Progression and Sequence Questions in Gujarati

(D) ધારો કે $G.P.$ ના ત્રણ પદો $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
આપેલ છે કે તેમનો ગુણાકાર $27$ છે,તેથી $\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = 27$,જેનો અર્થ છે કે $a^3 = 27$,તેથી $a = 3$.
આ પદોનો સરવાળો $S = \frac{3}{r} + 3 + 3r = 3(\frac{1}{r} + r + 1)$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $r > 0$ હોય,તો $AM \geq GM$ મુજબ,$\frac{r + \frac{1}{r}}{2} \geq \sqrt{r \cdot \frac{1}{r}} = 1$,તેથી $r + \frac{1}{r} \geq 2$.
આમ,$S = 3(r + \frac{1}{r} + 1) \geq 3(2 + 1) = 9$.
કિસ્સો $2$: જો $r < 0$ હોય,તો ધારો કે $r = -k$ જ્યાં $k > 0$. તો $r + \frac{1}{r} = -(k + \frac{1}{k}) \leq -2$.
આમ,$S = 3(r + \frac{1}{r} + 1) \leq 3(-2 + 1) = -3$.
તેથી,$S \in (-\infty, -3] \cup [9, \infty)$.

(B) આપેલ છે કે $A.P.$ ના પ્રથમ $11$ પદોનો સરવાળો $0$ છે:
$S_{11} = \frac{11}{2} (2a_{1} + 10d) = 0$
$11(a_{1} + 5d) = 0 \Rightarrow a_{1} + 5d = 0 \Rightarrow d = -\frac{a_{1}}{5}$.
આપણે શ્રેણી $a_{1}, a_{3}, a_{5}, \ldots, a_{23}$ નો સરવાળો શોધવાનો છે.
આ $12$ પદો ધરાવતી $A.P.$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $A = a_{1}$ અને સામાન્ય તફાવત $D = 2d$ છે.
સરવાળો $S'$ નીચે મુજબ મળે:
$S' = \frac{12}{2} [2A + (12-1)D] = 6 [2a_{1} + 11(2d)] = 6 [2a_{1} + 22d]$.
$d = -\frac{a_{1}}{5}$ મૂકતા:
$S' = 6 [2a_{1} + 22(-\frac{a_{1}}{5})] = 6 [2a_{1} - \frac{22a_{1}}{5}] = 6 [\frac{10a_{1} - 22a_{1}}{5}] = 6 [-\frac{12a_{1}}{5}] = -\frac{72}{5} a_{1}$.
આમ,$k = -\frac{72}{5}$.

(C) આપેલ શ્રેણી $S = (x+ka) + (x^2+(k+2)a) + (x^3+(k+4)a) + \dots$ છે,જે $9$ પદો સુધી છે.
આપણે સરવાળાને ત્રણ ભાગમાં વહેંચી શકીએ છીએ:
$S = (x + x^2 + x^3 + \dots + x^9) + (ka + ka + \dots + ka \text{ [9 વખત]}) + (0 + 2a + 4a + \dots + 16a)$.
પ્રથમ ભાગ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $x \frac{x^9-1}{x-1} = \frac{x^{10}-x}{x-1}$.
બીજો ભાગ $9ka$ છે.
ત્રીજો ભાગ એ સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $n=9$,પ્રથમ પદ $0$,અને સામાન્ય તફાવત $2a$ છે: $\frac{9}{2} [2(0) + (9-1)2a] = \frac{9}{2} [16a] = 72a$.
આમ,$S = \frac{x^{10}-x}{x-1} + 9ka + 72a = \frac{x^{10}-x + (9k+72)a(x-1)}{x-1}$.
આને આપેલ સમીકરણ $S = \frac{x^{10}-x+45a(x-1)}{x-1}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $9k + 72 = 45$ મળે છે.
$9k = 45 - 72 = -27$.
$k = -3$.

(A) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ આપેલ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત છે,જ્યાં $d > 0$.
પદો $a, a+d, a+2d, \ldots, a+10d$ છે.
મધ્યક $\bar{X} = \frac{1}{11} \sum_{i=0}^{10} (a + id) = a + \frac{d}{11} \times \frac{10 \times 11}{2} = a + 5d$.
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{X})^2$ છે.
$\sigma^2 = \frac{1}{11} \sum_{i=0}^{10} (a + id - (a + 5d))^2 = \frac{1}{11} \sum_{i=0}^{10} (i-5)^2 d^2$.
$\sigma^2 = \frac{d^2}{11} [(-5)^2 + (-4)^2 + (-3)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2]$.
$\sigma^2 = \frac{d^2}{11} [25 + 16 + 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25] = \frac{d^2}{11} [110] = 10d^2$.
આપેલ વિચરણ $90$ છે,તેથી $10d^2 = 90 \Rightarrow d^2 = 9$.
શ્રેણી વધતી જતી હોવાથી,$d > 0$,તેથી $d = 3$.

(C) આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 20$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 19 \frac{3}{5} - 20 = \frac{98}{5} - \frac{100}{5} = -\frac{2}{5}$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d] = 488$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{n}{2} [2(20) + (n - 1)(-\frac{2}{5})] = 488$.
$\frac{n}{2} [40 - \frac{2n}{5} + \frac{2}{5}] = 488$.
$n [20 - \frac{n}{5} + \frac{1}{5}] = 488$.
$n [\frac{101 - n}{5}] = 488$.
$n(101 - n) = 2440$.
$n^2 - 101n + 2440 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(n - 40)(n - 61) = 0$.
તેથી,$n = 40$ અથવા $n = 61$.
જો $n = 61$ હોય,તો $n$ મું પદ $T_n = a + (n - 1)d = 20 + (60)(-\frac{2}{5}) = 20 - 24 = -4$.
જો $n = 40$ હોય,તો $n$ મું પદ $T_n = 20 + (39)(-\frac{2}{5}) = 20 - 15.6 = 4.4$ (જે ઋણ નથી).
આમ,$n$ મું પદ ઋણ હોવા માટે,$n = 61$ અને $n$ મું પદ $-4$ છે.

(A) ધારો કે $3$ અને $243$ ની વચ્ચે $m$ સમાંતર મધ્યકો $A_1, A_2, \dots, A_m$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = \frac{243 - 3}{m + 1} = \frac{240}{m + 1}$ છે.
$4^{\text{th}}$ સમાંતર મધ્યક $A_4 = a + 4d = 3 + 4\left(\frac{240}{m + 1}\right)$ થાય.
ધારો કે $3$ અને $243$ ની વચ્ચે ત્રણ સમગુણોત્તર મધ્યકો $G_1, G_2, G_3$ છે.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \left(\frac{243}{3}\right)^{\frac{1}{3 + 1}} = (81)^{1/4} = 3$ છે.
$2^{\text{nd}}$ સમગુણોત્તર મધ્યક $G_2 = ar^2 = 3(3)^2 = 27$ થાય.
આપેલ છે કે $A_4 = G_2$,તેથી:
$3 + \frac{960}{m + 1} = 27$
$\frac{960}{m + 1} = 24$
$m + 1 = \frac{960}{24} = 40$
$m = 39$.

(D) ધારો કે પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ $25$ પદોનો સરવાળો $S_{25} = \frac{25}{2}[2(3) + 24d] = \frac{25}{2}[6 + 24d] = 25(3 + 12d) = 75 + 300d$ છે.
પછીના $15$ પદોનો સરવાળો $S_{26-40} = S_{40} - S_{25}$ છે.
$S_{40} = \frac{40}{2}[2(3) + 39d] = 20[6 + 39d] = 120 + 780d$ છે.
આપેલ છે કે $S_{25} = S_{40} - S_{25}$,જેનો અર્થ છે કે $2S_{25} = S_{40}$.
$2(75 + 300d) = 120 + 780d$.
$150 + 600d = 120 + 780d$.
$150 - 120 = 780d - 600d$.
$30 = 180d$.
$d = \frac{30}{180} = \frac{1}{6}$.

(C) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S = S_1 + S_2$ છે,જ્યાં $S_1 = (2 \cdot {}^{1}P_{0} - 3 \cdot {}^{2}P_{1} + 4 \cdot {}^{3}P_{2} - \dots$ $\text{51 પદ સુધી}$) અને $S_2 = (1! - 2! + 3! - \dots$ $\text{51 પદ સુધી}$).
આપણે જાણીએ છીએ કે ${}^{n}P_{n-1} = n!$.
તેથી,$S_1 = (2 \cdot 1! - 3 \cdot 2! + 4 \cdot 3! - \dots + 52 \cdot 51!)$.
કારણ કે $(n+1) \cdot n! = (n+1)!$,તેથી $S_1 = (2! - 3! + 4! - \dots + 52!)$.
હવે,$S_2 = (1! - 2! + 3! - 4! + \dots + 51!)$.
$S_1$ અને $S_2$ નો સરવાળો કરતા:
$S = (2! - 3! + 4! - \dots + 52!) + (1! - 2! + 3! - 4! + \dots + 51!)$.
બધા વચ્ચેના પદો ઉડી જશે:
$S = 1! + 52! = 1 + 52!$.

(C) $A.P.$ નું $n$-મું પદ $a_{n} = a_{1} + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $a_{1} = 1$ અને $a_{n} = 300$,તેથી $300 = 1 + (n-1)d$,જેનો અર્થ છે કે $(n-1)d = 299$.
$299$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $13 \times 23$ છે.
$15 \leq n \leq 50$ હોવાથી,$14 \leq n-1 \leq 49$ થાય.
$(n-1)$ માટે શક્ય કિંમતો $23$ અથવા $13$ છે (પરંતુ $n-1 \geq 14$ હોવાથી $13$ શક્ય નથી).
આમ,$n-1 = 23 \Rightarrow n = 24$ અને $d = 13$.
આપણે $(S_{n-4}, a_{n-4}) = (S_{20}, a_{20})$ શોધવાનું છે.
$a_{20} = a_{1} + 19d = 1 + 19(13) = 1 + 247 = 248$.
$S_{20} = \frac{20}{2}(a_{1} + a_{20}) = 10(1 + 248) = 10(249) = 2490$.
તેથી,ક્રમયુક્ત જોડ $(2490, 248)$ છે.

(A) બે ધન સંખ્યાઓ $2^{\sin x}$ અને $2^{\cos x}$ માટે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM \geq GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2^{\sin x} + 2^{\cos x}}{2} \geq \sqrt{2^{\sin x} \cdot 2^{\cos x}}$
$\Rightarrow 2^{\sin x} + 2^{\cos x} \geq 2 \cdot 2^{\frac{\sin x + \cos x}{2}}$
$\Rightarrow 2^{\sin x} + 2^{\cos x} \geq 2^{1 + \frac{\sin x + \cos x}{2}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin x + \cos x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-\sqrt{2}$ છે.
આ કિંમત મૂકતા:
$\min(2^{\sin x} + 2^{\cos x}) = 2^{1 + \frac{-\sqrt{2}}{2}} = 2^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = 2^{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}$

(C) ધારો કે બીજ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં $\alpha, \alpha r, \alpha r^2, \alpha r^3$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ $x^2 - 3x + p = 0$ પરથી,બીજનો સરવાળો $\alpha + \alpha r = 3 \implies \alpha(1+r) = 3$ (સમીકરણ $1$).
બીજનો ગુણાકાર $p = \alpha^2 r$ છે.
બીજા સમીકરણ $x^2 - 6x + q = 0$ પરથી,બીજનો સરવાળો $\alpha r^2 + \alpha r^3 = 6 \implies \alpha r^2(1+r) = 6$ (સમીકરણ $2$).
બીજનો ગુણાકાર $q = \alpha^2 r^5$ છે.
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ વડે ભાગતા: $\frac{\alpha r^2(1+r)}{\alpha(1+r)} = \frac{6}{3} \implies r^2 = 2$.
હવે,$p$ અને $q$ ને $\alpha$ અને $r$ ના સ્વરૂપમાં મેળવતા: $p = \alpha^2 r$ અને $q = \alpha^2 r^5 = p r^4$.
કારણ કે $r^2 = 2$,તેથી $r^4 = 4$.
આમ,$q = p(4) = 4p$.
ગુણોત્તર $\frac{2q+p}{2q-p} = \frac{2(4p)+p}{2(4p)-p} = \frac{8p+p}{8p-p} = \frac{9p}{7p} = \frac{9}{7}$.

(B) આપેલ પદાવલિ $S = 1 + \sum_{n=1}^{10} (1 - (2n)^2(2n-1))$ છે.
અહીં સરવાળામાં $10$ પદો છે અને શરૂઆતનો $1$ ઉમેરતા કુલ $11$ પદો થાય છે.
$S = 11 - \sum_{n=1}^{10} (4n^2)(2n-1) = 11 - 4 \sum_{n=1}^{10} (2n^3 - n^2)$.
$n=10$ માટે સરવાળાના સૂત્રો $\sum n^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ અને $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{n=1}^{10} n^3 = (55)^2 = 3025$.
$\sum_{n=1}^{10} n^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$S = 11 - 4 [2(3025) - 385] = 11 - 4 [6050 - 385] = 11 - 4(5665) = 11 - 22660$.
આપણે $\alpha - 220 \beta$ સ્વરૂપ જોઈએ છે. $22660 = 220 \times 103$ હોવાથી,$S = 11 - 220(103)$ મળે.
આમ,$(\alpha, \beta) = (11, 103)$.

(D) આપેલ શ્રેણી $\log_{(7^{1/2})} x + \log_{(7^{1/3})} x + \log_{(7^{1/4})} x + \dots + \log_{(7^{1/21})} x = 460$ છે.
ગુણધર્મ $\log_{(a^n)} x = \frac{1}{n} \log_a x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદોને આ રીતે લખી શકીએ:
$2 \log_7 x + 3 \log_7 x + 4 \log_7 x + \dots + 21 \log_7 x = 460$.
$\log_7 x$ ને સામાન્ય લેતા:
$\log_7 x \cdot (2 + 3 + 4 + \dots + 21) = 460$.
સમાંતર શ્રેણી $2 + 3 + \dots + 21$ નો સરવાળો $\frac{n}{2}(a + l)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = 20$,$a = 2$,અને $l = 21$.
સરવાળો $= \frac{20}{2}(2 + 21) = 10 \times 23 = 230$.
તેથી,$230 \cdot \log_7 x = 460$.
$\log_7 x = \frac{460}{230} = 2$.
આમ,$x = 7^2 = 49$.

(C) આપેલ પદાવલિ એ $n = 11$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી ($G$.$P$.) છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 2^{10}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{3}{2}$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S' = 2^{10} \cdot \frac{(\frac{3}{2})^{11} - 1}{\frac{3}{2} - 1}$.
$S' = 2^{10} \cdot \frac{\frac{3^{11}}{2^{11}} - 1}{\frac{1}{2}} = 2^{11} \cdot (\frac{3^{11} - 2^{11}}{2^{11}})$.
$S' = 3^{11} - 2^{11}$.
આપેલ છે કે $S' = S - 2^{11}$,તેથી $3^{11} - 2^{11} = S - 2^{11}$.
આમ,$S = 3^{11}$.

(B) ધારો કે $A.P.$ $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ નો સામાન્ય તફાવત $d$ છે. તો $A.P.$ $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{m}$ નો સામાન્ય તફાવત $d + 2$ થશે.
પ્રથમ $A.P.$ માટે:
$a_{40} = a_{1} + 39d = -159$ $(1)$
$a_{100} = a_{1} + 99d = -399$ $(2)$
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$60d = -240 \Rightarrow d = -4.$
$d = -4$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$a_{1} + 39(-4) = -159 \Rightarrow a_{1} - 156 = -159 \Rightarrow a_{1} = -3.$
હવે,$a_{70}$ શોધો:
$a_{70} = a_{1} + 69d = -3 + 69(-4) = -3 - 276 = -279.$
આપેલ છે કે $b_{100} = a_{70} = -279.$
બીજા $A.P.$ માટે:
$b_{100} = b_{1} + 99(d + 2) = -279.$
અહીં $d = -4$ હોવાથી,$d + 2 = -2.$
$b_{1} + 99(-2) = -279$
$b_{1} - 198 = -279$
$b_{1} = -279 + 198 = -81.$

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y) = f(x)f(y)$ છે.
$x=1, y=1$ લેતા,આપણને $f(2) = f(1)f(1) = 3^2 = 9$ મળે છે.
$x=2, y=1$ લેતા,આપણને $f(3) = f(2)f(1) = 3^2 \cdot 3 = 3^3 = 27$ મળે છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$f(x) = 3^x$ થાય.
આપણને સરવાળો $\sum_{i=1}^{n} f(i) = 363$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sum_{i=1}^{n} 3^i = 363$.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 3$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = 363$.
$\frac{3(3^n - 1)}{2} = 363$.
$3(3^n - 1) = 726$.
$3^n - 1 = 242$.
$3^n = 243$.
કારણ કે $243 = 3^5$,તેથી $n = 5$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $(a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2}-2(ab+bc+cd) p+(b^{2}+c^{2}+d^{2})=0$ છે.
આને $(a^{2}p^{2}-2abp+b^{2})+(b^{2}p^{2}-2bcp+c^{2})+(c^{2}p^{2}-2cdp+d^{2})=0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આનું સાદું રૂપ $(ap-b)^{2}+(bp-c)^{2}+(cp-d)^{2}=0$ થાય છે.
કારણ કે $a, b, c, d, p$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તેથી વર્ગોનો સરવાળો ત્યારે જ શૂન્ય થાય જો દરેક પદ શૂન્ય હોય:
$ap-b=0, bp-c=0, cp-d=0$.
આનો અર્થ એ છે કે $p = b/a = c/b = d/c$.
તેથી,ક્રમિક પદોનો ગુણોત્તર અચળ છે,જેનો અર્થ છે કે $a, b, c, d$ એ $G.P.$ માં છે.

(B) ધારો કે શ્રેણી $a_n = 1, 7, 17, 31, 49, \ldots$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત નીચે મુજબ છે:
$7 - 1 = 6$
$17 - 7 = 10$
$31 - 17 = 14$
$49 - 31 = 18$
તફાવતની શ્રેણી $6, 10, 14, 18, \ldots$ છે,જે સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 6$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 4$ છે.
મૂળ શ્રેણીનું $n^{th}$ પદ દ્વિઘાત સ્વરૂપ $a_n = An^2 + Bn + C$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$n=1$ માટે: $A + B + C = 1$
$n=2$ માટે: $4A + 2B + C = 7$
$n=3$ માટે: $9A + 3B + C = 17$
પ્રથમ સમીકરણને બીજામાંથી બાદ કરતા: $3A + B = 6$
બીજા સમીકરણને ત્રીજામાંથી બાદ કરતા: $5A + B = 10$
આ પરિણામોની બાદબાકી કરતા: $2A = 4 \implies A = 2$.
$A=2$ ને $3A + B = 6$ માં મૂકતા,આપણને $6 + B = 6 \implies B = 0$ મળે છે.
$A=2, B=0$ ને $A + B + C = 1$ માં મૂકતા,આપણને $2 + 0 + C = 1 \implies C = -1$ મળે છે.
આમ,$n^{th}$ પદ $a_n = 2n^2 - 1$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $12, 72, 432, 2592, \dots$ છે.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 12$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{72}{12} = 6$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના $n$-મા પદનું સૂત્ર $T_n = a \times r^{n-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $T_n = 12 \times 6^{n-1}$ મળે છે.
આપણે $12$ ને $2 \times 6$ તરીકે લખી શકીએ છીએ,તેથી $T_n = (2 \times 6) \times 6^{n-1} = 2 \times 6^{1 + n - 1} = 2 \times 6^{n}$.
આમ,$n$-મું પદ $2 \times 6^{n}$ છે.

(C) ધારો કે શ્રેણી $a_n = 5, 14, 29, 50, 77, \ldots$ છે.
પ્રથમ તફાવતની ગણતરી કરો: $14-5=9, 29-14=15, 50-29=21, 77-50=27$.
તફાવતો $9, 15, 21, 27, \ldots$ છે,જે $6$ ના સામાન્ય તફાવત સાથેની સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
બીજો તફાવત અચળ $(6)$ હોવાથી,$n^{th}$ પદ $a_n = An^2 + Bn + C$ સ્વરૂપનું દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
$n=1$ માટે: $A + B + C = 5$
$n=2$ માટે: $4A + 2B + C = 14$
$n=3$ માટે: $9A + 3B + C = 29$
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(4A+2B+C) - (A+B+C) = 14-5 \implies 3A + B = 9$.
$(9A+3B+C) - (4A+2B+C) = 29-14 \implies 5A + B = 15$.
આ પરિણામોની બાદબાકી કરતા: $(5A+B) - (3A+B) = 15-9 \implies 2A = 6 \implies A = 3$.
$A=3$ ને $3A+B=9$ માં મૂકતા: $3(3) + B = 9 \implies B = 0$.
$A=3, B=0$ ને $A+B+C=5$ માં મૂકતા: $3 + 0 + C = 5 \implies C = 2$.
આમ,$n^{th}$ પદ $a_n = 3n^2 + 2$ છે.

(C) ધારો કે $20$ અને $76$ ની વચ્ચે છ સમાંતર મધ્યકો $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ છે.
તેથી,શ્રેણી $20, A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, 76$ એ $n = 8$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે.
પ્રથમ પદ $a = 20$ અને અંતિમ પદ $a_8 = 76$ છે.
$n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$76 = 20 + (8 - 1)d$.
$76 - 20 = 7d \Rightarrow 56 = 7d \Rightarrow d = 8$.
સમાંતર મધ્યકો નીચે મુજબ છે:
$A_1 = 20 + 8 = 28$
$A_2 = 28 + 8 = 36$
$A_3 = 36 + 8 = 44$
$A_4 = 44 + 8 = 52$
$A_5 = 52 + 8 = 60$
$A_6 = 60 + 8 = 68$
આમ,સમાંતર મધ્યકો $28, 36, 44, 52, 60, 68$ છે.

(B) ધારો કે પદોની સંખ્યા $n$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે,પ્રથમ પદ $a = 75$ અને અંતિમ પદ $l = a_n = 375$.
$AP$ ના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $3600 = \frac{n}{2}(75 + 375)$.
$3600 = \frac{n}{2}(450)$.
$3600 = 225n$.
$n = \frac{3600}{225} = 16$.
હવે,$n$ માં પદ માટેનું સૂત્ર વાપરતા: $a_n = a + (n - 1)d$.
$375 = 75 + (16 - 1)d$.
$375 - 75 = 15d$.
$300 = 15d$.
$d = \frac{300}{15} = 20$.
આમ,પદોની સંખ્યા $16$ છે અને સામાન્ય તફાવત $20$ છે.

(C) સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ ના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ છે,જ્યાં $n$ એ પદોની સંખ્યા છે,$a_1$ એ પ્રથમ પદ છે અને $a_n$ એ અંતિમ પદ છે.
આપેલ છે:
પદોની સંખ્યા $n = 40$
પ્રથમ પદ $a_1 = 80$
અંતિમ પદ $a_{40} = 275$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$S_{40} = \frac{40}{2}(80 + 275)$
$S_{40} = 20(355)$
$S_{40} = 7100$
આમ,$40$ પદોનો સરવાળો $7100$ થાય છે.

(C) આપેલ શ્રેણી એક સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 6$ છે.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ની ગણતરી $r = \frac{12}{6} = 2$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
$GP$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $T_n = a \times r^{n-1}$ છે.
સાતમું પદ $(n = 7)$ શોધવા માટે:
$T_7 = 6 \times 2^{7-1} = 6 \times 2^6$.
કારણ કે $2^6 = 64$,તેથી:
$T_7 = 6 \times 64 = 384$.

(B) આપેલ શ્રેણી એક ગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ છે.
પ્રથમ પદ $(a)$ = $39366$.
સામાન્ય ગુણોત્તર $(r)$ = $\frac{13122}{39366} = \frac{1}{3}$.
$GP$ નું $n$ મું પદ શોધવાનું સૂત્ર $a_n = a \cdot r^{n-1}$ છે.
સાતમું પદ $(a_7)$ શોધવા માટે,આપણે $n = 7$,$a = 39366$,અને $r = \frac{1}{3}$ મૂકીએ છીએ:
$a_7 = 39366 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{7-1}$
$a_7 = 39366 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^6$
$a_7 = 39366 \cdot \frac{1}{729}$
$a_7 = 54$.

(A) આપેલ શ્રેણી એક $GP$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a_1 = 21a$ છે.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ શોધવા માટે,આપણે બીજા પદને પ્રથમ પદ વડે ભાગીએ છીએ: $r = \frac{84a^3}{21a} = 4a^2$.
$GP$ નું $n$ મું પદ શોધવાનું સૂત્ર $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ છે.
સાતમા પદ $(n = 7)$ માટે:
$a_7 = (21a) \cdot (4a^2)^{7-1}$
$a_7 = 21a \cdot (4a^2)^6$
$a_7 = 21a \cdot 4^6 \cdot a^{12}$
$a_7 = 21 \cdot 4096 \cdot a^{13}$
$a_7 = 86016a^{13}$.

(C) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $a = 1024$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2}$.
$GP$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ છે,જ્યાં $r < 1$ છે.
$n = 7$ માટે કિંમતો મૂકતા:
$S_7 = \frac{1024(1 - (\frac{1}{2})^7)}{1 - \frac{1}{2}}$
$S_7 = \frac{1024(1 - \frac{1}{128})}{\frac{1}{2}}$
$S_7 = 1024 \times (\frac{127}{128}) \times 2$
$S_7 = 8 \times 127 \times 2 = 16 \times 127 = 2032$.

(B) ધારો કે $GP$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
આપેલ છે કે તેમનો ગુણાકાર $8000$ છે,તેથી $\frac{a}{r} \times a \times ar = 8000$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $a^3 = 8000$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a = 20$.
આપેલ છે કે તેમનો સરવાળો $105$ છે,તેથી $\frac{a}{r} + a + ar = 105$.
$a = 20$ મૂકતા,આપણને $\frac{20}{r} + 20 + 20r = 105$ મળે.
$5$ વડે ભાગતા,$\frac{4}{r} + 4 + 4r = 21$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $4r^2 - 17r + 4 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $4r^2 - 16r - r + 4 = 0$ ઉકેલતા,આપણને $4r(r - 4) - 1(r - 4) = 0$ મળે.
આમ,$(4r - 1)(r - 4) = 0$,તેથી $r = 4$ અથવા $r = \frac{1}{4}$.
જો $r = 4$ હોય,તો સંખ્યાઓ $\frac{20}{4}, 20, 20 \times 4$ એટલે કે $5, 20, 80$ થાય.
જો $r = \frac{1}{4}$ હોય,તો સંખ્યાઓ $\frac{20}{1/4}, 20, 20 \times \frac{1}{4}$ એટલે કે $80, 20, 5$ થાય.
બંને કિસ્સામાં,સંખ્યાઓનો સમૂહ ${5, 20, 80}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $AM = 17$ અને $GM = 8$.
ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $AM = \frac{a+b}{2} = 17 \implies a+b = 34$ $(1)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $GM = \sqrt{ab} = 8 \implies ab = 64$ $(2)$.
સંબંધ $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(a-b)^2 = (34)^2 - 4(64) = 1156 - 256 = 900$.
તેથી,$a-b = 30$ $(3)$.
$(1)$ અને $(3)$ ને ઉકેલતા,આપણને $2a = 64 \implies a = 32$ અને $b = 2$ મળે છે.
હાર્મોનિક મધ્યક $(HM)$ નું સૂત્ર $HM = \frac{2ab}{a+b} = \frac{2(64)}{34} = \frac{128}{34} = \frac{64}{17}$ છે.
$AP$ એ $2, 17, 32$ છે.
$GP$ એ $2, 8, 32$ છે.
$HP$ એ $2, \frac{64}{17}, 32$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણી એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = \frac{n-1}{n}$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = \frac{1}{n}$ લેતા (શ્રેણીના પદોને સુધારતા): $d = \frac{n}{n} - \frac{n-1}{n} = \frac{1}{n}$.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા: $S_n = \frac{n}{2} [2(\frac{n-1}{n}) + (n-1)(\frac{1}{n})]$.
$S_n = \frac{n}{2} [\frac{2n-2+n-1}{n}] = \frac{n}{2} [\frac{3n-3}{n}] = \frac{3(n-1)}{2}$.

(C) પ્રથમ સમાંતર શ્રેણી $(AP_1)$ માટે: $3, 7, 11, 15, \ldots$
અહીં,પ્રથમ પદ $a_1 = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d_1 = 7 - 3 = 4$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_{n_1} = \frac{n}{2} \{2a_1 + (n - 1)d_1\} = \frac{n}{2} \{2(3) + (n - 1)4\} = \frac{n}{2} \{6 + 4n - 4\} = \frac{n}{2} \{4n + 2\} = n(2n + 1)$ છે.
બીજી સમાંતર શ્રેણી $(AP_2)$ માટે: $30, 33, 36, 39, \ldots$
અહીં,પ્રથમ પદ $a_2 = 30$ અને સામાન્ય તફાવત $d_2 = 33 - 30 = 3$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_{n_2} = \frac{n}{2} \{2a_2 + (n - 1)d_2\} = \frac{n}{2} \{2(30) + (n - 1)3\} = \frac{n}{2} \{60 + 3n - 3\} = \frac{n}{2} \{57 + 3n\} = \frac{3n(19 + n)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે $S_{n_1} = S_{n_2}$:
$n(2n + 1) = \frac{3n(19 + n)}{2}$
$n \neq 0$ હોવાથી,$n$ વડે ભાગતા:
$2n + 1 = \frac{3(19 + n)}{2}$
$2(2n + 1) = 3(19 + n)$
$4n + 2 = 57 + 3n$
$4n - 3n = 57 - 2$
$n = 55$.

(B) $GP$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$S_{20} = 1025 \times S_{10}$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{a(r^{20} - 1)}{r - 1} = 1025 \times \frac{a(r^{10} - 1)}{r - 1}$.
ધારો કે $r \neq 1$ અને $a \neq 0$,તો સાદું રૂપ આપતા: $r^{20} - 1 = 1025(r^{10} - 1)$.
કારણ કે $r^{20} - 1 = (r^{10})^2 - 1^2 = (r^{10} - 1)(r^{10} + 1)$,તેથી:
$(r^{10} - 1)(r^{10} + 1) = 1025(r^{10} - 1)$.
જો $r^{10} - 1 \neq 0$ હોય,તો $r^{10} + 1 = 1025$.
$r^{10} = 1024$.
$r^{10} = 2^{10}$.
તેથી,$r = \pm 2$.

(C) આપેલ શ્રેણી $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \cdots$ છે.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ છે,જ્યાં $|r| < 1$ હોય.
અહીં,$|r| = |\frac{1}{2}| < 1$ હોવાથી,સરવાળો શક્ય છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $S_{\infty} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$ મળે છે.

(D) ધારો કે સરવાળો $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \frac{5}{3^4} + \cdots$ છે.
આ એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેનું સ્વરૂપ $S = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ છે,જ્યાં $x = \frac{1}{3}$ છે.
આ શ્રેણીનો સરવાળો $|x| < 1$ માટે $S = \frac{1}{(1-x)^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
સૂત્રમાં $x = \frac{1}{3}$ મૂકતા:
$S = \frac{1}{(1 - \frac{1}{3})^2}$
$S = \frac{1}{(\frac{2}{3})^2}$
$S = \frac{1}{\frac{4}{9}}$
$S = \frac{9}{4}$

(B) બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ગુણોત્તર મધ્યક $(GM)$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $GM = \sqrt{a \times b}$ છે.
અહીં $a = \frac{3}{2}$ અને $b = \frac{27}{2}$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$GM = \sqrt{\frac{3}{2} \times \frac{27}{2}}$
$GM = \sqrt{\frac{81}{4}}$
$GM = \frac{9}{2}$.

(C) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ ના $n$ મા પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
આપેલ છે કે $9$ મું પદ $a_9 = -6$ અને સામાન્ય તફાવત $d = \frac{5}{4}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$a_9 = a + (9 - 1)d$
$-6 = a + 8 \times \left(\frac{5}{4}\right)$
$-6 = a + 2 \times 5$
$-6 = a + 10$
$a = -6 - 10 = -16$.
હવે,આપણે $25$ મું પદ $(a_{25})$ શોધવાનું છે:
$a_{25} = a + (25 - 1)d$
$a_{25} = -16 + 24 \times \left(\frac{5}{4}\right)$
$a_{25} = -16 + 6 \times 5$
$a_{25} = -16 + 30 = 14$.
આમ,$25$ મું પદ $14$ છે.

(A) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ $5, 13, 21, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 5$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 13 - 5 = 8$ છે.
ધારો કે $AP$ નું $n$ મું પદ $181$ છે,એટલે કે $a_n = 181$.
$AP$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $181 = 5 + (n - 1)8$.
બંને બાજુથી $5$ બાદ કરતા: $176 = (n - 1)8$.
$8$ વડે ભાગતા: $n - 1 = 176 / 8 = 22$.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા: $n = 23$.
તેથી,$181$ એ $AP$ નું $23$ મું પદ છે.

(B) આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{n}$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$d = \frac{n+1}{n} - \frac{1}{n} = \frac{n+1-1}{n} = \frac{n}{n} = 1$.
સમાંતર શ્રેણીના $n^{th}$ પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n-1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$a_n = \frac{1}{n} + (n-1)(1)$
$a_n = \frac{1}{n} + n - 1$
$a_n = \frac{1 + n(n-1)}{n}$
$a_n = \frac{1 + n^2 - n}{n}$.

(A) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત છે.
$A.P.$ નું $n$-મું પદ $a_n = a + (n-1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $a_p = q$,તેથી $a + (p-1)d = q$ $....(1)$
આપેલ છે કે $a_q = p$,તેથી $a + (q-1)d = p$ $....(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ માંથી બાદ કરતા:
$(a + (p-1)d) - (a + (q-1)d) = q - p$
$(p - 1 - q + 1)d = -(p - q)$
$(p - q)d = -(p - q)$
$d = -1$
$d = -1$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a + (p-1)(-1) = q$
$a - p + 1 = q$
$a = p + q - 1$
હવે,$r$-મું પદ $a_r = a + (r-1)d$ છે.
$a_r = (p + q - 1) + (r - 1)(-1)$
$a_r = p + q - 1 - r + 1$
$a_r = p + q - r$

(A) આપેલ છે કે $\frac{2}{3}, k, \frac{5}{8} k$ એ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં છે,તેથી ક્રમિક પદો વચ્ચેનો સામાન્ય તફાવત સમાન હોવો જોઈએ.
તેથી,$k - \frac{2}{3} = \frac{5}{8} k - k$.
$k$ ને એક બાજુ લાવતા:
$k - \frac{5}{8} k + k = \frac{2}{3}$
$2k - \frac{5}{8} k = \frac{2}{3}$
ડાબી બાજુએ લસાઅ લેતા:
$\frac{16k - 5k}{8} = \frac{2}{3}$
$\frac{11k}{8} = \frac{2}{3}$
$k$ ની કિંમત શોધતા:
$k = \frac{2}{3} \times \frac{8}{11} = \frac{16}{33}$.

(D) આપેલ પદો $k+2, 4k-6$ અને $3k-2$ એ $A.P.$ માં હોવાથી,ક્રમિક પદો વચ્ચેનો સામાન્ય તફાવત સમાન હોવો જોઈએ.
તેથી,$(4k-6) - (k+2) = (3k-2) - (4k-6)$.
ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા: $4k - 6 - k - 2 = 3k - 8$.
જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા: $3k - 2 - 4k + 6 = -k + 4$.
બંને બાજુ સરખાવતા: $3k - 8 = -k + 4$.
બંને બાજુ $k$ ઉમેરતા: $4k - 8 = 4$.
બંને બાજુ $8$ ઉમેરતા: $4k = 12$.
$4$ વડે ભાગતા: $k = 3$.

(D) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n-1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $7$ મા પદ અને $3$ જા પદનો ગુણોત્તર $12:5$ છે:
$\frac{a + 6d}{a + 2d} = \frac{12}{5}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$5(a + 6d) = 12(a + 2d)$
$5a + 30d = 12a + 24d$
$30d - 24d = 12a - 5a$
$6d = 7a$
$a = \frac{6}{7}d$
હવે,આપણે $13$ મા પદ અને $4$ થા પદનો ગુણોત્તર શોધવાનો છે:
$\frac{a_{13}}{a_4} = \frac{a + 12d}{a + 3d}$
$a = \frac{6}{7}d$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{\frac{6}{7}d + 12d}{\frac{6}{7}d + 3d} = \frac{\frac{6d + 84d}{7}}{\frac{6d + 21d}{7}} = \frac{90d}{27d} = \frac{90}{27}$
અંશ અને છેદને $9$ વડે ભાગતા:
$\frac{90}{27} = \frac{10}{3}$
આમ,ગુણોત્તર $10:3$ છે.

(C) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n-1)d$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$a_7 = a + 6d$ અને $a_{11} = a + 10d$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,$7a_7 = 11a_{11}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$7(a + 6d) = 11(a + 10d)$ મળે.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $7a + 42d = 11a + 110d$.
પદોને ગોઠવતા: $7a - 11a = 110d - 42d$.
$-4a = 68d$,જેનું સાદું રૂપ $a = -17d$ (સમીકરણ $1$) મળે છે.
આપણે $18$ મું પદ શોધવાનું છે,$a_{18} = a + 17d$.
સમીકરણ $1$ માંથી $a = -17d$ ની કિંમત $a_{18}$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a_{18} = -17d + 17d = 0$.
આમ,$A.P.$ નું $18$ મું પદ $0$ છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$4$થું પદ $a_4 = a + 3d$ છે. પ્રશ્ન મુજબ,$a_4 = 3a$.
તેથી,$a + 3d = 3a \Rightarrow 3d = 2a \Rightarrow a = \frac{3}{2}d$ $...(1)$
$7$મું પદ $a_7 = a + 6d$ છે અને $3$જું પદ $a_3 = a + 2d$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$a_7 = 2a_3 + 1$.
તેથી,$a + 6d = 2(a + 2d) + 1$
$a + 6d = 2a + 4d + 1$
$2d - a = 1$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $a = \frac{3}{2}d$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2d - \frac{3}{2}d = 1$
$\frac{4d - 3d}{2} = 1$
$\frac{d}{2} = 1 \Rightarrow d = 2$
હવે,$d = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a = \frac{3}{2} \times 2 = 3$
આમ,પ્રથમ પદ $3$ અને સામાન્ય તફાવત $2$ છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
આપેલ છે કે $9$ મું પદ $99$ છે:
$a + 8d = 99$ $...(1)$
આપેલ છે કે $99$ મું પદ $9$ છે:
$a + 98d = 9$ $...(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(a + 98d) - (a + 8d) = 9 - 99$
$90d = -90$
$d = -1$
$d = -1$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a + 8(-1) = 99$
$a - 8 = 99$
$a = 107$
હવે,$108$ મું પદ $(a_{108})$ શોધો:
$a_{108} = a + (108 - 1)d$
$a_{108} = 107 + 107(-1)$
$a_{108} = 107 - 107 = 0$
આમ,$108$ મું પદ $0$ છે.

(C) ધારો કે $A$ એ $A.P.$ નું પ્રથમ પદ છે અને $D$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
$p$ મું પદ $a = A + (p-1)D$ $...(1)$
$q$ મું પદ $b = A + (q-1)D$ $...(2)$
$r$ મું પદ $c = A + (r-1)D$ $...(3)$
હવે,આ કિંમતોને $a(q-r) + b(r-p) + c(p-q)$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$= [A + (p-1)D](q-r) + [A + (q-1)D](r-p) + [A + (r-1)D](p-q)$
$= A(q-r + r-p + p-q) + D[(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)]$
$= A(0) + D[pq - pr - q + r + qr - qp - r + p + rp - rq - p + q]$
$= 0 + D[0] = 0$
આમ,પદાવલિની કિંમત $0$ છે.

(D) પદાર્થ દ્વારા પ્રથમ,બીજી,ત્રીજી,ચોથી,... સેકન્ડમાં કાપેલ અંતર એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે: $16, 48, 80, 112, \dots$
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 16$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 48 - 16 = 32$ છે.
$n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલ અંતર એ સમાંતર શ્રેણીના $n^{th}$ પદ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T_n = a + (n - 1)d$.
$11^{th}$ સેકન્ડ માટે,$n = 11$ લેતા.
$T_{11} = 16 + (11 - 1) \times 32$
$T_{11} = 16 + 10 \times 32$
$T_{11} = 16 + 320 = 336\, m$.

(A) દડા દ્વારા ક્રમિક સેકન્ડોમાં કાપેલ અંતર $36\, m, 32\, m, 28\, m, \dots$ છે.
આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 36$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 32 - 36 = -4$ છે.
$n^{th}$ સેકન્ડ દરમિયાન કાપેલું અંતર સમાંતર શ્રેણીના $n^{th}$ પદના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$T_n = a + (n - 1)d$
$8^{th}$ સેકન્ડ માટે,$n = 8$ લેતા:
$T_8 = 36 + (8 - 1)(-4)$
$T_8 = 36 + 7(-4)$
$T_8 = 36 - 28$
$T_8 = 8\, m$
આમ,દડો $8^{th}$ સેકન્ડ દરમિયાન $8\, m$ અંતર કાપશે.

(B) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ મું પદ $t_{n} = a + (n - 1)d$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $t_{2} = 2$,તેથી $a + d = 2$ $...(1)$.
આપેલ છે કે $t_{7} = 22$,તેથી $a + 6d = 22$ $...(2)$.
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(a + 6d) - (a + d) = 22 - 2$
$5d = 20$,જેનો અર્થ છે કે $d = 4$.
$d = 4$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a + 4 = 2$,તેથી $a = -2$.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
$n = 35$ માટે:
$S_{35} = \frac{35}{2}[2(-2) + (35 - 1)4]$
$S_{35} = \frac{35}{2}[-4 + 34 \times 4]$
$S_{35} = \frac{35}{2}[-4 + 136]$
$S_{35} = \frac{35}{2} \times 132$
$S_{35} = 35 \times 66 = 2310$.

(C) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $a_5 = 30$,તેથી $a + 4d = 30$ --- $(1)$
આપેલ છે કે $a_{12} = 65$,તેથી $a + 11d = 65$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(a + 11d) - (a + 4d) = 65 - 30$
$7d = 35$
$d = 5$
$d = 5$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a + 4(5) = 30$
$a + 20 = 30$
$a = 10$
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 20$ માટે:
$S_{20} = \frac{20}{2}[2(10) + (20-1)5]$
$S_{20} = 10[20 + 19 \times 5]$
$S_{20} = 10[20 + 95]$
$S_{20} = 10 \times 115 = 1150$.