मान लीजिए $a, b, c$ तीन भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं। मान लीजिए $P(x) = \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}$. सरल करने पर,$P(x)$ क्या होगा?

मान लीजिए कि $\tan A$ और $\tan B$,जहाँ $A, B \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,द्विघात समीकरण $x^2 - 2x - 5 = 0$ के मूल हैं। तो $20 \sin^2(\frac{A+B}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए:

$x \in \mathbb{R}$ के लिए,$\frac{x^2+2x+5}{x^2+4x+10}$ का न्यूनतम मान क्या है?

यदि $a \in R$ और समीकरण $-3(x - [x])^2 + 2(x - [x]) + a^2 = 0$ (जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ को दर्शाता है) का कोई पूर्णांक हल नहीं है,तो $a$ के सभी संभावित मान किस अंतराल में स्थित हैं?

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2 - px + q = 0$ के मूल हैं,तो वह द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल $(\alpha^2 - \beta^2)(\alpha^3 - \beta^3)$ और $\alpha^3\beta^2 + \alpha^2\beta^3$ हैं (जहाँ $S = p[p^4 - 5p^2q + 5q^2]$ और $P = p^2q^2(p^4 - 5p^2q + 4q^2)$)।

यदि $x$ वास्तविक है,तो $\frac{x^2 + 34x - 71}{x^2 + 2x - 7}$ का मान किसके बीच स्थित नहीं है?