int_{0}^{infty} frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} dx નુ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} dx$.આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} = \frac{A}{1+x} + \frac{B

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} dx$.આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} = \frac{A}{1+x} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1}$.અંશને સરખાવતા: $x = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(1+x) = (A+B)x^{2} + (B+C)x + (A+C)$.સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $A+B=0$,$B+C=1$,$A+C=0$.આ સમીકરણો ઉકેલતા,$A = -\frac{1}{2}$,$B = \frac{1}{2}$,અને $C = \frac{1}{2}$ મળે છે.તેથી,$I = \int_{0}^{\infty} \left( -\frac{1}{2(1+x)} + \frac{x+1}{2(x^{2}+1)} ight) dx = -\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\infty} \frac{2x}{x^{2}+1} dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^{2}+1}$.સંકલન કરતા: $I = \left[ -\frac{1}{2} \ln(1+x) + \frac{1}{4} \ln(x^{2}+1) + \frac{1}{2} 	an^{-1}(x) ight]_{0}^{\infty}$.લોગેરિધમિક પદોને ભેગા કરતા: $I = \left[ \frac{1}{4} \ln \left( \frac{(x^{2}+1)}{(1+x)^{2}} ight) + \frac{1}{2} 	an^{-1}(x) ight]_{0}^{\infty}$.જ્યારે $x 	o \infty$,ત્યારે $\frac{x^{2}+1}{(1+x)^{2}} 	o 1$,તેથી $\ln(1) = 0$.$x=0$ આગળ,$\frac{1}{4} \ln(1) + \frac{1}{2} 	an^{-1}(0) = 0$.તેથી,$I = 0 + \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 ight) = \frac{\pi}{4}$.

$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

Similar Questions

$\int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\sqrt {\frac{1}{2}(1 - \cos 2x)} } \,dx = $

વિધેય $f(x) = \int\limits_0^x \frac{dt}{\sqrt{x^2 + t^2}}$ નો વ્યાખ્યાનો પ્રદેશ શોધો.

ધારો કે $f(x) = |x - 2|$ અને $g(x) = f(f(x))$,$x \in [0, 4]$. તો $\int_{0}^{3} (g(x) - f(x)) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-1 / \sqrt{2}}^{1 / \sqrt{2}}\left(\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2}+\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2}-2\right)^{1 / 2} d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1 + \sin 3y}{1 + 2\sin y} \right) dy$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module