MHT CET 2012 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) माना $S \equiv x^{2}+y^{2}-2x-6y+6=0$ और $P(x_{1}, y_{1}) = (0,1)$.
$S_{1} = (0)^{2}+(1)^{2}-2(0)-6(1)+6 = 1$.
$T = x(0) + y(1) - (x+0) - 3(y+1) + 6 = -x - 2y + 3$.
स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_{1} = T^{2}$ है:
$(x^{2}+y^{2}-2x-6y+6)(1) = (-x-2y+3)^{2}$
$x^{2}+y^{2}-2x-6y+6 = x^{2}+4y^{2}+4xy-6x-12y+9$
$3y^{2}+4xy-4x-6y+3=0$.

(C) माना $S_{1} \equiv x^{2}+y^{2}+2ax+c=0$ और $S_{2} \equiv x^{2}+y^{2}+2by+c=0$ है।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_{1}-S_{2}=0$ है,जो $2ax-2by=0$ या $ax-by=0$ है।
अतः,$y = \frac{ax}{b}$ है।
$y = \frac{ax}{b}$ को $S_{1}=0$ में रखने पर,हमें $(a^{2}+b^{2})x^{2} + 2ab^{2}x + cb^{2} = 0$ प्राप्त होता है।
माना मूल $x_{1}, x_{2}$ हैं। तो $x_{1}+x_{2} = -\frac{2ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}$ और $x_{1}x_{2} = \frac{cb^{2}}{a^{2}+b^{2}}$ है।
इसी प्रकार,$x = \frac{by}{a}$ को $S_{2}=0$ में रखने पर,$(a^{2}+b^{2})y^{2} + 2ba^{2}y + ca^{2} = 0$ प्राप्त होता है।
माना मूल $y_{1}, y_{2}$ हैं। तो $y_{1}+y_{2} = -\frac{2ba^{2}}{a^{2}+b^{2}}$ और $y_{1}y_{2} = \frac{ca^{2}}{a^{2}+b^{2}}$ है।
व्यास के रूप में उभयनिष्ठ जीवा वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_{1})(x-x_{2}) + (y-y_{1})(y-y_{2}) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर $x^{2} - (x_{1}+x_{2})x + x_{1}x_{2} + y^{2} - (y_{1}+y_{2})y + y_{1}y_{2} = 0$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $x^{2} + y^{2} + \frac{2ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}x + \frac{2a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}y + \frac{c(b^{2}+a^{2})}{a^{2}+b^{2}} = 0$ है।
अतः,समीकरण $x^{2}+y^{2}+\frac{2ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}x+\frac{2a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}y+c=0$ है।

(C) माना $z = 2^{-i}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\log z = \log (2^{-i})$
$\Rightarrow \log z = -i \log 2$
चूंकि $z = e^{\log z}$,हमारे पास है:
$z = e^{-i \log 2} = e^{i \log(1/2)}$
यूलर के सूत्र $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = \log(1/2)$:
$z = \cos(\log(1/2)) + i \sin(\log(1/2))$
$z$ का वास्तविक भाग $\cos(\log(1/2))$ है।

(C) माना कि $f(x) = |\cos x|$ है।
हम जानते हैं कि फलन $\cos x$ का आवर्तकाल $2\pi$ होता है।
हालाँकि,जब हम मापांक (absolute value) लेते हैं,तो ग्राफ के ऋणात्मक भाग $x$-अक्ष के ऊपर परावर्तित हो जाते हैं।
विशेष रूप से,$|\cos(x + \pi)| = |-\cos x| = |\cos x|$ है।
चूंकि $f(x + \pi) = f(x)$ है,इसलिए फलन $f(x) = |\cos x|$ का मूल आवर्तकाल $\pi$ है।
जैसा कि ग्राफ में दिखाया गया है,फलन का पैटर्न हर $\pi$ इकाइयों के बाद दोहराया जाता है।

(D) $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(\sec x-\tan x)$
$\Rightarrow \lim _{x}$ ${\rightarrow \frac{\pi}{2}} \left(\frac{1-\sin x}{\cos x}\right)$ (जो $\frac{0}{0}$ रूप है)
$L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करने पर:
$\Rightarrow \lim _{x}$ ${\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{d}{dx}(1-\sin x)}{\frac{d}{dx}(\cos x)}$
$\Rightarrow \lim _{x}$ ${\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{-\cos x}{-\sin x}$
$\Rightarrow \lim _{x}$ ${\rightarrow \frac{\pi}{2}} \cot x$
$x = \frac{\pi}{2}$ रखने पर:
$\Rightarrow \cot \frac{\pi}{2} = 0$

(C) दिया गया सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{3^{x}-1}{x} \right)$ है,जो $\left( \frac{0}{0} \right)$ अनिर्धार्य रूप में है।
$L'\text{Hospital}$ नियम का उपयोग करके अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(3^{x}-1)}{\frac{d}{dx}(x)}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3^{x} \log 3}{1}$
$= 3^{0} \log 3 = 1 \cdot \log 3 = \log 3$.

(A) दिए गए परवलय का समीकरण: $4x^{2}-4x-2y+3=0$
$4(x^{2}-x) = 2y-3$
$4(x-\frac{1}{2})^{2} = 2y-2$
$(x-\frac{1}{2})^{2} = 2(y-1)$
इसे मानक रूप $X^{2} = 4aY$ से तुलना करने पर,जहाँ $X = x-\frac{1}{2}$ और $Y = y-1$:
$4a = 2 \implies a = \frac{1}{2}$
नियता का समीकरण $Y = -a$ होता है
$y-1 = -\frac{1}{2}$
$y = \frac{1}{2} \implies 2y = 1$.

(D) माना नाभि-जीवा $PQ$ है जो नाभि $S(a, 0)$ से गुजरती है। $P$ के निर्देशांक $(at_{1}^{2}, 2at_{1})$ और $Q$ के निर्देशांक $(at_{2}^{2}, 2at_{2})$ हैं।
चूंकि यह एक नाभि-जीवा है,$t_{1}t_{2} = -1$ होगा।
परवलय पर किसी बिंदु $P(x, y)$ की नाभीय दूरी $SP = a + x = a + at_{1}^{2} = a(1 + t_{1}^{2})$ होती है।
दिया गया है कि नाभि-जीवा के अंतःखंड $b$ और $k$ हैं,अतः $b = a(1 + t_{1}^{2})$ और $k = a(1 + t_{2}^{2})$ है।
चूंकि $t_{2} = -1/t_{1}$,इसलिए $k = a(1 + 1/t_{1}^{2}) = a(\frac{t_{1}^{2} + 1}{t_{1}^{2}})$।
$b = a(1 + t_{1}^{2})$ से,$t_{1}^{2} = \frac{b-a}{a}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $k$ के सूत्र में रखने पर:
$k = a(1 + \frac{a}{b-a}) = a(\frac{b-a+a}{b-a}) = \frac{ab}{b-a}$।

(C) परवलय का समीकरण $y^{2} = 4ax$ है।
माना रेखा $lx + my + n = 0$ परवलय की स्पर्श रेखा है।
रेखा के समीकरण को $y = -\frac{l}{m}x - \frac{n}{m}$ के रूप में लिखने पर,जो $y = Mx + C$ के रूप में है,जहाँ ढाल $M = -\frac{l}{m}$ और अंतःखंड $C = -\frac{n}{m}$ है।
रेखा $y = Mx + C$ के परवलय $y^{2} = 4ax$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $C = \frac{a}{M}$ है।
$M$ और $C$ के मान रखने पर:
$-\frac{n}{m} = \frac{a}{-l/m} = -\frac{am}{l}$।
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{n}{m} = \frac{am}{l}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर $nl = am^{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया परवलय समीकरण $y^{2} = 8x$ है।
$y^{2} = 4ax$ से तुलना करने पर,$a = 2$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^{2} = 4ax$ के बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर अभिलंब की प्रवणता $m = -\frac{y_{1}}{2a}$ होती है।
दिया गया अभिलंब समीकरण $2x + y + \lambda = 0$ है,जिसे $y = -2x - \lambda$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $y = mx + c$ से तुलना करने पर,प्रवणता $m = -2$ प्राप्त होती है।
प्रवणताओं की तुलना करने पर: $-2 = -\frac{y_{1}}{2(2)}$ $\Rightarrow -2 = -\frac{y_{1}}{4}$ $\Rightarrow y_{1} = 8$.
चूंकि बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ परवलय $y^{2} = 8x$ पर स्थित है,इसलिए $8^{2} = 8x_{1}$ $\Rightarrow 64 = 8x_{1}$ $\Rightarrow x_{1} = 8$.
चूंकि बिंदु $(8, 8)$ रेखा $2x + y + \lambda = 0$ पर स्थित है,मान रखने पर:
$2(8) + 8 + \lambda = 0$
$16 + 8 + \lambda = 0$
$24 + \lambda = 0$
$\lambda = -24$.

(A) परवलय $y^{2} = 4ax$ के लिए बिंदु $P(x_{1}, y_{1})$ की ध्रुवीय रेखा का समीकरण $yy_{1} = 2a(x + x_{1})$ होता है।
इसे $2ax - yy_{1} + 2ax_{1} = 0 \dots(i)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दी गई रेखा $lx + my + n = 0 \dots(ii)$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{2a}{l} = \frac{-y_{1}}{m} = \frac{2ax_{1}}{n}$.
पहले और तीसरे अनुपात से: $x_{1} = \frac{n}{l}$.
पहले और दूसरे अनुपात से: $y_{1} = \frac{-2am}{l}$.
अतः,ध्रुव $\left(\frac{n}{l}, \frac{-2am}{l}\right)$ है।

(B) $20$ में से $3$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके ${}^{20}C_{3}$ हैं।
${}^{20}C_{3} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$.
$3$ क्रमागत संख्याओं के सेट $(1, 2, 3), (2, 3, 4), \dots, (18, 19, 20)$ हैं।
ऐसे सेटों की संख्या $18$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{18}{1140} = \frac{3}{190}$ है।

(C) '$CEASE$' शब्द में $5$ अक्षर हैं: $C, E, A, S, E$। यहाँ $E$ की संख्या $2$ है।
'$CEASE$' के अक्षरों के कुल विन्यास $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ हैं।
दोनों $E$ के एक साथ होने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए,हम दोनों $E$ को एक इकाई $(EE)$ के रूप में मानते हैं।
अब हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $4$ इकाइयाँ हैं: $(EE), C, A, S$।
इन $4$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीके $4! = 24$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{24}{60} = \frac{2}{5}$ है।

(A) द्वारा समस्या हल करने के विरुद्ध प्रतिकूल संयोगानुपात $3:2$ है,इसलिए $A$ के हल करने की प्रायिकता $P(A) = \frac{2}{3+2} = \frac{2}{5}$ है। $A$ के विफल होने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ है।
$B$ द्वारा समस्या हल करने के विरुद्ध प्रतिकूल संयोगानुपात $2:1$ है,इसलिए $B$ के हल करने की प्रायिकता $P(B) = \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$ है। $B$ के विफल होने की प्रायिकता $P(\bar{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
समस्या तब हल होती है यदि कम से कम एक व्यक्ति इसे हल कर ले। यह उस घटना की पूरक घटना है जिसमें दोनों विफल हो जाते हैं।
$P(\text{solved}) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B})$
$P(\text{solved}) = 1 - (\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3}) = 1 - \frac{6}{15} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.

(B) कुल पत्तों की संख्या $= 52$.
इक्कों की संख्या $= 4$.
काले राजाओं की संख्या (हुकुम का राजा और चिड़ी का राजा) $= 2$.
पान की रानी की संख्या $= 1$.
चूंकि ये घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $= 4 + 2 + 1 = 7$.
$\therefore$ अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{7}{52}$.

(C) माना तीसरा शीर्ष $C(x_1, y_1)$ रेखा $x + y = 5$ पर स्थित है,इसलिए $y_1 = 5 - x_1$ है।
अतः,$C$ के निर्देशांक $(x_1, 5 - x_1)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $4$ दिया गया है,अतः क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)| = 4$
$\frac{1}{2} |2(2 - (5 - x_1)) + 3((5 - x_1) - (-1)) + x_1(-1 - 2)| = 4$
$|2(x_1 - 3) + 3(6 - x_1) - 3x_1| = 8$
$|12 - 4x_1| = 8$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $12 - 4x_1 = 8 \implies x_1 = 1$। तब $y_1 = 4$। अतः $C(1, 4)$ है।
स्थिति $2$: $12 - 4x_1 = -8 \implies x_1 = 5$। तब $y_1 = 0$। अतः $C(5, 0)$ है।
अतः,तीसरा शीर्ष $(5, 0)$ या $(1, 4)$ है।

(A) दिया गया है,$2a + b + 3c = 0$ ... $(i)$
और रेखा का समीकरण $ax + by + c = 0$ है।
$c$ को विलुप्त करने के लिए,रेखा के समीकरण को $3$ से गुणा करें:
$3ax + 3by + 3c = 0$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(3ax + 3by + 3c) - (2a + b + 3c) = 0$
$(3x - 2)a + (3y - 1)b = 0$
चूँकि यह सभी $a$ और $b$ के लिए सत्य है,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$
$3y - 1 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{3}$
अतः,रेखा निश्चित बिंदु $\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$ से होकर गुजरती है।

(C) दिया गया वक्र समीकरण: $y=c \cosh \left(\frac{x}{c}\right)$ ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = c \cdot \frac{1}{c} \cdot \sinh \left(\frac{x}{c}\right) = \sinh \left(\frac{x}{c}\right)$
अभिलंब की लंबाई का सूत्र है:
$L = |y| \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}$
मान रखने पर:
$L = y \sqrt{1 + \sinh^{2} \left(\frac{x}{c}\right)}$
सर्वसमिका $\cosh^{2} \theta - \sinh^{2} \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,$1 + \sinh^{2} \theta = \cosh^{2} \theta$:
$L = y \sqrt{\cosh^{2} \left(\frac{x}{c}\right)}$
$L = y \cosh \left(\frac{x}{c}\right)$
समीकरण $(i)$ से,हम जानते हैं कि $\cosh \left(\frac{x}{c}\right) = \frac{y}{c}$:
$L = y \cdot \left(\frac{y}{c}\right) = \frac{y^{2}}{c}$
अतः,अभिलंब की लंबाई $\frac{y^{2}}{c}$ है।

(B) दिए गए वक्र का समीकरण: $y^{2}=4a|x+a \sin(x/a)|$.
स्पर्शरेखा के $x$-अक्ष के समानांतर होने के लिए,अवकलज $\frac{dy}{dx} = 0$ होना चाहिए।
स्थिति $y^2 = 4a(x + a \sin(x/a))$ पर विचार करते हुए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a(1 + \cos(x/a))$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $1 + \cos(x/a) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos(x/a) = -1$.
यह स्थिति दर्शाती है कि $\sin(x/a) = 0$.
$\sin(x/a) = 0$ का मान मूल समीकरण में रखने पर,हमें $y^2 = 4a(x + 0) = 4ax$ प्राप्त होता है।
अतः,ऐसे सभी बिंदु परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्थित हैं।

(C) माना बेलन की त्रिज्या $r$ है और इसकी ऊँचाई $h$ है। गोले की त्रिज्या $a$ है (क्योंकि व्यास $2a$ है)।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,गोले की त्रिज्या,बेलन की त्रिज्या और बेलन की आधी ऊँचाई से बनने वाले समकोण त्रिभुज में:
$r^2 + (h/2)^2 = a^2$
$r^2 = a^2 - \frac{h^2}{4}$
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ है।
आयतन के सूत्र में $r^2$ का मान रखने पर:
$V = \pi (a^2 - \frac{h^2}{4}) h = \pi (a^2 h - \frac{h^3}{4})$
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,$V$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dh} = \pi (a^2 - \frac{3h^2}{4})$
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{dV}{dh} = 0$ रखने पर:
$a^2 - \frac{3h^2}{4} = 0$
$3h^2 = 4a^2$
$h^2 = \frac{4a^2}{3}$
$h = \frac{2a}{\sqrt{3}}$
यह सत्यापित करने के लिए कि यह अधिकतम है,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं:
$\frac{d^2V}{dh^2} = \pi (0 - \frac{6h}{4}) = -\frac{3\pi h}{2} < 0$ (जहाँ $h > 0$).
अतः,$h = \frac{2a}{\sqrt{3}}$ पर आयतन अधिकतम है।

(D) माना $10$ के दो भाग $x$ और $y$ हैं।
$\therefore x + y = 10 \implies y = 10 - x$ ... $(i)$
माना $A$ पहले भाग का दोगुना और दूसरे भाग के वर्ग का योग है:
$A = 2x + y^2$
$y = 10 - x$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$A = 2x + (10 - x)^2$
$A = 2x + 100 - 20x + x^2$
$A = x^2 - 18x + 100$
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$A$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dx} = 2x - 18$
क्रांतिक बिंदु के लिए $\frac{dA}{dx} = 0$ रखने पर:
$2x - 18 = 0 \implies x = 9$
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर:
$\frac{d^2A}{dx^2} = 2$। चूँकि $2 > 0$ है,इसलिए फलन $x = 9$ पर न्यूनतम है।
$x = 9$ को $(i)$ में रखने पर:
$y = 10 - 9 = 1$।
अतः,भाग $(9, 1)$ हैं।

(B) दिए गए वक्र $y^{2}=8x$ $(i)$ और $y=x$ (ii) हैं।
समीकरणों $(i)$ और (ii) को हल करने पर,हम $y=x$ को $y^{2}=8x$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$x^{2}=8x \Rightarrow x^{2}-8x=0 \Rightarrow x(x-8)=0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=0$ और $x=8$ हैं।
$x=0$ के लिए $y=0$ और $x=8$ के लिए $y=8$ प्राप्त होता है।
आवश्यक क्षेत्रफल $x=0$ से $x=8$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त किया जा सकता है:
$\text{Area} = \int_{0}^{8} (\sqrt{8x} - x) dx$
$= \int_{0}^{8} (2\sqrt{2}x^{1/2} - x) dx$
$= \left[ 2\sqrt{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{8}$
$= \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} x^{3/2} - \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{8}$
$= \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} (8)^{3/2} - \frac{8^{2}}{2} \right) - (0 - 0)$
$= \frac{4\sqrt{2}}{3} (16\sqrt{2}) - \frac{64}{2}$
$= \frac{4 \times 16 \times 2}{3} - 32$
$= \frac{128}{3} - 32 = \frac{128 - 96}{3} = \frac{32}{3}$.
अतः,क्षेत्रफल $\frac{32}{3}$ वर्ग इकाई है।

(C) दिए गए वक्र $x^2+y^2=8$ $(i)$ और $y^2=2x$ $(ii)$ हैं।
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$x^2+2x-8=0$ प्राप्त होता है।
$(x+4)(x-2)=0$,जिससे $x=2$ प्राप्त होता है (क्योंकि $y^2=2x$ के लिए $x \ge 0$)।
$x=2$ के लिए,$y^2=4$,अतः $y=\pm 2$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 2)$ और $(2, -2)$ हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,अतः क्षेत्रफल $= 2 \times [\text{वक्र } y^2=2x \text{ \text{द्वारा }} x=0 \text{ \text{से }} 2 \text{ \text{तक का क्षेत्र}} + \text{वक्र } x^2+y^2=8 \text{ \text{द्वारा }} x=2 \text{ \text{से }} 2\sqrt{2} \text{ \text{तक का क्षेत्र}}]$।
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \int_0^2 \sqrt{2x} \, dx + \int_2^{2\sqrt{2}} \sqrt{8-x^2} \, dx \right]$.
$= 2 \left[ \sqrt{2} \left( \frac{x^{3/2}}{3/2} \right)_0^2 + \left( \frac{x}{2} \sqrt{8-x^2} + \frac{8}{2} \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{8}} \right)_2^{2\sqrt{2}} \right]$.
$= 2 \left[ \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} + \left( (0 + 4 \sin^{-1}(1)) - (1 \cdot \sqrt{4} + 4 \sin^{-1}(1/\sqrt{2})) \right) \right]$.
$= 2 \left[ \frac{8}{3} + 4(\pi/2) - 2 - 4(\pi/4) \right] = 2 \left[ \frac{8}{3} + 2\pi - 2 - \pi \right] = 2 \left[ \frac{2}{3} + \pi \right] = 2\pi + \frac{4}{3}$.

(C) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} x \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$
$x = 0$ पर सांतत्य के लिए:
$LHL = f(0-0) = \lim_{h \to 0} f(0-h) = \lim_{h \to 0} (-h) \sin \left(-\frac{1}{h}\right) = \lim_{h \to 0} h \sin \left(\frac{1}{h}\right) = 0 \times (\text{परिमित राशि}) = 0$.
$RHL = f(0+0) = \lim_{h \to 0} f(0+h) = \lim_{h \to 0} h \sin \left(\frac{1}{h}\right) = 0 \times (\text{परिमित राशि}) = 0$.
चूंकि $f(0) = LHL = RHL = 0$,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है।
$x = 0$ पर अवकलनीयता के लिए:
$Rf'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \sin(1/h)$.
जैसे $h \to 0$,$\sin(1/h)$ का मान $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।
इसी प्रकार,$Lf'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h \sin(-1/h) - 0}{-h} = \lim_{h \to 0} \sin(1/h)$,जिसका भी अस्तित्व नहीं है।
चूंकि अवकलज का अस्तित्व नहीं है,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

(D) दिया गया है कि $f(x)$ $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$.
$f(0) = k$.
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\log (1 + 2ax) - \log (1 - bx)}{x}$.
यह $\frac{0}{0}$ रूप है,इसलिए हम $L$'Hospital नियम का उपयोग करते हैं:
$k = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\log (1 + 2ax) - \log (1 - bx))}{\frac{d}{dx}(x)}$.
$k = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2a}{1 + 2ax} - \frac{-b}{1 - bx}}{1}$.
$k = \frac{2a}{1 + 0} + \frac{b}{1 - 0} = 2a + b$.

(D) माना $I = \int_{0}^{1} x^{2}(1-x^{2})^{3/2} dx$.
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \cos \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$ तब $\theta = 0$,और जब $x = 1$ तब $\theta = \frac{\pi}{2}$.
$I = \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2} \theta (\cos^{2} \theta)^{3/2} \cos \theta d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2} \theta \cos^{4} \theta d\theta$.
वालिस सूत्र या बीटा फलन $\int_{0}^{\pi/2} \sin^{m} \theta \cos^{n} \theta d\theta = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$ का उपयोग करने पर।
यहाँ $m=2, n=4$ है,अतः $I = \frac{\Gamma(3/2) \Gamma(5/2)}{2 \Gamma(4)} = \frac{(\frac{1}{2} \sqrt{\pi}) (\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi})}{2 \cdot 6} = \frac{\frac{3}{8} \pi}{12} = \frac{3\pi}{96} = \frac{\pi}{32}$.

(B) माना $I = \int_{3}^{4} \sqrt{(4-x)(x-3)} d x$.
हम समाकल्य को $\sqrt{-x^2 + 7x - 12}$ के रूप में लिख सकते हैं।
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $-x^2 + 7x - 12 = -\left(x^2 - 7x + \frac{49}{4} - \frac{49}{4}\right) - 12 = -\left(x - \frac{7}{2}\right)^2 + \frac{49}{4} - 12 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(x - \frac{7}{2}\right)^2$.
अतः,$I = \int_{3}^{4} \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(x - \frac{7}{2}\right)^2} d x$.
माना $t = x - \frac{7}{2}$,तब $dt = dx$. जब $x=3, t=-\frac{1}{2}$ और जब $x=4, t=\frac{1}{2}$.
$I = \int_{-1/2}^{1/2} \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - t^2} dt$.
चूंकि समाकल्य एक सम फलन है,$I = 2 \int_{0}^{1/2} \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - t^2} dt$.
सूत्र $\int \sqrt{a^2 - t^2} dt = \frac{t}{2}\sqrt{a^2 - t^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{t}{a}\right)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \frac{1}{2}$:
$I = 2 \left[ \frac{t}{2}\sqrt{\frac{1}{4} - t^2} + \frac{1}{8}\sin^{-1}(2t) \right]_{0}^{1/2}$.
$I = 2 \left[ (0 + \frac{1}{8}\sin^{-1}(1)) - (0 + 0) \right] = 2 \times \frac{1}{8} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8}$.

(B) माना $I = \int_{0}^{\pi} \log (1+\cos x) d x \dots (i)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi} \log (1+\cos(\pi-x)) d x = \int_{0}^{\pi} \log (1-\cos x) d x \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\pi} [\log(1+\cos x) + \log(1-\cos x)] d x$
$2I = \int_{0}^{\pi} \log(1-\cos^2 x) d x = \int_{0}^{\pi} \log(\sin^2 x) d x$
$2I = 2 \int_{0}^{\pi} \log(\sin x) d x$
$I = \int_{0}^{\pi} \log(\sin x) d x$
गुणधर्म $\int_{0}^{2a} f(x) d x = 2 \int_{0}^{a} f(x) d x$ का उपयोग करने पर यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो:
$I = 2 \int_{0}^{\pi/2} \log(\sin x) d x$
चूंकि $\int_{0}^{\pi/2} \log(\sin x) d x = -\frac{\pi}{2} \log 2$:
$I = 2 \times (-\frac{\pi}{2} \log 2) = -\pi \log 2 = \pi \log(\frac{1}{2})$

(D) दिया गया समीकरण: $x^{p} + y^{q} = (x + y)^{p + q}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर: $p \ln x + q \ln y = (p + q) \ln (x + y)$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{p}{x} + \frac{q}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{p + q}{x + y} \left( 1 + \frac{dy}{dx} \right)$.
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{p}{x} - \frac{p + q}{x + y} = \left( \frac{p + q}{x + y} - \frac{q}{y} \right) \frac{dy}{dx}$.
दोनों पक्षों को सरल करने पर:
$\frac{p(x + y) - x(p + q)}{x(x + y)} = \left( \frac{y(p + q) - q(x + y)}{y(x + y)} \right) \frac{dy}{dx}$.
$\frac{px + py - px - qx}{x(x + y)} = \left( \frac{py + qy - qx - qy}{y(x + y)} \right) \frac{dy}{dx}$.
$\frac{py - qx}{x(x + y)} = \frac{py - qx}{y(x + y)} \cdot \frac{dy}{dx}$.
दोनों पक्षों से सामान्य पद $(py - qx)$ और $(x + y)$ को हटाने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

(A) दिया गया है,$\tan x = \frac{2t}{1-t^2}$ और $\sin y = \frac{2t}{1+t^2}$.
हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ जानते हैं: $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$ और $\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}$.
माना $t = \tan\theta$,तब:
$x = \tan^{-1}\left(\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\right) = \tan^{-1}(\tan 2\theta) = 2\theta = 2\tan^{-1}t$.
$y = \sin^{-1}\left(\frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}\right) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2\tan^{-1}t$.
अतः,$x = 2\tan^{-1}t$ और $y = 2\tan^{-1}t$.
इसका अर्थ है कि $x = y$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = 1$.

(D) दिया गया है,$f(x)=|x-3|$.
हम इस फलन को इस प्रकार पुनः परिभाषित कर सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} 3-x, & x < 3 \\ 0, & x=3 \\ x-3, & x > 3 \end{cases}$
$x=3$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष का अवकलज $(LHD)$ और दाएँ पक्ष का अवकलज $(RHD)$ ज्ञात करते हैं:
$LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{|3+h-3|-0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|3+h-3|-0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$.
चूँकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $f^{\prime}(3)$ का अस्तित्व नहीं है।

(B) दिया गया है,$f: R \rightarrow R$ जहाँ $f(x) = x|x|$ है।
हम फलन को इस प्रकार पुनः परिभाषित कर सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} -x^2, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ x^2, & x > 0 \end{cases}$
$1$. एक-एक (one-one) की जाँच: चूँकि $f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है (क्योंकि $f'(x) = 2|x| \ge 0$ सभी $x \in R$ के लिए और $x \neq 0$ के लिए $f'(x) > 0$),इसलिए यह एक-एक फलन है।
$2$. आच्छादक (onto) की जाँच: जैसे $x \rightarrow \infty$,$f(x) \rightarrow \infty$ और जैसे $x \rightarrow -\infty$,$f(x) \rightarrow -\infty$। चूँकि फलन का परिसर $(-\infty, \infty)$ है,जो कि सह-प्रांत $R$ के बराबर है,इसलिए फलन आच्छादक है।
अतः,फलन एक-एक और आच्छादक (bijective) है।

(D) दिया गया है $f(x)=\frac{2^{x}+2^{-x}}{2}$.
अब,$f(x+y)=\frac{2^{x+y}+2^{-(x+y)}}{2}$ और $f(x-y)=\frac{2^{x-y}+2^{-(x-y)}}{2}$.
अतः,$f(x+y) \cdot f(x-y) = \frac{2^{x+y}+2^{-x-y}}{2} \cdot \frac{2^{x-y}+2^{-x+y}}{2}$.
$= \frac{1}{4} [2^{x+y} \cdot 2^{x-y} + 2^{x+y} \cdot 2^{-x+y} + 2^{-x-y} \cdot 2^{x-y} + 2^{-x-y} \cdot 2^{-x+y}]$.
$= \frac{1}{4} [2^{2x} + 2^{2y} + 2^{-2y} + 2^{-2x}]$.
$= \frac{1}{4} [(2^{2x} + 2^{-2x}) + (2^{2y} + 2^{-2y})]$.
$= \frac{1}{2} [\frac{2^{2x} + 2^{-2x}}{2} + \frac{2^{2y} + 2^{-2y}}{2}]$.
$= \frac{1}{2} [f(2x) + f(2y)]$.

(A) माना $I = \int \frac{x^{2}+1}{x^{4}+x^{2}+1} dx$ है।
अंश और हर को $x^{2}$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{1 + 1/x^{2}}{x^{2} + 1 + 1/x^{2}} dx$.
हर को $(x - 1/x)^{2} + 3$ के रूप में लिखने पर:
$I = \int \frac{1 + 1/x^{2}}{(x - 1/x)^{2} + (\sqrt{3})^{2}} dx$.
माना $t = x - 1/x$,तो $dt = (1 + 1/x^{2}) dx$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt}{t^{2} + (\sqrt{3})^{2}}$.
मानक सूत्र $\int \frac{dx}{x^{2} + a^{2}} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(x/a) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right) + C$.
$t = x - 1/x$ का मान वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left\{\frac{x - 1/x}{\sqrt{3}}\right\} + C$.

(B) माना $I = \int \sqrt{1+\sec x} \, dx$.
हम जानते हैं कि $1+\sec x = 1 + \frac{1}{\cos x} = \frac{\cos x + 1}{\cos x} = \frac{2 \cos^2 \frac{x}{2}}{\cos x}$.
अतः,$I = \int \frac{\sqrt{2} \cos \frac{x}{2}}{\sqrt{\cos x}} \, dx$.
$\cos x = 1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int \frac{\sqrt{2} \cos \frac{x}{2}}{\sqrt{1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2}}} \, dx$.
माना $t = \sqrt{2} \sin \frac{x}{2}$. तब $dt = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} \, dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \frac{x}{2} \, dx$.
इसका अर्थ है कि $\sqrt{2} \cos \frac{x}{2} \, dx = 2 \, dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $I = \int \frac{2 \, dt}{\sqrt{1 - t^2}} = 2 \sin^{-1}(t) + C$.
$t = \sqrt{2} \sin \frac{x}{2}$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = 2 \sin^{-1}(\sqrt{2} \sin \frac{x}{2}) + C$.

(B) माना $I = \int \frac{\sin 2x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx$.
हम जानते हैं कि $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$.
$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$2\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = \frac{1}{2}\sin^2 2x$.
अतः,$I = \int \frac{\sin 2x}{1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x} dx = \int \frac{2\sin 2x}{2 - \sin^2 2x} dx$.
$\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x$ का उपयोग करने पर,$I = \int \frac{2\sin 2x}{2 - (1 - \cos^2 2x)} dx = \int \frac{2\sin 2x}{1 + \cos^2 2x} dx$.
माना $t = \cos 2x$,तो $dt = -2\sin 2x dx$,इसलिए $2\sin 2x dx = -dt$.
$I = \int \frac{-dt}{1 + t^2} = -\tan^{-1}(t) + C$.
$t = \cos 2x$ वापस रखने पर,हमें $I = -\tan^{-1}(\cos 2x) + C$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{dx}{3 \sin x - \cos x + 3}$.
$\tan \frac{x}{2} = t$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$,और $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{1}{3(\frac{2t}{1+t^2}) - (\frac{1-t^2}{1+t^2}) + 3} \cdot \frac{2 dt}{1+t^2}$
$I = \int \frac{2 dt}{6t - 1 + t^2 + 3 + 3t^2} = \int \frac{2 dt}{4t^2 + 6t + 2} = \int \frac{dt}{2t^2 + 3t + 1}$.
हर का गुणनखंड करने पर: $2t^2 + 3t + 1 = (2t+1)(t+1)$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(2t+1)(t+1)} = \frac{2}{2t+1} - \frac{1}{t+1}$.
$I = \int (\frac{2}{2t+1} - \frac{1}{t+1}) dt = \log|2t+1| - \log|t+1| + C = \log \left| \frac{2t+1}{t+1} \right| + C$.
$t = \tan \frac{x}{2}$ रखने पर,$I = \log \left( \frac{2 \tan \frac{x}{2} + 1}{\tan \frac{x}{2} + 1} \right) + C$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{dx}{x(x^{n}+1)}$.
अंश और हर को $x^{n-1}$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{x^{n-1} dx}{x^{n}(x^{n}+1)}$.
माना $t = x^{n}$,तब $dt = nx^{n-1} dx$,जिसका अर्थ है $x^{n-1} dx = \frac{dt}{n}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt/n}{t(t+1)} = \frac{1}{n} \int \frac{dt}{t(t+1)}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{t(t+1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}$.
$I = \frac{1}{n} \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} \right) dt$.
$I = \frac{1}{n} (\log |t| - \log |t+1|) + C$.
$I = \frac{1}{n} \log \left| \frac{t}{t+1} \right| + C$.
$t = x^{n}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{n} \log \left( \frac{x^{n}}{x^{n}+1} \right) + C$.

(D) माना $I = \int e^{x} \left[ \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right] dx$.
सर्वसमिकाओं $1+\cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2}$ और $\sin x = 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int e^{x} \left[ \frac{1 + 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2\cos^2 \frac{x}{2}} \right] dx$
$I = \int e^{x} \left[ \frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2\cos^2 \frac{x}{2}} \right] dx$
$I = \int e^{x} \left[ \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} \right] dx$.
हम जानते हैं कि $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$.
यहाँ,$f(x) = \tan \frac{x}{2}$ लेने पर,$f'(x) = \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,समाकलन का मान $e^{x} \tan \frac{x}{2} + C$ है।

(B) माना $I = \int \cos (\log x) \cdot 1 \, dx \dots (i)$
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
माना $u = \cos (\log x)$ और $dv = 1 \, dx$.
तब $du = -\sin (\log x) \cdot \frac{1}{x} \, dx$ और $v = x$.
$I = x \cos (\log x) - \int x \cdot (-\sin (\log x)) \cdot \frac{1}{x} \, dx$
$I = x \cos (\log x) + \int \sin (\log x) \, dx$
अब,$\int \sin (\log x) \cdot 1 \, dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए:
$I = x \cos (\log x) + [x \sin (\log x) - \int x \cdot \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x} \, dx] + C$
$I = x \cos (\log x) + x \sin (\log x) - \int \cos (\log x) \, dx + C$
$I = x [\cos (\log x) + \sin (\log x)] - I + C$
$2I = x [\sin (\log x) + \cos (\log x)] + C$
$I = \frac{x}{2} [\sin (\log x) + \cos (\log x)] + C$

(B) माना $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} dx$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$\frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} = \frac{A}{1+x} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1}$.
अंशों की तुलना करने पर: $x = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(1+x) = (A+B)x^{2} + (B+C)x + (A+C)$.
गुणांकों की तुलना करने पर: $A+B=0$,$B+C=1$,$A+C=0$.
इन्हें हल करने पर,$A = -\frac{1}{2}$,$B = \frac{1}{2}$,और $C = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int_{0}^{\infty} \left( -\frac{1}{2(1+x)} + \frac{x+1}{2(x^{2}+1)} \right) dx = -\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\infty} \frac{2x}{x^{2}+1} dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^{2}+1}$.
समाकलन करने पर: $I = \left[ -\frac{1}{2} \ln(1+x) + \frac{1}{4} \ln(x^{2}+1) + \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) \right]_{0}^{\infty}$.
लघुगणकीय पदों को संयोजित करने पर: $I = \left[ \frac{1}{4} \ln \left( \frac{(x^{2}+1)}{(1+x)^{2}} \right) + \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) \right]_{0}^{\infty}$.
जब $x \to \infty$,तब $\frac{x^{2}+1}{(1+x)^{2}} \to 1$,इसलिए $\ln(1) = 0$.
$x=0$ पर,$\frac{1}{4} \ln(1) + \frac{1}{2} \tan^{-1}(0) = 0$.
अतः,$I = 0 + \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{4}$.

(D) किसी भी धनात्मक पूर्णांक का इकाई अंक $10$ अंकों में से कोई भी हो सकता है: ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$.
चार संख्याओं के गुणनफल का इकाई अंक $1, 3, 7,$ या $9$ होने के लिए,चारों संख्याओं का इकाई अंक ${1, 3, 7, 9}$ समुच्चय से होना चाहिए।
प्रत्येक संख्या के लिए $10$ संभावित अंकों में से $4$ अनुकूल अंक हैं।
एक संख्या का इकाई अंक ${1, 3, 7, 9}$ में होने की प्रायिकता $P = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ है।
चूँकि चार पूर्णांक स्वतंत्र रूप से चुने जाते हैं,इसलिए चारों का इकाई अंक ${1, 3, 7, 9}$ में होने की प्रायिकता $\left(\frac{2}{5}\right)^{4} = \frac{16}{625}$ है।

(C) एक सिक्के को उछालने पर चित आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है और पट आने की प्रायिकता $q = \frac{1}{2}$ है।
$n = 15$ प्रयासों के लिए,$r = 10$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र द्वारा दी जाती है: $P(X = r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$.
मान रखने पर: $P(X = 10) = {}^{15}C_{10} \left(\frac{1}{2}\right)^{10} \left(\frac{1}{2}\right)^{5}$.
चूंकि ${}^{15}C_{10} = {}^{15}C_{5}$,इसलिए: $P(X = 10) = {}^{15}C_{5} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{15}$.
संचय की गणना करने पर: ${}^{15}C_{5} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003$.
अतः,प्रायिकता: $P(X = 10) = \frac{3003}{2^{15}} = \frac{3003}{32768}$ है।

(B) दिया गया है,$a+b+c=0$ और $|a|=5, |b|=3, |c|=7$।
चूंकि $a+b+c=0$,इसलिए $a+b=-c$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|a+b|^2 = |-c|^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$।
अदिश गुणन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिश $a$ और $b$ के बीच का कोण है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(5)^2 + (3)^2 + 2(5)(3) \cos \theta = (7)^2$।
$25 + 9 + 30 \cos \theta = 49$।
$34 + 30 \cos \theta = 49$।
$30 \cos \theta = 49 - 34 = 15$।
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$।
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = 60^{\circ}$ या $\theta = \frac{\pi}{3}$ रेडियन होगा।

(A) मान लीजिए कि मूल बिंदु परिकेंद्र $S$ पर है। शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं ताकि $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$ हो।
लंबकेंद्र $O^{\prime}$ का स्थिति सदिश $\vec{o^{\prime}} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ है।
अंतःकेंद्र $O$ का स्थिति सदिश $\vec{o} = \frac{a\vec{a} + b\vec{b} + c\vec{c}}{a+b+c}$ है।
हमें $\vec{O^{\prime}A} + \vec{O^{\prime}B} + \vec{O^{\prime}C} = (\vec{a} - \vec{o^{\prime}}) + (\vec{b} - \vec{o^{\prime}}) + (\vec{c} - \vec{o^{\prime}})$ का मान ज्ञात करना है।
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{o^{\prime}} = \vec{o^{\prime}} - 3\vec{o^{\prime}} = -2\vec{o^{\prime}}$.
यह त्रिभुज ज्यामिति में एक मानक गुण है जहाँ $\vec{O^{\prime}A} + \vec{O^{\prime}B} + \vec{O^{\prime}C} = 2\vec{O^{\prime}S}$,जहाँ $S$ परिकेंद्र है। दिए गए विकल्पों और त्रिभुज में सदिश संबंधों के संदर्भ में,सही व्यंजक $2\vec{O^{\prime}O}$ है।

(C) माना $\vec{a} = 4 i - j + 3 k$ और $\vec{b} = -2 i + j - 2 k$ है। $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत सदिश उनके सदिश गुणनफल $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 4 & -1 & 3 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = i(2-3) - j(-8+6) + k(4-2) = -i + 2j + 2k$.
$\vec{n}$ का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$ है।
दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{-i + 2j + 2k}{3}$ है।
$9$ परिमाण वाला आवश्यक सदिश $\pm 9 \hat{n} = \pm 9 \left( \frac{-i + 2j + 2k}{3} \right) = \pm 3(-i + 2j + 2k) = \pm (-3i + 6j + 6k)$ है।
अतः,अभीष्ट सदिश $-3i + 6j + 6k$ या $3i - 6j - 6k$ हैं।

(D) माना $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{c} = 3\hat{i} + \lambda\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
यदि ये सदिश समतलीय हैं,तो इनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।
अतः सारणिक का मान शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & \lambda & 5 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(10 + 3\lambda) + 1(5 + 9) - 1(\lambda - 6) = 0$
$20 + 6\lambda + 14 - \lambda + 6 = 0$
$5\lambda + 40 = 0$
$5\lambda = -40$
$\lambda = -8$।

(C) हम जानते हैं कि इकाई सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल चक्रीय क्रम के गुणधर्म के अनुसार इस प्रकार है: $i \cdot(j \times k) = 1$,$j \cdot(k \times i) = 1$,और $k \cdot(i \times j) = 1$।
दी गई व्यंजक $i \cdot(j \times k) + j \cdot(k \times i) + k \cdot(j \times i)$ है।
चूंकि $j \times i = -k$,इसलिए $k \cdot(j \times i) = k \cdot(-k) = -(k \cdot k) = -1$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$i \cdot(j \times k) + j \cdot(k \times i) + k \cdot(j \times i) = 1 + 1 + (-1) = 1$।

(A) मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष शीर्षों $A, B$ और $C$ के स्थिति सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{OA} = 6i = 6\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{OB} = 6j = 0\hat{i} + 6\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{OC} = k = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}$
मूल बिंदु और स्थिति सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ वाले चतुष्फलक का आयतन निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V = \frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$
दिए गए सदिशों को सूत्र में रखने पर:
$V = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \right|$
सारणिक का मान ज्ञात करने पर:
$V = \frac{1}{6} (6 \times (6 \times 1 - 0 \times 0) - 0 + 0) = \frac{1}{6} (36) = 6$
अतः,चतुष्फलक $OABC$ का आयतन $6$ घन इकाई है।