AP EAMCET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) टोरिसेली के नियम के अनुसार,बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
ऊँचाई में परिवर्तन की दर $A \frac{dh}{dt} = -a \sqrt{2gh}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ टंकी का क्षेत्रफल है और $a$ छेद का क्षेत्रफल है।
इससे $dt = -\frac{A}{a\sqrt{2g}} h^{-1/2} dh$ प्राप्त होता है।
ऊँचाई $h_1$ से $h_2$ तक गिरने में लगा समय $t = \int_{h_2}^{h_1} \frac{A}{a\sqrt{2g}} h^{-1/2} dh = \frac{2A}{a\sqrt{2g}} (\sqrt{h_1} - \sqrt{h_2})$ है।
माना $t_1$,$h$ से $h/2$ तक गिरने का समय है:
$t_1 = \frac{2A}{a\sqrt{2g}} (\sqrt{h} - \sqrt{h/2}) = \frac{2A}{a\sqrt{2g}} \sqrt{h} (1 - 1/\sqrt{2})$।
माना $t_2$,$h/2$ से $0$ तक गिरने का समय है:
$t_2 = \frac{2A}{a\sqrt{2g}} (\sqrt{h/2} - 0) = \frac{2A}{a\sqrt{2g}} \sqrt{h} (1/\sqrt{2})$।
अतः अनुपात $\frac{t_1}{t_2} = \frac{1 - 1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$ है।

(B) दिया गया है: नली की त्रिज्या $r_1 = 2 \,cm = 0.02 \,m$।
प्रत्येक छिद्र की त्रिज्या $r_2 = 0.4 \,mm = 0.0004 \,m$।
छिद्रों की संख्या $n = 50$।
नली के अंदर द्रव की गति $v_1 = 0.04 \,ms^{-1}$।
सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार, नली के अंदर आयतन प्रवाह दर सभी छिद्रों से होने वाली कुल आयतन प्रवाह दर के बराबर होनी चाहिए:
$A_1 v_1 = n A_2 v_2$
क्षेत्रफल का मान रखने पर $\pi r_1^2 v_1 = n \pi r_2^2 v_2$
$r_1^2 v_1 = n r_2^2 v_2$
$(0.02)^2 \times 0.04 = 50 \times (0.0004)^2 \times v_2$
$4 \times 10^{-4} \times 0.04 = 50 \times 16 \times 10^{-8} \times v_2$
$1.6 \times 10^{-5} = 800 \times 10^{-8} \times v_2$
$1.6 \times 10^{-5} = 8 \times 10^{-6} \times v_2$
$v_2 = \frac{1.6 \times 10^{-5}}{8 \times 10^{-6}} = 0.2 \times 10 = 2 \,ms^{-1}$।

(D) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) का उपयोग करने पर:
$A_1 V_1 = A_2 V_2$
$10 \times 1 = 5 \times V_2 \Rightarrow V_2 = 2 \,m/s$
क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली प्रमेय लागू करने पर $(h_1 = h_2)$:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2$
यहाँ $\rho = 1000 \,kg/m^3$ (पानी का घनत्व):
$2000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (1)^2 = P_2 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2$
$2000 + 500 = P_2 + 2000$
$P_2 = 2500 - 2000 = 500 \,Pa$

(A) किसी पात्र के तल पर $h$ ऊंचाई पर स्थित तरल (घनत्व $\rho$) के कारण दबाव का सूत्र $P = P_0 + \rho gh$ है,जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है।
चूंकि दोनों पात्र समान ऊंचाई $h$ तक पानी (समान घनत्व $\rho$) से भरे हुए हैं और समान क्षैतिज तल पर रखे गए हैं (समान वायुमंडलीय दबाव $P_0$),इसलिए दोनों पात्रों के तल पर दबाव केवल ऊंचाई $h$ और घनत्व $\rho$ पर निर्भर करता है।
अतः,पात्र $A$ के तल पर दबाव $P_A = P_0 + \rho gh$ है और पात्र $B$ के तल पर दबाव $P_B = P_0 + \rho gh$ है।
इस प्रकार,$P_A = P_B$ है।
पात्रों $A$ और $B$ के तल पर दबाव का अनुपात $P_A : P_B = 1 : 1$ है।

(B) माना कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
एक छोटी बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ है।
चूंकि कुल आयतन स्थिर रहता है,$216 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$।
$R^3 = 216 r^3 \Rightarrow R = 6r$।
$216$ बूंदों का प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = $216 \times A$।
बड़ी बूंद का अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल = $4 \pi R^2 = 4 \pi (6r)^2 = 36 \times (4 \pi r^2) = 36A$।
मुक्त हुई ऊर्जा = (प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल - अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल) $\times T$।
मुक्त हुई ऊर्जा = $(216A - 36A) \times T = 180 AT$।

(B) संपर्क बिंदु पर,पृष्ठ तनाव के कारण लगने वाले बल ठोस की सतह के अनुदिश संतुलन में होने चाहिए।
मान लीजिए $S_2$ ठोस-वायु अंतरापृष्ठ पर पृष्ठ तनाव है,$S_3$ ठोस-द्रव अंतरापृष्ठ पर पृष्ठ तनाव है,और $S_1$ द्रव-वायु अंतरापृष्ठ पर पृष्ठ तनाव है।
बल $S_1$ ठोस सतह के साथ $\theta$ कोण पर कार्य करता है।
$S_1$ को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर,क्षैतिज घटक $S_1 \cos \theta$ उसी दिशा में कार्य करता है जिस दिशा में $S_3$ कार्य करता है।
ठोस सतह की क्षैतिज दिशा में संतुलन के लिए,बलों को संतुलित होना चाहिए:
$S_2 = S_3 + S_1 \cos \theta$
अतः,सही संबंध $S_1 \cos \theta + S_3 = S_2$ है।

(D) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है। चूंकि दो बूंदों के मिलने के दौरान आयतन स्थिर रहता है,इसलिए:
$2 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 2r^3 \Rightarrow R = 2^{1/3} r$
बड़ी बूंद की पृष्ठ ऊर्जा $E$,पृष्ठ तनाव $T$ और उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi R^2$ का गुणनफल होती है:
$E = T \times 4 \pi R^2$
समीकरण में $R = 2^{1/3} r$ रखने पर:
$E = T \times 4 \pi (2^{1/3} r)^2$
$E = T \times 4 \pi \times 2^{2/3} r^2$
$E = 4 \times 2^{2/3} \pi r^2 T$
चूंकि $4 = 2^2$,इसलिए $2^2 \times 2^{2/3} = 2^{2 + 2/3} = 2^{8/3}$ होगा।
अतः,$E = 2^{8/3} \pi r^2 T$.

(C) दिया गया है: त्रिज्या $r = 1 \times 10^{-4} \,m$, गेंद का घनत्व $\sigma = 10^4 \,kg \,m^{-3}$, पानी का घनत्व $\delta = 10^3 \,kg \,m^{-3}$, पानी की श्यानता $\eta = 9.8 \times 10^{-4} \,Pa \cdot s$।
पानी में गेंद का सीमांत वेग (terminal velocity) $v$ स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है:
$v = \frac{2}{9} \frac{g r^2}{\eta} (\sigma - \delta)$
मान रखने पर:
$v = \frac{2}{9} \times \frac{9.8 \times (10^{-4})^2}{9.8 \times 10^{-4}} \times (10^4 - 10^3)$
$v = \frac{2}{9} \times 10^{-4} \times 9000 = 20 \,m/s$
चूंकि पानी में प्रवेश करने के बाद वेग नहीं बदलता है, इसलिए $h$ ऊंचाई से गिरने के बाद प्राप्त वेग सीमांत वेग $v$ के बराबर होना चाहिए।
गति के समीकरण $v^2 = 2gh$ का उपयोग करने पर:
$h = \frac{v^2}{2g} = \frac{20^2}{2 \times 9.8} = \frac{400}{19.6} \approx 20.4 \,m$.

(C) दिया गया है: व्यास $D = 1.5 \ cm = 1.5 \times 10^{-2} \ m$,प्रवाह दर $Q = 7.5 \times 10^{-5} \ m^3 \ s^{-1}$,श्यानता $\eta = 10^{-3} \ Pa \cdot s$,पानी का घनत्व $\rho = 10^3 \ kg \cdot m^{-3}$।
प्रवाह दर $Q = A \cdot v = \frac{\pi}{4} D^2 v$,इसलिए वेग $v = \frac{4Q}{\pi D^2}$।
रेनॉल्ड्स संख्या $R_e = \frac{\rho v D}{\eta} = \frac{\rho (\frac{4Q}{\pi D^2}) D}{\eta} = \frac{4 \rho Q}{\pi \eta D}$।
मान रखने पर: $R_e = \frac{4 \times 10^3 \times 7.5 \times 10^{-5}}{3.14 \times 10^{-3} \times 1.5 \times 10^{-2}}$।
$R_e = \frac{0.3}{4.71 \times 10^{-5}} \approx 6369.4$।
चूंकि $R_e > 4000$ है,इसलिए प्रवाह अशांत (turbulent) है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,प्रवाह अशांत है और रेनॉल्ड्स संख्या $6000$ से अधिक है।

(B) दिया गया है: गहराई $h = 100 \ m$,संपीड्यता $k = 0.5 \times 10^{-9} \ N^{-1} \ m^2$,पानी का घनत्व $\rho = 10^3 \ kg/m^3$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$.
नदी के तल पर दबाव $P = \rho gh$ द्वारा दिया जाता है।
$P = 10^3 \times 10 \times 100 = 10^6 \ N/m^2$.
संपीड्यता $k$ को बल्क मापांक $B$ के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $k = \frac{1}{B} = \frac{(\Delta V / V)}{P}$ है।
अतः,आंशिक संपीड़न (आयतन में आंशिक परिवर्तन) $\frac{\Delta V}{V} = k \times P$ है।
$\frac{\Delta V}{V} = (0.5 \times 10^{-9}) \times 10^6 = 0.5 \times 10^{-3}$.

(C) दिया गया है: $l_1: l_2 = 1: 2$,$d_1: d_2 = 3: 2$,$F_1: F_2 = 3: 1$.
प्रति इकाई आयतन में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = \frac{\sigma^2}{2Y}$ है,जहाँ $\sigma$ प्रतिबल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि प्रतिबल $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{F}{\pi (d/2)^2} = \frac{4F}{\pi d^2}$,इसलिए $\sigma \propto \frac{F}{d^2}$ है।
अतः,$U \propto \sigma^2 \propto \left(\frac{F}{d^2}\right)^2$.
ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{U_1}{U_2} = \left(\frac{F_1}{F_2}\right)^2 \times \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^4$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{U_1}{U_2} = \left(\frac{3}{1}\right)^2 \times \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 9 \times \frac{16}{81} = \frac{16}{9}$.
इस प्रकार,अनुपात $16: 9$ है।

(A) तार को खींचने में किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} kx^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = \frac{YA}{L}$ है।
$k$ का मान रखने पर,हमें $W = \frac{1}{2} \left( \frac{YA}{L} \right) x^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों तारों के लिए पदार्थ $(Y)$ और विस्तार $(x)$ समान हैं,इसलिए $W \propto \frac{A}{L}$ होगा।
चूंकि $A = \pi r^2$,इसलिए $W \propto \frac{r^2}{L}$ होगा।
मान लीजिए $r_1 = r$ और $L_1 = L$ है। तो $r_2 = 2r$ और $L_2 = \frac{L}{2}$ होगा।
अनुपात लेने पर: $\frac{W_2}{W_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \left( \frac{L_1}{L_2} \right) = (2)^2 \left( \frac{L}{L/2} \right) = 4 \times 2 = 8$।
अतः,$W_2 = 8 \times W_1 = 8 \times 2 \ J = 16 \ J$।

(A) तार को खींचने में किया गया कार्य तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} F x$,जहाँ $F$ बल है और $x$ विस्तार है।
दिया गया है:
प्रारंभिक भार $F_1 = 5 \ kg \ wt = 5 \times 10 \ N = 50 \ N$,विस्तार $x_1 = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$.
अंतिम भार $F_2 = 8 \ kg \ wt = 8 \times 10 \ N = 80 \ N$,विस्तार $x_2 = 1.8 \ mm = 1.8 \times 10^{-3} \ m$.
किया गया कार्य $W = U_2 - U_1 = \frac{1}{2} F_2 x_2 - \frac{1}{2} F_1 x_1$.
$W = \frac{1}{2} [(80 \times 1.8 \times 10^{-3}) - (50 \times 1 \times 10^{-3})]$.
$W = \frac{1}{2} [144 \times 10^{-3} - 50 \times 10^{-3}] = \frac{1}{2} [94 \times 10^{-3}] = 47 \times 10^{-3} \ J$.

(A) प्रति इकाई आयतन में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(u)$ का सूत्र है:
$u = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} = \frac{1}{2} \sigma \epsilon$
हुक के नियम के अनुसार,प्रतिबल $(\sigma)$ यंग मापांक $(Y)$ और विकृति $(\epsilon)$ से इस प्रकार संबंधित है:
$\sigma = Y \epsilon$
ऊर्जा समीकरण में $\sigma$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$u = \frac{1}{2} \times (Y \epsilon) \times \epsilon$
$u = \frac{Y \epsilon^2}{2}$

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \ kg$,गति $v = 12 \ ms^{-1}$,लंबाई $l = 4 \ m$,व्यास $d = 2.0 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$।
तार में उत्पन्न तनाव बल $F$ जो अभिकेंद्र बल प्रदान करता है,वह $F = \frac{mv^2}{l}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $F = \frac{4 \times (12)^2}{4} = 144 \ N$।
विकृति $\epsilon$ को $\epsilon = \frac{\text{Stress}}{Y} = \frac{F}{AY}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ है।
अतः,$\epsilon = \frac{4F}{\pi d^2 Y}$।
मान रखने पर: $\epsilon = \frac{4 \times 144}{\pi \times (2 \times 10^{-3})^2 \times 2 \times 10^{11}}$।
$\epsilon = \frac{576}{\pi \times 4 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{11}} = \frac{576}{\pi \times 8 \times 10^5} = \frac{72}{\pi \times 10^5} \approx 2.29 \times 10^{-4} \approx 2.3 \times 10^{-4}$।

(A) तांबे के तार में तनाव बल उसके नीचे लटके हुए $7 \,kg$ द्रव्यमान के भार के कारण है।
$T = m \times g = 7 \,kg \times 10 \,m/s^2 = 70 \,N$.
विस्तार $\Delta l$ का सूत्र $\Delta l = \frac{T \times l}{Y \times A}$ है।
दिया गया है:
$T = 70 \,N$
$l = 0.5 \,m$
$Y = 10 \times 10^{10} \,N/m^2$
$A = 3.5 \,mm^2 = 3.5 \times 10^{-6} \,m^2$
मान रखने पर:
$\Delta l = \frac{70 \times 0.5}{10 \times 10^{10} \times 3.5 \times 10^{-6}}$
$\Delta l = \frac{35}{35 \times 10^4} = 10^{-4} \,m$.

(B) दिया गया है: लंबाई $l = 100 \ cm = 1 \ m$,क्षेत्रफल $A = 2 \ mm^2 = 2 \times 10^{-6} \ m^2$,बल $F = 440 \ N$,विस्तार $\Delta l = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$।
यंग मापांक $Y$ अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति का अनुपात है।
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$।
मान रखने पर:
$Y = \frac{440 \times 1}{2 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3}} = \frac{440}{4 \times 10^{-9}} = 1.1 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$।

(D) एक खींचे गए तार में ऊर्जा घनत्व (प्रति इकाई आयतन किया गया कार्य) का सूत्र है: $u = \frac{1}{2} Y \varepsilon^2$, जहाँ $Y$ यंग मापांक है और $\varepsilon$ विकृति है।
कुल कार्य $W = u \times V = \frac{1}{2} Y \varepsilon^2 V$.
दिया गया है: $W = 16 \times 10^2 \,J$, $V = 2 \,cm^3 = 2 \times 10^{-6} \,m^3$, $Y = 4 \times 10^{12} \,N/m^2$.
विकृति $\varepsilon$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\varepsilon = \sqrt{\frac{2W}{YV}}$.
मान रखने पर: $\varepsilon = \sqrt{\frac{2 \times 16 \times 10^2}{4 \times 10^{12} \times 2 \times 10^{-6}}} = \sqrt{\frac{3200}{8 \times 10^6}} = \sqrt{400 \times 10^{-6}} = 20 \times 10^{-3} = 0.02$.
अतः, उत्पन्न विकृति $0.02$ है।

(A) कण का $v$-$t$ ग्राफ चित्र में दर्शाया गया है।
$1$. पहले भाग के लिए (एकसमान त्वरण):
दूरी $2L = \frac{1}{2} \times V_m \times t_1 \implies t_1 = \frac{4L}{V_m}$
$2$. दूसरे भाग के लिए (एकसमान वेग):
दूरी $L = V_m \times t_2 \implies t_2 = \frac{L}{V_m}$
$3$. तीसरे भाग के लिए (एकसमान मंदन):
दूरी $3L = \frac{1}{2} \times V_m \times t_3 \implies t_3 = \frac{6L}{V_m}$
$4$. औसत चाल $\bar{V} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}}$
कुल दूरी $= 2L + L + 3L = 6L$
कुल समय $= t_1 + t_2 + t_3 = \frac{4L}{V_m} + \frac{L}{V_m} + \frac{6L}{V_m} = \frac{11L}{V_m}$
$5$. इसलिए,$\bar{V} = \frac{6L}{11L/V_m} = \frac{6}{11} V_m$
$\frac{\bar{V}}{V_m} = \frac{6}{11}$

(D) पिंड $A$ के लिए:
अधिकतम ऊँचाई $H_{\max} = \frac{u^2}{2g}$.
दिया गया है $m_A = 2m$, $u_A = u$.
विचारणीय ऊँचाई $h = \frac{H_{\max}}{2} = \frac{u^2}{4g}$ है।
ऊँचाई $h$ पर पिंड $A$ के लिए ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$(KE)_A = \text{कुल ऊर्जा} - (PE)_A = \frac{1}{2} m_A u_A^2 - m_A gh = \frac{1}{2}(2m)u^2 - (2m)g\left(\frac{u^2}{4g}\right) = mu^2 - \frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mu^2$.
पिंड $B$ के लिए:
दिया गया है $m_B = m$, $u_B = 2u$.
ऊँचाई $h = \frac{u^2}{4g}$ पर पिंड $B$ की स्थितिज ऊर्जा:
$(PE)_B = m_B gh = m g \left(\frac{u^2}{4g}\right) = \frac{1}{4}mu^2$.
$(KE)_A$ और $(PE)_B$ का अनुपात:
$\frac{(KE)_A}{(PE)_B} = \frac{\frac{1}{2}mu^2}{\frac{1}{4}mu^2} = 2:1$.

(C) प्रारंभिक वेग $u$ के साथ फेंकी गई वस्तु द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2}{2g}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $u^2 = 2gH$.
गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2gh$ का उपयोग करके,हम किसी भी ऊँचाई $h$ पर वेग की गणना करते हैं।
ऊँचाई $h_1 = \frac{3H}{4}$ के लिए,वेग $v_1$ का मान $v_1^2 = u^2 - 2g(\frac{3H}{4}) = 2gH - \frac{3gH}{2} = \frac{gH}{2}$ है।
ऊँचाई $h_2 = \frac{8H}{9}$ के लिए,वेग $v_2$ का मान $v_2^2 = u^2 - 2g(\frac{8H}{9}) = 2gH - \frac{16gH}{9} = \frac{2gH}{9}$ है।
वेगों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{v_1^2}{v_2^2}} = \sqrt{\frac{gH/2}{2gH/9}} = \sqrt{\frac{1}{2} \times \frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ है।

(C) माना $R$ गुब्बारे पर कार्य करने वाला ऊपर की ओर उत्प्लावन बल है।
स्थिति $1$: गुब्बारा $a_0$ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति कर रहा है।
गति का समीकरण: $Mg - R = Ma_0$ ....$(i)$
स्थिति $2$: $m$ द्रव्यमान हटाने के बाद,गुब्बारा $2a_0$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करता है।
गति का समीकरण: $R - (M - m)g = (M - m)(2a_0)$ ....(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$(Mg - R) + (R - (M - m)g) = Ma_0 + (M - m)(2a_0)$
$Mg - Mg + mg = Ma_0 + 2Ma_0 - 2ma_0$
$mg = 3Ma_0 - 2ma_0$
$mg + 2ma_0 = 3Ma_0$
$m(g + 2a_0) = 3Ma_0$
$m = \frac{3Ma_0}{g + 2a_0}$

(B) हम जानते हैं कि $a = v \frac{dv}{dx}$, जिसका अर्थ है $v dv = a dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है $\int_{u}^{v} v dv = \int_{x_1}^{x_2} a dx$.
$\frac{v^2 - u^2}{2} = \text{a-x ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल}$.
$v^2 = u^2 + 2 \times (\text{a-x ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल})$.
$x=0$ से $x=1.4$ तक $a-x$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल एक आयत, एक समलंब चतुर्भुज और एक अन्य आयत से बना है:
क्षेत्रफल $1$ ($x=0$ से $0.4$): $0.4 \times 0.4 = 0.16$.
क्षेत्रफल $2$ ($x=0.4$ से $0.8$): $\frac{1}{2} \times (0.4 + 0.2) \times 0.4 = 0.12$.
क्षेत्रफल $3$ ($x=0.8$ से $1.4$): $0.2 \times 0.6 = 0.12$.
कुल क्षेत्रफल $= 0.16 + 0.12 + 0.12 = 0.4$.
दिया गया है $u = 0.8 \,ms^{-1}$, इसलिए $u^2 = 0.64$.
$v^2 = 0.64 + 2 \times (0.4) = 0.64 + 0.8 = 1.44$.
$v = \sqrt{1.44} = 1.2 \,ms^{-1}$.

(A) रुकने की दूरी $S$ को सूत्र $S = \frac{u^2}{2a}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है और $a$ मंदन (deceleration) है (जो समान ब्रेकिंग बल के लिए स्थिर रहता है)।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $S \propto u^2$ है।
दिया गया है: $u_1 = 80 \ km/h$,$S_1 = 60 \ m$,और $u_2 = 160 \ km/h$।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{u_2}{u_1}\right)^2$।
मान रखने पर: $\frac{S_2}{60} = \left(\frac{160}{80}\right)^2 = (2)^2 = 4$।
अतः,$S_2 = 4 \times 60 \ m = 240 \ m$।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 0$, त्वरण $a = \frac{5}{4} \,ms^{-2}$, और समय $n = 3 \,s$ है।
$n$ वें सेकंड में तय की गई दूरी का सूत्र $S_{n} = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$S_{3} = 0 + \frac{5/4}{2}(2 \times 3 - 1)$
$S_{3} = \frac{5}{8}(6 - 1)$
$S_{3} = \frac{5}{8} \times 5$
$S_{3} = \frac{25}{8} \,m$.

(D) दिया गया संबंध: $t = \alpha x^2 + \beta x$.
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$1 = 2 \alpha x \left( \frac{dx}{dt} \right) + \beta \left( \frac{dx}{dt} \right)$.
चूँकि $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए:
$1 = (2 \alpha x + \beta) v \implies v = \frac{1}{2 \alpha x + \beta}$.
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$.
$v = (2 \alpha x + \beta)^{-1}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv}{dx} = -1(2 \alpha x + \beta)^{-2} \cdot (2 \alpha) = -2 \alpha v^2$.
अतः,$a = v (-2 \alpha v^2) = -2 \alpha v^3$.
मंदन त्वरण का ऋणात्मक मान होता है:
$\text{मंदन} = -a = -(-2 \alpha v^3) = 2 \alpha v^3$.

(C) कण का वेग $v = 3x^2 - 4x$ द्वारा दिया गया है।
त्वरण $a$ समय के सापेक्ष वेग में परिवर्तन की दर है,जिसे स्थिति $x$ के संदर्भ में $a = v \cdot \frac{dv}{dx}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
सबसे पहले,$v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2 - 4x) = 6x - 4$.
अब,$v$ और $\frac{dv}{dx}$ का मान त्वरण के सूत्र में रखने पर: $a = (3x^2 - 4x)(6x - 4)$.
अतः,त्वरण के लिए सही व्यंजक $(3x^2 - 4x)(6x - 4)$ है।

(A) माना एस्केलेटर की लंबाई $L$ है।
माना व्यक्ति की चलने की गति $v_p$ है और एस्केलेटर की गति $v_e$ है।
जब एस्केलेटर बंद होता है,तो व्यक्ति $L$ लंबाई को $t_1 = 90 \ s$ में तय करता है। अतः,$v_p = \frac{L}{90}$।
जब व्यक्ति चलते हुए एस्केलेटर पर खड़ा रहता है,तो वह $t_2 = 60 \ s$ में ऊपर पहुँच जाता है। अतः,$v_e = \frac{L}{60}$।
जब व्यक्ति चलते हुए एस्केलेटर पर चलकर ऊपर जाता है,तो उसकी प्रभावी गति $v_{eff} = v_p + v_e$ होती है।
लिया गया समय $t_3 = \frac{L}{v_p + v_e} = \frac{L}{\frac{L}{90} + \frac{L}{60}}$ द्वारा दिया जाता है।
$t_3 = \frac{1}{\frac{1}{90} + \frac{1}{60}} = \frac{90 \times 60}{90 + 60} = \frac{5400}{150} = 36 \ s$।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1.5 \ kg$,प्रारंभिक वेग $\overrightarrow{v} = -8 \hat{j} \ ms^{-1}$ (दक्षिण की ओर),बल $\overrightarrow{F} = 6 \hat{i} \ N$ (पूर्व की ओर),समय $t = 3 \ s$.
त्वरण $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{6}{1.5} \hat{i} = 4 \hat{i} \ ms^{-2}$.
विस्थापन के लिए गति के समीकरण का उपयोग करने पर: $\overrightarrow{s} = \overrightarrow{v}t + \frac{1}{2} \overrightarrow{a}t^2$.
मान रखने पर: $\overrightarrow{s} = (-8 \hat{j})(3) + \frac{1}{2}(4 \hat{i})(3)^2$.
$\overrightarrow{s} = -24 \hat{j} + 2(9) \hat{i} = 18 \hat{i} - 24 \hat{j} \ m$.
विस्थापन का परिमाण $S = |\overrightarrow{s}| = \sqrt{(18)^2 + (-24)^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30 \ m$.

(A) माना प्रारंभिक वेग $u$ है और यह क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर है।
$t = 3 \,s$ पर $(1 \,s + 2 \,s = 3 \,s)$, प्रक्षेप्य क्षैतिज रूप से यात्रा कर रहा है, जिसका अर्थ है कि वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य है।
$v_y = u \sin \theta - gt = 0 \Rightarrow u \sin \theta = g \times 3 = 10 \times 3 = 30 \,ms^{-1}$।
$t = 1 \,s$ पर, दिशा क्षैतिज के साथ $45^{\circ}$ है, इसलिए $\tan 45^{\circ} = \frac{v_y}{v_x} = 1$।
अतः, $v_y = v_x \Rightarrow u \sin \theta - g(1) = u \cos \theta$।
$u \sin \theta = 30$ और $g = 10$ रखने पर, हमें $30 - 10 = u \cos \theta \Rightarrow u \cos \theta = 20 \,ms^{-1}$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक वेग का परिमाण $u = \sqrt{(u \cos \theta)^2 + (u \sin \theta)^2} = \sqrt{20^2 + 30^2} = \sqrt{400 + 900} = \sqrt{1300} = 10 \sqrt{13} \,ms^{-1}$ है।

(B) प्रक्षेप्य की परास (Range) $R = d_1 + d_2 = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ है,इसलिए $\sin(2 \times 45^{\circ}) = \sin(90^{\circ}) = 1$ होगा।
अतः,$R = d_1 + d_2 = \frac{u^2}{g}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{u^2}{g} = d_1 + d_2$.
प्रक्षेप्य पथ का समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ है।
$y = h$,$x = d_1$,और $\theta = 45^{\circ}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$h = d_1 \tan 45^{\circ} - \frac{g d_1^2}{2u^2 \cos^2 45^{\circ}}$.
चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$ और $\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$ है,हमारे पास है:
$h = d_1 - \frac{g d_1^2}{2u^2 (1/2)} = d_1 - \frac{g d_1^2}{u^2}$.
$\frac{u^2}{g} = d_1 + d_2$ रखने पर:
$h = d_1 - \frac{d_1^2}{d_1 + d_2} = \frac{d_1(d_1 + d_2) - d_1^2}{d_1 + d_2} = \frac{d_1^2 + d_1 d_2 - d_1^2}{d_1 + d_2} = \frac{d_1 d_2}{d_1 + d_2}$.

(B) पहली वस्तु के लिए,परास अधिकतम तब होता है जब प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$ हो।
पहली वस्तु द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H_1 = \frac{u_1^2 \sin^2 45^{\circ}}{2g} = \frac{u_1^2 (1/\sqrt{2})^2}{2g} = \frac{u_1^2}{4g}$ है।
दूसरी वस्तु के लिए,अधिकतम ऊँचाई तब प्राप्त होती है जब उसे ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपित किया जाता है,अर्थात $\theta = 90^{\circ}$।
दूसरी वस्तु द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H_2 = \frac{u_2^2 \sin^2 90^{\circ}}{2g} = \frac{u_2^2}{2g}$ है।
यह दिया गया है कि दोनों वस्तुएँ समान अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचती हैं,इसलिए $H_1 = H_2$ है।
अतः,$\frac{u_1^2}{4g} = \frac{u_2^2}{2g}$।
इसे सरल करने पर $\frac{u_1^2}{u_2^2} = \frac{4g}{2g} = 2$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$\frac{u_1}{u_2} = \sqrt{2} : 1$ प्राप्त होता है।

(B) अधिकतम परास के लिए,प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$ होता है।
अधिकतम परास का सूत्र $R_{\max} = \frac{u^2}{g} = 80 \ m$ है।
चूँकि $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $u^2 = 80 \times 10 = 800$,जिससे $u = \sqrt{800} \ m/s$ प्राप्त होता है।
समय $t$ में तय की गई क्षैतिज दूरी $x = (u \cos \theta) t$ होती है।
मान रखने पर: $x = (\sqrt{800} \cos 45^{\circ}) \times 3$.
$x = \sqrt{800} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times 3 = \sqrt{400} \times 3 = 20 \times 3 = 60 \ m$.
अतः,पहले $3 \ s$ में तय की गई दूरी $60 \ m$ है।

(D) ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपण के लिए,उड्डयन काल $T_1 = \frac{2 u_1}{g}$ है।
प्रक्षेप्य गति के लिए,उड्डयन काल $T_2 = \frac{2 u_2 \sin \theta}{g}$ है।
दिया गया है कि $T_1 = T_2$,इसलिए $\frac{2 u_1}{g} = \frac{2 u_2 \sin \theta}{g}$,जिसका अर्थ है $u_1 = u_2 \sin \theta$.
ऊर्ध्वाधर गति के लिए अधिकतम ऊंचाई $H_1 = \frac{u_1^2}{2g}$ है।
प्रक्षेप्य गति के लिए अधिकतम ऊंचाई $H_2 = \frac{u_2^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
अनुपात लेने पर,$\frac{H_1}{H_2} = \frac{u_1^2 / 2g}{(u_2 \sin \theta)^2 / 2g} = \left( \frac{u_1}{u_2 \sin \theta} \right)^2$.
चूंकि $u_1 = u_2 \sin \theta$,इसलिए अनुपात $1^2 : 1^2 = 1:1$ प्राप्त होता है।

(D) समान परास के लिए,$R_1 = R_2 = R$।
मान लीजिए कि दो प्रक्षेपण कोण $\theta$ और $(90^{\circ} - \theta)$ हैं।
प्रक्षेप्य के लिए उड़ान का समय $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले कोण $\theta_1 = \theta$ के लिए,उड़ान का समय $T_1 = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है।
दूसरे कोण $\theta_2 = (90^{\circ} - \theta)$ के लिए,उड़ान का समय $T_2 = \frac{2u \sin(90^{\circ} - \theta)}{g} = \frac{2u \cos \theta}{g}$ है।
उड़ान के समय का गुणनफल $T_1 T_2 = \left(\frac{2u \sin \theta}{g}\right) \left(\frac{2u \cos \theta}{g}\right)$ है।
$T_1 T_2 = \frac{2}{g} \left(\frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g}\right)$।
चूंकि परास $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है,इसलिए $T_1 T_2 = \frac{2R}{g}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g$ स्थिर है,इसलिए $T_1 T_2 \propto R$।

(D) किसी बल द्वारा प्रदान की गई औसत शक्ति, बल द्वारा किए गए कार्य और लिए गए समय का अनुपात होती है।
$P_{av} = \frac{W_g}{t}$
उच्चतम बिंदु पर, ऊर्ध्वाधर विस्थापन अधिकतम ऊँचाई $H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
जब वस्तु जमीन से उच्चतम बिंदु तक जाती है, तो गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_g = mgH_{\max}$ है।
उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लगा समय $t = \frac{u \sin \theta}{g}$ है।
अतः, औसत शक्ति का परिमाण:
$P_{av} = \frac{mg H_{\max}}{t} = \frac{mg \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)}{\left( \frac{u \sin \theta}{g} \right)}$
$P_{av} = \frac{mgu \sin \theta}{2}$

(C) दिया गया है: क्षैतिज परास $R = 50 \ m$,प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$।
प्रक्षेप्य के प्रक्षेपपथ के समीकरण का उपयोग करते हुए: $y = x \tan \theta \left(1 - \frac{x}{R}\right)$।
यहाँ,$x$ क्षैतिज विस्थापन है और $y$ ऊर्ध्वाधर ऊँचाई है।
$x = 20 \ m$ दिया गया है,मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$h = 20 \tan 45^{\circ} \left(1 - \frac{20}{50}\right)$।
चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$h = 20 \times 1 \times \left(1 - 0.4\right) = 20 \times 0.6 = 12 \ m$।

(D) माना मीनार की ऊँचाई $H$ है और प्रारंभिक वेग $u$ है।
माना $t_1$ और $t_2$ वे समय हैं जिन पर वस्तु अपनी ऊपर की ओर और नीचे की ओर गति के दौरान मीनार के शीर्ष को पार करती है।
हमें दिया गया है कि इन दो बार पार करने के बीच का समय अंतराल $t_2 - t_1 = 8 \ s$ है।
कुल उड़ान का समय $T = 16 \ s$ है।
गुरुत्वाकर्षण के तहत प्रक्षेप्य गति के लिए,अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने का समय $T/2 = 16/2 = 8 \ s$ है।
माना $t_c$ मीनार के शीर्ष से अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय है। तब $t_1 = 8 - t_c$ और $t_2 = 8 + t_c$ होगा।
दिया है $t_2 - t_1 = 8 \ s$,तो $(8 + t_c) - (8 - t_c) = 8$,जिससे $2t_c = 8$ प्राप्त होता है,अर्थात $t_c = 4 \ s$।
मीनार की ऊँचाई $H$ वह दूरी है जो वस्तु अधिकतम ऊँचाई बिंदु $C$ से गुरुत्वाकर्षण के तहत $t_c = 4 \ s$ में तय करती है।
$H = \frac{1}{2} g t_c^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (4)^2 = 5 \times 16 = 80 \ m$.

(D) दिया गया है:
बंदूक का द्रव्यमान,$M = 100 \ kg$
गेंद का द्रव्यमान,$m = 1 \ kg$
चट्टान की ऊँचाई,$H = 500 \ m$
क्षैतिज परास,$R = 400 \ m$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \ ms^{-2}$
चरण $1$: उड़ान का समय $(T)$ ज्ञात करना:
गेंद को जमीन तक पहुँचने में लगा समय:
$T = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 500}{10}} = \sqrt{100} = 10 \ s$
चरण $2$: गेंद का क्षैतिज वेग $(u)$ ज्ञात करना:
क्षैतिज परास $R = u \times T$ द्वारा दी जाती है। इसलिए:
$u = \frac{R}{T} = \frac{400}{10} = 40 \ ms^{-1}$
चरण $3$: बंदूक का प्रतिक्षेप वेग $(V)$ ज्ञात करना:
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक संवेग शून्य है:
$M \times V + m \times u = 0$
$V = -\left(\frac{m}{M}\right) u$
प्रतिक्षेप वेग का परिमाण:
$|V| = \left(\frac{1}{100}\right) \times 40 = 0.4 \ ms^{-1}$

(A) प्रक्षेप्य पथ का समीकरण $y = 3x - 0.8x^2$ दिया गया है।
इसे मानक समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\tan \theta = 3$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$\frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = 0.8$ है।
चूंकि $u_x = u \cos \theta$,इसलिए $\frac{g}{2u_x^2} = 0.8$ होगा।
$g = 10 \ m/s^2$ रखने पर,$u_x^2 = \frac{10}{2 \times 0.8} = \frac{10}{1.6} = 6.25$,जिससे $u_x = 2.5 \ m/s$ प्राप्त होता है।
क्षैतिज परास $R$,$x$ का वह मान है जब $y = 0$ हो: $0 = x(3 - 0.8x)$,जिससे $R = \frac{3}{0.8} = 3.75 \ m$ मिलता है।
उड्डयन काल $T = \frac{R}{u_x} = \frac{3.75}{2.5} = 1.5 \ s$ है।

(B) दीवार की क्षैतिज दूरी $x = 7 \ m$ है। प्रारंभिक वेग $u = 15 \ m/s$ और कोण $\theta = 37^{\circ}$ है।
सबसे पहले,जमीन '$B$' से लक्ष्य '$C$' की ऊँचाई ज्ञात करें:
$\tan 37^{\circ} = \frac{BC}{x} \implies BC = 7 \times \tan 37^{\circ} = 7 \times \frac{3}{4} = 5.25 \ m$.
अब,दीवार तक पहुँचने में लगा समय ज्ञात करें:
$v_x = u \cos 37^{\circ} = 15 \times \frac{4}{5} = 12 \ m/s$.
$x = v_x \cdot t \implies 7 = 12 \cdot t \implies t = \frac{7}{12} \ s$.
अब,समय '$t$' पर गेंद द्वारा प्राप्त ऊर्ध्वाधर ऊँचाई '$BD$' ज्ञात करें:
$v_y = u \sin 37^{\circ} = 15 \times \frac{3}{5} = 9 \ m/s$.
$BD = v_y \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 = 9 \times \left(\frac{7}{12}\right) - \frac{1}{2} \times 10 \times \left(\frac{7}{12}\right)^2$.
$BD = 5.25 - 5 \times \frac{49}{144} = 5.25 - \frac{245}{144} \approx 5.25 - 1.701 = 3.549 \ m$.
ऊर्ध्वाधर दूरी '$y_0$' '$BC$' और '$BD$' के बीच का अंतर है:
$y_0 = BC - BD = 5.25 - 3.549 = 1.701 \ m \approx 1.7 \ m$.

(A) गेंद के वेग का क्षैतिज घटक $V_x = V_0 \cos \alpha$ है।
चूंकि क्षैतिज दिशा में कोई त्वरण नहीं है,इसलिए गेंद अपनी पूरी उड़ान के दौरान इस निरंतर क्षैतिज वेग के साथ चलती है।
उड़ान का समय $T$,$T = \frac{2 V_0 \sin \alpha}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
गेंद द्वारा तय की गई क्षैतिज परास $R$,$R = V_x \times T = (V_0 \cos \alpha) \times \left( \frac{2 V_0 \sin \alpha}{g} \right)$ है।
गेंद को पकड़ने के लिए,लड़के को उसी समय $T$ में समान क्षैतिज दूरी $R$ तय करनी होगी।
मान लीजिए लड़के का वेग $v_b$ है। इसलिए,$R = v_b \times T$.
$R$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $v_b \times T = (V_0 \cos \alpha) \times T$ प्राप्त होता है।
अतः,लड़के का वेग $v_b = V_0 \cos \alpha$ होना चाहिए।

(D) $h$ ऊँचाई से $u = 10 \sqrt{3} \text{ m s}^{-1}$ के प्रारंभिक वेग के साथ क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित वस्तु के लिए:
$1$. वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है: $v_x = u = 10 \sqrt{3} \text{ m s}^{-1}$.
$2$. लैंडिंग के समय वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = \sqrt{2gh}$ होता है।
$3$. वेग सदिश क्षैतिज के साथ जो कोण $\theta$ बनाता है,वह $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x}$ द्वारा दिया जाता है।
$4$. दिया गया है कि लैंडिंग कोण $30^{\circ}$ या उससे अधिक है,इसलिए $\tan \theta \geq \tan 30^{\circ}$.
$5$. मान रखने पर: $\frac{\sqrt{2gh}}{10 \sqrt{3}} \geq \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$6$. सरल करने पर: $\sqrt{2gh} \geq 10$.
$7$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2gh \geq 100$.
$8$. $g = 10 \text{ m s}^{-2}$ के साथ,$20h \geq 100$,जिसका अर्थ है $h \geq 5 \text{ m}$.
$9$. न्यूनतम ऊँचाई $5 \text{ m}$ है।

(A) प्रक्षेप्य का पथ समीकरण $Y = P x - Q x^2$ है।
इसे मानक समीकरण $Y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $\tan \theta = P$ और $Q = \frac{g}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ प्राप्त होता है।
$(A)$ परास $(R)$: जब $Y = 0$, तब $x = R$। अतः, $0 = P R - Q R^2 \Rightarrow R = \frac{P}{Q}$। इस प्रकार, $(A)-(i)$।
$(B)$ अधिकतम ऊँचाई $(H)$: $H = \frac{R \tan \theta}{4} = \frac{(P/Q) \cdot P}{4} = \frac{P^2}{4 Q}$। इस प्रकार, $(B)-(iii)$।
$(C)$ उड्डयन काल $(T)$: $T = \frac{2 u \sin \theta}{g}$। चूँकि $\tan \theta = P$ और $Q = \frac{g}{2 u^2 \cos^2 \theta}$, इसलिए $u \cos \theta = \sqrt{\frac{g}{2 Q}}$। अब $T = \frac{2 u \sin \theta}{g} = \frac{2 (u \cos \theta) \tan \theta}{g} = \frac{2 \sqrt{\frac{g}{2 Q}} \cdot P}{g} = \left(\sqrt{\frac{2}{g Q}}\right) P$। इस प्रकार, $(C)-(iv)$।
$(D)$ प्रक्षेप्य का स्पर्शज्या: $\tan \theta = P$। इस प्रकार, $(D)-(ii)$।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 16 \,ms^{-1}$, पानी तक पहुँचने में लगा समय $t_1 = 5 \,s$, त्वरण $g = 10 \,ms^{-2}$।
पत्थर के लिए गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
नीचे की दिशा को धनात्मक लेने पर, विस्थापन $h$ है:
$h = -ut_1 + \frac{1}{2}gt_1^2$
$h = -(16 \times 5) + \frac{1}{2} \times 10 \times (5)^2$
$h = -80 + 125 = 45 \,m$.
ध्वनि द्वारा तय की गई दूरी $d = 45 \,m$ है और इसमें लगा समय $t_2 = 0.2 \,s$ है।
ध्वनि की गति $v = \frac{d}{t_2} = \frac{45}{0.2} = 225 \,ms^{-1}$।

(B) प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
पहले पत्थर के लिए,$H_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
दूसरे पत्थर के लिए,$H_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^{\circ}-\theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$.
दिया गया है कि $H_2 = H_1 + 10$,इसलिए $\frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g} - \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = 10$.
$u = 20 \ ms^{-1}$ और $g = 10 \ ms^{-2}$ का मान रखने पर:
$\frac{400}{20} (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 10$.
$20 (\cos 2\theta) = 10$.
$\cos 2\theta = 0.5$.
$2\theta = 60^{\circ}$,अतः $\theta = 30^{\circ}$.

(A) प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई $H$ और उड़ान का समय $T$ इस प्रकार हैं:
$H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ और $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$.
इन समीकरणों से हम देख सकते हैं कि $H \propto u^2$ और $T \propto u$ (चूँकि $\theta$ स्थिर है)।
इसलिए,$H \propto T^2$ है।
यदि ऊँचाई $10 \%$ बढ़ जाती है,तो नई ऊँचाई $H_2 = 1.10 H_1$ होगी।
चूँकि $H \propto T^2$,हमारे पास $\frac{H_2}{H_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2$ है।
$1.10 = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 \implies \frac{T_2}{T_1} = \sqrt{1.10} \approx 1.0488$.
यह लगभग $4.88 \%$ की वृद्धि के अनुरूप है,जो $5 \%$ के सबसे निकट है।

(D) माना $M = 90 \ kg$ तख्ते का द्रव्यमान है और $m = 20 \ kg$ लड़की का द्रव्यमान है।
तख्ते की लंबाई $l = 3.3 \ m$ है।
चूंकि निकाय (तख्ता + लड़की) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
माना तख्ते का विस्थापन लड़की की गति की विपरीत दिशा में $\Delta x$ है।
पानी के सापेक्ष लड़की का विस्थापन $(l - \Delta x)$ है।
द्रव्यमान केंद्र के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $M \Delta x = m(l - \Delta x)$.
$90 \Delta x = 20(3.3 - \Delta x)$.
$90 \Delta x = 66 - 20 \Delta x$.
$110 \Delta x = 66$.
$\Delta x = \frac{66}{110} = 0.6 \ m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $0.6 \ m = 60 \ cm$.

(C) ब्लॉक $P$ के नीचे न फिसलने के लिए,घर्षण बल $f$ को भार $mg$ को संतुलित करना चाहिए,इसलिए $f = mg$.
चूंकि $f \leq \mu N$,हमारे पास $mg \leq \mu N$ है,जहाँ $N$ दीवार द्वारा प्रदान किया गया अभिलंब बल है।
अभिलंब बल $N$ अभिकेंद्र बल है,$N = m \omega^2 R$.
अतः,न फिसलने की सीमांत स्थिति के लिए,$mg = \mu m \omega^2 R$,जिसका अर्थ है कि $\omega^2 R = \text{स्थिरांक}$ (यह मानते हुए कि $\mu$ और $m$ सभी स्थितियों के लिए समान हैं)।
इसलिए,$\omega^2 R = C$ (एक स्थिरांक),जिसका अर्थ है कि $\omega \propto \frac{1}{\sqrt{R}}$.
दी गई त्रिज्याओं $R_A < R_B < R_C$ के लिए,यह निष्कर्ष निकलता है कि $\frac{1}{\sqrt{R_A}} > \frac{1}{\sqrt{R_B}} > \frac{1}{\sqrt{R_C}}$.
परिणामस्वरूप,कोणीय वेगों को $\omega_A > \omega_B > \omega_C$ संबंध को संतुष्ट करना होगा।

(D) औसत कोणीय चाल को कुल कोणीय विस्थापन और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
एक पूर्ण चक्कर के लिए कुल कोणीय विस्थापन $\theta_{\text{total}} = 2\pi \ rad$ है।
कुल समय $t_{\text{total}} = 4 \ s + 2 \ s = 6 \ s$ है।
अतः,औसत कोणीय चाल $\omega_{\text{avg}} = \frac{\theta_{\text{total}}}{t_{\text{total}}} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \ rad/s$ होगी।

(C) परिपथ में दो सेल $E_1 = 4 \ V$ और $E_2 = 12 \ V$ विपरीत दिशा में जुड़े हैं और तीन प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं: $1 \ \Omega$ का आंतरिक प्रतिरोध ($12 \ V$ सेल के लिए),$1 \ \Omega$ का आंतरिक प्रतिरोध ($4 \ V$ सेल के लिए) और $8 \ \Omega$ का बाह्य प्रतिरोध।
किरचॉफ के वोल्टेज नियम को लागू करने पर:
$I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{12 \ V - 4 \ V}{8 \ \Omega + 1 \ \Omega + 1 \ \Omega} = \frac{8 \ V}{10 \ \Omega} = 0.8 \ A$.
बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच विभवांतर $8 \ \Omega$ के प्रतिरोधक पर वोल्टेज ड्रॉप है:
$V_{PQ} = I \times R = 0.8 \ A \times 8 \ \Omega = 6.4 \ V$.

(A) एक चालक का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि $R \propto \frac{l}{A}$,$R$ को अधिकतम करने के लिए,हमें अधिकतम लंबाई $l$ और न्यूनतम क्षेत्रफल $A$ की आवश्यकता है।
दिए गए आयामों $1 \ cm, 2 \ cm, 3 \ cm$ के लिए:
अधिकतम प्रतिरोध $R_{\max} = \rho \frac{3 \ cm}{(1 \ cm \times 2 \ cm)} = \rho \frac{3}{2} \ cm^{-1}$.
$R$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें न्यूनतम लंबाई $l$ और अधिकतम क्षेत्रफल $A$ की आवश्यकता है।
न्यूनतम प्रतिरोध $R_{\min} = \rho \frac{1 \ cm}{(2 \ cm \times 3 \ cm)} = \rho \frac{1}{6} \ cm^{-1}$.
अनुपात $\frac{R_{\max}}{R_{\min}} = \frac{\rho \times 1.5}{\rho \times (1/6)} = 1.5 \times 6 = 9$.
अतः,अनुपात $9: 1$ है।

(B) दिया गया है,प्रारंभिक प्रतिरोध $R_1 = 8 \Omega$ है।
अनुदैर्ध्य विकृति $\varepsilon = \frac{\Delta l}{l_1} = 400 \% = 4$ है।
अंतिम लंबाई $l_2 = l_1 + \Delta l = l_1 + 4l_1 = 5l_1$ होगी।
चूंकि तार को खींचने के दौरान उसका आयतन स्थिर रहता है,इसलिए प्रतिरोध $R$ लंबाई के वर्ग के समानुपाती होता है: $R \propto l^2$।
अतः,$\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2$।
मान रखने पर: $\frac{R_2}{8} = \left(\frac{5l_1}{l_1}\right)^2 = 5^2 = 25$।
इस प्रकार,$R_2 = 25 \times 8 = 200 \Omega$।

(D) दिए गए परिपथ का विश्लेषण प्रतिरोधों के श्रेणी और समानांतर संयोजनों की पहचान करके किया जा सकता है।
बिंदुओं $A$ और $D$ के बीच,दो समानांतर शाखाएं हैं: एक में एक प्रतिरोध $R$ है और दूसरी में श्रेणी में दो प्रतिरोध $R$ हैं (बिंदु $A-B$ और $B-D$ के बीच)।
शाखा $A-B-D$ का प्रतिरोध $R + R = 2R$ है।
यह $2R$,बिंदु $A$ और $D$ के बीच सीधे जुड़े प्रतिरोध $R$ के समानांतर है। मान लें कि यह समतुल्य प्रतिरोध $R_{AD}$ है।
$\frac{1}{R_{AD}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} = \frac{3}{2R} \implies R_{AD} = \frac{2R}{3}$.
इसी तरह,बिंदु $B$ और $C$ के बीच,दो समानांतर शाखाएं हैं: एक में एक प्रतिरोध $R$ है (बिंदु $B$ और $C$ के बीच) और दूसरी में श्रेणी में दो प्रतिरोध $R$ हैं (बिंदु $B-D$ और $D-C$ के बीच)।
शाखा $B-D-C$ का प्रतिरोध $R + R = 2R$ है।
यह $2R$,बिंदु $B$ और $C$ के बीच सीधे जुड़े प्रतिरोध $R$ के समानांतर है। मान लें कि यह समतुल्य प्रतिरोध $R_{BC}$ है।
$\frac{1}{R_{BC}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} = \frac{3}{2R} \implies R_{BC} = \frac{2R}{3}$.
परिपथ की समरूपता को देखते हुए,$A$ और $C$ के बीच कुल प्रतिरोध इन ब्लॉकों के श्रेणी संयोजन का योग है। परिपथ $\frac{2R}{3}$ के दो श्रेणी ब्लॉकों में सरल हो जाता है।
कुल प्रतिरोध $R_{AC} = \frac{2R}{3} + \frac{2R}{3} = \frac{4R}{3}$.
दिए गए विकल्पों और ऐसे ब्रिज नेटवर्क की मानक व्याख्या को देखते हुए,यदि परिपथ को संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज माना जाता है,तो प्रतिरोध $R$ है।

(A) इस परिपथ को व्हीटस्टोन ब्रिज के रूप में फिर से बनाया जा सकता है। प्रतिरोध $R_{FC} = 2R$,$R_{FD} = 2R$,$R_{CE} = 2R$ और $R_{DE} = 2R$ हैं। $C$ और $D$ के बीच का प्रतिरोध $2R$ है।
चूँकि $\frac{R_{FC}}{R_{FD}} = \frac{2R}{2R} = 1$ और $\frac{R_{CE}}{R_{DE}} = \frac{2R}{2R} = 1$ है,इसलिए ब्रिज संतुलित है।
अतः,मध्य प्रतिरोध $CD$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होगी।
परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक में $2R$ के दो प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं।
प्रत्येक शाखा का तुल्य प्रतिरोध $2R + 2R = 4R$ है।
इसलिए,शाखा $FC$ से प्रवाहित धारा $I_{FC} = \frac{V}{4R}$ है।

(A) प्रारंभिक वेग $\vec{v_1} = v_0 \hat{i}$,विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = -E_0 \hat{i}$,प्रारंभिक डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \lambda$ है।
इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $\vec{F} = q\vec{E} = -e(-E_0 \hat{i}) = e E_0 \hat{i}$ है।
इलेक्ट्रॉन का त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \left(\frac{e E_0}{m}\right) \hat{i}$ है।
$t$ समय के बाद वेग $\vec{v_2} = \vec{v_1} + \vec{a} t = v_0 \hat{i} + \left(\frac{e E_0 t}{m}\right) \hat{i} = \left(v_0 + \frac{e E_0 t}{m}\right) \hat{i}$ है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है कि $\lambda \propto \frac{1}{v}$ है।
इसलिए,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{v_0}{v_0 + \frac{e E_0 t}{m}} = \frac{v_0}{v_0(1 + \frac{e E_0 t}{m v_0})} = \frac{1}{1 + \frac{e E_0 t}{m v_0}}$ है।
अतः,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{1 + \frac{e E_0 t}{m v_0}}$।

(B) माना प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2$ है। दिया गया है कि गतिज ऊर्जा में $36 \%$ की कमी होती है,इसलिए:
$K_2 = K_1 - 0.36 K_1 = 0.64 K_1$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और गतिज ऊर्जा $K$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}} \Rightarrow \lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$.
अतः,अंतिम तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ और प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ का अनुपात है:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}} = \sqrt{\frac{K_1}{0.64 K_1}} = \sqrt{\frac{1}{0.64}} = \frac{1}{0.8} = 1.25$.
इसका अर्थ है $\lambda_2 = 1.25 \lambda_1$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य में प्रतिशत वृद्धि है:
$\frac{\Delta \lambda}{\lambda_1} \times 100 = \frac{\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1} \times 100 = (1.25 - 1) \times 100 = 25 \%$.

(B) सतह पर आपतित विकिरण का प्रारंभिक संवेग $P_1 = \frac{E}{c}$ है।
चूंकि सतह पूर्णतः परावर्तक है,इसलिए विकिरण समान ऊर्जा $E$ के साथ वापस परावर्तित हो जाता है।
अतः,विकिरण का अंतिम संवेग $P_2 = -\frac{E}{c}$ है (आपतित विकिरण की दिशा को धनात्मक लेते हुए)।
सतह को स्थानांतरित संवेग विकिरण के संवेग में परिवर्तन है,जो $\Delta P = P_1 - P_2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\Delta P = \frac{E}{c} - \left(-\frac{E}{c}\right) = \frac{E}{c} + \frac{E}{c} = \frac{2E}{c}$.

(A) दिया गया है: कार्य फलन $\phi_0 = 4.2 \text{ eV}$,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2000 \text{ Å}$।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{12400}{\lambda(\text{in Å})} \text{ eV} = \frac{12400}{2000} = 6.2 \text{ eV}$।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = E - \phi_0$।
$K_{\max} = 6.2 \text{ eV} - 4.2 \text{ eV} = 2 \text{ eV}$।
गतिज ऊर्जा को जूल में बदलने पर: $K_{\max} = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.2 \times 10^{-19} \text{ J}$।
$K_{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}$ है।
$v_{\max}^2 = \frac{2 \times K_{\max}}{m} = \frac{2 \times 3.2 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}} \approx 0.703 \times 10^{12} \text{ m}^2/\text{s}^2$।
$v_{\max} = \sqrt{0.703 \times 10^{12}} \approx 8.38 \times 10^5 \text{ m/s} \approx 8.4 \times 10^5 \text{ m/s}$।

(A) धातु का कार्य फलन $\phi_0 = 9 \ eV$ दिया गया है।
देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ वह अधिकतम तरंगदैर्ध्य है जो प्रकाश वैद्युत प्रभाव शुरू कर सकती है।
कार्य फलन और देहली तरंगदैर्ध्य के बीच संबंध $\phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ है।
स्थिरांक $hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ का उपयोग करने पर:
$\lambda_0 = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{9 \ eV} \approx 137.77 \ nm$.
नैनोमीटर को मीटर में बदलने पर:
$\lambda_0 \approx 137.77 \times 10^{-9} \ m = 1.3777 \times 10^{-7} \ m$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,हमें $1.37 \times 10^{-7} \ m$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 4500 \ \text{Å} = 4500 \times 10^{-10} \ \text{m}$,शक्ति $P = 150 \ \text{W}$,दक्षता $\eta = 8 \% = 0.08$.
लैंप द्वारा उत्सर्जित प्रकाश की शक्ति $P_{\text{out}} = P \times \eta = 150 \times 0.08 = 12 \ \text{W}$ है।
एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $n = \frac{P_{\text{out}}}{E} = \frac{P_{\text{out}} \times \lambda}{hc}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $n = \frac{12 \times 4500 \times 10^{-10}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8} \approx 2.717 \times 10^{19}$। विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $27.17 \times 10^{18}$ है।

(B) ट्रांसमीटर की शक्ति $P = \frac{n E_{photon}}{t}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ समय $t$ में उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या है और $E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$ है।
अतः,प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $\frac{n}{t} = \frac{P \lambda}{hc}$ है।
दिया गया है: $P = 10 \text{ kW} = 10^4 \text{ W}$,$\lambda = 500 \text{ m}$,$h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J s}$,और $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
मान रखने पर:
$\frac{n}{t} = \frac{10^4 \times 500}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$
$\frac{n}{t} = \frac{5 \times 10^6}{19.89 \times 10^{-26}}$
$\frac{n}{t} \approx 0.251 \times 10^{32} = 2.51 \times 10^{31}$.
अतः,यह $10^{31}$ की कोटि का है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
चूंकि $K_{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$,इसलिए:
$\frac{1}{2}mv_{\max}^2 = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$
$v_{\max} = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)}$
प्रथम पुंज के लिए $\lambda_1 = \frac{\lambda_0}{3}$:
$v_1 = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{3}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0} \right)} = \sqrt{\frac{2hc}{m} \cdot \frac{2}{\lambda_0}}$
द्वितीय पुंज के लिए $\lambda_2 = \frac{\lambda_0}{9}$:
$v_2 = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{9}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0} \right)} = \sqrt{\frac{2hc}{m} \cdot \frac{8}{\lambda_0}}$
अधिकतम वेगों का अनुपात:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{2/\lambda_0}{8/\lambda_0}} = \sqrt{\frac{2}{8}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

(D) दिया गया है: $\lambda_1 = 300 \ nm$,$\lambda_2 = 500 \ nm$,और अधिकतम वेग का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = 3$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए: $E = \phi_0 + K_{max}$,जहाँ $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$ है।
अतः,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$.
दोनों स्थितियों के लिए अनुपात लेने पर:
$\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2 = \frac{E_1 - \phi_0}{E_2 - \phi_0} = \frac{\frac{1240}{\lambda_1} - \phi_0}{\frac{1240}{\lambda_2} - \phi_0}$.
मान रखने पर: $3^2 = \frac{\frac{1240}{300} - \phi_0}{\frac{1240}{500} - \phi_0}$.
$9 = \frac{4.133 - \phi_0}{2.48 - \phi_0}$.
$9(2.48 - \phi_0) = 4.133 - \phi_0$.
$22.32 - 9\phi_0 = 4.133 - \phi_0$.
$8\phi_0 = 18.187$.
$\phi_0 \approx 2.273 \ eV \approx 2.28 \ eV$.

(B) किसी धातु का कार्य फलन $\phi_0$,देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ द्वारा $\phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ के रूप में परिभाषित होता है।
दी गई देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = 5420 Å$ है।
संबंध $\phi_0 (\text{eV में}) = \frac{12400}{\lambda_0 (Å \text{में})}$ का उपयोग करने पर।
मान रखने पर: $\phi_0 = \frac{12400}{5420} eV$.
$\phi_0 \approx 2.29 eV$.
अतः,सोडियम का कार्य फलन $2.29 eV$ है।

(B) दिया गया है:
कार्य फलन,$\phi_0 = 2 \text{ eV}$
अधिकतम गतिज ऊर्जा,$K_{\max} = 2 \text{ eV}$
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$E = \phi_0 + K_{\max}$
$E = 2 \text{ eV} + 2 \text{ eV} = 4 \text{ eV}$
फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
संबंध $\lambda = \frac{12400 \text{ eV Å}}{E \text{ (in eV)}}$ का उपयोग करने पर:
$\lambda = \frac{12400}{4} \text{ Å} = 3100 \text{ Å}$
अतः,आपतित फोटॉन की तरंगदैर्ध्य $3100 \text{ Å}$ है।

(A) प्रेरक में संचित चुंबकीय ऊर्जा $U$ का सूत्र है:
$U = \frac{1}{2} LI^2$
इसका अर्थ है कि $U \propto I^2$ है।
माना प्रारंभिक धारा $I_1 = 2 \ A$ और अंतिम धारा $I_2 = 3 \ A$ है।
अंतिम ऊर्जा $U_2$ और प्रारंभिक ऊर्जा $U_1$ का अनुपात:
$\frac{U_2}{U_1} = \left( \frac{I_2}{I_1} \right)^2 = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} = 2.25$
अतः,$U_2 = 2.25 \ U_1$ है।
संचित ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि:
$\Delta U \% = \left( \frac{U_2 - U_1}{U_1} \times 100 \right) \%$
$\Delta U \% = \left( \frac{2.25 \ U_1 - U_1}{U_1} \times 100 \right) \% = (1.25 \times 100) \% = 125 \%$

(B) सोलेनोइड का प्रेरकत्व $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $L \propto \frac{N^2}{l}$।
जब एक कुंडली को $n = 6$ बराबर भागों में विभाजित किया जाता है,तो प्रत्येक भाग में फेरों की संख्या $N' = \frac{N}{6}$ हो जाती है और प्रत्येक भाग की लंबाई $l' = \frac{l}{6}$ हो जाती है।
प्रत्येक भाग का प्रेरकत्व $L'$ इस प्रकार होगा: $L' = L \left( \frac{N'}{N} \right)^2 \left( \frac{l}{l'} \right) = L \left( \frac{1}{6} \right)^2 \left( \frac{l}{l/6} \right) = L \left( \frac{1}{36} \right) (6) = \frac{L}{6}$।
जब इन $6$ भागों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रेरकत्व $L_e$ का सूत्र $\frac{1}{L_e} = \sum \frac{1}{L'} = \frac{1}{L'} + \frac{1}{L'} + \dots + \frac{1}{L'} = \frac{6}{L'}$ है।
$L' = \frac{L}{6}$ का मान रखने पर,हमें $\frac{1}{L_e} = \frac{6}{L/6} = \frac{36}{L}$ प्राप्त होता है।
अतः,$L_e = \frac{L}{36}$।

(B) जब समान दिशा में धारा ले जाने वाली दो समाक्षीय कुंडलियों को एक-दूसरे के करीब लाया जाता है,तो प्रत्येक कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स बढ़ जाता है।
लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ चुंबकीय फ्लक्स में होने वाले इस परिवर्तन का विरोध करेगा।
फ्लक्स में वृद्धि का विरोध करने के लिए,प्रेरित धारा प्रत्येक कुंडली में मूल धारा की विपरीत दिशा में बहती है।
परिणामस्वरूप,दोनों कुंडलियों में कुल धारा का मान घट जाता है।

(D) दिया गया है: फेरों की संख्या $N = 120$,प्रेरकत्व $L = 40 \text{ mH} = 40 \times 10^{-3} \text{ H}$,धारा $I = 30 \text{ mA} = 30 \times 10^{-3} \text{ A}$.
हम जानते हैं कि कुल फ्लक्स लिंकेज $N\phi = LI$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,कुंडली से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi = \frac{LI}{N}$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\phi = \frac{40 \times 10^{-3} \times 30 \times 10^{-3}}{120}$.
$\phi = \frac{1200 \times 10^{-6}}{120} = 10 \times 10^{-6} \text{ Wb}$.

(B) दिया गया है: भुजा की लंबाई $l = 0.1 \text{ m}$, लूप का प्रतिरोध $R_{loop} = 1 \Omega$, चुंबकीय क्षेत्र $B = 2 \text{ Wb m}^{-2}$, धारा $I = 1 \text{ mA} = 10^{-3} \text{ A}$.
सबसे पहले, लूप से जुड़े प्रतिरोधक नेटवर्क का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें। यह नेटवर्क चार $3 \Omega$ प्रतिरोधकों से बना है। इस नेटवर्क का तुल्य प्रतिरोध $R_{net} = 3 \Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{loop} + R_{net} = 1 \Omega + 3 \Omega = 4 \Omega$ है।
लूप में प्रेरित गतिकीय emf $E = Bvl$ द्वारा दिया जाता है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए, $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{Bvl}{R_{total}}$.
मान रखने पर: $10^{-3} = \frac{2 \times v \times 0.1}{4}$.
$10^{-3} = \frac{0.2v}{4} = 0.05v$.
$v = \frac{10^{-3}}{0.05} = 0.02 \text{ m s}^{-1} = 2 \text{ cm s}^{-1}$.

(C) परिनालिका का स्व-प्रेरकत्व $L$ सूत्र $L = \mu_0 n^2 A l$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $l$ परिनालिका की लंबाई है।
परिनालिकाओं $A$ और $B$ के लिए दिया गया है:
प्रति इकाई लंबाई में फेरों का अनुपात: $\frac{n_A}{n_B} = \frac{1}{3}$
लंबाई का अनुपात: $\frac{l_A}{l_B} = \frac{1}{2}$
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल समान है: $A_A = A_B = A$
चूंकि $L \propto n^2 l$,स्व-प्रेरकत्व का अनुपात होगा:
$\frac{L_A}{L_B} = \left(\frac{n_A}{n_B}\right)^2 \times \left(\frac{l_A}{l_B}\right)$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{L_A}{L_B} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \times \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{18}$
अतः,अनुपात $1: 18$ है।

(B) दिया गया है: पारस्परिक प्रेरण $M = 3 \text{ mH} = 3 \times 10^{-3} \text{ H}$,परिपथ $Y$ का प्रतिरोध $R_2 = 4 \text{ } \Omega$,परिपथ $Y$ में प्रेरित धारा $I_2 = 60 \times 10^{-4} \text{ A}$,समय अंतराल $\Delta t = 0.02 \text{ s}$।
परिपथ $X$ में धारा परिवर्तन के कारण परिपथ $Y$ में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e_2)$ $e_2 = M \frac{\Delta I_1}{\Delta t}$ द्वारा दिया जाता है।
परिपथ $Y$ में प्रेरित धारा $I_2 = \frac{e_2}{R_2}$ है।
$e_2$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I_2 = \frac{M \cdot \Delta I_1}{R_2 \cdot \Delta t}$।
परिपथ $X$ में धारा परिवर्तन $\Delta I_1$ के लिए हल करने पर:
$\Delta I_1 = \frac{I_2 \cdot R_2 \cdot \Delta t}{M}$।
मान रखने पर:
$\Delta I_1 = \frac{60 \times 10^{-4} \times 4 \times 0.02}{3 \times 10^{-3}}$।
$\Delta I_1 = \frac{60 \times 10^{-4} \times 0.08}{3 \times 10^{-3}} = \frac{4.8 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-3}} = 1.6 \times 10^{-1} = 0.16 \text{ A}$।

(C) दिया गया है: धारा में परिवर्तन $\Delta I = 14 \ A - 4 \ A = 10 \ A$.
समय अंतराल $\Delta t = 0.2 \ ms = 0.2 \times 10^{-3} \ s$.
प्रेरित emf $e = 150 \ V$.
प्रेरक में प्रेरित emf का सूत्र $e = L \cdot \frac{\Delta I}{\Delta t}$ है।
मान रखने पर: $150 = L \cdot \frac{10}{0.2 \times 10^{-3}}$.
$150 = L \cdot \frac{10}{2 \times 10^{-4}} = L \cdot 5 \times 10^4$.
$L = \frac{150}{5 \times 10^4} = 30 \times 10^{-4} \ H = 3 \times 10^{-3} \ H = 3 \ mH$.

(C) सौर विकिरण सूर्य द्वारा उत्सर्जित विद्युत चुम्बकीय तरंगों से बना है। विद्युत चुम्बकीय तरंगों के गुणों के अनुसार,वे प्रकृति में अनुप्रस्थ (transverse) होती हैं,जिसका अर्थ है कि दोलन करने वाले विद्युत और चुम्बकीय क्षेत्र तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत होते हैं। इसलिए,सौर विकिरण एक अनुप्रस्थ विद्युत चुम्बकीय $(EM)$ तरंग है।

(C) माध्यम में विद्युतचुंबकीय तरंग की गति $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$ द्वारा दी जाती है।
हम जानते हैं कि $\mu = \mu_0 \mu_r$ और $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$.
अतः,$v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \mu_r \varepsilon_0 \varepsilon_r}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}}$,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
दिया गया है $v = 2 \times 10^8 \ m/s$ और $\mu_r = 1$.
इन मानों को रखने पर: $2 \times 10^8 = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{1 \times \varepsilon_r}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = \frac{9}{\varepsilon_r}$.
अतः,$\varepsilon_r = \frac{9}{4} = 2.25$.

(D) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = B_0 r t \hat{k}$ है।
फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\phi_B}{dt}$ होता है।
$z$-अक्ष पर केंद्रित $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ के लिए,विद्युत क्षेत्र का रेखीय समाकलन $E(2\pi r)$ है।
$r$ त्रिज्या के वृत्ताकार क्षेत्रफल से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi_B = \int_0^r B(r') (2\pi r') dr'$ है।
$B(r') = B_0 r' t$ रखने पर,$\phi_B = \int_0^r (B_0 r' t) (2\pi r') dr' = 2\pi B_0 t \int_0^r r'^2 dr' = 2\pi B_0 t \frac{r^3}{3}$ प्राप्त होता है।
अब,समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d\phi_B}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{2\pi B_0 t r^3}{3} \right) = \frac{2\pi B_0 r^3}{3}$।
परिमाणों की तुलना करने पर: $E(2\pi r) = \frac{2\pi B_0 r^3}{3}$।
अतः,$E = \frac{B_0 r^2}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) एक विद्युतचुंबकीय तरंग में तात्कालिक विद्युत ऊर्जा घनत्व $u_E = 1/2 \epsilon_0 E^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $E = E_0 \sin(\omega t - kx)$,इसलिए $u_E = 1/2 \epsilon_0 E_0^2 \sin^2(\omega t - kx)$ है।
एक पूर्ण चक्र पर $\sin^2(\theta)$ का औसत मान $1/2$ होता है।
इसलिए,औसत विद्युत ऊर्जा घनत्व $\langle u_E \rangle = 1/2 \epsilon_0 E_0^2 \times \langle \sin^2(\omega t - kx) \rangle$ है।
$\langle u_E \rangle = 1/2 \epsilon_0 E_0^2 \times 1/2 = 1/4 \epsilon_0 E_0^2$।

(C) विद्युतचुंबकत्व के सिद्धांतों के अनुसार,विराम अवस्था में स्थित आवेश केवल विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है। एक समान वेग से गतिमान आवेश विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र दोनों उत्पन्न करता है,लेकिन यह ऊर्जा का विकिरण नहीं करता है। एक त्वरित आवेश समय के साथ बदलने वाला विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है,जो बदले में समय के साथ बदलने वाला चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। इस निरंतर प्रक्रिया के परिणामस्वरूप अंतरिक्ष में विद्युतचुंबकीय तरंगों का प्रसार होता है।

(D) विद्युतचुंबकीय तरंग का औसत ऊर्जा घनत्व $U_{av}$ सूत्र $U_{av} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E_0$ अधिकतम विद्युत क्षेत्र है।
दिया गया है $E_{rms} = 660 \ NC^{-1}$।
हम जानते हैं कि $E_0 = \sqrt{2} E_{rms} = \sqrt{2} \times 660 \ NC^{-1}$।
इसे ऊर्जा घनत्व के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$U_{av} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 (\sqrt{2} E_{rms})^2 = \frac{1}{2} \varepsilon_0 (2 E_{rms}^2) = \varepsilon_0 E_{rms}^2$।
$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$ का उपयोग करने पर:
$U_{av} = 8.85 \times 10^{-12} \times (660)^2$।
$U_{av} = 8.85 \times 10^{-12} \times 435600$।
$U_{av} \approx 3.85 \times 10^{-6} \ J \ m^{-3}$।

(A) समतल विद्युतचुंबकीय तरंगों के लिए,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ परस्पर लंबवत होते हैं,अर्थात $\vec{E} \cdot \vec{B} = 0$. साथ ही,संचरण की दिशा $\vec{E} \times \vec{B}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि संचरण $+Z$-दिशा $(\hat{k})$ में है,इसलिए $\vec{E} \times \vec{B} \propto \hat{k}$ होना चाहिए।
विकल्प $A$ की जाँच करने पर: $\vec{E} = (-2 \hat{i} - 3 \hat{j})$ और $\vec{B} = (3 \hat{i} - 2 \hat{j})$.
अदिश गुणनफल: $\vec{E} \cdot \vec{B} = (-2)(3) + (-3)(-2) = -6 + 6 = 0$. यह लंबवतता की शर्त को पूरा करता है।
सदिश गुणनफल: $\vec{E} \times \vec{B} = (-2 \hat{i} - 3 \hat{j}) \times (3 \hat{i} - 2 \hat{j}) = 4(\hat{i} \times \hat{j}) - 9(\hat{j} \times \hat{i}) = 4\hat{k} - 9(-\hat{k}) = 13\hat{k}$.
चूंकि परिणाम $+Z$-दिशा में है,इसलिए विकल्प $A$ सही है।

(C) ठोस पदार्थों की संरचना की जांच $X$-रे विवर्तन (diffraction) का उपयोग करके की जाती है। चूंकि $X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य क्रिस्टल में अंतर-परमाणु दूरी (लगभग $1 \ \text{\AA}$) के क्रम की होती है, इसलिए वे ठोस में परमाणु तलों द्वारा विवर्तित हो जाती हैं। इस घटना का उपयोग पदार्थों की क्रिस्टल संरचना निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

(A) कूलम्ब के नियम के अनुसार,दो आवेशों के बीच का बल $F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$ होता है।
यहाँ $q_1 = 6 \mu C$,$q_2 = 10 \mu C$ और $F = 30 \ N$ है।
अतः,$30 = \frac{k(6)(10)}{r^2} \Rightarrow \frac{k}{r^2} = \frac{30}{60} = 0.5$ है।
अब,यदि प्रत्येक पर $-8 \mu C$ का अतिरिक्त आवेश जोड़ा जाता है,तो नए आवेश होंगे:
$q_1' = 6 \mu C - 8 \mu C = -2 \mu C$
$q_2' = 10 \mu C - 8 \mu C = 2 \mu C$
नया बल $F' = \frac{k q_1' q_2'}{r^2} = \frac{k}{r^2} \times (-2) \times (2)$ होगा।
$\frac{k}{r^2} = 0.5$ का मान रखने पर,$F' = 0.5 \times (-4) = -2 \ N$ प्राप्त होता है।
ऋणात्मक चिह्न आकर्षण बल को दर्शाता है। अतः,वे $2 \ N$ के बल से आकर्षित होते हैं।

(A) कणों द्वारा कोई नेट बल अनुभव न करने के लिए,स्थिर-विद्युत प्रतिकर्षण बल को गुरुत्वाकर्षण आकर्षण बल द्वारा संतुलित होना चाहिए।
$F_e = F_g$
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q^2}{r^2} = \frac{G m^2}{r^2}$
दोनों पक्षों से $r^2$ को हटाने पर:
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} q^2 = G m^2$
$\frac{q}{m}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{q^2}{m^2} = 4 \pi \epsilon_0 G$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{q}{m} = \sqrt{4 \pi \epsilon_0 G}$

(B) प्रारंभिक आवेश $Q_1 = 80 \mu\text{C}$ और $Q_2 = 40 \mu\text{C}$ हैं।
त्रिज्याएँ $r_1 = 4 \text{ cm}$ और $r_2 = 6 \text{ cm}$ हैं।
जब उन्हें एक तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि दोनों गोले समान विभव प्राप्त न कर लें।
गोले $A$ पर नया आवेश $Q_1^{\prime}$ इस प्रकार है:
$Q_1^{\prime} = \left( \frac{r_1}{r_1 + r_2} \right) (Q_1 + Q_2) = \left( \frac{4}{4 + 6} \right) (80 + 40) = \left( \frac{4}{10} \right) (120) = 48 \mu\text{C}$.
गोले $A$ से गोले $B$ में प्रवाहित होने वाला आवेश:
$\Delta Q = Q_1 - Q_1^{\prime} = 80 \mu\text{C} - 48 \mu\text{C} = 32 \mu\text{C}$.
चूंकि परिणाम धनात्मक है,इसलिए आवेश $A$ से $B$ की ओर प्रवाहित होता है।

(D) मान लीजिए $+q$ और $+2q$ के बीच की दूरी $r$ है,और $+2q$ और $+4q$ के बीच की दूरी भी $r$ है। अतः,$+q$ और $+4q$ के बीच की कुल दूरी $2r$ है।
आवेश $+q$ पर लगने वाला कुल स्थिर-विद्युत बल $F_1$,$+2q$ और $+4q$ के कारण लगने वाले बलों का योग है:
$F_1 = \frac{k(q)(2q)}{r^2} + \frac{k(q)(4q)}{(2r)^2} = \frac{2kq^2}{r^2} + \frac{4kq^2}{4r^2} = \frac{2kq^2}{r^2} + \frac{kq^2}{r^2} = \frac{3kq^2}{r^2}$.
आवेश $+4q$ पर लगने वाला कुल स्थिर-विद्युत बल $F_2$,$+2q$ और $+q$ के कारण लगने वाले बलों का योग है:
$F_2 = \frac{k(4q)(2q)}{r^2} + \frac{k(4q)(q)}{(2r)^2} = \frac{8kq^2}{r^2} + \frac{4kq^2}{4r^2} = \frac{8kq^2}{r^2} + \frac{kq^2}{r^2} = \frac{9kq^2}{r^2}$.
आवेशों $+q$ और $+4q$ पर लगने वाले कुल स्थिर-विद्युत बल का अनुपात है:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{3kq^2/r^2}{9kq^2/r^2} = \frac{3}{9} = 1:3$.

(C) विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $\overrightarrow{P}$ वाले द्विध्रुव की निरक्षीय रेखा पर स्थित किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ का सूत्र इस प्रकार है: $\overrightarrow{E} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\overrightarrow{P}}{r^3}$.
यह व्यंजक दर्शाता है कि विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ की दिशा विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $\overrightarrow{P}$ की दिशा के विपरीत है।
चूंकि ये सदिश प्रति-समांतर (anti-parallel) हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $180^{\circ}$ है।

(B) विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण का सूत्र $p = q \cdot l$ है,जहाँ $q$ कुल धनात्मक या ऋणात्मक आवेश का परिमाण है और $l$ आवेशों के केंद्रों के बीच की दूरी है।
एक तटस्थ $NH_3$ अणु के लिए,इलेक्ट्रॉनों (या प्रोटॉन) की कुल संख्या $7 + (3 \times 1) = 10$ है।
अतः,कुल आवेश $q = 10e = 10 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 1.6 \times 10^{-18} \ C$ है।
दिया गया है $p = 5 \times 10^{-30} \ C \cdot m$।
सूत्र $l = \frac{p}{q}$ का उपयोग करने पर:
$l = \frac{5 \times 10^{-30}}{1.6 \times 10^{-18}}$
$l = 3.125 \times 10^{-12} \ m$।

(A) एक समान लंबे सीधे आवेशित तार से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $(E)$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} = \frac{2 k \lambda}{r}$
दिया गया है:
रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = 0.2 \ \mu Cm^{-1} = 0.2 \times 10^{-6} \ Cm^{-1}$
दूरी $r = 3 \ m$
कूलम्ब नियतांक $k = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$
मान रखने पर:
$E = \frac{2 \times (9 \times 10^9) \times (0.2 \times 10^{-6})}{3}$
$E = \frac{18 \times 10^9 \times 0.2 \times 10^{-6}}{3}$
$E = 6 \times 0.2 \times 10^3$
$E = 1.2 \times 10^3 \ Vm^{-1}$

(A) दिया गया है: ड्यूटेरॉन का द्रव्यमान $m = 3.2 \times 10^{-27} \ kg$,ड्यूटेरॉन का आवेश $q = e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \ m/s^2$.
ड्यूटेरॉन को हवा में स्वतंत्र रूप से लटकाने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाले विद्युत बल को नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
बलों को बराबर करने पर: $qE = mg$.
विद्युत क्षेत्र के लिए सूत्र: $E = \frac{mg}{q}$.
मान रखने पर: $E = \frac{3.2 \times 10^{-27} \times 9.8}{1.6 \times 10^{-19}}$.
$E = 2 \times 9.8 \times 10^{-27+19} \ NC^{-1}$.
$E = 19.6 \times 10^{-8} \ NC^{-1}$.

(D) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 0.5 \ g = 0.5 \times 10^{-3} \ kg$
आवेश $q = 10 \ \mu C = 10 \times 10^{-6} \ C$
विद्युत क्षेत्र $E = 8 \ NC^{-1}$
प्रारंभिक वेग $u = 0 \ ms^{-1}$
समय $t = 5 \ s$
कण पर कार्य करने वाला बल $F = qE$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए त्वरण $a = \frac{qE}{m}$ है।
मान रखने पर:
$a = \frac{10 \times 10^{-6} \times 8}{0.5 \times 10^{-3}} = \frac{80 \times 10^{-6}}{0.5 \times 10^{-3}} = 160 \times 10^{-3} = 0.16 \ ms^{-2}$।
गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$v = 0 + (0.16 \times 5) = 0.8 \ ms^{-1}$।

(D) गॉस के प्रमेय के अनुसार,किसी बंद सतह से जुड़ा कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{\text{total}} = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
एक घन के केंद्र पर '$q$' आवेश होने के कारण,इसके सभी छह फलकों से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi_{\text{total}} = \frac{q}{\epsilon_0}$ है।
चूंकि घन सममित है,इसलिए प्रत्येक छह फलक से जुड़ा विद्युत फ्लक्स समान होगा।
अतः,प्रत्येक फलक के लिए फ्लक्स $\phi_{\text{face}} = \frac{\phi_{\text{total}}}{6} = \frac{q}{6 \epsilon_0}$ होगा।

(D) दिया गया है: $\vec{E} = (30 \hat{i} + 40 \hat{j}) \text{ NC}^{-1}$ और $V(0,0) = 0 \text{ V}$।
हम जानते हैं कि विद्युत क्षेत्र और विद्युत विभव के बीच का संबंध $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$d\vec{r} = dx \hat{i} + dy \hat{j} + dz \hat{k}$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से बिंदु $(1,2)$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{V(0,0)}^{V(1,2)} dV = -\int_{(0,0)}^{(1,2)} (30 \hat{i} + 40 \hat{j}) \cdot (dx \hat{i} + dy \hat{j})$
$V(1,2) - V(0,0) = -\left[ \int_{0}^{1} 30 dx + \int_{0}^{2} 40 dy \right]$
$V(1,2) - 0 = -[30(1) + 40(2)]$
$V(1,2) = -(30 + 80) = -110 \text{ V}$.

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \ g = 2 \times 10^{-3} \ kg$,आवेश $q = 6 \ \mu C = 6 \times 10^{-6} \ C$,विभवांतर $V = 60 \ V$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा विद्युत क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य के बराबर होती है:
$K.E. = qV$
$\frac{1}{2}mv^2 = qV$
$v^2 = \frac{2qV}{m}$
$v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$
मान रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{2 \times (6 \times 10^{-6} \ C) \times (60 \ V)}{2 \times 10^{-3} \ kg}}$
$v = \sqrt{\frac{720 \times 10^{-6}}{2 \times 10^{-3}}}$
$v = \sqrt{360 \times 10^{-3}} = \sqrt{0.36} = 0.6 \ ms^{-1}$।

(A) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थिर विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ आवेशों के सभी अद्वितीय युग्मों की स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
तीन आवेशों $q_1, q_2, q_3$ के लिए जो $r_{12}, r_{23}, r_{31}$ दूरियों पर स्थित हैं,स्थितिज ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_3 q_1}{r_{31}} \right)$ है।
यहाँ,$q_1 = q_2 = q_3 = q$ और $r_{12} = r_{23} = r_{31} = L$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q^2}{L} + \frac{q^2}{L} + \frac{q^2}{L} \right)$
$U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{3 q^2}{L}$

(C) $1 \text{ m}$ भुजा वाले वर्ग के कोनों पर दिए गए आवेश:
$q_1 = +1 \times 10^{-8} \text{ C}$
$q_2 = -2 \times 10^{-8} \text{ C}$
$q_3 = +3 \times 10^{-8} \text{ C}$
$q_4 = +2 \times 10^{-8} \text{ C}$
प्रत्येक कोने से वर्ग के केंद्र तक की दूरी $r$, विकर्ण की लंबाई की आधी है:
$r = \frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ m}$
केंद्र पर कुल विद्युत विभव $V$, प्रत्येक आवेश के कारण विभव का बीजगणितीय योग है:
$V = \frac{k}{r} (q_1 + q_2 + q_3 + q_4)$
मान रखने पर:
$V = \frac{9 \times 10^9}{1/\sqrt{2}} (1 - 2 + 3 + 2) \times 10^{-8}$
$V = 9 \sqrt{2} \times 10 \times (4) = 36 \sqrt{2} \times 10 \approx 509.04 \text{ V}$
अतः, निकटतम विकल्प $510 \text{ V}$ है।

(B) दिया गया है:
$q_1 = 5 \text{ nC} = 5 \times 10^{-9} \text{ C}$
$q_2 = -2 \text{ nC} = -2 \times 10^{-9} \text{ C}$
आवेशों के बीच की दूरी $r = (23 - 5) \text{ cm} = 18 \text{ cm} = 18 \times 10^{-2} \text{ m}$ है।
दो बिंदु आवेशों के निकाय की स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ इस प्रकार दी जाती है:
$U = \frac{k q_1 q_2}{r}$
मान रखने पर:
$U = \frac{(9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2) \times (5 \times 10^{-9} \text{ C}) \times (-2 \times 10^{-9} \text{ C})}{18 \times 10^{-2} \text{ m}}$
$U = \frac{9 \times 5 \times (-2) \times 10^{9-9-9}}{18 \times 10^{-2}} \text{ J}$
$U = \frac{-90 \times 10^{-9}}{18 \times 10^{-2}} \text{ J}$
$U = -5 \times 10^{-7} \text{ J}$

(C) दिया गया है:
स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = 1.8 \mu \text{ J} = 1.8 \times 10^{-6} \text{ J}$
दूरी $r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$
आवेश $Q_1 = 4 \text{ nC} = 4 \times 10^{-9} \text{ C}$
कूलम्ब नियतांक $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$
दो आवेशों के निकाय के लिए स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा का सूत्र:
$U = \frac{k Q_1 Q}{r}$
मान रखने पर:
$1.8 \times 10^{-6} = \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-9} \times Q}{0.1}$
$1.8 \times 10^{-6} = \frac{36 \times Q}{0.1}$
$1.8 \times 10^{-6} = 360 \times Q$
$Q = \frac{1.8 \times 10^{-6}}{360}$
$Q = 0.005 \times 10^{-6} \text{ C}$
$Q = 5 \times 10^{-9} \text{ C} = 5 \text{ nC}$

(C) माना प्रत्येक छोटे गोले की त्रिज्या $r$ है और प्रत्येक पर आवेश $q$ है। प्रत्येक छोटे गोले पर विभव $V_s = \frac{kq}{r} = 60 \text{ mV} = 0.06 \text{ V}$ है।
जब $125$ छोटे गोले मिलकर $R$ त्रिज्या का एक बड़ा गोला बनाते हैं, तो आयतन संरक्षित रहता है:
$125 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3 \Rightarrow R^3 = 125 r^3 \Rightarrow R = 5r$.
बड़े गोले पर कुल आवेश $Q = 125q$ है।
बड़े गोले पर विभव $V_B = \frac{kQ}{R} = \frac{k(125q)}{5r} = 25 \times (\frac{kq}{r})$ है।
$V_s$ का मान रखने पर: $V_B = 25 \times 0.06 \text{ V} = 1.5 \text{ V}$.

(D) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र और कुंडली के तल के अभिलंब के बीच का कोण है।
अधिकतम टॉर्क $\tau_{\max} = MB$ (जब $\theta = 90^{\circ}$)।
दिया गया है कि $\tau = 80 \%$ of $\tau_{\max} = 0.8 \tau_{\max} = \frac{4}{5} MB$।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $MB \sin \theta = \frac{4}{5} MB$।
यह $\sin \theta = \frac{4}{5}$ में सरल हो जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan \theta = \frac{4/5}{\sqrt{1 - (4/5)^2}} = \frac{4/5}{\sqrt{9/25}} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$।