બધા જ ધન પૂર્ણાંકો n નો સરવાળો શોધો જેના માટે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \frac{\sum_{k=1}^{2n} k^3}{\sum_{k=1}^{n} k^2}$ છે.સૂત્રો $\sum_{k=1}^{m} k^3 = \left(\frac{m(m+1)}{2}\right)^2$ અને $\sum_{k=1}^

Vedclass · Accepted Answer

$8$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \frac{\sum_{k=1}^{2n} k^3}{\sum_{k=1}^{n} k^2}$ છે.સૂત્રો $\sum_{k=1}^{m} k^3 = \left(\frac{m(m+1)}{2}\right)^2$ અને $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:$S = \frac{\left(\frac{2n(2n+1)}{2}\right)^2}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{6n(2n+1)}{n+1} = 12n - 6 + \frac{6}{n+1}$.$S$ પૂર્ણાંક હોય તે માટે $n+1$ એ $6$ નો અવયવ હોવો જોઈએ.$6$ ના અવયવો $1, 2, 3, 6$ છે.તેથી $n+1 \in \{1, 2, 3, 6\}$,જે આપણને $n \in \{0, 1, 2, 5\}$ આપે છે.$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી $n \in \{1, 2, 5\}$.આ કિંમતોનો સરવાળો $1+2+5 = 8$ થાય છે.

બધા જ ધન પૂર્ણાંકો $n$ નો સરવાળો શોધો જેના માટે $\frac{1^3+2^3+\ldots+(2n)^3}{1^2+2^2+\ldots+n^2}$ પણ એક પૂર્ણાંક હોય.

Similar Questions

$\sum\limits_{r = 16}^{30} {(r + 2)(r - 3)}$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

જો $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 2009^2 = (2009)(335)(4019)$ અને $(1)(2009) + 2(2008) + 3(2007) + \dots + 2009(1) = (2009)(335)(x)$ હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો:

શ્રેણી $3 + 33 + 333 + \dots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $n$ એ સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક છે જેથી $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n} \geq 4$ થાય. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

શ્રેણી $1 + (3 + 5 + 7) + (9 + 11 + 13 + 15 + 17) + \ldots$ નું $n$-મું પદ કયું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module