MHT CET 2012 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) आवेग (Impulse) को वस्तु के संवेग में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
माना प्रारंभिक वेग $u = 30 \,ms^{-1}$ है और अंतिम वेग $v = -20 \,ms^{-1}$ है (क्योंकि यह विपरीत दिशा में वापस लौटती है)।
गेंद का द्रव्यमान $m = 0.1 \,kg$ है।
आवेग $J = \Delta p = m(v - u)$.
प्रारंभिक वेग की दिशा को धनात्मक लेने पर:
$J = m(v_{final} - v_{initial}) = 0.1 \times (-20 - 30) = 0.1 \times (-50) = -5 \,N-s$.
दीवार द्वारा गेंद पर लगाए गए आवेग का परिमाण $|J| = 5 \,N-s$ है।

(D) जब एक लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर गति करती है,तो यात्री का प्रभावी भार बढ़ जाता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,यात्री पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर कार्य करने वाला अभिलंब बल $R$ (फर्श द्वारा लगाया गया) और नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $m g$ हैं।
गति का समीकरण $R - m g = m a$ है।
इसलिए,फर्श द्वारा यात्री पर लगाया गया अभिलंब बल $R = m g + m a$ है।

(B) मान लीजिए फायरमैन का द्रव्यमान $m$ है और उसका त्वरण $a$ है। फायरमैन का वजन $mg$ है।
रस्सी की तोड़ने की क्षमता (ब्रेकिंग स्ट्रेंथ) $\frac{2}{3}mg$ दी गई है।
जब फायरमैन $a$ त्वरण के साथ नीचे फिसलता है,तो रस्सी में तनाव $T = m(g - a)$ होता है।
रस्सी न टूटे,इसके लिए तनाव $T$ ब्रेकिंग स्ट्रेंथ के बराबर या उससे कम होना चाहिए।
न्यूनतम त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम तनाव को ब्रेकिंग स्ट्रेंथ के बराबर रखते हैं:
$m(g - a) = \frac{2}{3}mg$
दोनों पक्षों को $m$ से विभाजित करने पर:
$g - a = \frac{2}{3}g$
$a = g - \frac{2}{3}g = \frac{g}{3}$
अतः,न्यूनतम त्वरण $\frac{g}{3}$ है।

(A) जब कार $a$ त्वरण के साथ आगे की दिशा में चलती है,तो कार के अजड़त्वीय फ्रेम में प्लंब बॉब पर पीछे की दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = ma$ कार्य करता है।
मान लीजिए बॉब का द्रव्यमान $m$ है। बॉब पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. भार $mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. छद्म बल $ma$ जो क्षैतिज रूप से पीछे की ओर कार्य करता है।
$3$. धागे में तनाव $T$।
कार के सापेक्ष संतुलन की स्थिति में,बॉब पर कुल बल शून्य होता है। बलों को वियोजित करने पर:
$T \sin \theta = ma$
$T \cos \theta = mg$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{ma}{mg}$
$\tan \theta = \frac{a}{g}$
अतः,धागे द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण $\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$ है।

(B) यह निकाय दो ब्लॉकों $A$ और $B$ से बना है जो एक डोरी से जुड़े हैं। चूंकि मेज घर्षणहीन है और निकाय $a = 2 \,ms^{-2}$ के त्वरण से गति कर रहा है, इसलिए हम ब्लॉक $A$ की गति का अलग से विश्लेषण कर सकते हैं।
ब्लॉक $A$ डोरी में उत्पन्न तनाव $T$ द्वारा खींचा जा रहा है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, ब्लॉक $A$ पर कार्य करने वाला बल है:
$T = M_A \times a$
दिया गया है:
$M_A = 20 \,kg$
$a = 2 \,ms^{-2}$
मान रखने पर:
$T = 20 \,kg \times 2 \,ms^{-2} = 40 \,N$
अतः, डोरी में तनाव $40 \,N$ है।

(A) नत समतल $12$ की लंबाई पर $5$ की ऊंचाई पर उठता है,जिसका अर्थ है $\sin \theta = \frac{5}{12}$.
चूंकि वस्तु बस नीचे फिसलना शुरू करती है,इसलिए झुकाव का कोण $\theta$ विश्राम कोण (angle of repose) के बराबर है।
घर्षण गुणांक $\mu = \tan \theta$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{5}{12})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{144}} = \sqrt{\frac{119}{144}} = \frac{\sqrt{119}}{12}$.
अतः,$\mu = \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{5/12}{\sqrt{119}/12} = \frac{5}{\sqrt{119}}$.
मान की गणना करने पर,$\sqrt{119} \approx 10.9087$.
$\mu = \frac{5}{10.9087} \approx 0.4583 \approx 0.46$.

(B) माना नत समतल की लंबाई $L$ है और झुकाव कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
चिकने नत समतल के लिए,त्वरण $a_1 = g \sin \theta$ है। लिया गया समय $t_1 = \sqrt{\frac{2L}{g \sin \theta}}$ है।
खुरदरे नत समतल के लिए,त्वरण $a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है। लिया गया समय $t_2 = \sqrt{\frac{2L}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ है।
दिया गया है कि $t_2 = n t_1$,इसलिए $\frac{t_2}{t_1} = n$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{t_2^2}{t_1^2} = n^2$,जिसका अर्थ है $\frac{\sin \theta}{\sin \theta - \mu \cos \theta} = n^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\sin \theta = n^2 \sin \theta - n^2 \mu \cos \theta$.
$n^2 \mu \cos \theta = (n^2 - 1) \sin \theta$.
$\mu = \frac{n^2 - 1}{n^2} \tan \theta$.
चूंकि $\theta = 45^{\circ}$ है,$\tan 45^{\circ} = 1$.
इसलिए,$\mu = 1 - \frac{1}{n^2}$.

(C) जब किसी पिंड को नत समतल पर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है,तो गुरुत्वाकर्षण का घटक और घर्षण बल दोनों गति की विपरीत दिशा में कार्य करते हैं।
मंदन $a = g \sin \theta + \mu g \cos \theta = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$.
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ और $\mu = 0.5$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$a = g(\sin 45^{\circ} + 0.5 \cos 45^{\circ})$
$a = g\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + 0.5 \times \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$a = \frac{g}{\sqrt{2}}(1 + 0.5)$
$a = \frac{1.5 g}{\sqrt{2}} = \frac{3 g}{2 \sqrt{2}}$.

(A) माना $\alpha$ समतल का झुकाव कोण है।
स्थिति $1$: बल $F$ समतल के अनुदिश कार्य कर रहा है।
भार को संतुलित करने के लिए,$F = W \sin \alpha - f_s$,जहाँ $f_s$ स्थैतिक घर्षण है। गति की सीमांत स्थिति में,$f_s = \mu R = \mu W \cos \alpha = W \tan \theta \cos \alpha$.
अतः,$F = W \sin \alpha - W \tan \theta \cos \alpha = W \frac{\sin(\alpha - \theta)}{\cos \theta}$.
स्थिति $2$: बल $F$ क्षैतिज रूप से कार्य कर रहा है।
भार को संतुलित करने के लिए,$F \cos \alpha = W \sin \alpha + f_s$. गति की सीमांत स्थिति में,$f_s = \mu R = \mu (W \cos \alpha + F \sin \alpha) = \tan \theta (W \cos \alpha + F \sin \alpha)$.
$F$ के लिए हल करने पर,हमें $F = W \tan(\alpha + \theta)$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि भार को दोनों स्थितियों में समान बल $F$ द्वारा संतुलित किया जा सकता है,हम $F$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करते हैं:
$W \frac{\sin(\alpha - \theta)}{\cos \theta} = W \tan(\alpha + \theta)$.
यह त्रिकोणमितीय समीकरण हल करने पर $F/W = \tan \theta$ की स्थिति प्राप्त होती है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \times 10^{7} \,kg$, बल $F = 5 \times 10^{4} \,N$, प्रारंभिक वेग $u = 0$, दूरी $s = 4 \,m$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, $F = ma$:
$5 \times 10^{4} = 4 \times 10^{7} \times a$
$a = \frac{5 \times 10^{4}}{4 \times 10^{7}} = 1.25 \times 10^{-3} \,ms^{-2}$.
गति के समीकरण $v^{2} = u^{2} + 2as$ का उपयोग करते हुए:
$v^{2} = 0^{2} + 2 \times (1.25 \times 10^{-3}) \times 4$
$v^{2} = 2 \times 1.25 \times 4 \times 10^{-3} = 10 \times 10^{-3} = 10^{-2} \,m^{2}s^{-2}$.
$v = \sqrt{10^{-2}} = 0.1 \,ms^{-1}$.

(C) जब डोरी $C$ को अचानक झटका दिया जाता है,तो उस पर एक आवेगी बल कार्य करता है।
चूंकि द्रव्यमान में जड़त्व होता है,यह गति में अचानक परिवर्तन का विरोध करता है।
यह आवेगी तनाव सबसे पहले डोरी $C$ में उत्पन्न होता है,जो उसकी तोड़ने की क्षमता से अधिक हो जाता है।
चूंकि आवेग को द्रव्यमान से होकर डोरी $A$ तक पहुँचने में समय लगता है,इसलिए डोरी $A$ में तनाव बढ़ने से पहले ही डोरी $C$ टूट जाती है।

(B) संवेग में परिवर्तन $\Delta p$ अंतिम संवेग और प्रारंभिक संवेग का अंतर है।
प्रारंभिक संवेग $p_i = m \times v = 2 \,kg \times 100 \,ms^{-1} = 200 \,kg \cdot ms^{-1}$।
चूंकि पिंड विपरीत दिशा में उसी गति से वापस लौटता है,इसलिए अंतिम संवेग $p_f = m \times (-v) = 2 \,kg \times (-100 \,ms^{-1}) = -200 \,kg \cdot ms^{-1}$।
संवेग में परिवर्तन $\Delta p = p_f - p_i = -200 - 200 = -400 \,kg \cdot ms^{-1}$।
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta p| = 400 \,kg \cdot ms^{-1}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार दीवार पर लगाया गया बल $F = \frac{|\Delta p|}{\Delta t}$ है।
यहाँ $\Delta t = 1/50 \,s$ दिया गया है,इसलिए $F = \frac{400}{1/50} = 400 \times 50 = 20,000 \,N = 2 \times 10^{4} \,N$।

(C) स्टोक्स के नियम के अनुसार,$r$ त्रिज्या वाली और $v$ सीमांत वेग से गति करने वाली गोलाकार वस्तु पर कार्य करने वाला श्यान बल $F = 6 \pi \eta r v$ द्वारा दिया जाता है।
श्यान द्रव में गिरने वाली वस्तु के लिए,सीमांत वेग $v$ त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है,अर्थात $v \propto r^2$।
इसे बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $F \propto r \cdot r^2 = r^3$।
चूंकि गोले का आयतन $V$ उसकी त्रिज्या के घन के समानुपाती होता है $(V \propto r^3)$,इसलिए हमारे पास $F \propto V$ है।
अतः,यदि गेंद का आयतन दोगुना कर दिया जाए $(V' = 2V)$,तो उस पर कार्य करने वाला श्यान बल भी दोगुना हो जाएगा $(F' = 2F)$।

(D) गति का समीकरण $x=ut+\frac{1}{2}at^2$ निरंतर त्वरण के तहत एक वस्तु की गति का वर्णन करता है।
यह समीकरण वेग और त्वरण की परिभाषाओं से कलन (calculus) या ग्राफ़िकल विधियों का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।
यह एक शुद्धगतिक (kinematic) संबंध है और यह सीधे न्यूटन के गति के नियमों से प्राप्त नहीं होता है,जो बल,द्रव्यमान और त्वरण $(F=ma)$ के बीच संबंध बताते हैं।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(B) प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ को एक प्रेरक (inductor) द्वारा प्रत्यावर्ती धारा के प्रवाह में उत्पन्न बाधा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह सूत्र $X_L = \omega L = 2\pi f L$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह $AC$ परिपथ में धारा के प्रवाह के प्रति विरोध को दर्शाता है, इसलिए यह प्रतिरोध के समान है।
अतः, प्रेरणिक प्रतिघात का $SI$ मात्रक प्रतिरोध के मात्रक के समान ही होता है, जो कि ओम $(\Omega)$ है।

(B) अनुनाद की स्थिति में, प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ के बराबर होता है, अर्थात $X_L = X_C$।
इसलिए, $L-C-R$ परिपथ की कुल प्रतिबाधा $(Z)$ प्रतिरोध $(R)$ के बराबर होती है, अर्थात $Z = R$।
शक्ति गुणांक $(\cos \phi)$ को प्रतिरोध और प्रतिबाधा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\cos \phi = \frac{R}{Z}$।
$Z = R$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\cos \phi = \frac{R}{R} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः, अनुनाद पर $L-C-R$ परिपथ एक शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ की तरह व्यवहार करता है और शक्ति गुणांक $1$ होता है।

(A) $L-C-R$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति का सूत्र निम्नलिखित है:
$v_{0} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$
इसका अर्थ है कि $v_{0} \propto \frac{1}{\sqrt{L C}}$।
यदि प्रेरकत्व $L$ को दोगुना $(L' = 2L)$ और धारिता $C$ को दोगुना $(C' = 2C)$ कर दिया जाए,तो नई अनुनादी आवृत्ति $v_{0}'$ होगी:
$v_{0}' = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(2L)(2C)}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{4LC}} = \frac{1}{2 \pi \cdot 2 \sqrt{LC}}$
$v_{0}' = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \right) = \frac{1}{2} v_{0}$
अतः,अनुनादी आवृत्ति घटकर मूल मान की आधी रह जाएगी।

(A) एक $L-C$ परिपथ में,अनुनाद (resonance) तब होता है जब प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ के बराबर होता है।
$X_L = X_C$
$\omega L = \frac{1}{\omega C}$
$\omega^2 = \frac{1}{LC}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
चूंकि $\omega = 2 \pi f$ होता है,इसलिए अनुनादी आवृत्ति $f$ का मान है:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$

(B) लैंप की चमक परिपथ में बहने वाली धारा पर निर्भर करती है।
$RC$ श्रेणी परिपथ में,धारिता प्रतिघात $X_{C} = \frac{1}{\omega C}$ द्वारा दिया जाता है।
जब धारिता $C$ को कम किया जाता है,तो धारिता प्रतिघात $X_{C}$ बढ़ जाता है।
परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_{C}^2}$ होती है।
जैसे-जैसे $X_{C}$ बढ़ता है,परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ बढ़ जाती है।
$AC$ परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,धारा $I = \frac{V}{Z}$ होती है।
चूंकि $Z$ बढ़ता है,इसलिए लैंप से बहने वाली धारा $I$ कम हो जाती है।
अतः,लैंप कम चमक के साथ जलेगा।

(D) एक शुद्ध प्रेरक परिपथ में,वोल्टेज $V$ धारा $i$ से $\pi / 2$ रेडियन $(90^{\circ})$ के कला कोण से आगे होता है।
इसके विपरीत,इसका अर्थ है कि धारा $i$,वोल्टेज $V$ से $\pi / 2$ रेडियन पीछे रहती है।
इसे फेजर आरेख द्वारा दर्शाया गया है जहाँ $V$ धनात्मक x-अक्ष के अनुदिश है और $i$ ऋणात्मक y-अक्ष के अनुदिश है।

(A) प्रत्यावर्ती धारा को समीकरण $I = I_0 \sin(\omega t)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$T$ अवधि के एक पूर्ण चक्र पर औसत मान ज्ञात करने के लिए,हम $[0, T]$ अंतराल पर धारा का समाकलन करते हैं और कुल समय $T$ से विभाजित करते हैं।
$I_{avg} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_0 \sin(\omega t) dt$.
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,एक पूर्ण अवधि पर $\sin(\omega t)$ का समाकलन शून्य होता है क्योंकि साइन तरंग का धनात्मक क्षेत्र उसके ऋणात्मक क्षेत्र को रद्द कर देता है।
इसलिए,एक पूर्ण चक्र पर प्रत्यावर्ती धारा का औसत मान $0$ होता है।

(B) तात्कालिक धारा का समीकरण $I = I_{0} \sin (\omega t + \phi)$ है,जहाँ $I_{0}$ शिखर धारा (peak current) है।
दिए गए समीकरण $I = 5 \sin (\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,हमें शिखर धारा $I_{0} = 5 \text{ A}$ प्राप्त होती है।
प्रत्यावर्ती धारा का $rms$ मान,शिखर धारा से $I_{rms} = \frac{I_{0}}{\sqrt{2}}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
$I_{0}$ का मान रखने पर,हमें $I_{rms} = \frac{5}{\sqrt{2}} \text{ A}$ प्राप्त होता है।

(D) एक प्रत्यावर्ती राशि समय के साथ आवर्ती रूप से बदलती है। एक प्रत्यावर्ती राशि के धनात्मक और ऋणात्मक मानों के एक पूर्ण सेट को $cycle$ (चक्र) के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह राशि के उस पूर्ण परिवर्तन को दर्शाता है जो स्वयं को दोहराना शुरू करने से पहले होता है।

(B) प्रत्यावर्ती धारा $(AC)$ का रूट मीन स्क्वायर $(I_{\text{rms}})$ मान एक पूर्ण चक्र में तात्कालिक धारा के वर्गों के औसत के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$I = I_{0} \sin(\omega t)$ द्वारा दी गई ज्यावक्रीय (sinusoidal) प्रत्यावर्ती धारा के लिए,$I_{\text{rms}}$ मान की गणना इस प्रकार की जाती है:
$I_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I^{2} dt} = \frac{I_{0}}{\sqrt{2}}$
जहाँ $I_{0}$ धारा का शिखर मान (आयाम) है।

(C) $AC$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति का सूत्र $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ है, जहाँ $\cos \phi$ शक्ति गुणांक है।
एक शुद्ध प्रेरक परिपथ में, वोल्टेज और धारा के बीच कलान्तर $\phi = 90^{\circ}$ होता है।
चूंकि $\cos 90^{\circ} = 0$ होता है, इसलिए व्ययित शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0$ हो जाती है।
अतः, यदि प्रेरकत्व बहुत उच्च हो (शुद्ध प्रेरक के रूप में कार्य करे) और प्रतिरोध नगण्य हो, तो $AC$ परिपथ में व्ययित शक्ति शून्य होती है।

(D) प्रत्यावर्ती वोल्टेज (Alternating voltage) वह वोल्टेज है जो समय के साथ अपने परिमाण और दिशा को आवधिक रूप से बदलता है। प्रत्यावर्ती वोल्टेज के लिए मानक गणितीय व्यंजक $V(t) = V_m \sin(\omega t)$ है,जहाँ $V_m$ शिखर वोल्टेज है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है। चूँकि यह व्यंजक एक ज्या (sine) फलन का पालन करता है,इसलिए प्रत्यावर्ती वोल्टेज समय के साथ ज्यावक्रीय (sinusoidally) रूप से बदलता है।

(B) भारत में आपूर्ति की जाने वाली प्रत्यावर्ती धारा $(AC)$ मेन्स की मानक आवृत्ति $50 \text{ Hz}$ है।
आवृत्ति को प्रति सेकंड चक्रों की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है,जो $50 \text{ cycles/second}$ या $50 \text{ s}^{-1}$ के बराबर है।

(A) चोक कुंडली एक उच्च प्रेरकत्व और कम प्रतिरोध वाला प्रेरक (inductor) है। इसका उपयोग $AC$ परिपथों में ऊष्मा के रूप में महत्वपूर्ण शक्ति का क्षय किए बिना धारा को नियंत्रित करने के लिए किया जाता है। $DC$ परिपथों में,एक प्रेरक नगण्य प्रतिरोध वाले साधारण तार की तरह कार्य करता है,इसलिए इसका उपयोग धारा को प्रभावी ढंग से नियंत्रित करने के लिए नहीं किया जा सकता है। इसलिए,चोक कुंडली का उपयोग $AC$ परिपथों में प्रतिरोध (प्रतिबाधा) के रूप में किया जाता है।

(C) $AC$ परिपथों में,एक प्रतिरोधक कलांतर (phase difference) की परवाह किए बिना $I^2R$ हानि के कारण ऊष्मा के रूप में ऊर्जा का अपव्यय करता है।
हालाँकि,एक आदर्श चोक कुंडली नगण्य प्रतिरोध वाला एक प्रेरक (inductor) है।
एक आदर्श प्रेरक में,वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर $90^{\circ}$ होता है,जिससे शक्ति गुणांक (power factor) $\cos(90^{\circ}) = 0$ हो जाता है।
इसलिए,एक आदर्श चोक कुंडली द्वारा खपत की गई औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos(90^{\circ}) = 0$ होती है।
इस प्रकार,चोक कुंडली विद्युत ऊर्जा को ऊष्मा के रूप में बर्बाद किए बिना $AC$ परिपथ में धारा को नियंत्रित करती है।

(B) $AC$ मापक यंत्र,जैसे कि $AC$ एमीटर और वोल्टमीटर,हमेशा प्रत्यावर्ती धारा या वोल्टेज के $rms$ (रूट मीन स्क्वायर) मान को मापने के लिए डिज़ाइन किए जाते हैं। इसका कारण यह है कि धारा का ऊष्मीय प्रभाव,जो अधिकांश एनालॉग मापक यंत्रों का मूल सिद्धांत है,धारा के वर्ग के समानुपाती होता है। इसलिए,शक्ति की गणना के लिए $rms$ मान सबसे महत्वपूर्ण भौतिक राशि है।

(D) $AC$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ प्रतिरोध है और $Z$ प्रतिबाधा है।
जब शक्ति गुणांक इकाई होता है,तो $\cos \phi = 1$,जिसका अर्थ है $\phi = 0^\circ$।
चूँकि $\cos \phi = \frac{R}{Z} = 1$,हमें $R = Z$ प्राप्त होता है।
यह स्थिति $LCR$ परिपथ में अनुनाद (resonance) के समय होती है,जहाँ प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ और धारिता प्रतिघात $X_C$ एक-दूसरे के प्रभाव को समाप्त कर देते हैं $(X_L = X_C)$।
परिणामस्वरूप,परिपथ एक शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ के रूप में कार्य करता है।

(B) एक अनुनादी परिपथ का गुणवत्ता गुणक ($Q$-गुणक) अनुनादी आवृत्ति और परिपथ की बैंडविड्थ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$Q = \frac{\omega_{0} L}{R}$ होता है।
अनुनाद पर,कोणीय आवृत्ति $\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
$\omega_{0}$ का मान $Q$-गुणक के सूत्र में रखने पर:
$Q = \frac{1}{\sqrt{LC}} \cdot \frac{L}{R} = \frac{1}{R} \cdot \frac{\sqrt{L}}{\sqrt{C}} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$।

(D) अन्योन्य प्रेरण वह घटना है जिसमें एक कुंडली में धारा के परिवर्तन से पड़ोसी कुंडली में विद्युत वाहक बल $(EMF)$ प्रेरित होता है। एक ट्रांसफॉर्मर में दो कुंडलियाँ होती हैं,प्राथमिक और द्वितीयक,जो एक सामान्य कोर पर लिपटी होती हैं। जब प्राथमिक कुंडली से प्रत्यावर्ती धारा $(AC)$ प्रवाहित होती है,तो यह एक परिवर्तित चुंबकीय फ्लक्स बनाती है जो द्वितीयक कुंडली से जुड़ता है,जिससे उसमें $EMF$ प्रेरित होता है। इसलिए,ट्रांसफॉर्मर अन्योन्य प्रेरण के सिद्धांत पर कार्य करता है।

(B) ट्रांसफॉर्मर एक विद्युत उपकरण है जो अन्योन्य प्रेरण (mutual induction) के सिद्धांत पर कार्य करता है। इसका उपयोग प्रत्यावर्ती वोल्टेज और धारा के परिमाण को बदलने के लिए किया जाता है। विशेष रूप से,यह कम धारा पर उच्च प्रत्यावर्ती वोल्टेज को उच्च धारा पर कम प्रत्यावर्ती वोल्टेज में (स्टेप-डाउन) या इसके विपरीत (स्टेप-अप) परिवर्तित करता है,जबकि आवृत्ति स्थिर रहती है।

(B) ट्रांसफॉर्मर अन्योन्य प्रेरण (mutual induction) के सिद्धांत पर कार्य करता है।
अन्योन्य प्रेरण के लिए एक बदलते चुंबकीय फ्लक्स की आवश्यकता होती है,जो समय के साथ बदलने वाली धारा द्वारा उत्पन्न होता है।
चूंकि $AC$ (प्रत्यावर्ती धारा) अपना मान और दिशा समय-समय पर बदलती है,इसलिए यह प्राथमिक कुंडली में एक बदलता चुंबकीय फ्लक्स उत्पन्न करती है,जो द्वितीयक कुंडली में $EMF$ प्रेरित करता है।
$DC$ (दिष्ट धारा) स्थिर होती है और यह बदलता चुंबकीय फ्लक्स उत्पन्न नहीं करती है; इसलिए,ट्रांसफॉर्मर $DC$ पर कार्य नहीं कर सकता है।

(B) स्टेप-डाउन ट्रांसफार्मर एक ऐसा उपकरण है जिसका उपयोग प्रत्यावर्ती धारा (alternating current) के वोल्टेज को कम करने के लिए किया जाता है। ट्रांसफार्मर समीकरण के अनुसार,$\frac{V_s}{V_p} = \frac{N_s}{N_p}$,जहाँ $V_s$ और $V_p$ क्रमशः द्वितीयक और प्राथमिक कुंडली के वोल्टेज हैं,और $N_s$ और $N_p$ क्रमशः द्वितीयक और प्राथमिक कुंडली में फेरों की संख्या हैं। स्टेप-डाउन ट्रांसफार्मर के लिए,आउटपुट वोल्टेज $V_s$ इनपुट वोल्टेज $V_p$ से कम होता है। इसलिए,प्राथमिक कुंडली में फेरों की संख्या $(N_p)$ द्वितीयक कुंडली में फेरों की संख्या $(N_s)$ से अधिक होनी चाहिए।

(B) एक प्रेरक में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} L i^2$ है।
जब एक कुंडली को $E$ $EMF$ और $R$ प्रतिरोध वाली बैटरी से जोड़ा जाता है,तो स्थिर अवस्था में धारा $i = \frac{E}{R}$ होती है।
मान रखने पर: $E = 10 \ V$,$L = 4 \ H$,और $R = 5 \ \Omega$.
सबसे पहले,स्थिर धारा की गणना करें: $i = \frac{10 \ V}{5 \ \Omega} = 2 \ A$.
अब,संचित ऊर्जा की गणना करें: $U = \frac{1}{2} \times 4 \ H \times (2 \ A)^2$.
$U = 2 \times 4 \ J = 8 \ J$.

(C) एक प्रेरक (inductor) अपने माध्यम से बहने वाली विद्युत धारा द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र के रूप में ऊर्जा का संचय करता है।
प्रेरक में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} L I^{2}$ है,जहाँ $L$ प्रेरक का स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) है और $I$ इसमें बहने वाली विद्युत धारा है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) लेंज का नियम बताता है कि प्रेरित धारा की दिशा ऐसी होती है कि वह उस चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करती है जिसने इसे उत्पन्न किया है। यदि प्रेरित धारा परिवर्तन में सहायता करती,तो यह ऊर्जा संरक्षण के नियम का उल्लंघन होता,क्योंकि यह शून्य से ऊर्जा उत्पन्न करती। इसलिए,लेंज का नियम ऊर्जा संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है।

(A) विद्युतचुंबकीय प्रेरण का सिद्धांत,विशेष रूप से फैराडे का नियम,यह बताता है कि किसी कुंडली से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन होने पर उसमें एक विद्युत वाहक बल $(emf)$ प्रेरित होता है।
यह सिद्धांत इलेक्ट्रिक जनरेटर की कार्यप्रणाली का आधार है,जो चुंबकीय क्षेत्र के भीतर एक कुंडली को घुमाकर यांत्रिक ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित करता है।
हालांकि मोटर और गैल्वेनोमीटर में भी चुंबकीय क्षेत्र शामिल होते हैं,लेकिन उनका प्राथमिक कार्य सिद्धांत धारा का चुंबकीय प्रभाव (लोरेंत्ज़ बल) है,न कि विद्युतचुंबकीय प्रेरण।

(A) $DC$ मोटर में बैक emf $e$ को संबंध $e \propto \omega$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\omega$ मोटर आर्मेचर की कोणीय गति है।
चूँकि बैक emf कोणीय गति के सीधे आनुपातिक होता है,इसलिए यह तब अधिकतम मान तक पहुँचता है जब मोटर अपनी अधिकतम गति प्राप्त कर लेती है।

(D) स्व-प्रेरण के कारण कुंडली में प्रेरित emf $(e)$ का सूत्र है: $e = L \frac{di}{dt}$.
यहाँ, प्रेरित emf $e = 2 \,V$ और धारा के परिवर्तन की दर $\frac{di}{dt} = 4 \,A s^{-1}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$2 = L \times 4$
$L = \frac{2}{4} \,H$
$L = 0.5 \,H$.
अतः, कुंडली का स्व-प्रेरकत्व $0.5 \,H$ है।

(C) दो कुंडलियों के बीच अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ उनके स्व-प्रेरकत्व $L_{1}$ और $L_{2}$ से $M = k\sqrt{L_{1} L_{2}}$ सूत्र द्वारा संबंधित है,जहाँ $k$ युग्मन गुणांक (coefficient of coupling) है।
यह दिया गया है कि एक कुंडली का फ्लक्स दूसरी के साथ पूरी तरह से जुड़ा हुआ है,जिसका अर्थ है कि युग्मन पूर्ण है,यानी $k = 1$ है।
इसलिए,समीकरण सरल होकर $M = \sqrt{L_{1} L_{2}}$ हो जाता है।

(A) कुंडली में प्रेरित $emf$ $(e)$ का सूत्र है: $e = L \frac{di}{dt}$.
यहाँ,$L_1 = 8 \ mH$ और $L_2 = 2 \ mH$ है।
धारा के परिवर्तन की दर,$\frac{di}{dt}$,दोनों कुंडलियों के लिए समान है।
अतः,प्रेरित $emf$ का अनुपात होगा:
$\frac{e_1}{e_2} = \frac{L_1 (di/dt)}{L_2 (di/dt)} = \frac{L_1}{L_2}$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{e_1}{e_2} = \frac{8 \ mH}{2 \ mH} = \frac{4}{1}$.
इस प्रकार,अनुपात $4: 1$ है।

(B) विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम को तरंगदैर्ध्य के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है।
- $100 \text{ Å}$ से $400 \text{ Å}$ की तरंगदैर्ध्य सीमा पराबैंगनी $(UV)$ क्षेत्र के अंतर्गत आती है।
- एक्स-रे आमतौर पर $0.01 \text{ Å}$ से $100 \text{ Å}$ के बीच होते हैं।
- दृश्य क्षेत्र लगभग $4000 \text{ Å}$ से $7000 \text{ Å}$ के बीच होता है।
- इन्फ्रारेड क्षेत्र $7000 \text{ Å}$ से ऊपर शुरू होता है।
अतः,$100 \text{ Å}$ से $400 \text{ Å}$ की सीमा के लिए सही वर्गीकरण $UV$ क्षेत्र है।

(C) विद्युतचुंबकीय तरंगें वे तरंगें हैं जो विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र के बीच कंपन के परिणामस्वरूप उत्पन्न होती हैं। उन्हें यात्रा करने के लिए किसी माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है।
प्रकाश किरणें,$X$-किरणें और गामा किरणें सभी विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम का हिस्सा हैं।
अल्फा किरणें उच्च-ऊर्जा वाले हीलियम नाभिक ($He^{2+}$ कणों) से बनी होती हैं,जो द्रव्यमान वाले आवेशित कण होते हैं। इसलिए,अल्फा किरणें कण विकिरण हैं,विद्युतचुंबकीय तरंगें नहीं हैं।

(C) विद्युतचुंबकीय तरंगों के अस्तित्व की पुष्टि सबसे पहले $1887$ में जर्मन भौतिक विज्ञानी हेनरिक हर्ट्ज़ द्वारा प्रयोगात्मक रूप से की गई थी। उन्होंने विद्युतचुंबकीय तरंगों को उत्पन्न करने और उनका पता लगाने के लिए एक स्पार्क-गैप ट्रांसमीटर का उपयोग किया,जिससे मैक्सवेल के सैद्धांतिक पूर्वानुमानों की पुष्टि हुई।

(B) विद्युतचुंबकीय तरंगें मुक्त आकाश या निर्वात में प्रकाश के वेग से यात्रा करती हैं,जो लगभग $3 \times 10^{8} \ m/s$ है।

(A) प्रकाश की गति $(c)$, आवृत्ति $(\nu)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $c = \nu \lambda$।
दिया गया है:
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 10 \, m$।
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^{8} \, m/s$।
आवृत्ति के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\nu = \frac{c}{\lambda}$।
मान रखने पर: $\nu = \frac{3 \times 10^{8} \, m/s}{10 \, m} = 3 \times 10^{7} \, Hz$।

(C) विद्युतचुंबकीय सिद्धांत के अनुसार,प्रकाश एक विद्युतचुंबकीय तरंग है। यह समय और स्थान के साथ बदलने वाले विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों से बना है। ये विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र सदिश एक-दूसरे के परस्पर लंबवत होते हैं और तरंग के संचरण की दिशा के भी लंबवत होते हैं।