मान लीजिए f(x) = x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1 ह | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$।सबसे पहले,जाँचें कि क्या $f$ एकैकी है: $f(0) = 1$ और $f(1) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1$। चूँकि $f(0) =

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$f$ केवल धनात्मक मान लेता है

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(D) दिया गया है $f(x) = x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$।सबसे पहले,जाँचें कि क्या $f$ एकैकी है: $f(0) = 1$ और $f(1) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1$। चूँकि $f(0) = f(1)$,इसलिए $f$ एकैकी नहीं है।अब,जाँचें कि क्या $f$ केवल धनात्मक मान लेता है:स्थिति $1$: यदि $x \leq 0$ है,तो $f(x) = x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$। चूँकि $x^{12} \geq 0$,$-x^9 \geq 0$,$x^4 \geq 0$,और $-x \geq 0$ है,इसलिए $f(x) \geq 1 > 0$ प्राप्त होता है।स्थिति $2$: यदि $x > 1$ है,तो $f(x) = x^9(x^3 - 1) + x(x^3 - 1) + 1$। चूँकि $x > 1$ है,इसलिए $x^3 - 1 > 0$ है,अतः $f(x) > 1 > 0$ प्राप्त होता है।स्थिति $3$: यदि $0  0$,$1 - x^5 > 0$,और $x^{12} > 0$ है,अतः $f(x) > 0$ प्राप्त होता है।अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x) > 0$ है,इसलिए $f$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है। अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

$List-I$	$List-II$
$(P)$ यदि $a=0, b=1, c=0$ और $d=0$ है,तो	$(1)$ $h$ एकैकी (one-one) है
$(Q)$ यदि $a=1, b=0, c=0$ और $d=0$ है,तो	$(2)$ $h$ आच्छादक (onto) है
$(R)$ यदि $a=0, b=0, c=1$ और $d=0$ है,तो	$(3)$ $h$ $R$ पर अवकलनीय है
$(S)$ यदि $a=0, b=0, c=0$ और $d=1$ है,तो	$(4)$ $h$ का परिसर $[0,1]$ है
	$(5)$ $h$ का परिसर $\{0,1\}$ है

मान लीजिए $f(x) = x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$ है। निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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