AP EAMCET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया है: अभिकेंद्र त्वरण $a_c = 18 \,m/s^2$, त्रिज्या $r = 50 \,cm = 0.5 \,m$, समय $t = \frac{\pi}{18} \,s$।
एकसमान वृत्तीय गति में, $a_c = \frac{v^2}{r}$, इसलिए $v = \sqrt{a_c \cdot r} = \sqrt{18 \times 0.5} = \sqrt{9} = 3 \,m/s$।
कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{r} = \frac{3}{0.5} = 6 \,rad/s$ है।
समय $t$ में कोणीय विस्थापन $\theta = \omega t = 6 \times \frac{\pi}{18} = \frac{\pi}{3} \,rad$ है।
वेग में परिवर्तन का परिमाण $\Delta v = 2v \sin(\frac{\theta}{2})$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, $\Delta v = 2 \times 3 \times \sin(\frac{\pi/3}{2}) = 6 \times \sin(\frac{\pi}{6}) = 6 \times 0.5 = 3 \,m/s$।

(B) स्प्रिंग नियतांक $k$ वाली स्प्रिंग से जुड़े $m$ द्रव्यमान के लिए दोलन आवृत्ति $v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
$s_1$ और $s_2$ स्प्रिंगों के लिए,हमारे पास $v_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{s_1}{m}}$ और $v_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{s_2}{m}}$ है।
इनका वर्ग करने पर,$v_1^2 = \frac{1}{4\pi^2} \frac{s_1}{m}$ और $v_2^2 = \frac{1}{4\pi^2} \frac{s_2}{m}$ प्राप्त होता है।
दिए गए चित्र में,स्प्रिंगें समानांतर विन्यास में हैं,इसलिए समतुल्य स्प्रिंग नियतांक $s_{eq} = s_1 + s_2$ है।
नई आवृत्ति $v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{s_{eq}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{s_1 + s_2}{m}}$ है।
$s_1 = 4\pi^2 m v_1^2$ और $s_2 = 4\pi^2 m v_2^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{4\pi^2 m v_1^2 + 4\pi^2 m v_2^2}{m}} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$.

(C) निकाय का कुल द्रव्यमान $m = 6 \ g + 10 \ g = 16 \ g = 0.016 \ kg$ है।
जब ट्यूब को $x$ छोटी दूरी तक नीचे दबाया जाता है,तो उस पर कार्य करने वाला अतिरिक्त उत्प्लावन बल $F = \rho A x g$ होता है,जहाँ $\rho$ पानी का घनत्व $(1000 \ kg/m^3)$,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(10 \ cm^2 = 10^{-3} \ m^2)$ और $g = 10 \ m/s^2$ है।
प्रत्यानयन बल नियतांक $k = \frac{F}{x} = \rho A g = 1000 \times 10^{-3} \times 10 = 10 \ N/m$ है।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{0.016}{10}} = 2 \pi \sqrt{0.0016} = 2 \pi \times 0.04 = 0.08 \pi \ s$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$T \approx 0.08 \times 3.14 \approx 0.25 \ s$ प्राप्त होता है।

(C) बाईं ओर की दो स्प्रिंग समानांतर क्रम में हैं,इसलिए उनका तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_p = K + K = 2K$ है।
यह संयोजन तीसरी स्प्रिंग (जिसका नियतांक $K$ है) के साथ श्रेणी क्रम में है। तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{2K} + \frac{1}{K} = \frac{1+2}{2K} = \frac{3}{2K}$
$K_{eq} = \frac{2K}{3} = \frac{2 \times 9 \pi^2}{3} = 6 \pi^2 \ Nm^{-1}$.
ब्लॉक का द्रव्यमान $m = 3 \ kg$ है।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}}$ है।
मान रखने पर: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{6 \pi^2}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{2 \pi^2}} = 2 \pi \times \frac{1}{\pi \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ s$.
$T = 1.414 \ s$.

(B) दिया गया है: आवर्तकाल $T = 3 \,s$, विस्थापन $x = 0.6 \,A$ (जहाँ $A$ आयाम है)।
सरल आवर्त गति में कण की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ है।
कण की स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ का सूत्र $P.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ है।
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K.E.}{P.E.} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)}{\frac{1}{2} m \omega^2 x^2} = \frac{A^2 - x^2}{x^2} = \left(\frac{A}{x}\right)^2 - 1$ है।
$x = 0.6 \,A = \frac{6}{10} \,A = \frac{3}{5} \,A$ रखने पर, हमें $\frac{A}{x} = \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः, अनुपात $\left(\frac{5}{3}\right)^2 - 1 = \frac{25}{9} - 1 = \frac{25 - 9}{9} = \frac{16}{9}$ है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \ kg$,आवर्तकाल $T = \frac{\pi}{2} \ s$,विस्थापन $x = 0.2 \ m$।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4 \ rad/s$।
सरल आवर्त गति करने वाले कण की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} kx^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $k = m\omega^2$,इसलिए $U = \frac{1}{2} m\omega^2 x^2$ होगा।
मान रखने पर: $U = \frac{1}{2} \times 1 \times (4)^2 \times (0.2)^2$।
$U = \frac{1}{2} \times 16 \times 0.04 = 8 \times 0.04 = 0.32 \ J$।

(A) दिया गया है: स्प्रिंग नियतांक $k = 200 \, Nm^{-1}$।
प्रारंभिक विस्तार $x_1 = 10 \, cm = 0.1 \, m$।
अंतिम विस्तार $x_2 = 10 \, cm + 10 \, cm = 20 \, cm = 0.2 \, m$।
स्प्रिंग को $x_1$ से $x_2$ तक खींचने में किया गया कार्य $W$, स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \frac{1}{2} k (x_2^2 - x_1^2)$
मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times 200 \times ((0.2)^2 - (0.1)^2)$
$W = 100 \times (0.04 - 0.01)$
$W = 100 \times 0.03 = 3 \, J$.

(B) सरल आवर्त गति $(SHM)$ कर रहे एक पिंड के लिए,$d$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k d^2$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
$E_1 = \frac{1}{2} k x^2 \implies x = \sqrt{\frac{2 E_1}{k}}$
$E_2 = \frac{1}{2} k y^2 \implies y = \sqrt{\frac{2 E_2}{k}}$
$(x+y)$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $E$ है:
$E = \frac{1}{2} k (x+y)^2$
$E = \frac{1}{2} k (x^2 + y^2 + 2xy)$
$E = \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} k y^2 + 2 \left( \frac{1}{2} k x y \right)$
$E = E_1 + E_2 + 2 \sqrt{\left( \frac{1}{2} k x^2 \right) \left( \frac{1}{2} k y^2 \right)}$
$E = E_1 + E_2 + 2 \sqrt{E_1 E_2}$
$E = (\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{E} = \sqrt{E_1} + \sqrt{E_2}$

(A) दिया गया द्रव्यमान $m = 2 \text{ g} = 2 \times 10^{-3} \text{ kg}$ है।
विस्थापन समीकरण $x = 8 \cos \left(50 t + \frac{\pi}{12}\right) \text{ m}$ है।
इसे मानक सरल आवर्त गति समीकरण $x = A \cos(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,आयाम $A = 8 \text{ m}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 50 \text{ rad/s}$ प्राप्त होता है।
कण का अधिकतम वेग $v_{\max} = A \omega = 8 \times 50 = 400 \text{ m/s}$ है।
अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E.)_{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $(K.E.)_{\max} = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-3} \text{ kg}) \times (400 \text{ m/s})^2$.
$(K.E.)_{\max} = 10^{-3} \times 160000 = 160 \text{ J}$.

(B) सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाले कण के लिए, विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$, वेग $v = A\omega \cos(\omega t)$, और त्वरण $a = -A\omega^2 \sin(\omega t)$ है।
$(A)$ वेग-विस्थापन ग्राफ: $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} \Rightarrow \frac{v^2}{\omega^2} + x^2 = A^2$। यदि $\omega = 1$ है, तो यह एक वृत्त है। यदि $\omega \neq 1$ है, तो यह एक दीर्घवृत्त है। प्रश्न में $\omega \neq 1$ दिया गया है, इसलिए $(A)$ - $(iv)$ के साथ मेल खाता है।
$(B)$ त्वरण-विस्थापन ग्राफ: $a = -\omega^2 x$, जो एक सरल रेखा को दर्शाता है। इसलिए, $(B)$ - $(i)$ के साथ मेल खाता है।
$(C)$ त्वरण-समय ग्राफ: $a = -A\omega^2 \sin(\omega t)$, जो एक ज्यावक्रीय (Sinusoidal) ग्राफ है। इसलिए, $(C)$ - $(ii)$ के साथ मेल खाता है।
$(D)$ त्वरण-वेग ग्राफ: $\frac{v^2}{(A\omega)^2} + \frac{a^2}{(A\omega^2)^2} = 1$, जो एक दीर्घवृत्त का समीकरण है। इसलिए, $(D)$ - $(iv)$ के साथ मेल खाता है।

(B) एक अवमंदित दोलक का विस्थापन $x(t) = A_0 e^{-bt} \cos(\omega' t + \Phi)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A(t) = A_0 e^{-bt}$ समय $t$ पर आयाम है।
दिए गए समीकरण $x(t) = \exp(-0.2 t) \cos(3.2 t + \Phi)$ से,$t = 0$ पर प्रारंभिक आयाम $A_0 = 1$ है।
समय $t$ पर आयाम $A(t) = e^{-0.2 t}$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब आयाम अपने प्रारंभिक आयाम का $\frac{1}{e^{1.2}}$ गुना हो जाता है।
अतः,$A(t) = \frac{1}{e^{1.2}} \times A_0 = e^{-1.2} \times 1 = e^{-1.2}$.
आयाम के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $e^{-0.2 t} = e^{-1.2}$.
घातांकों की तुलना करने पर: $-0.2 t = -1.2$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{1.2}{0.2} = 6 \ s$.

(C) $SHM$ के लिए विस्थापन समीकरण $y = A \sin (2t + \phi)$ है।
वेग,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dy}{dt} = 2A \cos (2t + \phi)$।
$t = 0$ पर,$y = 2 \ m$ और $v = 4 \ ms^{-1}$ है।
इन मानों को समीकरणों में रखने पर:
$2 = A \sin (0 + \phi) \implies A \sin \phi = 2 \quad (i)$
$4 = 2A \cos (0 + \phi) \implies A \cos \phi = 2 \quad (ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{A \sin \phi}{A \cos \phi} = \frac{2}{2}$
$\tan \phi = 1$
$\phi = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$।

(C) समय $t$ पर एक अवमंदित दोलक का आयाम $A(t) = A_0 e^{-kt}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = \frac{b}{2m}$ है।
दिया गया है कि $t = 2 \ s$ पर,$A(2) = \frac{A_0}{e}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{A_0}{e} = A_0 e^{-k(2)} \Rightarrow e^{-1} = e^{-2k} \Rightarrow 2k = 1 \Rightarrow k = 0.5 \ s^{-1}$ प्राप्त होता है।
हमें अगले दो सेकंड के बाद,यानी $t = 4 \ s$ पर आयाम ज्ञात करना है।
$A(4) = A_0 e^{-k(4)} = A_0 e^{-0.5 \times 4} = A_0 e^{-2} = \frac{A_0}{e^2}$।

(B) पहला समीकरण $y_1 = 5[\sin 2 \pi t + \sqrt{3} \cos 2 \pi t]$ है।
आयाम $A_1$ ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक को $A_1 \sin(2 \pi t + \phi)$ के रूप में लिखते हैं।
$2$ से गुणा और भाग करने पर: $y_1 = 5 \times 2 [\frac{1}{2} \sin 2 \pi t + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 \pi t] = 10 [\sin 2 \pi t \cos \frac{\pi}{3} + \cos 2 \pi t \sin \frac{\pi}{3}] = 10 \sin(2 \pi t + \frac{\pi}{3})$.
अतः,आयाम $A_1 = 10$ प्राप्त होता है।
दूसरा समीकरण $y_2 = 5 \sin [2 \pi t + \frac{\pi}{4}]$ है।
इसकी तुलना $y_2 = A_2 \sin(2 \pi t + \phi_2)$ से करने पर,आयाम $A_2 = 5$ प्राप्त होता है।
उनके आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{10}{5} = 2: 1$ है।

(C) गति का दिया गया समीकरण: $500 F + \pi^2 y = 0$।
चूंकि $F = ma$, हम लिख सकते हैं: $500 ma + \pi^2 y = 0$।
$500 m$ से भाग देने पर: $a + \left(\frac{\pi^2}{500 m}\right) y = 0$।
अतः, $a = -\left(\frac{\pi^2}{500 m}\right) y$ ... $(i)$।
सरल आवर्त गति के लिए, मानक समीकरण $a = -\omega^2 y$ है ... (ii)।
$(i)$ और (ii) की तुलना करने पर, हमें $\omega^2 = \frac{\pi^2}{500 m}$ प्राप्त होता है।
$m = 2 \text{ g} = 2 \times 10^{-3} \text{ kg}$ रखने पर:
$\omega^2 = \frac{\pi^2}{500 \times 2 \times 10^{-3}} = \frac{\pi^2}{1} = \pi^2$।
इसलिए, $\omega = \pi$।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \text{ s}$ प्राप्त होता है।

(C) माध्य स्थिति पर,द्रव्यमान $M$ का वेग अधिकतम होता है,जो $v_1 = \omega_1 A_1 = \sqrt{\frac{k}{M}} A_1$ द्वारा दिया जाता है।
जब माध्य स्थिति पर द्रव्यमान $m$ जोड़ा जाता है,तो संवेग संरक्षित रहता है क्योंकि माध्य स्थिति पर स्प्रिंग बल शून्य होता है।
मान लीजिए $v_2$ द्रव्यमान $m$ जोड़ने के तुरंत बाद संयुक्त द्रव्यमान $(M+m)$ का वेग है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $M v_1 = (M+m) v_2$.
वेग के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $M \left( \sqrt{\frac{k}{M}} A_1 \right) = (M+m) \left( \sqrt{\frac{k}{M+m}} A_2 \right)$.
समीकरण को सरल करने पर: $\sqrt{Mk} A_1 = \sqrt{(M+m)k} A_2$.
अतः,$\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{M+m}{M}}$.

(B) हवा में एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब लोलक को $\rho$ घनत्व वाले तरल में डुबोया जाता है और बॉब का घनत्व $\sigma$ होता है,तो गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का प्रभावी मान $g' = g(1 - \frac{\rho}{\sigma})$ होता है।
यहाँ,$\rho = 1000 \ kg \ m^{-3}$ और $\sigma = \frac{5000}{3} \ kg \ m^{-3}$ है।
अतः,$g' = g(1 - \frac{1000}{5000/3}) = g(1 - \frac{3000}{5000}) = g(1 - \frac{3}{5}) = g(\frac{2}{5})$.
पानी में आवर्तकाल $t = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g(2/5)}} = \sqrt{\frac{5}{2}} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = \sqrt{\frac{5}{2}} T$ होता है।
इसलिए,$\frac{T}{t} = \sqrt{\frac{2}{5}}$।

(D) दिया गया द्रव्यमान $m = 10 \ g = 10 \times 10^{-3} \ kg$ है।
स्थितिज ऊर्जा $U(x) = 50x^2 + 100 \ J$ है।
प्रत्यानयन बल $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$F = -\frac{d}{dx}(50x^2 + 100) = -100x$।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$।
$ma = -100x \Rightarrow a = -\frac{100}{m}x$।
$m = 10^{-2} \ kg$ रखने पर:
$a = -\frac{100}{10^{-2}}x = -10^4 x$।
इसे मानक $SHM$ समीकरण $a = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = 10^4$ प्राप्त होता है।
$\omega = \sqrt{10^4} = 100 \ rad/s$।
दोलन की आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi}$ द्वारा दी जाती है।
$f = \frac{100}{2\pi} = \frac{50}{\pi} \ s^{-1}$।

(D) स्प्रिंग से जुड़े दो-पिंड निकाय के लिए,समतुल्य द्रव्यमान (समानित द्रव्यमान) $\mu$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$
निकाय की कोणीय आवृत्ति $\omega$ का सूत्र है:
$\omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}}$
$\mu$ का मान रखने पर:
$\omega = \sqrt{\frac{k}{\left(\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\right)}}$
$\omega = \sqrt{\frac{k(m_1 + m_2)}{m_1 m_2}}$
$\omega = \sqrt{k \left(\frac{m_1}{m_1 m_2} + \frac{m_2}{m_1 m_2}\right)}$
$\omega = \sqrt{k \left(\frac{1}{m_2} + \frac{1}{m_1}\right)}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है: लंबाई $l = 20 \ cm = 0.2 \ m$,क्षेत्रफल $A = 4 \times 10^{-4} \ m^2$,तापमान का अंतर $\Delta \theta = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100 \ K$,समय $t = 60 \ s$,बर्फ का द्रव्यमान $m = 5 \ g$,गलन की गुप्त ऊष्मा $L = 80 \ cal/g = 80 \times 4.2 \ J/g = 336 \ J/g = 336000 \ J/kg$.
छड़ के माध्यम से प्रवाहित ऊष्मा $H = \frac{kA \Delta \theta}{l}$.
बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q = mL$.
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{kA \Delta \theta}{l} = \frac{mL}{t}$.
मान रखने पर: $\frac{k \times 4 \times 10^{-4} \times 100}{0.2} = \frac{5 \times 10^{-3} \ kg \times 336000 \ J/kg}{60 \ s}$.
$k \times 0.2 = \frac{1680}{60} = 28$.
$k = \frac{28}{0.2} = 140 \ W \ m^{-1} \ K^{-1}$.

(D) कुल ऊष्मा $Q$ के लिए सूत्र: $Q = (m_1 s_1 + m_2 s_2 + m_3 s_3) \Delta T$.
यहाँ,$m_1 = 2.4 \ kg$,$s_1 = 0.216 \ cal \cdot kg^{-1} \cdot ^{\circ}C^{-1}$ (एल्युमीनियम)।
$m_2 = 1.6 \ kg$,$s_2 = 0.0917 \ cal \cdot kg^{-1} \cdot ^{\circ}C^{-1}$ (पीतल)।
$m_3 = 0.8 \ kg$,$s_3 = 0.0931 \ cal \cdot kg^{-1} \cdot ^{\circ}C^{-1}$ (तांबा)।
$Q = 44.4 \ cal$.
मान रखने पर: $44.4 = (2.4 \times 0.216 + 1.6 \times 0.0917 + 0.8 \times 0.0931) \Delta T$.
$44.4 = (0.5184 + 0.14672 + 0.07448) \Delta T$.
$44.4 = (0.7396) \Delta T$.
$\Delta T = 44.4 / 0.7396 \approx 60^{\circ} C$.
चूंकि $\Delta T = T_{final} - T_{initial}$,इसलिए $60 = T_{final} - 20$.
अतः,$T_{final} = 80^{\circ} C$.

(C) कैलोरीमिति के सिद्धांत के अनुसार,धातु की गेंद द्वारा प्राप्त ऊष्मा,पानी द्वारा खोई गई ऊष्मा के बराबर होती है।
मान लीजिए $m_1 = 100 \ g$ धातु का द्रव्यमान है,$s_1$ इसकी विशिष्ट ऊष्मा है,और $T_1 = 20^{\circ} C$ इसका प्रारंभिक तापमान है।
मान लीजिए $m_2 = 200 \ g$ (चूंकि पानी का घनत्व $1 \ g/ml$ है) पानी का द्रव्यमान है,$s_2$ इसकी विशिष्ट ऊष्मा है,और $T_2 = 80^{\circ} C$ इसका प्रारंभिक तापमान है।
अंतिम संतुलन तापमान $T = 70^{\circ} C$ है।
धातु द्वारा प्राप्त ऊष्मा = $m_1 s_1 (T - T_1) = 100 \times s_1 \times (70 - 20) = 5000 s_1$.
पानी द्वारा खोई गई ऊष्मा = $m_2 s_2 (T_2 - T) = 200 \times s_2 \times (80 - 70) = 2000 s_2$.
दोनों को बराबर करने पर: $5000 s_1 = 2000 s_2$.
इसलिए,अनुपात $\frac{s_1}{s_2} = \frac{2000}{5000} = \frac{2}{5}$ है।

(B) कैलोरीमिति के सिद्धांत के अनुसार,पानी द्वारा खोई गई ऊष्मा = बर्फ द्वारा प्राप्त ऊष्मा।
माना पानी का द्रव्यमान $m$ ग्राम है।
पानी द्वारा खोई गई ऊष्मा $= m \times c_w \times (T_i - T_f) = m \times 1 \times (30 - 6) = 24m \text{ cal}$.
बर्फ द्वारा प्राप्त ऊष्मा तीन भागों में होती है:
$1$. बर्फ को $-20^{\circ} C$ से $0^{\circ} C$ तक गर्म करने के लिए: $Q_1 = 5 \times 0.5 \times 20 = 50 \text{ cal}$.
$2$. $0^{\circ} C$ पर बर्फ को पिघलाने के लिए: $Q_2 = 5 \times 80 = 400 \text{ cal}$.
$3$. पिघले हुए पानी को $0^{\circ} C$ से $6^{\circ} C$ तक गर्म करने के लिए: $Q_3 = 5 \times 1 \times 6 = 30 \text{ cal}$.
कुल प्राप्त ऊष्मा $= 50 + 400 + 30 = 480 \text{ cal}$.
खोई गई और प्राप्त ऊष्मा को बराबर करने पर: $24m = 480$.
$m = 480 / 24 = 20 \text{ g}$.

(D) मान लीजिए $K_b$ और $K_c$ क्रमशः पीतल और तांबे की ऊष्मीय चालकता हैं। दिया गया है कि $K_b : K_c = 1 : 4$ है।
मान लीजिए $T$ इंटरफ़ेस का तापमान है।
चूंकि प्लेटें श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए स्थिर अवस्था में दोनों प्लेटों से ऊष्मा प्रवाह की दर $H$ समान होनी चाहिए।
$H = \frac{K_c A(100 - T)}{x} = \frac{K_b A(T - 0)}{x}$
जहाँ $A$ क्षेत्रफल है और $x$ प्रत्येक प्लेट की मोटाई है।
दोनों पक्षों से $A$ और $x$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$K_c(100 - T) = K_b(T)$
$\frac{K_c}{K_b} = \frac{T}{100 - T}$
चूंकि $\frac{K_b}{K_c} = \frac{1}{4}$ है,इसलिए $\frac{K_c}{K_b} = 4$ होगा।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$4 = \frac{T}{100 - T}$
$4(100 - T) = T$
$400 - 4T = T$
$5T = 400$
$T = 80^{\circ} C$

(A) दिया गया है: परिवेश का तापमान $T_0 = 300 \ K$ है।
$T_1 = 600 \ K$ पर शीतलन की दर $H$ है।
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $Q \propto (T^4 - T_0^4)$ होती है।
अतः,$H = k(T_1^4 - T_0^4)$ और $Q_2 = k(T_2^4 - T_0^4)$ जहाँ $T_2 = 900 \ K$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{Q_2}{H} = \frac{T_2^4 - T_0^4}{T_1^4 - T_0^4}$.
मान रखने पर: $\frac{Q_2}{H} = \frac{(900)^4 - (300)^4}{(600)^4 - (300)^4}$.
$(300)^4$ से विभाजित करने पर: $\frac{Q_2}{H} = \frac{3^4 - 1^4}{2^4 - 1^4} = \frac{81 - 1}{16 - 1} = \frac{80}{15} = \frac{16}{3}$.
अतः,$Q_2 = \frac{16}{3} H$.

(D) एक आदर्श कृष्णिका (perfect black body) को एक ऐसे आदर्श पिंड के रूप में परिभाषित किया जाता है जो उस पर आपतित होने वाले सभी विकिरणों को अवशोषित कर लेता है,चाहे उनकी आवृत्ति या आपतन कोण कुछ भी हो।
परिभाषा के अनुसार,अवशोषण गुणांक $\alpha$ अवशोषित ऊर्जा और पिंड पर आपतित कुल ऊर्जा का अनुपात है।
चूंकि एक आदर्श कृष्णिका सभी आपतित विकिरणों को अवशोषित कर लेती है,इसलिए अवशोषित ऊर्जा कुल आपतित ऊर्जा के बराबर होती है।
अतः,अवशोषण गुणांक $\alpha = 1$ होता है।

(C) ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{kA \Delta T}{l}$ द्वारा दी जाती है।
छड़ $A$ के लिए: $\Delta T_A = 40^{\circ} C$,और छड़ $B$ के लिए: $\Delta T_B = 60^{\circ} C$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दरों का अनुपात $\frac{H_A}{H_B} = \frac{3}{8}$ है।
चूंकि छड़ें समान पदार्थ की हैं,इसलिए $k_A = k_B = k$ होगा।
अतः,$\frac{H_A}{H_B} = \frac{A_A \Delta T_A / l_A}{A_B \Delta T_B / l_B} = \frac{A_A}{A_B} \cdot \frac{l_B}{l_A} \cdot \frac{40}{60} = \frac{3}{8}$ ....$(i)$
चूंकि छड़ों का द्रव्यमान और पदार्थ समान है,इसलिए उनके आयतन समान हैं: $V_A = V_B \Rightarrow A_A l_A = A_B l_B \Rightarrow \frac{A_A}{A_B} = \frac{l_B}{l_A}$ ....(ii)
समीकरण (ii) को $(i)$ में रखने पर: $\left(\frac{l_B}{l_A}\right) \cdot \left(\frac{l_B}{l_A}\right) \cdot \left(\frac{40}{60}\right) = \frac{3}{8}$ प्राप्त होता है।
$\left(\frac{l_B}{l_A}\right)^2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{8} \Rightarrow \left(\frac{l_B}{l_A}\right)^2 = \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{16}$।
वर्गमूल लेने पर,$\frac{l_B}{l_A} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,लंबाई का अनुपात $l_A : l_B = 4 : 3$ है।

(C) चरण $1$: वह तापमान ज्ञात करें जहाँ सेल्सियस और फारेनहाइट स्केल मिलते हैं।
मान लीजिए तापमान $T_1$ है। संबंध $\frac{C}{5} = \frac{F-32}{9}$ है। $C = F = T_1$ रखने पर:
$\frac{T_1}{5} = \frac{T_1-32}{9} \Rightarrow 9T_1 = 5T_1 - 160 \Rightarrow 4T_1 = -160 \Rightarrow T_1 = -40^{\circ}C$.
केल्विन में,$T_1 = -40 + 273.15 = 233.15 \ K$.
चरण $2$: वह तापमान ज्ञात करें जहाँ केल्विन और फारेनहाइट स्केल मिलते हैं।
मान लीजिए तापमान $T_2$ है। संबंध $\frac{K-273.15}{5} = \frac{F-32}{9}$ है। $K = F = T_2$ रखने पर:
$\frac{T_2-273.15}{5} = \frac{T_2-32}{9} \Rightarrow 9T_2 - 2458.35 = 5T_2 - 160 \Rightarrow 4T_2 = 2298.35 \Rightarrow T_2 \approx 574.59 \ K$.
चरण $3$: कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ की गणना करें।
$\eta = 1 - \frac{T_{cold}}{T_{hot}} = 1 - \frac{233.15}{574.59} \approx 1 - 0.405 = 0.595 \approx 60 \%$.

(C) एक परमाण्विक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ है।
नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{f}{2}R = \frac{3}{2}R$ है।
नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = C_v + R = \frac{5}{2}R$ है।
नियत दाब पर अवशोषित ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T = 40 \ J$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ है।
अनुपात लेने पर,$\frac{\Delta U}{Q} = \frac{n C_v \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{C_v}{C_p} = \frac{3/2 R}{5/2 R} = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\Delta U = \frac{3}{5} \times Q = \frac{3}{5} \times 40 \ J = 24 \ J$ होगा।

(C) दिया गया है: दी गई ऊष्मा $Q = 100 \ J$,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 60 \ J$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + W$,इसलिए किया गया कार्य $W = Q - \Delta U = 100 - 60 = 40 \ J$।
हम जानते हैं कि $\Delta U = n C_v \Delta T$ और $Q = n C_p \Delta T$।
अतः,$\frac{Q}{\Delta U} = \frac{C_p}{C_v} = \gamma$।
मान रखने पर,$\gamma = \frac{100}{60} = \frac{5}{3} \approx 1.67$।
चूंकि रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma = 1.67$ एक-परमाणुक गैस के लिए होता है,इसलिए गैस एक-परमाणुक है।

(C) एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल उसके तापमान $T$ पर निर्भर करती है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ होती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन का सूत्र $\Delta U = \frac{n f R \Delta T}{2}$ है।
$(i)$ नियत आयतन पर: $\Delta U_1 = \frac{n(3)R(T_2 - T_1)}{2} = \frac{3}{2} nR(T_2 - T_1)$.
(ii) नियत दाब पर: $\Delta U_2 = \frac{n(3)R(T_2 - T_1)}{2} = \frac{3}{2} nR(T_2 - T_1)$.
चूंकि तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1$ दोनों स्थितियों में समान है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन दोनों स्थितियों में समान होगा।

(B) एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 3$ है। दिया गया है $n_1 = 2$ मोल और $T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$। आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{n_1 f_1 R T_1}{2} = \frac{2 \times 3 \times R \times 300}{2} = 900 R$ है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 5$ है। दिया गया है $n_2 = 3$ मोल और $T_2 = 127^{\circ} C = 400 \ K$। आंतरिक ऊर्जा $U' = \frac{n_2 f_2 R T_2}{2} = \frac{3 \times 5 \times R \times 400}{2} = 3000 R$ है।
अब,अनुपात ज्ञात करने पर: $\frac{U'}{U} = \frac{3000 R}{900 R} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}$।
अतः,$U' = \frac{10 U}{3}$।

(A) एक मोनोएटॉमिक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ है।
स्थिर दाब पर,अवशोषित ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $C_p = \frac{f+2}{2} R = \frac{5}{2} R$,इसलिए $Q = \frac{5}{2} n R \Delta T$।
आदर्श गैस समीकरण से,$p \Delta V = n R \Delta T$।
इसे ऊष्मा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $Q = \frac{5}{2} p \Delta V$।
यहाँ $Q = 80 \ J$ और $\Delta V = 16 \times 10^{-5} \ m^3$ दिया गया है,इसलिए:
$80 = \frac{5}{2} \times p \times 16 \times 10^{-5}$।
$80 = 40 \times 10^{-5} \times p$।
$p = \frac{80}{40 \times 10^{-5}} = 2 \times 10^5 \ Nm^{-2}$।

(D) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = Q - W$।
यहाँ,गैस द्वारा अवशोषित ऊष्मा $Q = +18 \ J$ है।
चूंकि गैस पर कार्य किया जाता है,इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य $W = -12 \ J$ होगा।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\Delta U = 18 \ J - (-12 \ J) = 18 \ J + 12 \ J = 30 \ J$।
अतः,गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $30 \ J$ है।

(D) माना सिंक का निरपेक्ष तापमान $T_2 = T$ है।
स्रोत का निरपेक्ष तापमान $T_1$,सिंक के तापमान से $25 \%$ अधिक है,इसलिए $T_1 = T + 0.25T = 1.25T$ है।
कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\eta = 1 - \frac{T}{1.25T} = 1 - \frac{1}{1.25} = 1 - \frac{100}{125} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$।
इसे प्रतिशत में व्यक्त करने पर,$\eta = \frac{1}{5} \times 100 \% = 20 \%$।

(B) कार्नोट ऊष्मा इंजन की दक्षता $\eta = 10 \% = 0.1$ है।
जब वही इंजन एक रेफ्रिजरेटर के रूप में कार्य करता है,तो रेफ्रिजरेटर का निष्पादन गुणांक $(COP)_R$,ऊष्मा इंजन की दक्षता $\eta$ से इस सूत्र द्वारा संबंधित होता है:
$(COP)_R = \frac{1 - \eta}{\eta}$.
सूत्र में $\eta = 0.1$ का मान रखने पर:
$(COP)_R = \frac{1 - 0.1}{0.1} = \frac{0.9}{0.1} = 9$.
अतः,रेफ्रिजरेटर का निष्पादन गुणांक $9$ है।

(C) कार्नोट चक्र के लिए,दक्षता $\eta$ को $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{W}{Q_1}$ द्वारा दिया जाता है।
केल्विन में तापमान: $T_1 = 127 + 273 = 400 \text{ K}$ और $T_2 = 27 + 273 = 300 \text{ K}$ है।
अवशोषित ऊष्मा $Q_1 = 5 \times 10^4 \text{ cal}$ दी गई है।
दक्षता के सूत्र में मान रखने पर:
$\eta = 1 - \frac{300}{400} = 1 - 0.75 = 0.25$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\eta = \frac{W}{Q_1}$,इसलिए $W = \eta \times Q_1$ होगा।
$W = 0.25 \times 5 \times 10^4 \text{ cal} = 1.25 \times 10^4 \text{ cal}$।
अतः,कार्य में परिवर्तित ऊष्मा की मात्रा $1.25 \times 10^4 \text{ cal}$ है।

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_{sink}}{T_{source}}$ द्वारा दी जाती है।
पहले मामले के लिए,$T_1 = 800 \ K$ और $T_2 = 500 \ K$ है।
$\eta_1 = 1 - \frac{500}{800} = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$।
दूसरे मामले के लिए,$T_{source} = x \ K$ और $T_{sink} = 600 \ K$ है।
$\eta_2 = 1 - \frac{600}{x}$।
चूंकि दक्षता समान है,इसलिए $\eta_1 = \eta_2$।
$1 - \frac{600}{x} = \frac{3}{8}$।
$\frac{600}{x} = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$।
$x = \frac{600 \times 8}{5} = 120 \times 8 = 960 \ K$।

(B) कोल्ड स्टोरेज में प्रवेश करने वाली ऊष्मा की दर $Q_2 = \frac{mL}{t} = \frac{2 \times 10^3 \ g \times 80 \ cal/g}{3600 \ s} = \frac{160000}{3600} \ cal/s = \frac{400}{9} \ cal/s$ है।
इसे जूल प्रति सेकंड (वाट) में बदलने पर: $Q_2 = \frac{400}{9} \times 4.2 \ J/s = 186.67 \ W$ प्राप्त होता है।
कार्नोट रेफ्रिजरेटर का निष्पादन गुणांक $(COP)$ $\text{COP} = \frac{T_2}{T_1 - T_2} = \frac{Q_2}{W}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$T_2 = 0^{\circ} C = 273 \ K$ और $T_1 = 20^{\circ} C = 293 \ K$ है।
अतः,$\frac{273}{293 - 273} = \frac{186.67}{W}$.
$\frac{273}{20} = \frac{186.67}{W}$.
$W = \frac{186.67 \times 20}{273} \approx 13.67 \ W$.
इस प्रकार,न्यूनतम पावर आउटपुट लगभग $13.6 \ W$ है।

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
प्रथम स्थिति के लिए: $\frac{1}{6} = 1 - \frac{T_2}{T_1} \Rightarrow \frac{T_2}{T_1} = \frac{5}{6} \Rightarrow T_2 = \frac{5}{6} T_1$ ....$(i)$
दूसरी स्थिति के लिए,सिंक का तापमान $65 \ K$ कम कर दिया जाता है,इसलिए नया सिंक तापमान $(T_2 - 65)$ है।
$\frac{1}{3} = 1 - \frac{T_2 - 65}{T_1} \Rightarrow \frac{T_2 - 65}{T_1} = \frac{2}{3}$ ....(ii)
समीकरण $(i)$ से $T_2 = \frac{5}{6} T_1$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
$\frac{\frac{5}{6} T_1 - 65}{T_1} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{5}{6} - \frac{65}{T_1} = \frac{2}{3}$
$\frac{65}{T_1} = \frac{5}{6} - \frac{2}{3} = \frac{5-4}{6} = \frac{1}{6}$
$T_1 = 65 \times 6 = 390 \ K$
अब,प्रारंभिक सिंक तापमान $T_2$ की गणना करने पर:
$T_2 = \frac{5}{6} \times 390 = 325 \ K$
अंतिम सिंक तापमान $T_2 - 65 = 325 - 65 = 260 \ K$ है।
अतः,सिंक का प्रारंभिक और अंतिम तापमान क्रमशः $325 \ K$ और $260 \ K$ है।

(C) कार्नोट इंजन के लिए,दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
दिया गया है $\eta_1 = 25\% = 0.25$ और $T_2 = 300 \ K$:
$0.25 = 1 - \frac{300}{T_1} \implies \frac{300}{T_1} = 0.75 \implies T_1 = \frac{300}{0.75} = 400 \ K$.
अब,हम स्रोत के तापमान में $x$ की वृद्धि करके दक्षता को $\eta_2 = 50\% = 0.5$ करना चाहते हैं:
$0.5 = 1 - \frac{300}{400 + x} \implies \frac{300}{400 + x} = 0.5 \implies 400 + x = \frac{300}{0.5} = 600 \ K$.
$x = 600 - 400 = 200 \ K$.
अतः,स्रोत के तापमान में आवश्यक वृद्धि $200 \ K$ है।

(A) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_{sink}}{T_{source}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ तापमान केल्विन में होना चाहिए $(K = ^{\circ}C + 273)$।
स्थिति $1$: $T_{source} = 200^{\circ}C = 473 \ K$ और $T_{sink} = 0^{\circ}C = 273 \ K$ है।
$\eta_1 = 1 - \frac{273}{473} = \frac{473 - 273}{473} = \frac{200}{473}$।
स्थिति $2$: $T_{source} = 0^{\circ}C = 273 \ K$ और $T_{sink} = -200^{\circ}C = 73 \ K$ है।
$\eta_2 = 1 - \frac{73}{273} = \frac{273 - 73}{273} = \frac{200}{273}$।
अब,अनुपात की गणना करने पर:
$\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{200}{473} \times \frac{273}{200} = \frac{273}{473} \approx 0.577 \approx 0.58$।

(A) कार्नो इंजन की दक्षता का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ है।
प्रारंभ में,$\eta_1 = 25 \% = 0.25$ है।
अतः,$0.25 = 1 - \frac{T_2}{T_1} \implies \frac{T_2}{T_1} = 0.75 = \frac{3}{4}$।
इससे $T_1 = \frac{4}{3} T_2$ प्राप्त होता है।
जब स्रोत का तापमान $100 \ K$ बढ़ाया जाता है,तो नई दक्षता $\eta_2 = 40 \% = 0.4$ हो जाती है।
अतः,$0.4 = 1 - \frac{T_2}{T_1 + 100}$।
इसका अर्थ है $\frac{T_2}{T_1 + 100} = 0.6 = \frac{3}{5}$।
समीकरण में $T_1 = \frac{4}{3} T_2$ रखने पर:
$\frac{T_2}{\frac{4}{3} T_2 + 100} = \frac{3}{5}$।
$5 T_2 = 3 \left( \frac{4}{3} T_2 + 100 \right)$।
$5 T_2 = 4 T_2 + 300$।
$T_2 = 300 \ K$।

(C) कार्नोट इंजन के लिए,दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ होती है।
दिया गया है $\eta = 25 \% = 0.25$ और $T_1 = 127^{\circ} C = (127 + 273) K = 400 K$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.25 = 1 - \frac{T_2}{400}$.
$\frac{T_2}{400} = 1 - 0.25 = 0.75$.
$T_2 = 0.75 \times 400 = 300 K$.
दूसरे मामले में,सिंक का तापमान $10 \%$ कम कर दिया जाता है,इसलिए $T_2' = T_2 - 0.10 T_2 = 0.9 T_2$.
$T_2' = 0.9 \times 300 = 270 K$.
नई दक्षता $\eta' = 1 - \frac{T_2'}{T_1} = 1 - \frac{270}{400}$.
$\eta' = 1 - 0.675 = 0.325 = 32.5 \%$.

(A) कार्नोट इंजन के लिए,दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_2$ सिंक का तापमान है और $T_1$ स्रोत का तापमान है।
प्रारंभ में,अनुपात $\frac{T_2}{T_1} = \frac{2}{3}$ है। इसलिए,$\eta_1 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$।
अंत में,अनुपात $\frac{T_2'}{T_1'} = \frac{3}{4}$ है। इसलिए,$\eta_2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$।
दक्षता में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\eta_1 - \eta_2}{\eta_1} \times 100$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}}{\frac{1}{3}} \times 100 = \frac{\frac{4-3}{12}}{\frac{1}{3}} \times 100 = \frac{1/12}{1/3} \times 100 = \frac{3}{12} \times 100 = \frac{1}{4} \times 100 = 25 \%$।

(C) समतापीय प्रक्रिया के दौरान आदर्श गैस द्वारा किया गया कार्य सूत्र $W = nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम स्थिति के लिए: $n_1 = 2 \text{ moles}$,$T_1 = T$,$V_i = V$,$V_f = 2V$.
$W_1 = W = 2RT \ln\left(\frac{2V}{V}\right) = 2RT \ln 2$.
द्वितीय स्थिति के लिए: $n_2 = 4 \text{ moles}$,$T_2 = \frac{T}{2}$,$V_i = V$,$V_f = 8V$.
$W_2 = n_2 R T_2 \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) = 4R \left(\frac{T}{2}\right) \ln\left(\frac{8V}{V}\right)$.
$W_2 = 2RT \ln 8 = 2RT \ln(2^3) = 2RT \cdot 3 \ln 2$.
चूँकि $W = 2RT \ln 2$,इसलिए $W_2 = 3W$.

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $T_1 = 300 \ K$,$V_2 = 2V_1$,और $\gamma = 1.5$.
रुद्धोष्म संबंध का उपयोग करते हुए: $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
मान रखने पर: $300 \times (V_1)^{1.5-1} = T_2 \times (2V_1)^{1.5-1}$.
$300 \times (V_1)^{0.5} = T_2 \times (2)^{0.5} \times (V_1)^{0.5}$.
$T_2 = \frac{300}{\sqrt{2}} = \frac{300}{1.414} \approx 212.13 \ K$.
तापमान में गिरावट $\Delta T = T_1 - T_2 = 300 - 212.13 = 87.87 \ K$.
निकटतम पूर्णांक में,तापमान में गिरावट लगभग $88 \ K$ है।

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $du$ को $dq = dw + du$ द्वारा दर्शाया जाता है।
समतापीय (Isothermal) प्रक्रिया के लिए,तापमान स्थिर रहता है $(dT = 0)$।
चूंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा केवल उसके तापमान पर निर्भर करती है,इसलिए समतापीय प्रक्रिया के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $du = 0$ होता है।
प्रथम नियम के समीकरण में $du = 0$ रखने पर,हमें $dq = dw + 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $dq = dw$ हो जाता है।
अतः,$dw = dq$ की स्थिति समतापीय प्रक्रिया के लिए सत्य है।

(C) दी गई रुद्धोष्म प्रक्रिया का समीकरण: $Pv^{\frac{3}{2}} = \text{constant}$ ... $(i)$
आदर्श गैस नियम से: $PV = nRT$,इसलिए $P = \frac{nRT}{V}$ ... (ii)
समीकरण (ii) को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{nRT}{V}\right) V^{\frac{3}{2}} = \text{constant}$
$T V^{\frac{1}{2}} = \text{constant}$
अतः,$T_1 V_1^{\frac{1}{2}} = T_2 V_2^{\frac{1}{2}}$
प्रारंभिक तापमान $T_1 = T$ और अंतिम आयतन $V_2 = \frac{V_1}{4}$ दिया गया है:
$T V_1^{\frac{1}{2}} = T_2 \left(\frac{V_1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}$
$T = T_2 \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}$
$T = T_2 \left(\frac{1}{2}\right)$
$T_2 = 2T$

(A) $P-V$ आरेख में एक चक्रीय प्रक्रिया के दौरान किया गया कार्य चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
यहाँ,चक्र एक त्रिभुज $ABC$ है जिसके शीर्ष $A(V, P)$,$B(3V, 3P)$ और $C(3V, P)$ हैं।
त्रिभुज का आधार $AC$ क्षैतिज अक्ष पर है: $\text{आधार} = 3V - V = 2V$.
त्रिभुज की ऊँचाई $BC$ ऊर्ध्वाधर अक्ष पर है: $\text{ऊँचाई} = 3P - P = 2P$.
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$.
$W = \frac{1}{2} \times (2V) \times (2P) = 2PV$.
चूँकि चक्र दक्षिणावर्त दिशा में है,इसलिए किया गया कार्य धनात्मक है।

(A) एक लंबे सीधे चालक के पास धारावाही तार पर लगने वाला बल $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$I_1 = 25 \text{ A}$,$I_2 = 10 \text{ A}$,$L = 25 \text{ cm} = 0.25 \text{ m}$ है।
लूप की दो ऊर्ध्वाधर भुजाएँ सीधे तार से $r_1 = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ और $r_2 = 10 \text{ cm} + 10 \text{ cm} = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$ की दूरी पर हैं।
क्षैतिज भुजाओं पर लगने वाले बल ($F_3$ और $F_4$) समान और विपरीत हैं,इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
कुल बल दो ऊर्ध्वाधर भुजाओं पर लगने वाले बलों का अंतर है: $F_{net} = |F_1 - F_2|$.
$F_1 = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2 \pi r_1} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 25 \times 10 \times 0.25}{0.1} = 1.25 \times 10^{-4} \text{ N}$ (आकर्षक)।
$F_2 = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2 \pi r_2} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 25 \times 10 \times 0.25}{0.2} = 0.625 \times 10^{-4} \text{ N}$ (प्रतिकर्षी)।
$F_{net} = 1.25 \times 10^{-4} - 0.625 \times 10^{-4} = 0.625 \times 10^{-4} \text{ N} = 6.25 \times 10^{-5} \text{ N}$.

(A) दिया गया है: फेरों की संख्या $N = 200$,त्रिज्या $r = 20 \ cm = 0.2 \ m$,और धारा $I = 5 \ A$ है।
वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 NI}{2r}$
मान रखने पर:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A) \times 200 \times 5}{2 \times 0.2 \ m}$
$B = \frac{4 \times 3.14159 \times 10^{-7} \times 1000}{0.4}$
$B = \frac{12.566 \times 10^{-4}}{0.4}$
$B = 31.4159 \times 10^{-4} \ T = 3.14 \times 10^{-3} \ T$.

(B) $2 \text{ cm}$ भुजा लंबाई $(a)$ वाले षट्भुज के केंद्र से उसकी किसी भी भुजा के मध्य बिंदु तक की दूरी $r$ इस प्रकार है:
$r = \frac{a/2}{\tan 30^{\circ}} = \frac{a}{2 \times (1/\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3} a}{2} = \sqrt{3} \text{ cm} = \sqrt{3} \times 10^{-2} \text{ m}$.
षट्भुज की एक भुजा के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ का सूत्र:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$
यहाँ,$\theta_1 = \theta_2 = 30^{\circ}$ है,इसलिए:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (2 \sin 30^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (2 \times 0.5) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$.
चूंकि षट्भुज में $6$ समान भुजाएँ होती हैं,इसलिए केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ होगा:
$B = 6 \times B_1 = 6 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} = 6 \times 10^{-7} \times \frac{4}{\sqrt{3} \times 10^{-2}} = \frac{24 \times 10^{-5}}{\sqrt{3}} = 8 \sqrt{3} \times 10^{-5} \text{ T}$.

(C) दिया गया है: आवृत्ति $f = 6.6 \times 10^{15} \text{ Hz}$,त्रिज्या $r = 0.47 \text{ Å} = 0.47 \times 10^{-10} \text{ m}$.
घूमते हुए इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न समतुल्य धारा $I = qf = ef$ है।
$I = (1.6 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (6.6 \times 10^{15} \text{ s}^{-1}) = 10.56 \times 10^{-4} \text{ A}$.
वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}) \times (10.56 \times 10^{-4} \text{ A})}{2 \times (0.47 \times 10^{-10} \text{ m})}$.
$B = \frac{2 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 10.56 \times 10^{-4}}{0.47 \times 10^{-10}} \approx 14 \text{ Wb m}^{-2}$.

(A) दिया गया है: $r_1 = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$,$r_2 = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$,$I = 3.5 \text{ A}$.
वृत्ताकार रिंग के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ है।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र दोनों रिंगों द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का अंतर होगा:
$B_{net} = |B_1 - B_2| = \left| \frac{\mu_0 I}{2r_1} - \frac{\mu_0 I}{2r_2} \right| = \frac{\mu_0 I}{2} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$.
मान रखने पर:
$B_{net} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 3.5}{2} \left( \frac{1}{0.4} - \frac{1}{0.5} \right)$
$B_{net} = 2\pi \times 10^{-7} \times 3.5 \times (2.5 - 2.0)$
$B_{net} = 7\pi \times 10^{-7} \times 0.5 = 3.5\pi \times 10^{-7} \text{ T}$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$B_{net} \approx 3.5 \times 3.14 \times 10^{-7} \approx 10.99 \times 10^{-7} \text{ T} \approx 11 \times 10^{-7} \text{ T}$.

(C) दिया गया है: चालक $A$ में धारा,$I_1 = 4.5 \ A$. चालक $B$ में धारा,$I_2 = 8 \ A$. बिंदु $P$ की $A$ से दूरी,$r_1 = 15 \ cm = 0.15 \ m$. बिंदु $P$ की $B$ से दूरी,$r_2 = 10 \ cm = 0.10 \ m$.
एक लंबे सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,चालक $A$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ पृष्ठ के अंदर की ओर है,और चालक $B$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ पृष्ठ के बाहर की ओर है।
$B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi r_1} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 4.5}{0.15} = 6 \times 10^{-6} \ T$ (अंदर की ओर)।
$B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi r_2} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 8}{0.10} = 16 \times 10^{-6} \ T$ (बाहर की ओर)।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = B_2 - B_1 = (16 - 6) \times 10^{-6} \ T = 10 \times 10^{-6} \ T = 10^{-5} \ T$.

(C) वृत्ताकार धारावाही छल्ले के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तीनों छल्ले एक-दूसरे के लंबवत हैं और मूल बिंदु पर केंद्रित हैं,इसलिए उनके चुंबकीय क्षेत्र सदिश क्रमशः $x$,$y$ और $z$ अक्षों की दिशा में होंगे।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र सदिश हैं:
$\vec{B_1} = \frac{\mu_0 I}{2r} \hat{i}$
$\vec{B_2} = \frac{\mu_0 I}{2r} \hat{j}$
$\vec{B_3} = \frac{\mu_0 I}{2r} \hat{k}$
मूल बिंदु पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B_0}$ इन क्षेत्रों का सदिश योग है:
$\vec{B_0} = \vec{B_1} + \vec{B_2} + \vec{B_3} = \frac{\mu_0 I}{2r} (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण है:
$B_0 = |\vec{B_0}| = \frac{\mu_0 I}{2r} \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}$
$B_0 = \frac{\mu_0 I}{2r} \sqrt{3} = \sqrt{3} \frac{\mu_0 I}{2r}$

(D) टोरॉइड के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \mu_0 \left( \frac{N}{2 \pi R} \right) I$
जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$R$ औसत त्रिज्या है,और $I$ विद्युत धारा है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $B \propto \frac{N}{R}$ है।
दिया गया है:
$N_1 = 400, R_1 = 30 \ cm$
$N_2 = 200, R_2 = 60 \ cm$
चूंकि दोनों के लिए धारा $I$ समान है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात होगा:
$\frac{B_1}{B_2} = \left( \frac{N_1}{N_2} \right) \times \left( \frac{R_2}{R_1} \right)$
$\frac{B_1}{B_2} = \left( \frac{400}{200} \right) \times \left( \frac{60}{30} \right)$
$\frac{B_1}{B_2} = 2 \times 2 = 4$
अतः,अनुपात $4:1$ है।

(D) $I$ धारा ले जाने वाले अनंत लंबाई के तार के कारण $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$X$-अक्ष पर स्थित $I_1 = 6 \ A$ धारा वाले तार के लिए,$P(0, 0, d)$ पर चुंबकीय क्षेत्र $Y$-अक्ष की दिशा में होता है (दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए)। अतः,$\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi d} \hat{j} = \frac{\mu_0 (6)}{2 \pi d} \hat{j} = \frac{3 \mu_0}{\pi d} \hat{j}$.
$Y$-अक्ष पर स्थित $I_2 = 8 \ A$ धारा वाले तार के लिए,$P(0, 0, d)$ पर चुंबकीय क्षेत्र ऋणात्मक $X$-अक्ष की दिशा में होता है। अतः,$\vec{B}_2 = -\frac{\mu_0 I_2}{2 \pi d} \hat{i} = -\frac{\mu_0 (8)}{2 \pi d} \hat{i} = -\frac{4 \mu_0}{\pi d} \hat{i}$.
$P$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_P = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = -\frac{4 \mu_0}{\pi d} \hat{i} + \frac{3 \mu_0}{\pi d} \hat{j}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B_P = \sqrt{\left(-\frac{4 \mu_0}{\pi d}\right)^2 + \left(\frac{3 \mu_0}{\pi d}\right)^2} = \frac{\mu_0}{\pi d} \sqrt{16 + 9} = \frac{5 \mu_0}{\pi d}$ है।

(B) दाहिने हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,यदि आप अपने दाहिने हाथ के अंगूठे को विद्युत धारा की दिशा (पूर्व से पश्चिम) में रखते हैं,तो आपकी उंगलियां चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की दिशा में मुड़ती हैं।
पूर्व से पश्चिम की ओर धारा ले जाने वाले एक क्षैतिज चालक के लिए,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं तार के चारों ओर संकेंद्रित वृत्त बनाती हैं।
चालक के ठीक नीचे एक बिंदु पर,चुंबकीय क्षेत्र रेखा की स्पर्शरेखा दक्षिण दिशा की ओर इंगित करती है।

(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में लटके हुए चुंबक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ चुंबकीय आघूर्ण है।
चूँकि $T \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,इसलिए $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2}}$ होगा।
दिया गया है कि चुंबकीय आघूर्ण $19 \%$ कम हो जाता है,तो नया चुंबकीय आघूर्ण $M_2 = M_1 - 0.19 M_1 = 0.81 M_1$ होगा।
इस मान को अनुपात में रखने पर,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{M_1}{0.81 M_1}} = \sqrt{\frac{1}{0.81}} = \frac{1}{0.9} \approx 1.111$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_2 \approx 1.11 T_1$।
आवर्तकाल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100 = (1.11 - 1) \times 100 = 11 \%$ है।
इसलिए,आवर्तकाल लगभग $11 \%$ बढ़ जाता है।

(D) दिया गया है: पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र $B_e = 4 \times 10^{-5} \ T$,दूरी $r = 40 \ cm = 0.4 \ m$ है।
एक छोटे छड़ चुंबक के कारण उसकी निरक्षीय रेखा पर किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{r^3}$ होता है।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है। चूंकि चुंबक की अक्ष पृथ्वी के क्षेत्र के लंबवत है,इसलिए $B$ और $B_e$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
परिणामी क्षेत्र का $B_e$ के साथ कोण $\theta = 45^{\circ}$ है,अतः $\tan 45^{\circ} = \frac{B}{B_e} = 1$,जिससे $B = B_e$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $4 \times 10^{-5} = 10^{-7} \times \frac{M}{(0.4)^3}$.
$M = \frac{4 \times 10^{-5} \times 0.064}{10^{-7}} = 25.6 \ Am^2$.

(C) दिया गया है: $T_1 = 0.1 \, s$, $B_H = 24 \, \mu T = 24 \times 10^{-6} \, T$, $I = 18 \, A$, $r = 20 \, cm = 0.2 \, m$.
ऊर्ध्वाधर तार के कारण चुंबक की स्थिति पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ है।
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 18}{2 \pi \times 0.2} = 18 \times 10^{-6} \, T = 18 \, \mu T$.
चूंकि तार पूर्व में है और धारा नीचे की ओर है, दाएं हाथ के नियम के अनुसार, तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$ उत्तर दिशा में ($B_H$ की दिशा में) होगा।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_H + B = 24 \, \mu T + 18 \, \mu T = 42 \, \mu T$.
दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ है, इसलिए $T \propto \frac{1}{\sqrt{B}}$.
अतः, $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{B_H}{B_{net}}} = \sqrt{\frac{24}{42}} = \sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$.
$T_2 = T_1 \times \frac{2}{\sqrt{7}} = 0.1 \times \frac{2}{2.645} \approx 0.076 \, s$.

(A) चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M$ का सूत्र $M = i A$ है,जहाँ $i$ धारा है और $A$ वलय का क्षेत्रफल है।
चूंकि आवेश $q$ कोणीय वेग $\omega$ से घूम रहा है,इसलिए एक चक्कर का आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ है।
तुल्य धारा $i = \frac{q}{T} = \frac{q \omega}{2 \pi}$ प्राप्त होती है।
वलय का क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ है।
इन मानों को $M$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$M = \left( \frac{q \omega}{2 \pi} \right) (\pi R^2) = \frac{1}{2} q \omega R^2$.

(C) लॉरेंट्ज़ बल का सूत्र $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ है। इलेक्ट्रॉन के लिए $q = -e = -1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ है।
सबसे पहले,$\vec{v} \times \vec{B}$ की गणना करें: $\vec{v} \times \vec{B} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \times (2 \hat{j} + 3 \hat{k}) = 6 \hat{i} - 6 \hat{j} + 4 \hat{k}$.
अब,$\vec{F} = -e [ (3 \hat{i} + 6 \hat{j} + 2 \hat{k}) + (6 \hat{i} - 6 \hat{j} + 4 \hat{k}) ] = -e (9 \hat{i} + 6 \hat{k})$.
इस प्रकार,बल का परिमाण और दिशा दिए गए विकल्प $C$ के अनुसार प्राप्त होते हैं।

(C) इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = eV$ है।
इससे,वेग $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ प्राप्त होता है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गतिमान इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = evB \sin(\theta)$ है। यदि वेग चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है,तो $F = evB$.
$v$ का मान रखने पर: $F = eB \sqrt{\frac{2eV}{m}} = B \sqrt{\frac{2e^3V}{m}}$.
यह दर्शाता है कि $F \propto \sqrt{V}$.
इसलिए,$\frac{F_2}{F_1} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$.
दिया गया है कि $\frac{F_2}{F_1} = \frac{2F}{F} = 2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{V_2}{V_1} = (2)^2 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{V_2}{V_1} = 4:1$ है।

(B) दिया गया है: चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 \ mT = 4 \times 10^{-3} \ T$.
विशिष्ट आवेश $\frac{q}{m} = 8 \times 10^7 \ C \ kg^{-1}$.
एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण का कोणीय वेग $\omega$ सूत्र $\omega = \frac{qB}{m}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\omega = \left(\frac{q}{m}\right) \times B = (8 \times 10^7 \ C \ kg^{-1}) \times (4 \times 10^{-3} \ T)$.
$\omega = 32 \times 10^4 \ rad \ s^{-1}$.

(A) माना प्रोटॉन की ऊर्जा $E_p$ और अल्फा कण की ऊर्जा $E_{\alpha}$ है। दिया गया है $\frac{E_p}{E_{\alpha}} = \frac{1}{4}$।
चूंकि $E = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $\frac{\frac{1}{2}m_p v_p^2}{\frac{1}{2}m_{\alpha} v_{\alpha}^2} = \frac{1}{4}$।
हम जानते हैं कि $m_{\alpha} = 4m_p$,अतः $\frac{m_p v_p^2}{4m_p v_{\alpha}^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{v_p^2}{v_{\alpha}^2} = 1 \Rightarrow v_p = v_{\alpha}$।
चुंबकीय बल $F = qvB \sin(\theta)$ होता है। यहाँ $\theta = 90^{\circ}$ है,इसलिए $F = qvB$।
बलों का अनुपात $\frac{F_p}{F_{\alpha}} = \frac{q_p v_p B}{q_{\alpha} v_{\alpha} B} = \frac{q_p}{q_{\alpha}}$ होगा।
चूंकि अल्फा कण का आवेश $q_{\alpha} = 2q_p$ होता है,इसलिए अनुपात $\frac{q_p}{2q_p} = \frac{1}{2}$ होगा।

(B) दिया गया है:
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक,$B_v = 0.45 \ G$
नति कोण,$\delta = 60^{\circ}$
हम जानते हैं कि पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$B_v = B \sin \delta$
जहाँ $B$ पृथ्वी का कुल चुंबकीय क्षेत्र है।
$B$ का मान ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$B = \frac{B_v}{\sin \delta}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$B = \frac{0.45}{\sin 60^{\circ}}$
चूंकि $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$:
$B = \frac{0.45}{0.866} \approx 0.5196 \ G$
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$B \approx 0.52 \ G$

(D) दिया गया है: पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $B_{H} = 3 \times 10^{-5} \ T$ है।
चुंबकीय दिक्पात $\phi = 30^{\circ}$ है।
दिक्सूचक सुई का चुंबकीय आघूर्ण $M = 18 \ Am^2$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव पर लगने वाला बल आघूर्ण $\tau$ का सूत्र $\tau = M B_{H} \sin \phi$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\tau = 18 \times (3 \times 10^{-5}) \times \sin 30^{\circ}$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,
$\tau = 18 \times 3 \times 10^{-5} \times 0.5$
$\tau = 54 \times 10^{-5} \times 0.5$
$\tau = 27 \times 10^{-5} \ Nm$.

(A) डोमेन का आयतन $V$ उसकी भुजा की लंबाई के घन के बराबर है: $V = (2 \times 10^{-6} m)^3 = 8 \times 10^{-18} m^3$.
कुल चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M_{\text{net}}$ परमाणुओं की संख्या और प्रति परमाणु द्विध्रुव आघूर्ण का गुणनफल है: $M_{\text{net}} = (9 \times 10^{10}) \times (9 \times 10^{-24} A m^2) = 81 \times 10^{-14} A m^2$.
चुंबकन $I$ को प्रति इकाई आयतन कुल चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया गया है: $I = \frac{M_{\text{net}}}{V} = \frac{81 \times 10^{-14} A m^2}{8 \times 10^{-18} m^3}$.
गणना करने पर: $I = 10.125 \times 10^4 A m^{-1} \approx 10 \times 10^4 A m^{-1}$.

(D) जब किसी चुंबकीय पदार्थ को उच्च तापमान पर गर्म किया जाता है,तो वह अपना चुंबकीय गुण खो देता है। इस तापमान को क्यूरी तापमान के रूप में जाना जाता है। इस तापमान से ऊपर,परमाणुओं की तापीय हलचल चुंबकीय संरेखण पर हावी हो जाती है,जिसके परिणामस्वरूप चुंबकत्व समाप्त हो जाता है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में दोलन कर रहे छड़ चुंबक का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$
जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है,और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
चूंकि जड़त्व आघूर्ण $I = mk^2$ होता है (जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $k$ घूर्णन त्रिज्या है),हमें प्राप्त होता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{mk^2}{MB}}$
इसका अर्थ है कि $T \propto \sqrt{m}$।
चूंकि द्रव्यमान $9$ गुना बढ़ाया गया है $(m_2 = 9m_1)$,नया आवर्तकाल $T_2$ होगा:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} = \sqrt{\frac{9m_1}{m_1}} = \sqrt{9} = 3$
अतः,$T_2 = 3T_1 = 3T$।

(B) चुंबकीय फ्लक्स घनत्व $B$,चुंबकीय पारगम्यता $\mu$ और चुंबकीय तीव्रता $H$ के बीच का संबंध $B = \mu H$ है।
दिया गया है कि $\mu = [\frac{0.4}{H} + 12 \times 10^{-4}] \ H m^{-1}$ और $B = 1 \ T$ है।
$\mu$ के व्यंजक को $B = \mu H$ सूत्र में रखने पर:
$B = [\frac{0.4}{H} + 12 \times 10^{-4}] \times H$
$B = 0.4 + (12 \times 10^{-4}) H$
चूंकि $B = 1 \ T$ दिया गया है,इसलिए:
$1 = 0.4 + (12 \times 10^{-4}) H$
$0.6 = 12 \times 10^{-4} H$
$H = \frac{0.6}{12 \times 10^{-4}} = \frac{0.6 \times 10^4}{12} = \frac{6000}{12} = 500 \ A m^{-1}$.

(D) सेल का वास्तविक emf $E$ है। आंतरिक प्रतिरोध $r = 2 \ \Omega$ और वोल्टमीटर का प्रतिरोध $R = 998 \ \Omega$ है।
वोल्टमीटर का पाठ्यांक $V$,बाह्य प्रतिरोध $R$ के सिरों पर विभवांतर है:
$V = I \times R = \left( \frac{E}{R + r} \right) \times R$
$V = \left( \frac{E}{998 + 2} \right) \times 998 = \frac{998}{1000} E = 0.998 E$
मापे गए emf में त्रुटि $E - V = E - 0.998 E = 0.002 E$ है।
emf में प्रतिशत त्रुटि इस प्रकार है:
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = \left( \frac{E - V}{E} \right) \times 100$
$= \left( \frac{0.002 E}{E} \right) \times 100 = 0.2 \%$

(D) दिया गया है: शक्ति $P = 12 \text{ MW} = 12 \times 10^6 \text{ J/s}$.
समय $t = 1 \text{ दिन} = 24 \times 3600 \text{ s} = 86400 \text{ s}$.
प्रति विखंडन मुक्त ऊर्जा $E = 200 \text{ MeV} = 200 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.2 \times 10^{-11} \text{ J}$.
एक दिन में उत्पन्न कुल ऊर्जा $E_{total} = P \times t = 12 \times 10^6 \times 86400 \text{ J} = 1.0368 \times 10^{12} \text{ J}$.
विखंडनों की संख्या $n = \frac{E_{total}}{E} = \frac{1.0368 \times 10^{12}}{3.2 \times 10^{-11}} = 3.24 \times 10^{22}$.
${}_{92}U^{235}$ के एक परमाणु का द्रव्यमान $= \frac{235}{6.023 \times 10^{23}} \text{ g}$.
उपभोग किया गया कुल द्रव्यमान $m = n \times \text{एक परमाणु का द्रव्यमान} = \frac{3.24 \times 10^{22} \times 235}{6.023 \times 10^{23}} \approx 12.64 \text{ g}$.

(A) प्रति परमाणु विखंडन से मुक्त ऊर्जा, $E = 200 \text{ MeV} = 200 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.2 \times 10^{-11} \text{ J}$।
$0.1 \text{ kg}$ ${ }_{92}^{235} U$ में परमाणुओं की संख्या $N = \frac{m}{M} \times N_A = \frac{0.1 \text{ kg}}{235 \times 10^{-3} \text{ kg/mol}} \times 6.023 \times 10^{23} \text{ atoms/mol} \approx 2.563 \times 10^{23} \text{ atoms}$।
जूल में मुक्त कुल ऊर्जा $E_{total} = N \times E = 2.563 \times 10^{23} \times 3.2 \times 10^{-11} \text{ J} \approx 8.2016 \times 10^{12} \text{ J}$।
चूंकि $1 \text{ kWh} = 3.6 \times 10^6 \text{ J}$, इसलिए $\text{kWh}$ में ऊर्जा $E_{kWh} = \frac{8.2016 \times 10^{12}}{3.6 \times 10^6} \approx 2.278 \times 10^6 \text{ kWh} \approx 22.8 \times 10^5 \text{ kWh}$।

(A) नाभिक का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$,$S = 4\pi R^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ नाभिक की त्रिज्या है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल का दिया गया अनुपात: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{9}{25}$.
वर्गमूल लेने पर,त्रिज्या का अनुपात प्राप्त होता है: $\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
नाभिक की त्रिज्या $R$ उसकी द्रव्यमान संख्या $A$ से $R = R_0 A^{1/3}$ सूत्र द्वारा संबंधित है,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है।
इसलिए,$\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^{1/3}$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$.
त्रिज्या का अनुपात प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{27}{125}$.
अतः,द्रव्यमान संख्याओं का अनुपात $27: 125$ है।

(D) माना कि $t$ समय के बाद मात्रा समान हो जाती है।
रेडियोधर्मी पदार्थ $A_1$ के लिए,शेष मात्रा $N_1 = N_{01} \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_1} = 40 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/20}$ है।
रेडियोधर्मी पदार्थ $A_2$ के लिए,शेष मात्रा $N_2 = N_{02} \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_2} = 160 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10}$ है।
$N_1 = N_2$ रखने पर:
$40 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/20} = 160 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10}$.
दोनों पक्षों को $40$ से विभाजित करने पर:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{t/20} = 4 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10}$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^{t/20} = 2^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10}$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^{t/20} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10 - 2}$.
घातांकों की तुलना करने पर:
$\frac{t}{20} = \frac{t}{10} - 2$.
$2 = \frac{t}{10} - \frac{t}{20} = \frac{2t - t}{20} = \frac{t}{20}$.
$t = 40 \ s$.

(C) मान लीजिए कि मूल नाभिक ${ }_Z^A X$ है। $2$ अल्फा कणों $({ }_2^4 He)$ को खोने के बाद,नए नाभिक $R$ की परमाणु द्रव्यमान संख्या $A' = A - 2 \times 4 = A - 8$ होगी।
यह दिया गया है कि नए नाभिक $R$ का आयतन अल्फा कण $({ }_2^4 He)$ के आयतन का $60$ गुना है:
नाभिक का आयतन $\propto$ (द्रव्यमान संख्या $A$)
$\Rightarrow V_R = 60 \times V_{\alpha}$
चूंकि $V \propto A$,इसलिए $A' = 60 \times 4$ होगा।
$A' = A - 8$ प्रतिस्थापित करने पर:
$A - 8 = 240$
$A = 248$.

(A) दिया गया है: मोलों की संख्या $n = 1 \text{ mol}$.
सक्रियता $A = \frac{1}{3.7} \text{ kCi} = \frac{1}{3.7} \times 10^3 \times 3.7 \times 10^{10} \text{ विघटन/सेकंड} = 10^{13} \text{ s}^{-1}$.
नाभिकों की संख्या $N = n \times N_A = 1 \times 6 \times 10^{23} = 6 \times 10^{23}$.
सक्रियता और क्षय नियतांक के बीच संबंध $A = \lambda N$ है।
अतः,$\lambda = \frac{A}{N} = \frac{10^{13}}{6 \times 10^{23}} = \frac{1}{6} \times 10^{-10} \text{ s}^{-1}$.

(A) मान लीजिए कि $N_0$ रेडियोधर्मी तत्व $A$ की प्रारंभिक मात्रा है और $N$ समय $t$ के बाद बची हुई मात्रा है।
यह दिया गया है कि $A$, $B$ में क्षयित होता है, इसलिए समय $t$ पर $B$ की मात्रा $N_B = N_0 - N$ होगी।
$A$ और $B$ का अनुपात $\frac{N}{N_B} = \frac{1}{15}$ दिया गया है।
$N_B = N_0 - N$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\frac{N}{N_0 - N} = \frac{1}{15}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर $15N = N_0 - N$ मिलता है, जो सरल होकर $16N = N_0$ या $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$ हो जाता है।
रेडियोधर्मी क्षय का नियम बताता है कि $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$, जहाँ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
$T_{1/2} = 62 \text{ वर्ष}$ दिया गया है, इसलिए $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{\frac{t}{62}}$ होगा।
चूंकि $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$, घातांकों की तुलना करने पर: $4 = \frac{t}{62}$।
अतः, $t = 62 \times 4 = 248 \text{ वर्ष}$।

(D) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार ध्रुवण कोण $i_{p}$ का मान होता है: $\mu = \tan i_{p}$.
यहाँ $i_{p} = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए अपवर्तनांक $\mu = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$.
क्रांतिक कोण $C$ और अपवर्तनांक के बीच का संबंध है: $\sin C = \frac{1}{\mu}$.
$\mu$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin C = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,क्रांतिक कोण $C = \sin ^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ होगा।

(C) जब प्रकाश की किरण सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाती है,तो उसका अपवर्तन होता है। अपवर्तन के लिए विचलन कोण $\delta = |r - i|$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $i$ आपतन कोण है और $r$ अपवर्तन कोण है।
चूँकि $r > i$,इसलिए $\delta = r - i$।
जैसे-जैसे $i$ बढ़ता है,$r$ भी बढ़ता है। $i$ का अधिकतम मान क्रांतिक कोण $C$ है,जिस पर $r = 90^\circ$ या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन होता है।
अतः,अपवर्तन के लिए अधिकतम विचलन $\delta_{\max} = \frac{\pi}{2} - C$ है।
हालाँकि,यदि आपतन कोण $i$,$C$ से अधिक हो जाता है,तो किरण का पूर्ण आंतरिक परावर्तन होता है। इस स्थिति में,परावर्तन कोण आपतन कोण के बराबर होता है $(r = i)$।
परावर्तन के लिए विचलन $\delta = \pi - 2i$ है।
परावर्तन के लिए अधिकतम विचलन ज्ञात करने के लिए,हम $C < i < \frac{\pi}{2}$ की सीमा पर विचार करते हैं। जैसे-जैसे $i$,सघन माध्यम की ओर से $C$ के करीब पहुँचता है,$\delta$ का मान $\pi - 2C$ के करीब पहुँचता है। इस स्थिति में किरण के लिए यह अधिकतम संभव विचलन है।

(B) व्यक्ति निकट दृष्टि दोष (मायोपिया) से पीड़ित है क्योंकि वह $400 \ cm$ से दूर की वस्तुओं को नहीं देख सकता है। इसे ठीक करने के लिए, हमें एक ऐसे लेंस की आवश्यकता है जो अनंत $(u = -\infty)$ पर रखी वस्तु का प्रतिबिंब दूर बिंदु $(v = -400 \ cm)$ पर बनाए।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{-400} - \frac{1}{-\infty} = \frac{1}{-400} - 0$.
अतः, $f = -400 \ cm = -4 \ m$.
लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f(m \ \text{में})} = \frac{1}{-4} = -0.25 \ D$ है।
ऋणात्मक शक्ति एक अवतल लेंस को दर्शाती है।

(A) हवा में,लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है। दिया गया है $f_a = 20 \ cm = 0.2 \ m$ और $\mu_g = 1.5$,अतः $\frac{1}{0.2} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \Rightarrow 5 = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \Rightarrow \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 10 \ m^{-1}$।
जब $\mu_l$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबोया जाता है,तो फोकस दूरी $f_l$ का सूत्र $\frac{1}{f_l} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ होता है।
शक्ति $P = -1 \ D$ दी गई है,इसलिए फोकस दूरी $f_l = \frac{1}{P} = -1 \ m = -100 \ cm$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{-1} = \left( \frac{1.5}{\mu_l} - 1 \right) (10)$।
$-0.1 = \frac{1.5}{\mu_l} - 1 \Rightarrow \frac{1.5}{\mu_l} = 0.9$।
$\mu_l = \frac{1.5}{0.9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$।

(B) माना लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक $\mu_l$ है और द्रव का अपवर्तनांक $\mu_m$ है। दिया है $\mu_m = 0.8 \mu_l = \frac{4}{5} \mu_l$,जिसका अर्थ है $\mu_l = 1.25 \mu_m = \frac{5}{4} \mu_m$.
हवा के लिए लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए $(f_a)$:
$\frac{1}{f_a} = (\mu_l - 1) K$,जहाँ $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
द्रव माध्यम के लिए लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए $(f_m)$:
$\frac{1}{f_m} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1) K$.
दिया गया है कि फोकस दूरी $100 \%$ बढ़ जाती है,इसलिए $f_m = f_a + 100 \% f_a = 2 f_a$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{f_m}{f_a} = \frac{\mu_l - 1}{\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1} = 2$.
$\mu_l = \frac{5}{4} \mu_m$ का मान रखने पर:
$\frac{\frac{5}{4} \mu_m - 1}{\frac{5}{4} - 1} = 2$.
$\frac{\frac{5}{4} \mu_m - 1}{0.25} = 2 \Rightarrow \frac{5}{4} \mu_m - 1 = 0.5$.
$\frac{5}{4} \mu_m = 1.5 \Rightarrow \mu_m = 1.5 \times 0.8 = 1.2$.

(C) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu_l$ लेंस का अपवर्तनांक है और $\mu_m$ माध्यम का अपवर्तनांक है।
माना लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक $\mu_l$ है और $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ है।
पहले द्रव के लिए,जिसका अपवर्तनांक $\mu_{m1} = 1.25$ है,फोकस दूरी $f_1$ के लिए: $\frac{1}{f_1} = (\frac{\mu_l}{1.25} - 1)K$.
दूसरे द्रव के लिए,जिसका अपवर्तनांक $\mu_{m2} = 1.5$ है,फोकस दूरी $f_2$ के लिए: $\frac{1}{f_2} = (\frac{\mu_l}{1.5} - 1)K$.
फोकस दूरियों का अनुपात $\frac{f_1}{f_2} = \frac{5}{16}$ दिया गया है।
अतः,$\frac{f_1}{f_2} = \frac{(\frac{\mu_l}{1.5} - 1)}{(\frac{\mu_l}{1.25} - 1)} = \frac{5}{16}$.
$\frac{\mu_l - 1.5}{1.5} \times \frac{1.25}{\mu_l - 1.25} = \frac{5}{16}$.
$\frac{\mu_l - 1.5}{\mu_l - 1.25} = \frac{5}{16} \times \frac{1.5}{1.25} = \frac{5}{16} \times 1.2 = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.
$8(\mu_l - 1.5) = 3(\mu_l - 1.25)$.
$8\mu_l - 12 = 3\mu_l - 3.75$.
$5\mu_l = 8.25$.
$\mu_l = 1.65$.

(C) दिया गया है: वस्तु दूरी $u = -18 \ cm$ (दर्पण के सामने)।
प्रतिबिंब दूरी $v = +4 \ cm$ (दर्पण के दूसरी ओर)।
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{4} + \frac{1}{-18} = \frac{9 - 2}{36} = \frac{7}{36}$।
अतः,$f = \frac{36}{7} \ cm \approx 5.14 \ cm$।
चूंकि फोकस दूरी $f$ धनात्मक है,इसलिए दर्पण एक उत्तल दर्पण है।
चूंकि प्रतिबिंब दर्पण के दूसरी ओर बनता है,इसलिए यह एक आभासी प्रतिबिंब है।

(A) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता (resolving power) $R = \frac{1}{d} = \frac{2n \sin \beta}{1.22 \lambda}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d$ दो वस्तुओं के बीच की न्यूनतम दूरी है।
अतः,न्यूनतम दूरी $d$ माध्यम के अपवर्तनांक $n$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(d \propto \frac{1}{n})$।
हवा के लिए $(n_1 = 1)$ दिया गया है,$d_1 = 6 \mu m$।
$n_2 = 1.5$ अपवर्तनांक वाले माध्यम के लिए,नई न्यूनतम दूरी $d_2$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$d_2 = \frac{d_1 \times n_1}{n_2} = \frac{6 \mu m \times 1}{1.5} = 4 \mu m$।
इसलिए,न्यूनतम दूरी $4 \mu m$ है।

(A) दिया गया है: ऑब्जेक्टिव लेंस की फोकस दूरी $f_o = 30 \text{ cm}$, आई लेंस की फोकस दूरी $f_e = 3 \text{ cm}$, और वस्तु की दूरी $u_o = -200 \text{ cm}$ $(2 \text{ m} = 200 \text{ cm})$।
ऑब्जेक्टिव लेंस के लिए, लेंस सूत्र $\frac{1}{f_o} = \frac{1}{v_o} - \frac{1}{u_o}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{30} = \frac{1}{v_o} - \frac{1}{-200}$
$\frac{1}{v_o} = \frac{1}{30} - \frac{1}{200} = \frac{20 - 3}{600} = \frac{17}{600}$
$v_o = \frac{600}{17} \approx 35.3 \text{ cm}$।
स्पष्ट प्रतिबिंब देखने के लिए, अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनना चाहिए, जिसका अर्थ है कि ऑब्जेक्टिव लेंस द्वारा बनाया गया मध्यवर्ती प्रतिबिंब आई लेंस के फोकस बिंदु पर स्थित होना चाहिए।
इसलिए, ऑब्जेक्टिव लेंस और आई लेंस के बीच की दूरी $L = v_o + f_e$ होगी।
$L = 35.3 \text{ cm} + 3 \text{ cm} = 38.3 \text{ cm}$।

(A) प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन की स्थिति में,अपवर्तन कोण $r$ और प्रिज्म कोण $A$ के बीच संबंध $A = 2r$ होता है।
दिया गया है $r = 30^{\circ}$,इसलिए $A = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$।
प्रिज्म के पदार्थ के अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ है।
दिए गए मान $\delta_m = 30^{\circ}$ और $A = 60^{\circ}$ रखने पर:
$\mu = \frac{\sin((60^{\circ} + 30^{\circ})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)} = \frac{\sin(45^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}$।
चूंकि $\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।

(D) जब विरल माध्यम से लंबवत देखा जाता है,तो आभासी गहराई का सूत्र है: $\text{आभासी गहराई} = \frac{\text{वास्तविक गहराई}}{\mu}$।
यहाँ,$\text{वास्तविक गहराई} = 100 \ cm$ और अपवर्तनांक $\mu = \frac{4}{3}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\text{आभासी गहराई} = \frac{100}{4/3} = 100 \times \frac{3}{4} = 75 \ cm$।
अतः,वस्तु की आभासी गहराई $75 \ cm$ है।

(A) दिए गए परिपथ में, दो डायोड समानांतर में जुड़े हैं: $0.7 \, V$ के थ्रेशोल्ड वोल्टेज वाला सिलिकॉन $(Si)$ डायोड और $2.2 \, V$ के थ्रेशोल्ड वोल्टेज वाला हरा $LED$।
जब वोल्टेज लागू किया जाता है, तो कम थ्रेशोल्ड वोल्टेज वाला डायोड पहले चालन करेगा।
चूंकि सिलिकॉन डायोड का थ्रेशोल्ड वोल्टेज $(0.7 \, V)$ $LED$ $(2.2 \, V)$ से कम है, इसलिए सिलिकॉन डायोड फॉरवर्ड बायस में आ जाएगा और चालन करेगा, जबकि $LED$ बंद रहेगा (ओपन सर्किट)।
इसलिए, परिपथ ऐसे व्यवहार करता है जैसे केवल सिलिकॉन डायोड ही $12 \, V$ स्रोत के साथ समानांतर में है।
$2.2 \, k\Omega$ के प्रतिरोध पर वोल्टेज $V_0$ का मान सिलिकॉन डायोड पर वोल्टेज ड्रॉप द्वारा निर्धारित होता है।
$V_0 = 12 \, V - 0.7 \, V = 11.3 \, V$.

(B) एक $PN$ जंक्शन डायोड केवल एक दिशा में (फॉरवर्ड बायस) विद्युत धारा को प्रवाहित होने देता है और विपरीत दिशा में (रिवर्स बायस) इसे रोकता है। यह गुण इसे अल्टरनेटिंग करंट $(AC)$ को डायरेक्ट करंट $(DC)$ में बदलने के लिए आदर्श बनाता है,जिसे रेक्टिफिकेशन कहा जाता है। इसलिए,$PN$ जंक्शन डायोड का उपयोग रेक्टिफायर के रूप में किया जाता है।

(C) जब $p$-सिरे का विभव $n$-सिरे के विभव से कम होता है $(V_p < V_n)$,तब डायोड रिवर्स बायस्ड होता है।
प्रत्येक स्थिति का विश्लेषण करते हैं:
$A$: $V_p = -12 \text{ V}$,$V_n = -5 \text{ V}$. चूँकि $-12 < -5$,डायोड रिवर्स बायस्ड है।
$B$: $V_p = 0 \text{ V}$,$V_n = -10 \text{ V}$. चूँकि $0 > -10$,डायोड फॉरवर्ड बायस्ड है।
$C$: $V_p = 0 \text{ V}$,$V_n = +5 \text{ V}$. चूँकि $0 < +5$,डायोड रिवर्स बायस्ड है।
$D$: $V_p = +5 \text{ V}$,$V_n = 0 \text{ V}$. चूँकि $5 > 0$,डायोड फॉरवर्ड बायस्ड है।
नोट: दिए गए आरेखों के अनुसार,$A$ और $C$ दोनों रिवर्स बायस्ड हैं। सामान्यतः ऐसे प्रश्नों में $C$ को रिवर्स बायस के उदाहरण के रूप में माना जाता है।

(A) ऊर्जा बैंड अंतराल $(E_g)$ के आधार पर पदार्थों का वर्गीकरण इस प्रकार है:
$1$. सुचालकों के लिए,ऊर्जा अंतराल $E_g \approx 0 \ eV$ होता है।
$2$. अर्धचालकों के लिए,ऊर्जा अंतराल आमतौर पर $E_g < 3 \ eV$ होता है।
$3$. कुचालकों के लिए,ऊर्जा अंतराल बड़ा होता है,आमतौर पर $E_g > 5 \ eV$।
चूंकि दिया गया ऊर्जा अंतराल $5.4 \ eV$ है,जो $5 \ eV$ से अधिक है,इसलिए यह पदार्थ एक कुचालक है।

(B) ट्रांजिस्टर के कॉमन-एमिटर $(CE)$ कॉन्फ़िगरेशन में,आउटपुट सिग्नल इनपुट सिग्नल के सापेक्ष $180^{\circ}$ से फेज-शिफ्ट हो जाता है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि इनपुट सिग्नल बेस-एमिटर जंक्शन पर लगाया जाता है और आउटपुट कलेक्टर-एमिटर जंक्शन से लिया जाता है,जिसके परिणामस्वरूप सिग्नल की पोलरिटी उलट जाती है।

(C) ट्रांजिस्टर के कॉमन एमिटर $(CE)$ कॉन्फ़िगरेशन के लिए:
दिया गया है: वोल्टेज गेन $(A_v)$ = $150$, करंट गेन $(\beta)$ = $50$, बेस प्रतिरोध $(R_B)$ = $850 \Omega$.
$CE$ एम्पलीफायर में वोल्टेज गेन का सूत्र इस प्रकार है:
$A_v = \beta \times \left( \frac{R_C}{R_B} \right)$
सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
$150 = 50 \times \left( \frac{R_C}{850} \right)$
कलेक्टर प्रतिरोध $(R_C)$ के लिए समीकरण को हल करने पर:
$\frac{R_C}{850} = \frac{150}{50}$
$\frac{R_C}{850} = 3$
$R_C = 3 \times 850 = 2550 \Omega$
अतः, कलेक्टर सर्किट में प्रतिरोध $2550 \Omega$ है।

(D) एक कॉमन एमिटर $(CE)$ एम्पलीफायर के लिए,वोल्टेज गेन $(A_v)$ करंट गेन $(\beta)$ और आउटपुट लोड प्रतिरोध $(R_o)$ तथा इनपुट प्रतिरोध $(R_i)$ के अनुपात का गुणनफल होता है।
दिया गया है:
$\beta = 40$
$R_i = 2 \ k\Omega$
$R_o = 10 \ k\Omega$
सूत्र का उपयोग करते हुए:
$A_v = \beta \times \left( \frac{R_o}{R_i} \right)$
$A_v = 40 \times \left( \frac{10 \ k\Omega}{2 \ k\Omega} \right)$
$A_v = 40 \times 5$
$A_v = 200$