AP EAMCET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया है:
छड़ की लंबाई $L = 2 \,m = 200 \,cm$.
गर्म सिरे का तापमान $\theta_1 = 100^{\circ} C$.
ठंडे सिरे का तापमान $\theta_2 = 0^{\circ} C$.
ठंडे सिरे से दूरी $x_2 = 120 \,cm$.
गर्म सिरे से दूरी $x_1 = L - x_2 = 200 \,cm - 120 \,cm = 80 \,cm$.
स्थिर अवस्था में,छड़ के किसी भी अनुप्रस्थ काट से ऊष्मा प्रवाह की दर $(dQ/dt)$ स्थिर रहती है।
चूंकि $dQ/dt = KA(\Delta \theta / \Delta x)$,और छड़ के लिए $K$ और $A$ स्थिर हैं,इसलिए तापमान प्रवणता $(\Delta \theta / \Delta x)$ पूरी छड़ में स्थिर रहनी चाहिए।
अतः,$\frac{\theta_1 - \theta}{x_1} = \frac{\theta - \theta_2}{x_2}$.
मान रखने पर:
$\frac{100^{\circ} C - \theta}{80 \,cm} = \frac{\theta - 0^{\circ} C}{120 \,cm}$.
$120(100 - \theta) = 80\theta$.
$12000 - 120\theta = 80\theta$.
$200\theta = 12000$.
$\theta = \frac{12000}{200} = 60^{\circ} C$.
इस प्रकार,उस बिंदु पर तापमान $60^{\circ} C$ है।

(A) एक आदर्श कृष्णिका अपने ऊपर आपतित $100 \%$ विकिरण को अवशोषित कर लेती है। इसलिए,अवशोषण गुणांक $(a_r)$ को अवशोषित विकिरण की मात्रा $(Q_a)$ और आपतित विकिरण की मात्रा $(Q_i)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि एक आदर्श कृष्णिका के लिए $Q_a = Q_i$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$a_r = \frac{Q_a}{Q_i} = \frac{Q_a}{Q_a} = 1$.

(D) दिया गया है: $T_1 = 0^{\circ} C = (0 + 273) \text{ K} = 273 \text{ K}$.
$T_2 = 273^{\circ} C = (273 + 273) \text{ K} = 546 \text{ K}$.
स्टीफन-बोल्ट्ज़मान के नियम के अनुसार,विकिरण की दर $E$,परम ताप $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है:
$E \propto T^4$.
इसलिए,विकिरण की दरों का अनुपात:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$.
मान रखने पर:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{546}{273}\right)^4 = (2)^4 = 16$.
अतः,$E_2 = 16 E_1 = 16 E \text{ J}s^{-1}$.

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, एक कृष्णिका (black body) द्वारा उत्सर्जित अधिकतम ऊर्जा के संगत तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ उसके परम ताप $(T)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
गणितीय रूप से, $\lambda_m \propto \frac{1}{T}$।
इसे $\lambda_m = \frac{b}{T}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $b$ वीन का नियतांक है।
अतः, $\lambda_m \cdot T = b$, जो एक नियतांक है।

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन के नियम के अनुसार,धातु की सतह से विकिरण के उत्सर्जन की दर $E = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है।
दो स्थितियों के लिए अनुपात लेने पर,$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{A_2}{A_1}\right) \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$ प्राप्त होता है।
दिया गया है:
$A_1 = 8 \ cm \times 4 \ cm = 32 \ cm^2$
$A_2 = 4 \ cm \times 2 \ cm = 8 \ cm^2$
$T_1 = 127 + 273 = 400 \ K$
$T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$
इन मानों को अनुपात सूत्र में रखने पर:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{8}{32}\right) \left(\frac{600}{400}\right)^4$
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{1}{4}\right) \left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{1}{4} \times \frac{81}{16} = \frac{81}{64}$.
अतः,$E_2 = \left(\frac{81}{64}\right) E \ Js^{-1}$।

(A) दिया गया है:
पिंड का तापमान, $T_1 = 3000 \,K$
पिंड के लिए अधिकतम ऊर्जा उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य, $\lambda_1 = 9660 Å$
सूर्य के लिए अधिकतम ऊर्जा उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य, $\lambda_2 = 4950 Å$
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य और परम तापमान का गुणनफल स्थिर रहता है:
$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$
सूर्य का तापमान $(T_2)$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$T_2 = \frac{\lambda_1 T_1}{\lambda_2}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$T_2 = \frac{9660 Å \times 3000 \,K}{4950 Å}$
$T_2 = \frac{28980000}{4950} \,K$
$T_2 \approx 5854.54 \,K$
निकटतम पूर्णांक में लेने पर, $T_2 \approx 5855 \,K$ प्राप्त होता है।

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक नियतांक होता है,अर्थात $\lambda_m T = b$ (नियतांक)।
इसलिए,$\lambda_{m_1} T_1 = \lambda_{m_2} T_2$।
दिया गया है:
$\lambda_{m_1} = 4.08 \ \mu m$
$T_1 = 700 \ K$
$T_2 = 1400 \ K$
मान रखने पर:
$4.08 \times 700 = \lambda_{m_2} \times 1400$
$\lambda_{m_2} = \frac{4.08 \times 700}{1400}$
$\lambda_{m_2} = \frac{4.08}{2} = 2.04 \ \mu m$।
अतः,नई तरंगदैर्ध्य $2.04 \ \mu m$ होगी।

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर: $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ है,जहाँ $T$ वस्तु का तापमान है और $T_s$ परिवेश का तापमान है।
प्रथम अंतराल के लिए: $\frac{60 - 50}{10} = k \left( \frac{60 + 50}{2} - 25 \right) \implies 1 = k(55 - 25) \implies 1 = 30k \implies k = \frac{1}{30}$.
दूसरे अंतराल के लिए,मान लीजिए अंतिम तापमान $T_f$ है: $\frac{50 - T_f}{10} = k \left( \frac{50 + T_f}{2} - 25 \right)$.
$k = \frac{1}{30}$ रखने पर: $\frac{50 - T_f}{10} = \frac{1}{30} \left( \frac{50 + T_f - 50}{2} \right) \implies \frac{50 - T_f}{10} = \frac{T_f}{60}$.
$60$ से गुणा करने पर: $6(50 - T_f) = T_f \implies 300 - 6T_f = T_f \implies 7T_f = 300 \implies T_f = \frac{300}{7} \approx 42.86^{\circ}C$.
विकल्पों में दिए गए निकटतम पूर्णांक मान को लेने पर,उत्तर $43^{\circ}C$ है।

(C) रेखीय प्रसार $\alpha$, क्षेत्रीय प्रसार $\beta$ और आयतन प्रसार $\gamma$ के गुणांकों का अनुपात $\alpha : \beta : \gamma = 1 : 2 : 3$ होता है।
चूंकि $\gamma = 3\alpha$ और $\beta = 2\alpha$ है, इसलिए आयतन प्रसार गुणांक तीनों में सबसे अधिक है।
अतः, जब किसी वस्तु को गर्म किया जाता है, तो उसके आयतन में अधिकतम वृद्धि होती है।

(D) सेल्सियस स्केल तापमान $(C)$ और फारेनहाइट स्केल तापमान $(F)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\frac{C}{5} = \frac{F-32}{9}$
इस समीकरण को $y = mx + c$ के रूप में व्यवस्थित करने पर (जहाँ $y = C$ और $x = F$):
$C = \frac{5}{9}F - \frac{160}{9}$
इसे सरल रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से तुलना करने पर,ग्राफ की ढाल $m = \tan \theta = \frac{5}{9}$ प्राप्त होती है।
चूंकि $\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{5}{9}$,हम एक समकोण त्रिभुज पर विचार कर सकते हैं जिसमें लंब $5$ और आधार $9$ है।
कर्ण की लंबाई $\sqrt{5^2 + 9^2} = \sqrt{25 + 81} = \sqrt{106}$ होगी।
इसलिए,कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{9}{\sqrt{106}}$ होगा।

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,किसी निकाय को दी गई ऊष्मा,निकाय की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन और निकाय द्वारा किए गए कार्य के योग के बराबर होती है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$dQ = dU + dW$
जहाँ:
$dQ$ = निकाय को दी गई ऊष्मा,
$dU$ = निकाय की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन,
$dW$ = निकाय द्वारा किया गया कार्य।

$(A)$ गैस को $V_1 = 2 \,m^3$ से $V_2 = 1 \,m^3$ तक $P = 100 \,N m^{-2}$ के स्थिर दाब पर संपीड़ित किया जाता है।
गैस पर किया गया कार्य $W = -P \Delta V = -100 \times (1 - 2) = 100 \,J$ है।
नोट: गैस द्वारा किया गया कार्य $P \Delta V = -100 \,J$ है,इसलिए गैस पर किया गया कार्य $+100 \,J$ है।
निकाय को दी गई ऊष्मा $Q = 150 \,J$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = Q + W_{on}$।
$\Delta U = 150 \,J + 100 \,J = 250 \,J$।
अतः,आंतरिक ऊर्जा $250 \,J$ बढ़ जाती है।

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ है।
यहाँ,गैस $30 \,J$ ऊष्मा छोड़ती है,इसलिए $\Delta Q = -30 \,J$ है।
गैस पर कार्य किया जाता है,इसलिए $\Delta W = -10 \,J$ है।
प्रारंभिक आंतरिक ऊर्जा $U_i = 10 \,J$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $-30 = (U_f - U_i) + (-10)$।
$-30 = U_f - 10 - 10$।
$-30 = U_f - 20$।
$U_f = -30 + 20 = -10 \,J$।

(A) आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = \frac{f}{2} n R \Delta T = \frac{f}{2} (P_2 V_2 - P_1 V_1)$ द्वारा दिया जाता है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ है।
दिए गए $P-V$ आरेख से,बिंदु $A$ पर,$P_1 = 5 \text{ kPa} = 5 \times 10^3 \text{ Pa}$ और $V_1 = 4 \text{ m}^3$ है।
बिंदु $B$ पर,$P_2 = 2 \text{ kPa} = 2 \times 10^3 \text{ Pa}$ और $V_2 = 6 \text{ m}^3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta U = \frac{5}{2} (P_2 V_2 - P_1 V_1)$
$\Delta U = \frac{5}{2} [(2 \times 10^3 \times 6) - (5 \times 10^3 \times 4)]$
$\Delta U = \frac{5}{2} [12 \times 10^3 - 20 \times 10^3]$
$\Delta U = \frac{5}{2} [-8 \times 10^3]$
$\Delta U = 5 \times (-4 \times 10^3) = -20 \times 10^3 \text{ J} = -20 \text{ kJ}$.

(B) ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम बताता है कि किसी निकाय की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन,निकाय को दी गई ऊष्मा और निकाय द्वारा किए गए कार्य के अंतर के बराबर होता है,जिसे $\Delta U = Q - W$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
यह नियम अनिवार्य रूप से ऊष्मागतिक निकायों पर लागू ऊर्जा संरक्षण के नियम का ही एक कथन है।
इसका तात्पर्य यह है कि ऊर्जा को न तो उत्पन्न किया जा सकता है और न ही नष्ट किया जा सकता है,इसे केवल एक रूप से दूसरे रूप में,जैसे ऊष्मा और कार्य में परिवर्तित किया जा सकता है।

(C) कार्नो इंजन की दक्षता का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान (केल्विन में) है।
दिया गया है: $\eta = 30\% = 0.3$ और $T_1 = 500 \ K$.
सूत्र में मान रखने पर:
$0.3 = 1 - \frac{T_2}{500}$
$\frac{T_2}{500} = 1 - 0.3 = 0.7$
$T_2 = 0.7 \times 500 = 350 \ K$.
तापमान को केल्विन से सेल्सियस में बदलने के लिए,हम $T(^{\circ}C) = T(K) - 273$ संबंध का उपयोग करते हैं।
$T_2 = 350 - 273 = 77^{\circ} C$.

(B) रेफ्रिजरेटर एक ऐसा उपकरण है जो कम तापमान वाले जलाशय (अंदर) से ऊष्मा निकालता है और सिस्टम पर कार्य करके इसे उच्च तापमान वाले जलाशय (कमरे) में स्थानांतरित करता है।
जब एक चालू रेफ्रिजरेटर का दरवाजा खुला रखा जाता है,तो रेफ्रिजरेटर लगातार कमरे से ऊष्मा निकालता है और इसे कंप्रेसर द्वारा किए गए कार्य से उत्पन्न ऊष्मा के साथ कमरे में वापस छोड़ देता है।
चूंकि कंप्रेसर विद्युत ऊर्जा का उपभोग करता है और इसे ऊष्मा में परिवर्तित करता है,इसलिए कमरे में छोड़ी गई कुल ऊष्मा कमरे से निकाली गई ऊष्मा से अधिक होती है।
इसलिए,शुद्ध प्रभाव कमरे की कुल तापीय ऊर्जा में वृद्धि है,जिससे कमरे का तापमान बढ़ जाता है।

(B) हीट इंजन की दक्षता को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$
जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि दक्षता $\eta$ तापमान के अंतर $(T_1 - T_2)$ के सीधे आनुपातिक है।
इसलिए,जैसे-जैसे स्रोत और सिंक के बीच तापमान का अंतर बढ़ता है,हीट इंजन की दक्षता बढ़ती है।

(C) एक आदर्श ऊष्मा इंजन के लिए,दक्षता $\eta$ इस प्रकार दी जाती है:
$\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$
इससे हमें प्राप्त होता है:
$\frac{T_2}{T_1} = 1 - \eta$
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{1 - \eta} \quad \dots (i)$
जब ऊष्मा इंजन को विपरीत दिशा में संचालित किया जाता है,तो यह एक रेफ्रिजरेटर के रूप में कार्य करता है। निष्पादन गुणांक $\beta$ इस प्रकार है:
$\beta = \frac{Q_2}{W} = \frac{Q_2}{Q_1 - Q_2} = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$
अंश और हर को $T_2$ से विभाजित करने पर:
$\beta = \frac{1}{\frac{T_1}{T_2} - 1}$
समीकरण $(i)$ से मान रखने पर:
$\beta = \frac{1}{\frac{1}{1 - \eta} - 1} = \frac{1}{\frac{1 - (1 - \eta)}{1 - \eta}} = \frac{1 - \eta}{\eta} = \frac{1}{\eta} - 1$

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता का सूत्र है: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ ...$(i)$
जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
$100 \%$ दक्षता के लिए,हम $\eta = 1$ रखते हैं।
समीकरण $(i)$ में यह मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $1 = 1 - \frac{T_2}{T_1}$।
इसे सरल करने पर $\frac{T_2}{T_1} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $T_2 = 0$।
अतः,कार्नोट इंजन की दक्षता $100 \%$ केवल तभी होती है जब सिंक का तापमान परम शून्य $(0 \ K)$ के बराबर हो।

(B) कार्नो इंजन द्वारा ली गई ऊष्मा,$Q = 3 \times 10^6 \text{ cal} = 4.2 \times 3 \times 10^6 \text{ J} = 12.6 \times 10^6 \text{ J}$.
स्रोत का तापमान,$T_1 = (627 + 273) \text{ K} = 900 \text{ K}$.
सिंक का तापमान,$T_2 = (27 + 273) \text{ K} = 300 \text{ K}$.
कार्नो इंजन की दक्षता $\eta = \frac{W}{Q} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{W}{12.6 \times 10^6} = 1 - \frac{300}{900}$.
$\frac{W}{12.6 \times 10^6} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
$W = \frac{2}{3} \times 12.6 \times 10^6 \text{ J} = 8.4 \times 10^6 \text{ J}$.

(A) रेफ्रिजरेटर का निष्पादन गुणांक $(\beta)$ ठंडे भंडार से निकाली गई ऊष्मा $(Q)$ और सिस्टम पर किए गए कार्य $(W)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\beta = \frac{Q}{W}$
दिया गया है:
$\beta = 5$
$Q = 5000 \,J$
हमें मोटर द्वारा उपयोग की गई विद्युत ऊर्जा ज्ञात करनी है, जो किए गए कार्य $(W)$ के बराबर होती है:
$W = \frac{Q}{\beta}$
$W = \frac{5000 \,J}{5} = 1000 \,J$
चूंकि $1000 \,J = 1 \,kJ$, इसलिए उपयोग की गई विद्युत ऊर्जा $1 \,kJ$ है।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
दिया गया है $\eta = 1/3$,इसलिए $\frac{1}{3} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,जिसका अर्थ है $\frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।
जब सिंक का तापमान $40 \%$ कम किया जाता है,तो नया सिंक तापमान $T_2^{\prime} = T_2 - 0.40 T_2 = 0.6 T_2$ हो जाता है।
नई दक्षता $\eta^{\prime} = 1 - \frac{T_2^{\prime}}{T_1} = 1 - \frac{0.6 T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2}{3}$ का मान रखने पर,हमें $\eta^{\prime} = 1 - 0.6 \times \frac{2}{3} = 1 - 0.4 = 0.6$ प्राप्त होता है।
प्रतिशत में बदलने पर,$\eta^{\prime} = 0.6 \times 100 \% = 60 \%$ होगा।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता का सूत्र है: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान (केल्विन में) है।
दिया गया है: $\eta_1 = 25 \% = 0.25$ और $T_2 = 27^{\circ} C = 300 \ K$.
मान रखने पर: $0.25 = 1 - \frac{300}{T_1} \Rightarrow \frac{300}{T_1} = 0.75 \Rightarrow T_1 = \frac{300}{0.75} = 400 \ K$.
अब,दक्षता को बढ़ाकर $\eta_2 = 40 \% = 0.4$ करना है जबकि $T_1$ को $400 \ K$ पर स्थिर रखना है।
माना नया सिंक तापमान $T_2'$ है।
तब,$0.4 = 1 - \frac{T_2'}{400} \Rightarrow \frac{T_2'}{400} = 1 - 0.4 = 0.6$.
$T_2' = 0.6 \times 400 = 240 \ K$.

(D) अवस्था परिवर्तन (फेज ट्रांजिशन) के दौरान किसी निकाय की एन्ट्रॉपी उसमें शामिल ऊष्मा विनिमय द्वारा निर्धारित होती है।
एन्ट्रॉपी में परिवर्तन $\Delta S = \frac{Q}{T}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Q$ विनिमय की गई ऊष्मा है और $T$ परम तापमान है।
गलनांक (melting) या वाष्पीकरण (vaporization) के दौरान,निकाय द्वारा ऊष्मा अवशोषित की जाती है $(Q > 0)$,इसलिए एन्ट्रॉपी बढ़ती है।
जमने (freezing) या संघनन (condensation) के दौरान,निकाय द्वारा ऊष्मा मुक्त की जाती है $(Q < 0)$,इसलिए एन्ट्रॉपी घटती है।
अतः,अवस्था परिवर्तन के दौरान,निकाय की एन्ट्रॉपी परिवर्तन की दिशा के आधार पर बढ़ या घट सकती है।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ को सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दिया जाता है।
दक्षता $\eta$ को अधिकतम करने के लिए,भिन्न $\frac{T_2}{T_1}$ का मान यथासंभव छोटा होना चाहिए।
यह तब होता है जब अंश $T_2$ (सिंक का तापमान) यथासंभव कम हो और हर $T_1$ (स्रोत का तापमान) यथासंभव अधिक हो।
इसलिए,दक्षता तब अधिकतम होती है जब $T_1$ अधिक हो और $T_2$ कम हो।

(C) समतापीय प्रक्रिया के लिए,समीकरण $pV = K$ है।
दोनों पक्षों का $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $p + V \frac{dp}{dV} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\left(\frac{dp}{dV}\right)_{\text{iso}} = -\frac{p}{V}$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,समीकरण $pV^{\gamma} = K'$ है।
दोनों पक्षों का $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dp}{dV} V^{\gamma} + p \gamma V^{\gamma-1} = 0$ प्राप्त होता है।
इसे व्यवस्थित करने पर $\left(\frac{dp}{dV}\right)_{\text{adia}} = -\gamma \frac{p}{V}$ प्राप्त होता है।
समतापीय वक्र के ढाल और रुद्धोष्म वक्र के ढाल का अनुपात लेने पर:
$\frac{(\frac{dp}{dV})_{\text{iso}}}{(\frac{dp}{dV})_{\text{adia}}} = \frac{-p/V}{-\gamma p/V} = \frac{1}{\gamma}$।

(C) मुक्त प्रसार में,एक आदर्श गैस को निर्वात में फैलने दिया जाता है।
चूंकि यह प्रसार शून्य बाहरी दबाव $(P_{ext} = 0)$ के विरुद्ध होता है,इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य $W = P_{ext} \Delta V = 0$ होता है।
इसके अतिरिक्त,मुक्त प्रसार को आमतौर पर रुद्धोष्म $(Q = 0)$ माना जाता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = Q - W$।
मान रखने पर,$\Delta U = 0 - 0 = 0$।
अतः,मुक्त प्रसार के दौरान आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

(C) दिया गया है,स्थिर दाब पर ऊष्मा $Q_p = 306 \ J$.
मोलों की संख्या,$n = 2$.
तापमान में परिवर्तन,$\Delta T = 35 - 25 = 10 \ K$.
हम जानते हैं कि $Q_p = n C_p \Delta T$.
मान रखने पर: $306 = 2 \times C_p \times 10$.
अतः,$C_p = \frac{306}{20} = 15.3 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$.
मेयर के संबंध के अनुसार,$C_p - C_V = R$.
$R \approx 8.314 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$ का उपयोग करने पर,$C_V = 15.3 - 8.314 = 6.986 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$.
स्थिर आयतन पर आवश्यक ऊष्मा $Q_V = n C_V \Delta T$ है।
$Q_V = 2 \times 6.986 \times 10 = 139.72 \ J \approx 140 \ J$.

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,संबंध इस प्रकार है:
$dQ = dW + dU$ ...$(i)$
जहाँ $dQ$ दी गई ऊष्मा है,$dW$ किया गया कार्य है,और $dU$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है।
समतापीय प्रक्रिया के लिए,निकाय का तापमान स्थिर रहता है।
चूंकि आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान का फलन है,इसलिए समतापीय प्रक्रिया के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $dU = 0$ होता है।
समीकरण $(i)$ में $dU = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$dQ = dW + 0$
$dQ = dW$
अतः,$dQ = dW$ की स्थिति समतापीय प्रक्रिया के लिए सही है।

(A) एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$। चूँकि $\Delta U = 0$ है,इसलिए अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q$ निकाय द्वारा किए गए कार्य $W$ के बराबर होती है।
$P-V$ आरेख में किया गया कार्य $W$ चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi \times a \times b$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ और $b$ अर्ध-दीर्घ और अर्ध-लघु अक्ष हैं।
ग्राफ से,दबाव की सीमा $100 \text{ kPa}$ से $300 \text{ kPa}$ है,इसलिए अर्ध-अक्ष $a = \frac{300 - 100}{2} = 100 \text{ kPa} = 10^5 \text{ Pa}$।
आयतन की सीमा $200 \text{ cc}$ से $400 \text{ cc}$ है,इसलिए अर्ध-अक्ष $b = \frac{400 - 200}{2} = 100 \text{ cc} = 100 \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 10^{-4} \text{ m}^3$।
अतः,$W = \pi \times (10^5 \text{ Pa}) \times (10^{-4} \text{ m}^3) = 10 \pi \text{ J}$।
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$W = 10 \times 3.14 = 31.4 \text{ J}$।
इस प्रकार,अवशोषित ऊष्मा $31.4 \text{ J}$ है।

(C) ऊष्मागतिक अवस्था चर वे गुण हैं जो केवल निकाय की वर्तमान स्थिति पर निर्भर करते हैं,न कि उस स्थिति तक पहुँचने के लिए अपनाए गए पथ पर।
दाब $(P)$,आयतन $(V)$ और तापमान $(T)$ अवस्था चर के उदाहरण हैं।
कार्य $(W)$ एक पथ फलन है,जिसका अर्थ है कि इसका मान अवस्थाओं के बीच संक्रमण के लिए अपनाई गई विशिष्ट प्रक्रिया या पथ पर निर्भर करता है।
इसलिए,कार्य पदार्थ की ऊष्मागतिक अवस्था को अभिलक्षित नहीं करता है।

(A) हम जानते हैं कि $r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच लगने वाला स्थिर वैद्युत बल $F$,कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r^2}$
परावैद्युतांक $\varepsilon_0$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\varepsilon_0 = \frac{q_1 q_2}{4 \pi F r^2}$
अब,प्रत्येक भौतिक राशि के लिए विमीय सूत्र प्रतिस्थापित करने पर:
$[q] = [AT]$
$[F] = [MLT^{-2}]$
$[r] = [L]$
$\varepsilon_0$ के व्यंजक में इन मानों को रखने पर:
$[\varepsilon_0] = \frac{[AT][AT]}{[MLT^{-2}][L^2]} = \frac{[A^2 T^2]}{[ML^3 T^{-2}]}$
$[\varepsilon_0] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$

(B) कार्य का विमीय सूत्र $[W] = [F] \times [s] = [MLT^{-2}][L] = [ML^2 T^{-2}]$ है।
कोणीय संवेग का विमीय सूत्र $[L] = [m][v][r] = [M][LT^{-1}][L] = [ML^2 T^{-1}]$ है।
बल आघूर्ण (टॉर्क) का विमीय सूत्र $[\tau] = [F] \times [r] = [MLT^{-2}][L] = [ML^2 T^{-2}]$ है।
स्थितिज ऊर्जा का विमीय सूत्र $[U] = [m][g][h] = [M][LT^{-2}][L] = [ML^2 T^{-2}]$ है।
रेखीय संवेग का विमीय सूत्र $[p] = [m][v] = [M][LT^{-1}] = [MLT^{-1}]$ है।
गतिज ऊर्जा का विमीय सूत्र $[K] = [M][v^2] = [M][LT^{-1}]^2 = [ML^2 T^{-2}]$ है।
वेग का विमीय सूत्र $[v] = [LT^{-1}]$ है।
अतः,कार्य और बल आघूर्ण दोनों की विमाएँ $[ML^2 T^{-2}]$ समान हैं। इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि किन राशियों की विमाएँ समान हैं,हम उनके विमीय सूत्रों का विश्लेषण करते हैं:
$1$. कार्य $(W)$ को बल $\times$ विस्थापन के रूप में परिभाषित किया गया है। इसकी विमा $[ML^2T^{-2}]$ है।
$2$. बल आघूर्ण $(\tau)$ को बल $\times$ लंबवत दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है। इसकी विमा $[ML^2T^{-2}]$ है।
$3$. चूंकि कार्य और बल आघूर्ण दोनों का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-2}]$ समान है,इसलिए ये समान विमाओं वाली भौतिक राशियाँ हैं।
$4$. अन्य विकल्प: बल $[MLT^{-2}]$ है,शक्ति $[ML^2T^{-3}]$ है,गुप्त ऊष्मा $[L^2T^{-2}]$ है,और विशिष्ट ऊष्मा $[L^2T^{-2}K^{-1}]$ है। अतः,केवल कार्य और बल आघूर्ण समान हैं।

(D) लंबाई की $SI$ इकाई $1 \ m$ है।
दिया गया है कि लंबाई की नई इकाई $x \ m$ है।
इसलिए,$1 \ m = \frac{1}{x}$ नई इकाइयाँ।
हमें $1 \ m^2$ क्षेत्रफल को नई इकाई के संदर्भ में व्यक्त करना है।
क्षेत्रफल $= 1 \ m^2 = 1 \ m \times 1 \ m$.
$1 \ m$ का मान नई इकाई में रखने पर:
क्षेत्रफल $= (\frac{1}{x} \text{ नई इकाइयाँ}) \times (\frac{1}{x} \text{ नई इकाइयाँ}) = \frac{1}{x^2} \text{ (नई इकाइयाँ)}^2$.
अतः,इसका परिमाण $\frac{1}{x^2}$ है।

(B) प्रकाश वर्ष खगोलीय दूरी का एक मात्रक है,समय का नहीं। इसे उस दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है जो प्रकाश निर्वात में एक वर्ष में तय करता है,जो लगभग $9.4607 \times 10^{12} \ km$ है।
चंद्र मास,लीप वर्ष और माइक्रोसेकंड सभी समय मापने के मात्रक हैं।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) समतल तरंग $y=a \sin (\omega t-k x)$ द्वारा दी गई है।
$t=0$ पर,विस्थापन $y=a \sin (-k x) = -a \sin (k x)$ है।
कण का वेग $v_{pa}$ विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$v_{pa} = \frac{\partial y}{\partial t} = a \omega \cos (\omega t - k x)$.
$t=0$ पर,$v_{pa} = a \omega \cos (-k x) = a \omega \cos (k x)$.
$k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ का उपयोग करने पर,हमें $v_{pa} = a \omega \cos \left( \frac{2 \pi x}{\lambda} \right)$ प्राप्त होता है।
$x=0$ पर,$v_{pa} = a \omega$.
$x=\frac{\lambda}{4}$ पर,$v_{pa} = a \omega \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$.
$x=\frac{\lambda}{2}$ पर,$v_{pa} = a \omega \cos (\pi) = -a \omega$.
यह एक कोसाइन ग्राफ है जो धनात्मक अधिकतम मान से शुरू होता है। दिए गए विकल्पों को देखने पर,$v_{pa} = a \omega \cos (kx)$ के अनुरूप ग्राफ विकल्प $A$ है।

(C) खींचे हुए तार में अनुप्रस्थ तरंग की गति का सूत्र है:
$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
जहाँ $T$ तार में तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि $\mu = \frac{M}{l} = \frac{A \cdot l \cdot \rho}{l} = A \cdot \rho$,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\rho$ पदार्थ का घनत्व है,इसलिए गति:
$v = \sqrt{\frac{T}{A \rho}}$
यह दर्शाता है कि $v \propto \sqrt{\frac{T}{A}}$.
दिया गया है कि नया क्षेत्रफल $A_2 = \frac{A_1}{2}$ और नया तनाव $T_2 = 2T_1$ है,इसलिए नई गति $v_2$ और प्रारंभिक गति $v_1$ का अनुपात:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1} \times \frac{A_1}{A_2}}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{2T_1}{T_1} \times \frac{A_1}{A_1/2}} = \sqrt{2 \times 2} = \sqrt{4} = 2$
अतः,$v_2 = 2v_1$,जिसका अर्थ है कि $k = 2$.

(D) दिया गया है, ट्यूनिंग फोर्क $X$ और $Y$ की आवृत्तियाँ:
$n_X = 280 \,Hz$
$n_Y = 284 \,Hz$
माना ट्यूनिंग फोर्क $Z$ की आवृत्ति $n_Z$ है और $X$ तथा $Z$ द्वारा उत्पन्न बीट आवृत्ति $b$ है।
पहली शर्त के अनुसार, $b = |n_Z - 280|$।
दूसरी शर्त के अनुसार, $Y$ और $Z$ द्वारा उत्पन्न बीट आवृत्ति $3b$ है, इसलिए $3b = |n_Z - 284|$।
स्थिति $1$: यदि $n_Z > 284$ है, तो $n_Z - 280 = b$ और $n_Z - 284 = 3b$। $b$ का मान रखने पर, $n_Z - 284 = 3(n_Z - 280) \Rightarrow n_Z - 284 = 3n_Z - 840 \Rightarrow 2n_Z = 556 \Rightarrow n_Z = 278 \,Hz$। यह $n_Z > 284$ की धारणा के विपरीत है।
स्थिति $2$: यदि $n_Z < 280$ है, तो $280 - n_Z = b$ और $284 - n_Z = 3b$। $b$ का मान रखने पर, $284 - n_Z = 3(280 - n_Z) \Rightarrow 284 - n_Z = 840 - 3n_Z \Rightarrow 2n_Z = 556 \Rightarrow n_Z = 278 \,Hz$। यह $n_Z < 280$ की धारणा के साथ संगत है।
अतः, $Z$ की आवृत्ति $278 \,Hz$ है।

(A) मान लीजिए कि ध्वनि की गति $v$ है और स्रोत की वास्तविक आवृत्ति $f$ है।
दिया गया है कि स्रोत एक स्थिर श्रोता की ओर $v_s = v/10$ की गति से बढ़ रहा है।
डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ता है,तो सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $f^{\prime}$ इस प्रकार दी जाती है:
$f^{\prime} = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
$v_s$ का मान रखने पर:
$f^{\prime} = f \left( \frac{v}{v - v/10} \right)$
$f^{\prime} = f \left( \frac{v}{9v/10} \right)$
$f^{\prime} = f \left( \frac{10}{9} \right)$
अतः,आभासी आवृत्ति और वास्तविक आवृत्ति का अनुपात है:
$\frac{f^{\prime}}{f} = \frac{10}{9}$

(A) स्रोत स्थिर है,इसलिए स्रोत का वेग $v_s = 0$ है। प्रेक्षक $v_o$ वेग से स्रोत की ओर गति कर रहा है।
डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,प्रेक्षित आवृत्ति $f$ इस प्रकार दी जाती है:
$f = \left( \frac{v + v_o}{v} \right) f_o$
यह दिया गया है कि प्रेक्षित आवृत्ति वास्तविक आवृत्ति $f_o$ से $1\%$ अधिक है,इसलिए:
$f = f_o + 0.01 f_o = 1.01 f_o$
इस मान को डॉप्लर सूत्र में रखने पर:
$1.01 f_o = \left( \frac{v + v_o}{v} \right) f_o$
$1.01 = 1 + \frac{v_o}{v}$
$0.01 = \frac{v_o}{v}$
$\frac{v_o}{v} = \frac{1}{100}$
अतः,प्रेक्षक के वेग और ध्वनि के वेग का अनुपात $1:100$ है।

(D) जब समान आवृत्ति $f$ और समान आयाम $a$ वाली दो तरंगें अध्यारोपित होती हैं,तो परिणामी आयाम $A$ कलांतर पर निर्भर करता है। संपोषी व्यतिकरण (अधिकतम तीव्रता) मानते हुए,परिणामी आयाम $A = a + a = 2 a$ होता है।
चूंकि किसी तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम के वर्ग के सीधे आनुपातिक होती है,इसलिए $I \propto A^2$ होता है।
$A$ का मान रखने पर,हमें $I \propto (2 a)^2 = 4 a^2$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल तीव्रता $4 a^2$ के सीधे आनुपातिक है।

(B) आवृत्ति, $f = 1000 \,Hz$.
$6$ क्रमिक निस्पंद बिंदुओं के बीच की कुल दूरी $d = 85 \,cm = 0.85 \,m$ है।
अप्रगामी तरंग में, दो क्रमिक निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
इसलिए, $6$ क्रमिक निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी (जिसमें $\frac{\lambda}{2}$ के $5$ अंतराल होते हैं) इस प्रकार दी जाती है:
$d = 5 \times \frac{\lambda}{2} = \frac{5 \lambda}{2}$.
इसे दी गई दूरी के बराबर रखने पर:
$\frac{5 \lambda}{2} = 0.85 \,m$.
$\lambda = \frac{0.85 \times 2}{5} = 0.34 \,m$.
ध्वनि की चाल $v$ का सूत्र $v = f \lambda$ है।
$v = 1000 \,Hz \times 0.34 \,m = 340 \,ms^{-1}$.

(C) अप्रगामी तरंग (stationary wave) में,नोड $(N)$ न्यूनतम विस्थापन (शून्य आयाम) वाले बिंदु होते हैं,और एंटी-नोड $(A)$ अधिकतम विस्थापन (अधिकतम आयाम) वाले बिंदु होते हैं।
दो क्रमिक नोड्स के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
दो क्रमिक एंटी-नोड्स के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
एक नोड और अगले क्रमिक एंटी-नोड के बीच की दूरी,दो क्रमिक नोड्स के बीच की दूरी की आधी होती है,जो $\frac{1}{2} \times \frac{\lambda}{2} = \frac{\lambda}{4}$ है।
अतः,क्रमिक नोड और एंटी-नोड के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{4}$ है।

(B) ध्वनि तरंग की तीव्रता $(I)$ उसके आयाम $(A)$ के वर्ग के सीधे आनुपातिक होती है।
$I \propto A^2$
इसलिए,तीव्रताओं का अनुपात आयामों के अनुपात से इस प्रकार संबंधित है:
$\frac{I_{\text{reflected}}}{I_{\text{incident}}} = \left( \frac{A_{\text{reflected}}}{A_{\text{incident}}} \right)^2$
यह दिया गया है कि तीव्रता में $20 \%$ की कमी होती है,इसलिए परावर्तित तीव्रता है:
$I_{\text{reflected}} = I_{\text{incident}} - 0.20 I_{\text{incident}} = 0.8 I_{\text{incident}} = \frac{4}{5} I_{\text{incident}}$
इसे अनुपात समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\frac{4}{5} I_{\text{incident}}}{I_{\text{incident}}} = \left( \frac{A_{\text{reflected}}}{A} \right)^2$
$\frac{4}{5} = \left( \frac{A_{\text{reflected}}}{A} \right)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$A_{\text{reflected}} = \sqrt{\frac{4}{5}} A = \frac{2}{\sqrt{5}} A$

(B) दी गई तरंग समीकरण $y=0.03 \sin (\pi[2 t-0.01 x])$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर,हमें $y=0.03 \sin (2\pi t - 0.01\pi x)$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना मानक तरंग समीकरण $y=A \sin (\omega t - kx)$ से करने पर,हम तरंग संख्या $k = 0.01\pi \ rad/m$ प्राप्त करते हैं।
दो कणों के बीच पथ अंतर $\Delta x = 25 \ m$ दिया गया है।
कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ है।
मान रखने पर,$\Delta \phi = (0.01\pi) \times 25 = 0.25\pi$ प्राप्त होता है।
$0.25\pi$ को भिन्न में बदलने पर,हमें $\Delta \phi = \frac{1}{4}\pi = \frac{\pi}{4} \ rad$ प्राप्त होता है।

(C) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $x = A \cos(\omega t - ky)$ है।
दिए गए समीकरण $x = 0.4 \cos \left(8t - \frac{y}{2}\right)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 8 \ rad \cdot s^{-1}$
तरंग संख्या $k = \frac{1}{2} \ m^{-1}$
तरंग की गति $v$ का सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ है।
मान रखने पर,$v = \frac{8}{1/2} = 8 \times 2 = 16 \ m \cdot s^{-1}$।
अतः,तरंग की गति $16 \ m \cdot s^{-1}$ है।

(D) तने हुए तार के मूल स्वर की आवृत्ति $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है,$l$ लंबाई है,और $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूँकि $m = \text{Area} \times \text{density} = \frac{\pi d^2}{4} \rho$,इसलिए $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi d^2 \rho / 4}} = \frac{1}{ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
यह दिया गया है कि $T$,$l$,और $\rho$ स्थिर हैं,इसलिए $f \propto \frac{1}{d}$.
अतः,$\frac{f_2}{f_1} = \frac{d_1}{d_2} = \frac{0.90}{0.93} \approx 0.9677$.
आवृत्ति में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{f_2 - f_1}{f_1} \times 100 = \left( \frac{f_2}{f_1} - 1 \right) \times 100$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\left( \frac{0.90}{0.93} - 1 \right) \times 100 = \left( \frac{0.90 - 0.93}{0.93} \right) \times 100 = \left( \frac{-0.03}{0.93} \right) \times 100 \approx -3.22 \%$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,प्रतिशत परिवर्तन $-3.2 \%$ है।

(B) ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = 4 \,m$ है और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \,ms^{-2}$ है।
ऊर्ध्वाधर वृत्त में एक पूर्ण चक्कर पूरा करने के लिए सबसे निचले बिंदु पर आवश्यक न्यूनतम क्षैतिज गति $v$ का सूत्र $v = \sqrt{5gr}$ है।
सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
$v = \sqrt{5 \times 9.8 \times 4}$
$v = \sqrt{196}$
$v = 14 \,ms^{-1}$.
अतः, आवश्यक न्यूनतम क्षैतिज गति $14 \,ms^{-1}$ है।

(A) जेनर डायोड को रिवर्स ब्रेकडाउन क्षेत्र में काम करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
इसे प्राप्त करने के लिए, $p-n$ जंक्शन को दोनों तरफ से भारी डोपिंग (heavily doped) किया जाता है।
इस भारी डोपिंग के कारण, डिप्लेशन क्षेत्र बहुत पतला ($10^{-6} \,m$ से कम) हो जाता है।
यह पतली डिप्लेशन परत जंक्शन पर बहुत उच्च विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करती है, यहाँ तक कि कम रिवर्स बायस वोल्टेज पर भी, जो जेनर ब्रेकडाउन को सुगम बनाता है।

(D) $1$. डायोड के बायसिंग का विश्लेषण करें:
- $A$ पर विभव $V_A = -10 \text{ V}$ है।
- $B$ पर विभव $V_B = -2 \text{ V}$ है।
- डायोड $A$ (ऊपरी शाखा) के लिए: एनोड $A$ $(-10 \text{ V})$ से जुड़ा है और कैथोड जंक्शन बिंदु से जुड़ा है। चूंकि $V_A < V_B$,डायोड $A$ रिवर्स बायस में है।
- डायोड $B$ (निचली शाखा) के लिए: एनोड जंक्शन बिंदु से जुड़ा है और कैथोड $B$ $(-2 \text{ V})$ से जुड़ा है। जंक्शन पर विभव $-10 \text{ V}$ और $-2 \text{ V}$ के बीच होगा,इसलिए डायोड $B$ भी रिवर्स बायस में है।
$2$. तुल्य परिपथ:
- चूंकि दोनों डायोड रिवर्स बायस में हैं,वे ओपन सर्किट (अनंत प्रतिरोध) के रूप में कार्य करते हैं।
- डायोड वाली शाखाओं से धारा प्रवाहित नहीं हो सकती है।
- यदि हम परिपथ के शेष भागों पर विचार करें,तो $8 \Omega$ और $12 \Omega$ श्रेणीक्रम में होने के कारण कुल प्रतिरोध $8 + 12 = 20 \Omega$ प्राप्त होता है।

(C) $p-n-p$ ट्रांजिस्टर के लिए कॉमन बेस एम्पलीफायर में, करंट गेन $\alpha = 0.96$ है।
दिया गया एमिटर करंट, $I_E = 7.2 \,mA$ है।
हम जानते हैं कि करंट गेन का सूत्र: $\alpha = \frac{I_C}{I_E}$ होता है।
मान रखने पर: $0.96 = \frac{I_C}{7.2}$।
कलेक्टर करंट की गणना करने पर: $I_C = 0.96 \times 7.2 = 6.912 \,mA$।
हम यह भी जानते हैं कि एमिटर करंट, कलेक्टर करंट और बेस करंट का योग होता है: $I_E = I_C + I_B$।
इसलिए, बेस करंट $I_B = I_E - I_C$ होगा।
$I_B = 7.2 \,mA - 6.912 \,mA = 0.288 \,mA$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, हमें $I_B \simeq 0.29 \,mA$ प्राप्त होता है।

(D) ट्रांजिस्टर ऑसिलेटर इकाई के ट्यून्ड सर्किट के लिए,दिए गए मान हैं:
$L = 5 mH = 5 \times 10^{-3} H$
$C = 5 pF = 5 \times 10^{-12} F$
ऑसिलेटर की प्राकृतिक आवृत्ति $f$ का सूत्र है:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
मान रखने पर:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{5 \times 10^{-3} \times 5 \times 10^{-12}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{25 \times 10^{-15}}}$
गणना करने पर:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{2.5 \times 10^{-14}}} = \frac{1}{2 \pi \times 1.581 \times 10^{-7}}$
$f = \frac{10^7}{9.93} \approx 1.006 \times 10^6 Hz = 1 MHz$.

(A) परिपथ $(i)$ के लिए: शॉर्ट किए गए इनपुट वाले दो $NAND$ गेट $NOT$ गेट के रूप में कार्य करते हैं। अंतिम $NAND$ गेट के इनपुट $\bar{A}$ और $\bar{B}$ हैं।
आउटपुट $C = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$ है। यह $OR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
परिपथ (ii) के लिए: पहला $NAND$ गेट $\overline{AB}$ उत्पन्न करता है। शॉर्ट किए गए इनपुट वाला दूसरा $NAND$ गेट $NOT$ गेट के रूप में कार्य करता है,जो सिग्नल को उलट देता है।
आउटपुट $C = \overline{\overline{AB}} = AB$ है। यह $AND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

(B) फोटोडायोड एक अर्धचालक उपकरण है जो प्रकाश को विद्युत धारा में परिवर्तित करता है।
जब अर्धचालक की बैंडगैप ऊर्जा से अधिक ऊर्जा वाला प्रकाश $p-n$ जंक्शन पर गिरता है,तो इलेक्ट्रॉन-होल जोड़े उत्पन्न होते हैं।
उत्पन्न इलेक्ट्रॉन-होल जोड़ों की संख्या आपतित फोटॉनों की संख्या के सीधे आनुपातिक होती है।
चूंकि प्रकाश की तीव्रता को प्रति इकाई समय में प्रति इकाई क्षेत्रफल पर आपतित फोटॉनों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए उत्पन्न फोटोकरंट (और ओपन-सर्किट स्थितियों में परिणामी $emf$) आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे आनुपातिक होता है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$,$\phi = \oint \vec{E} \cdot \overrightarrow{ds} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $Q = \varepsilon_0 \oint \vec{E} \cdot \overrightarrow{ds}$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $\varepsilon_0 \vec{E} \cdot \overrightarrow{ds}$ के आयाम आवेश $Q$ के आयाम के समान हैं।

(B) फ्रौनहोफर विवर्तन पैटर्न में,द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए शर्त इस प्रकार दी जाती है:
$\theta = (2n + 1) \frac{\lambda}{2a}$
प्रथम द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए,हम $n = 1$ लेते हैं:
$\theta = (2(1) + 1) \frac{\lambda}{2a} = \frac{3 \lambda}{2a}$
$D$ दूरी पर स्थित पर्दे पर केंद्रीय उच्चिष्ठ से द्वितीयक उच्चिष्ठ की दूरी $x = D \tan \theta$ द्वारा दी जाती है। छोटे कोणों के लिए,$\tan \theta \approx \theta$ लेने पर:
$x = D \theta = D \left( \frac{3 \lambda}{2a} \right) = \frac{3 D \lambda}{2a}$

(D) विवर्तन प्रकाश के तरंगदैर्ध्य के तुलनीय आकार के किसी अवरोध या द्वारक के कोनों से प्रकाश के मुड़ने की घटना है।
महत्वपूर्ण विवर्तन होने के लिए,द्वारक या अवरोध का आकार $a$ आपतित प्रकाश के तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बराबर या उससे छोटा होना चाहिए।
गणितीय रूप से,इस शर्त को $\frac{a}{\lambda} \leq 1$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(D) पतली फिल्म में परावर्तित प्रकाश के लिए संपोषी व्यतिकरण (constructive interference) की शर्त $2 \mu d \cos r = n \lambda$ है।
यहाँ फिल्म की मोटाई $d = 2.9 \times 10^{-4} \ mm = 2.9 \times 10^{-7} \ m$ है।
लंबवत आपतन के लिए,$\cos r = 1$ और वायु के लिए अपवर्तनांक $\mu = 1$ है।
पथ अंतर $\Delta = 2d = 2 \times 2.9 \times 10^{-7} \ m = 5.8 \times 10^{-7} \ m = 580 \ nm$ है।
संपोषी व्यतिकरण के लिए शर्त $2d = n \lambda$ है।
यदि $n = 1$ लिया जाए,तो $\lambda = 580 \ nm$ प्राप्त होता है।
चूंकि पीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $580 \ nm$ है,इसलिए यह संपोषी व्यतिकरण प्रदर्शित करता है और प्रबलता से परावर्तित होता है।
अतः,परावर्तित प्रकाश का रंग पीला दिखाई देता है।

(B) आकृति के अनुसार,बिंदु $P$ और बिंदु $Q$ समान कला में हैं।
$\triangle POR$ में,$\cos \theta = \frac{PR}{OP} = \frac{d}{OP}$,जिससे $OP = \frac{d}{\cos \theta} \quad \dots(i)$ प्राप्त होता है।
आकृति की ज्यामिति के अनुसार,किरण $BP$ और परावर्तित किरण $OP$ के बीच पथ अंतर $\Delta = OP + OQ = OP(1 + \cos 2\theta) = 2d \cos \theta$ होता है।
संपोषी व्यतिकरण के लिए,परावर्तन के कारण होने वाले कला परिवर्तन को ध्यान में रखते हुए,पथ अंतर $\Delta = \frac{\lambda}{2}$ लिया जाता है।
अतः,$2d \cos \theta = \frac{\lambda}{2}$,जिसे सरल करने पर $\cos \theta = \frac{\lambda}{4d}$ प्राप्त होता है।

(B) सीमित दूरी पर स्थित एक बिंदु स्रोत गोलाकार तरंगाग्र उत्पन्न करता है। जैसे-जैसे स्रोत से दूरी बढ़ती है,गोले की त्रिज्या बहुत बड़ी हो जाती है,और इस तरंगाग्र का एक छोटा हिस्सा समतल तरंगाग्र के रूप में दिखाई देता है। एक विस्तृत स्रोत या अनंत दूरी पर स्थित एक बिंदु स्रोत (जैसे सूर्य) समतल तरंगाग्र उत्पन्न करता है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त फ्रिंज) के लिए शर्त यह है कि पथांतर $\Delta x$,$\frac{\lambda}{2}$ का विषम गुणज होना चाहिए।
प्रथम अदीप्त फ्रिंज के लिए,पथांतर $\Delta x = \frac{\lambda}{2}$ है।
कलांतर $\Delta \phi$ और पथांतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
सूत्र में $\Delta x = \frac{\lambda}{2}$ रखने पर:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{2} = \pi$.
अतः,कलांतर $\pi$ है।