बिंदु $P(3, 8, 2)$ की रेखा $\frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z-2}{3}$ से समतल $3x + 2y - 2z + 15 = 0$ के समांतर मापी गई दूरी क्या है ($\text{ इकाई}$ में)?

बिंदुओं $A$ और $B$ के स्थिति सदिश क्रमशः $i - j + 3k$ और $3i + 3j + 3k$ हैं। एक समतल का समीकरण $r \cdot (5i + 2j - 7k) + 9 = 0$ है। बिंदु $A$ और $B$:

समतलों $2x - y - 4 = 0$ और $y + 2z - 4 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले और बिंदु $(1, 1, 0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

कथन $(A)$: बिंदु $(4, 4, 4)$ से और समतलों $x + y + z = 6$ तथा $2x + 3y + 4z = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $29x + 23y + 17z = 276$ है।
कारण $(R)$: समतलों $P_1 = 0$ और $P_2 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0, \lambda \in \mathbb{R}$ है।

मान लीजिए $P (-2,-1,1)$ और $Q \left(\frac{56}{17}, \frac{43}{17}, \frac{111}{17}\right)$ समचतुर्भुज $PRQS$ के शीर्ष हैं। यदि विकर्ण $RS$ के दिक्-अनुपात $\alpha, -1, \beta$ हैं,जहाँ $\alpha$ और $\beta$ दोनों न्यूनतम निरपेक्ष मान वाले पूर्णांक हैं,तो $\alpha^{2}+\beta^{2}$ का मान $.....$ है।

मान लीजिए कि $Q$,बिंदु $P(1, 2, 3)$ से समतल $x + 2y + z = 14$ पर खींचे गए लंब का पाद है। यदि $R$ समतल पर एक ऐसा बिंदु है कि $\angle PRQ = 60^{\circ}$ है,तो $\triangle PQR$ का क्षेत्रफल किसके बराबर है?