यदि int_0^{frac{pi}{2}} log cos x , dx = frac | vedclass

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Question

(D) हमें दिया गया है कि $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \cos x \, dx = \frac{\pi}{2} \log \left(\frac{1}{2}\right)$।हमें $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log

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$\frac{\pi}{2} \log 2$

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(D) हमें दिया गया है कि $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \cos x \, dx = \frac{\pi}{2} \log \left(\frac{1}{2}\right)$।हमें $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \sec x \, dx$ का मान ज्ञात करना है।चूंकि $\sec x = \frac{1}{\cos x}$,इसलिए $\log \sec x = \log \left(\frac{1}{\cos x}\right) = \log 1 - \log \cos x = -\log \cos x$ होता है।अतः,$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} -\log \cos x \, dx$।$I = -\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \cos x \, dx$।दिया गया मान प्रतिस्थापित करने पर,$I = -\left[\frac{\pi}{2} \log \left(\frac{1}{2}\right)\right]$।चूंकि $\log \left(\frac{1}{2}\right) = \log (2^{-1}) = -\log 2$,इसलिए $I = -\left[\frac{\pi}{2} (-\log 2)\right] = \frac{\pi}{2} \log 2$ प्राप्त होता है।

यदि $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \cos x \, dx = \frac{\pi}{2} \log \left(\frac{1}{2}\right)$ है,तो $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \sec x \, dx = $

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यदि $2 \int_0^1 \tan^{-1} x \, dx = \int_0^1 \cot^{-1} (1 - x + x^2) \, dx$ है,तो $\int_0^1 \tan^{-1} (1 - x + x^2) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $I(R) = \int_0^R e^{-R \sin x} dx$,जहाँ $R > 0$ है। तो,

निश्चित समाकलन $\int_{0}^{\pi} \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{x}{{\tan }^{2015}}\left( {x - \frac{1}{x}} \right)dx} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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