समुच्चय {1, 2, 3, 4, ldots, 1000} से एक संख्य | vedclass

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Question

(C) माना $S = \{1, 2, 3, \ldots, 1000\}$ है। कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 1000$ है। माना $A$,$S$ में पूर्ण घन संख्याओं का समुच्चय है। चूँकि $10^3 =

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$\frac{19}{500}$

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(C) माना $S = \{1, 2, 3, \ldots, 1000\}$ है। कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 1000$ है। माना $A$,$S$ में पूर्ण घन संख्याओं का समुच्चय है। चूँकि $10^3 = 1000$,$A = \{1^3, 2^3, \ldots, 10^3\}$,इसलिए $n(A) = 10$ है। माना $B$,विषम संख्या में भाजक रखने वाली प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। एक संख्या के भाजकों की संख्या विषम तभी होती है जब वह एक पूर्ण वर्ग हो। $1000$ तक की सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या $31^2 = 961$ है। अतः,$B = \{1^2, 2^2, \ldots, 31^2\}$,इसलिए $n(B) = 31$ है। सर्वनिष्ठ $A \cap B$ में वे संख्याएँ हैं जो पूर्ण घन और पूर्ण वर्ग दोनों हैं,अर्थात पूर्ण छठी घात। ये संख्याएँ $1^6 = 1$,$2^6 = 64$,और $3^6 = 729$ हैं। अतः,$n(A \cap B) = 3$ है। समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 10 + 31 - 3 = 38$ है। प्रायिकता $P(A \cup B) = \frac{38}{1000} = \frac{19}{500}$ है।

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