AP EAMCET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया है: $P_1 = 10^5 \text{ Nm}^{-2}$,$V_1 = 16 \text{ L} = 16 \times 10^{-3} \text{ m}^3$,$V_2 = 2 \text{ L} = 2 \times 10^{-3} \text{ m}^3$,$C_v = \frac{3R}{2}$.
आदर्श गैस के लिए,$C_p = C_v + R = \frac{3R}{2} + R = \frac{5R}{2}$.
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{5/2 R}{3/2 R} = \frac{5}{3}$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$.
$P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma = 10^5 \left( \frac{16}{2} \right)^{5/3} = 10^5 \times (8)^{5/3} = 10^5 \times (2^3)^{5/3} = 10^5 \times 2^5 = 32 \times 10^5 \text{ Nm}^{-2}$.
गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma - 1}$.
$W = \frac{(10^5 \times 16 \times 10^{-3}) - (32 \times 10^5 \times 2 \times 10^{-3})}{5/3 - 1} = \frac{1600 - 6400}{2/3} = \frac{-4800}{2/3} = -4800 \times \frac{3}{2} = -7200 \text{ J} = -7.2 \text{ kJ}$.
चूंकि गैस द्वारा किया गया कार्य $-7.2 \text{ kJ}$ है,इसलिए गैस पर किया गया कार्य $7.2 \text{ kJ}$ है।

(D) समतापीय प्रक्रिया $(T = \text{स्थिर})$ में किया गया कार्य $W = nRT \ln \left( \frac{P_i}{P_f} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
गैस $A$ के लिए, दबाव $50 \%$ कम हो जाता है, इसलिए $P_f = P_i - 0.5 P_i = 0.5 P_i$। अतः, $\frac{P_i}{P_f} = \frac{1}{0.5} = 2$।
गैस $B$ के लिए, दबाव $75 \%$ कम हो जाता है, इसलिए $P_f = P_i - 0.75 P_i = 0.25 P_i$। अतः, $\frac{P_i}{P_f} = \frac{1}{0.25} = 4$।
यह दिया गया है कि दोनों गैसों द्वारा किया गया कार्य समान है $(W_1 = W_2)$ और मोलों की संख्या $(n)$ समान है:
$nRT_1 \ln(2) = nRT_2 \ln(4)$
$T_1 \ln(2) = T_2 \ln(2^2)$
$T_1 \ln(2) = 2 T_2 \ln(2)$
दोनों पक्षों को $\ln(2)$ से विभाजित करने पर:
$T_1 = 2 T_2 \Rightarrow \frac{T_1}{T_2} = \frac{2}{1}$।
अतः, अनुपात $T_1: T_2$ का मान $2: 1$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W = -\Delta U = -\frac{f}{2} nR \Delta T = \frac{f}{2} nR (T_i - T_f)$ द्वारा दिया जाता है।
एकपरमाणुक गैस के लिए: $n_1 = 2$,$f_1 = 3$,$T_{i1} = 80^{\circ} C$,$T_{f1} = 50^{\circ} C$.
$W = \frac{3}{2} \times 2 \times R \times (80 - 50) = 3R \times 30 = 90R$.
द्विपरमाणुक गैस के लिए: $n_2 = 3$,$f_2 = 5$,$T_{i2} = 50^{\circ} C$,$T_{f2} = 20^{\circ} C$.
$W' = \frac{5}{2} \times 3 \times R \times (50 - 20) = \frac{15}{2} R \times 30 = 15R \times 15 = 225R$.
अब,अनुपात ज्ञात करने पर: $\frac{W'}{W} = \frac{225R}{90R} = \frac{225}{90} = 2.5$.
अतः,$W' = 2.5 W$.

(A) $1$. ऊष्मीय चालकता $(k)$: सूत्र $\frac{Q}{t} = \frac{kA(\theta_1 - \theta_2)}{l}$ से,$[k] = \frac{[Q][l]}{[t][A][\Delta\theta]} = \frac{[ML^2T^{-2}][L]}{[T][L^2][K]} = [MLT^{-3}K^{-1}]$. अतः,$(A) - (i)$.
$2$. बोल्ट्ज़मैन नियतांक $(k_B)$: $PV = Nk_BT$ से,$[k_B] = \frac{[PV]}{[N][T]} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[K]} = [ML^2T^{-2}K^{-1}]$. अतः,$(B) - (iii)$.
$3$. गुप्त ऊष्मा $(L)$: $Q = mL$ से,$[L] = \frac{[Q]}{[m]} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[M]} = [M^0L^2T^{-2}]$. अतः,$(C) - (iv)$.
$4$. विशिष्ट ऊष्मा $(s)$: $Q = ms\Delta\theta$ से,$[s] = \frac{[Q]}{[m][\Delta\theta]} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[M][K]} = [M^0L^2T^{-2}K^{-1}]$. अतः,$(D) - (ii)$.
अतः,सही मिलान $(A) - (i), (B) - (iii), (C) - (iv), (D) - (ii)$ है.

(A) दी गई भौतिक राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$E = [M L^2 T^{-2}]$
$m = [M]$
$L = [M L^2 T^{-1}]$
$G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
इन मानों को $\frac{E L^2}{m^5 G^2}$ व्यंजक में रखने पर:
$\left[\frac{E L^2}{m^5 G^2}\right] = \frac{[M L^2 T^{-2}] [M L^2 T^{-1}]^2}{[M]^5 [M^{-1} L^3 T^{-2}]^2}$
$= \frac{[M L^2 T^{-2}] [M^2 L^4 T^{-2}]}{[M^5] [M^{-2} L^6 T^{-4}]}$
$= \frac{[M^3 L^6 T^{-4}]}{[M^3 L^6 T^{-4}]}$
$= [M^0 L^0 T^0]$
चूँकि विमाएँ $[M^0 L^0 T^0]$ हैं,इसलिए यह राशि विमाहीन है,जो $\text{Angle}$ (कोण) की विमाओं के अनुरूप है।

(A) दिया गया समीकरण: $F = a \sqrt{x} + b t^2$.
विमाओं की समांगता के सिद्धांत के अनुसार,समीकरण के दोनों पक्षों के प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
अतः,$[F] = [a \sqrt{x}]$ और $[F] = [b t^2]$.
$[F] = [a \sqrt{x}]$ से,हमें प्राप्त होता है $[a] = \frac{[F]}{[\sqrt{x}]} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^{1/2}]} = [ML^{1/2}T^{-2}]$.
$[F] = [b t^2]$ से,हमें प्राप्त होता है $[b] = \frac{[F]}{[t^2]} = \frac{[MLT^{-2}]}{[T^2]} = [MLT^{-4}]$.
अब,$\frac{a}{b}$ के लिए विमीय सूत्र ज्ञात करते हैं:
$\left[\frac{a}{b}\right] = \frac{[ML^{1/2}T^{-2}]}{[MLT^{-4}]} = [M^{1-1} L^{1/2-1} T^{-2-(-4)}] = [M^0 L^{-1/2} T^2]$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) माना कि आवर्तकाल $T$,$R^a M^b G^c$ के समानुपाती है,अतः $T = K R^a M^b G^c$ है।
प्रत्येक राशि के लिए विमीय सूत्र लिखने पर:
$[T] = [T]^1$
$[R] = [L]^1$
$[M] = [M]^1$
$[G] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $[T]^1 = [L]^a [M]^b [M^{-1} L^3 T^{-2}]^c = [M]^{b-c} [L]^{a+3c} [T]^{-2c}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $M$,$L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$T$ के लिए: $-2c = 1 \Rightarrow c = -1/2$।
$M$ के लिए: $b - c = 0 \Rightarrow b = c = -1/2$।
$L$ के लिए: $a + 3c = 0 \Rightarrow a = -3c = -3(-1/2) = 3/2$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $T = K R^{3/2} M^{-1/2} G^{-1/2} = K \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$।

(B) विमाओं की समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमाओं वाली भौतिक राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।
दिए गए समीकरण $(P+\frac{a}{V^2})(V-b)=RT$ में,पद $\frac{a}{V^2}$ को दाब $P$ में जोड़ा गया है।
इसलिए,$\frac{a}{V^2}$ की विमाएँ दाब $P$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
$[P] = [\frac{a}{V^2}] \implies [a] = [P][V^2]$।
दाब $P$ की विमा $[ML^{-1} T^{-2}]$ है और आयतन $V$ की विमा $[L^3]$ है।
इन मानों को रखने पर,हमें प्राप्त होता है $[a] = [ML^{-1} T^{-2}] \times [L^3]^2 = [ML^{-1} T^{-2}] \times [L^6] = [ML^5 T^{-2}]$।

(D) घन की भुजा की लंबाई $l = 1.2 \times 10^{-2} \ m$ है।
घन का आयतन $V = l^3$ द्वारा दिया जाता है।
$V = (1.2 \times 10^{-2} \ m)^3 = 1.728 \times 10^{-6} \ m^3$।
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,गुणा या भाग के परिणाम में सार्थक अंकों की संख्या उस माप के समान होनी चाहिए जिसमें सबसे कम सार्थक अंक हों।
दी गई लंबाई $1.2 \times 10^{-2} \ m$ में $2$ सार्थक अंक हैं।
इसलिए,आयतन को $2$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित (round off) किया जाना चाहिए।
$1.728$ को $2$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर $1.7$ प्राप्त होता है।
अतः,आयतन $1.7 \times 10^{-6} \ m^3$ है।

(A) डोरी पर तरंग के लिए, गति $v$ को $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि $\mu$ स्थिर है, इसलिए $v \propto \sqrt{T}$ होगा।
दिया गया है कि $v_1 = 150 \,ms^{-1}$ और $T_1 = 120 \,N$ है।
हम गति को $20 \%$ बढ़ाना चाहते हैं, इसलिए $v_2 = v_1 + 0.20 v_1 = 1.2 v_1$ होगा।
समानुपातिकता $v \propto \sqrt{T}$ का उपयोग करते हुए, $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $1.2 = \sqrt{\frac{T_2}{120}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1.44 = \frac{T_2}{120}$।
$T_2 = 1.44 \times 120 = 172.8 \,N$।
तनाव में प्रतिशत वृद्धि $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
$\% \Delta T = \frac{172.8 - 120}{120} \times 100 = \frac{52.8}{120} \times 100 = 44 \%$।

(C) विस्पंद आवृत्ति $|n_A - n_B| = 4 \ Hz$ द्वारा दी जाती है।
जब डोरी $A$ में तनाव बढ़ाया जाता है,तो इसकी आवृत्ति $n_A$ बढ़ जाती है क्योंकि $n \propto \sqrt{T}$ होता है।
$n_A$ बढ़ाने पर विस्पंदों की संख्या $4$ से बढ़कर $7$ हो जाती है,इसका अर्थ है कि $n_A$ का मान $n_B$ से अधिक होना चाहिए (अर्थात $n_A - n_B = 4$)।
यदि $n_A$ का मान $n_B$ से कम होता,तो $n_A$ बढ़ाने पर विस्पंद आवृत्ति शून्य की ओर घटती और फिर बढ़ती,लेकिन प्रश्न सीधे वृद्धि का संकेत देता है।
इसलिए,$n_A = n_B + 4$ होगा।
दिया गया है कि $n_B = 480 \ Hz$,अतः $n_A = 480 + 4 = 484 \ Hz$।

(A) दिया गया है: हॉर्न की आवृत्ति $f = 1000 \,Hz$,ध्वनि की गति $v = 340 \,ms^{-1}$।
जब कार प्रेक्षक के पास आ रही होती है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $f_1 = \left(\frac{v}{v-v_s}\right) f$ होती है।
जब कार प्रेक्षक से दूर जा रही होती है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $f_2 = \left(\frac{v}{v+v_s}\right) f$ होती है।
आवृत्तियों का अनुपात $\frac{f_1}{f_2} = \frac{11}{9}$ दिया गया है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{f_1}{f_2} = \frac{v+v_s}{v-v_s} = \frac{11}{9}$।
$\frac{340+v_s}{340-v_s} = \frac{11}{9}$।
$9(340+v_s) = 11(340-v_s)$।
$3060 + 9v_s = 3740 - 11v_s$।
$20v_s = 680$।
$v_s = 34 \,ms^{-1}$।

(B) दोनों सिरों पर खुली ऑर्गन पाइप के लिए,$n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{n v}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ हार्मोनिक मोड है।
दिया गया है:
लंबाई $L = 30 \ cm = 0.3 \ m$
आवृत्ति $f = 1.65 \ kHz = 1650 \ Hz$
ध्वनि का वेग $v = 330 \ m/s$
सूत्र में मान रखने पर:
$1650 = \frac{n \times 330}{2 \times 0.3}$
$1650 = \frac{n \times 330}{0.6}$
$1650 = n \times 550$
$n = \frac{1650}{550} = 3$
अतः,पाइप $3$ रे हार्मोनिक मोड में अनुनाद करती है।

(D) चित्र $(a)$ के लिए,$L = \frac{\lambda_1}{4} \Rightarrow \lambda_1 = 4L$.
चित्र $(b)$ के लिए,$L = \frac{\lambda_2}{4} + \frac{\lambda_2}{2} + \frac{\lambda_2}{4} = \lambda_2 \Rightarrow \lambda_2 = L$.
चित्र $(c)$ के लिए,$L = \frac{\lambda_3}{4} + \frac{\lambda_3}{4} + \frac{\lambda_3}{2} = \lambda_3 \Rightarrow \lambda_3 = 2L$.
चित्र $(d)$ के लिए,$L = \frac{\lambda_4}{2} + \frac{\lambda_4}{4} = \frac{3\lambda_4}{4} \Rightarrow \lambda_4 = \frac{4L}{3}$.
चूंकि आवृत्ति $f \propto \frac{1}{\lambda}$,इसलिए $f_1 : f_2 : f_3 : f_4 = \frac{1}{\lambda_1} : \frac{1}{\lambda_2} : \frac{1}{\lambda_3} : \frac{1}{\lambda_4}$.
मान रखने पर: $f_1 : f_2 : f_3 : f_4 = \frac{1}{4L} : \frac{1}{L} : \frac{1}{2L} : \frac{3}{4L}$.
$4L$ से गुणा करने पर,हमें $1 : 4 : 2 : 3$ प्राप्त होता है।

(C) $L$ लंबाई की खुली ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति:
$f_0 = \frac{v}{2L} = 100 \ Hz$
जब निचले सिरे को बंद कर दिया जाता है और पाइप का $1/3$ भाग पानी से भर दिया जाता है,तो वायु स्तंभ की प्रभावी लंबाई $L' = L - \frac{L}{3} = \frac{2L}{3}$ हो जाती है।
$L'$ लंबाई की बंद ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति:
$f' = \frac{v}{4L'}$
$L' = \frac{2L}{3}$ रखने पर:
$f' = \frac{v}{4(2L/3)} = \frac{3v}{8L}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$f' = \frac{3}{4} \left( \frac{v}{2L} \right)$
चूंकि $\frac{v}{2L} = 100 \ Hz$,इसलिए:
$f' = \frac{3}{4} \times 100 = 75 \ Hz$

(A) खुले ऑर्गन पाइप के लिए,$n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{n v}{2 l_o}$ द्वारा दी जाती है।
तीसरे हार्मोनिक $(n=3)$ के लिए,$f_{open} = \frac{3 v}{2 l_o}$।
यहाँ $l_o = 72 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $f_{open} = \frac{3 v}{2 \times 72} = \frac{v}{48}$।
बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति ($n$ विषम संख्या है) $f_n = \frac{n v}{4 l_c}$ द्वारा दी जाती है।
पांचवें हार्मोनिक $(n=5)$ के लिए,$f_{closed} = \frac{5 v}{4 l_c}$।
प्रश्न के अनुसार,$f_{closed} = f_{open}$।
$\frac{5 v}{4 l_c} = \frac{3 v}{2 l_o}$।
$l_o = 72 \ cm$ रखने पर:
$\frac{5}{4 l_c} = \frac{3}{2 \times 72} = \frac{3}{144} = \frac{1}{48}$।
$4 l_c = 5 \times 48 = 240$।
$l_c = \frac{240}{4} = 60 \ cm$।

(B) तरंग की चाल $v$ को $v = f \lambda$ द्वारा दर्शाया जाता है। चूंकि माध्यम नहीं बदला गया है,इसलिए चाल $v$ स्थिर रहती है।
अतः,$f_1 \lambda_1 = f_2 \lambda_2$,जिसका अर्थ है $f \propto \frac{1}{\lambda}$।
दिया गया है कि आवृत्ति में $25 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए नई आवृत्ति $f_2 = f_1 + 0.25 f_1 = 1.25 f_1 = \frac{5}{4} f_1$ है।
व्युत्क्रम संबंध का उपयोग करते हुए,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{f_1}{f_2} = \frac{f_1}{1.25 f_1} = \frac{1}{1.25} = \frac{4}{5} = 0.8$।
इसका अर्थ है $\lambda_2 = 0.8 \lambda_1$।
तरंगदैर्ध्य में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1} \times 100 = \frac{0.8 \lambda_1 - \lambda_1}{\lambda_1} \times 100 = -0.2 \times 100 = -20 \%$ है।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि तरंगदैर्ध्य में $20 \%$ की कमी होती है।

(C) अर्धगोले के शीर्ष पर,डिस्क पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ और ऊपर की ओर अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ हैं।
वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल,गुरुत्वाकर्षण बल और अभिलंब प्रतिक्रिया बल के अंतर द्वारा प्रदान किया जाता है:
$mg - N = \frac{mv^2}{R}$
डिस्क द्वारा तुरंत अर्धगोले की सतह को छोड़ने के लिए,शीर्ष बिंदु पर अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ शून्य होना चाहिए।
समीकरण में $N = 0$ रखने पर:
$mg - 0 = \frac{mv^2}{R}$
$mg = \frac{mv^2}{R}$
$v^2 = gR$
$v = \sqrt{gR}$
अतः,आवश्यक न्यूनतम क्षैतिज वेग $\sqrt{gR}$ है।

(D) माना $l$ आनत तल की कुल लंबाई है और $\theta$ झुकाव कोण है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,पिंड पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि पिंड विरामावस्था से शुरू होता है और नीचे फिर से विरामावस्था में आ जाता है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = 0$ है।
पिंड पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण,घर्षण और अभिलंब बल हैं।
$1$. गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $(W_g)$: $W_g = mgh = mg(l \sin \theta)$.
$2$. घर्षण द्वारा किया गया कार्य $(W_f)$: घर्षण केवल $l(1 - 1/n)$ लंबाई के निचले हिस्से पर कार्य करता है। अतः,$W_f = -f_k \cdot d = -(\mu_k mg \cos \theta) \cdot l(1 - 1/n)$.
$3$. अभिलंब बल द्वारा किया गया कार्य $(W_N)$: चूंकि अभिलंब बल हमेशा विस्थापन के लंबवत होता है,इसलिए $W_N = 0$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू करने पर: $W_g + W_f + W_N = 0$.
$mg l \sin \theta - \mu_k mg \cos \theta \cdot l \left(\frac{n-1}{n}\right) = 0$.
$mg l \cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \mu_k \left(\frac{n-1}{n}\right)$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left[\left(\frac{n-1}{n}\right) \mu_k\right]$.

(C) मशीन द्वारा किया गया उपयोगी कार्य (ब्लॉक द्वारा प्राप्त स्थितिज ऊर्जा) दक्षता और इनपुट ऊर्जा के गुणनफल के बराबर होता है:
$U = \eta \times E_{\text{in}} = \frac{2}{3} \times 12 \text{ J} = 8 \text{ J}$.
चूँकि $U = mgh$,इसलिए $8 = 2 \times 10 \times h$,जिससे $h = \frac{8}{20} = 0.4 \text{ m}$ प्राप्त होता है।
जब ब्लॉक स्वतंत्र रूप से गिरता है,तो ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में हुई हानि गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$.
$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 0.4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ m/s}$.

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 50 \ kg$,परास $R = 8 \ m$,कोण $\theta = 45^{\circ}$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \ m/s^2$.
प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$8 = \frac{u^2 \sin(2 \times 45^{\circ})}{9.8} = \frac{u^2 \sin(90^{\circ})}{9.8} = \frac{u^2}{9.8}$.
अतः,$u^2 = 8 \times 9.8 = 78.4 \ m^2/s^2$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $\frac{1}{2} m u^2$ है।
$(K.E.) = \frac{1}{2} \times 50 \times 78.4 = 25 \times 78.4 = 1960 \ J$.

(A) औसत शक्ति का सूत्र $P_{av} = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$ है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 90 \ kg$
ऊँचाई $h = 600 \ m$
समय $t = 90 \ minutes = 90 \times 60 \ s = 5400 \ s$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ ms^{-2}$.
मान रखने पर:
$P_{av} = \frac{90 \times 10 \times 600}{90 \times 60} = \frac{540000}{5400} = 100 \ W$.

(A) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य विस्थापन के सापेक्ष बल के समाकलन द्वारा दिया जाता है: $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$.
दिया गया है $F(x) = (6x^2 - 4x + 3) \text{ N}$,$x_1 = 2 \text{ m}$,और $x_2 = 5 \text{ m}$।
$W = \int_{2}^{5} (6x^2 - 4x + 3) dx$
$W = [\frac{6x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + 3x]_{2}^{5}$
$W = [2x^3 - 2x^2 + 3x]_{2}^{5}$
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$W = [2(5)^3 - 2(5)^2 + 3(5)] - [2(2)^3 - 2(2)^2 + 3(2)]$
$W = [2(125) - 2(25) + 15] - [2(8) - 2(4) + 6]$
$W = [250 - 50 + 15] - [16 - 8 + 6]$
$W = 215 - 14 = 201 \text{ J}$.

(B) दिया गया बल $\vec{F} = (4 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}) \text{ N}$.
प्रारंभिक स्थिति $\vec{r_1} = (2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}) \text{ m}$.
अंतिम स्थिति $\vec{r_2} = (4 \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) \text{ m}$.
विस्थापन $\vec{S} = \vec{r_2} - \vec{r_1} = (4-2) \hat{i} + (3-2) \hat{j} + (2-1) \hat{k} = (2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \text{ m}$.
किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{S}$.
$W = (4 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
$W = (4 \times 2) + (2 \times 1) + (1 \times 1) = 8 + 2 + 1 = 11 \text{ J}$.

(D) एक $n-p-n$ ट्रांजिस्टर में,उत्सर्जक धारा $(I_E)$,संग्राहक धारा $(I_C)$ और आधार धारा $(I_B)$ के बीच संबंध $I_E = I_B + I_C$ होता है।
यह दिया गया है कि उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों का $95\%$ संग्राहक तक पहुँचता है,इसलिए $I_C = 0.95 \times I_E$ है।
चूंकि $I_C = 10 \text{ mA}$ दिया गया है,हम $I_E$ की गणना इस प्रकार कर सकते हैं:
$I_E = \frac{I_C}{0.95} = \frac{10}{0.95} \approx 10.53 \text{ mA}$।
अब,आधार धारा की गणना करने पर:
$I_B = I_E - I_C = 10.53 \text{ mA} - 10 \text{ mA} = 0.53 \text{ mA}$।

(C) दिया गया है: करंट गेन $\beta = 80$, कलेक्टर प्रतिरोध $R_C = 5 \text{ k}\Omega$, बेस प्रतिरोध $R_B = 1 \text{ k}\Omega$, इनपुट वोल्टेज $V_I = 2 \text{ mV} = 2 \times 10^{-3} \text{ V}$.
कॉमन एमिटर ट्रांजिस्टर के लिए वोल्टेज गेन $A_V$ का सूत्र इस प्रकार है:
$A_V = \frac{V_O}{V_I} = \beta \times \frac{R_C}{R_B}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$V_O = V_I \times \beta \times \frac{R_C}{R_B}$
$V_O = (2 \times 10^{-3} \text{ V}) \times 80 \times \frac{5 \text{ k}\Omega}{1 \text{ k}\Omega}$
$V_O = 2 \times 10^{-3} \times 80 \times 5$
$V_O = 800 \times 10^{-3} \text{ V}$
$V_O = 0.8 \text{ V}$.

(D) कॉमन एमिटर विन्यास में ट्रांजिस्टर एम्पलीफायर का वोल्टेज गेन $A_V$,आउटपुट वोल्टेज $V_O$ और इनपुट वोल्टेज $V_I$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$A_V = \frac{V_O}{V_I} = \frac{V_C}{V_B}$
चूंकि $V_C = I_C R_C$ और $V_B = I_B R_B$,हम लिख सकते हैं:
$A_V = \frac{I_C R_C}{I_B R_B}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A_V = \left(\frac{I_C}{I_B}\right) \left(\frac{R_C}{R_B}\right)$
यह दिया गया है कि धारा प्रवर्धन गुणांक $\beta = \frac{I_C}{I_B}$,इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$A_V = \beta \cdot \frac{R_C}{R_B}$

(A) इस सर्किट में $B$ और $C$ इनपुट वाला एक $NAND$ गेट है,और $\overline{A}$ तथा $y_1$ इनपुट वाला एक $NOR$ गेट है।
सबसे पहले,$y_1$ की गणना करें:
$y_1 = \overline{B \cdot C} = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$.
इसके बाद,$y_2$ की गणना करें:
$NOR$ गेट के इनपुट $\overline{A}$ और $y_1$ हैं।
$\overline{A} = \overline{1} = 0$.
$y_2 = \overline{\overline{A} + y_1} = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$.
अतः,मान $y_1 = 0$ और $y_2 = 1$ हैं।

(A) चित्र से,$y_1$ एक $NAND$ गेट का आउटपुट है जिसके इनपुट $(A \cdot B)$ और $B$ हैं। अतः,$y_1 = \overline{(A \cdot B) \cdot B}$.
दिया गया है $A=0$ और $B=1$,तो $A \cdot B = 0 \cdot 1 = 0$.
इसलिए,$y_1 = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$.
$y_2$ एक $NOR$ गेट का आउटपुट है जिसके इनपुट $(B+C)$ और $B$ हैं। अतः,$y_2 = \overline{(B+C) + B}$.
दिया गया है $B=1$ और $C=1$,तो $B+C = 1+1 = 1$.
इसलिए,$y_2 = \overline{1 + 1} = \overline{1} = 0$.
अतः,$y_1$ और $y_2$ के मान क्रमशः $1$ और $0$ हैं।

(C) यह सर्किट एक $NOR$ गेट,एक $AND$ गेट और एक $NAND$ गेट से बना है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$NOR$ गेट का आउटपुट $\overline{A+B}$ है।
$AND$ गेट का आउटपुट $A \cdot B$ है।
ये दोनों आउटपुट एक $NAND$ गेट में जाते हैं।
इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y$ इस प्रकार है:
$Y = \overline{(\overline{A+B}) \cdot (A \cdot B)}$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\overline{X \cdot Z} = \overline{X} + \overline{Z}$:
$Y = \overline{(\overline{A+B})} + \overline{(A \cdot B)}$
$Y = (A+B) + (\overline{A} + \overline{B})$
$Y = (A + \overline{A}) + (B + \overline{B})$
चूंकि $A + \overline{A} = 1$ और $B + \overline{B} = 1$:
$Y = 1 + 1 = 1$
अतः,इनपुट $(A, B)$ के किसी भी संयोजन के लिए,आउटपुट $Y$ हमेशा $1$ रहता है।

(C) दिए गए परिपथ में दो $NOR$ गेट हैं जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य कर रहे हैं,जिसके बाद एक $NOR$ गेट है।
$1$. पहले दो गेट $NOR$ गेट हैं जिनके दोनों इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं। $A$ और $A$ इनपुट वाले $NOR$ गेट का आउटपुट $\overline{A+A} = \overline{A}$ होता है।
$2$. इसी प्रकार,$B$ और $B$ इनपुट वाले दूसरे $NOR$ गेट का आउटपुट $\overline{B+B} = \overline{B}$ होता है।
$3$. इन दोनों आउटपुट को अंतिम $NOR$ गेट में इनपुट के रूप में दिया जाता है।
$4$. अंतिम $NOR$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$ है।
$5$. डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$ होता है।
$6$. अतः,आउटपुट $Y = A \cdot B$ प्राप्त होता है,जो कि $AND$ गेट का बूलियन व्यंजक है।

(C) एक पूर्ण-तरंग दिष्टकारी (full-wave rectifier) में, आउटपुट इनपुट $AC$ सिग्नल के प्रत्येक चक्र के लिए दो पल्स से बना होता है。
इसलिए, आउटपुट रिपल की मूल आवृत्ति इनपुट आवृत्ति की दोगुनी होती है。
दिया गया है, इनपुट आवृत्ति $f_{in} = 50 \text{ Hz}$ है。
आउटपुट रिपल की मूल आवृत्ति $f_0 = 2 \times f_{in} = 2 \times 50 \text{ Hz} = 100 \text{ Hz}$ होगी。

(C) तापीय साम्यावस्था में एक अर्धचालक के लिए,इलेक्ट्रॉनों की सांद्रता $(n_e)$ और होलों की सांद्रता $(n_h)$ का गुणनफल नैज वाहक सांद्रता के वर्ग $(n_i^2)$ के बराबर होता है।
इसे द्रव्यनुपाती क्रिया के नियम द्वारा व्यक्त किया जाता है: $n_e n_h = n_i^2$.
अतः,नैज वाहक सांद्रता $n_i = \sqrt{n_e n_h}$ द्वारा प्राप्त होती है।

(D) एक आंतरिक अर्धचालक के लिए,द्रव्यमान क्रिया के नियम (law of mass action) के अनुसार $n_e n_h = n_i^2$ होता है।
दिया गया है,$n_e = n_h = n_i = 1.5 \times 10^{16} \ m^{-3}$।
इसलिए,$n_i^2 = (1.5 \times 10^{16})^2 = 2.25 \times 10^{32} \ m^{-6}$।
जब होल की सांद्रता बढ़कर $n_h' = 3 \times 10^{22} \ m^{-3}$ हो जाती है,तो नई इलेक्ट्रॉन सांद्रता $n_e'$ इस प्रकार होगी:
$n_e' = \frac{n_i^2}{n_h'} = \frac{2.25 \times 10^{32}}{3 \times 10^{22}}$।
$n_e' = 0.75 \times 10^{10} \ m^{-3} = 7.5 \times 10^9 \ m^{-3}$।

(C) दृश्य प्रकाश लगभग $380 \, nm$ से $750 \, nm$ की तरंग दैर्ध्य सीमा के अनुरूप होता है।
संबंध $E = \frac{hc}{\lambda}$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$, $c = 3 \times 10^8 \, m/s$, और $1 \, eV = 1.6 \times 10^{-19} \, J$ है।
दृश्य प्रकाश की सबसे लंबी तरंग दैर्ध्य $(\lambda = 750 \, nm)$ के लिए, ऊर्जा $E = \frac{1240 \, eV \cdot nm}{750 \, nm} \approx 1.65 \, eV$ होती है।
व्यावहारिक रूप से, दृश्य प्रकाश को कुशलतापूर्वक उत्सर्जित करने के लिए, दृश्यमान LEDs के निर्माण में प्रयुक्त अर्धचालक पदार्थ का बैंड गैप कम से कम $1.8 \, eV$ होना चाहिए।

(D) मुक्त आकाश की पारगम्यता $\mu_0$ का $SI$ मात्रक हेनरी प्रति मीटर $(H \cdot m^{-1})$ होता है।
स्व-प्रेरकत्व $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ के सूत्र से,$\mu_0$ का मात्रक $\frac{H \cdot m}{m^2} = H \cdot m^{-1}$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $A$ एक मात्रक है।
चूंकि $L = \frac{\phi}{I}$,$L$ का मात्रक $Wb \cdot A^{-1}$ है। इसे $\mu_0$ के व्यंजक में रखने पर,$\frac{Wb \cdot A^{-1} \cdot m}{m^2} = Wb \cdot A^{-1} \cdot m^{-1}$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $B$ एक मात्रक है।
चूंकि $L = \frac{e}{dI/dt}$,$L$ का मात्रक $\frac{V}{A \cdot s^{-1}} = V \cdot s \cdot A^{-1} = \Omega \cdot s$ है। इसे $\mu_0$ के व्यंजक में रखने पर,$\frac{\Omega \cdot s \cdot m}{m^2} = \Omega \cdot s \cdot m^{-1}$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $C$ एक मात्रक है।
विकल्प $D$ (वोल्ट $\cdot$ सेकंड $\cdot$ मीटर$^{-1}$) $V \cdot s \cdot m^{-1}$ के बराबर है। व्युत्पन्न मात्रकों के साथ तुलना करने पर,इसमें पारगम्यता के लिए आवश्यक $A^{-1}$ कारक की कमी है। इसलिए,यह पारगम्यता का मात्रक नहीं है।

(B) विवर्तन प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के तुलनीय आकार के अवरोध या छिद्र के कोनों पर प्रकाश के मुड़ने की घटना है।
महत्वपूर्ण विवर्तन होने के लिए,छिद्र या स्लिट की चौड़ाई '$a$' आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य '$\lambda$' के बराबर या उससे छोटी होनी चाहिए।
गणितीय रूप से,इस शर्त को $a \leq \lambda$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
दोनों पक्षों को '$\lambda$' से विभाजित करने पर,हमें $\frac{a}{\lambda} \leq 1$ प्राप्त होता है।

(C) एकल-स्लिट विवर्तन (diffraction) के लिए,$n$ वें निम्निष्ठ की शर्त $x \sin \theta = n \lambda$ होती है।
प्रथम निम्निष्ठ के लिए,$n = 1$ है।
दिया गया है: $\lambda = 6500 \text{ Å} = 6500 \times 10^{-10} \text{ m} = 6.5 \times 10^{-7} \text{ m}$ और $\theta = 30^{\circ}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x \sin 30^{\circ} = 1 \times 6.5 \times 10^{-7} \text{ m}$।
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए:
$x \times 0.5 = 6.5 \times 10^{-7} \text{ m}$।
$x = \frac{6.5 \times 10^{-7}}{0.5} \text{ m} = 13 \times 10^{-7} \text{ m} = 1.3 \times 10^{-6} \text{ m}$।
अतः,$x = 1.3 \mu \text{m}$ है।

(D) पोलराइज़र पर आपतित अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I$ है।
पोलराइज़र से गुजरने के बाद,ध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{I}{2}$ हो जाती है।
मेलस के नियम के अनुसार,एनालाइज़र से बाहर निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$ होती है।
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $I_2 = \frac{I}{2} \cos^2 45^{\circ}$।
$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I_2 = \frac{I}{2} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{I}{4}$।

(B) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
प्रारंभिक फ्रिंज चौड़ाई $\beta_1 = \frac{\lambda D}{d} = 3 \text{ mm}$ दी गई है।
प्रश्न के अनुसार, नई दूरी $D' = D + 0.5D = 1.5D$ और झिरियों के बीच की नई दूरी $d' = d - 0.1d = 0.9d$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_2 = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda (1.5D)}{0.9d}$ है।
इसे सरल करने पर, $\beta_2 = \frac{1.5}{0.9} \times \frac{\lambda D}{d} = \frac{15}{9} \times \beta_1 = \frac{5}{3} \times 3 \text{ mm}$ प्राप्त होता है।
अतः, $\beta_2 = 5 \text{ mm}$।

(D) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग $(YDSE)$ में,पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ दिया गया है।
मान लीजिए कि दोनों झिरियों की तीव्रता समान है,$I_1 = I_2 = I_s$।
कलांतर $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ होता है।
परिणामी तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta \phi)$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $I = I_s + I_s + 2 \sqrt{I_s I_s} \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 I_s + 2 I_s (\frac{1}{2}) = 2 I_s + I_s = 3 I_s$।
अधिकतम तीव्रता $I_0$ तब होती है जब $\cos(\Delta \phi) = 1$ हो,इसलिए $I_0 = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_s} + \sqrt{I_s})^2 = (2 \sqrt{I_s})^2 = 4 I_s$।
अतः,अनुपात $\frac{I}{I_0} = \frac{3 I_s}{4 I_s} = \frac{3}{4}$ होगा।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग $(YDSE)$ में,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
दी गई मान हैं:
स्लिट के बीच की दूरी,$d = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$.
पर्दे की दूरी,$D = 2 \ m$.
प्रकाश की तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 400 \ nm = 400 \times 10^{-9} \ m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \frac{(400 \times 10^{-9} \ m) \times (2 \ m)}{2 \times 10^{-3} \ m}$.
$\beta = \frac{800 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-3}} \ m$.
$\beta = 400 \times 10^{-6} \ m = 0.4 \times 10^{-3} \ m$.

(D) दी गई तीव्रताएँ $I_1 = I$ और $I_2 = 2I$ हैं।
पथ अंतर $\Delta x = 12.5 \% \text{ of } \lambda = \frac{12.5}{100} \lambda = \frac{\lambda}{8}$ है।
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{8} = \frac{\pi}{4}$ है।
परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ है।
मान रखने पर: $I_R = I + 2I + 2\sqrt{I \cdot 2I} \cos(\frac{\pi}{4})$.
$I_R = 3I + 2\sqrt{2I^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$I_R = 3I + 2I \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 3I + 2I = 5I$.

(A) बिंदु आवेश $q$ से $r$ दूरी पर किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बिंदु $A, B$ और $C$ एक अर्धवृत्त पर स्थित हैं और आवेश $q$ इसके केंद्र पर है,इसलिए ये सभी बिंदु आवेश $q$ से समान दूरी ($r$ यानी अर्धवृत्त की त्रिज्या) पर हैं।
अतः,बिंदु $A, B$ और $C$ पर विद्युत विभव समान है,यानी $V_A = V_B = V_C = V$ है।
किसी आवेश $q_0$ को बिंदु $P$ से बिंदु $X$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = q_0(V_X - V_P)$ होता है।
इस प्रकार,आवेश को $A, B$ और $C$ बिंदुओं तक ले जाने के लिए किया गया कार्य है:
$W_A = q_0(V_A - V_P) = q_0(V - V_P)$
$W_B = q_0(V_B - V_P) = q_0(V - V_P)$
$W_C = q_0(V_C - V_P) = q_0(V - V_P)$
चूंकि $V_A = V_B = V_C$ है,इसलिए $W_A = W_B = W_C$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $P$ आवेश $q$ से अर्धवृत्त पर स्थित बिंदुओं की तुलना में अलग दूरी पर है,इसलिए $V_P \neq V$,अतः $W_A = W_B = W_C \neq 0$ होगा।

(B) द्रव्यमान खपत की दर $\frac{\Delta m}{\Delta t} = 1 \times 10^{-3} \text{ g s}^{-1} = 10^{-6} \text{ kg s}^{-1}$ है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार,उत्पन्न शक्ति $P = \frac{\Delta E}{\Delta t} = \left(\frac{\Delta m}{\Delta t}\right) c^2$ है।
मान रखने पर,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \text{ m s}^{-1}$:
$P = 10^{-6} \text{ kg s}^{-1} \times (3 \times 10^8 \text{ m s}^{-1})^2$.
$P = 10^{-6} \times 9 \times 10^{16} \text{ W}$.
$P = 9 \times 10^{10} \text{ W}$.
चूँकि $1 \text{ kW} = 10^3 \text{ W}$,शक्ति को kW में बदलने पर:
$P = \frac{9 \times 10^{10}}{10^3} \text{ kW} = 9 \times 10^7 \text{ kW}$.