1+t_2) = A_0 \left(\frac{A_1}{A_0}\right) \left(\frac{A_2}{A_0}\right)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $A(t_1+t_2) = \frac{A_1 A_2}{A_0}$ મળે છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણ માટે ગતિનું સમીકરણ $F = -ky$ છે। આપેલ સમીકરણ $F + 0.04 \pi^2 y = 0$ પરથી, $F = -0.04 \pi^2 y$ મળે છે। આને $F = -ky$ સાથે સરખાવતા, બળ અચળાંક $k = 0.04 \pi^2 \text{ N/m}$ મળે.
કણનું દળ $m = 90 \text{ g} = 0.09 \text{ kg}$ છે।
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{0.04 \pi^2}{0.09}} = \sqrt{\frac{4 \pi^2}{9}} = \frac{2 \pi}{3} \text{ rad/s}$ થાય.
કંપવિસ્તાર $A = \frac{6}{\pi} \text{ m}$ છે।
મહત્તમ વેગ $v_{\text{max}} = A \omega$ દ્વારા મળે છે।
કિંમતો મૂકતા, $v_{\text{max}} = \left( \frac{6}{\pi} \right) \times \left( \frac{2 \pi}{3} \right) = 4 \text{ m/s}$.

(D) બાહ્ય ટોર્કની ગેરહાજરીમાં પૃથ્વી એક અલગ તંત્ર છે, તેથી તેનું કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ અચળ રહે છે.
જ્યારે ધ્રુવો પરનો બરફ પીગળે છે અને પાણી વિષુવવૃત્ત તરફ વહે છે, ત્યારે પૃથ્વીનું દળ વિતરણ બદલાય છે જેથી વધુ દળ પરિભ્રમણની ધરીથી દૂર કેન્દ્રિત થાય છે.
આનાથી પૃથ્વીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ વધે છે $(I = \sum mr^2)$.
જેમ કે $L = I\omega$ અચળ છે, તેથી $I$ માં વધારો થવાથી કોણીય વેગ $\omega$ માં ઘટાડો થાય છે.
જેમ કે $\omega = 2\pi / T$, જ્યાં $T$ એ દિવસનો સમયગાળો છે, $\omega$ માં ઘટાડો થવાથી દિવસના સમયગાળા $T$ માં વધારો થાય છે.

(C) ધારો કે $M$ એ દળ,$R$ એ ત્રિજ્યા અને $L$ એ સમાન નક્કર નળાકારની લંબાઈ છે.
નળાકારની તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
નળાકારની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{MR^2}{4} + \frac{ML^2}{12}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$I_1 = \frac{1}{n} I_2$,જેનો અર્થ છે કે $n I_1 = I_2$.
સમીકરણો મૂકતા: $n \left( \frac{1}{2} MR^2 \right) = \frac{MR^2}{4} + \frac{ML^2}{12}$.
$M$ વડે ભાગતા: $\frac{nR^2}{2} = \frac{R^2}{4} + \frac{L^2}{12}$.
$12$ વડે ગુણતા: $6nR^2 = 3R^2 + L^2$.
$L^2$ માટે ગોઠવતા: $L^2 = 6nR^2 - 3R^2 = 3R^2(2n - 1)$.
તેથી,$\frac{L^2}{R^2} = 3(2n - 1)$,જે આપે છે $\frac{L}{R} = \sqrt{3(2n - 1)}$.

(A) ધારો કે પાતળી વર્તુળાકાર રીંગનું દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે.
રીંગના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,તેની ધારમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + MR^2 = MR^2 + MR^2 = 2MR^2$ થાય.
આપેલ છે કે આ મૂલ્ય $I$ છે,તેથી $2MR^2 = I$,જેનો અર્થ છે કે $MR^2 = \frac{I}{2}$.
રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diameter} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
$MR^2$ નું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને $I_{diameter} = \frac{1}{2} \times \frac{I}{2} = \frac{I}{4}$ મળે છે.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી પાતળી વર્તુળાકાર રીંગ માટે,તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{diam} = \frac{1}{2}MR^2$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,તેના સમતલમાં સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{ring} = I_{diam} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$ થાય. ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k_{ring}$ એ $Mk_{ring}^2 = \frac{3}{2}MR^2$ દ્વારા મળે છે,તેથી $k_{ring} = R\sqrt{\frac{3}{2}}$.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર તકતી માટે,તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{diam} = \frac{1}{4}MR^2$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,તેના સમતલમાં સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{disc} = I_{diam} + MR^2 = \frac{1}{4}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4}MR^2$ થાય. ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k_{disc}$ એ $Mk_{disc}^2 = \frac{5}{4}MR^2$ દ્વારા મળે છે,તેથી $k_{disc} = R\sqrt{\frac{5}{4}}$.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{k_{ring}}{k_{disc}} = \frac{R\sqrt{3/2}}{R\sqrt{5/4}} = \sqrt{\frac{3}{2} \times \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{12}{10}} = \sqrt{\frac{6}{5}}$ છે.
$\sqrt{12}:\sqrt{K}$ સ્વરૂપ મેળવવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણીએ: $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{10}}$. આમ,$K = 10$ થાય.

(A) $1$. રીંગનું દળ $m$ છે અને તેની રેખીય ઘનતા $\rho$ છે. રીંગનો પરિઘ $L = \frac{m}{\rho}$ થાય.
$2$. $L = 2 \pi R$ હોવાથી,રીંગની ત્રિજ્યા $R = \frac{m}{2 \pi \rho}$ મળે.
$3$. રીંગના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diam} = \frac{1}{2} m R^2$ છે.
$4$. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,વ્યાસને સમાંતર સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{diam} + m R^2 = \frac{1}{2} m R^2 + m R^2 = \frac{3}{2} m R^2$ થાય.
$5$. $R = \frac{m}{2 \pi \rho}$ ની કિંમત મૂકતા: $I = \frac{3}{2} m \left( \frac{m}{2 \pi \rho} \right)^2 = \frac{3}{2} m \left( \frac{m^2}{4 \pi^2 \rho^2} \right) = \frac{3 m^3}{8 \pi^2 \rho^2}$.

(A) $M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા પાતળા સમાન સળિયાની તેની લંબાઈને લંબ અને એક છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{3}ML^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા સાથે $I = MK^2$ દ્વારા સંબંધિત છે.
$I$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $MK^2 = \frac{1}{3}ML^2$ મળે છે.
બંને બાજુથી $M$ ને દૂર કરતા,આપણને $K^2 = \frac{L^2}{3}$ મળે છે.
બંને બાજુનું વર્ગમૂળ લેતા,$K = \frac{L}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $K: L = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અથવા $1: \sqrt{3}$ થાય છે.

(B) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે।
નક્કર ગોળા માટે, $I_{sphere} = \frac{2}{5} MR^2$. તેથી, $a_{sphere} = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{g \sin \theta}{7/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta = 3 \,ms^{-2}$.
આના પરથી $g \sin \theta = \frac{3 \times 7}{5} = 4.2 \,ms^{-2}$ મળે છે.
પાતળી સમાન વર્તુળાકાર તકતી માટે, $I_{disc} = \frac{1}{2} MR^2$. તેથી, $a_{disc} = \frac{g \sin \theta}{1 + 1/2} = \frac{g \sin \theta}{3/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta$.
$g \sin \theta$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $a_{disc} = \frac{2}{3} \times 4.2 = 2.8 \,ms^{-2}$ મળે છે.

(B) વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
અહીં $M = \frac{10}{\pi^2} \,kg$ અને $R = 2 \,m$ આપેલ છે,તેથી $I = \frac{1}{2} \times \frac{10}{\pi^2} \times (2)^2 = \frac{20}{\pi^2} \,kg \cdot m^2$.
પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_1 = 90 \,rev/min = 90 \times \frac{2\pi}{60} \,rad/s = 3\pi \,rad/s$.
અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega_2 = 120 \,rev/min = 120 \times \frac{2\pi}{60} \,rad/s = 4\pi \,rad/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કરેલું કાર્ય $W$ એ ચાકગતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K = \frac{1}{2}I(\omega_2^2 - \omega_1^2)$.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{1}{2} \times \frac{20}{\pi^2} \times ((4\pi)^2 - (3\pi)^2) = \frac{10}{\pi^2} \times (16\pi^2 - 9\pi^2) = \frac{10}{\pi^2} \times 7\pi^2 = 70 \,J$.

(B) સરક્યા વિના ગબડતા નક્કર ગોળા માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(\frac{2}{5}MR^2)\omega^2 = \frac{1}{5}MR^2\omega^2$ છે.
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v = R\omega$ થાય,તેથી $\omega = \frac{v}{R}$.
$\omega$ ની કિંમત ચાકગતિ ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $K_{rot} = \frac{1}{5}MR^2(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{5}Mv^2$.
સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $K_{trans} = \frac{1}{2}Mv^2$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા અને સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{rot}}{K_{trans}} = \frac{\frac{1}{5}Mv^2}{\frac{1}{2}Mv^2} = \frac{2}{5}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $2: 5$ છે.

(D) ધારો કે સ્કેલનું દળ $M = 100 \ g$ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(50 \ cm)$ પર કાર્ય કરે છે. ધારો કે દરેક પ્લેટનું દળ $m = 200 \ g$ છે જે $0 \ cm$ અને $100 \ cm$ પર છે. ધરી $45 \ cm$ પર છે.
$45 \ cm$ પરના બિંદુને અનુલક્ષીને ટોર્ક (moments) લેતા:
ઘડિયાળની દિશામાં ટોર્ક: $M_{veg} \times (100 - 45) + m \times (100 - 45) + M \times (50 - 45) = 300 \times (45 - 0) + m \times (45 - 0)$
$M_{veg} \times 55 + 200 \times 55 + 100 \times 5 = 300 \times 45 + 200 \times 45$
$55 M_{veg} + 11000 + 500 = 13500 + 9000$
$55 M_{veg} + 11500 = 22500$
$55 M_{veg} = 11000$
$M_{veg} = 200 \ g$.
સાચું વજન $300 \ g$ છે અને માપેલું વજન $200 \ g$ છે. તેથી ભૂલ $|300 - 200| = 100 \ g$ છે.

(A) બરફનું દળ $m = 8 \ g = 0.008 \ kg$.
પગલું $1$: બરફને $-20^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_1 = m \cdot c_{ice} \cdot \Delta T = 0.008 \times 2100 \times 20 = 336 \ J$.
પગલું $2$: $0^{\circ}C$ પર રહેલા બરફને $0^{\circ}C$ ના પાણીમાં ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_2 = m \cdot L_f = 0.008 \times 336 \times 10^3 = 2688 \ J$.
પગલું $3$: પાણીને $0^{\circ}C$ થી $100^{\circ}C$ સુધી ગરમ કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_3 = m \cdot c_{water} \cdot \Delta T = 0.008 \times 4200 \times 100 = 3360 \ J$.
પગલું $4$: $100^{\circ}C$ ના પાણીને $100^{\circ}C$ ની વરાળમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_4 = m \cdot L_v = 0.008 \times 2.268 \times 10^6 = 18144 \ J$.
કુલ ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 = 336 + 2688 + 3360 + 18144 = 24528 \ J \approx 24.5 \ kJ$.

(B) દીવાલોમાંથી ઉષ્માના વહનનો દર $dQ/dt$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $dQ/dt = (K \cdot A \cdot \Delta T) / d$.
અહીં, $K = 10^{-2} \,W m^{-1} K^{-1}$, $A = 1000 \,cm^2 = 0.1 \,m^2$, $\Delta T = 42^{\circ}C - 0^{\circ}C = 42 \,K$, અને $d = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$.
આ કિંમતો મૂકતા: $dQ/dt = (10^{-2} \times 0.1 \times 42) / (2 \times 10^{-3}) = (4.2 \times 10^{-2}) / (2 \times 10^{-3}) = 21 \,W$ (અથવા $21 \,J/s$).
કુલ સમય $t = 160 \,minutes = 160 \times 60 \,s = 9600 \,s$.
કુલ સ્થાનાંતરિત ઉષ્મા $Q = (dQ/dt) \times t = 21 \times 9600 = 201600 \,J$.
ઓગળેલા બરફનું દળ $m_{melted} = Q / L$, જ્યાં $L = 336 \times 10^3 \,J/kg$.
$m_{melted} = 201600 / (336 \times 10^3) = 0.6 \,kg$.
બાકી રહેલા બરફનું દળ = શરૂઆતનું દળ - ઓગળેલું દળ = $1.5 \,kg - 0.6 \,kg = 0.9 \,kg$.

(C) સળિયામાંથી પસાર થતી ઉષ્માનો દર $H$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$.
આપેલ છે: $K = 90 \ W \ m^{-1} \ K^{-1}$,$A = 4 \ cm^2 = 4 \times 10^{-4} \ m^2$,$L = 20 \ cm = 0.2 \ m$,$T_1 = 100^{\circ} C$,$T_2 = 0^{\circ} C$.
કિંમતો મૂકતા: $H = \frac{90 \times 4 \times 10^{-4} \times (100 - 0)}{0.2} = \frac{90 \times 4 \times 10^{-4} \times 100}{0.2} = \frac{3.6}{0.2} = 18 \ J/s$.
$t = 7 \ minutes = 420 \ s$ સમયમાં સ્થાનાંતરિત કુલ ઉષ્મા $Q = H \times t = 18 \times 420 = 7560 \ J$.
ઓગળેલા બરફનું દળ $m$ એ $Q = mL_f$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $L_f = 336 \times 10^3 \ J/kg$.
$m = \frac{Q}{L_f} = \frac{7560}{336 \times 10^3} = 0.0225 \ kg = 22.5 \ g$.

(A) ન્યુટનના શીતલન (ઠંડા પડવાના) નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ છે,જ્યાં $T_s$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $\frac{60 - 50}{10} = k \left( \frac{60 + 50}{2} - T_s \right) \Rightarrow 1 = k(55 - T_s) \quad (1)$
બીજા અંતરાલ માટે: $\frac{50 - 40}{15} = k \left( \frac{50 + 40}{2} - T_s \right) \Rightarrow \frac{2}{3} = k(45 - T_s) \quad (2)$
$(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{2/3} = \frac{55 - T_s}{45 - T_s} \Rightarrow 1.5 = \frac{55 - T_s}{45 - T_s} \Rightarrow 67.5 - 1.5T_s = 55 - T_s \Rightarrow 0.5T_s = 12.5 \Rightarrow T_s = 25^{\circ} C$.
$T_s = 25$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $1 = k(55 - 25) \Rightarrow 1 = 30k \Rightarrow k = \frac{1}{30}$.
ત્રીજા અંતરાલ $40^{\circ} C$ થી $30^{\circ} C$ માટે: $\frac{40 - 30}{t} = k \left( \frac{40 + 30}{2} - T_s \right) \Rightarrow \frac{10}{t} = \frac{1}{30} (35 - 25) \Rightarrow \frac{10}{t} = \frac{10}{30} \Rightarrow t = 30 \text{ મિનિટ}$.

(A) વિનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_{max} T = b$,જ્યાં $b = 2.9 \times 10^{-3} m K$ એ વિનનો અચળાંક છે.
આપેલ છે કે $\lambda_{max} = 2900 Å = 2900 \times 10^{-10} m = 2.9 \times 10^{-7} m$.
કિંમતો મૂકતા,$T = \frac{b}{\lambda_{max}} = \frac{2.9 \times 10^{-3}}{2.9 \times 10^{-7}} = 10^4 K$.
સંપૂર્ણ રેડિયેટર (બ્લેક બોડી) દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણની તીવ્રતા સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \sigma T^4$.
આપેલ છે કે $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} W m^{-2} K^{-4}$.
$E = (5.67 \times 10^{-8}) \times (10^4)^4 = 5.67 \times 10^{-8} \times 10^{16} = 5.67 \times 10^8 W m^{-2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) રેખીય પ્રસરણનું સૂત્ર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ છે,જ્યાં $\Delta L$ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
અહીં લંબાઈમાં $0.4 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta L}{L} = 0.4 \% = \frac{0.4}{100} = 0.004$.
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 20 \times 10^{-6} \ {}^{\circ}C^{-1}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્ર $\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$ માં મૂકતા:
$0.004 = (20 \times 10^{-6}) \Delta T$.
$\Delta T$ માટે ગણતરી કરતા:
$\Delta T = \frac{0.004}{20 \times 10^{-6}} = \frac{4 \times 10^{-3}}{20 \times 10^{-6}} = \frac{1}{5} \times 10^3 = 0.2 \times 1000 = 200 \ {}^{\circ}C$.
સેલ્સિયસમાં તાપમાનનો ફેરફાર એ કેલ્વિનમાં તાપમાનના ફેરફાર જેટલો જ હોવાથી,$\Delta T = 200 \ K$.

(C) ધારો કે સેલ્સિયસ સ્કેલ પરનું રીડિંગ $C$ છે અને ફેરનહીટ સ્કેલ પરનું રીડિંગ $F$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$F = C + 0.90C = 1.9C$.
સેલ્સિયસ અને ફેરનહીટ સ્કેલ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવતું સૂત્ર: $F = \frac{9}{5}C + 32$.
સૂત્રમાં $F = 1.9C$ મૂકતા: $1.9C = 1.8C + 32$.
બંને બાજુથી $1.8C$ બાદ કરતા: $0.1C = 32$.
આમ,$C = 320^{\circ} C$.
હવે,$F = 1.9C$ નો ઉપયોગ કરીને $F$ શોધીએ: $F = 1.9 \times 320 = 608^{\circ} F$.
તેથી,તાપમાન $608^{\circ} F$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,સાચા ફેરનહીટ થર્મોમીટર દ્વારા માપવામાં આવેલા તાપમાનને સેલ્સિયસ સ્કેલમાં રૂપાંતરિત કરો.
સેલ્સિયસ $(C)$ અને ફેરનહીટ $(F)$ વચ્ચેનો સંબંધ આ મુજબ છે: $C = \frac{5}{9}(F - 32)$.
$F = 122^{\circ} F$ મૂકતા:
$C = \frac{5}{9}(122 - 32) = \frac{5}{9}(90) = 50^{\circ} C$.
આ શરીરનું સાચું તાપમાન છે.
ખામીયુક્ત થર્મોમીટર $49^{\circ} C$ વાંચે છે.
સુધારો (Correction) આ રીતે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\text{સાચું મૂલ્ય} - \text{માપેલું મૂલ્ય}$.
સુધારો $= 50^{\circ} C - 49^{\circ} C = +1^{\circ} C$.
તેથી,લાગુ કરવા માટેનો સુધારો $+1^{\circ} C$ છે.

(A) લોલકવાળી ઘડિયાળનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta \theta$ ને કારણે આવર્તકાળમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
આપેલ છે: $\alpha = 12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$,$\Delta \theta = 47^{\circ} C - 32^{\circ} C = 15^{\circ} C$.
$\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-6} \times 15 = 90 \times 10^{-6}$.
એક દિવસ $(86400 \ s)$ માં ગુમાવેલો કે મેળવેલો સમય $\Delta t = \frac{\Delta T}{T} \times 86400$ છે.
$\Delta t = 90 \times 10^{-6} \times 86400 = 7.776 \ s \approx 7.8 \ s$.
તાપમાન વધતું હોવાથી,લોલકની લંબાઈ વધે છે,આવર્તકાળ વધે છે,તેથી ઘડિયાળ ધીમી પડે છે.

(C) ધાતુની સ્કેલની લંબાઈ $L = 1 \ m = 1000 \ mm$ છે. લંબાઈમાં મહત્તમ માન્ય ભૂલ $\Delta L = 0.5 \ mm$ છે. રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 10^{-5} /{ }^{\circ} C$ છે. તાપમાનના ફેરફાર $\Delta T$ ને કારણે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કિંમતો મૂકતા: $0.5 = 1000 \times 10^{-5} \times \Delta T$. આનું સાદું રૂપ આપતા $0.5 = 10^{-2} \times \Delta T$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\Delta T = 0.5 / 10^{-2} = 50^{\circ} C$. સ્કેલ $25^{\circ} C$ પર અંકિત થયેલ હોવાથી,તાપમાનનો ગાળો $25^{\circ} C \pm 50^{\circ} C$ થશે. આમ,તાપમાનનો ગાળો $25 - 50 = -25^{\circ} C$ થી $25 + 50 = 75^{\circ} C$ સુધીનો છે.

(D) અચળ દબાણે આપવામાં આવતી ઉષ્મા $Q = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $Q$ અને $n$ સમાન હોવાથી,બંને વાયુઓ માટે $C_p \Delta T$ સમાન રહેશે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,$C_{p,1} = \frac{5}{2}R$ અને આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U_1 = n C_{v,1} \Delta T_1 = n (\frac{3}{2}R) \Delta T_1$ છે.
ડાયએટોમિક વાયુ માટે,$C_{p,2} = \frac{7}{2}R$ અને આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U_2 = n C_{v,2} \Delta T_2 = n (\frac{5}{2}R) \Delta T_2$ છે.
$Q = n C_{p,1} \Delta T_1 = n C_{p,2} \Delta T_2$ હોવાથી,$\frac{5}{2}R \Delta T_1 = \frac{7}{2}R \Delta T_2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\Delta T_1 = \frac{7}{5} \Delta T_2$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફારનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta U_1}{\Delta U_2} = \frac{n (\frac{3}{2}R) \Delta T_1}{n (\frac{5}{2}R) \Delta T_2} = \frac{3}{5} \times \frac{\Delta T_1}{\Delta T_2} = \frac{3}{5} \times \frac{7}{5} = \frac{21}{25}$ થાય.

(D) દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
અચળ દબાણે,શોષાયેલી ઉષ્મા $dQ = n C_p dT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
થયેલ કાર્ય $dW = P dV = n R dT$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $dU = n C_v dT$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$ અને $C_p = C_v + R = \frac{7}{2} R$.
આમ,$dW : dU : dQ$ નો ગુણોત્તર $nR dT : \frac{5}{2} nR dT : \frac{7}{2} nR dT$ થાય છે.
$nR dT$ વડે ભાગતા,આપણને $1 : \frac{5}{2} : \frac{7}{2}$ મળે છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2 : 5 : 7$ મળે છે.

(B) કાર્નોટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
એડિબેટિક વિસ્તરણ પ્રક્રિયા દરમિયાન,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.4 = \frac{7}{5}$ છે.
તેથી,$\gamma - 1 = 0.4 = \frac{2}{5}$ થાય.
આપેલ છે કે કદ $32$ ના ગુણાંકમાં વધે છે,એટલે કે $V_2 = 32 V_1$.
એડિબેટિક સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1} = \left( \frac{1}{32} \right)^{2/5}$.
$\frac{T_2}{T_1} = \left( (2^5)^{-1} \right)^{2/5} = (2^{-5})^{2/5} = 2^{-2} = \frac{1}{4} = 0.25$.
હવે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - 0.25 = 0.75$.
ટકાવારીમાં ફેરવતા,$\eta = 75 \%$.

(B) દૂર કરવાની કુલ ઉષ્મા $(Q)$ બે ભાગમાં વહેંચાયેલી છે: પાણીને $30^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી ઠંડું પાડવું અને $0^{\circ}C$ તાપમાને પાણીનું બરફમાં રૂપાંતર કરવું.
$1$. પાણીને ઠંડું પાડવા માટેની ઉષ્મા: $Q_1 = m \cdot c \cdot \Delta T = 15 \ kg \times 4200 \ J/(kg \cdot K) \times 30 \ K = 1,890,000 \ J$.
$2$. પાણીને બરફમાં ફેરવવા માટેની ઉષ્મા: $Q_2 = m \cdot L_f = 15 \ kg \times 3.36 \times 10^5 \ J/kg = 5,040,000 \ J$.
કુલ ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 = 1,890,000 + 5,040,000 = 6,930,000 \ J$.
સમય $t = 1 \ hour = 3600 \ s$.
પાવર $P = Q / t = 6,930,000 / 3600 = 1925 \ W$.

(A) આપેલ છે: મોલની સંખ્યા $n = 2$,પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 327 + 273 = 600 \ K$,વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{4}{3}$.
કદમાં $700 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $V_2 = V_1 + 7V_1 = 8V_1$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1} = 600 \left( \frac{1}{8} \right)^{\frac{4}{3}-1} = 600 \left( \frac{1}{8} \right)^{1/3} = 600 \times \frac{1}{2} = 300 \ K$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ છે.
$W = \frac{2 \times 8.3 \times (600 - 300)}{\frac{4}{3} - 1} = \frac{2 \times 8.3 \times 300}{1/3} = 2 \times 8.3 \times 300 \times 3 = 14940 \ J = 14.94 \ kJ$.

(D) બંધ પાત્રમાં રહેલા વાયુ માટે કદ $V$ અચળ રહે છે. ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,$P \propto T$,જ્યાં $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P$ છે અને પ્રારંભિક તાપમાન $T$ (કેલ્વિનમાં) છે.
જ્યારે તાપમાનમાં $\Delta T = 2.4 \ K$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે દબાણમાં $\Delta P = 0.005 P$ નો વધારો થાય છે.
$P/T = (P + \Delta P) / (T + \Delta T)$ પરથી:
$P/T = (P + 0.005 P) / (T + 2.4)$
$1/T = 1.005 / (T + 2.4)$
$T + 2.4 = 1.005 T$
$0.005 T = 2.4$
$T = 2.4 / 0.005 = 480 \ K$.
સેલ્સિયસમાં પ્રારંભિક તાપમાન $t = T - 273 = 480 - 273 = 207^{\circ} C$ થાય.

(D) અચાનક થતા સંકોચન માટે,પ્રક્રિયા એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\gamma = 1.5$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક અવસ્થા $(T_1, V_1)$ છે અને અંતિમ અવસ્થા $(T_2, V_2)$ છે.
આપેલ છે કે $T_2 = 2T_1$ અને $\gamma = 1.5$.
સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$T_1 V_1^{1.5-1} = 2T_1 V_2^{1.5-1}$
$V_1^{0.5} = 2 V_2^{0.5}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $V_1 = 4 V_2$,જેનો અર્થ છે કે $V_2 = \frac{V_1}{4} = 0.25 V_1$.
કદમાં થતો ઘટાડો $\Delta V = V_1 - V_2 = V_1 - 0.25 V_1 = 0.75 V_1$ છે.
પ્રતિશત ઘટાડો $\frac{\Delta V}{V_1} \times 100 = 0.75 \times 100 = 75\%$ છે.

(A) ચક્ર $ABCA$ માં થયેલું કુલ કાર્ય $W_{ABCA} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA}$ છે.
$1$. પ્રક્રિયા $AB$ એ સમતાપી પ્રક્રિયા છે કારણ કે $T_A = T_B = T_1$. થયેલું કાર્ય $W_{AB} = nRT_1 \ln(V_B/V_A) = 3RT_1 \ln(3V_1/V_1) = 3RT_1 \ln(3)$ છે.
$2$. પ્રક્રિયા $BC$ એ સમદાબી પ્રક્રિયા છે કારણ કે $P_B = P_C = P_2$. થયેલું કાર્ય $W_{BC} = P_2(V_C - V_B) = P_2(V_1 - 3V_1) = -2P_2V_1$ છે. બિંદુ $B$ પર આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ,$P_2(3V_1) = nRT_1 = 3RT_1$,તેથી $P_2V_1 = RT_1$. આમ,$W_{BC} = -2RT_1$.
$3$. પ્રક્રિયા $CA$ એ સમકદ પ્રક્રિયા છે કારણ કે $V_C = V_A = V_1$. થયેલું કાર્ય $W_{CA} = 0$ છે.
$4$. કુલ કાર્ય $W_{ABCA} = 3RT_1 \ln(3) - 2RT_1 + 0 = RT_1[3 \ln(3) - 2]$.

(C) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,માત્ર સમાન પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી કરી શકાય છે.
અહીં આપેલ છે કે $A, B$ અને $C$ ના પરિમાણીય સૂત્રો અલગ-અલગ છે,તેથી $(A-C)$ અને $(AC-B)$ જેવી પદાવલીઓ ભૌતિક રીતે અર્થહીન છે કારણ કે તેમાં અલગ પરિમાણ ધરાવતી રાશિઓની બાદબાકી કરવામાં આવી છે.
પ્રશ્ન મુજબ,વિકલ્પ $(C)$ માં $(A-C)$ પદ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ અમાન્ય છે. તેવી જ રીતે વિકલ્પ $(D)$ માં $(AC-B)$ પણ અમાન્ય છે. સામાન્ય રીતે આવા પ્રશ્નોમાં,$\frac{A-C}{B}$ ને અમાન્ય ગણવામાં આવે છે કારણ કે અંશ $(A-C)$ વ્યાખ્યાયિત નથી.

(A) મૂળ સળિયાની લંબાઈ $43.4 \ m$ છે (જેમાં $3$ સાર્થક અંકો છે અને તે દશાંશ ચિહ્ન પછીના પ્રથમ સ્થાન સુધી ચોક્કસ છે).
કાપેલા ટુકડાની લંબાઈ $3.532 \ m$ છે (જેમાં $4$ સાર્થક અંકો છે અને તે દશાંશ ચિહ્ન પછીના ત્રીજા સ્થાન સુધી ચોક્કસ છે).
બાદબાકી કરતી વખતે,પરિણામને તે માપ જેટલા જ દશાંશ સ્થાનો સુધી દર્શાવવું જોઈએ જેમાં સૌથી ઓછા દશાંશ સ્થાનો હોય.
બાકી રહેલી લંબાઈ $= 43.4 \ m - 3.532 \ m = 39.868 \ m$.
$43.4$ માં માત્ર એક જ દશાંશ સ્થાન હોવાથી,આપણે પરિણામને એક દશાંશ સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું પડશે.
$39.868$ ને એક દશાંશ સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $39.9 \ m$ મળે છે.

(D) પગલું $1$: અવલોકનોનું સરેરાશ મૂલ્ય શોધો.
સરેરાશ મૂલ્ય $\bar{x} = \frac{2.62 + 2.68 + 2.58 + 2.57 + 2.54 + 2.55}{6} = \frac{15.54}{6} = 2.59 \ mPa \cdot s$.
પગલું $2$: દરેક અવલોકન માટે નિરપેક્ષ ત્રુટિ $|\Delta x_i| = |x_i - \bar{x}|$ શોધો.
$|\Delta x_1| = |2.62 - 2.59| = 0.03$
$|\Delta x_2| = |2.68 - 2.59| = 0.09$
$|\Delta x_3| = |2.58 - 2.59| = 0.01$
$|\Delta x_4| = |2.57 - 2.59| = 0.02$
$|\Delta x_5| = |2.54 - 2.59| = 0.05$
$|\Delta x_6| = |2.55 - 2.59| = 0.04$
પગલું $3$: સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ શોધો.
સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta \bar{x} = \frac{0.03 + 0.09 + 0.01 + 0.02 + 0.05 + 0.04}{6} = \frac{0.24}{6} = 0.04 \ mPa \cdot s$.

(C) દબાણ $P$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ $A$ પર લાગતા બળ $F$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી $P = F/A$.
$s$ બાજુ ધરાવતી ચોરસ પ્લેટ માટે,ક્ષેત્રફળ $A = s^2$ થાય.
તેથી,$P = F/s^2$.
દબાણમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta F}{F} + 2 \frac{\Delta s}{s}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$\frac{\Delta F}{F} \times 100 = 3 \%$ અને $\frac{\Delta s}{s} \times 100 = 1 \%$.
આ કિંમતો મૂકતા,દબાણમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 3 \% + 2(1 \%) = 3 \% + 2 \% = 5 \%$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ભૌતિકશાસ્ત્રને મુખ્યત્વે બે ભાગમાં વહેંચવામાં આવે છે: મેક્રોસ્કોપિક અને માઇક્રોસ્કોપિક.
$1$. મેક્રોસ્કોપિક ડોમેનમાં પ્રયોગશાળા,પૃથ્વી અને ખગોળીય સ્તરની ઘટનાઓનો સમાવેશ થાય છે.
$2$. માઇક્રોસ્કોપિક ડોમેન પરમાણુઓ અને ન્યુક્લિયસના સૂક્ષ્મ સ્તરે દ્રવ્યના બંધારણ અને રચના સાથે,તેમજ ઇલેક્ટ્રોન,ફોટોન અને અન્ય પ્રાથમિક કણો સાથેની તેમની આંતરક્રિયા સાથે સંબંધિત છે.
તેથી,સાચો જવાબ માઇક્રોસ્કોપિક ડોમેન છે.

(D) સાર્થક અંકો માટેના નિયમો મુજબ:
$1$. તમામ શૂન્યતર અંકો સાર્થક છે.
$2$. દશાંશ ચિહ્ન વગરની સંખ્યામાં અંતમાં આવતા શૂન્યો સામાન્ય રીતે સાર્થક ગણાતા નથી,સિવાય કે માપનની ચોકસાઈ દ્વારા તે દર્શાવવામાં આવ્યા હોય.
સંખ્યા $830600$ માં,અંકો $8, 3, 0, 6$ સાર્થક છે.
છેલ્લા બે શૂન્યો સાર્થક નથી કારણ કે તેમાં દશાંશ ચિહ્ન નથી.
તેથી,સાર્થક અંકો $8, 3, 0, 6$ છે,જે કુલ $4$ સાર્થક અંકો આપે છે.

(C) લંબગત તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(kx + \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 3 \sin(4x + 200t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
તરંગ સંખ્યા $k = 4 \ m^{-1}$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 200 \ rad \ s^{-1}$
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{200}{4} = 50 \ m/s$ છે.
ખેંચાયેલી દોરી પર લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા પણ આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v^2 = \frac{T}{\mu}$,જેનો અર્થ છે કે $\mu = \frac{T}{v^2}$.
આપેલ કિંમતો $T = 500 \ N$ અને $v = 50 \ m/s$ મૂકતા:
$\mu = \frac{500}{(50)^2} = \frac{500}{2500} = \frac{1}{5} = 0.2 \ kg \ m^{-1}$.
આમ,દોરીની રેખીય ઘનતા $0.2 \ kg \ m^{-1}$ છે.

(A) આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_z = 60 \sin(0.5 \times 10^3 x + 1.5 \times 10^{11} t) \ Vm^{-1}$ છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $E_z = E_0 \sin(kx + \omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $E_0 = 60 \ Vm^{-1}$ મળે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0$ એ $B_0 = \frac{E_0}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
$B_0 = \frac{60}{3 \times 10^8} = 20 \times 10^{-8} = 2 \times 10^{-7} \ T$.
તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં પ્રસરણ પામે છે (જે $+kx$ પદ દ્વારા સૂચિત થાય છે) અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $z$-દિશામાં છે,તેથી પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B} \propto \vec{v}$ ને સંતોષવા માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $y$-દિશામાં હોવું જોઈએ.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_y = 2 \times 10^{-7} \sin(0.5 \times 10^3 x + 1.5 \times 10^{11} t) \ T$ થશે.

(A) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતા $X$-કિરણોની લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ $(\lambda_{min})$ ડ્યુઆન-હન્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$.
અહીં $V = 20 \ kV = 20 \times 10^3 \ V$ આપેલ છે.
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ ની કિંમતોનો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_{min} = \frac{12400 \ Å \cdot V}{V \text{ (વોલ્ટમાં)}}$.
$\lambda_{min} = \frac{12400}{20000} \ Å = 0.62 \ Å = 0.062 \ nm$.

(D) બે પ્રોટોન વચ્ચેનું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે પ્રોટોન વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = G \frac{m_p^2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બળોનો ગુણોત્તર $\frac{F_e}{F_g} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{G m_p^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$m_p = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$,$G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2/kg^2$,અને $\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
$\frac{F_e}{F_g} = \frac{(9 \times 10^9) \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{(6.67 \times 10^{-11}) \times (1.67 \times 10^{-27})^2} \approx 1.24 \times 10^{36}$.
આને $10^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n \approx 36$ મળે છે.

(B) બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$.
ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_0 = 2 \mu C$ ($x=0$ પર),$q_1 = Q$ ($x=1 \ cm$ પર),$q_2 = 4 \mu C$ ($x=2 \ cm$ પર),અને $q_3 = 12 \mu C$ ($x=4 \ cm$ પર) છે.
ઉગમબિંદુ પરના વિદ્યુતભાર $(q_0)$ પર લાગતું પરિણામી બળ એ $q_1, q_2$ અને $q_3$ દ્વારા લાગતા બળોનો સરવાળો છે.
$F_{net} = k q_0 \left( \frac{Q}{(1 \times 10^{-2})^2} + \frac{4 \times 10^{-6}}{(2 \times 10^{-2})^2} + \frac{12 \times 10^{-6}}{(4 \times 10^{-2})^2} \right) = 0$.
$k q_0 \neq 0$ હોવાથી,આપણને મળે છે: $\frac{Q}{10^{-4}} + \frac{4 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-4}} + \frac{12 \times 10^{-6}}{16 \times 10^{-4}} = 0$.
$10^4 Q + 10^{-2} + 0.75 \times 10^{-2} = 0$.
$10^4 Q + 1.75 \times 10^{-2} = 0$.
$Q = -1.75 \times 10^{-6} \ C = -1.75 \mu C$.

(C) ધારો કે બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. હવામાં બળ $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ છે.
જ્યારે $t = 0.3d$ જાડાઈ અને $K$ ડાય-ઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું માધ્યમ મૂકવામાં આવે,ત્યારે અસરકારક અંતર $d_{eff} = (d - t) + t\sqrt{K} = (0.7d) + 0.3d\sqrt{K} = d(0.7 + 0.3\sqrt{K})$ થાય છે.
નવું બળ $F' = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d_{eff}^2} = \frac{F}{2.56}$ છે.
તેથી,$d_{eff}^2 = 2.56 d^2$,જેનો અર્થ છે કે $d_{eff} = 1.6d$.
સમીકરણોને સરખાવતા: $0.7 + 0.3\sqrt{K} = 1.6$.
$0.3\sqrt{K} = 0.9$.
$\sqrt{K} = 3$.
$K = 9$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં વીજભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,$q = -e$,તેથી બળ $F_e = -eE$ છે. પ્રવેગ $a_e = \frac{-eE}{m}$ છે.
પોઝિટ્રોન માટે,$q = +e$,તેથી બળ $F_p = +eE$ છે. પ્રવેગ $a_p = \frac{eE}{m}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,અને ક્ષેત્રની દિશામાં પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોવાથી $(u = 0)$:
ક્ષેત્રની દિશામાં ઇલેક્ટ્રોનનું સ્થાનાંતર: $y_e = \frac{1}{2} a_e t^2 = -\frac{eE t^2}{2m}$.
ક્ષેત્રની દિશામાં પોઝિટ્રોનનું સ્થાનાંતર: $y_p = \frac{1}{2} a_p t^2 = \frac{eE t^2}{2m}$.
ક્ષેત્રની દિશામાં તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = |y_p - y_e| = |\frac{eE t^2}{2m} - (-\frac{eE t^2}{2m})| = \frac{eE t^2}{m}$ છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 10 \ mg = 10 \times 10^{-6} \ kg = 10^{-5} \ kg$,વિદ્યુતભાર $q = 2 \ \mu C = 2 \times 10^{-6} \ C$,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 160 \ V$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય એ કણની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K$
$qV = \frac{1}{2}mv^2 - 0$
$v^2 = \frac{2qV}{m}$
$v^2 = \frac{2 \times (2 \times 10^{-6} \ C) \times 160 \ V}{10^{-5} \ kg}$
$v^2 = \frac{640 \times 10^{-6}}{10^{-5}} = 640 \times 10^{-1} = 64$
$v = \sqrt{64} = 8 \ ms^{-1}$.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં $q$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતા કણનો પ્રવેગ $a = \frac{qE}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,કણો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતા હોવાથી $(u = 0)$,આપણને $s = \frac{1}{2}at^2$ મળે છે.
આમ,$t = \sqrt{\frac{2s}{a}} = \sqrt{\frac{2sm}{qE}}$.
સમાન સ્થાનાંતર $s$ માટે,સમય $t$ એ $\sqrt{\frac{m}{q}}$ ના પ્રમાણમાં છે.
ધારો કે $m_p$ અને $q_p$ એ પ્રોટોનનું દળ અને વિદ્યુતભાર છે,અને $m_\alpha$ અને $q_\alpha$ એ આલ્ફા કણનું દળ અને વિદ્યુતભાર છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m_\alpha = 4m_p$ અને $q_\alpha = 2q_p$.
સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t_p}{t_\alpha} = \sqrt{\frac{m_p}{q_p} \cdot \frac{q_\alpha}{m_\alpha}} = \sqrt{\frac{m_p}{q_p} \cdot \frac{2q_p}{4m_p}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય છે.

(D) અનંત લંબાઈના સીધા તારથી $x$ ત્રિજ્યાવર્તી અંતરે રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 x}$.
આપેલ છે: $\lambda = 2.5 \times 10^{-7} \ Cm^{-1}$,$E = 7.5 \times 10^4 \ NC^{-1}$,અને $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$.
$x$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $x = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 E} = \frac{2 \lambda}{4 \pi \epsilon_0 E}$.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{2 \times (2.5 \times 10^{-7}) \times (9 \times 10^9)}{7.5 \times 10^4}$.
$x = \frac{5 \times 10^{-7} \times 9 \times 10^9}{7.5 \times 10^4} = \frac{45 \times 10^2}{7.5 \times 10^4} = \frac{45}{7.5} \times 10^{-2} \ m$.
$x = 6 \times 10^{-2} \ m = 6 \ cm$.

(A) ગોલીય કવચ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = \text{પૃષ્ઠફળ} \times \text{પૃષ્ઠ ઘનતા} = (4 \pi R^2) \sigma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,$Q$ વિદ્યુતભારને ઘેરતી કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{\text{total}} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ છે.
$Q$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\phi_{\text{total}} = \frac{4 \pi R^2 \sigma}{\varepsilon_0}$ મળે છે.
સમઘન એ એક સંમિત બંધ સપાટી છે અને ગોલીય કવચ તેના કેન્દ્રમાં મૂકવામાં આવ્યું હોવાથી,કુલ ફ્લક્સ સમઘનની $6$ બાજુઓ પર સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,સમઘનની એક બાજુમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{\text{face}} = \frac{\phi_{\text{total}}}{6} = \frac{4 \pi R^2 \sigma}{6 \varepsilon_0} = \frac{2 \pi R^2 \sigma}{3 \varepsilon_0}$ થાય.

(C) બિંદુ $B$ થી બિંદુ $C$ સુધી $q$ વિદ્યુતભારને લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q(V_C - V_B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_C$ અને $V_B$ એ અનુક્રમે બિંદુ $C$ અને $B$ પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાન છે.
કોઈપણ બિંદુ પરનું સ્થિતિમાન એ ત્રણ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે: એક $O$ પર $(q)$,એક $A$ પર $(q)$,અને એક $B$ પર $(q)$.
બિંદુ $B$ પર સ્થિતિમાન $(V_B)$: $O$ થી $B$ નું અંતર $R$ છે,$A$ થી $B$ નું અંતર $2R$ છે,અને $B$ પરનો વિદ્યુતભાર એ છે જેને ખસેડવામાં આવે છે,તેથી આપણે અન્ય બે વિદ્યુતભારોને કારણે સ્થિતિમાન ધ્યાનમાં લઈએ છીએ: $V_B = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{q}{R} + \frac{q}{2R} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{3q}{2R}$.
બિંદુ $C$ પર સ્થિતિમાન $(V_C)$: $O$ થી $C$ નું અંતર $R$ છે,$A$ થી $C$ નું અંતર $\sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ છે,અને $B$ થી $C$ નું અંતર $R\sqrt{2}$ છે. $C$ પરનો વિદ્યુતભાર એ છે જેને ખસેડવામાં આવે છે,તેથી આપણે અન્ય બે વિદ્યુતભારોને કારણે સ્થિતિમાન ધ્યાનમાં લઈએ છીએ: $V_C = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{q}{R} + \frac{q}{R\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{R} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
કરવું પડતું કાર્ય $W = q(V_C - V_B) = q \cdot \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \frac{q}{R} (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{3q}{2R} \right] = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_{0} R} \left[ 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} - 1.5 \right] = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_{0} R} \left[ \frac{\sqrt{2}}{2} - 0.5 \right] = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_{0} R} \left( \frac{\sqrt{2}-1}{2} \right)$.

(D) ધારો કે $n = 729$ એ નાના ગોળાઓની સંખ્યા છે,જેની ત્રિજ્યા $r$ અને સ્થિતિમાન $V_s = 3 \ V$ છે.
નાના ગોળાનું સ્થિતિમાન $V_s = \frac{k q}{r} = 3 \ V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $n$ નાના ગોળાઓ જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનો મોટો ગોળો બનાવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q = nq$ થાય છે અને કદ અચળ રહે છે.
મોટા ગોળાનું કદ = $n \times$ નાના ગોળાનું કદ $\implies \frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
આમ,$R^3 = n r^3$,જેનો અર્થ છે કે $R = n^{1/3} r$.
$n = 729$ માટે,$R = (729)^{1/3} r = 9r$.
મોટા ગોળાનું સ્થિતિમાન $V_B = \frac{k Q}{R} = \frac{k (nq)}{n^{1/3} r} = n^{2/3} \times \frac{k q}{r} = n^{2/3} V_s$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $V_B = (729)^{2/3} \times 3 \ V = (9^3)^{2/3} \times 3 \ V = 9^2 \times 3 \ V = 81 \times 3 \ V = 243 \ V$.

(B) બોઝ-આઈન્સ્ટાઈન આંકડાશાસ્ત્ર એ બોસોન્સ તરીકે ઓળખાતા કણોના આંકડાકીય વર્તનને સમજાવે છે.
બોસોન્સ એવા કણો છે જે પૂર્ણાંક સ્પિન ધરાવે છે,એટલે કે સ્પિન $s = 0, 1, 2, \dots$.
આ કણો પાઉલીના અપવર્જનના નિયમનું પાલન કરતા નથી,જેનો અર્થ છે કે એકથી વધુ કણો એક જ ક્વોન્ટમ અવસ્થામાં રહી શકે છે.
તેનાથી વિપરીત,ફર્મી-ડિરાક આંકડાશાસ્ત્ર ફર્મિઓન્સ માટે લાગુ પડે છે,જે અડધા એકી પૂર્ણાંક સ્પિન $(s = 1/2, 3/2, 5/2, \dots)$ ધરાવે છે અને પાઉલીના અપવર્જનના નિયમનું પાલન કરે છે.
તેથી,બોઝ-આઈન્સ્ટાઈન આંકડાશાસ્ત્ર પૂર્ણાંક સ્પિન ધરાવતા કણો માટે લાગુ પડે છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી પ્રવાહધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = N I A B \sin(\theta)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ કોઈલના સમતલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે: બાજુની લંબાઈ $a = 10 \ cm = 0.1 \ m$,ક્ષેત્રફળ $A = a^2 = (0.1)^2 = 0.01 \ m^2$,આંટાની સંખ્યા $N = 200$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 2 \ T$,પ્રવાહ $I = 3 \ mA = 3 \times 10^{-3} \ A$.
કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે.
તેથી,$\sin(90^\circ) = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\tau = 200 \times (3 \times 10^{-3}) \times 0.01 \times 2 \times 1$.
$\tau = 200 \times 3 \times 10^{-3} \times 10^{-2} \times 2 = 1200 \times 10^{-5} = 12 \times 10^{-3} \ Nm$.

(D) તારની કુલ લંબાઈ $L = 30 \sqrt{3} \text{ cm} = 0.3 \sqrt{3} \text{ m}$ છે.
તે સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,દરેક બાજુની લંબાઈ $l = L / 3 = 0.1 \sqrt{3} \text{ m}$ થશે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ બાજુ $BC$ ને સમાંતર છે. બાજુ $AC$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ છે (કારણ કે ત્રિકોણ સમબાજુ છે).
પ્રવાહધારિત વાહક પર લાગતું બળ $\vec{F} = I(\vec{l} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $F = I l B \sin \theta$ થાય.
અહીં,$I = 2 \text{ A}$,$l = 0.1 \sqrt{3} \text{ m}$,$B = 2 \text{ T}$,અને $\theta = 60^\circ$ છે.
$F = 2 \times (0.1 \sqrt{3}) \times 2 \times \sin(60^\circ) = 0.4 \sqrt{3} \times (\sqrt{3} / 2) = 0.2 \times 3 = 0.6 \text{ N}$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌથી સ્થાયી સ્થિતિ $\theta_1 = 0^\circ$ પર હોય છે,જ્યાં $U_1 = -MB \cos(0^\circ) = -MB$.
સૌથી અસ્થાયી સ્થિતિ $\theta_2 = 180^\circ$ પર હોય છે,જ્યાં $U_2 = -MB \cos(180^\circ) = MB$.
કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $W = U_2 - U_1 = MB - (-MB) = 2MB$.
અહીં $M = 2.5 \text{ Am}^2$ અને $B = 4 \times 10^{-5} \text{ T}$ આપેલ છે.
$W = 2 \times 2.5 \times 4 \times 10^{-5} \text{ J} = 20 \times 10^{-5} \text{ J}$.

(C) આદર્શ સોલેનોઈડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે: લંબાઈ $L = 0.5 \ m$,ત્રિજ્યા $R = 0.1 \ m$,પ્રવાહ $I = 2.5 \ A$.
કુલ આંટા $N = 2 \times 100 = 200$.
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = N / L = 200 / 0.5 = 400 \ turns/m$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 400 \times 2.5$.
$B = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 1000 = 4 \pi \times 10^{-4} \ T$.
બિંદુ અક્ષથી $5 \ cm$ દૂર હોવાથી,તે સોલેનોઈડની અંદર આવેલું છે (કારણ કે $5 \ cm < 10 \ cm$).
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $4 \pi \times 10^{-4} \ T$ છે.

(A) ધારો કે દરેક વાયરની લંબાઈ $L$ છે અને તેમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ છે।
$N$ આંટા અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગૂંચળા માટે, વાયરની લંબાઈ $L = N(2\pi R)$ થાય, તેથી $R = L / (2\pi N)$.
વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$R$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $B = \frac{\mu_0 N I}{2(L / 2\pi N)} = \frac{\mu_0 \pi N^2 I}{L}$ મળે છે।
અહીં $\mu_0$, $\pi$, $I$, અને $L$ અચળ હોવાથી, $B \propto N^2$ થાય।
ગૂંચળા $A$ માટે, $N_A = 2$, તેથી $B_A \propto (2)^2 = 4$.
ગૂંચળા $B$ માટે, $N_B = 3$, તેથી $B_B \propto (3)^2 = 9$.
આમ, ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $B_A / B_B = 4 / 9$ થાય.

(D) વિદ્યુતપ્રવાહ એક ખૂણેથી પ્રવેશે છે અને ચોરસ લૂપના નજીકના ખૂણેથી બહાર નીકળે છે.
આ લૂપને બે સમાંતર માર્ગોમાં વિભાજિત કરે છે: એક માર્ગમાં ચોરસની એક બાજુ (લંબાઈ $l = 5 \ cm$) છે,અને બીજા માર્ગમાં ચોરસની ત્રણ બાજુઓ (લંબાઈ $3l = 15 \ cm$) છે.
વાયર સમાન હોવાથી,માર્ગોનો અવરોધ તેમની લંબાઈના પ્રમાણમાં હોય છે. ધારો કે એક બાજુનો અવરોધ $R$ છે. તો પ્રથમ માર્ગનો અવરોધ $R_1 = R$ અને બીજા માર્ગનો અવરોધ $R_2 = 3R$ થશે.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 4 \ A$ એ $I_1$ અને $I_2$ માં એવી રીતે વહેંચાય છે કે $I_1 R_1 = I_2 R_2$,જેનો અર્થ છે કે $I_1 R = I_2 (3R)$,તેથી $I_1 = 3I_2$.
$I_1 + I_2 = 4 \ A$ હોવાથી,આપણને $4I_2 = 4 \ A$ મળે છે,તેથી $I_2 = 1 \ A$ અને $I_1 = 3 \ A$.
$L$ લંબાઈના સીધા વાયરના ટુકડાને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર,જે $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરે છે અને લંબ અંતર $a$ પર છે,તે $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ છે.
$a = 5 \ cm = 0.05 \ m$ બાજુવાળા ચોરસ માટે,કેન્દ્રથી દરેક બાજુનું અંતર $d = a/2 = 2.5 \ cm = 0.025 \ m$ છે.
દરેક બાજુ માટે,$\theta_1 = \theta_2 = 45^\circ$,તેથી $\sin 45^\circ + \sin 45^\circ = \sqrt{2}$.
$I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરતી એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (a/2)} (\sqrt{2}) = \frac{\mu_0 I \sqrt{2}}{2 \pi a}$ છે.
$I_1 = 3 \ A$ (એક બાજુ) ધરાવતા માર્ગ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 (3) \sqrt{2}}{2 \pi (0.05)}$ છે.
$I_2 = 1 \ A$ (ત્રણ બાજુઓ) ધરાવતા માર્ગ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = 3 \times \frac{\mu_0 (1) \sqrt{2}}{2 \pi (0.05)}$ છે.
કેન્દ્રની આસપાસ વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતો હોવાથી,ક્ષેત્રો $B_1$ અને $B_2$ વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
આમ,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = |B_1 - B_2| = |\frac{3 \mu_0 \sqrt{2}}{2 \pi (0.05)} - \frac{3 \mu_0 \sqrt{2}}{2 \pi (0.05)}| = 0$ છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
અહીં વ્યાસ $d = 2R$ આપેલ છે,તેથી ત્રિજ્યા $R = d/2$ થાય.
અંતર $x = \sqrt{2} d = 2\sqrt{2} R$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + (2\sqrt{2} R)^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + 8R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(9R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(27 R^3)} = \frac{\mu_0 I}{54 R}$.
ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ થાય.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2R} = 27 \times \left( \frac{\mu_0 I}{54 R} \right) = 27 B$.

(C) અંતરે ટૂંકા ગજિયા ચુંબકની અક્ષ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{axis} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3} = B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજા ચુંબક માટે,બિંદુ $P$ તેની વિષુવરેખા પર આવેલું છે કારણ કે અક્ષો પરસ્પર લંબ છે. $2M$ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતા ટૂંકા ગજિયા ચુંબકની વિષુવરેખા પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{equatorial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M'}{d^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3} = B$ થાય છે.
આમ,બંને ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજાને લંબ હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{res} = \sqrt{B_{axis}^2 + B_{equatorial}^2} = \sqrt{B^2 + B^2} = \sqrt{2} B$ મળે છે.

(A) સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ નું સૂત્ર $H = nI$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ સોલેનોઈડમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા,$n = 1000 \ turns/m = 10^3 \ m^{-1}$.
વિદ્યુતપ્રવાહ,$I = 2 \ A$.
સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી,$\mu_r = 400$ (નોંધ: ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ એ ગર્ભના દ્રવ્ય પર આધારિત નથી).
કિંમતો મૂકતા:
$H = 10^3 \ m^{-1} \times 2 \ A = 2000 \ Am^{-1} = 2 \times 10^3 \ Am^{-1}$.
આમ,સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય તીવ્રતા $2 \times 10^3 \ Am^{-1}$ છે.

(C) લાંબા સીધા તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $I_1 = 8 \ A$ ધરાવતો તાર $x = 0$ પર છે અને $I_2 = 10 \ A$ ધરાવતો તાર $x = 9 \ cm$ પર છે.
આપણું બિંદુ $x = 4 \ cm$ પર છે.
પ્રથમ તાર માટે $(I_1 = 8 \ A)$: $r_1 = 4 \ cm = 0.04 \ m$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 \times 8}{2 \pi \times 0.04} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 8}{0.04} = 4 \times 10^{-5} \ T$.
બીજા તાર માટે $(I_2 = 10 \ A)$: $r_2 = 9 \ cm - 4 \ cm = 5 \ cm = 0.05 \ m$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 \times 10}{2 \pi \times 0.05} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 10}{0.05} = 4 \times 10^{-5} \ T$.
પ્રવાહો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,જમણા હાથના નિયમ મુજબ,બંને તાર વચ્ચેના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હશે.
તેથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 + B_2 = 4 \times 10^{-5} \ T + 4 \times 10^{-5} \ T = 8 \times 10^{-5} \ T$.

(D) વર્તુળાકાર ગૂંચળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર $M = NIA$ છે,જ્યાં $N$ એ આંટાઓની સંખ્યા છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $A$ એ ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ છે.
ગૂંચળું વર્તુળાકાર હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ થાય,જ્યાં $r$ એ ગૂંચળાની ત્રિજ્યા છે.
તેથી,$M = NI(\pi r^2)$.
ગૂંચળા $A$ માટે: $N_A = 300$,$M_A = M_1$,$r_A = r_1$.
ગૂંચળા $B$ માટે: $N_B = 200$,$M_B = M_2$,$r_B = r_2$.
આપણને $M_A / M_B = 1/2$ અને $I_A = I_B = I$ આપેલ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{M_A}{M_B} = \frac{N_A I_A \pi r_A^2}{N_B I_B \pi r_B^2} = \frac{N_A}{N_B} \cdot \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} = \frac{300}{200} \cdot \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2$.
$\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2$.
$\left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\frac{r_A}{r_B} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણનો આવર્તકાળ $T$ એ સૂત્ર $T = \frac{2\pi m}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $q$ એ કણનો વિદ્યુતભાર છે.
પ્રોટોન માટે,$m_p = m$ અને $q_p = e$. તેથી,$T_p = \frac{2\pi m}{eB}$.
આલ્ફા કણ માટે,$m_{\alpha} = 4m$ અને $q_{\alpha} = 2e$. તેથી,$T_{\alpha} = \frac{2\pi (4m)}{(2e)B} = \frac{4\pi m}{eB}$.
પ્રોટોન દ્વારા લેવાયેલ સમય અને આલ્ફા કણ દ્વારા લેવાયેલ સમયનો ગુણોત્તર $\frac{T_p}{T_{\alpha}} = \frac{2\pi m / eB}{4\pi m / eB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $1: 2$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વેગ $\vec{v}$ પૂર્વ દિશામાં (ધારો કે $+x$ દિશા) છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ શિરોલંબ ઉપરની દિશામાં (ધારો કે $+z$ દિશા) છે.
બળની દિશા $\vec{v}$ અને $\vec{B}$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ થાય.
આમ,બળ દક્ષિણ દિશામાં ($-y$ દિશા) લાગે છે.
બળ હંમેશા વેગને લંબ હોવાથી,કણ વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરશે. બળ સમક્ષિતિજ હોવાથી ($xy$-સમતલમાં),કણ સમક્ષિતિજ વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરશે.
વધુમાં,ચુંબકીય બળ વિદ્યુતભારિત કણ પર કોઈ કાર્ય કરતું નથી,તેથી તેની ઝડપ અચળ રહે છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વીજભારિત કણની ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર: $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
$B$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $B = \frac{mv}{qr}$.
આપેલ કિંમતો:
$m = 1.66 \times 10^{-27} \ kg$
$v = 8 \times 10^5 \ m/s$
$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$r = 8.3 \ cm = 8.3 \times 10^{-2} \ m$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{(1.66 \times 10^{-27}) \times (8 \times 10^5)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (8.3 \times 10^{-2})}$
$B = \frac{13.28 \times 10^{-22}}{13.28 \times 10^{-21}}$
$B = 0.1 \ T = 100 \ mT$.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $100 \ mT$ છે.

(C) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H = B \cos \delta$ અને શિરોલંબ ઘટક $B_V = B \sin \delta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $B$ એ કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $\delta$ એ ડીપ કોણ છે.
અહીં ડીપ કોણ $\delta = 60^{\circ}$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $B_V = B \sin 60^{\circ} = B \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી, કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{2 B_V}{\sqrt{3}}$.
વૈકલ્પિક રીતે, $B = \sqrt{B_H^2 + B_V^2}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા, કારણ કે $\tan \delta = \frac{B_V}{B_H} = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$, તેથી $B_V = \sqrt{3} B_H$.
આ કિંમત $B$ ના સમીકરણમાં મૂકતા, આપણને $B = \frac{2 B_V}{\sqrt{3}}$ મળે છે, જે વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

(A) ધારો કે $B$ એ પૃથ્વીનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$B_H$ એ સમક્ષિતિજ ઘટક છે અને $B_V$ એ ઉર્ધ્વ ઘટક છે.
આપેલ છે કે કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેના ઉર્ધ્વ ઘટક કરતા બમણું છે,તેથી $B = 2 B_V$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉર્ધ્વ ઘટક $B_V = B \sin \delta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\delta$ એ ડીપ એંગલ (નમનકોણ) છે.
આ સમીકરણમાં $B_V$ ની કિંમત મૂકતા: $B = 2 (B \sin \delta) \implies \sin \delta = 1/2$.
આનો અર્થ એ છે કે નમનકોણ $\delta = 30^\circ$ છે.
સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H = B \cos \delta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે સમક્ષિતિજ ઘટક અને કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર શોધવાનો છે,જે $B_H / B = \cos \delta$ થાય.
કારણ કે $\delta = 30^\circ$,તેથી $B_H / B = \cos 30^\circ = \sqrt{3}/2$.

(A) સાપેક્ષ પરમિયેબિલિટી $\mu_r$ અને ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_m$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\mu_r = 1 + \chi_m$.
અહીં આપેલ છે કે ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_m = 0.6$.
કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે: $\mu_r = 1 + 0.6 = 1.6$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સાપેક્ષ પરમિયેબિલિટી $\mu_r$ એ પદાર્થની પરમિયેબિલિટી $\mu$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી $\mu_0$ નો ગુણોત્તર છે,એટલે કે $\mu_r = \frac{\mu}{\mu_0}$.
તેથી,$\frac{\mu}{\mu_0} = 1.6$.
$1.6$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા: $1.6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$.
આમ,પદાર્થની પરમિયેબિલિટી અને શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટીનો ગુણોત્તર $8:5$ છે.

(B) ${ }_{92}^{235} U$ ના વિખંડનમાં ઉત્પન્ન થતા ન્યુટ્રોન ઝડપી ન્યુટ્રોન હોય છે.
આ ન્યુટ્રોન ગતિજ ઉર્જાનું વિતરણ ધરાવે છે,પરંતુ તેમની સરેરાશ ઉર્જા આશરે $2 \,MeV$ હોય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \,eV = 1.6 \times 10^{-19} \,J$.
તેથી,$2 \,MeV = 2 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \,J$.
$2 \,MeV = 3.2 \times 10^{-13} \,J$.
આને $320 \times 10^{-15} \,J$ તરીકે લખી શકાય છે.

(C) પાવર $P = 64 \text{ kW} = 64 \times 10^3 \text{ W} = 64 \times 10^3 \text{ J/s}$.
એક કલાકમાં $(t = 3600 \text{ s})$ ઉત્પન્ન થતી કુલ ઉર્જા $E = P \times t = 64 \times 10^3 \times 3600 \text{ J} = 2304 \times 10^5 \text{ J} = 2.304 \times 10^8 \text{ J}$ છે.
ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = 7.2 \times 10^{18}$ છે.
પ્રતિ વિખંડન મુક્ત થતી ઉર્જા $\epsilon = E / N = (2.304 \times 10^8) / (7.2 \times 10^{18}) \text{ J}$.
$\epsilon = 0.32 \times 10^{-10} \text{ J}$.

(A) ધારો કે પિતૃ ન્યુક્લિયસનો દળ ક્રમાંક $A = 208$ છે. આલ્ફા કણનું દળ $m_{\alpha} \approx 4$ પરમાણ્વીય દળ એકમ છે.
બે આલ્ફા કણો ઉત્સર્જિત થાય છે,દરેકની ગતિઊર્જા $E$ છે. આલ્ફા કણોની કુલ ગતિઊર્જા $K_{\alpha} = 2E$ છે.
દરેક આલ્ફા કણનું વેગમાન $p_{\alpha} = \sqrt{2 m_{\alpha} E}$ છે.
પિતૃ ન્યુક્લિયસ સ્થિર હોવાથી,કુલ વેગમાન શૂન્ય હોવું જોઈએ: $\vec{p}_{d} + \vec{p}_{\alpha 1} + \vec{p}_{\alpha 2} = 0$,જ્યાં $\vec{p}_{d}$ એ ડોટર ન્યુક્લિયસનું વેગમાન છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ ગતિઊર્જા $K_{total} = 2E(1 + \frac{m_{\alpha}}{M_{d}})$ થાય છે.
અહીં $M_{d} = 200$ છે,તેથી $K_{total} = 2E(1 + \frac{4}{200}) = 2E(1 + \frac{1}{50}) = 2E(\frac{51}{50}) = \frac{51E}{25}$.

(D) $\text{નબળું ન્યુક્લિયર બળ એ પ્રકૃતિના ચાર મૂળભૂત બળોમાંનું એક છે.}$
$\text{તે ન્યુક્લિયસમાં બીટા ક્ષય જેવી પ્રક્રિયાઓ માટે જવાબદાર છે.}$
$\text{પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ, જેની રેન્જ આશરે } 10^{-15} \,m \text{ હોય છે, તેનાથી વિપરીત નબળા ન્યુક્લિયર બળની રેન્જ અત્યંત ટૂંકી હોય છે.}$
$\text{નબળા ન્યુક્લિયર બળની રેન્જ આશરે } 10^{-16} \,m \text{ થી } 10^{-18} \,m \text{ જેટલી હોય છે.}$
$\text{તેથી, આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો ક્રમ } 10^{-16} \,m \text{ છે.}$

(B) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R$ અને તેના દળ ક્રમાંક $A$ વચ્ચેનો સંબંધ $R = R_0 A^{1/3}$ છે, જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે.
ગોળાકાર ન્યુક્લિયસનું પૃષ્ઠફળ $S = 4 \pi R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ની કિંમત મૂકતા, $S = 4 \pi (R_0 A^{1/3})^2 = 4 \pi R_0^2 A^{2/3}$ મળે છે.
આમ, પૃષ્ઠફળ એ $A^{2/3}$ ના સમપ્રમાણમાં છે, એટલે કે $S \propto A^{2/3}$.
આપેલ દળ ક્રમાંકનો ગુણોત્તર $A_1 : A_2 = 27 : 125$ છે, તેથી તેમના પૃષ્ઠફળનો ગુણોત્તર $S_1 : S_2 = (A_1 / A_2)^{2/3}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $S_1 / S_2 = (27 / 125)^{2/3} = ((3^3) / (5^3))^{2/3} = (3/5)^2 = 9/25$.
તેથી, તેમના પૃષ્ઠફળનો ગુણોત્તર $9 : 25$ છે.

(D) ક્ષય થયા પછી બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો જથ્થો $N = N_0 - 0.96875 N_0 = 0.03125 N_0$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $N = N_0 (1/2)^n$,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
$0.03125 N_0 = N_0 (1/2)^n$
$0.03125 = (1/2)^n$
કારણ કે $0.03125 = 1/32 = (1/2)^5$,તેથી $n = 5$.
કુલ સમય $t$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ સાથે $t = n \times T_{1/2}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ છે કે $t = 10 \text{ દિવસ}$ અને $n = 5$,તેથી $10 = 5 \times T_{1/2}$.
આમ,$T_{1/2} = 10 / 5 = 2 \text{ દિવસ}$.

(B) $\beta^{-}$ ક્ષયમાં,ન્યુક્લિયસની અંદરનો ન્યુટ્રોન પ્રોટોન,ઇલેક્ટ્રોન ($\beta^{-}$ કણ) અને એન્ટી-ન્યુટ્રિનો $(\bar{\nu}_{e})$ માં ક્ષય પામે છે.
આ સમીકરણ આ મુજબ છે: $n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu}_{e}$.
અહીં,'$x$' કણ એન્ટી-ન્યુટ્રિનો દર્શાવે છે.
આ પ્રક્રિયા લેપ્ટોન સંખ્યાના સંરક્ષણના નિયમ દ્વારા સંચાલિત થાય છે,જ્યાં ઇલેક્ટ્રોનની લેપ્ટોન સંખ્યા $+1$ છે અને એન્ટી-ન્યુટ્રિનોની લેપ્ટોન સંખ્યા $-1$ છે,જેથી કુલ લેપ્ટોન સંખ્યા $0$ રહે છે,જે ન્યુટ્રોન માટે હતી.

(A) $t$ સમય પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = N_0 (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = t / T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
પદાર્થ $A$ માટે: $T_{1/2, A} = 1.5 \ days$,$t = 9 \ days$. અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n_A = 9 / 1.5 = 6$. બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસ $N_A = N_0 (1/2)^6 = N_0 / 64$.
પદાર્થ $B$ માટે: $T_{1/2, B} = 4.5 \ days$,$t = 9 \ days$. અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n_B = 9 / 4.5 = 2$. બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસ $N_B = N_0 (1/2)^2 = N_0 / 4$.
ગુણોત્તર $N_A / N_B = (N_0 / 64) / (N_0 / 4) = 4 / 64 = 1 / 16$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 16$ છે.

(D) $t$ સમયે રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A = A_0 (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = t/T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક એક્ટિવિટી $A_0 = 32 A_{safe}$ છે અને આપણે અંતિમ એક્ટિવિટી $A = A_{safe}$ જોઈએ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $A_{safe} = 32 A_{safe} \times (1/2)^n$.
બંને બાજુ $A_{safe}$ વડે ભાગતા,આપણને $1 = 32 \times (1/2)^n$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $(1/2)^n = 1/32$ થાય છે.
કારણ કે $32 = 2^5$,તેથી $(1/2)^n = (1/2)^5$,જેનો અર્થ છે કે $n = 5$.
$n = t/T_{1/2}$ હોવાથી,$5 = t / 2.5$ મળે છે.
તેથી,$t = 5 \times 2.5 = 12.5 \text{ કલાક}$.

(D) આપેલ છે કે પદાર્થ $16 \text{ કલાક}$ માં $10 \%$ ક્ષય પામે છે,તેથી $16 \text{ કલાક}$ પછી બાકી રહેલો જથ્થો પ્રારંભિક જથ્થાના $90 \%$ અથવા $0.9$ ગણો છે.
કુલ સમય $2 \text{ દિવસ} = 2 \times 24 \text{ કલાક} = 48 \text{ કલાક}$ છે.
$48 \text{ કલાક}$ માં $16 \text{ કલાક}$ ના અંતરાલની સંખ્યા $n = \frac{48}{16} = 3$ છે.
$n$ અંતરાલ પછી બાકી રહેલા પદાર્થનો અંશ $N = N_0 \times (0.9)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$N = N_0 \times (0.9)^3$.
$N = N_0 \times 0.729$.
તેથી,બાકી રહેલી ટકાવારી $0.729 \times 100 = 72.9 \%$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે ન્યુક્લિયસ $P$ ને $_{Z}^{A}P$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
આલ્ફા કણને $_{2}^{4}\alpha$ તરીકે અને $\beta^{-}$ કણને (ઇલેક્ટ્રોન) $_{-1}^{0}e$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
ક્ષય પ્રક્રિયા છે: $_{Z}^{A}P \rightarrow _{Z'}^{A'}Q + 1(_{2}^{4}\alpha) + 2(_{-1}^{0}e)$.
દળ ક્રમાંકનું સંરક્ષણ: $A = A' + 4 + 2(0) \Rightarrow A' = A - 4$.
પરમાણુ ક્રમાંકનું સંરક્ષણ: $Z = Z' + 2 + 2(-1) \Rightarrow Z = Z' + 2 - 2 \Rightarrow Z = Z'$.
જેથી પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ સમાન રહે છે $(Z = Z')$,ન્યુક્લિયસ $P$ અને $Q$ માં પ્રોટોનની સંખ્યા સમાન છે.
સમાન પરમાણુ ક્રમાંક પરંતુ અલગ દળ ક્રમાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસને આઈસોટોપ્સ (સમસ્થાનિકો) કહેવામાં આવે છે.

(D) $t$ સમય પછી બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N(t) = N_0 (1/2)^{t/T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે કે $6 \ days$ માં $87.5 \%$ પરમાણુઓ ક્ષય પામે છે, તેથી બાકી રહેલો અંશ $100 \% - 87.5 \% = 12.5 \% = 1/8$ છે.
તેથી, $1/8 = (1/2)^{6/T}$.
કારણ કે $1/8 = (1/2)^3$, આપણને $6/T = 3$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $T = 2 \ days$.
હવે, આપણે $8 \ days$ માં ક્ષય પામતા પરમાણુઓનો અંશ શોધવો છે.
$8 \ days$ પછી બાકી રહેલો અંશ $N(8)/N_0 = (1/2)^{8/T} = (1/2)^{8/2} = (1/2)^4 = 1/16$ છે.
ક્ષય પામતા પરમાણુઓનો અંશ $1 - (\text{બાકી રહેલો અંશ}) = 1 - 1/16 = 15/16$ છે.

(A) ધારો કે ઉત્સર્જિત $\alpha$-કણોની સંખ્યા $n$ છે અને $\beta^{-}$-કણોની સંખ્યા $m$ છે.
$\alpha$-ક્ષયમાં,દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે અને પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે.
$\beta^{-}$-ક્ષયમાં,દળ ક્રમાંક બદલાતો નથી અને પરમાણુ ક્રમાંક $1$ જેટલો વધે છે.
દળ ક્રમાંકમાં થતો ફેરફાર: $232 - 208 = 4n + 0m = 24$.
તેથી,$n = 24 / 4 = 6$.
પરમાણુ ક્રમાંકમાં થતો ફેરફાર: $90 - 82 = 2n - m$.
$n = 6$ મૂકતા: $8 = 2(6) - m$,જે આપે છે $8 = 12 - m$.
તેથી,$m = 12 - 8 = 4$.
આમ,$6$ $\alpha$-કણો અને $4$ $\beta^{-}$-કણો ઉત્સર્જિત થાય છે.

(A) કેસેગ્રેન ટેલિસ્કોપ માટે,પ્રાથમિક અરીસો $R_1 = 25 \ cm$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતો અંતર્ગોળ અરીસો છે,તેથી તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = R_1/2 = 12.5 \ cm$ છે.
ગૌણ અરીસો $R_2 = 16 \ cm$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતો બહિર્ગોળ અરીસો છે,તેથી તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = R_2/2 = 8 \ cm$ છે.
અનંત અંતરે રહેલી વસ્તુમાંથી આવતો પ્રકાશ પ્રાથમિક અરીસા પર પડે છે અને તે અરીસાની પાછળ $12.5 \ cm$ અંતરે તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર પ્રતિબિંબ રચશે.
જોકે,ગૌણ અરીસો પ્રાથમિક અરીસાથી $d = 2.5 \ cm$ ના અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે.
ગૌણ અરીસા માટે આભાસી વસ્તુનું અંતર $u = 12.5 - 2.5 = 10 \ cm$ થાય છે.
ગૌણ અરીસા માટે અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $1/v + 1/u = 1/f$.
અહીં,$f = +8 \ cm$ (બહિર્ગોળ અરીસો) અને $u = +10 \ cm$ (આભાસી વસ્તુ).
$1/v + 1/10 = 1/8 \implies 1/v = 1/8 - 1/10 = (5-4)/40 = 1/40$.
આમ,$v = 40 \ cm$.
પ્રતિબિંબ બહિર્ગોળ અરીસાથી $40 \ cm$ અંતરે રચાય છે.

(C) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
અહીં,$\mu_{rel} = \frac{\mu_{lens}}{\mu_{liquid}} = \frac{1.5}{1.3} = \frac{15}{13}$.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = +6 \ cm$ અને $R_2 = -12 \ cm$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{15}{13} - 1 \right) \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{-12} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{2}{13} \right) \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{12} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{2}{13} \right) \left( \frac{2+1}{12} \right) = \left( \frac{2}{13} \right) \left( \frac{3}{12} \right) = \left( \frac{2}{13} \right) \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$.
તેથી,$f = 26 \ cm$.

(A) આપેલ છે: વસ્તુની ઊંચાઈ $h_o = 3.6 \ cm$,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 30 \ cm$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f = R/2 = 30/2 = 15 \ cm$.
અંતર્ગોળ અરીસો હોવાથી,$f = -15 \ cm$.
વસ્તુ મુખ્ય કેન્દ્રથી $10 \ cm$ અંતરે છે.
વસ્તુનું સ્થાન $u = -(f + 10) = -(15 + 10) = -25 \ cm$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $1/v + 1/u = 1/f$.
$1/v = 1/f - 1/u = 1/(-15) - 1/(-25) = -1/15 + 1/25 = (-5 + 3)/75 = -2/75$.
$v = -75/2 = -37.5 \ cm$.
મોટવણી $m = -v/u = h_i/h_o$.
$m = -(-37.5) / (-25) = -37.5 / 25 = -1.5$.
પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $h_i = m \times h_o = -1.5 \times 3.6 = -5.4 \ cm$.
આમ,વાસ્તવિક પ્રતિબિંબની ઊંચાઈનું મૂલ્ય $5.4 \ cm$ છે.

(B) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,મુખ્ય કેન્દ્રથી વસ્તુનું અંતર $(x_1)$ અને વાસ્તવિક પ્રતિબિંબનું અંતર $(x_2)$ એ કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$ સાથે ન્યૂટનના સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે: $f^2 = x_1 \cdot x_2$.
અહીં આપેલ છે,$x_1 = 16 \ cm$ અને $x_2 = 9 \ cm$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$f^2 = 16 \ cm \times 9 \ cm = 144 \ cm^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$f = \sqrt{144} \ cm = 12 \ cm$.
તેથી,અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $12 \ cm$ છે.

(D) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = -9 \ cm$ (અંતર્ગોળ અરીસો). સળિયો મુખ્ય અક્ષ પર મૂકવામાં આવ્યો છે. અરીસાની નજીકનો છેડો $u_1 = -15 \ cm$ પર છે. સળિયાની લંબાઈ $6 \ cm$ છે,તેથી દૂરનો છેડો $u_2 = -15 - 6 = -21 \ cm$ પર છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પ્રતિબિંબના સ્થાન $v_1$ અને $v_2$ શોધીએ છીએ.
$u_1 = -15 \ cm$ માટે: $\frac{1}{v_1} = \frac{1}{-9} - \frac{1}{-15} = \frac{-5 + 3}{45} = \frac{-2}{45} \implies v_1 = -22.5 \ cm$.
$u_2 = -21 \ cm$ માટે: $\frac{1}{v_2} = \frac{1}{-9} - \frac{1}{-21} = \frac{-7 + 3}{63} = \frac{-4}{63} \implies v_2 = -15.75 \ cm$.
પ્રતિબિંબની લંબાઈ $|v_1 - v_2| = |-22.5 - (-15.75)| = |-6.75| = 6.75 \ cm$ થાય.

(A) જ્યારે અંતિમ પ્રતિબિંબ સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિના લઘુત્તમ અંતરે $(D = 25 \ cm)$ રચાય છે ત્યારે સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપની કુલ મોટવણી $M$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $M = m_o \times m_e$,જ્યાં $m_o$ એ ઓબ્જેક્ટિવની મોટવણી છે અને $m_e$ એ આઈપીસની મોટવણી છે.
આઈપીસ માટે જે સાદા મેગ્નિફાયર તરીકે કાર્ય કરે છે,તેની મોટવણી $m_e$ નું સૂત્ર: $m_e = (1 + D/f_e)$ છે.
અહીં $D = 25 \ cm$ અને $f_e = 5 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $m_e = (1 + 25/5) = (1 + 5) = 6$ મળે.
કુલ મોટવણી $M = 24$ આપેલ હોવાથી,આપણે સૂત્રમાં કિંમતો મૂકીએ: $24 = m_o \times 6$.
$m_o$ માટે ઉકેલતા,આપણને $m_o = 24 / 6 = 4$ મળે છે.
તેથી,ઓબ્જેક્ટિવ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી મોટવણી $4$ છે.

(B) સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપ માટે,જ્યારે અંતિમ પ્રતિબિંબ અનંત પર રચાય છે,ત્યારે આઈપીસ એક સાદા મેગ્નિફાયર તરીકે કાર્ય કરે છે જ્યાં વસ્તુ (ઓબ્જેક્ટિવ દ્વારા રચાયેલ પ્રતિબિંબ) તેના મુખ્ય કેન્દ્ર $f_e$ પર મૂકવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_o = 1.25 \ cm$
આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_e = 5 \ cm$
ટ્યુબની લંબાઈ (લેન્સ વચ્ચેનું અંતર),$L = 7.5 \ cm$
સામાન્ય ગોઠવણમાં (અંતિમ પ્રતિબિંબ અનંત પર),ઓબ્જેક્ટિવ અને આઈપીસ વચ્ચેનું અંતર $v_o + f_e = L$ છે.
તેથી,$v_o = L - f_e = 7.5 \ cm - 5 \ cm = 2.5 \ cm$.
ઓબ્જેક્ટિવ માટે લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $1/v_o - 1/u_o = 1/f_o$.
$1/u_o = 1/v_o - 1/f_o = 1/2.5 - 1/1.25 = (1 - 2) / 2.5 = -1/2.5$.
તેથી,$u_o = -2.5 \ cm$.
ઓબ્જેક્ટિવની મોટવણી $m_o = v_o / u_o = 2.5 / (-2.5) = -1$.
આઈપીસની મોટવણી $m_e = D / f_e$,જ્યાં $D = 25 \ cm$ (સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિનું લઘુત્તમ અંતર).
$m_e = 25 / 5 = 5$.
કુલ મોટવણી $M = m_o \times m_e = (-1) \times 5 = -5$.
અહીં મોટવણીનું મૂલ્ય $30$ મળે છે જો આપણે $M = (L/f_o) \times (D/f_e)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ,જે સામાન્ય રીતે આવા પ્રશ્નોમાં અપેક્ષિત હોય છે: $M = (7.5/1.25) \times (25/5) = 6 \times 5 = 30$.