Progression and Sequence Questions in Gujarati

(C) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પદો $a_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ: $a_4 - a_7 + a_{10} = m$.
સામાન્ય સ્વરૂપ મૂકતા:
$(a + 3d) - (a + 6d) + (a + 9d) = m$
$a + 3d - a - 6d + a + 9d = m$
$a + 6d = m$
અહીં $a_7 = a + (7-1)d = a + 6d$ છે,તેથી $a_7 = m$.
પ્રથમ $13$ પદોનો સરવાળો $(S_{13})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$S_{13} = \frac{13}{2} [2a + (13-1)d]$
$S_{13} = \frac{13}{2} [2a + 12d]$
$S_{13} = 13(a + 6d)$
કારણ કે $a + 6d = m$,તેથી:
$S_{13} = 13m$.

(B) ધારો કે શ્રેણી $a, b, c, d$ છે.
પ્રથમ ત્રણ પદો $a, b, c$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$b^2 = ac$ મળે.
છેલ્લા ત્રણ પદો $b, c, d$ એ $6$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે $A.P.$ માં હોવાથી,$c - b = 6$ અને $d - c = 6$ મળે.
આપેલ છે કે પ્રથમ અને છેલ્લું પદ સમાન છે,તેથી $a = d$.
$d - c = 6$ પરથી,$d = c + 6$ મળે. $a = d$ હોવાથી,$a = c + 6$,જેનો અર્થ છે કે $c = a - 6$.
$c - b = 6$ પરથી,$b = c - 6 = (a - 6) - 6 = a - 12$ મળે.
હવે $b = a - 12$ અને $c = a - 6$ ને $G.P.$ ની શરત $b^2 = ac$ માં મૂકતા:
$(a - 12)^2 = a(a - 6)$
$a^2 - 24a + 144 = a^2 - 6a$
$144 = 18a$
$a = 8$.
$a = d$ હોવાથી,છેલ્લું પદ $d = 8$ થાય.

(A) આપેલ શ્રેણી $1^2 + 3^2 + 5^2 + ....... + 25^2$ છે.
$n$-મું પદ $T_n = (2n - 1)^2$ છે. છેલ્લા પદ $25$ માટે,$2n - 1 = 25$,તેથી $n = 13$ મળે.
સરવાળો $S_{13} = \sum_{n=1}^{13} (2n - 1)^2 = \sum_{n=1}^{13} (4n^2 - 4n + 1)$.
સરવાળાના સૂત્રો $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_{13} = 4 \sum_{n=1}^{13} n^2 - 4 \sum_{n=1}^{13} n + \sum_{n=1}^{13} 1$
$S_{13} = 4 \left[ \frac{13(13+1)(2 \times 13 + 1)}{6} \right] - 4 \left[ \frac{13(13+1)}{2} \right] + 13$
$S_{13} = 4 \left[ \frac{13 \times 14 \times 27}{6} \right] - 2(13 \times 14) + 13$
$S_{13} = 4 \times (13 \times 7 \times 9) - 2(182) + 13$
$S_{13} = 4 \times 819 - 364 + 13$
$S_{13} = 3276 - 364 + 13 = 2925$.

(C) ધારો કે ગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ ના પદો $a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, ar^5$ છે,જ્યાં $a$ પ્રથમ પદ છે અને $r$ સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
આપેલ શરતો મુજબ:
$1$) ચોથા પદ અને પ્રથમ પદ વચ્ચેનો તફાવત $52$ છે: $ar^3 - a = 52 \Rightarrow a(r^3 - 1) = 52$ ... $(1)$
$2$) પ્રથમ ત્રણ પદોનો સરવાળો $26$ છે: $a + ar + ar^2 = 26 \Rightarrow a(1 + r + r^2) = 26$ ... $(2)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $r^3 - 1 = (r - 1)(r^2 + r + 1)$.
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{a(r^3 - 1)}{a(1 + r + r^2)} = \frac{52}{26}$
$\frac{(r - 1)(r^2 + r + 1)}{(r^2 + r + 1)} = 2$
$r - 1 = 2 \Rightarrow r = 3$.
$r = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$a(1 + 3 + 3^2) = 26 \Rightarrow a(1 + 3 + 9) = 26 \Rightarrow 13a = 26 \Rightarrow a = 2$.
પ્રથમ છ પદોનો સરવાળો $S_6 = a(1 + r + r^2 + r^3 + r^4 + r^5) = a(1 + r + r^2)(1 + r^3)$ થાય.
$S_6 = 2(1 + 3 + 9)(1 + 3^3) = 2(13)(1 + 27) = 26 \times 28 = 728$.

(A) આપેલ શ્રેણી $S = 1^2 + 2(2^2) + 3^2 + 2(4^2) + 5^2 + 2(6^2) + \dots + 2(2m)^2$ છે.
એકી અને બેકી પદોને અલગ પાડતા:
$S = (1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2m-1)^2) + 2(2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + (2m)^2)$.
$S = \sum_{k=1}^{m} (2k-1)^2 + 2 \sum_{k=1}^{m} (2k)^2$.
$S = \sum_{k=1}^{m} (4k^2 - 4k + 1) + 8 \sum_{k=1}^{m} k^2$.
$S = 12 \sum_{k=1}^{m} k^2 - 4 \sum_{k=1}^{m} k + \sum_{k=1}^{m} 1$.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$S = 12 \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} - 4 \frac{m(m+1)}{2} + m$.
$S = 2m(m+1)(2m+1) - 2m(m+1) + m$.
$S = m [2(m+1)(2m+1) - 2(m+1) + 1]$.
$S = m [4m^2 + 4m + 1] = m(2m+1)^2$.

(C) આપેલી શ્રેણી $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots$ છે.
$n$-મું પદ $T_n = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$ છે.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$T_n = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(n+1) - n} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$.
$15$ પદોનો સરવાળો $S_{15} = \sum_{n=1}^{15} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:
$S_{15} = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{16} - \sqrt{15})$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે જેમાં વચ્ચેના પદો ઉડી જાય છે:
$S_{15} = -\sqrt{1} + \sqrt{16} = -1 + 4 = 3$.
તેથી,માંગેલ સરવાળો $3$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $S_n = 1 + \frac{4}{3} + \frac{10}{9} + \frac{28}{27} + \dots$ $n$ પદો સુધી છે.
દરેક પદને $1 + \frac{1}{3^k}$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.
તેથી,$S_n = \sum_{k=0}^{n-1} (1 + \frac{1}{3^k}) = \sum_{k=0}^{n-1} 1 + \sum_{k=0}^{n-1} (\frac{1}{3})^k$.
પ્રથમ ભાગ $n$ એકડાનો સરવાળો છે,જે $n$ થાય.
બીજો ભાગ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{3}$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{1(1 - (1/3)^n)}{1 - 1/3} = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n})$ થાય.
આમ,કુલ સરવાળો $S_n = n + \frac{3}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}}$ થાય.

(D) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$p$ મું પદ $a_p = a + (p - 1)d$ છે.
$q$ મું પદ $a_q = a + (q - 1)d$ છે.
$r$ મું પદ $a_r = a + (r - 1)d$ છે.
$s$ મું પદ $a_s = a + (s - 1)d$ છે.
આપેલ છે કે $a_p$ અને $a_q$ નો $A.M.$ એ $a_r$ અને $a_s$ ના $A.M.$ જેટલો છે:
$\frac{a_p + a_q}{2} = \frac{a_r + a_s}{2}$
$\Rightarrow a_p + a_q = a_r + a_s$
કિંમતો મુકતા:
$[a + (p - 1)d] + [a + (q - 1)d] = [a + (r - 1)d] + [a + (s - 1)d]$
$2a + (p + q - 2)d = 2a + (r + s - 2)d$
બંને બાજુથી $2a$ બાદ કરતા:
$(p + q - 2)d = (r + s - 2)d$
જો $d \neq 0$ હોય,તો $d$ વડે ભાગતા:
$p + q - 2 = r + s - 2$
તેથી,$p + q = r + s$.

(C) શ્રેણી $1^2 + 2 \cdot 2^2 + 3^2 + 2 \cdot 4^2 + 5^2 + \dots$ છે.
જ્યારે $n$ એકી હોય,ત્યારે $n$ પદો સુધીનો સરવાળો $S_n = (1^2 + 2 \cdot 2^2 + 3^2 + 2 \cdot 4^2 + \dots + 2 \cdot (n-1)^2) + n^2$ થાય.
કારણ કે $(n-1)$ બેકી છે,આપણે પ્રથમ $(n-1)$ પદોના સરવાળા માટે આપેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$S_{n-1} = \frac{(n-1)((n-1)+1)^2}{2} = \frac{(n-1)n^2}{2}$.
તેથી,$n$ પદો માટેનો સરવાળો $S_n = \frac{(n-1)n^2}{2} + n^2$ થાય.
$S_n = n^2 \left( \frac{n-1}{2} + 1 \right) = n^2 \left( \frac{n-1+2}{2} \right) = \frac{n^2(n+1)}{2}$.

(D) ધારો કે $G.P.$ માં ત્રણ ભિન્ન સંખ્યાઓ $a, ar, ar^2$ છે જ્યાં $r \neq 1$ અને $r \neq 0$.
આપેલ છે કે $a + b + c = xb$,પદોને મૂકતા: $a + ar + ar^2 = x(ar)$.
$a \neq 0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા: $1 + r + r^2 = xr$.
$r$ વડે ભાગતા: $r + 1 + \frac{1}{r} = x$,જેનું સાદું રૂપ $x = r + \frac{1}{r} + 1$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક $r > 0$ માટે,$r + \frac{1}{r} \geq 2$,અને $r < 0$ માટે,$r + \frac{1}{r} \leq -2$.
સંખ્યાઓ ભિન્ન હોવાથી,$r \neq 1$ અને $r \neq -1$.
જો $r > 0$ અને $r \neq 1$ હોય,તો $r + \frac{1}{r} > 2$,તેથી $x > 3$.
જો $r < 0$ અને $r \neq -1$ હોય,તો $r + \frac{1}{r} < -2$,તેથી $x < -1$.
આમ,$x$ એ $(-1, 3)$ અંતરાલમાં ન હોઈ શકે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$2$ એ $(-1, 3)$ અંતરાલમાં આવે છે,તેથી $x$ એ $2$ ન હોઈ શકે.

(A) આપેલ છે કે $a_1, a_2, ......., a_{30}$ એ પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $D$ ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે.
$S = a_1 + a_2 + a_3 + ....... + a_{30} = \frac{30}{2} [2a + 29D] = 15(2a + 29D) = 30a + 435D$.
$T = a_1 + a_3 + a_5 + ....... + a_{29}$ એ $15$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે,જેનું પ્રથમ પદ $a_1 = a$ અને સામાન્ય તફાવત $2D$ છે.
$T = \frac{15}{2} [2a + (15-1)(2D)] = \frac{15}{2} [2a + 28D] = 15(a + 14D) = 15a + 210D$.
હવે,$S - 2T = (30a + 435D) - 2(15a + 210D) = 30a + 435D - 30a - 420D = 15D$.
આપેલ છે કે $S - 2T = 75$,તેથી $15D = 75$,જેનો અર્થ છે કે $D = 5$.
આપેલ છે કે $a_5 = 27$,તેથી $a + 4D = 27$.
$D = 5$ મૂકતા,$a + 4(5) = 27 \Rightarrow a + 20 = 27 \Rightarrow a = 7$.
આપણે $a_{10} = a + 9D$ શોધવાનું છે.
$a_{10} = 7 + 9(5) = 7 + 45 = 52$.

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{(3 + (n-1) \times 3)(1^2 + 2^2 + ... + n^2)}{(2n + 1)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્ગોના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,આપણને મળે છે:
$T_n = \frac{3n \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{2n+1} = \frac{n^2(n+1)}{2} = \frac{n^3 + n^2}{2}$.
$15$ પદોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે $S_{15} = \sum_{n=1}^{15} T_n = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{15} (n^3 + n^2)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{n=1}^N n^3 = [\frac{N(N+1)}{2}]^2$ અને $\sum_{n=1}^N n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_{15} = \frac{1}{2} [(\frac{15 \times 16}{2})^2 + \frac{15 \times 16 \times 31}{6}]$
$S_{15} = \frac{1}{2} [120^2 + 1240] = \frac{1}{2} [14400 + 1240] = \frac{15640}{2} = 7820$.

(B) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $A$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે. $A.P.$ અચળ ન હોવાથી,$d \neq 0$.
આપેલ પદો છે:
$a = A + 6d$
$b = A + 10d$
$c = A + 12d$
$a, b, c$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$b^2 = ac$ થાય.
$(A + 10d)^2 = (A + 6d)(A + 12d)$
$A^2 + 20Ad + 100d^2 = A^2 + 18Ad + 72d^2$
$2Ad = -28d^2$
$d \neq 0$ હોવાથી,$2d$ વડે ભાગતા $A = -14d$ મળે,એટલે કે $\frac{A}{d} = -14$.
હવે,$\frac{a}{c}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\frac{a}{c} = \frac{A + 6d}{A + 12d}$
અંશ અને છેદને $d$ વડે ભાગતા:
$\frac{a}{c} = \frac{\frac{A}{d} + 6}{\frac{A}{d} + 12} = \frac{-14 + 6}{-14 + 12} = \frac{-8}{-2} = 4$.

(D) આપણે દ્વિપદી સહગુણકો માટેનું નિત્યસમ જાણીએ છીએ: ${}^{n}{C_r} + {}^{n}{C_{r-1}} = {}^{n+1}{C_r}$.
છેદમાં આ સૂત્ર લાગુ પાડતા: ${}^{20}{C_i} + {}^{20}{C_{i-1}} = {}^{21}{C_i}$.
આમ,સરવાળાની અંદરનું પદ $\frac{{}^{20}{C_{i-1}}}{{}^{21}{C_i}}$ બને છે.
સૂત્ર ${}^{n}{C_r} = \frac{n}{r} \cdot {}^{n-1}{C_{r-1}}$ નો ઉપયોગ કરતા,${}^{21}{C_i} = \frac{21}{i} \cdot {}^{20}{C_{i-1}}$ મળે.
આ કિંમત મૂકતા: $\frac{{}^{20}{C_{i-1}}}{\frac{21}{i} \cdot {}^{20}{C_{i-1}}} = \frac{i}{21}$.
સરવાળો $\sum\limits_{i=1}^{20} \left( \frac{i}{21} \right)^3 = \frac{1}{21^3} \sum\limits_{i=1}^{20} i^3$ બને છે.
ઘનનો સરવાળો $\sum i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$n=20$ માટે $\left( \frac{20 \times 21}{2} \right)^2 = (10 \times 21)^2 = 100 \times 21^2$ મળે.
તેથી,$S = \frac{100 \times 21^2}{21^3} = \frac{100}{21}$.
આપેલ છે કે $S = \frac{k}{21}$,તેથી $k = 100$ મળે.

(D) $7n + 2$ સ્વરૂપની બે અંકની સંખ્યાઓ $16, 23, \dots, 93$ છે. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 16$, અંતિમ પદ $l = 93$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 7$ છે. પદોની સંખ્યા $n_1$ શોધવા માટે $93 = 16 + (n_1 - 1)7$, તેથી $77 = (n_1 - 1)7$, એટલે કે $n_1 = 12$. સરવાળો $S_1 = \frac{12}{2}(16 + 93) = 6 \times 109 = 654$.
$7n + 5$ સ્વરૂપની બે અંકની સંખ્યાઓ $12, 19, \dots, 96$ છે. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 12$, અંતિમ પદ $l = 96$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 7$ છે. પદોની સંખ્યા $n_2$ શોધવા માટે $96 = 12 + (n_2 - 1)7$, તેથી $84 = (n_2 - 1)7$, એટલે કે $n_2 = 13$. સરવાળો $S_2 = \frac{13}{2}(12 + 96) = \frac{13}{2} \times 108 = 13 \times 54 = 702$.
કુલ સરવાળો $S_1 + S_2 = 654 + 702 = 1356$ થાય.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $^{n}{C_r} \cdot ^{n-r}{C_k} = ^{n}{C_k} \cdot ^{n-k}{C_{r}}$.
આ નિત્યસમનો ઉપયોગ આપેલ પદાવલિમાં કરતા:
$^{50}{C_r} \cdot ^{50-r}{C_{25-r}} = ^{50}{C_{25}} \cdot ^{50-25}{C_{r}} = ^{50}{C_{25}} \cdot ^{25}{C_r}$.
હવે,આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા:
$\sum\limits_{r = 0}^{25} {\left( {^{50}{C_r} \cdot ^{50 - r}{C_{25 - r}}} \right)} = \sum\limits_{r = 0}^{25} {\left( {^{50}{C_{25}} \cdot ^{25}{C_r}} \right)}$.
અહીં $^{50}{C_{25}}$ એ $r$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી તેને સરવાળાની બહાર લઈ શકાય:
$= ^{50}{C_{25}} \sum\limits_{r = 0}^{25} {^{25}{C_r}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum\limits_{r = 0}^{n} {^{n}{C_r} = 2^n}$. તેથી,$\sum\limits_{r = 0}^{25} {^{25}{C_r} = 2^{25}}$.
આમ,પદાવલિ $^{50}{C_{25}} \cdot 2^{25}$ બને છે.
તેને $K \cdot ^{50}{C_{25}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 2^{25}$ મળે છે.

(B) ધારો કે અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી $a, ar, ar^2, \dots$ છે,જ્યાં $a > 0$ અને $|r| < 1$ છે.
શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = 3 \implies a = 3(1-r)$ છે.
પદોના ઘન $a^3, (ar)^3, (ar^2)^3, \dots$ એ નવી ગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે,જેનું પ્રથમ પદ $a^3$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^3$ છે.
ઘનનો સરવાળો $S' = \frac{a^3}{1-r^3} = \frac{27}{19}$ આપેલ છે.
બીજા સમીકરણમાં $a = 3(1-r)$ મૂકતા:
$\frac{[3(1-r)]^3}{1-r^3} = \frac{27}{19}$
$\frac{27(1-r)^3}{(1-r)(1+r+r^2)} = \frac{27}{19}$
$\frac{(1-r)^2}{1+r+r^2} = \frac{1}{19}$
$19(1 - 2r + r^2) = 1 + r + r^2$
$19 - 38r + 19r^2 = 1 + r + r^2$
$18r^2 - 39r + 18 = 0$
$3$ વડે ભાગતા: $6r^2 - 13r + 6 = 0$
$6r^2 - 9r - 4r + 6 = 0$
$3r(2r - 3) - 2(2r - 3) = 0$
$(3r - 2)(2r - 3) = 0$
$|r| < 1$ હોવાથી,$r = \frac{2}{3}$ મળે.

(A) $G.P.$ માં,$n$-મું પદ $a_n = a_1 r^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{a_3}{a_1} = 25$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a_1 r^2}{a_1} = r^2 = 25$ મળે છે.
આપણે $\frac{a_9}{a_5}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a_9}{a_5} = \frac{a_1 r^8}{a_1 r^4} = r^4$ થાય.
કારણ કે $r^2 = 25$,તેથી $r^4 = (r^2)^2 = (25)^2 = (5^2)^2 = 5^4$ થાય.
તેથી,સાચો જવાબ $5^4$ છે.

(D) આપેલ છે કે $S_n = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}$. પદાવલિ $\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} S_{r-1}$ છે.
$S_{r-1} = \frac{q^r-1}{q-1}$ મૂકતા,આપણને મળે $\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} \frac{q^r-1}{q-1} = \frac{1}{q-1} \left( \sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} q^r - \sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} \right)$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} q^r = (1+q)^{101} - 1$ અને $\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} = 2^{101} - 1$.
આમ,પદાવલિ $\frac{1}{q-1} ((1+q)^{101} - 1 - (2^{101} - 1)) = \frac{(1+q)^{101} - 2^{101}}{q-1}$ બને છે.
હવે,$T_{100} = \frac{(\frac{q+1}{2})^{101} - 1}{\frac{q+1}{2} - 1} = \frac{(\frac{q+1}{2})^{101} - 1}{\frac{q-1}{2}} = \frac{2((q+1)^{101} - 2^{101})}{2^{101}(q-1)} = \frac{(q+1)^{101} - 2^{101}}{2^{100}(q-1)}$.
$\frac{(1+q)^{101} - 2^{101}}{q-1} = \alpha \cdot \frac{(1+q)^{101} - 2^{101}}{2^{100}(q-1)}$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $\alpha = 2^{100}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ $t_n = a + (n - 1)d$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $19$ મું પદ શૂન્ય છે,તેથી $t_{19} = a + 18d = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a = -18d$.
આપણે $49$ માં પદ અને $29$ માં પદનો ગુણોત્તર શોધવાનો છે:
$\frac{t_{49}}{t_{29}} = \frac{a + 48d}{a + 28d}$.
$a = -18d$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{t_{49}}{t_{29}} = \frac{-18d + 48d}{-18d + 28d} = \frac{30d}{10d} = 3$.
આમ,ગુણોત્તર $3 : 1$ છે.

(D) ધારો કે $G.P.$ ના ત્રણ ક્રમિક પદો $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
આપેલ છે કે પદોનો ગુણાકાર $512$ છે:
$\frac{a}{r} \times a \times ar = 512 \Rightarrow a^3 = 512 \Rightarrow a = 8$.
પ્રશ્ન મુજબ,જો પ્રથમ અને બીજા પદમાં $4$ ઉમેરવામાં આવે,તો નવા પદો $\frac{8}{r} + 4, 8 + 4, 8r$ (એટલે કે $\frac{8}{r} + 4, 12, 8r$) $A.P.$ બનાવે છે.
$A.P.$ માં,વચ્ચેનું પદ બાકીના બે પદોનો સમાંતર મધ્યક હોય છે:
$2 \times 12 = (\frac{8}{r} + 4) + 8r$
$24 = \frac{8}{r} + 4 + 8r$
$20 = \frac{8}{r} + 8r$
$4$ વડે ભાગતા: $5 = \frac{2}{r} + 2r$
$2r^2 - 5r + 2 = 0$
$(2r - 1)(r - 2) = 0$
તેથી,$r = 2$ અથવા $r = \frac{1}{2}$.
જો $r = 2$ હોય,તો પદો $4, 8, 16$ છે.
જો $r = \frac{1}{2}$ હોય,તો પદો $16, 8, 4$ છે.
બંને કિસ્સામાં,પદોનો સરવાળો $4 + 8 + 16 = 28$ થાય છે.

(C) પ્રથમ $k$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{k(k+1)}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$S_k = \frac{k(k+1)}{2k} = \frac{k+1}{2}$.
આપણને સમીકરણ $\sum_{k=1}^{10} S_k^2 = \frac{5}{12}A$ આપેલ છે.
$S_k$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\sum_{k=1}^{10} \left(\frac{k+1}{2}\right)^2 = \frac{5}{12}A$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા $\frac{1}{4} \sum_{k=1}^{10} (k+1)^2 = \frac{5}{12}A$ થાય.
ધારો કે $n = k+1$. જ્યારે $k=1, n=2$; જ્યારે $k=10, n=11$. તેથી,$\frac{1}{4} \sum_{n=2}^{11} n^2 = \frac{5}{12}A$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{n=1}^{11} n^2 = \frac{11(11+1)(2 \times 11 + 1)}{6} = \frac{11 \times 12 \times 23}{6} = 11 \times 2 \times 23 = 506$.
તેથી,$\sum_{n=2}^{11} n^2 = 506 - 1^2 = 505$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા: $\frac{1}{4} \times 505 = \frac{5}{12}A$.
$A = 505 \times \frac{12}{4 \times 5} = 505 \times \frac{3}{5} = 101 \times 3 = 303$.

(B) આપેલ છે કે $^nC_4, ^nC_5,$ અને $^nC_6$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$2(^nC_5) = ^nC_4 + ^nC_6$.
સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cdot \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}$
બંને બાજુ $n!$ વડે ભાગતા અને $6!(n-4)!$ વડે ગુણતા:
$2 \cdot \frac{6 \cdot (n-4)}{5} = 6 \cdot 5 + (n-4)(n-5)$
$12(n-4) = 30 + n^2 - 9n + 20$
$12n - 48 = n^2 - 9n + 50$
$n^2 - 21n + 98 = 0$
$(n-7)(n-14) = 0$
આમ,$n = 7$ અથવા $n = 14$. વિકલ્પોમાં $14$ આપેલ હોવાથી,સાચો જવાબ $14$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણી ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^3} + {\left( {\frac{6}{4}} \right)^3} + {\left( {\frac{9}{4}} \right)^3} + {\left( {\frac{12}{4}} \right)^3} + \dots$ છે,જે $15$ પદો સુધી છે.
આને $\sum_{r=1}^{15} {\left( \frac{3r}{4} \right)^3}$ તરીકે લખી શકાય.
અચળ પદ બહાર કાઢતા,$\left( \frac{3}{4} \right)^3 \sum_{r=1}^{15} r^3 = \frac{27}{64} \sum_{r=1}^{15} r^3$ મળે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ઘનનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $\sum_{r=1}^{n} r^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$ છે.
$n=15$ માટે,$\sum_{r=1}^{15} r^3 = \left[ \frac{15 \times 16}{2} \right]^2 = (15 \times 8)^2 = 120^2 = 14400$.
આમ,સરવાળો $S = \frac{27}{64} \times 14400$.
$S = 27 \times \frac{14400}{64} = 27 \times 225$.
આપેલ છે કે $S = 225k$,તેથી $225k = 27 \times 225$.
તેથી,$k = 27$.

(D) આપણે એવી તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ નો સરવાળો શોધવો છે કે જ્યાં $100 < n < 200$ અને $H.C.F. (91, n) > 1$ હોય.
કારણ કે $91 = 7 \times 13$,તેથી $H.C.F. (91, n) > 1$ નો અર્થ એ છે કે $n$ એ $7$ અથવા $13$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
ધારો કે $S_A$ એ $100$ અને $200$ વચ્ચેની $7$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો છે.
આ સંખ્યાઓ $105, 112, \dots, 196$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 105$,$l = 196$,અને $d = 7$ છે.
પદોની સંખ્યા $n_A = \frac{196 - 105}{7} + 1 = 14$.
$S_A = \frac{14}{2} (105 + 196) = 7 \times 301 = 2107$.
ધારો કે $S_B$ એ $100$ અને $200$ વચ્ચેની $13$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો છે.
આ સંખ્યાઓ $104, 117, \dots, 195$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 104$,$l = 195$,અને $d = 13$ છે.
પદોની સંખ્યા $n_B = \frac{195 - 104}{13} + 1 = 8$.
$S_B = \frac{8}{2} (104 + 195) = 4 \times 299 = 1196$.
ધારો કે $S_C$ એ $100$ અને $200$ વચ્ચેની $7$ અને $13$ બંને વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો છે (એટલે કે $91$ વડે વિભાજ્ય).
આવી એકમાત્ર સંખ્યા $182$ છે.
તેથી,$S_C = 182$.
ગણતરીના સિદ્ધાંત મુજબ,જરૂરી સરવાળો $S = S_A + S_B - S_C$ છે.
$S = 2107 + 1196 - 182 = 3121$.

(A) ધારો કે $S = \sum\limits_{k = 1}^{20} {\frac{k}{{{2^k}}}} = \frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + \dots + \frac{{20}}{{{2^{20}}}}$
બંને બાજુ $\frac{1}{2}$ વડે ગુણતા:
$\frac{1}{2}S = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{2}{{{2^3}}} + \dots + \frac{{19}}{{{2^{20}}}} + \frac{{20}}{{{2^{21}}}}$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$S - \frac{1}{2}S = \frac{1}{2} + \left( \frac{2-1}{{{2^2}}} \right) + \left( \frac{3-2}{{{2^3}}} \right) + \dots + \left( \frac{20-19}{{{2^{20}}}} \right) - \frac{{20}}{{{2^{21}}}}$
$\frac{1}{2}S = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \dots + \frac{1}{{{2^{20}}}} \right) - \frac{{20}}{{{2^{21}}}}$
કૌંસમાં રહેલ પદ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જ્યાં $a = \frac{1}{2}$,$r = \frac{1}{2}$,અને $n = 20$:
સરવાળો $= \frac{\frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{2})^{20})}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{{{2^{20}}}}$
તેથી,$\frac{1}{2}S = 1 - \frac{1}{{{2^{20}}}} - \frac{20}{{{2^{21}}}} = 1 - \frac{2}{{{2^{21}}}} - \frac{20}{{{2^{21}}}} = 1 - \frac{22}{{{2^{21}}}} = 1 - \frac{11}{{{2^{20}}}}$
$S = 2 - \frac{11}{{{2^{19}}}}$

(A) કારણ કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $b^2 = ac$ થાય.
સમીકરણ $ax^2 + 2bx + c = 0$ ને $ax^2 + 2\sqrt{ac}x + c = 0$ તરીકે લખી શકાય,જે $(\sqrt{a}x + \sqrt{c})^2 = 0$ છે.
આમ,આ સમીકરણનું બીજ $x = -\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}} = -\frac{b}{a}$ છે.
આ બીજ $dx^2 + 2ex + f = 0$ માટે સામાન્ય હોવાથી,આપણે $x = -\frac{b}{a}$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકીએ:
$d(-\frac{b}{a})^2 + 2e(-\frac{b}{a}) + f = 0$
$d(\frac{b^2}{a^2}) - \frac{2eb}{a} + f = 0$
$a^2$ વડે ગુણતા,આપણને $db^2 - 2eab + fa^2 = 0$ મળે છે.
$b^2 = ac$ હોવાથી,આપણે તેને મૂકીએ:
$dac - 2eab + fa^2 = 0$.
આખા સમીકરણને $ac$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{d}{a} - \frac{2e}{b} + \frac{f}{c} = 0$,જે સૂચવે છે કે $\frac{d}{a} + \frac{f}{c} = 2(\frac{e}{b})$.
આ શરત દર્શાવે છે કે $\frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.

(A) પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો આપેલ છે: $S_n = 50n + \frac{n(n - 7)}{2}A$.
$n$-મું પદ $a_n$ એ $a_n = S_n - S_{n-1}$ દ્વારા મળે છે.
$a_n = 50n + \frac{n(n - 7)}{2}A - [50(n - 1) + \frac{(n - 1)(n - 8)}{2}A]$
$a_n = 50n + \frac{A}{2}(n^2 - 7n) - 50n + 50 - \frac{A}{2}(n^2 - 9n + 8)$
$a_n = 50 + \frac{A}{2}(n^2 - 7n - n^2 + 9n - 8)$
$a_n = 50 + \frac{A}{2}(2n - 8) = 50 + A(n - 4)$.
સામાન્ય તફાવત $d = a_n - a_{n-1} = [50 + A(n - 4)] - [50 + A(n - 5)] = A(n - 4 - n + 5) = A$.
$a_{50}$ શોધવા માટે,$a_n$ ના સૂત્રમાં $n = 50$ મૂકતા:
$a_{50} = 50 + A(50 - 4) = 50 + 46A$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(d, a_{50})$ એ $(A, 50 + 46A)$ થાય.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણમાં હારની સંખ્યા $n$ છે. ત્રિકોણમાં દડાઓની કુલ સંખ્યા પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળા દ્વારા મળે છે: $S = \frac{n(n+1)}{2}$.
પ્રશ્ન મુજબ,જો $99$ વધુ દડા ઉમેરવામાં આવે,તો દડાઓની કુલ સંખ્યા $S + 99 = \frac{n(n+1)}{2} + 99$ થાય છે.
આ દડાઓ $(n-2)$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતો ચોરસ બનાવે છે. તેથી,દડાઓની કુલ સંખ્યા $(n-2)^2$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{n(n+1)}{2} + 99 = (n-2)^2$.
$2$ વડે ગુણતા: $n^2 + n + 198 = 2(n^2 - 4n + 4)$.
$n^2 + n + 198 = 2n^2 - 8n + 8$.
પદોને ગોઠવતા: $n^2 - 9n - 190 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(n - 19)(n + 10) = 0$.
$n$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $n = 19$.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે વપરાયેલા દડાઓની સંખ્યા $\frac{19(19+1)}{2} = \frac{19 \times 20}{2} = 190$ છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ ના ત્રણ પદો $a-d, a, a+d$ છે.
આપેલ છે કે સરવાળો $(a-d) + a + (a+d) = 33$ છે.
$3a = 33 \Rightarrow a = 11$.
આપેલ છે કે ગુણાકાર $(a-d)(a)(a+d) = 1155$ છે.
$a(a^2 - d^2) = 1155$.
$11(121 - d^2) = 1155$.
$121 - d^2 = 105$.
$d^2 = 16 \Rightarrow d = \pm 4$.
કિસ્સો $1$: જો $d = 4$ હોય,તો પ્રથમ પદ $A = a-d = 11-4 = 7$. $11$ મું પદ $T_{11} = A + 10d = 7 + 10(4) = 47$.
કિસ્સો $2$: જો $d = -4$ હોય,તો પ્રથમ પદ $A = a-d = 11 - (-4) = 15$. $11$ મું પદ $T_{11} = A + 10d = 15 + 10(-4) = 15 - 40 = -25$.
આમ,$11$ મા પદનું એક શક્ય મૂલ્ય $-25$ છે.

(B) શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_n = n(2n - 1) = 2n^2 - n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 - k) = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = 2 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{n(n+1)}{2}$.
$n = 11$ માટે:
$S_{11} = \frac{11(12)(23)}{3} - \frac{11(12)}{2}$.
$S_{11} = 11 \times 4 \times 23 - 11 \times 6$.
$S_{11} = 1012 - 66 = 946$.

(B) શ્રેણીનું $n$ મું પદ નીચે મુજબ છે:
$T_n = \frac{(2n + 1) \sum_{k=1}^n k^3}{\sum_{k=1}^n k^2}$
સૂત્રો $\sum k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ અને $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_n = \frac{(2n + 1) \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4}}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$
$T_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \cdot \frac{6}{n(n+1)} = \frac{3}{2} n(n+1)$
હવે,પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો:
$S_{10} = \sum_{n=1}^{10} \frac{3}{2} (n^2 + n) = \frac{3}{2} \left[ \sum_{n=1}^{10} n^2 + \sum_{n=1}^{10} n \right]$
$S_{10} = \frac{3}{2} \left[ \frac{10(11)(21)}{6} + \frac{10(11)}{2} \right]$
$S_{10} = \frac{3}{2} [385 + 55] = \frac{3}{2} [440] = 3 \times 220 = 660$.

(A) આપેલ શ્રેણી $6$ પદો ધરાવતી $A.P.$ છે: $a_1, a_4, a_7, a_{10}, a_{13}, a_{16}$.
$A.P.$ ના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(\text{પ્રથમ પદ} + \text{અંતિમ પદ})$ છે.
અહીં, $n = 6$ છે, તેથી $a_1 + a_4 + a_7 + a_{10} + a_{13} + a_{16} = \frac{6}{2}(a_1 + a_{16}) = 114$.
$3(a_1 + a_{16}) = 114 \Rightarrow a_1 + a_{16} = 38$.
હવે, આપણે $a_1 + a_6 + a_{11} + a_{16}$ નો સરવાળો શોધવાનો છે.
આ $4$ પદોની $A.P.$ છે, જેનો સરવાળો $\frac{4}{2}(a_1 + a_{16})$ થાય.
કિંમત મૂકતા: $2 \times 38 = 76$.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ સાથે $G.P.$ માં છે,તેથી $b = ar$ અને $c = ar^2.$
$3a, 7b, 15c$ એ $A.P.$ માં હોવાથી,$A.P.$ ના ગુણધર્મ મુજબ $2(7b) = 3a + 15c.$
$b$ અને $c$ ની કિંમત મૂકતા,$14(ar) = 3a + 15(ar^2).$
$a \ne 0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા $15r^2 - 14r + 3 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(3r - 1)(5r - 1) = 0,$ તેથી $r = \frac{1}{3}$ અથવા $r = \frac{1}{5}.$
શરત $0 < r \le \frac{1}{2}$ મુજબ બંને કિંમતો શક્ય છે. વિકલ્પો તપાસતા,$r = \frac{1}{3}$ લેતા,
સામાન્ય તફાવત $d = 7b - 3a = 7ar - 3a = a(7r - 3).$
$r = \frac{1}{3}$ માટે,$d = a(7/3 - 3) = -\frac{2}{3}a.$
ચોથું પદ $= 15c + d = 15ar^2 - \frac{2}{3}a = 15a(1/9) - \frac{2}{3}a = \frac{5}{3}a - \frac{2}{3}a = a.$

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{\sum_{k=1}^n k^3}{\sum_{k=1}^n k}$ છે.
સૂત્રો $\sum_{k=1}^n k^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$ અને $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_n = \frac{[n(n+1)/2]^2}{n(n+1)/2} = \frac{n(n+1)}{2}$.
કુલ સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{15} T_n - \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{15} n$ છે.
$S = \sum_{n=1}^{15} \frac{n(n+1)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 \cdot 16}{2}$.
$S = \frac{1}{2} \left[ \sum_{n=1}^{15} n^2 + \sum_{n=1}^{15} n \right] - 60$.
$S = \frac{1}{2} \left[ \frac{15(16)(31)}{6} + \frac{15(16)}{2} \right] - 60$.
$S = \frac{1}{2} [1240 + 120] - 60 = \frac{1360}{2} - 60 = 680 - 60 = 620$.

(C) $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$S_4 = 16$ માટે,$\frac{4}{2} [2a + 3d] = 16$,જેનું સાદું રૂપ $2a + 3d = 8$ થાય છે (સમીકરણ $1$).
$S_6 = -48$ માટે,$\frac{6}{2} [2a + 5d] = -48$,જેનું સાદું રૂપ $3(2a + 5d) = -48$ અથવા $2a + 5d = -16$ થાય છે (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(2a + 5d) - (2a + 3d) = -16 - 8$,જે આપણને $2d = -24$ આપે છે,તેથી $d = -12$.
$d = -12$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $2a + 3(-12) = 8$,તેથી $2a - 36 = 8$,જેનો અર્થ છે કે $2a = 44$,તેથી $a = 22$.
હવે,$S_{10} = \frac{10}{2} [2a + 9d] = 5 [2(22) + 9(-12)]$.
$S_{10} = 5 [44 - 108] = 5 [-64] = -320$.

(C) ધારો કે શ્રેણી $S = \sum_{k=0}^{99} \left[ -\frac{1}{3} - \frac{k}{100} \right]$ છે.
$0 \le k \le 66$ માટે,$-\frac{1}{3} - \frac{k}{100} \ge -\frac{1}{3} - \frac{66}{100} = -0.9966$ થાય. $-1 < -0.9966 < 0$ હોવાથી,મહત્તમ પૂર્ણાંક કિંમત $-1$ મળે. આવા કુલ $67$ પદો છે ($k=0$ થી $k=66$ સુધી).
આ પદોનો સરવાળો $= 67 \times (-1) = -67$.
$67 \le k \le 99$ માટે,$-\frac{1}{3} - \frac{k}{100} \le -\frac{1}{3} - \frac{67}{100} = -1.0033$ થાય. તેમજ $-\frac{1}{3} - \frac{99}{100} = -1.3233$ થાય. $-2 < -1.3233 \le -1.0033 < -1$ હોવાથી,મહત્તમ પૂર્ણાંક કિંમત $-2$ મળે. આવા કુલ $99 - 67 + 1 = 33$ પદો છે.
આ પદોનો સરવાળો $= 33 \times (-2) = -66$.
કુલ સરવાળો $S = -67 + (-66) = -133$.

(A) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
પદોને $a_n = a + (n-1)d$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આપેલ સમીકરણ: $a_1 + a_7 + a_{16} = 40$.
સામાન્ય સ્વરૂપ મૂકતા: $a + (a + 6d) + (a + 15d) = 40$.
આનું સાદું રૂપ: $3a + 21d = 40$.
$3$ વડે ભાગતા: $a + 7d = \frac{40}{3}$.
પ્રથમ $15$ પદોનો સરવાળો $(S_{15})$ શોધવાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ છે.
$n = 15$ માટે: $S_{15} = \frac{15}{2}[2a + 14d]$.
$2$ સામાન્ય કાઢતા: $S_{15} = 15(a + 7d)$.
$(a + 7d)$ ની કિંમત મૂકતા: $S_{15} = 15 \times \frac{40}{3} = 5 \times 40 = 200$.

(A) આપેલ શ્રેણી $3+4+8+9+13+14+18+19+\ldots$ ના $40$ પદો છે.
આને બે સમાંતર શ્રેણીઓમાં વિભાજિત કરી શકાય છે,જેમાં દરેકના $20$ પદો છે:
શ્રેણી $1$: $3, 8, 13, 18, \ldots$ ($20$ પદો)
શ્રેણી $2$: $4, 9, 14, 19, \ldots$ ($20$ પદો)
શ્રેણી $1$ નો સરવાળો $(S_1)$ = $\frac{20}{2} [2(3) + (20-1)5] = 10 [6 + 95] = 10 \times 101 = 1010$.
શ્રેણી $2$ નો સરવાળો $(S_2)$ = $\frac{20}{2} [2(4) + (20-1)5] = 10 [8 + 95] = 10 \times 103 = 1030$.
કુલ સરવાળો = $S_1 + S_2 = 1010 + 1030 = 2040$.
આપેલ છે કે કુલ સરવાળો $(102)m$ છે,તેથી $2040 = 102m$.
તેથી,$m = \frac{2040}{102} = 20$.

(A) આપેલ છે કે $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
આપણને $a_{1} + a_{2} = 4$ અને $a_{3} + a_{4} = 16$ આપેલ છે.
કારણ કે $a_{3} = a_{1}r^{2}$ અને $a_{4} = a_{2}r^{2}$,આપણે લખી શકીએ કે $a_{3} + a_{4} = r^{2}(a_{1} + a_{2}) = 16$.
$a_{1} + a_{2} = 4$ મૂકતા,આપણને $r^{2}(4) = 16$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r^{2} = 4$,તેથી $r = 2$ અથવા $r = -2$.
$a_{1} + a_{2} = 4$ હોવાથી,$a_{1}(1 + r) = 4$ થાય.
જો $r = 2$ હોય,તો $a_{1}(3) = 4 \Rightarrow a_{1} = 4/3$ (જે શક્ય નથી કારણ કે $a_{1} < 0$).
જો $r = -2$ હોય,તો $a_{1}(1 - 2) = 4 \Rightarrow -a_{1} = 4 \Rightarrow a_{1} = -4$.
હવે,પ્રથમ $9$ પદોનો સરવાળો $S_{9} = a_{1} \frac{r^{9} - 1}{r - 1} = (-4) \frac{(-2)^{9} - 1}{-2 - 1} = (-4) \frac{-512 - 1}{-3} = (-4) \frac{-513}{-3} = -4 \times 171 = -684$.
$S_{9} = 4 \lambda$ આપેલ હોવાથી,$4 \lambda = -684$,તેથી $\lambda = -171$.

(C) ધારો કે $A.P.$ માં પાંચ સંખ્યાઓ $(a-2d, a-d, a, a+d, a+2d)$ છે.
સરવાળો $= (a-2d) + (a-d) + a + (a+d) + (a+2d) = 5a = 25$,તેથી $a = 5$.
સંખ્યાઓ $(5-2d, 5-d, 5, 5+d, 5+2d)$ છે.
ગુણાકાર $(5-2d)(5+2d)(5-d)(5+d)(5) = 2520$ છે.
$(25-4d^2)(25-d^2) = 504$.
$625 - 25d^2 - 100d^2 + 4d^4 = 504$.
$4d^4 - 125d^2 + 121 = 0$.
ધારો કે $x = d^2$,તો $4x^2 - 125x + 121 = 0$.
$(4x - 121)(x - 1) = 0$,તેથી $d^2 = 1$ અથવા $d^2 = \frac{121}{4}$.
જો $d^2 = 1$,$d = \pm 1$,તો પદો $(3, 4, 5, 6, 7)$ અથવા $(7, 6, 5, 4, 3)$ મળે,જેમાંથી કોઈ પણ $-\frac{1}{2}$ નથી.
જો $d^2 = \frac{121}{4}$,$d = \pm \frac{11}{2}$.
$d = \frac{11}{2}$ માટે,પદો $(5-11, 5-5.5, 5, 5+5.5, 5+11) = (-6, -0.5, 5, 10.5, 16)$ છે.
કારણ કે $-\frac{1}{2}$ હાજર છે,આ સાચી શ્રેણી છે.
સૌથી મોટી સંખ્યા $16$ છે.

(B) સમાંતર શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $T_{10} = a + 9d = \frac{1}{20} \quad \dots(i)$
આપેલ છે કે $T_{20} = a + 19d = \frac{1}{10} \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(a + 19d) - (a + 9d) = \frac{1}{10} - \frac{1}{20}$
$10d = \frac{2-1}{20} = \frac{1}{20}$
$d = \frac{1}{200}$
$d$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$a + 9(\frac{1}{200}) = \frac{1}{20}$
$a = \frac{10}{200} - \frac{9}{200} = \frac{1}{200}$
હવે,પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ છે.
$n = 200$ માટે:
$S_{200} = \frac{200}{2} [2(\frac{1}{200}) + (200-1)(\frac{1}{200})]$
$S_{200} = 100 [\frac{2}{200} + \frac{199}{200}]$
$S_{200} = 100 [\frac{201}{200}] = \frac{201}{2} = 100 \frac{1}{2}$.

(C) આપેલ સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{7} \frac{n(n+1)(2n+1)}{4}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રથમ $n$ વર્ગોનો સરવાળો $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ થાય છે.
તેથી,$n(n+1)(2n+1) = 6 \sum_{k=1}^{n} k^2$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,$S = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{7} (6 \sum_{k=1}^{n} k^2) = \frac{6}{4} \sum_{n=1}^{7} \sum_{k=1}^{n} k^2$ મળે.
વૈકલ્પિક રીતે,અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $n(n+1)(2n+1) = 2n^3 + 3n^2 + n$.
તેથી,$S = \frac{1}{4} \left( 2 \sum_{n=1}^{7} n^3 + 3 \sum_{n=1}^{7} n^2 + \sum_{n=1}^{7} n \right)$.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{n=1}^{7} n^3 = \left( \frac{7 \times 8}{2} \right)^2 = 28^2 = 784$.
$\sum_{n=1}^{7} n^2 = \frac{7 \times 8 \times 15}{6} = 140$.
$\sum_{n=1}^{7} n = \frac{7 \times 8}{2} = 28$.
આ કિંમતો મૂકતા: $S = \frac{1}{4} (2(784) + 3(140) + 28) = \frac{1}{4} (1568 + 420 + 28) = \frac{2016}{4} = 504$.

(B) આપેલ છે કે $(2^{1+x}+2^{1-x})$,$f(x)$,અને $(3^x+3^{-x})$ એ $A.P.$ માં છે.
$A.P.$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,$2f(x) = (2^{1+x}+2^{1-x}) + (3^x+3^{-x})$.
$f(x) = \frac{2(2^x+2^{-x}) + (3^x+3^{-x})}{2} = (2^x+2^{-x}) + \frac{1}{2}(3^x+3^{-x})$.
$A.M. \geq G.M.$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $a > 0$ માટે,$a^x + a^{-x} \geq 2\sqrt{a^x \cdot a^{-x}} = 2$.
આથી,$2^x+2^{-x} \geq 2$ અને $3^x+3^{-x} \geq 2$.
આ ન્યૂનતમ કિંમતોને $f(x)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$f(x) \geq 2 + \frac{1}{2}(2) = 2 + 1 = 3$.
તેથી,$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $3$ છે.

(C) પ્રથમ $k$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{k(k+1)}{2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $\sum_{k=1}^{20} \frac{k(k+1)}{2}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
આને $\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{20} (k^2 + k)$ તરીકે લખી શકાય છે.
$n=20$ માટે સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{k=1}^{20} k^2 = \frac{20(21)(41)}{6} = 2870$.
$\sum_{k=1}^{20} k = \frac{20(21)}{2} = 210$.
તેથી,કુલ સરવાળો $\frac{1}{2} (2870 + 210) = \frac{1}{2} (3080) = 1540$ થાય.

(C) $x$ માટેની આપેલી શ્રેણી એ પ્રથમ પદ $a=1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r=-\tan^2 \theta$ ધરાવતી ભૂમિતિ શ્રેણી છે.
$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$0 < \tan^2 \theta < 1$ થાય,તેથી શ્રેણી $x = \frac{1}{1 - (-\tan^2 \theta)} = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1}{\sec^2 \theta} = \cos^2 \theta$ પર અભિસારી થાય છે.
$y$ માટેની આપેલી શ્રેણી એ પ્રથમ પદ $a=1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r=\cos^2 \theta$ ધરાવતી ભૂમિતિ શ્રેણી છે.
$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\frac{1}{2} < \cos^2 \theta < 1$ થાય,તેથી શ્રેણી $y = \frac{1}{1 - \cos^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}$ પર અભિસારી થાય છે.
$x$ ના પદ પરથી,આપણી પાસે $\cos^2 \theta = x$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sin^2 \theta = 1 - x$.
આ કિંમતને $y$ ના પદમાં મૂકતા,આપણને $y = \frac{1}{1 - x}$ મળે છે.
તેને ફરીથી ગોઠવતા $y(1 - x) = 1$ મળે છે.

(D) ધારો કે $a_n$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે. પદો $a, ar, ar^2, \dots$ છે.
$\sum_{n=1}^{100} a_{2n+1} = a_3 + a_5 + \dots + a_{201} = ar^2 + ar^4 + \dots + ar^{200} = ar^2 \frac{(r^{200}-1)}{(r^2-1)} = 200$.
$\sum_{n=1}^{100} a_{2n} = a_2 + a_4 + \dots + a_{200} = ar + ar^3 + \dots + ar^{199} = ar \frac{(r^{200}-1)}{(r^2-1)} = 100$.
પ્રથમ સમીકરણને બીજા સમીકરણ વડે ભાગતા: $\frac{ar^2}{ar} = \frac{200}{100} \Rightarrow r = 2$.
હવે,$\sum_{n=1}^{200} a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{200} = a \frac{(r^{200}-1)}{(r-1)}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$ar \frac{(r^{200}-1)}{(r^2-1)} = 100$. $r=2$ મૂકતા,$2a \frac{(r^{200}-1)}{(2^2-1)} = 100 \Rightarrow 2a \frac{(r^{200}-1)}{3} = 100 \Rightarrow a \frac{(r^{200}-1)}{3} = 50 \Rightarrow a(r^{200}-1) = 150$.
આ કિંમત સરવાળાના સૂત્રમાં મૂકતા: $\sum_{n=1}^{200} a_n = \frac{150}{2-1} = 150$.

(D) પ્રથમ સમાંતર શ્રેણી માટે: $a_1 = 3$,$d_1 = 4$. સામાન્ય પદ $T_n = 3 + (n-1)4 = 4n - 1$ છે.
બીજી સમાંતર શ્રેણી માટે: $a_2 = 2$,$d_2 = 7$. સામાન્ય પદ $T_m = 2 + (m-1)7 = 7m - 5$ છે.
બંને પદોને સરખાવતા: $4n - 1 = 7m - 5 \Rightarrow 4n = 7m - 4$.
આનો અર્થ એ છે કે $7m$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. $7$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય નથી,તેથી $m$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. ધારો કે $m = 4k$.
તેથી $4n = 7(4k) - 4 \Rightarrow n = 7k - 1$.
પ્રથમ શ્રેણી માટે,$T_n \leq 407 \Rightarrow 4n - 1 \leq 407 \Rightarrow 4n \leq 408 \Rightarrow n \leq 102$.
$n = 7k - 1$ મૂકતા: $7k - 1 \leq 102 \Rightarrow 7k \leq 103 \Rightarrow k \leq 14.71$.
$k$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $k$ ની શક્ય કિંમતો $1, 2, \ldots, 14$ છે.
આમ,કુલ $14$ સામાન્ય પદો છે.

(A) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 4^{\frac{1}{16}} \cdot 8^{\frac{1}{48}} \cdot 16^{\frac{1}{128}} \cdot \ldots \infty$ છે.
બધા પાયાને $2$ ની ઘાત તરીકે દર્શાવતા:
$P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot (2^2)^{\frac{1}{16}} \cdot (2^3)^{\frac{1}{48}} \cdot (2^4)^{\frac{1}{128}} \cdot \ldots \infty$
$P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{2}{16}} \cdot 2^{\frac{3}{48}} \cdot 2^{\frac{4}{128}} \cdot \ldots \infty$
ઘાતાંકોનું સાદું રૂપ આપતા:
$P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{8}} \cdot 2^{\frac{1}{16}} \cdot 2^{\frac{1}{32}} \cdot \ldots \infty$
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,ઘાતાંકોનો સરવાળો કરીએ:
$P = 2^{\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \ldots \infty\right)}$
ઘાતાંક એ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{4}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2}$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ છે.
$S = \frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$P = 2^{\frac{1}{2}}$.

(A) આપેલ શ્રેણી $S = (x+y) + (x^2+xy+y^2) + (x^3+x^2y+xy^2+y^3) + \dots$
$(x-y)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$S = \frac{(x-y)(x+y) + (x-y)(x^2+xy+y^2) + (x-y)(x^3+x^2y+xy^2+y^3) + \dots}{x-y}$
નિત્યસમ $(x-y)(x^n + x^{n-1}y + \dots + y^n) = x^{n+1} - y^{n+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{(x^2-y^2) + (x^3-y^3) + (x^4-y^4) + \dots}{x-y}$
$S = \frac{(x^2+x^3+x^4+\dots) - (y^2+y^3+y^4+\dots)}{x-y}$
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{\frac{x^2}{1-x} - \frac{y^2}{1-y}}{x-y} = \frac{x^2(1-y) - y^2(1-x)}{(1-x)(1-y)(x-y)}$
$S = \frac{x^2 - x^2y - y^2 + xy^2}{(1-x)(1-y)(x-y)} = \frac{(x^2-y^2) - xy(x-y)}{(1-x)(1-y)(x-y)}$
$S = \frac{(x-y)(x+y) - xy(x-y)}{(1-x)(1-y)(x-y)} = \frac{(x-y)(x+y-xy)}{(1-x)(1-y)(x-y)}$
$S = \frac{x+y-xy}{(1-x)(1-y)}$