y-अक्ष वाले सभी परवलयों का अवकल समीकरण क्या ह | vedclass

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Question

(A) $y$-अक्ष पर अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $(x - 0)^2 = 4a(y - k)$ है,जहाँ $a$ और $k$ स्वेच्छ अचर हैं।इसे सरल करने पर $x^2 = 4ay - 4ak$ प्राप्त

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$x \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$

Vedclass · Answer

(A) $y$-अक्ष पर अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $(x - 0)^2 = 4a(y - k)$ है,जहाँ $a$ और $k$ स्वेच्छ अचर हैं।इसे सरल करने पर $x^2 = 4ay - 4ak$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$2x = 4a \frac{dy}{dx}$$\Rightarrow x = 2a \frac{dy}{dx}$$\Rightarrow \frac{1}{2a} = \frac{1}{x} \frac{dy}{dx}$स्वेच्छ अचर $a$ को हटाने के लिए पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \cdot \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2a} \right)$बाएँ पक्ष में गुणन नियम का उपयोग करने पर:$\frac{1}{x} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \left( - \frac{1}{x^2} \right) = 0$पूरे समीकरण को $x^2$ से गुणा करने पर:$x \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$

$y$-अक्ष वाले सभी परवलयों का अवकल समीकरण क्या है?

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