Progression and Sequence Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$n$ મું પદ $a_n = a + (n - 1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $a_{12} = -13$,તેથી $a + 11d = -13$ --- $(1)$.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
આપેલ છે કે $S_4 = 24$,તેથી $\frac{4}{2}[2a + 3d] = 24$,જેનું સાદું રૂપ $2a + 3d = 12$ થાય છે --- $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે ગુણતા $2a + 22d = -26$ મળે છે --- $(3)$.
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(2a + 22d) - (2a + 3d) = -26 - 12$
$19d = -38$,તેથી $d = -2$.
$d = -2$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a + 11(-2) = -13$
$a - 22 = -13$,તેથી $a = 9$.
હવે,પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $(S_{10})$ શોધીએ:
$S_{10} = \frac{10}{2}[2(9) + (10 - 1)(-2)]$
$S_{10} = 5[18 + 9(-2)]$
$S_{10} = 5[18 - 18] = 5(0) = 0$.

(A) ધારો કે $n$ એ પદોની સંખ્યા છે,$a$ એ પ્રથમ પદ છે,$l$ એ અંતિમ પદ છે,અને $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ છે: $S_n = 525$,$a = 3$,$l = 39$.
$A.P.$ ના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $525 = \frac{n}{2}(3 + 39)$.
$525 = \frac{n}{2}(42) \Rightarrow 525 = 21n$.
$n = \frac{525}{21} = 25$.
હવે,$n$ માં પદ માટેનું સૂત્ર વાપરતા: $l = a + (n - 1)d$.
$39 = 3 + (25 - 1)d$.
$39 - 3 = 24d$.
$36 = 24d$.
$d = \frac{36}{24} = \frac{3}{2}$.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a = 100$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ છ પદોનો સરવાળો $S_6 = \frac{6}{2}[2(100) + 5d] = 3(200 + 5d) = 600 + 15d$ થાય.
પછીના છ પદોનો સરવાળો એ પ્રથમ $12$ પદોના સરવાળામાંથી પ્રથમ $6$ પદોનો સરવાળો બાદ કરવાથી મળે છે: $S_{12} - S_6$.
$S_{12} = \frac{12}{2}[2(100) + 11d] = 6(200 + 11d) = 1200 + 66d$ થાય.
પછીના છ પદોનો સરવાળો $= (1200 + 66d) - (600 + 15d) = 600 + 51d$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,$S_6 = 5 \times (\text{પછીના છ પદોનો સરવાળો})$.
$600 + 15d = 5(600 + 51d)$.
$600 + 15d = 3000 + 255d$.
$15d - 255d = 3000 - 600$.
$-240d = 2400$.
$d = \frac{2400}{-240} = -10$.

(C) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $a = -14$ અને પાંચમું પદ $a_5 = 2$.
ધારો કે $d$ એ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત છે.
સૂત્ર $a_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા,$a_5 = a + 4d = 2$ મળે.
$a = -14$ મૂકતા: $-14 + 4d = 2 \Rightarrow 4d = 16 \Rightarrow d = 4$.
ધારો કે પદોની સંખ્યા $n$ છે જેથી સરવાળો $S_n = 40$ થાય.
સરવાળાના સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$40 = \frac{n}{2}[2(-14) + (n-1)4]$
$80 = n[-28 + 4n - 4]$
$80 = n[4n - 32]$
$80 = 4n^2 - 32n$
$4$ વડે ભાગતા: $n^2 - 8n - 20 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(n - 10)(n + 2) = 0$.
આમ,$n = 10$ અથવા $n = -2$.
પદોની સંખ્યા $n$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $n = 10$.

(A) આપેલ શ્રેણી એક સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 51$,સામાન્ય તફાવત $d = -1$,અને અંતિમ પદ $a_n = 21$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $a_n = a + (n - 1)d$.
કિંમતો મૂકતા: $21 = 51 + (n - 1)(-1)$.
$21 = 51 - n + 1$.
$21 = 52 - n$.
$n = 52 - 21 = 31$.
હવે,સરવાળાના સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_{31} = \frac{31}{2}(51 + 21)$.
$S_{31} = \frac{31}{2}(72)$.
$S_{31} = 31 \times 36 = 1116$.

(B) આપેલ છે કે $p$ પદોનો સરવાળો $S_p = 3p^2 + 4p$ છે.
$n$ મું પદ $(a_n)$ શોધવા માટે,આપણે $a_n = S_n - S_{n-1}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રથમ,$p = n$ મૂકતા,$S_n = 3n^2 + 4n$ મળે છે.
ત્યારબાદ,$p = n-1$ મૂકતા,$S_{n-1} = 3(n-1)^2 + 4(n-1)$ મળે છે.
$S_{n-1}$ નું વિસ્તરણ કરતા: $S_{n-1} = 3(n^2 - 2n + 1) + 4n - 4 = 3n^2 - 6n + 3 + 4n - 4 = 3n^2 - 2n - 1$.
હવે,$a_n = S_n - S_{n-1} = (3n^2 + 4n) - (3n^2 - 2n - 1)$ ગણતરી કરતા.
$a_n = 3n^2 + 4n - 3n^2 + 2n + 1 = 6n + 1$.

(B) અહીં $A.P.$ $1, 4, 7, \ldots$ છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 4 - 1 = 3$ છે.
ધારો કે $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 715$ છે.
$n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $715 = \frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)3]$.
$1430 = n[2 + 3n - 3]$.
$1430 = n[3n - 1]$.
$3n^2 - n - 1430 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(3)(-1430)}}{2(3)}$.
$n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 17160}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{17161}}{6} = \frac{1 \pm 131}{6}$.
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = \frac{1 + 131}{6} = \frac{132}{6} = 22$.

(C) $5$ વડે વિભાજ્ય બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $10$ ના ગુણકો છે,જે $10, 20, 30, 40, \ldots$ છે.
આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 10$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 10$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
$n = 100$ માટે,આપણને મળે છે:
$S_{100} = \frac{100}{2}[2 \times 10 + (100 - 1) \times 10]$
$S_{100} = 50[20 + 99 \times 10]$
$S_{100} = 50[20 + 990]$
$S_{100} = 50[1010]$
$S_{100} = 50500$.

(D) $50$ પછીની $7$ વડે વિભાજ્ય પ્રથમ પૂર્ણાંક સંખ્યા $56$ છે અને $500$ પહેલાની $7$ વડે વિભાજ્ય છેલ્લી પૂર્ણાંક સંખ્યા $497$ છે.
$50$ અને $500$ ની વચ્ચે $7$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંક સંખ્યાઓની શ્રેણી $56, 63, 70, \ldots, 497$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 56$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 7$ છે.
$n$ માં પદ માટેનું સૂત્ર: $a_n = a + (n - 1)d.$
કિંમતો મૂકતા: $497 = 56 + (n - 1) \times 7.$
$497 - 56 = (n - 1) \times 7 \implies 441 = (n - 1) \times 7.$
$n - 1 = 441 / 7 = 63 \implies n = 64.$
સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$S_{64} = \frac{64}{2}(56 + 497) = 32 \times 553 = 17696.$

(C) $7$ વડે વિભાજ્ય ત્રણ અંકની સૌથી નાની અને સૌથી મોટી સંખ્યા અનુક્રમે $105$ અને $994$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $105, 112, 119, \ldots, 994$.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 105$,સામાન્ય તફાવત $d = 7$ અને અંતિમ પદ $a_n = 994$ છે.
$n$-મું પદ શોધવાનું સૂત્ર: $a_n = a + (n - 1)d$.
$994 = 105 + (n - 1) \times 7$
$994 - 105 = 7(n - 1)$
$889 = 7(n - 1)$
$n - 1 = 127 \Rightarrow n = 128$.
હવે,$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$S_{128} = \frac{128}{2}(105 + 994)$
$S_{128} = 64 \times 1099 = 70336$.

(A) $9$ વડે વિભાજ્ય ચાર અંકની એકી સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) બનાવે છે.
$9$ વડે વિભાજ્ય ચાર અંકની સૌથી નાની એકી સંખ્યા $1017$ છે (કારણ કે $1008$ બેકી છે અને $1017$ એકી છે).
$9$ વડે વિભાજ્ય ચાર અંકની સૌથી મોટી એકી સંખ્યા $9999$ છે.
સંખ્યાઓ એકી હોવી જોઈએ અને $9$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ,તેથી ક્રમિક પદો વચ્ચેનો સામાન્ય તફાવત $d = 18$ થશે (કારણ કે $9 \times 2 = 18$).
સમાંતર શ્રેણીના $n$-માં પદના સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$9999 = 1017 + (n - 1) \times 18$
$8982 = (n - 1) \times 18$
$n - 1 = 8982 / 18 = 499$
$n = 500$
સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ છે:
$S_{500} = \frac{500}{2}(1017 + 9999)$
$S_{500} = 250 \times 11016 = 2754000$.

(A) આપેલ શ્રેણી એક ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{3}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1/9}{1/3} = \frac{1}{3}$ છે.
ધારો કે $n$-મું પદ $a_n = \frac{1}{19683}$ છે.
ભૌમિતિક શ્રેણીના $n$-મા પદનું સૂત્ર $a_n = a \cdot r^{n-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{19683} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{19683} = (\frac{1}{3})^n$ મળે છે.
કારણ કે $3^9 = 19683$,તેથી $(\frac{1}{3})^9 = \frac{1}{19683}$ થાય.
ઘાતની સરખામણી કરતા,આપણને $n = 9$ મળે છે.

(A) આપેલી ભૌમિતિક શ્રેણી $5+25+125+\cdots$ છે.
પ્રથમ પદ $a = 5$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{25}{5} = 5$ છે.
ભૌમિતિક શ્રેણીના $n$ મા પદનું સૂત્ર $a_n = a \cdot r^{n-1}$ છે.
$10$ મા પદ માટે,$n = 10$ લો.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $a_{10} = 5 \cdot 5^{10-1}$ મળે છે.
$a_{10} = 5 \cdot 5^9 = 5^{1+9} = 5^{10}$.

(B) આપેલ શ્રેણી એક સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{-1}{1} = -1$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a \cdot r^{n-1}$ છે.
$20$ મું પદ $(n = 20)$ શોધવા માટે:
$a_{20} = 1 \cdot (-1)^{20-1}$
$a_{20} = 1 \cdot (-1)^{19}$
અહીં $19$ એ એકી સંખ્યા હોવાથી,$(-1)^{19} = -1$ થાય.
તેથી,$a_{20} = 1 \cdot (-1) = -1$.

(C) આપેલ શ્રેણી એક સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{4}$ છે.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{-1/2}{1/4} = -2$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના $n$મા પદનું સૂત્ર $a_n = a \cdot r^{n-1}$ છે.
$5$મું પદ $(n = 5)$ શોધવા માટે:
$a_5 = \frac{1}{4} \times (-2)^{5-1}$
$a_5 = \frac{1}{4} \times (-2)^4$
$a_5 = \frac{1}{4} \times 16$
$a_5 = 4$.

(B) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $r$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
$G.P.$ નું $n$ મું પદ $a_n = a r^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $5$ મું પદ $2$ છે, તેથી:
$a_5 = a r^{5-1} = a r^4 = 2$ $...(1)$
આપણે પ્રથમ $9$ પદોનો ગુણાકાર શોધવાનો છે:
$P = a \times (a r) \times (a r^2) \times \dots \times (a r^8)$
$P = a^9 \times r^{(1 + 2 + 3 + \dots + 8)}$
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{n(n+1)}{2}$ દ્વારા મળે છે.
$n=8$ માટે, સરવાળો $\frac{8 \times 9}{2} = 36$ થાય છે.
તેથી, $P = a^9 \times r^{36} = (a r^4)^9$.
સમીકરણ $(1)$ માંથી કિંમત મૂકતા:
$P = (2)^9 = 512$.

(C) આપેલ શ્રેણી એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 18$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{-12}{18} = \frac{-2}{3}$ છે.
ધારો કે $n$ મું પદ $a_n = \frac{512}{729}$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના $n$ મા પદનું સૂત્ર $a_n = a r^{n-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે $\frac{512}{729} = 18 \left( \frac{-2}{3} \right)^{n-1}$.
બંને બાજુ $18$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\left( \frac{-2}{3} \right)^{n-1} = \frac{512}{729 \times 18} = \frac{256}{729 \times 9} = \frac{2^8}{3^6 \times 3^2} = \frac{2^8}{3^8} = \left( \frac{2}{3} \right)^8$.
કારણ કે આધાર ઋણ છે અને ઘાતાંક બેકી સંખ્યા છે,તેથી $\left( \frac{-2}{3} \right)^8 = \left( \frac{2}{3} \right)^8$.
આમ,$\left( \frac{-2}{3} \right)^{n-1} = \left( \frac{-2}{3} \right)^8$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,$n - 1 = 8$,જે આપણને $n = 9$ આપે છે.
તેથી,$\frac{512}{729}$ એ શ્રેણીનું $9$ મું પદ છે.

(C) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $r$ એ $G.P.$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
$G.P.$ નું $n^{th}$ પદ $a_n = ar^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $3^{rd}$ પદ એ પ્રથમ પદનો વર્ગ છે:
$a_3 = (a_1)^2$
$ar^2 = a^2$
અહીં $a \neq 0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા આપણને $r^2 = a$ મળે છે $....(1)$
આપેલ છે કે $2^{nd}$ પદ $8$ છે:
$a_2 = ar = 8$ $....(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $a = r^2$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$(r^2)r = 8$
$r^3 = 8$
$r = 2$
હવે,$a = r^2$ નો ઉપયોગ કરીને $a$ શોધો:
$a = (2)^2 = 4$
આપણે $6^{th}$ પદ $(a_6)$ શોધવાનું છે:
$a_6 = ar^5$
$a_6 = 4 \times (2)^5$
$a_6 = 4 \times 32 = 128$
તેથી,$6^{th}$ પદ $128$ છે.

(C) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $r$ એ $G.P.$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
$G.P.$ નું $n^{th}$ પદ $a_n = a r^{n-1}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $4^{th}$ પદ $24$ છે,તેથી:
$a r^{4-1} = 24 \Rightarrow a r^3 = 24$ $...(1)$
આપેલ છે કે $8^{th}$ પદ $384$ છે,તેથી:
$a r^{8-1} = 384 \Rightarrow a r^7 = 384$ $...(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{a r^7}{a r^3} = \frac{384}{24}$
$r^4 = 16$
$r^4 = 2^4 \Rightarrow r = 2$ (સામાન્ય ગુણોત્તર માટે ધન વાસ્તવિક મૂળ લેતા).
$r = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a(2)^3 = 24$
$a(8) = 24$
$a = \frac{24}{8} = 3$
આમ,પ્રથમ પદ $3$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $2$ છે.

(B) ધારો કે $G.P.$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
પ્રથમ પદ $a = 1$ છે.
$G.P.$ નું $n$ મું પદ $a_n = a r^{n-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેથી,ત્રીજું પદ $a_3 = a r^{3-1} = 1 \cdot r^2 = r^2$ થાય.
પાંચમું પદ $a_5 = a r^{5-1} = 1 \cdot r^4 = r^4$ થાય.
આપેલ છે કે ત્રીજા અને પાંચમા પદનો સરવાળો $90$ છે,તેથી:
$r^2 + r^4 = 90$
સમીકરણને ગોઠવતા:
$r^4 + r^2 - 90 = 0$
ધારો કે $x = r^2$. તો સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$x^2 + x - 90 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x + 10)(x - 9) = 0$
આથી $x = -10$ અથવા $x = 9$ મળે.
અહીં $x = r^2$ હોવાથી,વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે $r^2$ ઋણ ન હોઈ શકે. તેથી,$r^2 = 9$.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $r = \pm 3$ મળે છે.

(A) જો ત્રણ સંખ્યાઓ $a, b, c$ એ $G.P.$ માં હોય,તો $b^2 = ac$ થાય.
અહીં,$a = -\frac{2}{7},$ $b = x,$ અને $c = -\frac{7}{2}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$x^2 = \left(-\frac{2}{7}\right) \times \left(-\frac{7}{2}\right)$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$
તેથી,$x$ ની કિંમતો $1$ અને $-1$ છે.

(C) દરેક પેઢીમાં પૂર્વજોની સંખ્યા એક સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ બનાવે છે: $2, 4, 8, \ldots$ $10$ પદો સુધી.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 2$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર: $S_n = a(r^n - 1) / (r - 1)$.
$10$ પેઢીઓ માટે,પૂર્વજોની કુલ સંખ્યા:
$S_{10} = 2(2^{10} - 1) / (2 - 1)$
$S_{10} = 2(1024 - 1) / 1$
$S_{10} = 2 \times 1023 = 2046$.
તેથી,$10$ મી પેઢી સુધી પૂર્વજોની કુલ સંખ્યા $2046$ છે.

(D) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $a = 7$,અંતિમ પદ $l = a_n = 448$,અને સરવાળો $S_n = 889$.
ધારો કે $r$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
$G.P.$ ના સરવાળા માટેનું સૂત્ર $S_n = \frac{a - lr}{1 - r}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $889 = \frac{7 - 448r}{1 - r}$.
બંને બાજુ $(1 - r)$ વડે ગુણતા: $889(1 - r) = 7 - 448r$.
$889 - 889r = 7 - 448r$.
પદોને ગોઠવતા: $889 - 7 = 889r - 448r$.
$882 = 441r$.
$r = \frac{882}{441} = 2$.
આમ,સામાન્ય ગુણોત્તર $2$ છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
$G.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$\frac{S_3}{S_6} = \frac{125}{152}$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{a(r^3 - 1) / (r - 1)}{a(r^6 - 1) / (r - 1)} = \frac{125}{152}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{r^3 - 1}{r^6 - 1} = \frac{125}{152}$ મળે.
નિત્યસમ $r^6 - 1 = (r^3 - 1)(r^3 + 1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{r^3 - 1}{(r^3 - 1)(r^3 + 1)} = \frac{125}{152}$.
$\frac{1}{r^3 + 1} = \frac{125}{152}$.
$125(r^3 + 1) = 152$.
$125r^3 + 125 = 152$.
$125r^3 = 152 - 125 = 27$.
$r^3 = \frac{27}{125} = (\frac{3}{5})^3$.
તેથી,$r = 3/5$.

(A) આપેલ પદાવલિ $\sum_{j=1}^{11} (2 + 3^j)$ છે.
આપણે સરવાળાને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\sum_{j=1}^{11} 2 + \sum_{j=1}^{11} 3^j$.
પ્રથમ ભાગ $2$ ના $11$ પદોનો સરવાળો છે,જે $11 \times 2 = 22$ થાય છે.
બીજો ભાગ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 3$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 3$ અને પદોની સંખ્યા $n = 11$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{3(3^{11} - 1)}{3 - 1} = \frac{3}{2}(3^{11} - 1)$ મળે છે.
બંને ભાગોનો સરવાળો કરતા,કુલ સરવાળો $22 + \frac{3}{2}(3^{11} - 1)$ થાય છે.

(B) ધારો કે $G.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
આપેલ છે: $a_1 + a_2 = 36 \Rightarrow a + ar = 36$
$\Rightarrow a(1 + r) = 36$ $...(1)$
વળી,$a_1 \cdot a_3 = 9 \cdot a_2 \Rightarrow a \cdot ar^2 = 9 \cdot ar$
$\Rightarrow ar = 9$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ માં $a = 36 - ar$ મૂકતા અથવા $a + 9 = 36$ લેતા,$a = 27$ મળે છે.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$27r = 9 \Rightarrow r = \frac{1}{3}$.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ છે.
$S_8 = \frac{27(1 - (1/3)^8)}{1 - 1/3} = \frac{27(1 - 1/6561)}{2/3} = \frac{81}{2} \cdot \frac{6560}{6561} = \frac{3280}{81}$.

(B) $G.P.$ ના અનંત પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ છે,જ્યાં $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $r$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
આપેલ છે કે,$r = -\frac{4}{5}$ અને $S_{\infty} = \frac{80}{9}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{80}{9} = \frac{a}{1 - (-\frac{4}{5})}$
$\frac{80}{9} = \frac{a}{1 + \frac{4}{5}}$
$\frac{80}{9} = \frac{a}{\frac{9}{5}}$
$a = \frac{80}{9} \times \frac{9}{5}$
$a = 16$.
આમ,પ્રથમ પદ $16$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $S = \left( \frac{3}{4} + \frac{3}{4^3} + \frac{3}{4^5} + \dots \right) - \left( \frac{5}{4^2} + \frac{5}{4^4} + \frac{5}{4^6} + \dots \right)$ છે.
આ બે અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીઓનો સરવાળો છે.
પ્રથમ શ્રેણી માટે,પ્રથમ પદ $a_1 = \frac{3}{4}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r_1 = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$ છે.
સરવાળો $S_1 = \frac{a_1}{1 - r_1} = \frac{3/4}{1 - 1/16} = \frac{3/4}{15/16} = \frac{3}{4} \times \frac{16}{15} = \frac{4}{5}$ થાય.
બીજી શ્રેણી માટે,પ્રથમ પદ $a_2 = \frac{5}{4^2} = \frac{5}{16}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r_2 = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$ છે.
સરવાળો $S_2 = \frac{a_2}{1 - r_2} = \frac{5/16}{1 - 1/16} = \frac{5/16}{15/16} = \frac{5}{16} \times \frac{16}{15} = \frac{1}{3}$ થાય.
તેથી,કુલ સરવાળો $S = S_1 - S_2 = \frac{4}{5} - \frac{1}{3} = \frac{12 - 5}{15} = \frac{7}{15}$ મળે.

(B) આપેલ પદાવલિ સમાન આધાર $32$ ધરાવતી ઘાતોનો ગુણાકાર છે.
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા, આપણે ગુણાકારને આ રીતે લખી શકીએ:
$(32)^{1 + 1/6 + 1/36 + \ldots + \infty} = (32)^x$
જ્યાં $x = 1 + 1/6 + 1/36 + \ldots + \infty$.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 1/6$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા, $x = \frac{1}{1 - 1/6} = \frac{1}{5/6} = 6/5$.
તેથી, ગુણાકાર $(32)^{6/5}$ થાય.
કારણ કે $32 = 2^5$, તેથી $(2^5)^{6/5} = 2^{5 \cdot (6/5)} = 2^6$.
$2^6 = 64$.

(B) આપેલ શ્રેણી $6, 4, 3, \ldots$ એ $H.P.$ (હરાત્મક શ્રેણી) છે.
તેના પદોના વ્યસ્તની શ્રેણી $\frac{1}{6}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \ldots$ છે,જે $A.P.$ (સમાંતર શ્રેણી) બનાવે છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{6}$ અને સામાન્ય તફાવત $d = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3-2}{12} = \frac{1}{12}$ છે.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n-1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$A.P.$ ના $9$ માં પદ માટે:
$a_9 = \frac{1}{6} + (9-1) \times \frac{1}{12}$
$a_9 = \frac{1}{6} + 8 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{6} + \frac{8}{12} = \frac{1}{6} + \frac{2}{3} = \frac{1+4}{6} = \frac{5}{6}$.
$H.P.$ એ $A.P.$ ના પદોનો વ્યસ્ત હોવાથી,$H.P.$ નું $9$ મું પદ $a_9$ નો વ્યસ્ત થશે.
તેથી,$H.P.$ નું $9$ મું પદ $\frac{6}{5}$ છે.

(A) $H.P.$ નું પ્રથમ પદ $6$ છે અને બીજું પદ $3$ છે.
તેથી,અનુરૂપ $A.P.$ (સમાંતર શ્રેણી) ના પ્રથમ બે પદો $\frac{1}{6}$ અને $\frac{1}{3}$ છે.
આ $A.P.$ માટે,પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{6}$ અને સામાન્ય તફાવત $d = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2-1}{6} = \frac{1}{6}$ છે.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a_n = \frac{1}{6} + (n-1)\frac{1}{6} = \frac{1 + n - 1}{6} = \frac{n}{6}$.
$H.P.$ નું $n$ મું પદ એ અનુરૂપ $A.P.$ ના $n$ માં પદનો વ્યસ્ત હોવાથી,$H.P.$ નું $n$ મું પદ $\frac{6}{n}$ થશે.

(B) કારણ કે $x, y, z$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $y^2 = xz$ થાય.
બંને બાજુ લઘુગણક (log) લેતા,આપણને $2 \log y = \log x + \log z$ મળે છે.
બંને બાજુ $2$ ઉમેરતા,$2 + 2 \log y = 2 + \log x + \log z$ મળે.
આને $2(1 + \log y) = (1 + \log x) + (1 + \log z)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય.
આ સૂચવે છે કે $(1 + \log x), (1 + \log y), (1 + \log z)$ એ $A.P.$ માં છે.
કારણ કે $A.P.$ માં રહેલા પદોના વ્યસ્ત $H.P.$ માં હોય છે,તેથી $\frac{1}{1 + \log x}, \frac{1}{1 + \log y}, \frac{1}{1 + \log z}$ એ $H.P.$ માં છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $\frac{2}{5} + \frac{3}{5^{2}} + \frac{2}{5^{3}} + \frac{3}{5^{4}} + \dots \infty$ છે.
આપણે આને બે અલગ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$S = \left( \frac{2}{5} + \frac{2}{5^{3}} + \frac{2}{5^{5}} + \dots \right) + \left( \frac{3}{5^{2}} + \frac{3}{5^{4}} + \frac{3}{5^{6}} + \dots \right)$.
પ્રથમ શ્રેણી માટે,પ્રથમ પદ $a_1 = \frac{2}{5}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{5^{2}} = \frac{1}{25}$ છે.
સરવાળો $S_1 = \frac{a_1}{1 - r} = \frac{2/5}{1 - 1/25} = \frac{2/5}{24/25} = \frac{2}{5} \times \frac{25}{24} = \frac{5}{12}$ થાય.
બીજી શ્રેણી માટે,પ્રથમ પદ $a_2 = \frac{3}{5^{2}} = \frac{3}{25}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{25}$ છે.
સરવાળો $S_2 = \frac{a_2}{1 - r} = \frac{3/25}{1 - 1/25} = \frac{3/25}{24/25} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$ થાય.
કુલ સરવાળો $S = S_1 + S_2 = \frac{5}{12} + \frac{1}{8} = \frac{10 + 3}{24} = \frac{13}{24}$.

(C) આપેલ છે કે પ્રથમ પદ $a = 729$ અને $7$ મું પદ $a_{7} = 64$ છે.
ધારો કે $r$ એ $G.P.$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
$n$ મા પદનું સૂત્ર $a_{n} = a r^{n-1}$ છે.
$n = 7$ માટે,$a_{7} = a r^{6} = 64$.
$a = 729$ મૂકતા,આપણને $729 r^{6} = 64$ મળે છે.
$r^{6} = \frac{64}{729} = \left(\frac{2}{3}\right)^{6}$.
તેથી,$r = \frac{2}{3}$.
$G.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 7$ માટે,$S_{7} = \frac{729(1 - (2/3)^{7})}{1 - 2/3}$.
$S_{7} = \frac{729(1 - 128/2187)}{1/3} = 3 \times 729 \times \left(\frac{2187 - 128}{2187}\right)$.
$S_{7} = 2187 \times \frac{2059}{2187} = 2059$.

(A) ધારો કે $r$ એ $G.P.$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
$n$ મું પદ $l = ar^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે $\dots (1)$
$G.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદો $a, ar, ar^2, \dots, ar^{n-1}$ છે.
ગુણાકાર $P = a \times (ar) \times (ar^2) \times \dots \times (ar^{n-1})$ છે.
$P = a^n \times r^{1+2+3+\dots+(n-1)}$.
પ્રથમ $(n-1)$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$.
$P = a^n \times r^{\frac{n(n-1)}{2}} = (a^2 \times r^{n-1})^{n/2}$.
કારણ કે $l = ar^{n-1}$,આપણે $a^2 r^{n-1} = a(ar^{n-1}) = al$ લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$P = (al)^{n/2}$.

(D) ધારો કે $n$ સંખ્યાઓ $x_1, x_2, \dots, x_n$ છે. આપેલ છે કે તેમની સરેરાશ $a$ છે,તેથી $\frac{\sum x_i}{n} = a$,જેનો અર્થ છે કે $\sum x_i = na$.
સંખ્યાઓમાં $2, 4, 8, \dots, 2^n$ નો વધારો થાય છે. આ શ્રેણી એક સમગુણોત્તર શ્રેણી ($G$.$P$.) છે જ્યાં પ્રથમ પદ $A = 2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 2$ છે.
આ વધારાનો સરવાળો $S_n = \frac{A(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2(2^n - 1)$ છે.
નવી સંખ્યાઓનો સરવાળો $\sum x_i + S_n = na + 2(2^n - 1)$ થાય છે.
નવી સરેરાશ $\frac{na + 2(2^n - 1)}{n} = a + \frac{2(2^n - 1)}{n}$ થશે.

(C) $50$ થી નાની $3$ ની ધન ગુણકોની શ્રેણી $3, 6, 9, \dots, 48$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 3$,સામાન્ય તફાવત $d = 3$ અને અંતિમ પદ $l = 48$ છે.
પદોની સંખ્યા $n$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $l = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$48 = 3 + (n - 1)3$
$45 = (n - 1)3$
$15 = n - 1$
$n = 16$.
સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n$ શોધવાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ છે:
$S_{16} = \frac{16}{2}(3 + 48)$
$S_{16} = 8 \times 51 = 408$.

(B) આપેલ પદાવલિ $\sum_{k=1}^{n} \left(1-\frac{k}{n+1}\right)$ છે.
આને $\left(1-\frac{1}{n+1}\right)+\left(1-\frac{2}{n+1}\right)+\cdots+\left(1-\frac{n}{n+1}\right)$ તરીકે વિસ્તૃત કરી શકાય છે.
આ શ્રેણીમાં $n$ પદો છે,તેથી આપણે તેને $n - \left(\frac{1}{n+1} + \frac{2}{n+1} + \cdots + \frac{n}{n+1}\right)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
છેદ સામાન્ય લેતા,આપણને $n - \frac{1}{n+1} (1+2+3+\cdots+n)$ મળે છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે તેને પદાવલિમાં મૂકીએ છીએ:
$n - \frac{1}{n+1} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$.
અંશ અને છેદમાંથી $(n+1)$ ને દૂર કરતા,આપણને $n - \frac{n}{2}$ મળે છે.
આમ,સરવાળો $\frac{n}{2}$ છે.

(B) ઘડિયાળ દરેક કલાકે તેટલી જ વાર ટકોરા મારે છે જેટલા વાગ્યા હોય (દા.ત.,$1$ વાગ્યે $1$ વાર,$2$ વાગ્યે $2$ વાર,...,$12$ વાગ્યે $12$ વાર).
$12$ કલાકમાં થતા કુલ ટકોરા એ પ્રથમ $12$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો છે:
સરવાળો $= 1 + 2 + 3 + \dots + 12 = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{12 \times 13}{2} = 78$.
એક દિવસમાં $24$ કલાક હોય છે,તેથી ઘડિયાળ $12$ કલાકના બે ચક્ર પૂર્ણ કરે છે.
એક દિવસમાં કુલ ટકોરા $= 2 \times 78 = 156$.

(D) આપેલ છે કે $a, 1, b$ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે.
તેથી,$1 = \frac{a+b}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $a+b = 2$ $......(1)$.
આપેલ છે કે $1, a, b$ સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ માં છે.
તેથી,$a^2 = 1 \times b$,જેનો અર્થ છે કે $b = a^2$ $......(2)$.
સમીકરણ $(2)$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a + a^2 = 2$
$a^2 + a - 2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(a+2)(a-1) = 0$
તેથી,$a = -2$ અથવા $a = 1$.
જો $a = 1$ હોય,તો $b = (1)^2 = 1$. પરંતુ,પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે $a \neq b$,તેથી આ કિસ્સો શક્ય નથી.
જો $a = -2$ હોય,તો $b = (-2)^2 = 4$.
આમ,$a = -2$ અને $b = 4$ મળે છે.

(A) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર: $\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ છે.
$11^{2} + 12^{2} + \cdots + 21^{2}$ નો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે તેને $21$ સુધીના વર્ગોના સરવાળા અને $10$ સુધીના વર્ગોના સરવાળાના તફાવત તરીકે લખી શકીએ છીએ:
સરવાળો $= \sum_{k=1}^{21} k^{2} - \sum_{k=1}^{10} k^{2}$.
$n = 21$ માટે: $\frac{21(21+1)(2 \times 21 + 1)}{6} = \frac{21 \times 22 \times 43}{6} = 7 \times 11 \times 43 = 3311$.
$n = 10$ માટે: $\frac{10(10+1)(2 \times 10 + 1)}{6} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 5 \times 11 \times 7 = 385$.
તેથી,માંગેલ સરવાળો $3311 - 385 = 2926$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\log 2, \log (2^{x}-1)$ અને $\log (2^{x}+3)$ એ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં છે.
ત્રણ પદો $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તો શરત $2b = a + c$ થાય.
તેથી,$2 \log (2^{x}-1) = \log 2 + \log (2^{x}+3)$.
$\log a + \log b = \log (ab)$ અને $n \log a = \log (a^{n})$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log (2^{x}-1)^{2} = \log [2(2^{x}+3)]$.
બંને બાજુથી લઘુગણક દૂર કરતા:
$(2^{x}-1)^{2} = 2(2^{x}+3)$.
ધારો કે $2^{x} = y$. તો સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$(y-1)^{2} = 2(y+3)$.
$y^{2} - 2y + 1 = 2y + 6$.
$y^{2} - 4y - 5 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(y-5)(y+1) = 0$.
તેથી,$y = 5$ અથવા $y = -1$.
અહીં $2^{x} = y$ છે અને $2^{x}$ હંમેશા ધન હોવું જોઈએ,તેથી $y = -1$ શક્ય નથી.
આમ,$2^{x} = 5$.
બંને બાજુ આધાર $2$ સાથે લઘુગણક લેતા:
$x = \log _{2} 5$.

(B) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર: $\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ છે.
અહીં $n = 10$ લેતા,સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+10^{2} = \frac{10(10+1)(2 \times 10+1)}{6}$.
$= \frac{10 \times 11 \times 21}{6}$.
$= \frac{2310}{6} = 385$.

(A) આપેલ શ્રેણી $S = 1 + 0.6 + 0.06 + 0.006 + 0.0006 + \dots$ છે.
આપણે તેને $S = 1 + (0.6 + 0.06 + 0.006 + 0.0006 + \dots)$ તરીકે લખી શકીએ.
કૌંસની અંદરનો ભાગ એક અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી ($G.P.$) છે, જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 0.6$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{0.06}{0.6} = 0.1 = \frac{1}{10}$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $S_{\infty} = \frac{0.6}{1 - 0.1} = \frac{0.6}{0.9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ મળે છે.
તેથી, કુલ સરવાળો $S = 1 + \frac{2}{3} = 1 \frac{2}{3}$ થાય.

(C) આપેલ શ્રેણી $0, 3, 8, 15, 24, 35, \dots$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસો:
$3 - 0 = 3$
$8 - 3 = 5$
$15 - 8 = 7$
$24 - 15 = 9$
$35 - 24 = 11$
તફાવત એ ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ છે: $3, 5, 7, 9, 11, \dots$
$9$ મું પદ શોધવા માટે,આપણે આ પેટર્ન ચાલુ રાખીશું:
$7$ મું પદ $= 35 + 13 = 48$
$8$ મું પદ $= 48 + 15 = 63$
$9$ મું પદ $= 63 + 17 = 80$
વૈકલ્પિક રીતે,શ્રેણીનું $n$ મું પદ $a_n = n^2 - 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 9$ માટે,$a_9 = 9^2 - 1 = 81 - 1 = 80$.

(B) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $\frac{1}{n(n+1)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$.
દરેક પદ માટે આ લાગુ પાડતા:
$\frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
$\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$
...
$\frac{1}{99 \times 100} = \frac{1}{99} - \frac{1}{100}$
આ પદોનો સરવાળો કરતા:
$= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \cdots + (\frac{1}{99} - \frac{1}{100})$
બધા વચ્ચેના પદો ઉડી જશે,ફક્ત પ્રથમ અને છેલ્લું પદ બાકી રહેશે:
$= 1 - \frac{1}{100} = \frac{100-1}{100} = \frac{99}{100}$.

(C) $1$ થી $100$ સુધીની સંખ્યાઓના તમામ અંકોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે $00$ થી $99$ સુધીની સંખ્યાઓનો વિચાર કરીએ છીએ (કારણ કે $00$ થી $09$ એ $0$ થી $9$ સમાન છે અને $100$ માં અંકોનો સરવાળો $1+0+0=1$ થાય છે).
અહીં કુલ $100$ સંખ્યાઓ છે,જેમાં દરેકના $2$ અંકો છે,એટલે કે કુલ $200$ અંકના સ્થાન છે.
દરેક અંક ($0$ થી $9$) એકમ અને દશકના સ્થાનમાં સમાન સંખ્યામાં આવે છે.
દરેક અંક કેટલી વાર આવે છે $= \frac{200}{10} = 20$ વખત.
$0$ થી $9$ સુધીના અંકોનો સરવાળો $= 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45$.
$00$ થી $99$ સુધીની સંખ્યાઓના અંકોનો કુલ સરવાળો $= 20 \times 45 = 900$.
છેલ્લે,$100$ ના અંકોનો સરવાળો $(1+0+0 = 1)$ ઉમેરતા:
કુલ સરવાળો $= 900 + 1 = 901$.