GSEB 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) हमें समाकलन $I = \int e^x (\tan x + \tan^2 x) \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ को याद करें,जिसका अर्थ है कि $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int e^x (\tan x + \sec^2 x - 1) \, dx$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$I = \int e^x ((\tan x - 1) + \sec^2 x) \, dx$।
मान लीजिए $f(x) = \tan x - 1$।
तब,$f'(x) = \sec^2 x$।
मानक समाकलन सूत्र $\int e^x (f(x) + f'(x)) \, dx = e^x f(x) + C$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$I = e^x (\tan x - 1) + C$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) माना कि $f(x) = \sin^7 x \cdot \cos^6 x$ है।
$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचें कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = \sin^7(-x) \cdot \cos^6(-x)$
चूँकि $\sin(-x) = -\sin x$ और $\cos(-x) = \cos x$ होता है,इसलिए:
$f(-x) = (-\sin x)^7 \cdot (\cos x)^6 = -\sin^7 x \cdot \cos^6 x = -f(x)$।
यहाँ $f(-x) = -f(x)$ है,अतः फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-1}^1 \sin^7 x \cdot \cos^6 x \, dx = 0$।

(B) समाकल $I = \int \frac{d x}{x^2+2 x+5}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम हर (denominator) में पूर्ण वर्ग बनाते हैं।
$x^2 + 2x + 5 = (x^2 + 2x + 1) + 4 = (x+1)^2 + 2^2$.
अब,समाकल $I = \int \frac{d x}{(x+1)^2 + 2^2}$ हो जाता है।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 2$ और चर $(x+1)$ है:
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x+1}{2}\right) + C$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $B$ है।

(A) समाकलन $I = \int \frac{1}{e^x+1} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{1}{e^x(1 + e^{-x})} dx = \int \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} dx$.
मान लीजिए $u = 1 + e^{-x}$. तब $du = -e^{-x} dx$,जिसका अर्थ है $e^{-x} dx = -du$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{-du}{u} = -\log |u| + C = -\log |1 + e^{-x}| + C$.
हम इसे इस प्रकार सरल कर सकते हैं:
$I = -\log \left| \frac{e^x + 1}{e^x} \right| + C = -(\log |e^x + 1| - \log |e^x|) + C = -\log |e^x + 1| + x + C$.
वैकल्पिक रूप से,$I = \int \frac{1}{e^x+1} dx = \int \frac{e^x+1-e^x}{e^x+1} dx = \int (1 - \frac{e^x}{e^x+1}) dx = x - \log |e^x+1| + C$.
चूंकि $x = \log(e^x)$,इसलिए $I = \log(e^x) - \log |e^x+1| + C = \log \left| \frac{e^x}{e^x+1} \right| + C$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) समाकलन $\int \frac{1}{x + x \log x} \, dx$ को हल करने के लिए,हम पहले हर का गुणनखंड करते हैं:
$\int \frac{1}{x(1 + \log x)} \, dx$.
मान लीजिए $u = 1 + \log x$.
तब,अवकलन $du = \frac{1}{x} \, dx$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int \frac{1}{u} \, du = \log |u| + C$.
$u = 1 + \log x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\log |1 + \log x| + C$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{\operatorname{cosec}^2 x}{\sec ^2 x} \, dx$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\operatorname{cosec}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$ और $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \, dx = \int \cot^2 x \, dx$.
सर्वसमिका $\cot^2 x = \operatorname{cosec}^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$I = \int (\operatorname{cosec}^2 x - 1) \, dx$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \int \operatorname{cosec}^2 x \, dx - \int 1 \, dx = -\cot x - x + C$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos^{\frac{3}{2}} x}{\cos^{\frac{3}{2}} x + \sin^{\frac{3}{2}} x} \, dx$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos^{\frac{3}{2}}(\frac{\pi}{2}-x)}{\cos^{\frac{3}{2}}(\frac{\pi}{2}-x) + \sin^{\frac{3}{2}}(\frac{\pi}{2}-x)} \, dx$.
चूँकि $\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x$ और $\sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos x$,हमें प्राप्त होता है $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x + \cos^{\frac{3}{2}} x} \, dx$.
$I$ के दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos^{\frac{3}{2}} x + \sin^{\frac{3}{2}} x}{\cos^{\frac{3}{2}} x + \sin^{\frac{3}{2}} x} \, dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 \, dx$.
$2I = [x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
इसलिए,$I = \frac{\pi}{12}$.

(C) क्षेत्रफल $A$ फलन के निरपेक्ष मान के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है: $A = \int_{0}^{3\pi/2} |\cos x| \, dx$.
चूंकि $\cos x$,$[0, \pi/2]$ में धनात्मक है और $[\pi/2, 3\pi/2]$ में ऋणात्मक है,हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$A = \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx + \int_{\pi/2}^{3\pi/2} -\cos x \, dx$.
प्रथम भाग का मान: $[\sin x]_{0}^{\pi/2} = \sin(\pi/2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.
द्वितीय भाग का मान: $-[\sin x]_{\pi/2}^{3\pi/2} = -(\sin(3\pi/2) - \sin(\pi/2)) = -(-1 - 1) = -(-2) = 2$.
कुल क्षेत्रफल $A = 1 + 2 = 3$ वर्ग इकाई।

(C) वक्र $y = x|x|$ द्वारा दिया गया है।
हम इसे टुकड़ों में इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:
$y = \begin{cases} x^2, & \text{यदि } x \ge 0 \\ -x^2, & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$
क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{-1}^{1} |y| \, dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
चूंकि फलन $y = x|x|$ एक विषम फलन है,इसलिए वक्र और $x$-अक्ष के बीच $x=-1$ से $x=1$ तक का परिबद्ध क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$A = \int_{-1}^{0} | -x^2 | \, dx + \int_{0}^{1} | x^2 | \, dx$
$A = \int_{-1}^{0} x^2 \, dx + \int_{0}^{1} x^2 \, dx$
$A = [\frac{x^3}{3}]_{-1}^{0} + [\frac{x^3}{3}]_{0}^{1}$
$A = (0 - (-\frac{1}{3})) + (\frac{1}{3} - 0)$
$A = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ वर्ग इकाई।

(B) वक्र $y = x|x|$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि अंतराल $x \in [0, 1]$ है,इसलिए $x \ge 0$ होगा,अतः $|x| = x$ होगा।
इस प्रकार,$x \in [0, 1]$ के लिए वक्र $y = x \cdot x = x^2$ बन जाता है।
वक्र,$X$-अक्ष और रेखाओं $x=0$ तथा $x=1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ को निश्चित समाकलन द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$A = \int_{0}^{1} |y| \, dx = \int_{0}^{1} x^2 \, dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$.
अतः,क्षेत्रफल $\frac{1}{3}$ वर्ग इकाई है।

(C) दिया गया वक्र $y^2 = 4x$ है,जिसका अर्थ है $x = \frac{y^2}{4}$।
हमें इस वक्र,$Y$-अक्ष $(x = 0)$ और रेखा $y = 3$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
यह क्षेत्र $y = 0$ से $y = 3$ तक परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{0}^{3} x \, dy$ द्वारा प्राप्त होता है।
$x = \frac{y^2}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A = \int_{0}^{3} \frac{y^2}{4} \, dy$ प्राप्त होता है।
$A = \frac{1}{4} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{3}$।
$A = \frac{1}{4} \left( \frac{27}{3} - 0 \right) = \frac{1}{4} \times 9 = \frac{9}{4}$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) क्षेत्रफल $A$ दिए गए अंतराल पर फलन के निरपेक्ष मान का समाकलन है:
$A = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} |\cos x| \, dx$
अंतराल $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ में,$\cos x$ का मान ऋणात्मक होता है।
अतः,$|\cos x| = -\cos x$ होगा।
$A = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} -\cos x \, dx$
$A = -[\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}$
$A = -(\sin(\frac{3\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2}))$
$A = -(-1 - 1) = -(-2) = 2$
अतः,क्षेत्रफल $2$ वर्ग इकाई है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{x dy - y dx}{y} = 0$ है।
$y$ से गुणा करने पर ($y \neq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है: $x dy - y dx = 0$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x dy = y dx$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}$।
इससे प्राप्त होता है: $\ln|y| = \ln|x| + \ln|c|$।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर: $\ln|y| = \ln|cx|$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $y = cx$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx + e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = -\frac{e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right)}{1+e^{\frac{x}{y}}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि समीकरण में $\frac{x}{y}$ पद शामिल है,यह $\frac{dx}{dy} = F\left(\frac{x}{y}\right)$ रूप का एक समघातीय अवकल समीकरण है।
इस तरह के समीकरण को हल करने के लिए,हम $x = vy$ प्रतिस्थापन करते हैं,जहाँ $v$,$y$ का एक फलन है।
अतः,सही प्रतिस्थापन $x = vy$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $y \log y \, dx - x \, dy = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y \log y \, dx = x \, dy$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dx}{x} = \frac{dy}{y \log y}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dx}{x} = \int \frac{dy}{y \log y}$
माना $u = \log y$,तब $du = \frac{1}{y} \, dy$.
समाकलन इस प्रकार होगा: $\int \frac{dx}{x} = \int \frac{du}{u}$
$\log |x| = \log |u| + C_1$
$\log |x| = \log |\log y| + C_1$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $|x| = e^{C_1} |\log y|$
माना $e^{C_1} = k$,तो $x = k \log y$ या $\log y = \frac{x}{k} = cx$ (जहाँ $c = 1/k$).
अतः,$y = e^{cx}$.

(A) $n$ कोटि के अवकल समीकरण के व्यापक हल में $n$ स्वेच्छ अचर होते हैं।
चूंकि दिया गया अवकल समीकरण चतुर्थ कोटि का है,इसलिए $n$ का मान $4$ है।
अतः,इसके व्यापक हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या $4$ है।

(D) अवकल समीकरण की घात केवल तभी परिभाषित होती है जब वह अपने अवकलजों के संदर्भ में एक बहुपद समीकरण हो।
दिए गए समीकरण $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2+\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)+1=0$ में,पद $\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)$ अवकलज $\frac{d y}{d x}$ का एक पारलौकिक (transcendental) फलन है।
चूंकि इस पद को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,इसलिए यह अवकल समीकरण एक बहुपद समीकरण नहीं है।
अतः,इस अवकल समीकरण की घात अपरिभाषित है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ है।
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = x$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2}{x}$ और $Q(x) = x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $IF = e^{\int P(x) dx}$ है।
$IF = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$.
अतः,समाकलन गुणक $x^2$ है।

(A) परिभाषा के अनुसार,$n$ कोटि के अवकल समीकरण के व्यापक हल में $n$ स्वेच्छ अचर होते हैं।
हालाँकि,विशिष्ट हल इन स्वेच्छ अचरों को विशिष्ट मान देकर प्राप्त किया जाता है,जो आमतौर पर दी गई प्रारंभिक या सीमा शर्तों को संतुष्ट करते हैं।
इसलिए,एक विशिष्ट हल में कोई स्वेच्छ अचर नहीं होता है।
अतः,चतुर्थ कोटि के अवकल समीकरण के लिए,इसके विशिष्ट हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या $0$ है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(A) अवकल समीकरण की कोटि को समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज (derivative) की कोटि के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिए गए अवकल समीकरण $\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^4+\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2+\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)+1=0$ में,उपस्थित अवकलज $\frac{d^3 y}{d x^3}$,$\frac{d^2 y}{d x^2}$,और $\frac{d y}{d x}$ हैं।
उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3 y}{d x^3}$ है,जिसकी कोटि $3$ है।
अतः,अवकल समीकरण की कोटि $3$ है।

(C) माना सदिश $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
सबसे पहले,हम सदिश $\vec{a}$ का परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|\vec{a}| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$।
सदिश $x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ की दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ को $\frac{x}{|\vec{a}|}, \frac{y}{|\vec{a}|}, \frac{z}{|\vec{a}|}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$l = \frac{1}{\sqrt{14}}$,$m = \frac{-2}{\sqrt{14}}$,$n = \frac{3}{\sqrt{14}}$।
अतः,दिक्-कोसाइन $\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{-2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}$ हैं।

(D) माना $\vec{r}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ का परिणामी सदिश है।
$\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) + (\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{r}$ का परिमाण $|\vec{r}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$ है।
$\vec{r}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} = \frac{3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{14}}$ है।
$\vec{r}$ के समांतर $5$ इकाई परिमाण वाला सदिश $5\hat{r} = \frac{5}{\sqrt{14}}(3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = \frac{15}{\sqrt{14}}\hat{i} + \frac{5}{\sqrt{14}}\hat{j} - \frac{10}{\sqrt{14}}\hat{k}$ होगा।

(B) दिया गया समीकरण: $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$.
डॉट गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके बाईं ओर का विस्तार करने पर:
$\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ और $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$,और डॉट गुणन क्रमविनिमेय है $(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a})$,हमें प्राप्त होता है:
$|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$.
दोनों पक्षों से $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$ घटाने पर:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$.
इसका अर्थ है $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
चूंकि $\vec{a} \neq \vec{0}$ और $\vec{b} \neq \vec{0}$,दो शून्येतर सदिशों का डॉट गुणन शून्य तभी होता है जब वे एक दूसरे के लंबवत हों।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) हम इकाई सदिशों के गुणों को जानते हैं: $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,और $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$.
साथ ही,$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\hat{i} \cdot (\hat{j} \times \hat{k}) = \hat{i} \cdot \hat{i} = 1$.
$\hat{j} \cdot (\hat{i} \times \hat{k}) = \hat{j} \cdot (-\hat{j}) = -1$.
$\hat{k} \cdot (\hat{i} \times \hat{j}) = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$.
$\hat{j} \cdot (\hat{j} \times \hat{k}) = \hat{j} \cdot \hat{i} = 0$.
इन परिणामों को जोड़ने पर: $1 + (-1) + 1 + 0 = 1$.

(D) एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी आसन्न भुजाएँ $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हैं,उनके सदिश गुणनफल के परिमाण के बराबर होता है,अर्थात $|\vec{a} \times \vec{b}|$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & -7 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-1)(1) - (3)(-7)) - \hat{j}((1)(1) - (3)(2)) + \hat{k}((1)(-7) - (-1)(2))$
$= \hat{i}(-1 + 21) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(-7 + 2)$
$= 20\hat{i} + 5\hat{j} - 5\hat{k}$
अब,इसका परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{20^2 + 5^2 + (-5)^2}$ ज्ञात करें.
$= \sqrt{400 + 25 + 25} = \sqrt{450}$
$= \sqrt{225 \times 2} = 15\sqrt{2}$ वर्ग इकाई.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ है।
यहाँ $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ दिया गया है।
उनका अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (1)(-1) + (-1)(1) = 1 - 1 - 1 = -1$ है।
उनके परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$ और $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ हैं।
अतः,$\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = -\frac{1}{3}$।
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)$।
गुणधर्म $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x)$ का उपयोग करने पर,हमें $\theta = \pi - \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) हम जानते हैं कि दो सदिशों $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के सदिश गुणनफल का परिमाण $|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}| |\bar{b}| \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
दिया गया है कि $|\bar{a}| = \frac{2}{3}$,$|\bar{b}| = 3$,और $|\bar{a} \times \bar{b}| = 1$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$1 = (\frac{2}{3}) \times 3 \times \sin(\theta)$
$1 = 2 \sin(\theta)$
$\sin(\theta) = \frac{1}{2}$
चूंकि $\sin(\theta) = \frac{1}{2}$,इसलिए कोण $\theta = \frac{\pi}{6}$ (या $30^{\circ}$) है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) आसन्न भुजाओं $\bar{a}$ और $\bar{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके सदिश गुणनफल के परिमाण,$|\bar{a} \times \bar{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $\bar{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\bar{b} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$।
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1 \times 0 - 2 \times 2) - \hat{j}(0 \times 0 - 2 \times 1) + \hat{k}(0 \times 2 - 1 \times 1)$
$= \hat{i}(-4) - \hat{j}(-2) + \hat{k}(-1) = -4\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$।
क्षेत्रफल $|\bar{a} \times \bar{b}| = \sqrt{(-4)^2 + (2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}$ वर्ग इकाई है।

(D) सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Projection} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ है।
यहाँ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ दिया गया है।
सबसे पहले,अदिश गुणन (dot product) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(3) + (1)(2) = 2 + 6 + 2 = 10$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश $\vec{b}$ का परिमाण (magnitude) $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$ ज्ञात करें।
अतः,प्रक्षेप $\frac{10}{\sqrt{17}}$ प्राप्त होता है।

(B) दो सदिशों $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{\bar{a} \cdot \bar{b}}{|\bar{a}| |\bar{b}|}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\bar{a} \cdot \bar{b} = (6)(4) + (2)(-4) + (-8)(2) = 24 - 8 - 16 = 0$ की गणना करें।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,$\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(A) दिए गए बिंदु $A(1, 2, -3)$ और $B(-1, -2, 1)$ हैं।
सबसे पहले,सदिश $\vec{AB} = (x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j} + (z_2 - z_1)\hat{k}$ ज्ञात करें।
$\vec{AB} = (-1 - 1)\hat{i} + (-2 - 2)\hat{j} + (1 - (-3))\hat{k} = -2\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
अब,$\vec{AB}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
दिक्-कोसाइन $\frac{x}{|\vec{AB}|}, \frac{y}{|\vec{AB}|}, \frac{z}{|\vec{AB}|}$ द्वारा प्राप्त की जाती है।
$l = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$,$m = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$,$n = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
अतः,दिक्-कोसाइन $(-\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ है।

(B) चरण $1$: सदिश $\vec{a} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 2 \hat{k}$ का परिमाण ज्ञात कीजिए।
$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}$.
चरण $2$: $\vec{a}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{a}$ ज्ञात कीजिए।
$\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 2 \hat{k}}{\sqrt{29}}$.
चरण $3$: $\vec{a}$ की दिशा में $2 \sqrt{29}$ परिमाण वाला अभीष्ट सदिश $2 \sqrt{29} \times \hat{a}$ द्वारा प्राप्त होता है।
सदिश $= 2 \sqrt{29} \times \left( \frac{4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 2 \hat{k}}{\sqrt{29}} \right) = 2(4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 2 \hat{k}) = 8 \hat{i} + 6 \hat{j} - 4 \hat{k}$.

(D) पहली रेखा के दिक अनुपात $a_1 = 2, b_1 = 2, c_1 = 1$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $a_2 = 4, b_2 = 1, c_2 = 8$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है: $\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$.
मान रखने पर: $\cos \theta = \left| \frac{(2)(4) + (2)(1) + (1)(8)}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2}} \right|$.
$\cos \theta = \left| \frac{8 + 2 + 8}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{16 + 1 + 64}} \right| = \left| \frac{18}{\sqrt{9} \sqrt{81}} \right|$.
$\cos \theta = \frac{18}{3 \times 9} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$.
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(D) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{b} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ के समांतर रेखा का कार्तीय समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$
यहाँ,बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (5, 2, -4)$ है और दिशा सदिश $\vec{b} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 8 \hat{k}$ है,इसलिए $a=3, b=2, c=-8$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{x-5}{3} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-(-4)}{-8}$
$\frac{x-5}{3} = \frac{y-2}{2} = \frac{z+4}{-8}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) सबसे पहले,हम रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखते हैं।
पहली रेखा के लिए: $\frac{-(x-1)}{3} = \frac{7(y-2)}{2p} = \frac{z-3}{2} \implies \frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{2p/7} = \frac{z-3}{2}$।
दिक् अनुपात $\vec{v_1} = (-3, \frac{2p}{7}, 2)$ हैं।
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{-7(x-1)}{3p} = \frac{y-5}{1} = \frac{-(z-6)}{5} \implies \frac{x-1}{-3p/7} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-6}{-5}$।
दिक् अनुपात $\vec{v_2} = (-\frac{3p}{7}, 1, -5)$ हैं।
चूंकि रेखाएँ लंबवत हैं,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$।
$(-3)(-\frac{3p}{7}) + (\frac{2p}{7})(1) + (2)(-5) = 0$।
$\frac{9p}{7} + \frac{2p}{7} - 10 = 0$।
$\frac{11p}{7} = 10$।
$p = \frac{70}{11}$।

(C) दी गई रेखाएँ $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{2}$ और $\frac{x-2}{p} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{1}$ हैं।
पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{a_1} = (-3, 1, 2)$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{a_2} = (p, 2, 1)$ हैं।
चूँकि रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = 0$
$(-3)(p) + (1)(2) + (2)(1) = 0$
$-3p + 2 + 2 = 0$
$-3p + 4 = 0$
$3p = 4$
$p = \frac{4}{3}$.

(D) पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_1} = (1, 2, 2)$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_2} = (3, 2, 6)$ हैं।
दो रेखाओं,जिनके दिक सदिश $\vec{b_1}$ और $\vec{b_2}$ हैं,के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(3) + (2)(2) + (2)(6) = 3 + 4 + 12 = 19$.
परिमाण की गणना: $|\vec{b_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
अतः,$\cos \theta = \frac{19}{3 \times 7} = \frac{19}{21}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)$।

(B) दिया गया कार्तीय समीकरण $\frac{x-5}{3} = \frac{y+4}{7} = \frac{6-z}{2}$ है।
सबसे पहले,समीकरण को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
तीसरे पद के लिए,$\frac{6-z}{2} = \frac{-(z-6)}{2} = \frac{z-6}{-2}$।
अतः,समीकरण $\frac{x-5}{3} = \frac{y-(-4)}{7} = \frac{z-6}{-2}$ हो जाता है।
इसे मानक रूप से तुलना करने पर,बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ $(5, -4, 6)$ है और दिक अनुपात $(a, b, c)$ $(3, 7, -2)$ हैं।
बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{a} = 5\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}$ है और दिशा सदिश $\vec{b} = 3\hat{i} + 7\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\vec{r} = (5\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 7\hat{j} - 2\hat{k})$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया उद्देश्य फलन $Z = 3x + 4y$ है।
अवरोध $x + y \leq 4$,$x \geq 0$,और $y \geq 0$ हैं।
सुसंगत क्षेत्र $(0, 0)$,$(4, 0)$,और $(0, 4)$ शीर्षों वाला एक त्रिभुज है।
हम प्रत्येक शीर्ष पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$(0, 0)$ पर: $Z = 3(0) + 4(0) = 0$.
$(4, 0)$ पर: $Z = 3(4) + 4(0) = 12$.
$(0, 4)$ पर: $Z = 3(0) + 4(4) = 16$.
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का न्यूनतम मान $0$ है।

(A) उद्देश्य फलन $Z = 3x + 9y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0, 10)$ पर: $Z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$
$2$. $(5, 5)$ पर: $Z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$
$3$. $(15, 15)$ पर: $Z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$
$4$. $(0, 20)$ पर: $Z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का अधिकतम मान $180$ है।

(B) उद्देश्य फलन $Z = px + qy$ का न्यूनतम मान दो कोणीय बिंदुओं $(3,0)$ और $(1,1)$ पर प्राप्त होने के लिए,इन बिंदुओं पर $Z$ का मान समान होना चाहिए।
बिंदु $(3,0)$ पर,$Z = p(3) + q(0) = 3p$ है।
बिंदु $(1,1)$ पर,$Z = p(1) + q(1) = p + q$ है।
दोनों मानों को बराबर करने पर:
$3p = p + q$
$2p = q$
$p = \frac{q}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट शर्त $p = \frac{q}{2}$ है।

(A) उद्देश्य फलन $Z = 3x + 2y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(12, 0)$ पर: $Z = 3(12) + 2(0) = 36 + 0 = 36$
$2$. $(4, 2)$ पर: $Z = 3(4) + 2(2) = 12 + 4 = 16$
$3$. $(1, 5)$ पर: $Z = 3(1) + 2(5) = 3 + 10 = 13$
$4$. $(1, 10)$ पर: $Z = 3(1) + 2(10) = 3 + 20 = 23$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $36$ है।

(A) उद्देश्य फलन $Z = 6x + 3y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. बिंदु $(2, 72)$ पर: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. बिंदु $(15, 20)$ पर: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. बिंदु $(40, 15)$ पर: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
मानों $228$,$150$ और $285$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $150$ है,जो बिंदु $(15, 20)$ पर प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A)$.
दोनों पक्षों से $P(A)$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है: $P(B) - P(A \cap B) = 0$.
इसका अर्थ है कि $P(B) = P(A \cap B)$.
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
सूत्र में $P(A \cap B) = P(B)$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $P(A|B) = \frac{P(B)}{P(B)} = 1$ (मान लीजिए कि $P(B) \neq 0$)।

(C) दिया गया है कि $2 P(A) = \frac{5}{13}$,इसलिए $P(A) = \frac{5}{26}$.
दिया गया है कि $P(B) = \frac{5}{13}$.
हम जानते हैं कि $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
मान रखने पर,$\frac{2}{5} = \frac{P(A \cap B)}{5/13}$.
अतः,$P(A \cap B) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{2}{13}$.
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करने पर:
$P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{5}{13} - \frac{2}{13}$.
$P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{10}{26} - \frac{4}{26}$.
$P(A \cup B) = \frac{5 + 10 - 4}{26} = \frac{11}{26}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।