$12! + 13! + 14!$ ને ભાગતા ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $x$ અને $y$ બે $2$-અંકી સંખ્યાઓ છે જેથી $y$ એ $x$ ના અંકોને ઉલટાવવાથી મળે છે. ધારો કે તેઓ કોઈ ધન પૂર્ણાંક $m$ માટે $x^2-y^2=m^2$ નું પાલન કરે છે. તો $x+y+m$ નું મૂલ્ય શોધો.

એક પરીક્ષામાં,વિદ્યાર્થીએ $8$ અલગ-અલગ વિષયોની પરીક્ષા આપવાની હોય છે. જો તે ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં નાપાસ થાય તો તેને નાપાસ જાહેર કરવામાં આવે છે. તે કેટલી રીતે નાપાસ થઈ શકે છે?

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને તમામ અંકો ભિન્ન હોય તેવી ચાર અંકની સંખ્યાઓ બનાવવામાં આવે છે. જો $p$ એ આ રીતે બનેલી કુલ સંખ્યાઓ હોય અને $q$ એ તેમાં $3400$ કરતા મોટી સંખ્યાઓ હોય,તો $p: q=$

ગુણાકાર $(1 + x) (1 + x + x^2) (1 + x + x^2 + x^3) \dots (1 + x + x^2 + \dots + x^{100})$ ને $x$ ના ચડતા ઘાતાંકમાં લખતા,$x$ નો મહત્તમ ઘાતાંક . . . . . . છે.

ધારો કે $x$ અને $y$ એ ભિન્ન પૂર્ણાંકો છે જ્યાં $1 \leq x \leq 25$ અને $1 \leq y \leq 25$. તો,$x$ અને $y$ ને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા શોધો જેથી $x + y$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય હોય $.........$.