જો z એ એક સંકર સંખ્યા છે જે |z^3+z^{-3}| leq | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે $|z^3+z^{-3}| \leq 2$. ધારો કે $z = re^{i	heta}$. તો $|z^3+z^{-3}| = |r^3e^{i3	heta} + r^{-3}e^{-i3	heta}| \leq 2$. ત્રિકોણ અસમતાનો ઉપય

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે $|z^3+z^{-3}| \leq 2$. ધારો કે $z = re^{i	heta}$. તો $|z^3+z^{-3}| = |r^3e^{i3	heta} + r^{-3}e^{-i3	heta}| \leq 2$. ત્રિકોણ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$|z^3+z^{-3}| \geq | |z^3| - |z^{-3}| | = |r^3 - r^{-3}|$. જો કે,આપણે જાણીએ છીએ કે $|z^3+z^{-3}| \leq |z^3| + |z^{-3}| = r^3 + r^{-3}$. $AM$-$GM$ અસમતા દ્વારા,$r^3 + r^{-3} \geq 2$. કારણ કે $|z^3+z^{-3}| \leq 2$ અને $r^3+r^{-3} \geq 2$,તેથી શરત સંતોષવા માટે $|z|=1$ હોવું જરૂરી છે. જો $|z|=1$,તો $z = e^{i	heta}$,તેથી $|z+z^{-1}| = |e^{i	heta} + e^{-i	heta}| = |2\cos	heta|$. $|2\cos	heta|$ ની મહત્તમ કિંમત $2$ છે જ્યારે $\cos	heta = \pm 1$ હોય.

યાદી-$I$	યાદી-$II$
$(P)$ $\|z\|^2$ બરાબર છે	$(1)$ $12$
$(Q)$ $\|z-\bar{z}\|^2$ બરાબર છે	$(2)$ $4$
$(R)$ $\|z\|^2+\|z+\bar{z}\|^2$ બરાબર છે	$(3)$ $8$
$(S)$ $\|z+1\|^2$ બરાબર છે	$(4)$ $10$
	$(5)$ $7$

જો $z$ એ એક સંકર સંખ્યા છે જે $|z^3+z^{-3}| \leq 2$ નું સમાધાન કરે છે,તો $|z+z^{-1}|$ ની મહત્તમ શક્ય કિંમત શું છે?

Similar Questions

$\theta$ ના તમામ મૂલ્યોનો સમૂહ શોધો જેથી $\frac{1-i \cos \theta}{1+2 i \sin \theta}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યા બને.

$1 + i\alpha$ સ્વરૂપની તમામ સંકર સંખ્યાઓ $z$ માટે,જ્યાં $\alpha \in R$,જો $z^2 = x + iy$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયો સંબંધ સાચો છે?

જ્યારે $\left|z-\frac{3}{z}\right|=2$ હોય,ત્યારે $|z|$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો,જ્યાં $z$ એ સંકર સંખ્યા છે.

જો $z$ એ એક સંકર સંખ્યા હોય જે $|z|^2 - |z| - 2 < 0$ નું સમાધાન કરે છે,તો $\theta$ ની તમામ કિંમતો માટે $|z^2 + z \sin \theta|$ ની કિંમત કેટલી થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module