MHT CET 2012 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આઘાત (Impulse) એટલે પદાર્થના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u = 30 \,ms^{-1}$ છે અને અંતિમ વેગ $v = -20 \,ms^{-1}$ છે (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં પાછો ફરે છે)।
દડાનું દળ $m = 0.1 \,kg$ છે.
આઘાત $J = \Delta p = m(v - u)$.
પ્રારંભિક વેગની દિશાને ધન લેતા:
$J = m(v_{final} - v_{initial}) = 0.1 \times (-20 - 30) = 0.1 \times (-50) = -5 \,N-s$.
દીવાલ દ્વારા દડા પર લગાડવામાં આવેલ આઘાતનું મૂલ્ય $|J| = 5 \,N-s$ છે.

(D) જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે મુસાફરનું અસરકારક વજન વધે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,મુસાફર પર લાગતા બળોમાં લિફ્ટના ભોંયતળિયા દ્વારા ઉપરની તરફ લાગતું લંબબળ $R$ અને નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $m g$ છે.
ગતિનું સમીકરણ $R - m g = m a$ થાય છે.
તેથી,મુસાફર દ્વારા ભોંયતળિયા પર લાગતું બળ $R = m g + m a$ મળે છે.

(B) ધારો કે ફાયરમેનનું દળ $m$ છે અને તેનો પ્રવેગ $a$ છે. ફાયરમેનનું વજન $mg$ છે.
દોરડાની તોડવાની ક્ષમતા (બ્રેકિંગ સ્ટ્રેન્થ) $\frac{2}{3}mg$ આપેલી છે.
જ્યારે ફાયરમેન $a$ પ્રવેગ સાથે નીચે ઉતરે છે,ત્યારે દોરડામાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T = m(g - a)$ થાય છે.
દોરડું ન તૂટે તે માટે,તણાવબળ $T$ એ બ્રેકિંગ સ્ટ્રેન્થ જેટલું અથવા તેનાથી ઓછું હોવું જોઈએ.
ન્યૂનતમ પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે તણાવબળને બ્રેકિંગ સ્ટ્રેન્થ સાથે સરખાવીએ:
$m(g - a) = \frac{2}{3}mg$
બંને બાજુ $m$ વડે ભાગતા:
$g - a = \frac{2}{3}g$
$a = g - \frac{2}{3}g = \frac{g}{3}$
તેથી,ન્યૂનતમ પ્રવેગ $\frac{g}{3}$ છે.

(A) જ્યારે કાર $a$ પ્રવેગ સાથે આગળની દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે કારના અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં પ્લમ્બ બોબ પર પાછળની દિશામાં સ્યુડો બળ $F_p = ma$ લાગે છે.
ધારો કે બોબનું દળ $m$ છે. બોબ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. વજન બળ $mg$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. સ્યુડો બળ $ma$ જે સમક્ષિતિજ પાછળની તરફ લાગે છે.
$3$. દોરીમાં તણાવ બળ $T$.
કારની સાપેક્ષમાં સંતુલન સ્થિતિમાં,બોબ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે. બળોના ઘટકો પાડતા:
$T \sin \theta = ma$
$T \cos \theta = mg$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{ma}{mg}$
$\tan \theta = \frac{a}{g}$
તેથી,દોરી દ્વારા શિરોલંબ સાથે બનતો ખૂણો $\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$ છે.

(B) આ તંત્રમાં બે બ્લોક $A$ અને $B$ એક દોરી વડે જોડાયેલા છે. ટેબલ ઘર્ષણરહિત હોવાથી અને તંત્ર $a = 2 \,ms^{-2}$ ના પ્રવેગથી ગતિ કરતું હોવાથી, આપણે બ્લોક $A$ ની ગતિનું અલગથી વિશ્લેષણ કરી શકીએ છીએ.
બ્લોક $A$ દોરીમાં રહેલા તણાવબળ $T$ દ્વારા ખેંચાય છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, બ્લોક $A$ પર લાગતું બળ નીચે મુજબ છે:
$T = M_A \times a$
આપેલ છે:
$M_A = 20 \,kg$
$a = 2 \,ms^{-2}$
કિંમતો મૂકતા:
$T = 20 \,kg \times 2 \,ms^{-2} = 40 \,N$
આમ, દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $40 \,N$ છે.

(A) ઢળતું સમતલ $12$ ની લંબાઈ પર $5$ ની ઊંચાઈ ધરાવે છે,એટલે કે $\sin \theta = \frac{5}{12}$.
જ્યારે પદાર્થ ઢળતા સમતલ પરથી નીચે સરકવાની શરૂઆત કરે,ત્યારે ઢાળનો ખૂણો $\theta$ એ વિરામકોણ (angle of repose) જેટલો હોય છે.
ઘર્ષણાંક $\mu = \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{5}{12})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{144}} = \sqrt{\frac{119}{144}} = \frac{\sqrt{119}}{12}$.
તેથી,$\mu = \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{5/12}{\sqrt{119}/12} = \frac{5}{\sqrt{119}}$.
કિંમત ગણતા,$\sqrt{119} \approx 10.9087$.
$\mu = \frac{5}{10.9087} \approx 0.4583 \approx 0.46$.

(B) ધારો કે ઢાળની લંબાઈ $L$ છે અને ઢાળનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે.
લીસા ઢાળ માટે,પ્રવેગ $a_1 = g \sin \theta$ છે. લાગતો સમય $t_1 = \sqrt{\frac{2L}{g \sin \theta}}$ છે.
ખરબચડા ઢાળ માટે,પ્રવેગ $a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. લાગતો સમય $t_2 = \sqrt{\frac{2L}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ છે.
આપેલ છે કે $t_2 = n t_1$,તેથી $\frac{t_2}{t_1} = n$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{t_2^2}{t_1^2} = n^2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\sin \theta}{\sin \theta - \mu \cos \theta} = n^2$.
પદોને ગોઠવતા: $\sin \theta = n^2 \sin \theta - n^2 \mu \cos \theta$.
$n^2 \mu \cos \theta = (n^2 - 1) \sin \theta$.
$\mu = \frac{n^2 - 1}{n^2} \tan \theta$.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = 1$.
તેથી,$\mu = 1 - \frac{1}{n^2}$.

(C) જ્યારે કોઈ પદાર્થને ઢળતા સમતલ પર ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક અને ઘર્ષણ બળ બંને ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
પ્રતિપ્રવેગ $a = g \sin \theta + \mu g \cos \theta = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ અને $\mu = 0.5$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$a = g(\sin 45^{\circ} + 0.5 \cos 45^{\circ})$
$a = g\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + 0.5 \times \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$a = \frac{g}{\sqrt{2}}(1 + 0.5)$
$a = \frac{1.5 g}{\sqrt{2}} = \frac{3 g}{2 \sqrt{2}}$.

(A) ધારો કે $\alpha$ એ સમતલનો નમનકોણ છે.
કિસ્સો $1$: બળ $F$ સમતલની દિશામાં લાગે છે.
વજનને ટેકવવા માટે,$F = W \sin \alpha - f_s$,જ્યાં $f_s$ એ સ્થિત ઘર્ષણ છે. ગતિની શરૂઆતની સ્થિતિમાં,$f_s = \mu R = \mu W \cos \alpha = W \tan \theta \cos \alpha$.
આમ,$F = W \sin \alpha - W \tan \theta \cos \alpha = W \frac{\sin(\alpha - \theta)}{\cos \theta}$.
કિસ્સો $2$: બળ $F$ આડું (ક્ષિતિજ સમાંતર) લાગે છે.
વજનને ટેકવવા માટે,$F \cos \alpha = W \sin \alpha + f_s$. ગતિની શરૂઆતની સ્થિતિમાં,$f_s = \mu R = \mu (W \cos \alpha + F \sin \alpha) = \tan \theta (W \cos \alpha + F \sin \alpha)$.
$F$ માટે ઉકેલતા,આપણને $F = W \tan(\alpha + \theta)$ મળે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બંને કિસ્સામાં સમાન બળ $F$ દ્વારા વજનને ટેકવી શકાય છે,તેથી આપણે $F$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$W \frac{\sin(\alpha - \theta)}{\cos \theta} = W \tan(\alpha + \theta)$.
આના પરથી સાબિત થાય છે કે $F/W = \tan \theta$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 4 \times 10^{7} \,kg$, બળ $F = 5 \times 10^{4} \,N$, પ્રારંભિક વેગ $u = 0$, અંતર $s = 4 \,m$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $F = ma$:
$5 \times 10^{4} = 4 \times 10^{7} \times a$
$a = \frac{5 \times 10^{4}}{4 \times 10^{7}} = 1.25 \times 10^{-3} \,ms^{-2}$.
ગતિના સમીકરણ $v^{2} = u^{2} + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v^{2} = 0^{2} + 2 \times (1.25 \times 10^{-3}) \times 4$
$v^{2} = 2 \times 1.25 \times 4 \times 10^{-3} = 10 \times 10^{-3} = 10^{-2} \,m^{2}s^{-2}$.
$v = \sqrt{10^{-2}} = 0.1 \,ms^{-1}$.

(C) જ્યારે દોરી $C$ ને અચાનક આંચકો આપવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર એક આઘાતી બળ લાગે છે.
દળ પાસે જડત્વ હોવાથી,તે ગતિમાં થતા અચાનક ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
આ આઘાતી તણાવ સૌપ્રથમ દોરી $C$ માં ઉત્પન્ન થાય છે,જે તેની તોડવાની ક્ષમતા કરતા વધી જાય છે.
આઘાતને દળમાંથી પસાર થઈને દોરી $A$ સુધી પહોંચવામાં સમય લાગે છે,તેથી દોરી $A$ માં તણાવ વધે તે પહેલાં જ દોરી $C$ તૂટી જાય છે.

(B) વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p$ એ અંતિમ વેગમાન અને પ્રારંભિક વેગમાનનો તફાવત છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $p_i = m \times v = 2 \,kg \times 100 \,ms^{-1} = 200 \,kg \cdot ms^{-1}$.
પદાર્થ વિરુદ્ધ દિશામાં તેટલી જ ઝડપથી પાછો ફેંકાતો હોવાથી,અંતિમ વેગમાન $p_f = m \times (-v) = 2 \,kg \times (-100 \,ms^{-1}) = -200 \,kg \cdot ms^{-1}$.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = p_f - p_i = -200 - 200 = -400 \,kg \cdot ms^{-1}$.
વેગમાનના ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta p| = 400 \,kg \cdot ms^{-1}$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ દીવાલ પર લાગતું બળ $F = \frac{|\Delta p|}{\Delta t}$ છે.
અહીં $\Delta t = 1/50 \,s$ આપેલ છે,તેથી $F = \frac{400}{1/50} = 400 \times 50 = 20,000 \,N = 2 \times 10^{4} \,N$.

(C) સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $v$ ટર્મિનલ વેગથી ગતિ કરતા ગોળાકાર પદાર્થ પર લાગતું સ્નિગ્ધ બળ $F = 6 \pi \eta r v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા પદાર્થ માટે,ટર્મિનલ વેગ $v$ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $v \propto r^2$.
આ કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $F \propto r \cdot r^2 = r^3$.
ગોળાનું કદ $V$ એ તેની ત્રિજ્યાના ઘનના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(V \propto r^3)$,આપણને $F \propto V$ મળે છે.
તેથી,જો દડાનું કદ બમણું કરવામાં આવે $(V' = 2V)$,તો તેના પર લાગતું સ્નિગ્ધ બળ પણ બમણું થશે $(F' = 2F)$.

(D) ગતિનું સમીકરણ $x=ut+\frac{1}{2}at^2$ એ અચળ પ્રવેગ હેઠળ પદાર્થની ગતિનું વર્ણન કરે છે.
આ સમીકરણ વેગ અને પ્રવેગની વ્યાખ્યાઓ પરથી કલનશાસ્ત્ર (calculus) અથવા આલેખની રીતોનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે.
આ એક ગતિશાસ્ત્રીય સંબંધ છે અને તે સીધી રીતે ન્યુટનના ગતિના નિયમોમાંથી મળતું નથી,જે બળ,દળ અને પ્રવેગ $(F=ma)$ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ ઇન્ડક્ટર દ્વારા એસી પ્રવાહના વહેણ સામે આપવામાં આવતા અવરોધ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેનું સૂત્ર $X_L = \omega L = 2\pi f L$ છે.
તે $AC$ સર્કિટમાં પ્રવાહના વહેણ સામેનો અવરોધ દર્શાવતું હોવાથી, તે અવરોધ (resistance) ને સમાન છે.
તેથી, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સનો $SI$ એકમ અવરોધના એકમ જેવો જ એટલે કે ઓહ્મ $(\Omega)$ છે.

(B) રેઝોનન્સ સમયે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ ની બરાબર હોય છે, એટલે કે $X_L = X_C$.
તેથી, $L-C-R$ સર્કિટનો કુલ ઇમ્પિડન્સ $(Z)$ એ અવરોધ $(R)$ ની બરાબર થાય છે, એટલે કે $Z = R$.
પાવર ફેક્ટર $(\cos \phi)$ એ અવરોધ અને ઇમ્પિડન્સનો ગુણોત્તર છે: $\cos \phi = \frac{R}{Z}$.
$Z = R$ મૂકતા, આપણને $\cos \phi = \frac{R}{R} = 1$ મળે છે.
આમ, રેઝોનન્સ સમયે, $L-C-R$ સર્કિટ શુદ્ધ અવરોધક સર્કિટ તરીકે વર્તે છે અને પાવર ફેક્ટર $1$ હોય છે.

(A) $L-C-R$ સર્કિટની રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સીનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_{0} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$
આ સૂત્ર પરથી કહી શકાય કે $v_{0} \propto \frac{1}{\sqrt{L C}}$.
જો ઇન્ડક્ટન્સ $L$ ને બમણું $(L' = 2L)$ અને કેપેસિટન્સ $C$ ને બમણું $(C' = 2C)$ કરવામાં આવે,તો નવી રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $v_{0}'$ નીચે મુજબ થશે:
$v_{0}' = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(2L)(2C)}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{4LC}} = \frac{1}{2 \pi \cdot 2 \sqrt{LC}}$
$v_{0}' = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \right) = \frac{1}{2} v_{0}$
તેથી,રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી મૂળ મૂલ્યના અડધા જેટલી ઘટશે.

(A) $L-C$ સર્કિટમાં,જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ ની બરાબર થાય ત્યારે અનુનાદ (resonance) થાય છે.
$X_L = X_C$
$\omega L = \frac{1}{\omega C}$
$\omega^2 = \frac{1}{LC}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2 \pi f$,તેથી અનુનાદ આવૃત્તિ $f$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$

(B) લેમ્પની તેજસ્વીતા પરિપથમાં વહેતા પ્રવાહ પર આધાર રાખે છે.
$RC$ શ્રેણી પરિપથમાં,કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C} = \frac{1}{\omega C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કેપેસિટન્સ $C$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C}$ વધે છે.
પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_{C}^2}$ છે.
જેમ $X_{C}$ વધે છે,તેમ પરિપથનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z$ વધે છે.
$AC$ પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ છે.
જેથી $Z$ વધતા,લેમ્પમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઘટે છે.
તેથી,લેમ્પ ઓછી તેજસ્વીતા સાથે પ્રકાશશે.

(D) શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ $V$ એ પ્રવાહ $i$ કરતા $\pi / 2$ રેડિયન $(90^{\circ})$ જેટલી કળામાં આગળ હોય છે.
તેથી,તેનો અર્થ એ છે કે પ્રવાહ $i$ એ વોલ્ટેજ $V$ કરતા $\pi / 2$ રેડિયન જેટલો પાછળ રહે છે.
આ ફેઝર ડાયાગ્રામ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં $V$ એ ધન x-અક્ષ પર અને $i$ એ ઋણ y-અક્ષ પર હોય છે.

(A) એસી (alternating current) ને સમીકરણ $I = I_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સમયગાળા $T$ ના એક સંપૂર્ણ ચક્ર પર સરેરાશ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $[0, T]$ અંતરાલ પર પ્રવાહનું સંકલન કરીએ છીએ અને તેને કુલ સમય $T$ વડે ભાગીએ છીએ.
$I_{avg} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_0 \sin(\omega t) dt$.
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,એક સંપૂર્ણ સમયગાળા પર $\sin(\omega t)$ નું સંકલન શૂન્ય થાય છે કારણ કે સાઈન તરંગનો ધન વિસ્તાર તેના ઋણ વિસ્તારને રદ કરે છે.
તેથી,એક સંપૂર્ણ ચક્ર પર એસી નું સરેરાશ મૂલ્ય $0$ છે.

(B) તાત્કાલિક પ્રવાહનું સમીકરણ $I = I_{0} \sin (\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $I_{0}$ એ મહત્તમ (પીક) પ્રવાહ છે.
આપેલ સમીકરણ $I = 5 \sin (\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મહત્તમ પ્રવાહ $I_{0} = 5 \text{ A}$ મળે છે.
અલ્ટરનેટિંગ કરંટનું $rms$ મૂલ્ય અને મહત્તમ પ્રવાહ વચ્ચેનો સંબંધ $I_{rms} = \frac{I_{0}}{\sqrt{2}}$ છે.
$I_{0}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $I_{rms} = \frac{5}{\sqrt{2}} \text{ A}$ મળે છે.

(D) વૈકલ્પિક જથ્થો સમય સાથે સમયાંતરે બદલાય છે. વૈકલ્પિક જથ્થાના સકારાત્મક અને નકારાત્મક મૂલ્યોના એક સંપૂર્ણ સેટને $cycle$ (ચક્ર) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તે જથ્થાના સંપૂર્ણ ફેરફારને રજૂ કરે છે જે ફરીથી પુનરાવર્તિત થવાનું શરૂ કરે તે પહેલાં થાય છે.

(B) અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $(AC)$ નું રૂટ મીન સ્ક્વેર $(I_{\text{rms}})$ મૂલ્ય એ એક સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન તત્કાલિન પ્રવાહના વર્ગોના સરેરાશના વર્ગમૂળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$I = I_{0} \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવતા સાઇનસૉઇડલ અલ્ટરનેટિંગ કરંટ માટે,$I_{\text{rms}}$ મૂલ્યની ગણતરી નીચે મુજબ કરવામાં આવે છે:
$I_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I^{2} dt} = \frac{I_{0}}{\sqrt{2}}$
જ્યાં $I_{0}$ એ પ્રવાહનું મહત્તમ મૂલ્ય (એમ્પ્લિટ્યુડ) છે.

(C) $AC$ સર્કિટમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\cos \phi$ એ પાવર ફેક્ટર છે.
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં, વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi = 90^{\circ}$ હોય છે.
કારણ કે $\cos 90^{\circ} = 0$ થાય છે, તેથી વપરાતો પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0$ થાય છે.
તેથી, જો ઇન્ડક્ટન્સ ખૂબ વધારે હોય (શુદ્ધ ઇન્ડક્ટર તરીકે કામ કરે) અને અવરોધ નગણ્ય હોય, તો $AC$ સર્કિટમાં વપરાતો પાવર શૂન્ય થાય છે.

(D) અલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજ એટલે એવો વોલ્ટેજ જે સમય સાથે તેનું મૂલ્ય અને દિશા સામયિક રીતે બદલે છે. અલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજ માટેનું પ્રમાણિત ગાણિતિક સમીકરણ $V(t) = V_m \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $V_m$ એ મહત્તમ વોલ્ટેજ છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે. આ સમીકરણ સાઈન વિધેયને અનુસરતું હોવાથી,અલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજ સમય સાથે સાઈનસૉઈડલ રીતે બદલાય છે.

(B) ભારતમાં પૂરી પાડવામાં આવતી અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $(AC)$ મેઈન્સની પ્રમાણભૂત આવૃત્તિ $50 \text{ Hz}$ છે.
આવૃત્તિ એટલે પ્રતિ સેકન્ડ થતા ચક્રની સંખ્યા,જે $50 \text{ cycles/second}$ અથવા $50 \text{ s}^{-1}$ ને સમાન છે.

(A) ચોક કોઈલ એ ઉચ્ચ ઇન્ડક્ટન્સ અને ઓછા અવરોધ ધરાવતું ઇન્ડક્ટર છે. તેનો ઉપયોગ $AC$ સર્કિટમાં ઉષ્મા સ્વરૂપે નોંધપાત્ર પાવરનો વ્યય કર્યા વિના પ્રવાહને નિયંત્રિત કરવા માટે થાય છે. $DC$ સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટર નગણ્ય અવરોધ ધરાવતા સાદા વાયર તરીકે કામ કરે છે,તેથી તેનો ઉપયોગ પ્રવાહને અસરકારક રીતે નિયંત્રિત કરવા માટે થઈ શકતો નથી. તેથી,ચોક કોઈલનો ઉપયોગ $AC$ સર્કિટમાં અવરોધ (ઇમ્પિડન્સ) તરીકે થાય છે.

(C) $AC$ સર્કિટમાં,અવરોધક (resistor) ફેઝ તફાવતને ધ્યાનમાં લીધા વિના $I^2R$ લોસને કારણે ઉષ્મા સ્વરૂપે ઉર્જાનો વ્યય કરે છે.
જોકે,આદર્શ ચોક કોઈલ એ નહિવત અવરોધ ધરાવતું ઇન્ડક્ટર છે.
આદર્શ ઇન્ડક્ટરમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $90^{\circ}$ હોય છે,જેના કારણે પાવર ફેક્ટર $\cos(90^{\circ}) = 0$ થાય છે.
તેથી,આદર્શ ચોક કોઈલ દ્વારા વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos(90^{\circ}) = 0$ છે.
આમ,ચોક કોઈલ ઉર્જાનો ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય કર્યા વિના $AC$ સર્કિટમાં પ્રવાહને નિયંત્રિત કરે છે.

(B) $AC$ માપન સાધનો,જેમ કે $AC$ એમીટર અને વોલ્ટમીટર,હંમેશા પ્રવાહ અથવા વોલ્ટેજનું $rms$ (રૂટ મીન સ્ક્વેર) મૂલ્ય માપવા માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યા હોય છે. તેનું કારણ એ છે કે પ્રવાહની ઉષ્મીય અસર,જે મોટાભાગના એનાલોગ માપન સાધનોનો મુખ્ય સિદ્ધાંત છે,તે પ્રવાહના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે. આથી,પાવરની ગણતરી માટે $rms$ મૂલ્ય એ સૌથી મહત્વપૂર્ણ ભૌતિક રાશિ છે.

(D) $AC$ પરિપથનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ અવરોધ છે અને $Z$ એ ઈમ્પીડન્સ છે.
જ્યારે પાવર ફેક્ટર એકમ હોય,ત્યારે $\cos \phi = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\phi = 0^\circ$.
કારણ કે $\cos \phi = \frac{R}{Z} = 1$,તેથી આપણને $R = Z$ મળે છે.
આ સ્થિતિ $LCR$ પરિપથમાં રેઝોનન્સ વખતે જોવા મળે છે,જ્યાં ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે $(X_L = X_C)$.
પરિણામે,પરિપથ શુદ્ધ અવરોધક (resistive) પરિપથ તરીકે વર્તે છે.

(B) રેઝોનન્ટ સર્કિટનો ક્વોલિટી ફેક્ટર ($Q$-ફેક્ટર) એ સર્કિટની રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી અને બેન્ડવિડ્થના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$Q = \frac{\omega_{0} L}{R}$.
રેઝોનન્સ સમયે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega_{0}$ ની કિંમત $Q$-ફેક્ટરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$Q = \frac{1}{\sqrt{LC}} \cdot \frac{L}{R} = \frac{1}{R} \cdot \frac{\sqrt{L}}{\sqrt{C}} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$.

(D) મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ એ એવી ઘટના છે જેમાં એક કોઈલમાં પ્રવાહમાં ફેરફાર થવાથી તેની નજીકની કોઈલમાં ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ઉત્પન્ન થાય છે. ટ્રાન્સફોર્મરમાં બે કોઈલ હોય છે,પ્રાઇમરી અને સેકન્ડરી,જે એક સામાન્ય કોર પર વીંટાળેલી હોય છે. જ્યારે પ્રાઇમરી કોઈલમાંથી એસી $(AC)$ પ્રવાહ વહે છે,ત્યારે તે બદલાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ બનાવે છે જે સેકન્ડરી કોઈલ સાથે જોડાય છે,જેનાથી તેમાં $EMF$ પ્રેરિત થાય છે. તેથી,ટ્રાન્સફોર્મર મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.

(B) ટ્રાન્સફોર્મર એ એક વિદ્યુત ઉપકરણ છે જે મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્શનના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે. તેનો ઉપયોગ એસી $(AC)$ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહના મૂલ્યને બદલવા માટે થાય છે. ખાસ કરીને,તે ઓછા પ્રવાહ પરના ઉચ્ચ એસી વોલ્ટેજને વધુ પ્રવાહ પરના ઓછા એસી વોલ્ટેજમાં (સ્ટેપ-ડાઉન) અથવા તેનાથી ઉલટું (સ્ટેપ-અપ) રૂપાંતરિત કરે છે,જ્યારે આવૃત્તિ અચળ રહે છે.

(B) ટ્રાન્સફોર્મર મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્શન (પરસ્પર પ્રેરણ) ના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્શન માટે બદલાતા ચુંબકીય ફ્લક્સની જરૂર હોય છે,જે સમય સાથે બદલાતા પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
$AC$ (અલ્ટરનેટિંગ કરંટ) તેનું મૂલ્ય અને દિશા સમયાંતરે બદલે છે,તેથી તે પ્રાઇમરી કોઈલમાં બદલાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઉત્પન્ન કરે છે,જે સેકન્ડરી કોઈલમાં $EMF$ પ્રેરિત કરે છે.
$DC$ (ડાયરેક્ટ કરંટ) અચળ હોય છે અને તે બદલાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઉત્પન્ન કરતું નથી; તેથી,ટ્રાન્સફોર્મર $DC$ પર કાર્ય કરી શકતું નથી.

(B) સ્ટેપ-ડાઉન ટ્રાન્સફોર્મર એ એક ઉપકરણ છે જેનો ઉપયોગ અલ્ટરનેટિંગ કરંટના વોલ્ટેજને ઘટાડવા માટે થાય છે. ટ્રાન્સફોર્મરના સમીકરણ મુજબ,$\frac{V_s}{V_p} = \frac{N_s}{N_p}$,જ્યાં $V_s$ અને $V_p$ એ ગૌણ અને પ્રાથમિક ગૂંચળાના વોલ્ટેજ છે,અને $N_s$ અને $N_p$ એ અનુક્રમે ગૌણ અને પ્રાથમિક ગૂંચળામાં આંટાઓની સંખ્યા છે. સ્ટેપ-ડાઉન ટ્રાન્સફોર્મર માટે,આઉટપુટ વોલ્ટેજ $V_s$ એ ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V_p$ કરતા ઓછો હોય છે. તેથી,પ્રાથમિક ગૂંચળામાં આંટાઓની સંખ્યા $(N_p)$ એ ગૌણ ગૂંચળામાં આંટાઓની સંખ્યા $(N_s)$ કરતા વધારે હોવી જોઈએ.

(B) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} L i^2$ છે.
જ્યારે ગૂંચળાને $E$ $EMF$ અને $R$ અવરોધ ધરાવતી બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સ્થાયી પ્રવાહ $i = \frac{E}{R}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = 10 \ V$,$L = 4 \ H$,અને $R = 5 \ \Omega$.
પ્રથમ,સ્થાયી પ્રવાહની ગણતરી કરો: $i = \frac{10 \ V}{5 \ \Omega} = 2 \ A$.
હવે,સંગ્રહિત ઉર્જાની ગણતરી કરો: $U = \frac{1}{2} \times 4 \ H \times (2 \ A)^2$.
$U = 2 \times 4 \ J = 8 \ J$.

(C) ઇન્ડક્ટર તેમાંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રના સ્વરૂપમાં ઊર્જાનો સંગ્રહ કરે છે.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} L I^{2}$ છે,જ્યાં $L$ એ ઇન્ડક્ટરનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે અને $I$ એ તેમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) લેન્ઝનો નિયમ જણાવે છે કે પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે તે તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. જો પ્રેરિત પ્રવાહ ફેરફારને મદદ કરતો હોત,તો તે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું ઉલ્લંઘન કરત,કારણ કે તે શૂન્યમાંથી ઉર્જા ઉત્પન્ન કરત. તેથી,લેન્ઝનો નિયમ એ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણનો સિદ્ધાંત,ખાસ કરીને ફેરાડેનો નિયમ,જણાવે છે કે કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થવાથી તેમાં વિદ્યુતચાલક બળ $(emf)$ પ્રેરિત થાય છે.
આ સિદ્ધાંત ઇલેક્ટ્રિક જનરેટરની કાર્યપદ્ધતિનો પાયો છે,જે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈલને ફેરવીને યાંત્રિક ઉર્જાનું વિદ્યુત ઉર્જામાં રૂપાંતર કરે છે.
જોકે મોટર અને ગેલ્વેનોમીટરમાં પણ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉપયોગ થાય છે,પરંતુ તેમનો મુખ્ય કાર્યકારી સિદ્ધાંત પ્રવાહની ચુંબકીય અસર (લોરેન્ટ્ઝ બળ) છે,વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ નથી.

(A) $DC$ મોટરમાં બેક emf $e$ એ સંબંધ $e \propto \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ મોટરના આર્મેચરની કોણીય ઝડપ છે.
બેક emf એ કોણીય ઝડપના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,જ્યારે મોટર તેની મહત્તમ ઝડપ પ્રાપ્ત કરે છે ત્યારે તે તેનું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.

(D) આત્મ-પ્રેરણને કારણે કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતું પ્રેરિત emf $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = L \frac{di}{dt}$.
અહીં, પ્રેરિત emf $e = 2 \,V$ અને પ્રવાહના ફેરફારનો દર $\frac{di}{dt} = 4 \,A s^{-1}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$2 = L \times 4$
$L = \frac{2}{4} \,H$
$L = 0.5 \,H$.
તેથી, કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $0.5 \,H$ છે.

(C) બે ગૂંચળા વચ્ચેનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ એ તેમના આત્મ-પ્રેરકત્વ $L_{1}$ અને $L_{2}$ સાથે $M = k\sqrt{L_{1} L_{2}}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $k$ એ કપલિંગનો ગુણાંક છે.
અહીં આપેલ છે કે એક ગૂંચળાનું ફ્લક્સ બીજા સાથે સંપૂર્ણપણે સંકળાયેલું છે,જેનો અર્થ છે કે કપલિંગ સંપૂર્ણ છે,એટલે કે $k = 1$.
તેથી,આ સમીકરણ $M = \sqrt{L_{1} L_{2}}$ માં પરિણમે છે.

(A) કોઈલમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $emf$ $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = L \frac{di}{dt}$.
અહીં,$L_1 = 8 \ mH$ અને $L_2 = 2 \ mH$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહના ફેરફારનો દર,$\frac{di}{dt}$,બંને કોઈલ માટે સમાન છે.
તેથી,પ્રેરિત $emf$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{e_1}{e_2} = \frac{L_1 (di/dt)}{L_2 (di/dt)} = \frac{L_1}{L_2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{e_1}{e_2} = \frac{8 \ mH}{2 \ mH} = \frac{4}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $4: 1$ છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટને તરંગલંબાઈના આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
- $100 \text{ Å}$ થી $400 \text{ Å}$ ની તરંગલંબાઈનો વિસ્તાર અલ્ટ્રાવાયોલેટ $(UV)$ વિભાગમાં આવે છે.
- એક્સ-રે સામાન્ય રીતે $0.01 \text{ Å}$ થી $100 \text{ Å}$ ની વચ્ચે હોય છે.
- દ્રશ્ય વિભાગ આશરે $4000 \text{ Å}$ થી $7000 \text{ Å}$ ની વચ્ચે હોય છે.
- ઇન્ફ્રારેડ વિભાગ $7000 \text{ Å}$ થી ઉપર શરૂ થાય છે.
તેથી,$100 \text{ Å}$ થી $400 \text{ Å}$ ની રેન્જ માટે સાચું વર્ગીકરણ $UV$ વિભાગ છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો એવા તરંગો છે જે વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેના કંપનને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે. તેમને પ્રસરણ માટે કોઈ માધ્યમની જરૂર હોતી નથી.
પ્રકાશના કિરણો,$X$-કિરણો અને ગામા કિરણો એ બધા વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના ભાગો છે.
આલ્ફા કિરણો એ ઉચ્ચ ઊર્જા ધરાવતા હિલિયમ ન્યુક્લિયસ ($He^{2+}$ કણો) ના બનેલા હોય છે,જે દળ ધરાવતા વીજભારિત કણો છે. તેથી,આલ્ફા કિરણો એ કણ વિકિરણ છે,વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો નથી.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનું અસ્તિત્વ સૌપ્રથમ $1887$ માં જર્મન ભૌતિકશાસ્ત્રી હેનરિક હર્ટ્ઝ દ્વારા પ્રાયોગિક રીતે સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું. તેમણે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન કરવા અને શોધવા માટે સ્પાર્ક-ગેપ ટ્રાન્સમીટરનો ઉપયોગ કર્યો હતો,જેના દ્વારા મેક્સવેલની સૈદ્ધાંતિક આગાહીઓને માન્યતા મળી હતી.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો મુક્ત અવકાશ અથવા શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશના વેગથી ગતિ કરે છે,જે આશરે $3 \times 10^{8} \ m/s$ છે.

(A) પ્રકાશની ઝડપ $(c)$, આવૃત્તિ $(\nu)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $c = \nu \lambda$.
આપેલ છે:
તરંગલંબાઈ $\lambda = 10 \, m$.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^{8} \, m/s$.
આવૃત્તિ શોધવા માટે સૂત્રને આ રીતે લખી શકાય: $\nu = \frac{c}{\lambda}$.
કિંમતો મૂકતા: $\nu = \frac{3 \times 10^{8} \, m/s}{10 \, m} = 3 \times 10^{7} \, Hz$.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રકાશ એ એક વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ છે. તે સમય અને અવકાશમાં બદલાતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો બનેલો છે. આ વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશો એકબીજાને પરસ્પર લંબ હોય છે અને તરંગના પ્રસરણની દિશાને પણ લંબ હોય છે.