यदि f(x)=(2011+x)^n है,जहाँ x एक वास्तविक चर | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = (2011+x)^n$. $x=0$ के परितः $f(x)$ के टेलर विस्तार द्वारा,हमारे पास है: $f(x) = f(0) + f^{\prime}(0)x + \frac{f^{\prime \prime

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$(2012)^n-1$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $f(x) = (2011+x)^n$. $x=0$ के परितः $f(x)$ के टेलर विस्तार द्वारा,हमारे पास है: $f(x) = f(0) + f^{\prime}(0)x + \frac{f^{\prime \prime}(0)}{2!}x^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$. चूंकि $f(x) = (2011+x)^n$,द्विपद विस्तार है: $f(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (2011)^{n-k} x^k = (2011)^n + \binom{n}{1}(2011)^{n-1}x + \binom{n}{2}(2011)^{n-2}x^2 + \ldots + x^n$. दोनों विस्तारों में $x^k$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{f^{(k)}(0)}{k!} = \binom{n}{k}(2011)^{n-k}$. दिया गया व्यंजक $S = f(0) + f^{\prime}(0) + \frac{f^{\prime \prime}(0)}{2!} + \ldots + \frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}$ है। यह $(2011+1)^n$ के द्विपद विस्तार के पहले $n$ पदों का योग है,जिसमें अंतिम पद ($x^n$ पद जहाँ $k=n$) शामिल नहीं है। $S = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} (2011)^{n-k} (1)^k$. हम जानते हैं कि $(2011+1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (2011)^{n-k} (1)^k = S + \binom{n}{n}(2011)^0(1)^n$. अतः,$S = (2012)^n - 1$.

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