ધારો કે f: R rightarrow R એક સતત વિધેય છે જેથ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે કે તમામ $x \in R$ માટે $f(x^2) = f(x^3)$.કોઈપણ $x > 0$ માટે,ધારો કે $x = t^6$. તો $f(t^{12}) = f(t^{18})$.વધુ સામાન્ય રીતે,કોઈપણ $x > 0$ મ

Vedclass · Accepted Answer

$II$ અને $III$ બંને સાચા છે

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે કે તમામ $x \in R$ માટે $f(x^2) = f(x^3)$.કોઈપણ $x > 0$ માટે,ધારો કે $x = t^6$. તો $f(t^{12}) = f(t^{18})$.વધુ સામાન્ય રીતે,કોઈપણ $x > 0$ માટે,આપણે $x = t^{6^n}$ લખી શકીએ છીએ.આદેશનું પુનરાવર્તન કરતા,$f(x) = f(x^{2/3}) = f(x^{(2/3)^2}) = \dots = f(x^{(2/3)^n})$.જેમ $n 	o \infty$,તેમ $(2/3)^n 	o 0$,તેથી તમામ $x > 0$ માટે $f(x) = f(x^0) = f(1)$.કારણ કે $f$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,$f(0) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(1)$.$x  0$. તો $f((-t)^2) = f((-t)^3) \implies f(t^2) = f(-t^3)$.કારણ કે $f(t^2) = f(1)$,તેથી $f(-t^3) = f(1)$.જેમ $t^3$ તમામ ધન કિંમતો આવરી લે છે,તેથી તમામ $x આમ,તમામ $x \in R$ માટે $f(x) = c$ (અચળ).અચળ વિધેય એ યુગ્મ વિધેય છે કારણ કે $f(-x) = c = f(x)$.અચળ વિધેય દરેક જગ્યાએ વિકલનીય પણ છે અને $f'(x) = 0$.તેથી,$II$ અને $III$ બંને સાચા છે.

Similar Questions

ધારો કે $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક $\leq x$ છે. તો અંતરાલ $(-2, 1)$ માં એવા બિંદુઓની સંખ્યા શોધો જ્યાં વિધેય $f(x) = |[x]| + \sqrt{x - [x]}$ અસતત હોય.

જો વિધેય $f(\alpha) = \begin{cases} \frac{1-\cos 6 \alpha}{36 \alpha^2}, & \alpha \neq 0 \\ k, & \alpha=0 \end{cases}$ એ $\alpha=0$ આગળ સતત હોય,તો $k$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

જો $f(x) = \frac{4}{x^4} \left[ 1 - \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{4} \right]$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય,તો $f(0)$ ની કિંમત શોધો.

વિધેય $f$ ની સાતત્યતા ચર્ચો,જ્યાં $f$ એ $f(x) = \begin{cases} 2x, & \text{જો } x < 0 \\ 0, & \text{જો } 0 \le x \le 1 \\ 4x, & \text{જો } x > 1 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,$x=3$ આગળ.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module