AP EAMCET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा $K = \frac{3}{2} RT$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है $K \propto T$।
चूंकि गतिज ऊर्जा ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए इसका न्यूनतम मान शून्य हो सकता है।
अतः,न्यूनतम संभव तापमान $0 \ K$ है,जिस पर आणविक गति रुक जाती है।
इसे सेल्सियस में बदलने पर: $T(^{\circ} C) = T(K) - 273 = 0 - 273 = -273^{\circ} C$।

(C) गैस का रूट मीन स्क्वायर (rms) वेग सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
इससे हम देख सकते हैं कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ है।
यहाँ $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \,K$ और $v_1 = 500 \,m \cdot s^{-1}$ दिया गया है।
$T_2 = 927^{\circ} C = 927 + 273 = 1200 \,K$ दिया गया है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
$\frac{v_2}{500} = \sqrt{\frac{1200}{300}} = \sqrt{4} = 2$.
इसलिए,$v_2 = 500 \times 2 = 1000 \,m \cdot s^{-1}$।

(C) तीन संगामी बलों के संतुलन में होने के लिए,उन्हें त्रिभुज असमानता प्रमेय को संतुष्ट करना चाहिए,जो कहता है कि किन्हीं दो बलों का योग तीसरे बल से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए $(F_1 + F_2 \ge F_3)$।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(a)$ $3 + 5 = 8 < 10$। चूँकि $8 < 10$ है,इसलिए ये बल संतुलन में नहीं हो सकते।
$(b)$ $3 + 5 = 8 < 9$। चूँकि $8 < 9$ है,इसलिए ये बल संतुलन में नहीं हो सकते।
$(c)$ $3 + 5 = 8 > 6$। चूँकि $8 > 6$ है,इसलिए ये बल एक त्रिभुज बना सकते हैं और इस प्रकार संतुलन में हो सकते हैं।
$(d)$ $3 + 5 = 8 < 15$। चूँकि $8 < 15$ है,इसलिए ये बल संतुलन में नहीं हो सकते।

(A) जब $m$ द्रव्यमान का एक पिंड $a$ त्वरण के साथ नत समतल पर नीचे की ओर फिसलता है,तो पिंड पर कार्य करने वाले बल इस प्रकार हैं:
$1$. समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $mg \sin \theta$ है।
$2$. अभिलंब प्रतिक्रिया बल $R$,$mg \cos \theta$ के बराबर है।
$3$. समतल के ऊपर की ओर कार्य करने वाला घर्षण बल $f = \mu R = \mu mg \cos \theta$ है।
समतल के अनुदिश न्यूटन के गति के दूसरे नियम को लागू करने पर:
$ma = mg \sin \theta - f$
$ma = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$
दोनों पक्षों को $m$ से विभाजित करने पर:
$a = g \sin \theta - \mu g \cos \theta$
$a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$

(B) $10 \,kg$ और $40 \,kg$ के ब्लॉक के बीच स्थैतिक घर्षण बल इस प्रकार है:
$F_s = \mu_s R = 0.6 \times (10 \,kg) \times (9.8 \,ms^{-2}) = 58.8 \,N$
यहाँ,लगाया गया बल $(F = 100 \,N)$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $(58.8 \,N)$ से अधिक है,इसलिए $10 \,kg$ का ब्लॉक $40 \,kg$ के स्लैब के सापेक्ष गति करेगा।
इस सापेक्ष गति के कारण,$40 \,kg$ के स्लैब पर लगने वाला गतिज घर्षण बल है:
$f_k = \mu_k R = 0.4 \times (10 \,kg) \times (9.8 \,ms^{-2}) = 39.2 \,N$
यह गतिज घर्षण बल $f_k$ ही $40 \,kg$ के स्लैब पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल है।
इसलिए,$40 \,kg$ के स्लैब का त्वरण $a$ है:
$a = \frac{f_k}{m_{slab}} = \frac{39.2 \,N}{40 \,kg} = 0.98 \,ms^{-2}$

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \ kg$,प्रारंभिक वेग $\vec{u} = (30 \hat{i} + 40 \hat{j}) \ m/s$,और बल $\vec{F} = -(\hat{i} + 5 \hat{j}) \ N$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{-(\hat{i} + 5 \hat{j})}{5} = (-0.2 \hat{i} - 1 \hat{j}) \ m/s^2$ है।
किसी भी समय $t$ पर वेग $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$ द्वारा दिया जाता है।
घटकों को प्रतिस्थापित करने पर,वेग का $y$-घटक $v_y = u_y + a_y t$ है।
यहाँ,$u_y = 40 \ m/s$ और $a_y = -1 \ m/s^2$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $v_y = 0$ हो।
$0 = 40 + (-1)t$.
$t = 40 \ s$.

(C) वस्तु का द्रव्यमान,$m = 1.0 \,kg$.
नीचे गिरती हुई वस्तु का त्वरण,$a = 10 \,ms^{-2}$.
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \,ms^{-2}$.
$a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर त्वरित फ्रेम में वस्तु का आभासी भार $W_{app}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W_{app} = m(g - a)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $W_{app} = 1.0 \times (10 - 10) = 1.0 \times 0 = 0 \,N$.
अतः,वस्तु का आभासी भार $0$ है।

(B) मान लीजिए $F$ गुब्बारे पर कार्य करने वाला ऊपर की ओर उत्प्लावन बल है।
पहले मामले में,$M$ द्रव्यमान का गुब्बारा $a$ त्वरण के साथ नीचे उतरता है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार:
$M g - F = M a \Rightarrow F = M g - M a$ ...$(i)$
दूसरे मामले में,$M^{\prime}$ द्रव्यमान हटा दिया जाता है,इसलिए नया द्रव्यमान $(M - M^{\prime})$ है। अब गुब्बारा $a$ त्वरण के साथ ऊपर उठता है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार:
$F - (M - M^{\prime}) g = (M - M^{\prime}) a$
समीकरण $(i)$ से $F$ का मान रखने पर:
$(M g - M a) - (M - M^{\prime}) g = (M - M^{\prime}) a$
$M g - M a - M g + M^{\prime} g = M a - M^{\prime} a$
$M^{\prime} g + M^{\prime} a = M a + M a$
$M^{\prime} (g + a) = 2 M a$
$M^{\prime} = \frac{2 M a}{g + a}$

(B) माना कि बल $F$ लगाने पर ब्लॉकों की प्रणाली का सामान्य त्वरण $a$ है।
पूरी प्रणाली के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार:
$F = (M_P + M_Q) a$
$\Rightarrow a = \frac{F}{M_P + M_Q}$
अब,ब्लॉक $Q$ का फ्री बॉडी डायग्राम देखें। ब्लॉक $Q$ पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल ब्लॉक $P$ द्वारा लगाया गया संपर्क बल $R$ है।
ब्लॉक $Q$ पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$R = M_Q a$
$a$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$R = M_Q \left( \frac{F}{M_P + M_Q} \right)$
$R = \frac{M_Q F}{M_P + M_Q}$

(A) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी वस्तु पर लगाया गया बल उसके संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,बल $F$ को संवेग में परिवर्तन $\Delta P$ और समय अंतराल $\Delta t$ के अनुपात द्वारा व्यक्त किया जाता है:
$F = \frac{\Delta P}{\Delta t}$
दिया गया है:
बल $F = 2 \ N$
संवेग में परिवर्तन $\Delta P = 0.4 \ kg \ m \ s^{-1}$
समय $\Delta t$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\Delta t = \frac{\Delta P}{F}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\Delta t = \frac{0.4}{2} = 0.2 \ s$
अतः,लगा समय $0.2 \ s$ है।

(C) प्रकृति में चार मूलभूत बल गुरुत्वाकर्षण बल $(F_{G})$,दुर्बल नाभिकीय बल $(F_{W})$,विद्युत-चुंबकीय बल $(F_{E})$ और प्रबल नाभिकीय बल $(F_{N})$ हैं।
इनकी सापेक्ष प्रबलता लगभग इस प्रकार है:
$F_{G} \approx 1$
$F_{W} \approx 10^{25}$
$F_{E} \approx 10^{36}$
$F_{N} \approx 10^{38}$
अतः,$F_{G}: F_{W}: F_{E}: F_{N}$ का अनुपात $1: 10^{25}: 10^{36}: 10^{38}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$F_{G}: F_{N}: F_{E}: F_{W}$ के लिए सबसे निकटतम अनुपात $1: 10^{38}: 10^{36}: 10^{26}$ है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(B) जब बस अचानक मुड़ती है,तो यात्री एक बल का अनुभव करते हैं जो उन्हें बाहर की ओर धकेलता है। यह घटना जड़त्व (Inertia) के गुण के कारण होती है,विशेष रूप से दिशा के जड़त्व के कारण। न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,कोई वस्तु तब तक अपनी सीधी रेखा में गति की स्थिति में बनी रहती है जब तक कि उस पर कोई बाहरी बल न लगाया जाए। जब बस मुड़ती है,तो यात्री के शरीर का निचला हिस्सा बस के साथ मुड़ जाता है,लेकिन शरीर का ऊपरी हिस्सा जड़त्व के कारण अपनी मूल गति की दिशा को बनाए रखने की कोशिश करता है,जिससे यात्री बस के सापेक्ष बाहर की ओर झुक जाता है या फेंका जाता है।

(C) किसी पिंड के लिए ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार गति को पूरा करने के लिए,उच्चतम बिंदु पर पिंड पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण $(mg)$ और अभिलंब प्रतिक्रिया $(N)$ हैं।
उच्चतम बिंदु पर,कुल अभिकेंद्र बल गुरुत्वाकर्षण और अभिलंब प्रतिक्रिया का योग होता है: $mg + N = \frac{mv^2}{r}$।
न्यूनतम गति ज्ञात करने के लिए,हम उस सीमांत स्थिति पर विचार करते हैं जहाँ पिंड के उच्चतम बिंदु से गुजरते ही अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ शून्य हो जाती है।
अतः,$mg = \frac{mv_{min}^2}{r}$।
$v_{min}$ के लिए हल करने पर,हमें $v_{min}^2 = gr$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v_{min} = \sqrt{gr}$।
इसलिए,स्टंटमैन को ट्रैक के उच्चतम बिंदु पर जो न्यूनतम गति बनाए रखनी चाहिए,वह $\sqrt{gr}$ है।

(B) माना लोलक के गोलक का द्रव्यमान $m$ है और डोरी की लंबाई $l$ है। डोरी का द्रव्यमान केंद्र आधार बिंदु से $l/2$ दूरी पर है।
जब लोलक को $90^{\circ}$ पर विस्थापित करके छोड़ा जाता है,तो स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $m g (l/2) = (1/2) m v^2$.
इससे $v^2 = g l$ प्राप्त होता है।
माध्य स्थिति पर,डोरी में तनाव $T$ भार $m g$ को संतुलित करता है और आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = m v^2 / r$ प्रदान करता है,जहाँ $r = l/2$ द्रव्यमान केंद्र की आधार बिंदु से दूरी है।
इसलिए,$T = m g + (m v^2) / (l/2)$.
समीकरण में $v^2 = g l$ रखने पर:
$T = m g + (2 m / l) \cdot (g l) = m g + 2 m g = 3 m g$.
अतः,डोरी की न्यूनतम मजबूती $3 m g$ होनी चाहिए।

(D) जब किसी स्प्रिंग को दोनों सिरों पर बल लगाकर खींचा जाता है, तो स्प्रिंग में तनाव को उस बल के परिमाण के रूप में परिभाषित किया जाता है जो संतुलन की स्थिति में स्प्रिंग के किसी भी एक सिरे पर कार्य करता है।
इस मामले में, दोनों सिरों पर विपरीत दिशाओं में $5 \,N$ का बल लगाया गया है।
इसलिए, स्प्रिंग में तनाव लगाए गए बल के परिमाण के बराबर होगा, जो कि $5 \,N$ है।

(A) गुरुत्वीय त्वरण के लिए सूत्र दिया गया है: $g = 4 \pi^2 \frac{L}{T^2}$.
$g$ में सापेक्ष त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम त्रुटि प्रसार के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
यहाँ $L$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = \pm 2 \%$ और $T$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = \pm 3 \%$ है।
इन मानों को त्रुटि समीकरण में रखने पर:
$\frac{\Delta g}{g} \times 100 = \left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta T}{T} \times 100 \right)$.
$\frac{\Delta g}{g} \times 100 = \pm 2 \% + 2 \times (\pm 3 \%) = \pm 2 \% + \pm 6 \% = \pm 8 \%$.
अतः,अनुमानित $g$ में त्रुटि $\pm 8 \%$ होगी।

(D) किसी तरल में डूबी हुई वस्तु का आभासी भार इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W_{app} = W_{actual} - F_B$, जहाँ $W_{actual}$ वास्तविक भार है और $F_B$ उत्प्लावन बल है।
$V$ आयतन और $\rho_{obj}$ घनत्व वाली वस्तु के लिए, जो $\rho_{fluid}$ घनत्व वाले तरल में डूबी है, उत्प्लावन बल $F_B = V \rho_{fluid} g$ होता है।
थैली का वास्तविक भार $W_{actual} = m g = V \rho_{obj} g$ है।
चूंकि थैली में पानी भरा है, इसलिए वस्तु (पानी) का घनत्व आसपास के तरल (पानी) के घनत्व के बराबर है, अर्थात $\rho_{obj} = \rho_{fluid}$।
इसलिए, $W_{app} = V \rho_{obj} g - V \rho_{fluid} g = 0$।
अतः, स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक $0 \,kg$ होगा।

(D) $\text{ब्लॉक का द्रव्यमान},m = 0.5 \,kg$.
$\text{पीतल का घनत्व},\rho = 8 \times 10^3 \,kg \,m^{-3}$.
$\text{ब्लॉक का आयतन},V = \frac{m}{\rho} = \frac{0.5}{8 \times 10^3} = 6.25 \times 10^{-5} \,m^3$.
$\text{जब ब्लॉक पूरी तरह से पानी में डूबा होता है,तो उस पर लगने वाला उत्प्लावन बल } F_b \text{ विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है}:$
$F_b = V \cdot \rho_w \cdot g = (6.25 \times 10^{-5} \,m^3) \times (10^3 \,kg \,m^{-3}) \times (10 \,ms^{-2}) = 0.625 \,N$.
$\text{डोरी में तनाव } T,\text{ब्लॉक के भार और उत्प्लावन बल का अंतर होता है}:$
$T = mg - F_b = (0.5 \,kg \times 10 \,ms^{-2}) - 0.625 \,N = 5 \,N - 0.625 \,N = 4.375 \,N$.
$\text{भिन्न में बदलने पर}: 4.375 = \frac{4375}{1000} = \frac{35}{8} \,N$.

(D) धातु के ब्लॉक का घनत्व,$\rho = 5 \text{ g cm}^{-3}$।
ब्लॉक का आयतन,$V = 5 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} = 125 \text{ cm}^3$।
ब्लॉक का द्रव्यमान,$m = \rho \times V = 5 \times 125 = 625 \text{ g}$।
हवा में ब्लॉक का भार,$W = m \times g = 625 \text{ gf}$।
पानी में धातु के ब्लॉक पर लगने वाला उत्प्लावन बल,$F_u = \text{विस्थापित पानी का आयतन} \times \text{पानी का घनत्व} \times g$।
चूंकि $\rho_w = 1 \text{ g cm}^{-3}$,इसलिए $F_u = 125 \text{ cm}^3 \times 1 \text{ g cm}^{-3} = 125 \text{ gf}$।
आभासी भार = हवा में भार - उत्प्लावन बल।
आभासी भार $= 625 \text{ gf} - 125 \text{ gf} = 500 \text{ gf}$।
इसे दिए गए प्रारूप में व्यक्त करने पर: $500 = 5 \times 5 \times 5 \times 4 \text{ gf}$।

(D) आर्किमिडीज का ऊपर की ओर बल (उत्प्लावन बल) को किसी वस्तु द्वारा विस्थापित तरल के भार के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से, उत्प्लावन बल $F_B = V \rho g$ है, जहाँ $V$ विस्थापित तरल का आयतन है, $\rho$ तरल का घनत्व है, और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
यदि गुरुत्वाकर्षण न हो, तो $g = 0$ होगा, जिसका अर्थ है कि उत्प्लावन बल $F_B = 0$ होगा।
श्यानता, पृष्ठ तनाव, और दाब (अंतराण्विक बलों या बाहरी दाब के कारण स्थिर तरल में) अपने अस्तित्व के लिए गुरुत्वाकर्षण पर निर्भर नहीं करते हैं।
इसलिए, गुरुत्वाकर्षण की अनुपस्थिति में आर्किमिडीज का ऊपर की ओर बल मौजूद नहीं होगा।

(C) बोइंग विमान का द्रव्यमान $M = 3.3 \times 10^5 \text{ kg}$ है।
पंखों का कुल क्षेत्रफल $A = 500 \text{ m}^2$ है।
समतल उड़ान में,पंखों की निचली और ऊपरी सतहों के बीच दबाव के अंतर के कारण उत्पन्न ऊपर की ओर लगने वाला लिफ्ट बल विमान के वजन को संतुलित करता है।
इसलिए,ऊपर की ओर लगने वाला बल $F = \Delta p \times A$,जहाँ $\Delta p$ दबाव का अंतर है।
लिफ्ट बल को वजन के बराबर करने पर: $\Delta p \times A = M \times g$.
$g = 9.8 \text{ m/s}^2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta p = \frac{M \times g}{A} = \frac{3.3 \times 10^5 \times 9.8}{500}$.
$\Delta p = \frac{32.34 \times 10^5}{500} = 0.06468 \times 10^5 \text{ N/m}^2$.
$\Delta p = 6.468 \times 10^3 \text{ N/m}^2 \approx 6.5 \times 10^3 \text{ N/m}^2$.

(A) दिया गया है: पहले पाइप का व्यास,$d_1 = 2 \,cm$। त्रिज्या $r_1 = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$।
दूसरे पाइप का व्यास,$d_2 = 4 \,cm$। त्रिज्या $r_2 = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$।
असंपीड्य तरल के लिए सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,आयतन प्रवाह दर स्थिर रहती है: $A_1 v_1 = A_2 v_2$।
यहाँ,$A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
मान रखने पर: $\pi (r_1)^2 v_1 = \pi (r_2)^2 v_2$।
$(10^{-2})^2 v_1 = (2 \times 10^{-2})^2 v_2$।
$10^{-4} v_1 = 4 \times 10^{-4} v_2$।
$v_1 = 4 v_2$।
अतः,$2 \,cm$ व्यास वाले पाइप में प्रवाह का वेग $4 \,cm$ व्यास वाले पाइप के वेग का $4$ गुना है।

(A) सांतत्य समीकरण के अनुसार,धारा रेखीय प्रवाह में एक असंपीड्य तरल के लिए,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ और वेग $v$ का गुणनफल स्थिर रहता है $(A_1v_1 = A_2v_2)$।
पाइप के सबसे संकरे भाग पर,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ न्यूनतम होता है,जिसका अर्थ है कि वेग $v$ अधिकतम होना चाहिए।
क्षैतिज प्रवाह के लिए बर्नौली के प्रमेय के अनुसार,प्रति इकाई आयतन में दबाव ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है:
$p + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{स्थिरांक}$
चूंकि सबसे संकरे भाग पर वेग $v$ अधिकतम है,इसलिए योग को स्थिर रखने के लिए दबाव $p$ न्यूनतम होना चाहिए।
अतः,सबसे संकरे भाग पर वेग अधिकतम और दबाव न्यूनतम होता है।

(B) दिया गया है: होज़ पाइप का आंतरिक व्यास, $d_1 = 4 \,cm$। त्रिज्या $r_1 = \frac{d_1}{2} = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$।
होज़ पाइप से पानी की गति, $v_1 = 1 \,ms^{-1}$।
नोजल से पानी की गति, $v_2 = 4 \,ms^{-1}$।
मान लीजिए नोजल का व्यास $d_2$ है और इसकी त्रिज्या $r_2$ है।
असंपीड्य तरल के लिए निरंतरता के समीकरण (equation of continuity) के अनुसार, $A_1 v_1 = A_2 v_2$।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है $\pi r_1^2 v_1 = \pi r_2^2 v_2$।
$r_2^2 = \frac{r_1^2 v_1}{v_2} = \frac{(2 \times 10^{-2} \,m)^2 \times 1 \,ms^{-1}}{4 \,ms^{-1}}$।
$r_2^2 = \frac{4 \times 10^{-4}}{4} \,m^2 = 10^{-4} \,m^2$।
वर्गमूल लेने पर, $r_2 = 10^{-2} \,m = 1 \,cm$।
नोजल का व्यास $d_2 = 2 r_2 = 2 \times 1 \,cm = 2 \,cm$ है।

(C) जब $\rho$ घनत्व वाला तरल $h$ ऊँचाई तक एक पात्र में भरा हो और पात्र $a_0$ त्वरण के साथ नीचे की ओर त्वरित हो रहा हो,तो तरल पर कार्य करने वाला प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण निम्न प्रकार दिया जाता है:
$g^{\prime} = g - a_0$ ...$(i)$
पात्र के तल पर दाब $p$,वायुमंडलीय दाब $p_0$ और प्रभावी गुरुत्व के तहत तरल स्तंभ के कारण गेज दाब का योग होता है:
$p = p_0 + \rho g^{\prime} h$
समीकरण $(i)$ से $g^{\prime}$ का मान रखने पर:
$p = p_0 + \rho(g - a_0)h$

(C) माना $A_v$ बर्तन का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है और $A$ छेद का क्षेत्रफल है। टोरिसेली के नियम के अनुसार,बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
प्रवाह की दर $A_v \frac{dh}{dt} = -A \sqrt{2gh}$ द्वारा दी जाती है।
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dh}{\sqrt{h}} = -\frac{A}{A_v} \sqrt{2g} dt$।
दोनों पक्षों का ऊँचाई $h$ से $0$ तक समय $t$ के लिए समाकलन करने पर:
$\int_{h}^{0} h^{-1/2} dh = -\int_{0}^{t} \frac{A}{A_v} \sqrt{2g} dt$
$[2\sqrt{h}]_{h}^{0} = -\frac{A}{A_v} \sqrt{2g} t$
$2\sqrt{h} = \frac{A}{A_v} \sqrt{2g} t$
अतः,$t \propto \sqrt{h}$।
दिया गया है कि $h$ ऊँचाई के लिए समय $t$ है,इसलिए $t = k\sqrt{h}$।
$4h$ ऊँचाई के लिए,नया समय $t'$ होगा $t' = k\sqrt{4h} = 2k\sqrt{h} = 2t$।

(C) द्रव स्तंभ द्वारा लगाया गया दाब सूत्र $p = \rho g h$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, पारे के स्तंभ की ऊँचाई $h = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ है।
पारे का घनत्व $\rho = 13.6 \times 10^3 \,kg \,m^{-3}$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \,m \,s^{-2}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$p = (13.6 \times 10^3) \times 9.8 \times 10^{-3}$
$p = 13.6 \times 9.8$
$p = 133.28 \,Pa \approx 133.3 \,Pa$.

(D) मान लीजिए कि $r$ त्रिज्या वाली एक केशिका नली को एक द्रव में डुबोया जाता है। द्रव नली के ऊपरी सिरे पर एक मेनिस्कस बनाता है।
मान लीजिए $R$ मेनिस्कस की वक्रता त्रिज्या है और $\theta$ संपर्क कोण है।
मेनिस्कस की ज्यामिति से,हम एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं जहाँ कर्ण $R$ है,आधार $r$ है और मेनिस्कस की त्रिज्या तथा क्षैतिज के बीच का कोण $\theta$ है।
त्रिकोणमिति का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\cos \theta = \frac{r}{R}$ है।
इसलिए,मेनिस्कस की वक्रता त्रिज्या $R = \frac{r}{\cos \theta}$ है।

(A) केशनलिका में पानी की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
चूँकि $T$,$\theta$,$\rho$ और $g$ नियत हैं,इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$ होगा।
अतः,$h_1 = \frac{k}{R}$ और $h_2 = \frac{k}{2R}$,जहाँ $k$ एक नियतांक है।
नली में पानी का द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (\pi r^2 h) \rho$ होता है।
$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ का मान रखने पर,$m = \pi r^2 \left( \frac{2T \cos \theta}{r \rho g} \right) \rho = \frac{2 \pi T r \cos \theta}{g}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $T$,$\theta$ और $g$ नियत हैं,इसलिए $m \propto r$ होगा।
अतः,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$.

(A) एक शुद्ध संख्या जो पाइप के माध्यम से तरल के प्रवाह के प्रकार को निर्धारित करती है,उसे रेनॉल्ड्स संख्या $(R_e)$ कहा जाता है।
$(i)$ यदि $R_e < 2100$ है,तो प्रवाह लैमिनर (धारा रेखीय) होता है।
(ii) यदि $2100 < R_e < 4000$ है,तो प्रवाह अस्थिर या संक्रमणकालीन होता है।
(iii) यदि $R_e > 4000$ है,तो प्रवाह टर्बुलेंट (विक्षुब्ध) होता है।

(B) एक आदर्श द्रव को ऐसे द्रव के रूप में परिभाषित किया जाता है जो असंपीड्य (incompressible) और अश्यान (non-viscous) होता है।
चूंकि एक आदर्श द्रव अश्यान होता है,इसलिए यह अपनी परतों के बीच सापेक्ष गति के लिए कोई प्रतिरोध प्रदान नहीं करता है।
अतः,एक आदर्श द्रव के लिए श्यानता गुणांक $0$ होता है।

(D) श्यान द्रव में गिरती $R$ त्रिज्या की गोलाकार गेंद का सीमांत वेग $v$, स्टोक्स के नियम द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$v = \frac{2}{9} \frac{R^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$
जहाँ $R$ गेंद की त्रिज्या है, $\rho$ गेंद का घनत्व है, $\sigma$ द्रव का घनत्व है, $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
चूंकि दी गई प्रणाली के लिए $\rho, \sigma, g,$ और $\eta$ नियतांक हैं, हम लिख सकते हैं:
$v \propto R^2$
अतः, $\frac{v}{R^2} = \text{नियतांक}$।

(C) स्टील के तार की लंबाई,$l = 3 \ m$।
लंबाई में वृद्धि,$\Delta l = 0.3 \ cm = 0.3 \times 10^{-2} \ m = 3 \times 10^{-3} \ m$।
पॉइसन अनुपात $(\sigma)$ $= 0.26$।
परिभाषा के अनुसार,पॉइसन अनुपात पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति का अनुपात है:
$\sigma = \frac{\text{पार्श्व विकृति}}{\text{अनुदैर्ध्य विकृति}} = 0.26$।
अनुदैर्ध्य विकृति $= \frac{\Delta l}{l} = \frac{3 \times 10^{-3} \ m}{3 \ m} = 10^{-3}$।
अतः,पार्श्व विकृति $= 0.26 \times \text{अनुदैर्ध्य विकृति} = 0.26 \times 10^{-3}$।

(A) दिया है:
गर्म चाय का तापमान,$t_2 = 57^{\circ} C$
दांत का सामान्य तापमान,$t_1 = 37^{\circ} C$
रेखीय प्रसार गुणांक,$\alpha = 1.7 \times 10^{-5} {}^{\circ} C^{-1}$
बल्क मापांक,$B = 140 \times 10^9 \ Nm^{-2}$
तापमान में परिवर्तन,$\Delta t = t_2 - t_1 = 57 - 37 = 20^{\circ} C$
तापीय प्रतिबल (Thermal stress),बल्क मापांक और आयतन विकृति के गुणनफल के बराबर होता है:
$\text{Stress} = B \times \frac{\Delta V}{V}$
चूंकि $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta t$ और $\gamma = 3\alpha$:
$\text{Stress} = B \times (3\alpha) \times \Delta t$
मान रखने पर:
$\text{Stress} = 3 \times (140 \times 10^9) \times (1.7 \times 10^{-5}) \times 20$
$\text{Stress} = 3 \times 140 \times 1.7 \times 20 \times 10^4$
$\text{Stress} = 14280 \times 10^4 = 1.428 \times 10^8 \ Nm^{-2} \approx 1.4 \times 10^8 \ Nm^{-2}$.

(C) ब्लॉक पर लगाया गया दबाव $p = 8 \times 10^8 \ N \ m^{-2}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक आयतन $V_1$ है। अंतिम आयतन $V_2$ में $20 \%$ की कमी होती है,इसलिए $V_2 = V_1 - 0.20 V_1 = 0.8 V_1 = \frac{4}{5} V_1$ होगा।
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_1 - V_2 = V_1 - 0.8 V_1 = 0.2 V_1 = \frac{V_1}{5}$ है।
बल्क मापांक $B$ को $B = \frac{p}{\Delta V / V_1}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
मान रखने पर,$B = \frac{8 \times 10^8}{(0.2 V_1) / V_1} = \frac{8 \times 10^8}{0.2} = 40 \times 10^8 = 4 \times 10^9 \ N \ m^{-2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,पॉइसन अनुपात,$\sigma = 0.5$.
अनुदैर्ध्य विकृति,$\frac{\Delta l}{l} = 2 \times 10^{-3}$.
आयतन विकृति $\left(\frac{\Delta V}{V}\right)$ और अनुदैर्ध्य विकृति $\left(\frac{\Delta l}{l}\right)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\frac{\Delta V}{V} = (1 - 2\sigma) \frac{\Delta l}{l}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta V}{V} = (1 - 2 \times 0.5) \times 2 \times 10^{-3}$
$\frac{\Delta V}{V} = (1 - 1) \times 2 \times 10^{-3} = 0 \times 2 \times 10^{-3} = 0$
अतः,आयतन में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 0 \times 100\% = 0\%$ है।

(B) दिया गया है:
बल्क मापांक $(K) = 2 \times 10^8 \ N m^{-2}$
आयतन में परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 1\% = 0.01$
बल्क मापांक का सूत्र है:
$K = \frac{p}{\frac{\Delta V}{V}}$
दबाव $(p)$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$p = K \times \left( \frac{\Delta V}{V} \right)$
दिए गए मानों को रखने पर:
$p = (2 \times 10^8) \times (0.01)$
$p = 2 \times 10^6 \ N m^{-2}$
अतः,आवश्यक दबाव $2 \times 10^6 \ N m^{-2}$ है।

(A) मान लीजिए कि $l$ तार की लंबाई है,$r$ त्रिज्या है,$\theta$ मरोड़ का कोण है और $\phi$ अपरूपण कोण है।
मरोड़े गए तार की ज्यामिति से,परिधि पर चाप की लंबाई $s = r \theta$ द्वारा दी जाती है।
छोटे कोणों के लिए,अपरूपण कोण $\phi$ का चाप की लंबाई $s$ और तार की लंबाई $l$ के साथ संबंध $\phi = \frac{s}{l}$ होता है।
$s = r \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\phi = \frac{r \theta}{l}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $l = 1 \text{ m}$,$r = 2 \text{ mm} = 2 \times 10^{-3} \text{ m}$,और $\theta = 45^{\circ}$।
इन मानों को रखने पर: $\phi = \frac{2 \times 10^{-3} \text{ m} \times 45^{\circ}}{1 \text{ m}} = 90 \times 10^{-3} \text{ degrees} = 0.09^{\circ}$।
अतः,अपरूपण कोण $0.09^{\circ}$ है।

(A) एक तने हुए तार में संचित ऊर्जा तार की लंबाई बढ़ाने के लिए भार द्वारा किए गए कार्य के बराबर होती है।
$\therefore$ ऊर्जा,$U = \text{किया गया कार्य}$
$= \text{औसत बल (भार)} \times \text{तार में विस्तार}$
$= \left( \frac{0 + F}{2} \right) \times \Delta L$
$= \frac{1}{2} \times F \times \Delta L$
$= \frac{1}{2} \times \text{भार} \times \text{विस्तार}$

(B) प्रतिबल-विकृति वक्र में,जो पदार्थ टूटने से पहले बड़ी प्लास्टिक विरूपण (plastic deformation) दर्शाता है,उसे तन्य (ductile) कहा जाता है,जबकि जो पदार्थ प्रत्यास्थ सीमा के तुरंत बाद टूट जाता है,उसे भंगुर (brittle) कहा जाता है।
दिए गए ग्राफ से,पदार्थ $A$ फ्रैक्चर से पहले एक महत्वपूर्ण प्लास्टिक क्षेत्र दिखाता है (जो वक्र के आगे बढ़ने और यील्ड पॉइंट दिखाने से स्पष्ट है),जो तन्य पदार्थों की विशेषता है।
पदार्थ $B$ विरूपण का एक छोटा क्षेत्र दिखाता है और प्रत्यास्थ सीमा के बाद अपेक्षाकृत जल्दी टूट जाता है,जो भंगुर पदार्थों की विशेषता है।
इसलिए,$A$ तन्य है और $B$ भंगुर है।

(D) यंग मापांक $(Y)$ का सूत्र $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ है, जहाँ $F$ बल है, $L$ मूल लंबाई है, $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta L$ लंबाई में वृद्धि है।
चूंकि $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$, हम लिख सकते हैं $\Delta L = \frac{F \cdot L}{Y \cdot A} = \frac{4 \cdot F \cdot L}{Y \cdot \pi \cdot d^2}$.
इससे पता चलता है कि $\Delta L \propto \frac{1}{d^2}$.
प्रारंभिक व्यास $d_1 = 0.4 \,mm$ और प्रारंभिक विस्तार $\Delta L_1 = 2.4 \,cm$ दिया गया है।
यदि व्यास दोगुना कर दिया जाए, तो $d_2 = 2 \cdot d_1$.
अतः, $\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2 = \left( \frac{d_1}{2 \cdot d_1} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
इसलिए, $\Delta L_2 = \frac{\Delta L_1}{4} = \frac{2.4 \,cm}{4} = 0.6 \,cm$.

(C) तार को तोड़ने के लिए आवश्यक बल उसके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल पर निर्भर करता है। तार का ब्रेकिंग बल उसके ब्रेकिंग प्रतिबल (breaking stress) $\sigma$ और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$F = \sigma \times A = \sigma \times (\pi R^2)$
चूंकि पदार्थ समान (तांबा) है,इसलिए ब्रेकिंग प्रतिबल $\sigma$ स्थिर रहेगा।
अतः,$F \propto R^2$।
यदि $R_1 = R$ त्रिज्या के लिए बल $F_1 = F$ है,और $R_2 = 2R$ त्रिज्या के लिए बल $F_2$ है,तो:
$\frac{F_2}{F_1} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2 = \left(\frac{2R}{R}\right)^2 = 4$
$F_2 = 4F_1 = 4F$।

(B) दोनों सिरों पर स्थिर तार में तापमान परिवर्तन के कारण उत्पन्न तापीय प्रतिबल $\sigma = Y \alpha \Delta t$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रतिबल $\sigma = \frac{T}{A}$ होता है, इसलिए तनाव में परिवर्तन $T = Y A \alpha \Delta t$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
यंग मापांक $Y = 2.0 \times 10^{11} \text{ N/m}^2$.
क्षेत्रफल $A = 1 \text{ mm}^2 = 10^{-6} \text{ m}^2$.
रैखिक प्रसार गुणांक $\alpha = 1.1 \times 10^{-5} {}^{\circ} \text{C}^{-1}$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta t = 40^{\circ} \text{C} - 20^{\circ} \text{C} = 20^{\circ} \text{C}$.
इन मानों को रखने पर:
$T = (2.0 \times 10^{11}) \times (10^{-6}) \times (1.1 \times 10^{-5}) \times (20)$.
$T = 2.0 \times 10^{11} \times 10^{-6} \times 1.1 \times 10^{-5} \times 20$.
$T = 2.0 \times 1.1 \times 20 \times 10^{11-6-5}$.
$T = 44 \times 10^0 = 44 \text{ N}$.
अतः, तनाव में परिवर्तन $44 \text{ N}$ है।

(C) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ है, जहाँ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ है。
विस्तार के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\Delta L = \frac{4 F L}{\pi d^2 Y}$。
चूंकि दोनों तारों के लिए $F$, $L$ और $\Delta L$ समान हैं, इसलिए $\frac{1}{d_c^2 Y_c} = \frac{1}{d_a^2 Y_a}$ प्राप्त होता है, जहाँ $c$ तांबे के लिए और $a$ एल्युमीनियम के लिए है。
अतः, $d_c^2 Y_c = d_a^2 Y_a$。
मान रखने पर: $d_c^2 (12 \times 10^{10}) = (3 \text{ mm})^2 (7 \times 10^{10})$。
$d_c^2 = \frac{9 \times 7}{12} \text{ mm}^2 = \frac{63}{12} \text{ mm}^2 = 5.25 \text{ mm}^2$。
$d_c = \sqrt{5.25} \text{ mm} \approx 2.29 \text{ mm} \approx 2.3 \text{ mm}$。

(C) हुक के नियम के अनुसार,प्रत्यास्थ सीमा के भीतर,प्रतिबल विकृति के सीधे समानुपाती होता है।
$\text{प्रतिबल} = Y \times \text{विकृति}$
जहाँ $Y$ यंग मापांक (Young's modulus) है।
$\frac{F}{A} = Y \times \frac{\Delta l}{L}$
यहाँ,$F$ बल है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\Delta l$ लंबाई में परिवर्तन है,और $L$ मूल लंबाई है।
बल $F$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$F = \frac{Y A}{L} \Delta l$
चूंकि एक दिए गए तार के लिए $Y$,$A$ और $L$ स्थिरांक हैं,इसलिए:
$F \propto \Delta l$
यह देखते हुए कि लंबाई में परिवर्तन $l$ है,हमें प्राप्त होता है:
$F \propto l$
अतः,बल $l$ के समानुपाती होता है।

(B) एक पूर्णतः दृढ़ पिंड में,विरूपक बल लगाने पर उसके आयामों में कोई परिवर्तन नहीं होता है,इसलिए पूर्णतः दृढ़ पिंड में विकृति (strain) शून्य होती है।
$\text{यंग मापांक} = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}} = \frac{\text{प्रतिबल}}{0} = \infty$.
अतः,एक पूर्णतः दृढ़ पिंड का यंग मापांक अनंत होता है।

(B) प्रत्यास्थता के सिद्धांत से प्रत्यास्थता गुणांकों के बीच संबंध प्राप्त किया जाता है। एक समदैशिक (isotropic) पदार्थ के लिए,यंग मापांक $(Y)$,आयतन मापांक $(K)$ और दृढ़ता मापांक $(\eta)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\frac{9}{Y} = \frac{3}{\eta} + \frac{1}{K}$।
इस सूत्र का उपयोग करके,यदि हमें दो प्रत्यास्थता गुणांक ज्ञात हों,तो हम तीसरे की गणना कर सकते हैं।

(C) यंग मापांक $(Y)$ को $Y = \frac{FL}{A \Delta L}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $F$ भार है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta L$ विस्तार है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए दोनों तारों के लिए $Y$ स्थिर है।
भार $F$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $F = \frac{Y A \Delta L}{L}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A = \pi r^2$,हम लिख सकते हैं $F = \frac{Y (\pi r^2) \Delta L}{L}$।
दिए गए अनुपात: $r_1/r_2 = 1/2$ और $L_1/L_2 = 1/2$। विस्तार समान हैं,इसलिए $\Delta L_1 = \Delta L_2$।
भार का अनुपात $\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} \times \frac{L_2}{L_1}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{F_1}{F_2} = (1/2)^2 \times (2/1) = (1/4) \times 2 = 1/2$।
अतः,लगाए गए भारों का अनुपात $1:2$ है।

(C) दिए गए ग्राफ में,$y$-अक्ष समय $(t)$ को दर्शाता है और $x$-अक्ष विस्थापन $(s)$ को दर्शाता है।
भौतिक गति के लिए,जैसे-जैसे वस्तु गति करती है,समय हमेशा बढ़ना चाहिए।
दिए गए ग्राफ में,जैसे-जैसे वस्तु $B$ से $C$ और फिर $D$ की ओर बढ़ती है,विस्थापन $s$ घटता है जबकि समय $t$ बढ़ता रहता है।
हालाँकि,किसी भी दिए गए समय $t$ पर,एक वस्तु केवल एक ही स्थान $s$ पर हो सकती है।
ग्राफ को देखने पर,समय $t$ के एक ही मान के लिए,विस्थापन $s$ के कई मान संभव हैं,जो गति करती हुई एक अकेली वस्तु के लिए भौतिक रूप से असंभव है।
इसके अलावा,ग्राफ यह दर्शाता है कि वस्तु विस्थापन में पीछे की ओर चल रही है,जो संभव है,लेकिन ग्राफ का विशिष्ट आकार यह दर्शाता है कि एक ही समय के क्षण पर वस्तु कई स्थानों पर है,या अधिक सटीक रूप से,$\frac{ds}{dt}$ के बजाय $\frac{dt}{ds}$ का ग्राफ प्लॉट किया गया है।
चूंकि समय घट नहीं सकता है या एक स्थान के लिए बहु-मूल्यवान नहीं हो सकता है,इसलिए यह ग्राफ भौतिक रूप से असंभव है।

(B) $P-Q$ निर्देशांक प्रणाली में मूल बिंदु से गुजरने वाला एक सीधी रेखा का ग्राफ दो चरों के बीच एक रैखिक संबंध को दर्शाता है।
गणितीय रूप से, इसे $P = m Q$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ $m$ रेखा का ढाल (slope) है।
चूंकि एक सीधी रेखा के लिए ढाल $m = \tan \theta$ स्थिर रहता है, इसलिए हमारे पास $\frac{P}{Q} = m = \text{स्थिरांक}$ है।
अतः, मूल बिंदु से गुजरने वाले सीधी रेखा ग्राफ के लिए सही स्थिति $\frac{P}{Q} = \text{स्थिरांक}$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ $K_{max} = h\nu - \Phi$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
यह समीकरण दर्शाता है कि $K_{max}$ केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति और धातु की सतह की प्रकृति पर निर्भर करता है।
प्रकाश की तीव्रता प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में आपतित फोटॉनों की संख्या को प्रभावित करती है, जो बदले में उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की संख्या (प्रकाश-विद्युत धारा) को प्रभावित करती है, लेकिन यह व्यक्तिगत फोटोइलेक्ट्रॉन की ऊर्जा को प्रभावित नहीं करती है।
इसलिए, जब तीव्रता को घटाकर एक-चौथाई कर दिया जाता है, तो उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है।

(D) फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव तब होता है जब आपतित तरंगदैर्ध्य $\lambda$ थ्रेशोल्ड तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\text{th}}$ से कम या उसके बराबर होती है।
दिया गया है:
थ्रेशोल्ड तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\text{th}} = 3600 \mathring A$.
आपतित तरंगदैर्ध्य $\lambda = 1100 \mathring A$.
गतिज ऊर्जा $K_{\text{max}}$ आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण द्वारा दी जाती है:
$K_{\text{max}} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_{\text{th}}}$
$hc \approx 12400 \text{ eV} \cdot \mathring A$ का उपयोग करते हुए:
$K_{\text{max}} = 12400 \left( \frac{1}{1100} - \frac{1}{3600} \right) \text{ eV}$
$K_{\text{max}} = 12400 \left( \frac{3600 - 1100}{1100 \times 3600} \right) \text{ eV}$
$K_{\text{max}} = 12400 \left( \frac{2500}{3960000} \right) \text{ eV} \approx 7.83 \text{ eV}$.

(C) कार्य फलन $\Phi_0$ को सूत्र $\Phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक $(6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s)$ है,$c$ प्रकाश की गति $(3 \times 10^8 \ m/s)$ है,और $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य $(5000 \ Å = 5000 \times 10^{-10} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m)$ है।
मान रखने पर:
$\Phi_0 = \frac{(6.63 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{5 \times 10^{-7}}$
$\Phi_0 = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{5 \times 10^{-7}}$
$\Phi_0 = 3.978 \times 10^{-19} \ J \approx 4 \times 10^{-19} \ J$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) फैराडे के विद्युतचुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित emf $e$ का परिमाण $e = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ होता है।
चूंकि परिपथ का प्रतिरोध $R$ है,इसलिए प्रेरित धारा $i = \frac{e}{R} = \frac{\Delta \phi}{R \Delta t}$ होगी।
$\Delta t$ समय में परिपथ के किसी भी बिंदु से गुजरने वाला कुल आवेश $Q = i \Delta t$ होता है।
$i$ का मान रखने पर,हमें $Q = \left( \frac{\Delta \phi}{R \Delta t} \right) \Delta t = \frac{\Delta \phi}{R}$ प्राप्त होता है।

(A) $L$ प्रेरकत्व वाली कुंडली जिसमें $i$ स्थिर धारा प्रवाहित हो रही है,उसमें संचित ऊर्जा का सूत्र इस प्रकार है:
$E = \frac{1}{2} L i^2$
यह ऊर्जा प्रेरक (inductor) से प्रवाहित होने वाली धारा द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र से जुड़ी होती है।
अतः,कुंडली में संचित ऊर्जा चुंबकीय ऊर्जा के रूप में होती है।

(A) दिया गया है,प्रेरकत्व $L = 50 mH = 50 \times 10^{-3} H = 5 \times 10^{-2} H$.
धारा $I = 4 A$.
प्रेरक में संचित ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} L I^2$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $E = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^{-2}) \times (4)^2$.
$E = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^{-2} \times 16$.
$E = 5 \times 10^{-2} \times 8 = 40 \times 10^{-2} J = 0.4 J$.

(C) चूंकि $L$ प्रेरकत्व वाली कुंडली को चार बराबर भागों में विभाजित किया गया है,इसलिए प्रत्येक भाग का प्रेरकत्व $L_1 = L_2 = L_3 = L_4 = \frac{L}{4}$ होगा।
जब प्रेरक समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य प्रेरकत्व $L^{\prime}$ का सूत्र $\frac{1}{L^{\prime}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3} + \frac{1}{L_4}$ होता है।
मान रखने पर,$\frac{1}{L^{\prime}} = \frac{1}{L/4} + \frac{1}{L/4} + \frac{1}{L/4} + \frac{1}{L/4} = \frac{4}{L} + \frac{4}{L} + \frac{4}{L} + \frac{4}{L} = \frac{16}{L}$ प्राप्त होता है।
अतः,$L^{\prime} = \frac{L}{16}$ होगा।

(A) दिया गया परिपथ आरेख नीचे दिखाया गया है,
दिया है,$I = 10 \ A$
$\therefore \quad \frac{dI}{dt} = 10^2 \ A \ s^{-1}$
प्रेरक कुंडली पर प्रेरित emf,
$e = L \frac{dI}{dt} = 5 \times 10^{-3} \times 10^2 = 0.5 \ V$
बिंदु $A$ और $B$ के बीच किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर,
$V_{AB} + 2 \times 10 - 12 - 0.5 = 0$
$V_{AB} + 20 - 12.5 = 0$
$V_{AB} + 7.5 = 0$
$V_{AB} = -7.5 \ V$

(C) जब एक आयताकार कुंडली को एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में उसके केंद्र से गुजरने वाली और क्षेत्र के लंबवत अक्ष के परितः घुमाया जाता है,तो कुंडली से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\phi = B A \cos \theta = B A \cos \omega t$ ...$(i)$
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित emf $e$ है:
$e = -\frac{d \phi}{d t} = -\frac{d}{d t} (B A \cos \omega t)$
$e = -B A \frac{d}{d t} (\cos \omega t)$
$e = -B A (-\omega \sin \omega t)$
$e = B A \omega \sin \omega t$
माना $e_0 = B A \omega$ प्रेरित emf का शिखर मान है।
अतः,$e = e_0 \sin \omega t$ ...(ii)
समीकरण (ii) से यह स्पष्ट है कि प्रेरित emf समय के साथ ज्यावक्रीय (sinusoidally) रूप से बदलता है।

(A) लेंज का नियम बताता है कि प्रेरित धारा हमेशा उस दिशा में बहती है जो इसे उत्पन्न करने वाले चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन का विरोध करती है।
इस विरोधी बल को दूर करने के लिए,बाहरी यांत्रिक कार्य करना पड़ता है।
यह यांत्रिक कार्य परिपथ में विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।
चूंकि ऊर्जा न तो बनाई जा सकती है और न ही नष्ट की जा सकती है,बल्कि केवल एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित की जा सकती है,इसलिए लेंज का नियम ऊर्जा संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में घूमती हुई कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ को $\phi = BA \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित emf $e$ का मान $e = -\frac{d\phi}{dt}$ होता है।
$\phi$ का मान रखने पर: $e = -\frac{d}{dt} (BA \cos(\omega t)) = BA\omega \sin(\omega t)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(\theta) = \cos(\theta - \frac{\pi}{2})$ का उपयोग करने पर,हम लिख सकते हैं $e = BA\omega \cos(\omega t - \frac{\pi}{2})$.
फ्लक्स की कला $(\omega t)$ और प्रेरित emf की कला $(\omega t - \frac{\pi}{2})$ की तुलना करने पर,कलांतर $\frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) फैराडे के विद्युतचुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,किसी परिपथ में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(emf)$ का परिमाण परिपथ से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन की समय दर के बराबर होता है। गणितीय रूप से,इसे $|\varepsilon| = |\frac{d\Phi_B}{dt}|$ के रूप में व्यक्त किया जाता है। अतः,यह कथन फैराडे के नियम को दर्शाता है।

(A) लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा की दिशा ऐसी होती है कि वह उस कारण का विरोध करती है जिससे वह उत्पन्न होती है।
अतः,लेंज का नियम प्रेरित धारा की दिशा प्रदान करता है।

(D) लेंज का नियम बताता है कि प्रेरित धारा की दिशा ऐसी होती है कि वह उस चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करती है जिसने इसे उत्पन्न किया है। यदि प्रेरित धारा परिवर्तन में सहायता करती,तो यह शून्य से ऊर्जा उत्पन्न करके ऊर्जा संरक्षण के नियम का उल्लंघन करती। इसलिए,लेंज का नियम ऊर्जा संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ का परिमाण $e = B v l_{eff}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l_{eff}$ वेग सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत चालक की प्रभावी लंबाई है।
$l$ लंबाई के सीधे तार के लिए,प्रभावी लंबाई $l$ है। जब तार को अर्धवृत्ताकार तार से बदल दिया जाता है,तो प्रभावी लंबाई $l_{eff}$ (पटरियों पर दो संपर्क बिंदुओं के बीच की सीधी दूरी) अर्धवृत्त के व्यास के समान रहती है,जो मूल सीधे तार की लंबाई $l$ के बराबर है।
चूंकि प्रेरित धारा $I = \frac{e}{R} = \frac{B v l_{eff}}{R}$ है,और $B, v, R$ तथा $l_{eff}$ अपरिवर्तित रहते हैं,इसलिए प्रेरित धारा का परिमाण समान रहेगा।

(D) दिया गया है: छड़ की लंबाई, $l = 1.0 \,m$.
चुंबकीय क्षेत्र, $B = 0.25 \,T$.
घूर्णन की आवृत्ति, $f = 12 \,rev/s$.
घूर्णन करती हुई छड़ के सिरों के बीच प्रेरित emf $(e)$ का सूत्र है:
$e = \frac{1}{2} B \omega l^2$
चूंकि कोणीय वेग $\omega = 2 \pi f$ होता है, इसलिए समीकरण में मान रखने पर:
$e = \frac{1}{2} B (2 \pi f) l^2 = B \pi f l^2$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$e = 0.25 \times \pi \times 12 \times (1.0)^2$
$e = 3 \pi \,V$
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर:
$e \approx 3 \times 3.14159 = 9.42477 \,V$
अतः, प्रेरित emf लगभग $9.42 \,V$ है।

(A) चुंबकीय फ्लक्स $\phi = BA \cos(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
एक चक्कर पूरा करने में लगा समय $T = 8 \ s$ है। $90^{\circ}$ के घूर्णन के लिए लगा समय $\Delta t = \frac{T}{4} = \frac{8}{4} = 2 \ s$ है।
औसत emf $e = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = -\frac{\phi_2 - \phi_1}{\Delta t}$ है।
$i. 0^{\circ}$ से $90^{\circ}$: $e = -\frac{BA \cos(90^{\circ}) - BA \cos(0^{\circ})}{2} = -\frac{0 - (0.3 \times 10)}{2} = \frac{3}{2} \ V$.
$ii. 90^{\circ}$ से $180^{\circ}$: $e = -\frac{BA \cos(180^{\circ}) - BA \cos(90^{\circ})}{2} = -\frac{-3 - 0}{2} = \frac{3}{2} \ V$.
$iii. 180^{\circ}$ से $270^{\circ}$: $e = -\frac{BA \cos(270^{\circ}) - BA \cos(180^{\circ})}{2} = -\frac{0 - (-3)}{2} = -\frac{3}{2} \ V$.
$iv. 270^{\circ}$ से $360^{\circ}$: $e = -\frac{BA \cos(360^{\circ}) - BA \cos(270^{\circ})}{2} = -\frac{3 - 0}{2} = -\frac{3}{2} \ V$.

(A) एक $AC$ जनरेटर में,कुंडली चुंबकीय क्षेत्र के भीतर घूमती है जिससे प्रत्यावर्ती धारा (alternating current) प्रेरित होती है। कुंडली के घूमने के दौरान बाहरी सर्किट के साथ निरंतर संबंध बनाए रखने के लिए,कुंडली के दोनों सिरों को दो अलग-अलग स्लिप रिंग से जोड़ा जाता है। ये स्लिप रिंग कुंडली के साथ घूमती हैं,और घूमती हुई स्लिप रिंग और स्थिर बाहरी सर्किट के बीच संपर्क बनाए रखने के लिए कार्बन ब्रश का उपयोग किया जाता है। इसलिए,कुंडली के सिरे दो स्लिप रिंग से जुड़े होते हैं।

(C) कुंडली में धारा में परिवर्तन $\Delta I = I_f - I_i = 1 \,A - 3 \,A = -2 \,A$ है।
समय अंतराल $\Delta t = 0.1 \,s$ है।
कुंडली का स्व-प्रेरकत्व $L = 8 \,mH = 8 \times 10^{-3} \,H$ है।
कुंडली में प्रेरित emf $(e)$ का सूत्र $e = -L \frac{dI}{dt}$ है।
मान रखने पर,$e = -(8 \times 10^{-3} \,H) \times \frac{-2 \,A}{0.1 \,s}$ प्राप्त होता है।
$e = 8 \times 10^{-3} \times 20 \,V = 160 \times 10^{-3} \,V = 16 \times 10^{-2} \,V$.

(B) दिया गया है: अन्योन्य प्रेरण गुणांक $M = 0.2 H$ है।
प्राथमिक कुंडली में धारा के परिवर्तन की दर $\frac{dI}{dt} = 5 A s^{-1}$ है।
द्वितीयक कुंडली में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ का सूत्र है:
$e = M \frac{dI}{dt}$
मान रखने पर:
$e = 0.2 H \times 5 A s^{-1}$
$e = 1 V$
अतः,द्वितीयक कुंडली में प्रेरित विद्युत वाहक बल $1 V$ होगा।

(C) द्वितीयक कुंडली में प्रेरित emf $(e_s)$ को संबंध $e_s = -M \frac{di_p}{dt}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ अन्योन्य प्रेरण का गुणांक है और $\frac{di_p}{dt}$ प्राथमिक कुंडली में धारा के परिवर्तन की दर है।
यदि प्राथमिक कुंडली में धारा के परिवर्तन की दर इकाई है,अर्थात $\frac{di_p}{dt} = 1 \ A/s$,तो प्रेरित emf का परिमाण अन्योन्य प्रेरण के गुणांक के बराबर होता है $(|e_s| = M)$।
इसलिए,प्राथमिक कुंडली में धारा के इकाई परिवर्तन की दर के कारण द्वितीयक कुंडली में प्रेरित emf को दो कुंडलियों का अन्योन्य प्रेरण (Mutual Induction) कहा जाता है।

(C) माइक्रोवेव की तरंगदैर्ध्य छोटी होती है,जो उन्हें न्यूनतम विवर्तन के साथ सीधी रेखाओं में प्रसारित होने की अनुमति देती है। इस गुण के कारण,वे वस्तुओं का पता लगाने और उनकी दूरी,गति और दिशा निर्धारित करने के लिए अत्यधिक प्रभावी हैं। इसलिए,माइक्रोवेव का उपयोग $Radar$ (रेडियो डिटेक्शन एंड रेंजिंग) सिस्टम में व्यापक रूप से किया जाता है।

(A) पृथ्वी के वायुमंडल में ओजोन परत सूर्य से आने वाले हानिकारक पराबैंगनी $(UV)$ विकिरणों को अवशोषित करके जीवन की रक्षा करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।
$UV$ विकिरण की तरंगदैर्ध्य दृश्य प्रकाश की तुलना में कम होती है।
विशेष रूप से,ओजोन परत $3 \times 10^{-7} \ m$ (या $300 \ nm$) से कम तरंगदैर्ध्य वाले $UV$ विकिरण को प्रभावी ढंग से अवशोषित करती है।

(C) मैक्सवेल के सिद्धांत के अनुसार,स्थिर आवेश केवल विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
एकसमान वेग से गति करने वाला आवेश विद्युत और चुंबकीय दोनों क्षेत्र उत्पन्न करता है,लेकिन ये क्षेत्र समय के साथ इस तरह से परिवर्तित नहीं होते हैं कि विद्युतचुंबकीय तरंगें उत्पन्न हो सकें।
जब कोई आवेश त्वरित या मंदित गति करता है,तो वह समय के साथ परिवर्तित होने वाला विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है।
ये समय के साथ परिवर्तित होने वाले क्षेत्र अंतरिक्ष में विद्युतचुंबकीय तरंगों के रूप में प्रसारित होते हैं।
इसलिए,विद्युतचुंबकीय तरंगें केवल त्वरित या मंदित आवेशों द्वारा ही उत्पन्न होती हैं।

(A) विद्युतचुंबकीय तरंग की आवृत्ति $v = 8.2 \times 10^6 \,Hz$ दी गई है。
हम जानते हैं कि निर्वात में विद्युतचुंबकीय तरंगों की चाल $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ होती है。
चाल, आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य के बीच का संबंध $c = v \lambda$ सूत्र द्वारा दिया जाता है。
अतः, तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\lambda = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8}{8.2 \times 10^6} \,m$.
$\lambda = \frac{300}{8.2} \,m \approx 36.58 \,m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $\lambda = 36.5 \,m$ है。

(D) विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम को तरंगदैर्ध्य के आधार पर व्यवस्थित किया जाता है। दिए गए विकल्पों में $X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य सबसे कम होती है,उसके बाद पराबैंगनी प्रकाश,फिर दृश्य नीला प्रकाश और अंत में दृश्य लाल प्रकाश आता है।
तरंगदैर्ध्य की तुलना करने पर: $\lambda_{\text{red}} > \lambda_{\text{blue}} > \lambda_{\text{UV}} > \lambda_{\text{X-ray}}$.
अतः,दृश्य लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य सबसे लंबी है।

(C) विद्युतचुंबकत्व के शास्त्रीय सिद्धांत के अनुसार,स्थिर विद्युत आवेश केवल एक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
एक समान वेग से गतिमान विद्युत आवेश विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र दोनों उत्पन्न करता है,लेकिन यह ऊर्जा का विकिरण नहीं करता है।
हालाँकि,एक त्वरित विद्युत आवेश समय के साथ बदलने वाला विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है,जो बदले में समय के साथ बदलने वाला चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है।
ये समय के साथ बदलने वाले क्षेत्र अंतरिक्ष में विद्युतचुंबकीय तरंगों के रूप में प्रसारित होते हैं।
इसलिए,एक त्वरित विद्युत आवेश विद्युतचुंबकीय तरंगों का स्रोत होता है।

(B) विल्हेम रोन्टजन,जो बवेरिया के वुर्ज़बर्ग में भौतिकी के प्रोफेसर थे,ने $1895$ में गलती से $X$-किरणों की खोज की थी,जब वे यह परीक्षण कर रहे थे कि क्या कैथोड किरणें कांच से गुजर सकती हैं या नहीं।
$X$-किरणें अत्यंत कम तरंग दैर्ध्य और उच्च आवृत्ति वाले विद्युतचुंबकीय विकिरण हैं,जिनकी तरंग दैर्ध्य लगभग $10^{-8} \ m$ से $10^{-12} \ m$ के बीच होती है और संबंधित आवृत्तियाँ लगभग $10^{16} \ Hz$ से $10^{20} \ Hz$ तक होती हैं।

(A) आवेशों को $A(0)$,$B(l/2)$ और $C(l)$ स्थितियों पर रखा गया है।
स्थिति $A$ पर स्थित $4q$ आवेश के कारण स्थिति $C$ पर स्थित $q$ आवेश पर लगने वाला बल $F_{AC} = \frac{K(4q)(q)}{l^2}$ है।
स्थिति $B$ पर स्थित $Q$ आवेश के कारण स्थिति $C$ पर स्थित $q$ आवेश पर लगने वाला बल $F_{BC} = \frac{K(Q)(q)}{(l/2)^2}$ है।
चूंकि $q$ पर परिणामी बल शून्य है,इसलिए इन बलों का योग शून्य होना चाहिए:
$F_{AC} + F_{BC} = 0$
$\frac{K(4q)(q)}{l^2} + \frac{K(Q)(q)}{(l/2)^2} = 0$
$Kq$ से विभाजित करने और सरल करने पर:
$\frac{4q}{l^2} + \frac{Q}{l^2/4} = 0$
$\frac{4q}{l^2} + \frac{4Q}{l^2} = 0$
$4q + 4Q = 0$
$4Q = -4q$
$Q = -q$

(A) एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ में रखे विद्युत द्विध्रुव पर लगने वाला टॉर्क $\tau$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\tau = p E \sin \theta$ ...$(i)$
जहाँ $p$ विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण है और $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण सदिश और विद्युत क्षेत्र की दिशा के बीच का कोण है।
विभिन्न कोणों पर टॉर्क का विश्लेषण:
$1$. $\theta = 0^{\circ}$ पर,$\tau = p E \sin 0^{\circ} = 0$.
$2$. $\theta = \frac{\pi}{2}$ पर,$\tau = p E \sin \frac{\pi}{2} = p E$.
$3$. $\theta = \pi$ पर,$\tau = p E \sin \pi = 0$.
$4$. $\theta = \frac{3\pi}{2}$ पर,$\tau = p E \sin \frac{3\pi}{2} = -p E$.
$5$. $\theta = 2\pi$ पर,$\tau = p E \sin 2\pi = 0$.
यह परिवर्तन शून्य से शुरू होने वाले साइन वेव पैटर्न का अनुसरण करता है,जो $\frac{\pi}{2}$ पर अधिकतम मान प्राप्त करता है,$\pi$ पर शून्य हो जाता है,$\frac{3\pi}{2}$ पर न्यूनतम मान प्राप्त करता है और $2\pi$ पर वापस शून्य हो जाता है। इस व्यवहार को दर्शाने वाला ग्राफ मानक साइन वक्र है।

(D) दिया गया है: आवेश $q = 4 \times 10^{-8} \text{ C}$,दूरी $2a = 2 \times 10^{-2} \text{ cm} = 2 \times 10^{-4} \text{ m}$,और विद्युत क्षेत्र $E = 4 \times 10^8 \text{ NC}^{-1}$।
विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $p = q \times 2a = (4 \times 10^{-8} \text{ C}) \times (2 \times 10^{-4} \text{ m}) = 8 \times 10^{-12} \text{ Cm}$।
अधिकतम टॉर्क $\tau_{\max}$ तब होता है जब द्विध्रुव विद्युत क्षेत्र के लंबवत हो $(\theta = 90^{\circ})$:
$\tau_{\max} = pE \sin 90^{\circ} = pE = (8 \times 10^{-12} \text{ Cm}) \times (4 \times 10^8 \text{ NC}^{-1}) = 32 \times 10^{-4} \text{ Nm}$।
द्विध्रुव को $\theta_1 = 0^{\circ}$ से $\theta_2 = 180^{\circ}$ तक घुमाने में किया गया कार्य $W$:
$W = pE(\cos \theta_1 - \cos \theta_2) = pE(\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ}) = pE(1 - (-1)) = 2pE$।
$W = 2 \times (8 \times 10^{-12} \text{ Cm}) \times (4 \times 10^8 \text{ NC}^{-1}) = 64 \times 10^{-4} \text{ J}$।
अतः,अधिकतम टॉर्क $32 \times 10^{-4} \text{ Nm}$ है और किया गया कार्य $64 \times 10^{-4} \text{ J}$ है।

(C) एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में एक विद्युत द्विध्रुव को $\theta_1$ कोण से $\theta_2$ कोण तक घुमाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = p E (\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
दिया गया है:
$\theta_1 = 30^{\circ}$
$\theta_2 = 90^{\circ}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = p E (\cos 30^{\circ} - \cos 90^{\circ})$
चूंकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos 90^{\circ} = 0$ है:
$W = p E (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0) = \frac{\sqrt{3}}{2} p E$
अतः,किया गया कार्य $\frac{\sqrt{3}}{2} p E$ है।

(A) एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ में रखे विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र इस प्रकार है:
$U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$
जहाँ $p$ द्विध्रुव आघूर्ण है,$E$ विद्युत क्षेत्र का परिमाण है,और $\theta$ द्विध्रुव अक्ष और विद्युत क्षेत्र के बीच का कोण है।
स्थितिज ऊर्जा $U$ को न्यूनतम होने के लिए,$\cos \theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\cos \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $\theta = 0^{\circ}$ पर प्राप्त होता है।
अतः,जब द्विध्रुव विद्युत क्षेत्र के समानांतर संरेखित होता है,तो उसकी स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है।

(B) एक विद्युत द्विध्रुव की अक्षीय स्थिति में स्थित किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र इस प्रकार है:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{p}{r^2}$
जहाँ $p$ द्विध्रुव आघूर्ण (dipole moment) है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि विद्युत विभव $V$,दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
अतः,$V \propto \frac{1}{r^2}$ या $V \propto r^{-2}$।

(A, B) कॉर्क गेंद का द्रव्यमान,$m=1 \text{ g}=10^{-3} \text{ kg}$.
विद्युत क्षेत्र,$E=(3 \hat{i}+5 \hat{j}) \times 10^5 \text{ NC}^{-1}$.
कोण,$\theta=37^{\circ}$.
विद्युत क्षेत्र $E$ के कारण कॉर्क गेंद पर लगने वाला बल $F=qE$ है।
दिए गए चित्र के अनुसार,सभी बलों को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में वियोजित करने पर:
$T \sin \theta = q E_x \quad \dots (i)$
$T \cos \theta + q E_y = mg \implies T \cos \theta = mg - q E_y \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{q E_x}{mg - q E_y}$
मान रखने पर $(\tan 37^{\circ} = 3/4)$:
$\frac{3}{4} = \frac{q \times 3 \times 10^5}{10^{-3} \times 10 - q \times 5 \times 10^5}$
$\frac{3}{4} = \frac{3q \times 10^5}{10^{-2} - 5q \times 10^5}$
$3(10^{-2} - 5q \times 10^5) = 12q \times 10^5$
$0.03 - 15q \times 10^5 = 12q \times 10^5$
$0.03 = 27q \times 10^5 \implies q = \frac{0.03}{27 \times 10^5} = \frac{1}{9} \times 10^{-7} \approx 1.11 \times 10^{-8} \text{ C}$.
अतः,$q \approx 11 \times 10^{-9} \text{ C}$ या $1.1 \times 10^{-8} \text{ C}$.
समीकरण $(i)$ से:
$T \sin 37^{\circ} = q E_x$
$T \times 0.6 = (1.11 \times 10^{-8}) \times (3 \times 10^5)$
$T \times 0.6 = 3.33 \times 10^{-3}$
$T = \frac{3.33 \times 10^{-3}}{0.6} = 5.55 \times 10^{-3} \text{ N}$.
इसलिए,विकल्प $A$ और $B$ सही हैं।

(A) एक धनात्मक बिंदु आवेश के लिए विद्युत क्षेत्र रेखाएँ आवेश से उत्पन्न होती हैं और त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर अनंत तक जाती हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक धनात्मक आवेश के चारों ओर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र सदिश हमेशा आवेश से दूर की दिशा में इंगित करता है।

(A) अनंत रेखीय आवेश द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र है:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$
दिए गए मान:
$E = 9 \times 10^4 \ NC^{-1}$
$r = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$
हम जानते हैं कि $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$,इसलिए $\frac{1}{2 \pi \varepsilon_0} = 2 \times 9 \times 10^9 = 18 \times 10^9$.
रेखीय आवेश घनत्व $\lambda$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\lambda = E \cdot 2 \pi \varepsilon_0 \cdot r = \frac{E \cdot r}{2 \cdot (\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0})} = \frac{E \cdot r}{2 \cdot (9 \times 10^9)}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{9 \times 10^4 \times 2 \times 10^{-2}}{2 \times 9 \times 10^9}$
$\lambda = \frac{18 \times 10^2}{18 \times 10^9} = 10^{-7} \ Cm^{-1}$
$\lambda = 0.1 \times 10^{-6} \ Cm^{-1} = 0.1 \ \mu C \ m^{-1}$.

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_E$ को $\phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या विद्युत फ्लक्स के समानुपाती होती है,इसलिए $+q$ आवेश से निकलने वाली रेखाओं की संख्या सीधे आवेश $q$ के परिमाण के समानुपाती होती है।
अतः,विद्युत रेखाओं की संख्या आवेश के समानुपाती होती है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{\text{enclosed}}$ सतह द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश है।
सतह $S_2$ के लिए,घिरे हुए आवेश $+q$ और $-q$ हैं।
इसलिए,कुल घिरा हुआ आवेश $q_{\text{enclosed}} = (+q) + (-q) = 0$ है।
इसे गॉस के नियम में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Phi_E = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,सतह $S_2$ से गुजरने वाला कुल फ्लक्स शून्य है।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,कुल परिबद्ध आवेश $q_{enclosed} = (\frac{1}{\pi} + \frac{2}{\pi} + \frac{3}{\pi} + \frac{4}{\pi} - \frac{5}{\pi}) \times 10^{-9} \ C = \frac{5}{\pi} \times 10^{-9} \ C$ है।
गॉस के नियम में यह मान रखने पर:
$\phi = \frac{5 \times 10^{-9}}{\pi \varepsilon_0}$.
हम जानते हैं कि $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2 C^{-2}$,इसलिए $\frac{1}{\pi \varepsilon_0} = 4 \times 9 \times 10^9 = 36 \times 10^9$ होता है।
अतः,$\phi = 5 \times 10^{-9} \times 36 \times 10^9 = 180 \ Nm^2 C^{-1}$।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q$ सतह द्वारा घिरा कुल आवेश है और $\epsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता (permittivity) है।
दिया गया है,$q = 10^{-7} \text{ C}$ और $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \text{ C}^2 \cdot \text{N}^{-1} \cdot \text{m}^{-2}$.
मान रखने पर:
$\phi = \frac{10^{-7}}{8.854 \times 10^{-12}}$
$\phi = \frac{1}{8.854} \times 10^5$
$\phi \approx 0.1129 \times 10^5 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-1}$
$\phi \approx 1.129 \times 10^4 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-1}$
निकटतम विकल्प के अनुसार,$\phi \approx 1.13 \times 10^4 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-1}$ प्राप्त होता है।

(A) विद्युत क्षेत्र $E$ और विद्युत विभव $V$ के बीच संबंध $E = -\frac{dV}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए ग्राफ से यह देखा जा सकता है कि $x = 1 \ m$ और $x = 3 \ m$ के बीच के क्षेत्र में,विद्युत विभव $V$ स्थिर $(V = 2 \ V)$ है।
चूंकि इस क्षेत्र में विभव स्थिर है,इसलिए दूरी के सापेक्ष विभव में परिवर्तन की दर शून्य है,अर्थात $\frac{dV}{dx} = 0$.
अतः,$x = 2 \ m$ पर विद्युत क्षेत्र $E = -\frac{dV}{dx} = 0 \ V/m$ होगा।

(D) समविभव पृष्ठ वह पृष्ठ है जहाँ प्रत्येक बिंदु पर विद्युत विभव समान होता है।
इसलिए,समविभव पृष्ठ पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $(V_1 - V_2)$ $0$ होता है।
विद्युत विभव की परिभाषा के अनुसार,किसी आवेश $(q)$ को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने में किया गया कार्य $(W)$,$W = q(V_1 - V_2)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $V_1 - V_2 = 0$,इसलिए किया गया कार्य $W = q \times 0 = 0$ होता है।
अतः,समविभव पृष्ठ पर एक इकाई धनात्मक आवेश को ले जाने में कोई कार्य नहीं किया जाता है।

(D) गोले की सतह पर विद्युत विभव $V = k \frac{Q}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2$ है।
दिया गया है $V = 200 \,V$ और $R = 5 \,cm = 0.05 \,m$।
$200 = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{0.05} \implies Q = \frac{200 \times 0.05}{9 \times 10^9} = \frac{10}{9} \times 10^{-9} \,C$।
गोले के केंद्र से $r$ दूरी पर विभव $V(r) = k \frac{Q}{r}$ होता है।
बिंदु $A$ पर विभव $(r_A = 15 \,cm = 0.15 \,m)$: $V_A = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{0.15} = \frac{9 \times 10^9}{0.15} \times \frac{10}{9} \times 10^{-9} = \frac{10}{0.15} = 66.67 \,V$।
बिंदु $B$ पर विभव $(r_B = 10 \,cm = 0.10 \,m)$: $V_B = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{0.10} = \frac{9 \times 10^9}{0.10} \times \frac{10}{9} \times 10^{-9} = \frac{10}{0.10} = 100 \,V$।
$q = 5 \,C$ आवेश को $A$ से $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = q(V_B - V_A)$ है।
$W = 5 \times (100 - 66.67) = 5 \times 33.33 = 166.65 \,J \approx 166.7 \,J$।

(C) गोलीय चालक पर आवेश $q = +1 \,nC = 10^{-9} \,C$ है।
गोलीय चालक के केंद्र से बिंदु की दूरी $r = 0.5 \,m$ है।
बिंदु आवेश (या गोलीय चालक के बाहर) से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$V = (9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2) \times \frac{10^{-9} \,C}{0.5 \,m}$.
$V = 9 \times \frac{1}{0.5} \,V$.
$V = 9 \times 2 \,V = 18 \,V$.
अतः,विद्युत विभव $+18 \,V$ है।

(B) दिया गया है: परमाणु क्रमांक $Z = 50$, त्रिज्या $r = 9 \times 10^{-15} \,m$, और मूल आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$।
आवेशित गोले (नाभिक) की सतह पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र है:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r}$
चूंकि कुल आवेश $q = Z e$ है, हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$V = (9 \times 10^9) \times \frac{50 \times 1.6 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-15}}$
$V = 9 \times 10^9 \times \frac{80 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-15}}$
$V = 10^9 \times 80 \times 10^{-19} \times 10^{15}$
$V = 80 \times 10^5 = 8 \times 10^6 \,V$
अतः, विद्युत विभव $8 \times 10^6 \,V$ है।

(A) दिया गया है: आवेश $q = 5 C$,बल $F = 5000 N$,दूरी $d = 1 cm = 10^{-2} m$।
सबसे पहले,$E = F / q$ सूत्र का उपयोग करके विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ की गणना करें।
$E = 5000 / 5 = 1000 N/C$।
एक समान विद्युत क्षेत्र में $d$ दूरी पर स्थित दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $V = E \times d$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $V = 1000 \times 10^{-2} = 10 V$।

(D) दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $V$ को आवेश को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने में प्रति इकाई आवेश किए गए कार्य $W$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $V = \frac{W}{q}$
दी गई मान:
आवेश,$q = 20 C$
किया गया कार्य,$W = 2 J$
सूत्र में मान रखने पर:
$V = \frac{2 J}{20 C} = 0.1 V$
अतः,दोनों बिंदुओं के बीच विभवांतर $0.1 V$ है।

(B) विद्युत क्षेत्र एक समान है और धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में है,इसलिए $\vec{E} = E \hat{i}$ है।
आवेश $q$ पर लगने वाला विद्युत बल $\vec{F} = q \vec{E} = q E \hat{i}$ है।
चूंकि विद्युत बल एक संरक्षी बल है,इसलिए किया गया कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है,न कि तय किए गए पथ पर।
प्रारंभिक स्थिति $P(a, b, 0)$ है और अंतिम स्थिति $S(0, 0, 0)$ है।
विस्थापन सदिश $\vec{d} = \vec{S} - \vec{P} = (0 - a) \hat{i} + (0 - b) \hat{j} + (0 - 0) \hat{k} = -a \hat{i} - b \hat{j}$ है।
विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ है।
$W = (q E \hat{i}) \cdot (-a \hat{i} - b \hat{j}) = -q E a (\hat{i} \cdot \hat{i}) - q E b (\hat{i} \cdot \hat{j})$ है।
चूंकि $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ और $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,इसलिए $W = -q E a$ प्राप्त होता है।

(C) एकसमान विद्युत क्षेत्र में दो बिंदुओं के बीच विभवांतर का सूत्र $\Delta V = -\vec{E} \cdot \vec{d}$ होता है,जहाँ $\vec{d}$ प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक का विस्थापन सदिश है।
$V_A - V_B$ विभवांतर के लिए,विस्थापन सदिश $\vec{BA}$ है।
विस्थापन का परिमाण $d = |\vec{BA}| = 2 \ m$ है।
विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विस्थापन सदिश $\vec{BA}$ के बीच का कोण $\theta = 60^\circ$ है (क्योंकि यह एक समबाहु त्रिभुज है)।
अतः,$V_A - V_B = -E d \cos(\theta)$.
दिए गए मानों को रखने पर: $V_A - V_B = -(10 \ N \ C^{-1}) \times (2 \ m) \times \cos(60^\circ)$.
$V_A - V_B = -20 \times 0.5 = -10 \ V$.