MHT CET 2012 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે $S \equiv x^{2}+y^{2}-2x-6y+6=0$ અને $P(x_{1}, y_{1}) = (0,1)$.
$S_{1} = (0)^{2}+(1)^{2}-2(0)-6(1)+6 = 1$.
$T = x(0) + y(1) - (x+0) - 3(y+1) + 6 = -x - 2y + 3$.
સ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ $SS_{1} = T^{2}$ છે:
$(x^{2}+y^{2}-2x-6y+6)(1) = (-x-2y+3)^{2}$
$x^{2}+y^{2}-2x-6y+6 = x^{2}+4y^{2}+4xy-6x-12y+9$
$3y^{2}+4xy-4x-6y+3=0$.

(C) ધારો કે $S_{1} \equiv x^{2}+y^{2}+2ax+c=0$ અને $S_{2} \equiv x^{2}+y^{2}+2by+c=0$.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_{1}-S_{2}=0$ એટલે કે $2ax-2by=0$ અથવા $ax-by=0$ છે.
તેથી,$y = \frac{ax}{b}$.
$y = \frac{ax}{b}$ ને $S_{1}=0$ માં મૂકતા,આપણને $(a^{2}+b^{2})x^{2} + 2ab^{2}x + cb^{2} = 0$ મળે છે.
ધારો કે બીજ $x_{1}, x_{2}$ છે. તો $x_{1}+x_{2} = -\frac{2ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}$ અને $x_{1}x_{2} = \frac{cb^{2}}{a^{2}+b^{2}}$.
તે જ રીતે,$x = \frac{by}{a}$ ને $S_{2}=0$ માં મૂકતા,$(a^{2}+b^{2})y^{2} + 2ba^{2}y + ca^{2} = 0$ મળે છે.
ધારો કે બીજ $y_{1}, y_{2}$ છે. તો $y_{1}+y_{2} = -\frac{2ba^{2}}{a^{2}+b^{2}}$ અને $y_{1}y_{2} = \frac{ca^{2}}{a^{2}+b^{2}}$.
વ્યાસ તરીકે સામાન્ય જીવા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_{1})(x-x_{2}) + (y-y_{1})(y-y_{2}) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા $x^{2} - (x_{1}+x_{2})x + x_{1}x_{2} + y^{2} - (y_{1}+y_{2})y + y_{1}y_{2} = 0$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^{2} + y^{2} + \frac{2ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}x + \frac{2a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}y + \frac{c(b^{2}+a^{2})}{a^{2}+b^{2}} = 0$.
આમ,સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+\frac{2ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}x+\frac{2a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}y+c=0$ છે.

(C) ધારો કે $z = 2^{-i}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે છે:
$\log z = \log (2^{-i})$
$\Rightarrow \log z = -i \log 2$
$z = e^{\log z}$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$z = e^{-i \log 2} = e^{i \log(1/2)}$
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = \log(1/2)$:
$z = \cos(\log(1/2)) + i \sin(\log(1/2))$
$z$ નો વાસ્તવિક ભાગ $\cos(\log(1/2))$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = |\cos x|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિધેય $\cos x$ નો આવર્તકાળ $2\pi$ છે.
જો કે,જ્યારે આપણે માનાંક લઈએ છીએ,ત્યારે આલેખના ઋણ ભાગો $x$-અક્ષની ઉપર પરાવર્તિત થાય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,$|\cos(x + \pi)| = |-\cos x| = |\cos x|$.
કારણ કે $f(x + \pi) = f(x)$,તેથી વિધેય $f(x) = |\cos x|$ નો મૂળભૂત આવર્તકાળ $\pi$ છે.
આલેખમાં દર્શાવ્યા મુજબ,વિધેયની ભાત દર $\pi$ એકમોએ પુનરાવર્તિત થાય છે.

(D) $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(\sec x-\tan x)$
$\Rightarrow \lim _{x}$ ${\rightarrow \frac{\pi}{2}} \left(\frac{1-\sin x}{\cos x}\right)$ (જે $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ છે)
$L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\Rightarrow \lim _{x}$ ${\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{d}{dx}(1-\sin x)}{\frac{d}{dx}(\cos x)}$
$\Rightarrow \lim _{x}$ ${\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{-\cos x}{-\sin x}$
$\Rightarrow \lim _{x}$ ${\rightarrow \frac{\pi}{2}} \cot x$
$x = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા:
$\Rightarrow \cot \frac{\pi}{2} = 0$

(C) આપેલ લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{3^{x}-1}{x} \right)$ છે,જે $\left( \frac{0}{0} \right)$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપમાં છે.
$L'\text{Hospital}$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરીને અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(3^{x}-1)}{\frac{d}{dx}(x)}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3^{x} \log 3}{1}$
$= 3^{0} \log 3 = 1 \cdot \log 3 = \log 3$.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $4x^{2}-4x-2y+3=0$
$4(x^{2}-x) = 2y-3$
$4(x-\frac{1}{2})^{2} = 2y-2$
$(x-\frac{1}{2})^{2} = 2(y-1)$
આ સમીકરણને $X^{2} = 4aY$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $X = x-\frac{1}{2}$ અને $Y = y-1$:
$4a = 2 \implies a = \frac{1}{2}$
નિયામિકાનું સમીકરણ $Y = -a$ છે
$y-1 = -\frac{1}{2}$
$y = \frac{1}{2} \implies 2y = 1$.

(D) ધારો કે નાભિજીવા $PQ$ છે જે નાભિ $S(a, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. $P$ ના યામ $(at_{1}^{2}, 2at_{1})$ અને $Q$ ના યામ $(at_{2}^{2}, 2at_{2})$ છે.
નાભિજીવા હોવાથી,$t_{1}t_{2} = -1$ થાય.
પરવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ નું નાભિ અંતર $SP = a + x = a + at_{1}^{2} = a(1 + t_{1}^{2})$ છે.
આપેલ છે કે નાભિજીવાના અંતઃખંડો $b$ અને $k$ છે,તેથી $b = a(1 + t_{1}^{2})$ અને $k = a(1 + t_{2}^{2})$.
$t_{2} = -1/t_{1}$ હોવાથી,$k = a(1 + 1/t_{1}^{2}) = a(\frac{t_{1}^{2} + 1}{t_{1}^{2}})$.
$b = a(1 + t_{1}^{2})$ પરથી,$t_{1}^{2} = \frac{b-a}{a}$ મળે.
આ કિંમત $k$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$k = a(1 + \frac{a}{b-a}) = a(\frac{b-a+a}{b-a}) = \frac{ab}{b-a}$.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 4ax$ છે.
ધારો કે રેખા $lx + my + n = 0$ એ પરવલયનો સ્પર્શક છે.
રેખાના સમીકરણને $y = -\frac{l}{m}x - \frac{n}{m}$ તરીકે લખતા,જે $y = Mx + C$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં ઢાળ $M = -\frac{l}{m}$ અને અંતઃખંડ $C = -\frac{n}{m}$ છે.
રેખા $y = Mx + C$ એ પરવલય $y^{2} = 4ax$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $C = \frac{a}{M}$ છે.
$M$ અને $C$ ની કિંમતો મૂકતા:
$-\frac{n}{m} = \frac{a}{-l/m} = -\frac{am}{l}$.
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{n}{m} = \frac{am}{l}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $nl = am^{2}$ મળે છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 8x$ છે.
$y^{2} = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$ મળે.
પરવલય $y^{2} = 4ax$ ના બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{y_{1}}{2a}$ છે.
આપેલ અભિલંબનું સમીકરણ $2x + y + \lambda = 0$ છે,જેને $y = -2x - \lambda$ તરીકે લખી શકાય.
આને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m = -2$ મળે.
ઢાળને સરખાવતા: $-2 = -\frac{y_{1}}{2(2)}$ $\Rightarrow -2 = -\frac{y_{1}}{4}$ $\Rightarrow y_{1} = 8$.
બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ પરવલય $y^{2} = 8x$ પર હોવાથી,$8^{2} = 8x_{1}$ $\Rightarrow 64 = 8x_{1}$ $\Rightarrow x_{1} = 8$.
બિંદુ $(8, 8)$ એ રેખા $2x + y + \lambda = 0$ પર હોવાથી,કિંમતો મૂકતા:
$2(8) + 8 + \lambda = 0$
$16 + 8 + \lambda = 0$
$24 + \lambda = 0$
$\lambda = -24$.

(A) પરવલય $y^{2} = 4ax$ માટે બિંદુ $P(x_{1}, y_{1})$ ના ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $yy_{1} = 2a(x + x_{1})$ છે.
આને $2ax - yy_{1} + 2ax_{1} = 0 \dots(i)$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ રેખા $lx + my + n = 0 \dots(ii)$ છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$\frac{2a}{l} = \frac{-y_{1}}{m} = \frac{2ax_{1}}{n}$.
પ્રથમ અને ત્રીજા ગુણોત્તર પરથી: $x_{1} = \frac{n}{l}$.
પ્રથમ અને બીજા ગુણોત્તર પરથી: $y_{1} = \frac{-2am}{l}$.
તેથી,ધ્રુવ $\left(\frac{n}{l}, \frac{-2am}{l}\right)$ છે.

(B) $20$ માંથી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{20}C_{3}$ છે.
${}^{20}C_{3} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$.
$3$ ક્રમિક સંખ્યાઓના સેટ $(1, 2, 3), (2, 3, 4), \dots, (18, 19, 20)$ છે.
આવા સેટની સંખ્યા $18$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{18}{1140} = \frac{3}{190}$ છે.

(C) '$CEASE$' શબ્દમાં $5$ અક્ષરો છે: $C, E, A, S, E$. જેમાં $E$ ની સંખ્યા $2$ છે.
'$CEASE$' ના અક્ષરોની કુલ ગોઠવણી $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ થાય.
બંને $E$ સાથે હોય તે માટે,આપણે બંને $E$ ને એક એકમ $(EE)$ તરીકે ગણીએ.
હવે આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $4$ એકમો છે: $(EE), C, A, S$.
આ $4$ એકમોને ગોઠવવાની રીતો $4! = 24$ છે.
માટે,જરૂરી સંભાવના $= \frac{24}{60} = \frac{2}{5}$ થાય.

(A) દ્વારા સમસ્યા ઉકેલવા સામેની બાજી $3:2$ છે,તેથી $A$ સમસ્યા ઉકેલે તેની સંભાવના $P(A) = \frac{2}{3+2} = \frac{2}{5}$ છે. $A$ નિષ્ફળ જાય તેની સંભાવના $P(\bar{A}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ છે.
$B$ દ્વારા સમસ્યા ઉકેલવા સામેની બાજી $2:1$ છે,તેથી $B$ સમસ્યા ઉકેલે તેની સંભાવના $P(B) = \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$ છે. $B$ નિષ્ફળ જાય તેની સંભાવના $P(\bar{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
સમસ્યા ત્યારે ઉકેલાય છે જો ઓછામાં ઓછો એક વ્યક્તિ તેને ઉકેલે. આ ઘટના બંને નિષ્ફળ જાય તેની પૂરક ઘટના છે.
$P(\text{solved}) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B})$
$P(\text{solved}) = 1 - (\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3}) = 1 - \frac{6}{15} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.

(B) કુલ પત્તાની સંખ્યા $= 52$.
એક્કાની સંખ્યા $= 4$.
કાળા રાજાની સંખ્યા (કાળીનો રાજા અને ફુલ્લીનો રાજા) $= 2$.
લાલની રાણીની સંખ્યા $= 1$.
આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $= 4 + 2 + 1 = 7$.
$\therefore$ જરૂરી સંભાવના $= \frac{7}{52}$.

(C) ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $C(x_1, y_1)$ એ રેખા $x + y = 5$ પર છે,તેથી $y_1 = 5 - x_1$.
આમ,$C$ ના યામ $(x_1, 5 - x_1)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $4$ આપેલું હોવાથી,આપણે ક્ષેત્રફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:
$\frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)| = 4$
$\frac{1}{2} |2(2 - (5 - x_1)) + 3((5 - x_1) - (-1)) + x_1(-1 - 2)| = 4$
$|2(x_1 - 3) + 3(6 - x_1) - 3x_1| = 8$
$|12 - 4x_1| = 8$
આના બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $12 - 4x_1 = 8 \implies x_1 = 1$. તેથી $y_1 = 4$. એટલે કે $C(1, 4)$.
કિસ્સો $2$: $12 - 4x_1 = -8 \implies x_1 = 5$. તેથી $y_1 = 0$. એટલે કે $C(5, 0)$.
તેથી,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(5, 0)$ અથવા $(1, 4)$ છે.

(A) આપેલ છે,$2a + b + 3c = 0$ ... $(i)$
અને રેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે.
$c$ નો લોપ કરવા માટે,રેખાના સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા:
$3ax + 3by + 3c = 0$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(3ax + 3by + 3c) - (2a + b + 3c) = 0$
$(3x - 2)a + (3y - 1)b = 0$
આ સમીકરણ તમામ $a$ અને $b$ માટે સાચું હોવાથી,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$
$3y - 1 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{3}$
તેથી,રેખા નિશ્ચિત બિંદુ $\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$ માંથી પસાર થાય છે.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y=c \cosh \left(\frac{x}{c}\right)$ ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = c \cdot \frac{1}{c} \cdot \sinh \left(\frac{x}{c}\right) = \sinh \left(\frac{x}{c}\right)$
અભિલંબની લંબાઈનું સૂત્ર:
$L = |y| \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$L = y \sqrt{1 + \sinh^{2} \left(\frac{x}{c}\right)}$
નિત્યસમ $\cosh^{2} \theta - \sinh^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 + \sinh^{2} \theta = \cosh^{2} \theta$ મળે:
$L = y \sqrt{\cosh^{2} \left(\frac{x}{c}\right)}$
$L = y \cosh \left(\frac{x}{c}\right)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh \left(\frac{x}{c}\right) = \frac{y}{c}$:
$L = y \cdot \left(\frac{y}{c}\right) = \frac{y^{2}}{c}$
આમ,અભિલંબની લંબાઈ $\frac{y^{2}}{c}$ છે.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y^{2}=4a|x+a \sin(x/a)|$.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોય તે માટે,વિકલન $\frac{dy}{dx} = 0$ હોવું જોઈએ.
કિસ્સો $y^2 = 4a(x + a \sin(x/a))$ ધ્યાનમાં લેતા,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a(1 + \cos(x/a))$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $1 + \cos(x/a) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos(x/a) = -1$.
આ શરત સૂચવે છે કે $\sin(x/a) = 0$.
$\sin(x/a) = 0$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $y^2 = 4a(x + 0) = 4ax$ મળે છે.
આમ,આવા તમામ બિંદુઓ પરવલય $y^2 = 4ax$ પર આવેલા છે.

(C) ધારો કે નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તેની ઊંચાઈ $h$ છે. ગોળાની ત્રિજ્યા $a$ છે (કારણ કે વ્યાસ $2a$ છે).
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,ગોળાની ત્રિજ્યા,નળાકારની ત્રિજ્યા અને નળાકારની અડધી ઊંચાઈ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં:
$r^2 + (h/2)^2 = a^2$
$r^2 = a^2 - \frac{h^2}{4}$
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ છે.
ઘનફળના સૂત્રમાં $r^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \pi (a^2 - \frac{h^2}{4}) h = \pi (a^2 h - \frac{h^3}{4})$
મહત્તમ ઘનફળ મેળવવા માટે,$V$ નું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dh} = \pi (a^2 - \frac{3h^2}{4})$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે $\frac{dV}{dh} = 0$ લેતા:
$a^2 - \frac{3h^2}{4} = 0$
$3h^2 = 4a^2$
$h^2 = \frac{4a^2}{3}$
$h = \frac{2a}{\sqrt{3}}$
તે મહત્તમ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,દ્વિતીય વિકલન લઈએ:
$\frac{d^2V}{dh^2} = \pi (0 - \frac{6h}{4}) = -\frac{3\pi h}{2} < 0$ (જ્યાં $h > 0$).
આમ,$h = \frac{2a}{\sqrt{3}}$ પર ઘનફળ મહત્તમ છે.

(D) ધારો કે $10$ ના બે ભાગ $x$ અને $y$ છે.
$\therefore x + y = 10 \implies y = 10 - x$ ... $(i)$
ધારો કે $A$ એ પ્રથમ ભાગના બમણા અને બીજા ભાગના વર્ગનો સરવાળો છે:
$A = 2x + y^2$
$y = 10 - x$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$A = 2x + (10 - x)^2$
$A = 2x + 100 - 20x + x^2$
$A = x^2 - 18x + 100$
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$A$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dx} = 2x - 18$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે $\frac{dA}{dx} = 0$ લેતા:
$2x - 18 = 0 \implies x = 9$
દ્વિતીય વિકલન તપાસતા:
$\frac{d^2A}{dx^2} = 2$. કારણ કે $2 > 0$ છે,તેથી વિધેય $x = 9$ આગળ ન્યૂનતમ છે.
$x = 9$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$y = 10 - 9 = 1$.
આમ,ભાગો $(9, 1)$ છે.

(B) આપેલ વક્રો $y^{2}=8x$ $(i)$ અને $y=x$ (ii) છે.
સમીકરણો $(i)$ અને (ii) ને ઉકેલતા,આપણે $y=x$ ને $y^{2}=8x$ માં મૂકીએ છીએ:
$x^{2}=8x \Rightarrow x^{2}-8x=0 \Rightarrow x(x-8)=0$.
આમ,છેદબિંદુઓ $x=0$ અને $x=8$ છે.
$x=0$ માટે $y=0$ અને $x=8$ માટે $y=8$ મળે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $x=0$ થી $x=8$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને મેળવી શકાય છે:
$\text{Area} = \int_{0}^{8} (\sqrt{8x} - x) dx$
$= \int_{0}^{8} (2\sqrt{2}x^{1/2} - x) dx$
$= \left[ 2\sqrt{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{8}$
$= \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} x^{3/2} - \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{8}$
$= \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} (8)^{3/2} - \frac{8^{2}}{2} \right) - (0 - 0)$
$= \frac{4\sqrt{2}}{3} (16\sqrt{2}) - \frac{64}{2}$
$= \frac{4 \times 16 \times 2}{3} - 32$
$= \frac{128}{3} - 32 = \frac{128 - 96}{3} = \frac{32}{3}$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{32}{3}$ ચોરસ એકમ છે.

(C) આપેલ વક્રો $x^2+y^2=8$ $(i)$ અને $y^2=2x$ $(ii)$ છે.
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$x^2+2x-8=0$ મળે.
$(x+4)(x-2)=0$,તેથી $x=2$ (કારણ કે $y^2=2x$ માટે $x \ge 0$).
$x=2$ માટે,$y^2=4$,તેથી $y=\pm 2$.
છેદબિંદુઓ $(2, 2)$ અને $(2, -2)$ છે.
આવશ્યક ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $= 2 \times [\text{વક્ર } y^2=2x \text{ \text{દ્વારા }} x=0 \text{ \text{થી }} 2 \text{ \text{સુધીનો પ્રદેશ}} + \text{વક્ર } x^2+y^2=8 \text{ \text{દ્વારા }} x=2 \text{ \text{થી }} 2\sqrt{2} \text{ \text{સુધીનો પ્રદેશ}}]$.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \int_0^2 \sqrt{2x} \, dx + \int_2^{2\sqrt{2}} \sqrt{8-x^2} \, dx \right]$.
$= 2 \left[ \sqrt{2} \left( \frac{x^{3/2}}{3/2} \right)_0^2 + \left( \frac{x}{2} \sqrt{8-x^2} + \frac{8}{2} \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{8}} \right)_2^{2\sqrt{2}} \right]$.
$= 2 \left[ \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} + \left( (0 + 4 \sin^{-1}(1)) - (1 \cdot \sqrt{4} + 4 \sin^{-1}(1/\sqrt{2})) \right) \right]$.
$= 2 \left[ \frac{8}{3} + 4(\pi/2) - 2 - 4(\pi/4) \right] = 2 \left[ \frac{8}{3} + 2\pi - 2 - \pi \right] = 2 \left[ \frac{2}{3} + \pi \right] = 2\pi + \frac{4}{3}$.

(C) આપેલ છે,$f(x) = \begin{cases} x \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$
$x = 0$ આગળ સાતત્ય માટે:
$LHL = f(0-0) = \lim_{h \to 0} f(0-h) = \lim_{h \to 0} (-h) \sin \left(-\frac{1}{h}\right) = \lim_{h \to 0} h \sin \left(\frac{1}{h}\right) = 0 \times (\text{સીમિત કિંમત}) = 0$.
$RHL = f(0+0) = \lim_{h \to 0} f(0+h) = \lim_{h \to 0} h \sin \left(\frac{1}{h}\right) = 0 \times (\text{સીમિત કિંમત}) = 0$.
અહીં $f(0) = LHL = RHL = 0$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે.
$x = 0$ આગળ વિકલનીયતા માટે:
$Rf'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \sin(1/h)$.
જેમ $h \to 0$,$\sin(1/h)$ એ $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે,તેથી લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.
તે જ રીતે,$Lf'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h \sin(-1/h) - 0}{-h} = \lim_{h \to 0} \sin(1/h)$,જેનું પણ અસ્તિત્વ નથી.
વિકલનનું અસ્તિત્વ ન હોવાથી,$f(x)$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી.
આમ,$f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે પણ વિકલનીય નથી.

(D) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,તેથી $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$.
$f(0) = k$.
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\log (1 + 2ax) - \log (1 - bx)}{x}$.
આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ છે,તેથી આપણે $L$'Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું:
$k = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\log (1 + 2ax) - \log (1 - bx))}{\frac{d}{dx}(x)}$.
$k = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2a}{1 + 2ax} - \frac{-b}{1 - bx}}{1}$.
$k = \frac{2a}{1 + 0} + \frac{b}{1 - 0} = 2a + b$.

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} x^{2}(1-x^{2})^{3/2} dx$.
$x = \sin \theta$ આદેશ લેતા,$dx = \cos \theta d\theta$ મળે.
જ્યારે $x = 0$ ત્યારે $\theta = 0$ અને જ્યારે $x = 1$ ત્યારે $\theta = \frac{\pi}{2}$.
$I = \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2} \theta (\cos^{2} \theta)^{3/2} \cos \theta d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2} \theta \cos^{4} \theta d\theta$.
વોલિસના સૂત્ર અથવા બીટા વિધેય $\int_{0}^{\pi/2} \sin^{m} \theta \cos^{n} \theta d\theta = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $m=2, n=4$ હોવાથી,$I = \frac{\Gamma(3/2) \Gamma(5/2)}{2 \Gamma(4)} = \frac{(\frac{1}{2} \sqrt{\pi}) (\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi})}{2 \cdot 6} = \frac{\frac{3}{8} \pi}{12} = \frac{3\pi}{96} = \frac{\pi}{32}$.

(B) ધારો કે $I = \int_{3}^{4} \sqrt{(4-x)(x-3)} d x$.
આપણે સંકલ્યને $\sqrt{-x^2 + 7x - 12}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $-x^2 + 7x - 12 = -\left(x^2 - 7x + \frac{49}{4} - \frac{49}{4}\right) - 12 = -\left(x - \frac{7}{2}\right)^2 + \frac{49}{4} - 12 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(x - \frac{7}{2}\right)^2$.
તેથી,$I = \int_{3}^{4} \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(x - \frac{7}{2}\right)^2} d x$.
ધારો કે $t = x - \frac{7}{2}$,તો $dt = dx$. જ્યારે $x=3, t=-\frac{1}{2}$ અને જ્યારે $x=4, t=\frac{1}{2}$.
$I = \int_{-1/2}^{1/2} \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - t^2} dt$.
સંકલ્ય યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$I = 2 \int_{0}^{1/2} \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - t^2} dt$.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - t^2} dt = \frac{t}{2}\sqrt{a^2 - t^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{t}{a}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \frac{1}{2}$:
$I = 2 \left[ \frac{t}{2}\sqrt{\frac{1}{4} - t^2} + \frac{1}{8}\sin^{-1}(2t) \right]_{0}^{1/2}$.
$I = 2 \left[ (0 + \frac{1}{8}\sin^{-1}(1)) - (0 + 0) \right] = 2 \times \frac{1}{8} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8}$.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi} \log (1+\cos x) d x \dots (i)$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{\pi} \log (1+\cos(\pi-x)) d x = \int_{0}^{\pi} \log (1-\cos x) d x \dots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{\pi} [\log(1+\cos x) + \log(1-\cos x)] d x$
$2I = \int_{0}^{\pi} \log(1-\cos^2 x) d x = \int_{0}^{\pi} \log(\sin^2 x) d x$
$2I = 2 \int_{0}^{\pi} \log(\sin x) d x$
$I = \int_{0}^{\pi} \log(\sin x) d x$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{2a} f(x) d x = 2 \int_{0}^{a} f(x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા જો $f(2a-x) = f(x)$ હોય:
$I = 2 \int_{0}^{\pi/2} \log(\sin x) d x$
કારણ કે $\int_{0}^{\pi/2} \log(\sin x) d x = -\frac{\pi}{2} \log 2$:
$I = 2 \times (-\frac{\pi}{2} \log 2) = -\pi \log 2 = \pi \log(\frac{1}{2})$

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^{p} + y^{q} = (x + y)^{p + q}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (log) લેતા: $p \ln x + q \ln y = (p + q) \ln (x + y)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{p}{x} + \frac{q}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{p + q}{x + y} \left( 1 + \frac{dy}{dx} \right)$.
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{p}{x} - \frac{p + q}{x + y} = \left( \frac{p + q}{x + y} - \frac{q}{y} \right) \frac{dy}{dx}$.
બંને બાજુ સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{p(x + y) - x(p + q)}{x(x + y)} = \left( \frac{y(p + q) - q(x + y)}{y(x + y)} \right) \frac{dy}{dx}$.
$\frac{px + py - px - qx}{x(x + y)} = \left( \frac{py + qy - qx - qy}{y(x + y)} \right) \frac{dy}{dx}$.
$\frac{py - qx}{x(x + y)} = \frac{py - qx}{y(x + y)} \cdot \frac{dy}{dx}$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદ $(py - qx)$ અને $(x + y)$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

(A) આપેલ છે કે,$\tan x = \frac{2t}{1-t^2}$ અને $\sin y = \frac{2t}{1+t^2}$.
આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$ અને $\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}$.
ધારો કે $t = \tan\theta$,તો:
$x = \tan^{-1}\left(\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\right) = \tan^{-1}(\tan 2\theta) = 2\theta = 2\tan^{-1}t$.
$y = \sin^{-1}\left(\frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}\right) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2\tan^{-1}t$.
આમ,$x = 2\tan^{-1}t$ અને $y = 2\tan^{-1}t$.
આનો અર્થ એ છે કે $x = y$,તેથી $\frac{dy}{dx} = 1$.

(D) આપેલ છે,$f(x)=|x-3|$.
આ વિધેયને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય:
$f(x) = \begin{cases} 3-x, & x < 3 \\ 0, & x=3 \\ x-3, & x > 3 \end{cases}$
$x=3$ આગળ વિકલનીયતા તપાસવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું વિકલિત $(LHD)$ અને જમણી બાજુનું વિકલિત $(RHD)$ શોધીએ:
$LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{|3+h-3|-0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|3+h-3|-0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$.
અહીં $LHD \neq RHD$ હોવાથી,$f^{\prime}(3)$ નું અસ્તિત્વ નથી.

(B) આપેલ છે,$f: R \rightarrow R$ જ્યાં $f(x) = x|x|$.
આપણે વિધેયને નીચે મુજબ ફરીથી વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ:
$f(x) = \begin{cases} -x^2, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ x^2, & x > 0 \end{cases}$
$1$. એક-એક ચકાસણી: $f(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે (કારણ કે $f'(x) = 2|x| \ge 0$ તમામ $x \in R$ માટે અને $x \neq 0$ માટે $f'(x) > 0$),તેથી તે એક-એક વિધેય છે.
$2$. વ્યાપ્ત ચકાસણી: જેમ $x \rightarrow \infty$,તેમ $f(x) \rightarrow \infty$ અને જેમ $x \rightarrow -\infty$,તેમ $f(x) \rightarrow -\infty$. વિધેયનો વિસ્તાર $(-\infty, \infty)$ છે,જે સહ-પ્રદેશ $R$ જેટલો જ છે,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત છે.
આમ,વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત (બાયજેક્ટિવ) છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x)=\frac{2^{x}+2^{-x}}{2}$.
હવે,$f(x+y)=\frac{2^{x+y}+2^{-(x+y)}}{2}$ અને $f(x-y)=\frac{2^{x-y}+2^{-(x-y)}}{2}$.
તેથી,$f(x+y) \cdot f(x-y) = \frac{2^{x+y}+2^{-x-y}}{2} \cdot \frac{2^{x-y}+2^{-x+y}}{2}$.
$= \frac{1}{4} [2^{x+y} \cdot 2^{x-y} + 2^{x+y} \cdot 2^{-x+y} + 2^{-x-y} \cdot 2^{x-y} + 2^{-x-y} \cdot 2^{-x+y}]$.
$= \frac{1}{4} [2^{2x} + 2^{2y} + 2^{-2y} + 2^{-2x}]$.
$= \frac{1}{4} [(2^{2x} + 2^{-2x}) + (2^{2y} + 2^{-2y})]$.
$= \frac{1}{2} [\frac{2^{2x} + 2^{-2x}}{2} + \frac{2^{2y} + 2^{-2y}}{2}]$.
$= \frac{1}{2} [f(2x) + f(2y)]$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x^{2}+1}{x^{4}+x^{2}+1} dx$.
અંશ અને છેદને $x^{2}$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{1 + 1/x^{2}}{x^{2} + 1 + 1/x^{2}} dx$.
છેદને $(x - 1/x)^{2} + 3$ તરીકે લખતા:
$I = \int \frac{1 + 1/x^{2}}{(x - 1/x)^{2} + (\sqrt{3})^{2}} dx$.
ધારો કે $t = x - 1/x$,તેથી $dt = (1 + 1/x^{2}) dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{t^{2} + (\sqrt{3})^{2}}$.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^{2} + a^{2}} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(x/a) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right) + C$.
$t = x - 1/x$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left\{\frac{x - 1/x}{\sqrt{3}}\right\} + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \sqrt{1+\sec x} \, dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1+\sec x = 1 + \frac{1}{\cos x} = \frac{\cos x + 1}{\cos x} = \frac{2 \cos^2 \frac{x}{2}}{\cos x}$.
તેથી,$I = \int \frac{\sqrt{2} \cos \frac{x}{2}}{\sqrt{\cos x}} \, dx$.
$\cos x = 1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $I = \int \frac{\sqrt{2} \cos \frac{x}{2}}{\sqrt{1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2}}} \, dx$.
ધારો કે $t = \sqrt{2} \sin \frac{x}{2}$. તો $dt = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} \, dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \frac{x}{2} \, dx$.
આનો અર્થ એ છે કે $\sqrt{2} \cos \frac{x}{2} \, dx = 2 \, dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે $I = \int \frac{2 \, dt}{\sqrt{1 - t^2}} = 2 \sin^{-1}(t) + C$.
$t = \sqrt{2} \sin \frac{x}{2}$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે $I = 2 \sin^{-1}(\sqrt{2} \sin \frac{x}{2}) + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\sin 2x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$.
$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$2\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = \frac{1}{2}\sin^2 2x$.
તેથી,$I = \int \frac{\sin 2x}{1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x} dx = \int \frac{2\sin 2x}{2 - \sin^2 2x} dx$.
$\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \int \frac{2\sin 2x}{2 - (1 - \cos^2 2x)} dx = \int \frac{2\sin 2x}{1 + \cos^2 2x} dx$.
ધારો કે $t = \cos 2x$,તો $dt = -2\sin 2x dx$,તેથી $2\sin 2x dx = -dt$.
$I = \int \frac{-dt}{1 + t^2} = -\tan^{-1}(t) + C$.
$t = \cos 2x$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = -\tan^{-1}(\cos 2x) + C$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{3 \sin x - \cos x + 3}$.
$\tan \frac{x}{2} = t$ આદેશ લેતા,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$,અને $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{3(\frac{2t}{1+t^2}) - (\frac{1-t^2}{1+t^2}) + 3} \cdot \frac{2 dt}{1+t^2}$
$I = \int \frac{2 dt}{6t - 1 + t^2 + 3 + 3t^2} = \int \frac{2 dt}{4t^2 + 6t + 2} = \int \frac{dt}{2t^2 + 3t + 1}$.
છેદના અવયવ પાડતા: $2t^2 + 3t + 1 = (2t+1)(t+1)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{1}{(2t+1)(t+1)} = \frac{2}{2t+1} - \frac{1}{t+1}$.
$I = \int (\frac{2}{2t+1} - \frac{1}{t+1}) dt = \log|2t+1| - \log|t+1| + C = \log \left| \frac{2t+1}{t+1} \right| + C$.
$t = \tan \frac{x}{2}$ મૂકતા,$I = \log \left( \frac{2 \tan \frac{x}{2} + 1}{\tan \frac{x}{2} + 1} \right) + C$ મળે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x(x^{n}+1)}$.
અંશ અને છેદને $x^{n-1}$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{x^{n-1} dx}{x^{n}(x^{n}+1)}$.
ધારો કે $t = x^{n}$,તેથી $dt = nx^{n-1} dx$,જેનો અર્થ છે કે $x^{n-1} dx = \frac{dt}{n}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt/n}{t(t+1)} = \frac{1}{n} \int \frac{dt}{t(t+1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{t(t+1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}$.
$I = \frac{1}{n} \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} \right) dt$.
$I = \frac{1}{n} (\log |t| - \log |t+1|) + C$.
$I = \frac{1}{n} \log \left| \frac{t}{t+1} \right| + C$.
$t = x^{n}$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{1}{n} \log \left( \frac{x^{n}}{x^{n}+1} \right) + C$.

(D) ધારો કે $I = \int e^{x} \left[ \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right] dx$.
નિત્યસમ $1+\cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2}$ અને $\sin x = 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int e^{x} \left[ \frac{1 + 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2\cos^2 \frac{x}{2}} \right] dx$
$I = \int e^{x} \left[ \frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2\cos^2 \frac{x}{2}} \right] dx$
$I = \int e^{x} \left[ \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} \right] dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$.
અહીં,$f(x) = \tan \frac{x}{2}$ લેતા,$f'(x) = \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}$ મળે.
તેથી,સંકલનનું મૂલ્ય $e^{x} \tan \frac{x}{2} + C$ થાય.

(B) ધારો કે $I = \int \cos (\log x) \cdot 1 \, dx \dots (i)$
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
ધારો કે $u = \cos (\log x)$ અને $dv = 1 \, dx$.
તેથી $du = -\sin (\log x) \cdot \frac{1}{x} \, dx$ અને $v = x$.
$I = x \cos (\log x) - \int x \cdot (-\sin (\log x)) \cdot \frac{1}{x} \, dx$
$I = x \cos (\log x) + \int \sin (\log x) \, dx$
હવે,$\int \sin (\log x) \cdot 1 \, dx$ માટે ફરીથી ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$I = x \cos (\log x) + [x \sin (\log x) - \int x \cdot \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x} \, dx] + C$
$I = x \cos (\log x) + x \sin (\log x) - \int \cos (\log x) \, dx + C$
$I = x [\cos (\log x) + \sin (\log x)] - I + C$
$2I = x [\sin (\log x) + \cos (\log x)] + C$
$I = \frac{x}{2} [\sin (\log x) + \cos (\log x)] + C$

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} = \frac{A}{1+x} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1}$.
અંશને સરખાવતા: $x = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(1+x) = (A+B)x^{2} + (B+C)x + (A+C)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $A+B=0$,$B+C=1$,$A+C=0$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$A = -\frac{1}{2}$,$B = \frac{1}{2}$,અને $C = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$I = \int_{0}^{\infty} \left( -\frac{1}{2(1+x)} + \frac{x+1}{2(x^{2}+1)} \right) dx = -\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\infty} \frac{2x}{x^{2}+1} dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^{2}+1}$.
સંકલન કરતા: $I = \left[ -\frac{1}{2} \ln(1+x) + \frac{1}{4} \ln(x^{2}+1) + \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) \right]_{0}^{\infty}$.
લોગેરિધમિક પદોને ભેગા કરતા: $I = \left[ \frac{1}{4} \ln \left( \frac{(x^{2}+1)}{(1+x)^{2}} \right) + \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) \right]_{0}^{\infty}$.
જ્યારે $x \to \infty$,ત્યારે $\frac{x^{2}+1}{(1+x)^{2}} \to 1$,તેથી $\ln(1) = 0$.
$x=0$ આગળ,$\frac{1}{4} \ln(1) + \frac{1}{2} \tan^{-1}(0) = 0$.
તેથી,$I = 0 + \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{4}$.

(D) કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો એકમનો અંક $10$ અંકોમાંથી કોઈ પણ હોઈ શકે છે: ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$.
ચાર સંખ્યાઓના ગુણાકારનો એકમનો અંક $1, 3, 7,$ અથવા $9$ મળે તે માટે,ચારેય સંખ્યાઓનો એકમનો અંક ${1, 3, 7, 9}$ ગણમાંથી હોવો જોઈએ.
દરેક સંખ્યા માટે $10$ શક્ય અંકોમાંથી $4$ સાનુકૂળ અંકો છે.
એક સંખ્યાનો એકમનો અંક ${1, 3, 7, 9}$ માં હોય તેની સંભાવના $P = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ છે.
ચાર પૂર્ણાંકો સ્વતંત્ર રીતે પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી,ચારેયનો એકમનો અંક ${1, 3, 7, 9}$ માં હોય તેની સંભાવના $\left(\frac{2}{5}\right)^{4} = \frac{16}{625}$ થાય.

(C) એક સિક્કો ઉછાળતા છાપ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ છે અને કાંટો મળવાની સંભાવના $q = \frac{1}{2}$ છે.
$n = 15$ પ્રયત્નો માટે,$r = 10$ છાપ મળવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $P(X = r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$.
કિંમતો મૂકતા: $P(X = 10) = {}^{15}C_{10} \left(\frac{1}{2}\right)^{10} \left(\frac{1}{2}\right)^{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ${}^{15}C_{10} = {}^{15}C_{5}$,તેથી: $P(X = 10) = {}^{15}C_{5} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{15}$.
સંચયની ગણતરી કરતા: ${}^{15}C_{5} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003$.
આમ,સંભાવના: $P(X = 10) = \frac{3003}{2^{15}} = \frac{3003}{32768}$ છે.

(B) આપેલ છે કે,$a+b+c=0$ અને $|a|=5, |b|=3, |c|=7$.
$a+b+c=0$ હોવાથી,$a+b=-c$ લખી શકાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|a+b|^2 = |-c|^2$ મળે.
આથી,$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$ થાય.
અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,$a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(5)^2 + (3)^2 + 2(5)(3) \cos \theta = (7)^2$.
$25 + 9 + 30 \cos \theta = 49$.
$34 + 30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 49 - 34 = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta = 60^{\circ}$ અથવા $\theta = \frac{\pi}{3}$ રેડિયન મળે.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ પરિકેન્દ્ર $S$ પર છે. શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે જેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$ થાય.
લંબકેન્દ્ર $O^{\prime}$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{o^{\prime}} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ છે.
અંતઃકેન્દ્ર $O$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{o} = \frac{a\vec{a} + b\vec{b} + c\vec{c}}{a+b+c}$ છે.
આપણે $\vec{O^{\prime}A} + \vec{O^{\prime}B} + \vec{O^{\prime}C} = (\vec{a} - \vec{o^{\prime}}) + (\vec{b} - \vec{o^{\prime}}) + (\vec{c} - \vec{o^{\prime}})$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{o^{\prime}} = \vec{o^{\prime}} - 3\vec{o^{\prime}} = -2\vec{o^{\prime}}$.
ત્રિકોણ ભૂમિતિમાં આ એક પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે જ્યાં $\vec{O^{\prime}A} + \vec{O^{\prime}B} + \vec{O^{\prime}C} = 2\vec{O^{\prime}S}$,જ્યાં $S$ એ પરિકેન્દ્ર છે. આપેલા વિકલ્પો અને ત્રિકોણમાં સદિશ સંબંધોના સંદર્ભમાં,સાચું પદ $2\vec{O^{\prime}O}$ છે.

(C) ધારો કે $\vec{a} = 4 i - j + 3 k$ અને $\vec{b} = -2 i + j - 2 k$. $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ સદિશ તેમના સદિશ ગુણાકાર $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 4 & -1 & 3 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = i(2-3) - j(-8+6) + k(4-2) = -i + 2j + 2k$.
$\vec{n}$ નું માન $|\vec{n}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{-i + 2j + 2k}{3}$ છે.
$9$ માન ધરાવતો જરૂરી સદિશ $\pm 9 \hat{n} = \pm 9 \left( \frac{-i + 2j + 2k}{3} \right) = \pm 3(-i + 2j + 2k) = \pm (-3i + 6j + 6k)$ છે.
આમ,માંગેલ સદિશો $-3i + 6j + 6k$ અથવા $3i - 6j - 6k$ છે.

(D) ધારો કે $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ અને $\vec{c} = 3\hat{i} + \lambda\hat{j} + 5\hat{k}$.
જો આ સદિશો સમતલીય હોય,તો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
આથી નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય થશે:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & \lambda & 5 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(10 + 3\lambda) + 1(5 + 9) - 1(\lambda - 6) = 0$
$20 + 6\lambda + 14 - \lambda + 6 = 0$
$5\lambda + 40 = 0$
$5\lambda = -40$
$\lambda = -8$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે એકમ સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણક ચક્રીય ક્રમના ગુણધર્મ મુજબ નીચે મુજબ છે: $i \cdot(j \times k) = 1$,$j \cdot(k \times i) = 1$,અને $k \cdot(i \times j) = 1$.
આપેલ પદાવલિ $i \cdot(j \times k) + j \cdot(k \times i) + k \cdot(j \times i)$ છે.
કારણ કે $j \times i = -k$,તેથી $k \cdot(j \times i) = k \cdot(-k) = -(k \cdot k) = -1$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા:
$i \cdot(j \times k) + j \cdot(k \times i) + k \cdot(j \times i) = 1 + 1 + (-1) = 1$.

(A) ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{OA} = 6i = 6\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{OB} = 6j = 0\hat{i} + 6\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{OC} = k = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}$
ઉગમબિંદુ અને સ્થાન સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$V = \frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$
આપેલા સદિશોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \right|$
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધતા:
$V = \frac{1}{6} (6 \times (6 \times 1 - 0 \times 0) - 0 + 0) = \frac{1}{6} (36) = 6$
આમ,ચતુષ્ફલક $OABC$ નું ઘનફળ $6$ ઘન એકમ છે.