int e^{tan ^{-1} x}left(1+frac{x}{1+x^{2}}rig | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int e^{	an ^{-1} x} \left(1 + \frac{x}{1+x^2}ight) dx$.हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं: $I = \int e^{	an ^{-1} x} dx + \

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$x e^{	an ^{-1} x}+c$

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(A) माना $I = \int e^{	an ^{-1} x} \left(1 + \frac{x}{1+x^2}ight) dx$.हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं: $I = \int e^{	an ^{-1} x} dx + \int \frac{x e^{	an ^{-1} x}}{1+x^2} dx$.अब,पहले समाकलन $\int e^{	an ^{-1} x} dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = e^{	an ^{-1} x}$ और $dv = dx$ लें।तब $du = e^{	an ^{-1} x} \cdot \frac{1}{1+x^2} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर:$\int e^{	an ^{-1} x} dx = x e^{	an ^{-1} x} - \int \frac{x e^{	an ^{-1} x}}{1+x^2} dx$.इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \left(x e^{	an ^{-1} x} - \int \frac{x e^{	an ^{-1} x}}{1+x^2} dxight) + \int \frac{x e^{	an ^{-1} x}}{1+x^2} dx + c$.समाकलन के पद कट जाते हैं,जिससे $I = x e^{	an ^{-1} x} + c$ प्राप्त होता है।

$\int e^{\tan ^{-1} x}\left(1+\frac{x}{1+x^{2}}\right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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