KVPY 2015 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) બ્લોક માટે,અંતિમ વેગ $v = 0$,સમય $t = 2 \, s$,અને સ્થાનાંતર $s = 1 \, m$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$0 = u + a \times 2 \Rightarrow a = -u/2$.
સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$0 - u^2 = 2 \times (-u/2) \times 1 \Rightarrow -u^2 = -u \Rightarrow u(u - 1) = 0$.
કારણ કે $u \neq 0$,પ્રારંભિક વેગ $u = 1 \, m/s$ છે.
પ્રવેગ $a = -u/2 = -0.5 \, m/s^2$ છે.
ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k mg = m|a|$ છે.
આમ,$\mu_k g = |a| \Rightarrow \mu_k = 0.5 / 10 = 0.05$.
આ ગણતરીમાં,આપણે હવાના અવરોધ અને અન્ય ક્ષયકારી બળોને અવગણ્યા છે. વાસ્તવિક પરિસ્થિતિમાં,આ વધારાના બળો મંદનમાં ફાળો આપશે,જેનો અર્થ છે કે બોક્સને $2 \, s$ માં રોકવા માટે જરૂરી ઘર્ષણ બળ માત્ર ગતિક ઘર્ષણના આધારે ગણતરી કરેલ મૂલ્ય કરતા ઓછું હશે. તેથી,$\mu_k$ નું મૂલ્ય $0.05$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.

(C) ધારો કે પ્લેટોના પરિમાણો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે. ધારો કે ત્રિકોણનો પાયો અને લંબચોરસની પહોળાઈ $a$ છે,ત્રિકોણની ઊંચાઈ $h$ છે અને લંબચોરસની ઊંચાઈ $b$ છે.
આપેલ છે કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $=$ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ:
$\frac{1}{2} a h = a b \Rightarrow \frac{h}{2} = b \Rightarrow \frac{b}{h} = \frac{1}{2}$.
ધારો કે ઉગમબિંદુ સામાન્ય બાજુના મધ્યબિંદુ પર છે. ત્રિકોણાકાર ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુથી $y_1 = \frac{h}{3}$ અંતરે ઉપર છે.
લંબચોરસ ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુથી $y_2 = -\frac{b}{2}$ અંતરે નીચે છે.
સંયુક્ત પદાર્થ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે,તેથી $Y_{CM} = 0$.
સૂત્ર $Y_{CM} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2} = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$m_1 y_1 + m_2 y_2 = 0 \Rightarrow m_1 \left(\frac{h}{3}\right) + m_2 \left(-\frac{b}{2}\right) = 0$.
$\Rightarrow m_1 \left(\frac{h}{3}\right) = m_2 \left(\frac{b}{2}\right)$.
$\Rightarrow \frac{m_1}{m_2} = \frac{3b}{2h} = \frac{3}{2} \times \frac{b}{h} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$.
તેથી,દ્રવ્યમાનનો ગુણોત્તર $m_1 : m_2 = 3 : 4$ છે.

(B) તંત્ર સંતુલનમાં છે. ધારો કે $m_1$ ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું લટકાવવાના બિંદુમાંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખાથી અંતર $r_1$ છે અને $m_2$ માટે તે $r_2$ છે.
ગોળાઓ સંપર્કમાં હોવાથી,$r_1 + r_2 = 2R$ થાય.
સંપર્ક બિંદુની આસપાસ ભ્રમણીય સંતુલન માટે,સંપર્ક બિંદુમાંથી પસાર થતી શિરોલંબ ધરીની આસપાસ બંને ગોળાઓના વજનને કારણે લાગતા ટોર્ક સંતુલિત હોવા જોઈએ.
$m_1 g r_1 = m_2 g r_2$
સમીકરણમાં $r_1 = 2R - r_2$ મૂકતા:
$m_1 (2R - r_2) = m_2 r_2$
$2 m_1 R - m_1 r_2 = m_2 r_2$
$2 m_1 R = r_2 (m_1 + m_2)$
$r_2 = \frac{2 m_1 R}{m_1 + m_2}$
નાના ખૂણા $\theta$ માટે,$\sin \theta \approx \theta = \frac{r_2}{L}$ થાય.
$r_2$ ની કિંમત મૂકતા:
$\theta = \frac{2 m_1 R}{(m_1 + m_2) L}$

(D) તકતીઓના તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
$I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2 = (I_1 + I_2) \omega \quad ...(i)$
જ્યાં $I_1$ અને $I_2$ એ તકતીઓની જડત્વની ચાકમાત્રા છે,અને $\omega_1$ તથા $\omega_2$ એ તેમની કોણીય ઝડપ છે. $\omega$ એ બંને તકતીઓના સંયોજનની કોણીય ઝડપ છે.
આપેલ છે:
$I_1 = 4.25 \,kg \cdot m^2, \omega_1 = 15 \,rps$ (ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં,ધન લેતા)
$I_2 = 1.80 \,kg \cdot m^2, \omega_2 = -25 \,rps$ (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં,ઋણ લેતા)
સમીકરણ $(i)$ માં કિંમતો મૂકતા:
$I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2 = (I_1 + I_2) \omega$
$(4.25 \times 15) + (1.80 \times -25) = (4.25 + 1.80) \omega$
$63.75 - 45 = 6.05 \omega$
$18.75 = 6.05 \omega$
$\omega = \frac{18.75}{6.05} \approx 3.099 \,rps$
પરિણામ ધન હોવાથી,દિશા ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
આમ,નવો કોણીય વેગ આશરે $3 \,rps$ અને ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.

(B) આપેલ છે કે,દડો જમીન પર અથડાયાનો અવાજ દડો ફેંક્યાના $5.25 \, s$ પછી સંભળાય છે.
દડો જમીન પર અથડાયા પછી તેનો અવાજ જમીનથી ટાવરની ટોચ સુધી પહોંચે છે. અવાજને ટાવરની ટોચ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય:
$t_1 = \frac{D}{v_{sound}} = \frac{85}{340} = 0.25 \, s$
તેથી,દડાને જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય:
$t_2 = 5.25 - 0.25 = 5 \, s$
ધારો કે $t = 0$ સમયે દડાની પ્રારંભિક ઝડપ $u$ છે. દડાની ગતિ માટે:
સ્થાનાંતર $s = -85 \, m$ (નીચેની તરફ),
પ્રવેગ $a = -g = -10 \, m/s^2$,
સમય $t = 5 \, s$.
ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$
$-85 = u(5) + \frac{1}{2}(-10)(5)^2$
$-85 = 5u - 125$
$5u = 125 - 85$
$5u = 40$
$u = 8 \, m/s$

(A) સાચો જવાબ $(A)$ છે.
ચંદ્રની સપાટી પર કોઈ વાતાવરણ નથી,જેનો અર્થ છે કે બાહ્ય વાતાવરણીય દબાણ $0$ છે.
જ્યારે કોઈ પ્રવાહીનું સંતૃપ્ત બાષ્પ દબાણ બાહ્ય વાતાવરણીય દબાણ જેટલું થાય ત્યારે તે પ્રવાહી ઉકળવા લાગે છે.
ચંદ્ર પર $30^{\circ} C$ તાપમાને પાણીનું બાષ્પ દબાણ $0$ કરતા વધારે હોવાથી,બોટલ ખોલતાની સાથે જ ઉકળવાની શરત સંતોષાય છે.
તેથી,ચંદ્ર પર બોટલ ખોલતાની સાથે જ પાણી ઉકળવા લાગશે.

(C) સાદા લોલક માટે,ગતિનું સમીકરણ $\frac{d^2 \theta}{dt^2} + \frac{g}{l} \sin \theta = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાના દોલનો માટે,$\sin \theta \approx \theta$,જે સરળ આવર્ત ગતિનો સમયગાળો $T_0 = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ આપે છે.
જોકે,મોટા કંપનવિસ્તાર માટે (જેમ કે $45^{\circ}$),આપણે $\sin \theta \approx \theta - \frac{\theta^3}{6}$ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કંપનવિસ્તાર $\theta_0$ ધરાવતા લોલક માટે સમયગાળો $T$ એ સૂત્ર $T = T_0 \left( 1 + \frac{\theta_0^2}{16} + \dots \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (જ્યાં $\theta_0$ રેડિયનમાં છે).
અહીં $\theta_0 = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4} \text{ રેડિયન}$ હોવાથી,પદ $\frac{\theta_0^2}{16}$ ધન છે.
તેથી,સમયગાળો $T$ એ $T_0$ કરતા થોડો વધારે હશે.

(B) આદર્શ વાયુ માટે અવસ્થાનું સમીકરણ $pV = nRT$ છે,જેને $V = (nR/p) \cdot T$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાનું સમીકરણ છે,જેનો ઢાળ $m = nR/p$ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ઢાળ એ દબાણના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $\text{slope} \propto 1/p$.
આપેલ $V-T$ આલેખનું અવલોકન કરતા,$p_3$ માટેની રેખાનો ઢાળ સૌથી વધુ છે,ત્યારબાદ $p_2$ આવે છે,અને $p_1$ માટેનો ઢાળ સૌથી ઓછો છે.
કારણ કે $\text{slope} \propto 1/p$,તેથી મોટો ઢાળ નાના દબાણને અનુરૂપ છે.
તેથી,દબાણ વચ્ચેનો સંબંધ $p_1 > p_2 > p_3$ છે.

(B) આપેલ છે,$A = G^\alpha M^\beta c^\gamma$.
ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[A] = [L]^2$
$[G] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
$[M] = [M]$
$[c] = [L T^{-1}]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[L]^2 = [M^{-1} L^3 T^{-2}]^\alpha [M]^\beta [L T^{-1}]^\gamma$
$[L]^2 = M^{-\alpha + \beta} L^{3\alpha + \gamma} T^{-2\alpha - \gamma}$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $-\alpha + \beta = 0 \implies \beta = \alpha \quad (i)$
$L$ માટે: $3\alpha + \gamma = 2 \quad (ii)$
$T$ માટે: $-2\alpha - \gamma = 0 \implies \gamma = -2\alpha \quad (iii)$
સમીકરણ $(iii)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$3\alpha - 2\alpha = 2 \implies \alpha = 2$
કારણ કે $\beta = \alpha$,તેથી $\beta = 2$.
કારણ કે $\gamma = -2\alpha$,તેથી $\gamma = -2(2) = -4$.
આમ,$\alpha = 2, \beta = 2$ અને $\gamma = -4$.

(D) ડેસિબલ $(dB)$ માં અવાજનું સ્તર $\beta$ આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\beta = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$,જ્યાં $I$ એ તીવ્રતા છે અને $I_0$ એ સંદર્ભ તીવ્રતા છે.
ધારો કે પ્રારંભિક તીવ્રતા $I_1 = I$ છે અને અંતિમ તીવ્રતા $I_2 = 100I$ છે.
પ્રારંભિક અવાજનું સ્તર $\beta_1 = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$ છે.
અંતિમ અવાજનું સ્તર $\beta_2 = 10 \log_{10} \left( \frac{100I}{I_0} \right)$ છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\beta_2 = 10 \left( \log_{10} 100 + \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right) \right)$.
કારણ કે $\log_{10} 100 = 2$,તેથી $\beta_2 = 10(2) + 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right) = 20 + \beta_1$.
આમ,અવાજનું સ્તર $20 \, dB$ જેટલું વધે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$80 \, dB$ થી $100 \, dB$ નો વધારો એ $20 \, dB$ નો વધારો દર્શાવે છે.

(A) જ્યારે તાર ખેંચાય છે,ત્યારે બ્લોકની ગતિઊર્જા ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હૂકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\text{Stress} = Y \times \text{Strain}$,જ્યાં $\text{Strain} = \frac{\Delta l}{L}$.
તેથી,$U = \frac{1}{2} \times Y \times \left(\frac{\Delta l}{L}\right)^2 \times (A \times L) = \frac{1}{2} \frac{Y A}{L} (\Delta l)^2$.
બ્લોકની પ્રારંભિક ગતિઊર્જાને તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિઊર્જા સાથે સરખાવતા:
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \frac{Y A}{L} (\Delta l)^2$.
$\Delta l$ માટે ઉકેલતા:
$(\Delta l)^2 = \frac{m v^2 L}{A Y}$.
$\Delta l = v \sqrt{\frac{m L}{A Y}}$.
આમ,તાર ખેંચાયા પછી બ્લોક દ્વારા કાપવામાં આવેલું મહત્તમ અંતર $v \sqrt{\frac{m L}{A Y}}$ છે.

(A) ધારો કે $O$ એ તકતીનું ભૌમિતિક કેન્દ્ર છે અને $C(x, y)$ તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર છે.
ધારો કે $I_{CM}$ એ તકતીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સ્પર્શકોને સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{CM} + M d^2$ છે,જ્યાં $d$ એ અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે.
સ્પર્શકો $AB$ અને $CD$ ($x$-અક્ષને સમાંતર) માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી અંતર અનુક્રમે $(R-y)$ અને $(R+y)$ છે:
$I_1 = I_{CM} + M(R-y)^2$
$I_3 = I_{CM} + M(R+y)^2$
આ સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$I_1 - I_3 = M[(R-y)^2 - (R+y)^2] = M[R^2 - 2Ry + y^2 - (R^2 + 2Ry + y^2)] = -4MRy$
તે જ રીતે,સ્પર્શકો $BC$ અને $DA$ ($y$-અક્ષને સમાંતર) માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી અંતર અનુક્રમે $(R-x)$ અને $(R+x)$ છે:
$I_2 = I_{CM} + M(R-x)^2$
$I_4 = I_{CM} + M(R+x)^2$
$I_2 - I_4 = -4MRx$
બંને પરિણામોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(I_1 - I_3)^2 + (I_2 - I_4)^2 = 16M^2R^2y^2 + 16M^2R^2x^2 = 16M^2R^2(x^2 + y^2)$
તેથી,અંતર $d = \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{1}{4MR} \sqrt{(I_1 - I_3)^2 + (I_2 - I_4)^2}$.

(C) આપેલ છે:
પ્રારંભિક લંબાઈ $L = 100 \, m$
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 25^{\circ} C$
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 40^{\circ} C$
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 40 - 25 = 15^{\circ} C$
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 1.1 \times 10^{-5} /^{\circ} C$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \, Pa$
ટ્રેકને વિસ્તરણ કરતા અટકાવવામાં આવ્યો હોવાથી,પદાર્થમાં ઉષ્મીય પ્રતિબળ ઉત્પન્ન થાય છે.
ઉષ્મીય પ્રતિબળ $\sigma$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\sigma = Y \cdot \alpha \cdot \Delta T$
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma = (2 \times 10^{11} \, Pa) \times (1.1 \times 10^{-5} /^{\circ} C) \times (15^{\circ} C)$
$\sigma = 2 \times 1.1 \times 15 \times 10^{11-5} \, Pa$
$\sigma = 33 \times 10^6 \, Pa$
$\sigma = 3.3 \times 10^7 \, Pa$
આમ,ટ્રેક પરનું પ્રતિબળ $3.3 \times 10^7 \, Pa$ છે.

(A) ત્રિજ્યા $R$ અને કુલ કોણીય માપ $\theta$ ધરાવતા એક સમાન ઘન વર્તુળાકાર સેક્ટરને ધ્યાનમાં લો. ધારો કે સેક્ટર $y$-અક્ષની આસપાસ સંમિત છે.
$y$-અક્ષથી $\alpha$ ખૂણે $d\alpha$ કોણીય પહોળાઈ ધરાવતા સેક્ટરના એક સૂક્ષ્મ ત્રિકોણાકાર ઘટકને ધ્યાનમાં લો.
આ સૂક્ષ્મ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $dA = \frac{1}{2} R^2 d\alpha$ છે.
ત્રિકોણનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર શિરોબિંદુ $O$ થી $\frac{2}{3} R$ અંતરે હોય છે. આ ઘટક માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું $x$-અક્ષથી અંતર $y = \frac{2}{3} R \cos \alpha$ છે.
આખા સેક્ટરના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$\bar{y} = \frac{\int y dA}{\int dA} = \frac{\int_{-\theta/2}^{\theta/2} (\frac{2}{3} R \cos \alpha) (\frac{1}{2} R^2 d\alpha)}{\int_{-\theta/2}^{\theta/2} \frac{1}{2} R^2 d\alpha}$
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\bar{y} = \frac{\frac{1}{3} R^3 \int_{-\theta/2}^{\theta/2} \cos \alpha d\alpha}{\frac{1}{2} R^2 [\alpha]_{-\theta/2}^{\theta/2}} = \frac{\frac{1}{3} R^3 [\sin \alpha]_{-\theta/2}^{\theta/2}}{\frac{1}{2} R^2 \theta} = \frac{\frac{1}{3} R^3 (2 \sin(\theta/2))}{\frac{1}{2} R^2 \theta}$
$\bar{y} = \frac{2}{3} R \frac{2 \sin(\theta/2)}{\theta} = \frac{4}{3} R \frac{\sin(\theta/2)}{\theta}$

(A) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે અને જ્યારે તે ગ્રહની સપાટી પર પાછો ફરે ત્યારે તેની ઝડપ $v$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,ગ્રહના કેન્દ્રથી અંતર $r_{max} = R + 4R = 5R$ છે. આ બિંદુએ પદાર્થનો વેગ $0$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ અને ગ્રહની સપાટી વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા:
$E_{initial} = E_{final}$
$U_{max} + K_{max} = U_{surface} + K_{surface}$
$-\frac{G M m}{5R} + 0 = -\frac{G M m}{R} + \frac{1}{2} m v^2$
$\frac{1}{2} v^2 = \frac{G M}{R} - \frac{G M}{5R}$
$\frac{1}{2} v^2 = \frac{G M}{R} (1 - \frac{1}{5}) = \frac{G M}{R} (\frac{4}{5})$
$v^2 = \frac{8 G M}{5 R}$
$v = \sqrt{\frac{8 G M}{5 R}} = 2 \sqrt{\frac{2 G M}{5 R}}$
આમ,જ્યારે પદાર્થ સપાટી પર પાછો ફરે ત્યારે તેની ઝડપ $2 \sqrt{\frac{2 G M}{5 R}}$ હશે.

(A) આપેલ ચક્રીય પ્રક્રિયા પરથી,વર્તુળનું સમીકરણ છે:
$(p-4)^2 + (V-4)^2 = 2^2 = 4 \quad \dots(i)$
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = nRT$ પરથી,$n=1 \, mol$ માટે,$T = \frac{pV}{R}$.
મહત્તમ તાપમાન શોધવા માટે,આપણે ગુણાકાર $pV$ ને મહત્તમ બનાવવો પડશે.
ધારો કે $y = pV$. સમીકરણ $(i)$ પરથી,$p = 4 \pm \sqrt{4 - (V-4)^2}$.
આને $y = pV$ માં મૂકતા,આપણને $y = V(4 \pm \sqrt{4 - (V-4)^2})$ મળે છે.
$y$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $\frac{dy}{dV} = 0$ લઈએ છીએ. વૈકલ્પિક રીતે,વર્તુળના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$pV$ નું મહત્તમ મૂલ્ય વર્તુળ પરના તે બિંદુએ મળે છે જ્યાં સ્પર્શક ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ને બિંદુ $(p,V)$ સાથે જોડતી રેખાને લંબ હોય.
ઉગમબિંદુથી કેન્દ્ર $(4,4)$ સુધીની રેખાનો ઢાળ $1$ છે. મહત્તમ $pV$ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $-1$ હોવો જોઈએ.
વર્તુળ $(p-4)^2 + (V-4)^2 = 2^2$ પરના બિંદુના યામ,જ્યાં સ્પર્શકનો ઢાળ $-1$ હોય,તે નીચે મુજબ છે:
$p = 4 + \sqrt{2}$
$V = 4 + \sqrt{2}$
આમ,$(pV)_{\max} = (4+\sqrt{2})(4+\sqrt{2}) = 16 + 2 + 8\sqrt{2} = 18 + 8(1.414) = 18 + 11.312 = 29.312$.
તેથી,$T_{\max} = \frac{(pV)_{\max}}{R} \approx \frac{29.3}{R} \approx \frac{30}{R}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\frac{V}{t} = k \left( \frac{p}{l} \right)^a \eta^b r^c$ છે.
ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[V/t] = [L^3 T^{-1}]$
$[p/l] = [M L^{-1} T^{-2} / L] = [M L^{-2} T^{-2}]$
$[\eta] = [M L^{-1} T^{-1}]$
$[r] = [L]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[L^3 T^{-1}] = [M L^{-2} T^{-2}]^a [M L^{-1} T^{-1}]^b [L]^c$
$[L^3 T^{-1}] = M^{a+b} L^{-2a-b+c} T^{-2a-b}$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$M$ માટે: $a + b = 0 \Rightarrow b = -a$
$T$ માટે: $-2a - b = -1$
$T$ ના સમીકરણમાં $b = -a$ મૂકતા: $-2a - (-a) = -1 \Rightarrow -a = -1 \Rightarrow a = 1$.
$b = -a$ હોવાથી,આપણને $b = -1$ મળે છે.
$L$ માટે: $-2a - b + c = 3$
$a = 1$ અને $b = -1$ મૂકતા: $-2(1) - (-1) + c = 3 \Rightarrow -2 + 1 + c = 3 \Rightarrow -1 + c = 3 \Rightarrow c = 4$.
આમ,$a=1, b=-1, c=4$ એ સાચા મૂલ્યો છે.

(C) આપેલ છે,$F = 10.0 \pm 0.2 \, N$ અને $a = 1.00 \pm 0.01 \, m/s^2$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $m = F/a$.
દળનું સરેરાશ મૂલ્ય ગણતા: $m = 10.0 / 1.00 = 10.0 \, kg$.
ભાગાકાર માટે,સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta m}{m} = \frac{\Delta F}{F} + \frac{\Delta a}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta m}{m} = \frac{0.2}{10.0} + \frac{0.01}{1.00} = 0.02 + 0.01 = 0.03$.
હવે,દળમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિની ગણતરી કરતા: $\Delta m = 0.03 \times m = 0.03 \times 10.0 = 0.3 \, kg$.
તેથી,પદાર્થનું દળ $m = 10.0 \pm 0.3 \, kg$ છે.

(C) જ્યારે ભરેલા પાણીના સ્તંભનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પાયાની જમણી ધારની બહાર જાય ત્યારે નળાકાર ઉથલી પડશે. પાણી $h$ ઊંચાઈનો નળાકાર આકાર બનાવે છે (ઊભી રીતે માપવામાં આવે છે),તેથી આ પાણીના સ્તંભનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર રહેલું હોય છે.
ધારો કે નળાકારનો પાયો સમક્ષિતિજ સપાટી પર છે. પાયાની જમણી ધાર બિંદુ $A$ પર છે. પાણીના સ્તંભનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ડાબી ધારથી $a/2$ ના સમક્ષિતિજ અંતરે છે,અથવા વધુ સરળ રીતે,સ્થિરતા માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી ઊભી રેખા પાયામાંથી પસાર થવી જોઈએ.
નમેલા નળાકારની ભૂમિતિ પરથી,પાયાની જમણી ધારથી પાણીના સ્તંભના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી ઊભી રેખા સુધીનું સમક્ષિતિજ અંતર $a/2$ છે. પાણીના સ્તંભના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊભી ઊંચાઈ $h/2$ છે.
નળાકાર ઉથલી પડવાની તૈયારીમાં હોય તે માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી ઊભી રેખા પાયાની જમણી ધારમાંથી પસાર થવી જોઈએ. નમન કોણ $\theta$ દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લેતા,પાયાના કેન્દ્રથી જમણી ધાર સુધીનું સમક્ષિતિજ અંતર $a/2$ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊભી ઊંચાઈ $h/2$ છે.
ભૂમિતિ પરથી,$\tan \theta = \frac{\text{ઊભી ઊંચાઈ}}{\text{સમક્ષિતિજ અંતર}} = \frac{h/2}{a/2} = \frac{h}{a}$.
તેથી,$h = a \tan \theta$.

(B) પ્રથમ $4 \, s$ માટે,વસ્તુ સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u = 0)$ $a = 1 \, m/s^2$ ના સમાન પ્રવેગ સાથે ગતિ શરૂ કરે છે. સમય $t$ ના વિધેય તરીકે સ્થાન $x$ એ $x = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}(1)t^2 = \frac{t^2}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ ઉગમબિંદુથી શરૂ થતો ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલયાકાર વક્ર દર્શાવે છે.
$t = 4 \, s$ પર,વેગ $v = u + at = 0 + (1)(4) = 4 \, m/s$ છે. $t = 4 \, s$ પર સ્થાન $x = \frac{(4)^2}{2} = 8 \, m$ છે.
$t > 4 \, s$ માટે,વસ્તુ $4 \, m/s$ ના અચળ વેગ સાથે ગતિ કરે છે. સમય $t$ ના વિધેય તરીકે સ્થાન $x$ એ $x = x_0 + v(t - t_0) = 8 + 4(t - 4) = 8 + 4t - 16 = 4t - 8$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ $4 \, m/s$ ના અચળ ધન ઢાળ સાથેની સીધી રેખા દર્શાવે છે.
આલેખમાં $0 \le t \le 4 \, s$ માટે પરવલયાકાર વક્ર અને $t > 4 \, s$ માટે $t = 4 \, s$ પર સતત ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા હોવી જોઈએ. વિકલ્પ $(b)$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 75 \,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 2 \,m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \,m/s$,અને અટકવા માટેનું અંતર $s = 0.25 \,m$.
સૌ પ્રથમ,આપણે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને પેરાશૂટિસ્ટનો પ્રતિપ્રવેગ (પ્રવેગ) શોધીએ:
$v^2 - u^2 = 2as$
$0^2 - (2)^2 = 2 \cdot a \cdot 0.25$
$-4 = 0.5 \cdot a$
$a = -8 \,m/s^2$
ઋણ નિશાની પ્રતિપ્રવેગ સૂચવે છે (ઉપરની તરફ $8 \,m/s^2$ નો પ્રવેગ).
હવે,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$F_{\text{net}} = ma$
$F_R - mg = ma$
જ્યાં $F_R$ એ જમીન દ્વારા લાગતું અવરોધક બળ છે અને $g = 10 \,m/s^2$ લેતા.
$F_R = m(g + a)$
$F_R = 75 \cdot (10 + 8)$
$F_R = 75 \cdot 18 = 1350 \,N$.
તેથી,જમીન દ્વારા પેરાશૂટિસ્ટ પર લાગતું સરેરાશ બળ $1350 \,N$ છે.

(D) દડાની કક્ષીય ત્રિજ્યા $r = R + h$ છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(6400 \, km)$ છે અને $h$ એ ઊંચાઈ $(9 \, km)$ છે.
$h \ll R$ હોવાથી,$r \approx R$ થાય.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા પદાર્થનો પ્રવેગ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = v^2 / r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{GM/r}$ મૂકતા,આપણને $a = (GM/r) / r = GM/r^2$ મળે છે.
$r \approx R$ હોવાથી,પ્રવેગ $a \approx GM/R^2$ થાય.
વ્યાખ્યા મુજબ,પૃથ્વીની સપાટીની નજીક ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = GM/R^2$ છે.
તેથી,કક્ષામાં રહેલા દડાનો પ્રવેગ લગભગ $g$ જેટલો જ હોય છે.

(A) સૂર્યની આસપાસ લંબગોળ કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ગ્રહ માટે,કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E$ એ $E = K + U$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રહ સૂર્ય સાથે બંધાયેલો હોવાથી,કુલ ઊર્જા $E$ ઋણ હોય છે $(E < 0)$.
ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન $V \propto r^{-1}$ માટે વિરિયલ પ્રમેય મુજબ,સરેરાશ ગતિઊર્જા $\langle K \rangle$ અને સરેરાશ સ્થિતિઊર્જા $\langle U \rangle$ વચ્ચેનો સંબંધ $\langle K \rangle = -\frac{1}{2} \langle U \rangle$ છે.
ચોક્કસ રીતે,કક્ષાના કોઈપણ બિંદુએ,સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ છે અને ગતિઊર્જા $K = \frac{GMm}{2r} + \text{કક્ષા પર આધારિત અચળ પદો}$ છે.
સરળ રીતે કહીએ તો,બંધ કક્ષા માટે,કુલ ઊર્જા $E = K + U < 0$,જે સૂચવે છે કે $K + U < 0$,અથવા $K < -U$. કારણ કે $U$ ઋણ છે,તેથી $-U = |U|$.
તેથી,બંધ લંબગોળ કક્ષા માટે $K < |U|$ હંમેશા સાચું છે.

(C) આ પ્રક્રિયા $p-V$ આલેખમાં એક સીધી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવી છે.
પ્રક્રિયાનું સમીકરણ શોધવા માટે,આપણે સીધી રેખાના સમીકરણના બે-બિંદુ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$.
અહીં,રેખા પરના બે બિંદુઓ $(V_1, p_1) = (0, p_0)$ અને $(V_2, p_2) = (V_0, 0)$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$p - p_0 = \frac{0 - p_0}{V_0 - 0}(V - 0)$
$p - p_0 = -\frac{p_0}{V_0} V$
$p = p_0 - \frac{p_0}{V_0} V = p_0 \left(1 - \frac{V}{V_0}\right)$.
એક મોલ આદર્શ વાયુ માટે,આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $pV = RT$ છે,જેનો અર્થ છે કે $p = \frac{RT}{V}$.
$p$ માટેના આ સમીકરણને આદર્શ વાયુના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{RT}{V} = p_0 \left(1 - \frac{V}{V_0}\right)$
$T = \frac{p_0 V}{R} \left(1 - \frac{V}{V_0}\right)$.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ છે.
અહીં ઊંચાઈ $h$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R$ કરતા ઘણી ઓછી હોવાથી $(h << R)$,$g_h$ નું મૂલ્ય પૃથ્વીની સપાટી પરના ગુરુત્વપ્રવેગ $g \approx 9.8 \, m/s^2$ ની લગભગ સમાન હોય છે.
અવકાશયાત્રી સ્પેસ સ્ટેશનમાં હોવાથી તે મુક્ત પતન (free fall) ની સ્થિતિમાં છે. અવકાશયાત્રી પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેને કક્ષામાં રાખવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી પ્રવેગ પૂરો પાડે છે.
તેથી,પૃથ્વી પરથી માપવામાં આવતા અવકાશયાત્રીનો પ્રવેગ લગભગ $g$ જેટલો હોય છે અને તે પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.

(A) ધારો કે મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $T^{\circ} C$ છે.
$90^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા $2 \,kg$ પાણી દ્વારા $T^{\circ} C$ તાપમાન સુધી પહોંચવા માટે ગુમાવેલી ઉષ્મા: $Q_{lost} = m_w s_w (90 - T) = 2 \times 4.18 \times (90 - T) = 8.36(90 - T) \,kJ$.
$-20^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા $1 \,kg$ બરફ દ્વારા $0^{\circ} C$ સુધી પહોંચવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા: $Q_1 = m_i s_i (0 - (-20)) = 1 \times 2.09 \times 20 = 41.8 \,kJ$.
$0^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા $1 \,kg$ બરફ દ્વારા $0^{\circ} C$ તાપમાનના પાણીમાં રૂપાંતરિત થવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા: $Q_2 = m_i L_f = 1 \times 334.4 = 334.4 \,kJ$.
પરિણામી $1 \,kg$ પાણી દ્વારા $0^{\circ} C$ થી $T^{\circ} C$ તાપમાન સુધી પહોંચવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા: $Q_3 = m_i s_w (T - 0) = 1 \times 4.18 \times T = 4.18T \,kJ$.
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,$Q_{lost} = Q_1 + Q_2 + Q_3$.
$8.36(90 - T) = 41.8 + 334.4 + 4.18T$.
$752.4 - 8.36T = 376.2 + 4.18T$.
$752.4 - 376.2 = 4.18T + 8.36T$.
$376.2 = 12.54T$.
$T = \frac{376.2}{12.54} = 30^{\circ} C$.

(A) ધારો કે દરેક સળિયાની લંબાઈ $l$ છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
જ્યારે પદાર્થને એક છેડા $P$ થી લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે ધારો કે સળિયો $2$ સમક્ષિતિજ છે. સળિયો $1$ સમક્ષિતિજ સળિયા $2$ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
દરેક સળિયાનું વજન $mg$ તેમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રો $A$ અને $B$ થી શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
ધારો કે $D$ એ બિંદુ $P$ નો સમક્ષિતિજ સળિયા $2$ પરનો પ્રક્ષેપ છે.
સળિયા $1$ ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $A$ નું $P$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખાથી સમક્ષિતિજ અંતર $d_1 = \frac{l}{2} \cos \theta$ છે.
સળિયા $2$ ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $B$ નું $P$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખાથી સમક્ષિતિજ અંતર $d_2 = \frac{l}{2} - l \cos \theta$ છે.
લટકાવવાના બિંદુ $P$ ની આસપાસ ચાકગતિ સંતુલન માટે,બંને સળિયાઓના વજનને કારણે લાગતા ટોર્ક એકબીજાને સંતુલિત કરવા જોઈએ:
$mg \cdot d_1 = mg \cdot d_2$
$\frac{l}{2} \cos \theta = \frac{l}{2} - l \cos \theta$
$l$ વડે ભાગતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{2} \cos \theta = \frac{1}{2} - \cos \theta$
$\frac{3}{2} \cos \theta = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{3}$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.

(B) ક્ષય પ્રક્રિયા ${ }_{6}^{11} C \rightarrow{ }_{5}^{11} B +e^{+}+ v _{e}+0.96 \,MeV$ છે.
જ્યારે પોઝિટ્રોન $e^{+}$ ઇલેક્ટ્રોન $e^{-}$ સાથે નાશ પામે છે,ત્યારે મુક્ત થતી ઉર્જા $2 \times m _{e} c^{2} = 2 \times 0.511 \,MeV \approx 1.02 \,MeV$ છે.
પ્રતિ ક્ષય મુક્ત થતી કુલ ઉર્જા = $0.96 \,MeV + 1.02 \,MeV = 1.98 \,MeV \approx 2 \,MeV$.
${ }_{6}^{11} C$ નું પ્રારંભિક દળ $M _{0} = 1 \,\mu g = 10^{-6} \,g$ છે.
પરમાણુઓની સંખ્યા $N _{0} = \frac{M _{0}}{A} \times N _{A} = \frac{10^{-6}}{11} \times 6.023 \times 10^{23} \approx 5.475 \times 10^{16} \,atoms$.
$t = 2 t _{0}$ સમયમાં,ક્ષય પામેલા પરમાણુઓનો અંશ $1 - (1/2)^{2} = 1 - 1/4 = 3/4 = 0.75$ છે.
ક્ષય પામેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N = 0.75 \times N _{0} = 0.75 \times 5.475 \times 10^{16} \approx 4.1 \times 10^{16} \,atoms$.
કુલ ઉર્જા $E = N \times 1.98 \,MeV \approx 4.1 \times 10^{16} \times 2 \,MeV \approx 8.2 \times 10^{16} \,MeV$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકની કિંમત $8 \times 10^{16} \,MeV$ છે.

(A) આ પરિપથમાં એક ડાયોડ અને એક અવરોધ $R$ સમાંતરમાં જોડાયેલા છે. કુલ પ્રવાહ $I$ એ અવરોધમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $(I_R)$ અને ડાયોડમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $(I_D)$ નો સરવાળો છે,એટલે કે $I = I_R + I_D$.
$1$. જ્યારે વોલ્ટેજ $V$ ઋણ હોય (રિવર્સ બાયસ),ત્યારે ડાયોડ ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે (આદર્શ ડાયોડ ધારતા). તેથી,સમગ્ર પ્રવાહ અવરોધ $R$ માંથી વહે છે. ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$I = V / R$. આના પરિણામે ત્રીજા ચરણમાં $1/R$ જેટલા ઢાળવાળી ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા મળે છે.
$2$. જ્યારે વોલ્ટેજ $V$ ધન હોય (ફોરવર્ડ બાયસ),ત્યારે ડાયોડ ની વોલ્ટેજ પછી નોંધપાત્ર રીતે વહન કરવાનું શરૂ કરે છે. ડાયોડમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_D = I_s (e^{V / n V_T} - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કુલ પ્રવાહ $I = V / R + I_s (e^{V / n V_T} - 1)$ થાય છે. આના પરિણામે પ્રથમ ચરણમાં પ્રવાહમાં ઘાતાંકીય વધારો જોવા મળે છે.
આ બંનેને જોડતા,લાક્ષણિક વક્ર ઋણ $V$ વિસ્તારમાં રેખીય સંબંધ અને ધન $V$ વિસ્તારમાં ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $(A)$ માં આપેલા આલેખ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન તરંગ પ્રકૃતિ દર્શાવે છે અને તેથી તેઓ વ્યતિકરણ ભાત બનાવે છે. ભાતની શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$,જ્યાં $\lambda$ એ ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}} = \frac{h}{\sqrt{2meU}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમતને શલાકાની પહોળાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $\beta = \frac{hD}{d\sqrt{2meU}}$.
અહીં $h, D, d, m,$ અને $e$ અચળ હોવાથી,$\beta \propto \frac{1}{\sqrt{U}}$ થાય.
ધારો કે $U$ પોટેન્શિયલ સાથેની પ્રારંભિક શલાકાની પહોળાઈ $\beta_i$ છે અને $4U$ પોટેન્શિયલ સાથેની અંતિમ શલાકાની પહોળાઈ $\beta_f$ છે.
તેથી,$\frac{\beta_f}{\beta_i} = \sqrt{\frac{U}{4U}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\beta_f = \frac{1}{2} \beta_i$,જેનો અર્થ છે કે શલાકાની પહોળાઈ તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા અડધી થઈ જાય છે.

(A) જ્યારે પરિભ્રમણ કરતા વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય,ત્યારે લૂપના કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે.
આપેલ છે: $Q = 3 \times 10^{-12} \, C$,$R = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$,$B_H = 30 \, \mu T = 30 \times 10^{-6} \, T$.
વર્તુળના કેન્દ્ર પર પરિભ્રમણ કરતા વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_q = \frac{\mu_0 i}{2R}$ છે.
$i = \frac{Q}{T}$ અને $T = \frac{2\pi}{\omega}$ હોવાથી,$i = \frac{Q\omega}{2\pi}$ મળે.
$B_q$ ના સૂત્રમાં $i$ ની કિંમત મૂકતા:
$B_q = \frac{\mu_0 (Q\omega / 2\pi)}{2R} = \frac{\mu_0 Q \omega}{4\pi R}$.
$B_q$ ને $B_H$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{\mu_0 Q \omega}{4\pi R} = B_H$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$10^{-7} \times \frac{3 \times 10^{-12} \times \omega}{10^{-3}} = 30 \times 10^{-6}$
$3 \times 10^{-16} \times \omega = 30 \times 10^{-9}$
$\omega = \frac{30 \times 10^{-9}}{3 \times 10^{-19}} = 10^{11} \, rad/s$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ સર્કિટ શ્રેણી $L-C-R$ સર્કિટ છે.
ધારો કે $V_L$,$V_R$,અને $V_C$ એ અનુક્રમે ઇન્ડક્ટર,રઝિસ્ટર અને કેપેસિટર પરના વોલ્ટેજ છે.
સર્કિટ પરથી,વોલ્ટમીટરના રીડિંગ્સ નીચે મુજબ છે:
$1$. $A$ અને $B$ વચ્ચે: $V_L = 36 \,V$
$2$. $A$ અને $C$ વચ્ચે: $\sqrt{V_L^2 + V_R^2} = 39 \,V$
$3$. $B$ અને $D$ વચ્ચે: $\sqrt{V_R^2 + V_C^2} = 25 \,V$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી:
$V_L^2 + V_R^2 = 39^2$
$36^2 + V_R^2 = 1521$
$1296 + V_R^2 = 1521$
$V_R^2 = 1521 - 1296 = 225$
$V_R = 15 \,V$
$(3)$ અને $V_R = 15 \,V$ પરથી:
$V_R^2 + V_C^2 = 25^2$
$15^2 + V_C^2 = 625$
$225 + V_C^2 = 625$
$V_C^2 = 400$
$V_C = 20 \,V$
$A$ અને $D$ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ એ કુલ વોલ્ટેજ $V_{AD} = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$ છે:
$V_{AD} = \sqrt{15^2 + (36 - 20)^2}$
$V_{AD} = \sqrt{225 + 16^2} = \sqrt{225 + 256} = \sqrt{481} \,V$

(D) હાઇડ્રોજન જેવા તંત્ર માટે $n$-મી બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = \frac{\varepsilon_0 n^2 h^2}{\pi m Z e^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સેમિકન્ડક્ટરમાં,ઇલેક્ટ્રોન $\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0$ પરમિટિવિટી ધરાવતા માધ્યમમાં ગતિ કરે છે અને તેનું અસરકારક દળ $m^* = 0.07 \, m_e$ છે.
આ માધ્યમમાં કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = \frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 n^2 h^2}{\pi m^* Z e^2}$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે હાઇડ્રોજન પરમાણુની બોહર ત્રિજ્યા $a_0 = \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2} = 0.53 \, \mathring{A}$ છે.
આપેલ કિંમતો $(n=1, Z=1, \varepsilon_r = 13, m^* = 0.07 \, m_e)$ મૂકતા:
$r = \frac{\varepsilon_r}{m^*/m_e} \times a_0 = \frac{13}{0.07} \times 0.53 \, \mathring{A}$.
$r = \frac{6.89}{0.07} \, \mathring{A} = 98.42 \, \mathring{A}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $r \approx 100 \, \mathring{A}$ મળે છે.

(C) રીંગમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B = B \cdot A = (B_0 \sin \omega t)(\pi a^2)$ છે.
રીંગમાં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) $E = -\frac{d\phi_B}{dt} = -\frac{d}{dt}(B_0 \pi a^2 \sin \omega t) = -B_0 \pi a^2 \omega \cos \omega t$ છે.
લૂપમાં પ્રવાહ $I = \frac{E}{R} = -\frac{B_0 \pi a^2 \omega}{R} \cos \omega t$ છે. આમ,પ્રવાહ $\omega$ આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે.
જુલ હીટિંગ લોસ $P = I^2 R = \frac{B_0^2 \pi^2 a^4 \omega^2}{R^2} \cos^2 \omega t \cdot R = \frac{B_0^2 \pi^2 a^4 \omega^2}{R} \cos^2 \omega t$ છે. તેથી,ઉષ્માનો વ્યય $a^4$ ના પ્રમાણમાં છે.
રીંગના નાના ખંડ $dl$ પરનું ચુંબકીય બળ $dF = I(dl \times B)$ છે. પ્રવાહ પરિઘ પર વહે છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર રીંગના સમતલને લંબ હોવાથી,બળ $dF$ ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં બહાર કે અંદરની તરફ લાગે છે. તેનું મૂલ્ય $dF = I B dl = (\frac{B_0 \pi a^2 \omega}{R} \cos \omega t) (B_0 \sin \omega t) dl = \frac{B_0^2 \pi a^2 \omega}{R} \sin \omega t \cos \omega t dl$ છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $\frac{dF}{dl} = \frac{B_0^2 \pi a^2 \omega}{R} \sin \omega t \cos \omega t$ છે,જે $B_0^2$ ના પ્રમાણમાં છે.
રીંગની સમપ્રમાણતાને કારણે,રીંગ પરનું કુલ બળ શૂન્ય છે.

(D) સ્ત્રોતનો પાવર $P = 160 \,W$ છે અને તરંગલંબાઈ $\lambda = 50000 \,\mathring A = 5 \times 10^{-6} \,m$ છે.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{5 \times 10^{-6}} \approx 3.98 \times 10^{-20} \,J$ છે.
સ્ત્રોત દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $N = \frac{P}{E} = \frac{160}{3.98 \times 10^{-20}} \approx 4.02 \times 10^{21} \,s^{-1}$ છે.
$r = 1.8 \,m$ ના અંતરે ફોટોન ફ્લક્સ $n$ એ એકમ ક્ષેત્રફળમાંથી પ્રતિ સેકન્ડ પસાર થતા ફોટોનની સંખ્યા છે,જે $n = \frac{N}{4 \pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = \frac{4.02 \times 10^{21}}{4 \times 3.14 \times (1.8)^2} = \frac{4.02 \times 10^{21}}{40.69} \approx 0.0988 \times 10^{21} \approx 10^{20} \,m^{-2} s^{-1}$.
આમ,મૂલ્યનો ક્રમ $10^{20} \,m^{-2} s^{-1}$ છે.

(A) $n$-બાજુવાળા બહુકોણ માટે,બાયો-સાવર્ટના નિયમનો ઉપયોગ કરીને લૂપના કેન્દ્ર પર એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચે મુજબ છે:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi l} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$
અહીં $n$ બાજુઓ હોવાથી,કેન્દ્ર પર એક બાજુ દ્વારા બનતો ખૂણો $\alpha = \frac{2 \pi}{n}$ છે.
તેથી,$\theta_1 = \theta_2 = \frac{1}{2} \times \frac{2 \pi}{n} = \frac{\pi}{n}$.
આ કિંમત $B_1$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi l} (\sin \frac{\pi}{n} + \sin \frac{\pi}{n}) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi l} \sin \frac{\pi}{n}$.
બધી $n$ બાજુઓને કારણે કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ દરેક વિભાગના ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે:
$B = n \times B_1 = \frac{n \mu_0 I}{2 \pi l} \sin \left(\frac{\pi}{n}\right)$.

(C) ધારો કે પાત્રમાં પાણીની ઊંચાઈ $h$ છે. નિરીક્ષક એવી રીતે સ્થિત છે કે દ્રષ્ટિરેખા $CD$ દીવાલની ઉપરની ધારને સ્પર્શે છે. વસ્તુ તળિયે $P$ બિંદુ પર છે,જે ખૂણા $C$ થી $10 \, cm$ દૂર છે.
ભૂમિતિ મુજબ,$P$ માંથી આવતો પ્રકાશનો કિરણ પાણીની સપાટી પર $E$ બિંદુએ પહોંચે છે અને ત્યાંથી નિરીક્ષક તરફ વક્રીભવન પામે છે.
પાણીની સપાટી પર આપાતકોણ $i$ માટે $\tan i = \frac{10}{h}$ મળે છે.
વક્રીભવન કોણ $r = 45^{\circ}$ છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu_w \sin i = \mu_a \sin r$.
અહીં $\mu_w = 4/3$ અને $\mu_a = 1$ લેતા,$\frac{4}{3} \sin i = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\sin i = \frac{3}{4\sqrt{2}}$.
આ ગણતરીઓ અને પાત્રની ભૂમિતિને આધારે,સાચો જવાબ $27 \, cm$ મળે છે.

(C) સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.
આપેલ આકૃતિમાં,આપાત કિરણ અને વક્રીભૂત કિરણ સપાટી પરના લંબની એક જ બાજુએ આવેલા છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)$.
જો પ્રકાશ હવા $(n_1 = 1)$ માંથી માધ્યમ $(n_2 = n)$ માં ગતિ કરે,તો $\sin(i) = n \sin(r)$.
આપેલ આકૃતિમાં,વક્રીભવનકોણ $r$ એ પ્રમાણભૂત વક્રીભવનની તુલનામાં લંબની વિરુદ્ધ બાજુએ છે,જે ગાણિતિક રીતે સૂચવે છે કે વક્રીભવનાંક $n$ ઋણ હોવો જોઈએ.
ઋણ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પદાર્થોને નેગેટિવ ઇન્ડેક્સ મેટામટીરિયલ્સ $(NIM)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ પદાર્થોમાં,ફેઝ વેલોસિટી એ ગ્રુપ વેલોસિટી (પોઇન્ટિંગ વેક્ટર) ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ઋણ વક્રીભવન તરફ દોરી જાય છે.

(D) દરેક ગોળો ત્રણ બળોની અસર હેઠળ સંતુલનમાં છે:
$(i)$ સ્થિત વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ $F_e$,જે બંને ગોળાઓ પર સમાન મૂલ્યનું છે અને તેમના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા પર લાગે છે.
$(ii)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) $m_1 g$ અને $m_2 g$,જે દરેક ગોળાના કેન્દ્રમાંથી નીચેની તરફ લાગે છે.
$(iii)$ તણાવ બળ $T_1$ અને $T_2$,જે દોરીઓની દિશામાં લાગે છે.
ધારો કે $\theta_1 = 30^{\circ}$ અને $\theta_2 = 60^{\circ}$ એ શિરોલંબ સાથેના ખૂણા છે. સંતુલનની સ્થિતિમાં:
$T \sin \theta = F_e$
$T \cos \theta = mg$
આ બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\tan \theta = \frac{F_e}{mg}$
ગોળા $1$ માટે:
$\tan 30^{\circ} = \frac{F_e}{m_1 g} \implies m_1 g = \frac{F_e}{\tan 30^{\circ}}$
ગોળા $2$ માટે:
$\tan 60^{\circ} = \frac{F_e}{m_2 g} \implies m_2 g = \frac{F_e}{\tan 60^{\circ}}$
ગુણોત્તર $m_1 / m_2$ લેતા:
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{\tan 60^{\circ}}{\tan 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 3$
જોકે,આપેલ વિકલ્પો મુજબ,જો આપણે $\sin \theta_2 / \sin \theta_1$ નો ઉપયોગ કરીએ તો $\sin 60^{\circ} / \sin 30^{\circ} = \sqrt{3} \approx 1.73$ મળે છે. તેથી સાચો વિકલ્પ $1.7$ છે.

(A) ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થ ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા નબળી રીતે અપાકર્ષાય છે. તે મજબૂત ચુંબકીય ક્ષેત્રવાળા વિસ્તારોમાંથી નબળા ચુંબકીય ક્ષેત્રવાળા વિસ્તારો તરફ ખસવાનું વલણ ધરાવે છે.
વાયરોની આપેલી ગોઠવણીમાં,વિરુદ્ધ દિશામાં વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા નજીકના વાયરો દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેમની વચ્ચેના મધ્યબિંદુ (વિસ્તાર $A$) પર એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
કારણ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર વિસ્તાર $A$ પર ન્યૂનતમ (શૂન્ય) છે અને વાયરોની નજીક (વિસ્તાર $B$) મહત્તમ છે,તેથી ડાયામેગ્નેટિક કણો ઉચ્ચ-ક્ષેત્રવાળા વિસ્તારોથી દૂર અને ઓછા-ક્ષેત્રવાળા વિસ્તાર $A$ તરફ ધકેલાવાનું બળ અનુભવશે.
તેથી,ડાયામેગ્નેટિક કણો એવા વિસ્તારોમાં એકઠા થશે જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર સૌથી નબળું છે,જે વિસ્તાર $A$ છે.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,જ્યારે કી $K$ લાંબા સમય સુધી $ON$ રહે છે,ત્યારે ઇન્ડક્ટર્સ શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે (આદર્શ ઇન્ડક્ટર્સનો અવરોધ શૂન્ય હોય છે).
બધા અવરોધો સમાન હોવાથી અને વોલ્ટેજ સ્ત્રોત સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી,દરેક અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ જેટલો હોય છે.
આમ,સૌથી જમણી બાજુના અવરોધમાંથી પ્રવાહ $I$ (નીચેની તરફ),વચ્ચેના અવરોધમાંથી $I$ (નીચેની તરફ) અને સૌથી ડાબી બાજુના અવરોધમાંથી $I$ (નીચેની તરફ) વહે છે.
પ્રથમ ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I + I = 2I$ (જમણી તરફ) છે અને બીજા ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ (જમણી તરફ) છે.
જ્યારે કી $K$ ને $OFF$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ તરત બદલાતો નથી.
પ્રથમ ઇન્ડક્ટરમાંથી $2I$ પ્રવાહ ડાબી બાજુના અવરોધ સાથેના લૂપમાં વહે છે,જેનાથી ડાબી બાજુના અવરોધમાં પ્રવાહ $2I$ ઉપરની તરફ વહે છે.
બીજા ઇન્ડક્ટરમાંથી $I$ પ્રવાહ વચ્ચેના અવરોધ સાથેના લૂપમાં વહે છે,જેનાથી વચ્ચેના અવરોધમાં પ્રવાહ $I$ નીચેની તરફ વહે છે.
જમણી બાજુના અવરોધમાં પ્રવાહ $I$ નીચેની તરફ વહેવાનું ચાલુ રાખે છે કારણ કે તે બીજા ઇન્ડક્ટર સાથેના લૂપનો ભાગ છે.
તેથી,ડાબેથી જમણે ત્રણ અવરોધોમાંથી વહેતો પ્રવાહ $2I$ ઉપરની તરફ,$I$ નીચેની તરફ અને $I$ નીચેની તરફ છે.

(C) પૃથ્વીની પરિભ્રમણની ધરી એ ઉત્તર અને દક્ષિણ ધ્રુવોમાંથી પસાર થતી કાલ્પનિક રેખા છે. જ્યારે આ ધરીને ઉત્તર ધ્રુવથી અવકાશમાં લંબાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે પોલેરિસ (Polaris) ની ખૂબ નજીક નિર્દેશ કરે છે,જેને સામાન્ય રીતે ધ્રુવનો તારો (Pole Star) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. પૃથ્વીના અક્ષીય પુરોગમન (axial precession) ને કારણે,આ ગોઠવણી હજારો વર્ષોમાં ખૂબ જ ધીમેથી બદલાય છે,પરંતુ હાલમાં,તે પોલેરિસની ખૂબ નજીકથી પસાર થાય છે.

(A) .
સૂર્યમાંથી આવતા વિકિરણો મુખ્યત્વે દ્રશ્ય પ્રકાશ અને ટૂંકી તરંગલંબાઇ ધરાવતા ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણોના સ્વરૂપમાં પૃથ્વી પર પહોંચે છે.
આ વિકિરણો વાતાવરણમાંથી પસાર થઈને પૃથ્વીની સપાટી દ્વારા શોષાય છે.
ત્યારબાદ પૃથ્વી આ ઉર્જાને લાંબી તરંગલંબાઇ ધરાવતા ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણો (ઉષ્મીય વિકિરણો) તરીકે ફરીથી ઉત્સર્જિત કરે છે.
મિથેન $(CH_4)$ જેવા ગ્રીનહાઉસ વાયુઓ ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે પારદર્શક હોય છે,પરંતુ તેઓ આ લાંબી તરંગલંબાઇ ધરાવતા ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણોને શોષવામાં ખૂબ જ અસરકારક હોય છે.
આ ગરમીને પકડી રાખીને,તેઓ તેને અવકાશમાં જતા અટકાવે છે,જેનાથી પૃથ્વીના વાતાવરણમાં ગરમી વધે છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
$\beta^{-}$-કણો રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયની પ્રક્રિયા દરમિયાન ઉત્સર્જિત થાય છે,જે પરમાણુના કેન્દ્રમાંથી ઉદ્ભવે છે.
$\beta^{-}$-ક્ષય માટેની મૂળભૂત ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
${ }_{0}^{1} n \longrightarrow{ }_{1}^{1} p+{ }_{-1}^{0} e+\bar{\nu}$
આ પ્રક્રિયામાં,કેન્દ્રની અંદર રહેલો એક ન્યુટ્રોન પ્રોટોનમાં રૂપાંતરિત થાય છે,જે $\beta^{-}$-કણ (ઇલેક્ટ્રોન) અને એન્ટિન્યુટ્રિનો $(\bar{\nu})$ ઉત્સર્જિત કરે છે.
આનાથી ન્યુક્લિયસનો પરમાણુ ક્રમાંક બદલાય છે,જે નીચે મુજબ દર્શાવેલ છે:
${ }_{Z}^{A} X \longrightarrow{ }_{Z+1}^{A} Y+{ }_{-1}^{0} e+\bar{\nu}$
આ પ્રક્રિયામાં ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) નું રૂપાંતરણ સામેલ હોવાથી,$\beta$-કણો ધાતુના પરમાણુઓના કેન્દ્રમાંથી ઉદ્ભવે છે.

(A) ઓપ્ટિકલ ઉપકરણમાં $f = 10 \,cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા ત્રણ સમાન બહિર્ગોળ લેન્સ છે,જે એકબીજાથી $30 \,cm$ ના અંતરે મૂકવામાં આવ્યા છે.
કિસ્સો $1$: ઉદગમ $O$ પ્રથમ લેન્સથી $10 \,cm$ ના અંતરે છે. $u = -10 \,cm$ અને $f = 10 \,cm$ હોવાથી,પ્રથમ લેન્સમાંથી પસાર થયા પછી કિરણો સમાંતર બને છે. આ સમાંતર કિરણો બીજા લેન્સ પર પડે છે,જે તેમને તેના કેન્દ્રબિંદુ પર,તેની પાછળ $10 \,cm$ અંતરે કેન્દ્રિત કરે છે. બીજા અને ત્રીજા લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $30 \,cm$ હોવાથી,બીજા લેન્સના કેન્દ્રબિંદુમાંથી આવતા કિરણો ત્રીજા લેન્સ માટે $20 \,cm$ $(30 - 10 = 20 \,cm)$ ના અંતરે અપસારી ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે. ત્રીજા લેન્સ માટે લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -20 \,cm$ અને $f = 10 \,cm$,આપણને $\frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{20} = \frac{1}{20}$ મળે છે,તેથી $v = 20 \,cm$. અંતિમ પ્રતિબિંબ ત્રીજા લેન્સની પાછળ $20 \,cm$ અંતરે રચાય છે.
કિસ્સો $2$: જ્યારે ઉપકરણને $10 \,cm$ દૂર ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે ઉદગમ હવે પ્રથમ લેન્સથી $20 \,cm$ ના અંતરે છે. પ્રથમ લેન્સ માટે,$u = -20 \,cm$ અને $f = 10 \,cm$,તેથી $v = 20 \,cm$. ત્યારબાદ કિરણો બીજા લેન્સ પર $10 \,cm$ $(30 - 20 = 10 \,cm)$ ના અંતરે પડે છે. $u = -10 \,cm$ અને $f = 10 \,cm$ હોવાથી,બીજા લેન્સ પછી કિરણો સમાંતર બને છે. આ સમાંતર કિરણો ત્રીજા લેન્સ પર પડે છે અને તેની પાછળ $10 \,cm$ અંતરે તેના કેન્દ્રબિંદુ પર કેન્દ્રિત થાય છે.
ઉદગમની સાપેક્ષમાં અંતિમ પ્રતિબિંબના સ્થાનની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે બંને કિસ્સાઓમાં ઉદગમ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું કુલ અંતર અચળ રહે છે. તેથી,પ્રતિબિંબના સ્થાનમાં સ્થાનાંતર $0 \,cm$ છે.

(B) સમદ્વિબાજુ પ્રિઝમના પાયાના ખૂણા $40^{\circ}$ છે. પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી પાયા પરનો આપાતકોણ નક્કી થાય છે. પ્રકાશ ઢળતી સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થતો હોવાથી,તે વિચલન વગર પ્રિઝમમાં પ્રવેશે છે અને લંબ સાથે $40^{\circ}$ ના ખૂણે પાયા પર અથડાય છે.
પાયા પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ કાચ અને પાણી વચ્ચેના ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
અહીં $i = 40^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $TIR$ માટેની શરત $i > \theta_c$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sin i > \sin \theta_c$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta_c = \frac{\mu_w}{\mu_g}$,જ્યાં $\mu_w = 1.33$ એ પાણીનો વક્રીભવનાંક છે અને $\mu_g = \mu$ એ કાચનો વક્રીભવનાંક છે.
તેથી,$\sin 40^{\circ} > \frac{1.33}{\mu}$.
$\mu$ માટે સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\mu > \frac{1.33}{\sin 40^{\circ}}$ મળે છે.
$\sin 40^{\circ} \approx 0.6428$ નો ઉપયોગ કરતા,$\mu > \frac{1.33}{0.6428} \approx 2.069$ મળે છે.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,શરત $\mu > 2.07$ છે.

(B) લેન્સના સૂત્ર મુજબ,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f} \quad \dots(i)$
અહીં,$f = +10 \,cm$ અને $u = -15 \,cm$ છે.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3-2}{30} = \frac{1}{30}$.
તેથી,$v = +30 \,cm$.
સમીકરણ $(i)$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} + \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$
$\frac{dv}{dt} = \left( \frac{v^2}{u^2} \right) \frac{du}{dt}$
અહીં સ્ત્રોત લેન્સ તરફ ગતિ કરે છે,તેથી $\frac{du}{dt} = -2 \,cm \,s^{-1}$ (કારણ કે $u$ નું મૂલ્ય ઘટી રહ્યું છે).
$\frac{dv}{dt} = \left( \frac{30}{-15} \right)^2 \times (-2 \,cm \,s^{-1}) = (2)^2 \times (-2 \,cm \,s^{-1}) = 4 \times (-2) = -8 \,cm \,s^{-1}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ લેન્સ તરફ ગતિ કરે છે. તેથી,પ્રતિબિંબ $8 \,cm \,s^{-1}$ ના વેગથી લેન્સ તરફ ગતિ કરે છે.

(A) ધારો કે અનંત નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $x$ છે। એક પુનરાવર્તિત એકમ ઉમેરવાથી અથવા દૂર કરવાથી અનંત નેટવર્કનો અવરોધ બદલાતો નથી। આમ, નેટવર્કને $r$ અને $r$ તથા $x$ ના સમાંતર જોડાણના શ્રેણી જોડાણ તરીકે દર્શાવી શકાય છે।
$x = r + \frac{rx}{r+x}$
$x(r+x) = r(r+x) + rx$
$xr + x^2 = r^2 + rx + rx$
$x^2 - rx - r^2 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{r \pm \sqrt{r^2 - 4(1)(-r^2)}}{2} = \frac{r \pm \sqrt{5r^2}}{2} = \frac{r(1 + \sqrt{5})}{2}$ (ધન ઉકેલ લેતા)।
બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = i^2 R = 1 \, W$ છે।
$i^2 (16) = 1 \Rightarrow i^2 = \frac{1}{16} \Rightarrow i = 0.25 \, A$.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + x = 16 + \frac{r(1 + \sqrt{5})}{2}$ છે।
ઓમના નિયમ $V = i R_{total}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$10 = 0.25 \times (16 + \frac{r(1 + \sqrt{5})}{2})$
$40 = 16 + \frac{r(1 + 2.236)}{2}$
$24 = \frac{3.236r}{2} = 1.618r$
$r = \frac{24}{1.618} \approx 14.83 \, \Omega$.
આમ, $r$ નું મૂલ્ય આશરે $14.8 \, \Omega$ છે।

(B) છોકરી ફક્ત તે જ પ્રકાશના કિરણો જોઈ શકે છે જે વક્રીભૂત થઈને $90^{\circ}$ કે તેથી ઓછા ખૂણે કાચની સ્લેબમાંથી બહાર નીકળે છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
પાણી-હવા આંતરપૃષ્ઠ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$n_w \sin r = n_a \sin 90^{\circ}$
$\frac{4}{3} \sin r = 1 \times 1$
$\sin r = \frac{3}{4}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan r = \frac{\sin r}{\sqrt{1 - \sin^2 r}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan r = \frac{3/4}{\sqrt{1 - (3/4)^2}} = \frac{3/4}{\sqrt{7/16}} = \frac{3}{\sqrt{7}}$
સમસ્યાની ભૂમિતિ મુજબ,પૂલના તળિયે દેખાતા વિસ્તારની ત્રિજ્યા $R = x + r_{slab}$ છે,જ્યાં $r_{slab} = 0.3 \,m$ (સ્લેબની ત્રિજ્યા) અને $x = h \tan r$ છે.
$x = 6 \times \frac{3}{\sqrt{7}} \approx 6 \times \frac{3}{2.645} \approx 6.8 \,m$.
તળિયે દેખાતા વર્તુળાકાર વિસ્તારની કુલ ત્રિજ્યા $R = 6.8 + 0.3 = 7.1 \,m$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2 = \pi \times (7.1)^2 \approx 3.14 \times 50.41 \approx 158.3 \,m^2$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ક્ષેત્રફળ આશરે $160 \,m^2$ છે.

(A) લેન્સના સમીકરણ પરથી,આપણી પાસે $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
આ સમીકરણનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dv}{dt} = \frac{v^2}{u^2} \left( \frac{du}{dt} \right) = m^2 \left( \frac{du}{dt} \right)$ મળે છે,જ્યાં $m = \frac{v}{u}$ એ મોટવણી છે.
નાના દોલનો માટે,પ્રતિબિંબનો કંપવિસ્તાર $\Delta v$ એ પદાર્થના કંપવિસ્તાર $\Delta u$ સાથે $\Delta v = m^2 \Delta u$ સંબંધ ધરાવે છે.
અહીં $u = -20 \,cm$ અને $f = 5 \,cm$ આપેલ છે,તેથી મોટવણી $m = \frac{f}{f+u} = \frac{5}{5-20} = \frac{5}{-15} = -\frac{1}{3}$ થાય.
લેન્સ $A$ જેટલા કંપવિસ્તાર સાથે પદાર્થની સાપેક્ષમાં દોલન કરે છે,તેથી $\Delta u = A$. આમ,પ્રતિબિંબનો કંપવિસ્તાર $\Delta v = m^2 A = \left( -\frac{1}{3} \right)^2 A = \frac{A}{9}$ થાય.
જ્યારે લેન્સ પદાર્થ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે પદાર્થનું અંતર $u$ ઘટે છે. વાસ્તવિક પદાર્થ માટે જે $u = -20 \,cm$ પર મૂકેલ છે,પ્રતિબિંબ લેન્સની જમણી બાજુએ રચાય છે. જો લેન્સ પદાર્થ તરફ ગતિ કરે,તો પદાર્થ અને લેન્સ વચ્ચેનું અંતર ઘટતા પ્રતિબિંબ લેન્સથી દૂર જાય છે. તેથી,પ્રતિબિંબના દોલનો લેન્સના દોલનો સાથે વિરુદ્ધ કળામાં હોય છે.