Progression and Sequence Questions in Gujarati

(A) શ્રેણીનું $r$-મું પદ $t_r = 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2r - 1)^2$ છે.
પ્રથમ $r$ એકી સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$t_r = \sum_{k=1}^r (2k - 1)^2 = \sum_{k=1}^r (4k^2 - 4k + 1)$.
$t_r = 4 \sum_{k=1}^r k^2 - 4 \sum_{k=1}^r k + \sum_{k=1}^r 1 = 4 \cdot \frac{r(r+1)(2r+1)}{6} - 4 \cdot \frac{r(r+1)}{2} + r$.
$t_r = \frac{2r(r+1)(2r+1)}{3} - 2r(r+1) + r = \frac{r}{3} [2(2r^2 + 3r + 1) - 6(r+1) + 3] = \frac{r}{3} [4r^2 + 6r + 2 - 6r - 6 + 3] = \frac{r(4r^2 - 1)}{3} = \frac{4r^3 - r}{3}$.
હવે,$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{r=1}^n t_r = \sum_{r=1}^n \frac{4r^3 - r}{3} = \frac{4}{3} \sum_{r=1}^n r^3 - \frac{1}{3} \sum_{r=1}^n r$.
$S_n = \frac{4}{3} \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2(n+1)^2}{3} - \frac{n(n+1)}{6}$.
$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [2n(n+1) - 1] = \frac{n(n+1)(2n^2 + 2n - 1)}{6}$.

(A) અમે $n$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સમાંતર મધ્યક-ભૂમિતિ મધ્યક $(AM \geq GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
સંખ્યાઓના સમૂહ ${a_1, a_2, ..., a_{n-1}, 2a_n}$ માટે,$AM \geq GM$ અસમતા નીચે મુજબ છે:
$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + 2a_n}{n} \geq (a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_{n-1} \cdot 2a_n)^{1/n}$
કારણ કે ગુણાકાર $a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n = c$ છે,તેથી આપણે આ કિંમત અસમતામાં મૂકીએ છીએ:
$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + 2a_n}{n} \geq (2 \cdot a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n)^{1/n}$
$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + 2a_n}{n} \geq (2c)^{1/n}$
બંને બાજુ $n$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + 2a_n \geq n(2c)^{1/n}$
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $n(2c)^{1/n}$ છે.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. તેથી $\alpha + \beta = -b/a$ અને $\alpha\beta = c/a$ થાય.
આપેલ છે કે $\alpha + \beta = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha\beta)^2}$.
કિંમતો મૂકતા,$-b/a = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2} = \frac{(-b/a)^2 - 2(c/a)}{(c/a)^2} = \frac{b^2/a^2 - 2c/a}{c^2/a^2} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$.
આમ,$-b/a = \frac{b^2 - 2ac}{c^2} \Rightarrow -bc^2 = ab^2 - 2a^2c$.
ગોઠવતા,$2a^2c = ab^2 + bc^2$. બંને બાજુ $abc$ વડે ભાગતા,આપણને $2a/b = b/c + c/a$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે $c/a, a/b, b/c$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે. તેથી,તેમના વ્યસ્ત $a/c, b/a, c/b$ એ હરાત્મક શ્રેણીમાં છે.

(C) $S_1$ માટે,પ્રથમ પદ $a_1 = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d_1 = 6 - 1 = 5$ છે.
સામાન્ય પદ $T_n = 1 + (n - 1)5 = 5n - 4$ છે.
$S_2$ માટે,પ્રથમ પદ $a_2 = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d_2 = 7 - 3 = 4$ છે.
સામાન્ય પદ $T_m = 3 + (m - 1)4 = 4m - 1$ છે.
સામાન્ય પદો શોધવા માટે,$5n - 4 = 4m - 1$ લો,જેનો અર્થ છે $5n = 4m + 3$.
પ્રથમ સામાન્ય પદ $11$ છે (જ્યારે $n=3, m=3$).
સામાન્ય પદો દ્વારા બનતી નવી $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત $LCM(5, 4) = 20$ છે.
$k$ મું સામાન્ય પદ $T_k = 11 + (k - 1)20$ દ્વારા મળે છે.
$25$ માં સામાન્ય પદ $(k = 25)$ માટે:
$T_{25} = 11 + (25 - 1)20 = 11 + 24 \times 20 = 11 + 480 = 491$.

(D) આપેલ પદાવલિ એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \sin x$ છે.
સરવાળો અસ્તિત્વ ધરાવવા માટે,$|\sin x| < 1$ હોવું જોઈએ.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ છે.
તેથી,$\frac{1}{1 - \sin x} = 4 + 2\sqrt{3}$.
$1 - \sin x = \frac{1}{4 + 2\sqrt{3}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{1}{4 + 2\sqrt{3}} \times \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4 - 2\sqrt{3}} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{16 - 12} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$1 - \sin x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
અંતરાલ $(0, \pi)$ માં,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ એ $x = \frac{\pi}{3}$ અને $x = \frac{2\pi}{3}$ પર મળે છે.
આપેલ વિકલ્પો $A, B, C$ માંથી કોઈ પણ સાચું નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ જેના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ હોય,તેનો હરાત્મક મધ્યક $H$ શોધવાનું સૂત્ર $H = \frac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $(5 + \sqrt{2})x^2 - (4 + \sqrt{5})x + 8 + 2\sqrt{5} = 0$ માં સહગુણકો $a = 5 + \sqrt{2}$,$b = -(4 + \sqrt{5})$,અને $c = 8 + 2\sqrt{5}$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{8 + 2\sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}}$ અને બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = \frac{4 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}}$ થાય.
હવે $H$ ના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$H = \frac{2(\frac{8 + 2\sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}})}{\frac{4 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}}} = \frac{2(8 + 2\sqrt{5})}{4 + \sqrt{5}}$.
અંશમાંથી $2$ સામાન્ય લેતા: $H = \frac{2 \cdot 2(4 + \sqrt{5})}{4 + \sqrt{5}} = 4$.

(C) ધારો કે આપેલી શ્રેણી $S = 3 + \frac{3+d}{4} + \frac{3+2d}{4^2} + \dots \infty$ છે --- $(1)$
બંને બાજુ $\frac{1}{4}$ વડે ગુણતા:
$\frac{S}{4} = \frac{3}{4} + \frac{3+d}{4^2} + \frac{3+2d}{4^3} + \dots \infty$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$S - \frac{S}{4} = 3 + \left( \frac{3+d}{4} - \frac{3}{4} \right) + \left( \frac{3+2d}{4^2} - \frac{3+d}{4^2} \right) + \dots \infty$
$\frac{3S}{4} = 3 + \frac{d}{4} + \frac{d}{4^2} + \frac{d}{4^3} + \dots \infty$
અહીં $3 + \frac{d}{4} + \frac{d}{4^2} + \dots$ એ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેનો સરવાળો $\frac{a}{1-r} = \frac{d/4}{1 - 1/4} = \frac{d}{3}$ થાય.
તેથી,$\frac{3S}{4} = 3 + \frac{d}{3}$.
આપેલ છે કે $S = 8$,તેથી:
$\frac{3(8)}{4} = 3 + \frac{d}{3}$
$6 = 3 + \frac{d}{3}$
$3 = \frac{d}{3}$
$d = 9$.

(D) ધારો કે $n = 100$. પદાવલિ $\sqrt{\sum_{k=0}^{2n-1} 10^k - 2 \sum_{k=0}^{n-1} 10^k}$ છે.
ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$\sum_{k=0}^{m-1} 10^k = \frac{10^m - 1}{9}$.
તેથી,પદાવલિ $\sqrt{\frac{10^{2n}-1}{9} - 2 \left( \frac{10^n-1}{9} \right)}$ બને છે.
$= \sqrt{\frac{10^{2n} - 1 - 2 \cdot 10^n + 2}{9}} = \sqrt{\frac{10^{2n} - 2 \cdot 10^n + 1}{9}}$.
$= \sqrt{\left( \frac{10^n - 1}{3} \right)^2} = \frac{10^n - 1}{3}$.
કારણ કે $\frac{10^n - 1}{9} = \underbrace{11...1}_{n \text{ અંક}}$,તેથી $\frac{10^n - 1}{3} = 3 \times \underbrace{11...1}_{n \text{ અંક}} = \underbrace{33...3}_{n \text{ અંક}}$.
$n=100$ માટે,જવાબ $\underbrace{33...3}_{100 \text{ અંક}}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $f(\theta) = 2 \sin^2 \theta + 8 \csc^2 \theta$.
કારણ કે $\sin^2 \theta$ ની કિંમત $(0, 1]$ અંતરાલમાં હોય છે,તેથી ધારો કે $x = \sin^2 \theta$,જ્યાં $x \in (0, 1]$.
હવે પદાવલિ $f(x) = 2x + \frac{8}{x}$ બને છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $x \in (0, 1]$ માટે $f(x) = 2x + \frac{8}{x}$ વિધેયનું વિશ્લેષણ કરીએ.
તેનું વિકલન $f'(x) = 2 - \frac{8}{x^2}$ છે.
$f'(x) = 0$ લેતા $x^2 = 4$ મળે છે,એટલે કે $x = 2$ અથવા $x = -2$. આ બંને કિંમતો $(0, 1]$ અંતરાલમાં નથી.
કારણ કે દરેક $x \in (0, 1]$ માટે $f'(x) < 0$ છે,તેથી વિધેય $f(x)$ એ $(0, 1]$ પર ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $x$ ની સૌથી મોટી કિંમત એટલે કે $x = 1$ આગળ મળશે.
$x = 1$ મુકતા: $f(1) = 2(1) + \frac{8}{1} = 2 + 8 = 10$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $10$ છે.

(C) આપેલ છે કે વર્ગોનો સરવાળો: $\sum_{n=1}^{2009} n^2 = (2009)(335)(4019)$ .....$(1)$
આપણે સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{2009} n(2010 - n)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા: $S = 2010 \sum_{n=1}^{2009} n - \sum_{n=1}^{2009} n^2$.
પ્રથમ $N$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2}$,જ્યાં $N = 2009$:
$S = 2010 \cdot \frac{2009 \cdot 2010}{2} - (2009)(335)(4019)$.
$S = 1005 \cdot 2009 \cdot 2010 - (2009)(335)(4019)$.
કારણ કે $1005 = 3 \cdot 335$,તેથી $S = 3 \cdot 335 \cdot 2009 \cdot 2010 - (2009)(335)(4019)$.
$(2009)(335)$ સામાન્ય લેતા: $S = (2009)(335) [3 \cdot 2010 - 4019]$.
$S = (2009)(335) [6030 - 4019] = (2009)(335)(2011)$.
આપેલ પદ $(2009)(335)(x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2011$ મળે છે.

(D) સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો મહત્તમ મેળવવા માટે, આપણે તમામ ધન પદોનો સરવાળો કરવો જોઈએ. ઋણ પદો ઉમેરવાથી સરવાળો ઘટવા લાગે છે.
$n$ મું પદ $T_n = a + (n - 1)d$ લો.
અહીં $a = 50$ અને $d = -2$ છે.
$T_n = 50 + (n - 1)(-2) = 52 - 2n$.
જ્યારે $T_n = 0$ હોય ત્યારે $n = 26$ મળે છે.
તેથી, $n = 26$ પદોનો સરવાળો મહત્તમ થશે.
સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_{26} = \frac{26}{2}[2(50) + (26 - 1)(-2)]$
$S_{26} = 13[100 - 50] = 13 \times 50 = 650$.

(A) ધારો કે $n = 100$. $n$ સંખ્યાઓમાંથી એકસાથે $k$ સંખ્યાઓ લઈને બનાવેલા ગુણાકારોના સરવાળાને $S_k$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
ન્યૂટનની અસમતા અથવા મેકલોરિનની અસમતા મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે,પ્રાથમિક સંમિત મધ્યક $E_k = \frac{S_k}{\binom{n}{k}}$ એ $E_k^2 \ge E_{k-1} E_{k+1}$ નું પાલન કરે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$S_k S_{n-k} \ge \binom{n}{k}^2 (a_1 a_2 \dots a_n)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણે $n = 100$ અને $k = 2$ લઈએ.
તેથી $S_2 S_{100-2} = S_2 S_{98} \ge \binom{100}{2}^2 (a_1 a_2 \dots a_{100})$.
આને $S_{98} S_2 \ge \lambda (a_1 a_2 \dots a_{100})$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\lambda = \binom{100}{2}^2$ મળે છે.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $\binom{100}{2} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$.
આમ,$\lambda = (4950)^2$.

(B) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $P = \sqrt{a^{\frac{1}{a}} \cdot (2a)^{\frac{1}{2a}} \cdot (4a)^{\frac{1}{4a}} \cdot (8a)^{\frac{1}{8a}} \cdots \infty} = \frac{8}{27}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$P^2 = a^{\frac{1}{a}} \cdot (2a)^{\frac{1}{2a}} \cdot (4a)^{\frac{1}{4a}} \cdots = \left(\frac{8}{27}\right)^2 = \frac{64}{729}$ મળે.
$a$ અને $2$ ના ઘાતાંક તરીકે લખતા: $a^{\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{2a} + \frac{1}{4a} + \cdots \right)} \cdot 2^{\left(0 \cdot \frac{1}{a} + 1 \cdot \frac{1}{2a} + 2 \cdot \frac{1}{4a} + 3 \cdot \frac{1}{8a} + \cdots \right)} = \frac{64}{729}$.
$a$ નો ઘાતાંક $\frac{1}{a} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots) = \frac{1}{a} \left(\frac{1}{1 - 1/2}\right) = \frac{2}{a}$ છે.
$2$ નો ઘાતાંક $\frac{1}{2a} + \frac{2}{4a} + \frac{3}{8a} + \cdots = \frac{1}{a} (\frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \cdots)$ છે. આ એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી $(AGP)$ છે,જેનો સરવાળો $S = 2$ થાય છે. તેથી ઘાતાંક $\frac{2}{a}$ છે.
આમ,$a^{\frac{2}{a}} \cdot 2^{\frac{2}{a}} = (2a)^{\frac{2}{a}} = \frac{64}{729} = \left(\frac{8}{27}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^6$ મળે.
સરખામણી કરતા,$\frac{2}{a} = 6$ હોવાથી $a = \frac{1}{3}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $A$,$G$,અને $H$ એ અનુક્રમે $a$ અને $b$ ના સમાંતર મધ્યક,ગુણોત્તર મધ્યક અને હરાત્મક મધ્યક છે.
આપેલ છે: $A = G + \frac{3}{2}$ અને $G = H + \frac{6}{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $G^2 = AH$,તેથી $H = \frac{G^2}{A}$.
$H$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $G = \frac{G^2}{A} + \frac{6}{5} \implies G - \frac{6}{5} = \frac{G^2}{A}$.
$A = G + \frac{3}{2} = \frac{2G + 3}{2}$ હોવાથી,$G - \frac{6}{5} = \frac{2G^2}{2G + 3}$.
$(5G - 6)(2G + 3) = 10G^2 \implies 10G^2 + 15G - 12G - 18 = 10G^2$.
$3G = 18 \implies G = 6$.
તેથી $A = 6 + 1.5 = 7.5 = \frac{15}{2}$ અને $H = 6 - 1.2 = 4.8 = \frac{24}{5}$.
$A = \frac{a+b}{2} = \frac{15}{2}$ હોવાથી,$a+b = 15$.
$G = \sqrt{ab} = 6$ હોવાથી,$ab = 36$.
સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ એ $x^2 - 15x + 36 = 0$ ના બીજ છે.
$(x - 12)(x - 3) = 0$,તેથી ${a, b} = {12, 3}$.
$|a^2 - b^2| = |144 - 9| = 135$.

(D) ધારો કે ચતુષ્કોણના ચાર અંતઃકોણો સમાંતર શ્રેણીમાં $(a-3d), (a-d), (a+d), (a+3d)$ છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો સામાન્ય તફાવત $2d = 10^{\circ}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $d = 5^{\circ}$.
ચતુષ્કોણના અંતઃકોણોનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 360^{\circ}$.
$4a = 360^{\circ} \Rightarrow a = 90^{\circ}$.
સૌથી નાનો ખૂણો $a - 3d = 90^{\circ} - 3(5^{\circ}) = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}$ છે.

(B) સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં,શરૂઆત અને અંતથી સમાન અંતરે આવેલા પદોનો સરવાળો અચળ રહે છે.
ખાસ કરીને,$a_3 + a_{19} = a_5 + a_{17} = a_1 + a_{21} = 2a_{11}$.
ધારો કે $a_3 + a_{19} = a_5 + a_{17} = 2a_{11} = k$.
આપેલ સમીકરણ: $a_3 + a_5 + a_{11} + a_{17} + a_{19} = 10$.
પદોને $k$ ના સ્વરૂપમાં મૂકતા: $(a_3 + a_{19}) + (a_5 + a_{17}) + a_{11} = 10$.
આથી $k + k + \frac{k}{2} = 10$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $\frac{5k}{2} = 10$,તેથી $k = 4$ મળે.
આમ,$a_1 + a_{21} = 2a_{11} = k = 4$.
હવે,$21$ પદોનો સરવાળો $S_{21} = \frac{21}{2}(a_1 + a_{21})$ થાય.
$S_{21} = \frac{21}{2} \times 4 = 42$.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે. $n$ મું પદ $T_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: $T_9 = 5 \times T_2$.
$a + 8d = 5(a + d) \implies a + 8d = 5a + 5d \implies 4a = 3d \implies d = \frac{4a}{3}$.
બીજી શરત મુજબ: $T_{13} = 2 \times T_6 + 5$.
$a + 12d = 2(a + 5d) + 5 \implies a + 12d = 2a + 10d + 5 \implies 2d - a = 5$.
સમીકરણ $2d - a = 5$ માં $d = \frac{4a}{3}$ મૂકતા:
$2(\frac{4a}{3}) - a = 5 \implies \frac{8a}{3} - a = 5 \implies \frac{5a}{3} = 5 \implies a = 3$.

(A) આપેલ ગણમાં $9$ સંખ્યાઓ છે: $9, 99, 999, \dots, 999999999$.
સમાંતર મધ્યક $N$ શોધવા માટે,આપણે આ સંખ્યાઓનો સરવાળો કરીને તેને $9$ વડે ભાગીશું:
$N = \frac{9 + 99 + 999 + \dots + 999999999}{9}$
$N = \frac{9(1 + 11 + 111 + \dots + 111111111)}{9}$
$N = 1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + 111111 + 1111111 + 11111111 + 111111111$
સરવાળો કરતા:
$N = 123456789$
$N$ ના અંકો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ છે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$N$ માં $0$ અંક નથી.

(D) સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો મહત્તમ મેળવવા માટે, આપણે પદો જ્યાં સુધી અ-ઋણ (non-negative) રહે ત્યાં સુધીનો સરવાળો કરીશું.
આપેલ શ્રેણી: $50, 48, 46, 44, \dots$
અહીં, પ્રથમ પદ $a = 50$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 48 - 50 = -2$ છે.
$n$-મું પદ $T_n = a + (n - 1)d$ દ્વારા મળે છે.
ધન પદોની સંખ્યા શોધવા માટે, $T_n > 0$ લઈએ:
$50 + (n - 1)(-2) > 0$
$50 - 2n + 2 > 0$
$52 > 2n \Rightarrow n < 26$.
આમ, $25$ ધન પદો છે. $26$-મું પદ $50 + (26 - 1)(-2) = 50 - 50 = 0$ છે.
$0$ ઉમેરવાથી સરવાળામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી, તેથી પ્રથમ $25$ પદોનો સરવાળો એ પ્રથમ $26$ પદોના સરવાળા જેટલો જ થાય.
સરવાળાના સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_{26} = \frac{26}{2}[2(50) + (26 - 1)(-2)]$
$S_{26} = 13[100 - 50] = 13 \times 50 = 650$.

(A) શ્રેણીનું $r$-મું પદ $T_r = \frac{2r+1}{1^2 + 2^2 + \dots + r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $r$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^r k^2 = \frac{r(r+1)(2r+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_r = \frac{2r+1}{\frac{r(r+1)(2r+1)}{6}} = \frac{6(2r+1)}{r(r+1)(2r+1)} = \frac{6}{r(r+1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા,$T_r = 6 \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} \right)$.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{r=1}^n T_r = 6 \sum_{r=1}^n \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} \right)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $S_n = 6 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) \right] = 6 \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{6n}{n+1}$.
$n = 50$ માટે,$S_{50} = \frac{6 \times 50}{50+1} = \frac{300}{51} = \frac{100}{17}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$-મું પદ $t_n = S_n - S_{n-1}$ થાય.
આપેલ છે કે $S_n = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$.
$t_n = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6} - \frac{(n - 1)n(n + 1)}{6}$.
$\frac{n(n + 1)}{6}$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે $t_n = \frac{n(n + 1)}{6} [n + 2 - (n - 1)]$.
$t_n = \frac{n(n + 1)}{6} [3] = \frac{n(n + 1)}{2}$.
હવે,આપણે $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{t_n} = \sum_{n = 1}^\infty \frac{2}{n(n + 1)}$ શોધવાનું છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{2}{n(n + 1)} = 2 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $2 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots \right]$.
સરવાળો $2(1) = 2$ થાય છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદ $b$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ નો સરવાળો નિશ્ચિત હોવા માટે,શરત $|r| < 1$ સંતોષાવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $-1 < r < 1$.
અનંત $G.P.$ ના સરવાળાનું સૂત્ર $S = \frac{b}{1 - r}$ છે.
આપેલ છે કે $S = 5$,તેથી $\frac{b}{1 - r} = 5$.
$r$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$1 - r = \frac{b}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $r = 1 - \frac{b}{5}$.
શરત $-1 < r < 1$ માં કિંમત મૂકતા:
$-1 < 1 - \frac{b}{5} < 1$.
બધા પદોમાંથી $1$ બાદ કરતા: $-2 < -\frac{b}{5} < 0$.
$-5$ વડે ગુણતા (અને અસમતાની નિશાની બદલતા): $0 < b < 10$.
આમ,$b$ એ $(0, 10)$ અંતરાલમાં છે.

(A) ધારો કે $d_1$ એ $A.P.$ $x_1, x_2, \dots, x_n$ નો સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ છે કે $x_3 = 8$ અને $x_8 = 20$.
$x_8 - x_3 = (8-3)d_1 = 5d_1 = 20 - 8 = 12 \Rightarrow d_1 = \frac{12}{5} = 2.4$.
તેથી $x_5 = x_3 + 2d_1 = 8 + 2(2.4) = 8 + 4.8 = 12.8$.
ધારો કે $d_2$ એ $A.P.$ $\frac{1}{h_1}, \frac{1}{h_2}, \dots, \frac{1}{h_n}$ નો સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ છે કે $\frac{1}{h_2} = \frac{1}{8}$ અને $\frac{1}{h_7} = \frac{1}{20}$.
$\frac{1}{h_7} - \frac{1}{h_2} = (7-2)d_2 = 5d_2 = \frac{1}{20} - \frac{1}{8} = \frac{2-5}{40} = -\frac{3}{40} \Rightarrow d_2 = -\frac{3}{200}$.
હવે,$\frac{1}{h_{10}} = \frac{1}{h_7} + 3d_2 = \frac{1}{20} + 3\left(-\frac{3}{200}\right) = \frac{10-9}{200} = \frac{1}{200} \Rightarrow h_{10} = 200$.
તેથી,$x_5 \cdot h_{10} = 12.8 \times 200 = 2560$.

(B) $A_n$ એ પ્રથમ પદ $a = \frac{3}{4}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -\frac{3}{4}$ ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ છે.
સરવાળાના સૂત્ર $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A_n = \frac{\frac{3}{4} \left( 1 - (-\frac{3}{4})^n \right)}{1 - (-\frac{3}{4})} = \frac{3}{7} \left[ 1 - (-\frac{3}{4})^n \right] \quad (1)$
$B_n = 1 - A_n$ આપેલ હોવાથી,$B_n > A_n$ ની શરત મુજબ:
$1 - A_n > A_n \implies 1 > 2A_n \implies A_n < \frac{1}{2}$
સમીકરણ $(1)$ ને અસમતામાં મૂકતા:
$\frac{3}{7} \left[ 1 - (-\frac{3}{4})^n \right] < \frac{1}{2} \implies 1 - (-\frac{3}{4})^n < \frac{7}{6}$
$-(-\frac{3}{4})^n < \frac{1}{6} \implies (-\frac{3}{4})^n > -\frac{1}{6}$
જો $n$ એકી સંખ્યા હોય,તો $(-\frac{3}{4})^n = -(\frac{3}{4})^n$ થાય. તેથી:
$-(\frac{3}{4})^n > -\frac{1}{6} \implies (\frac{3}{4})^n < \frac{1}{6}$
લોગરીધમ લેતા: $n \log(\frac{3}{4}) < \log(\frac{1}{6})$
$n (0.4771 - 0.6020) < -0.7781 \implies n > 6.228$
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ એકી પ્રાકૃતિક કિંમત $7$ છે.

(D) કારણ કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $a+c = 2b$ થાય.
આપેલ છે કે $a+b+c = \frac{3}{4}$,જેમાં $a+c = 2b$ મૂકતા $3b = \frac{3}{4}$ મળે,તેથી $b = \frac{1}{4}$.
વળી,$a^2, b^2, c^2$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $(b^2)^2 = a^2c^2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $ac = \pm b^2 = \pm \frac{1}{16}$.
$a < b < c$ હોવાથી,$ac < b^2$ હોવું જોઈએ,તેથી $ac = -\frac{1}{16}$.
આમ,$a+c = 2b = \frac{1}{2}$ અને $ac = -\frac{1}{16}$ મળે.
આ કિંમતો દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (a+c)x + ac = 0$ ના બીજ છે,એટલે કે $x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{16} = 0$.
$16$ વડે ગુણતા,$16x^2 - 8x - 1 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4(16)(-1)}}{32} = \frac{8 \pm \sqrt{128}}{32} = \frac{8 \pm 8\sqrt{2}}{32} = \frac{1}{4} \pm \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
$a < b$ હોવાથી,આપણે નાનું બીજ પસંદ કરીશું: $a = \frac{1}{4} - \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

(C) આપેલ છે કે $\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}, \dots, \frac{1}{x_n}$ એ $A.P.$ માં છે,જ્યાં $x_1 = 4$ અને $x_{21} = 20$ છે.
ધારો કે આ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
તેથી,$\frac{1}{x_{21}} = \frac{1}{x_1} + (21 - 1)d$.
$\frac{1}{20} = \frac{1}{4} + 20d \implies 20d = \frac{1}{20} - \frac{1}{4} = \frac{1-5}{20} = -\frac{4}{20} = -\frac{1}{5}$.
તેથી,$d = -\frac{1}{100}$.
$A.P.$ નું $n$-મું પદ $\frac{1}{x_n} = \frac{1}{x_1} + (n-1)d = \frac{1}{4} - \frac{n-1}{100} = \frac{25 - n + 1}{100} = \frac{26 - n}{100}$ છે.
આમ,$x_n = \frac{100}{26 - n}$.
આપણને આપેલ છે કે $x_n > 50$,તેથી $\frac{100}{26 - n} > 50$.
$x_n > 0$ હોવાથી,$26 - n$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $n < 26$.
$50$ વડે ભાગતા,$\frac{2}{26 - n} > 1 \implies 2 > 26 - n \implies n > 24$.
$n > 24$ ને સંતોષતો સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $n = 25$ છે.
હવે,સરવાળો $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ શોધીએ,જ્યાં $a = \frac{1}{4}$ અને $d = -\frac{1}{100}$.
$S_{25} = \frac{25}{2} [2(\frac{1}{4}) + (25-1)(-\frac{1}{100})] = \frac{25}{2} [\frac{1}{2} - \frac{24}{100}] = \frac{25}{2} [\frac{50 - 24}{100}] = \frac{25}{2} [\frac{26}{100}] = \frac{25}{2} \times \frac{13}{50} = \frac{13}{4}$.

(D) આપેલ શ્રેણી $1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + \frac{15}{8} + \dots$ છે.
આપણે પદોને આ રીતે લખી શકીએ:
$T_n = \frac{2^n - 1}{2^{n-1}} = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $S_{20} = \sum_{n=1}^{20} (2 - \frac{1}{2^{n-1}})$ છે.
$S_{20} = \sum_{n=1}^{20} 2 - \sum_{n=1}^{20} \frac{1}{2^{n-1}}$.
$S_{20} = (2 \times 20) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^{19}})$.
બીજો ભાગ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $a = 1$,$r = \frac{1}{2}$,અને $n = 20$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો = $\frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{1(1 - (1/2)^{20})}{1 - 1/2} = 2(1 - \frac{1}{2^{20}}) = 2 - \frac{1}{2^{19}}$.
તેથી,$S_{20} = 40 - (2 - \frac{1}{2^{19}}) = 38 + \frac{1}{2^{19}}$.

(D) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ નો સમાંતર મધ્યક $(AM)$ તેમના સમગુણોત્તર મધ્યક $(GM)$ કરતા પાંચ ગણો છે:
$\frac{a + b}{2} = 5\sqrt{ab}$
$\frac{a + b}{\sqrt{ab}} = 10$
ધારો કે $x = \sqrt{\frac{a}{b}}$. તેથી $\frac{a+b}{\sqrt{ab}} = \frac{a}{\sqrt{ab}} + \frac{b}{\sqrt{ab}} = \sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} = x + \frac{1}{x} = 10$.
$x^2 - 10x + 1 = 0$ ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4}}{2} = 5 \pm \sqrt{24} = 5 \pm 2\sqrt{6}$ મળે છે.
$a > b$ હોવાથી,$x > 1$,તેથી $x = 5 + 2\sqrt{6}$.
આપણે $\frac{a+b}{a-b} = \frac{\frac{a}{b} + 1}{\frac{a}{b} - 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ શોધવાનું છે.
$x = 5 + 2\sqrt{6}$ હોવાથી,$x^2 = (5 + 2\sqrt{6})^2 = 25 + 24 + 20\sqrt{6} = 49 + 20\sqrt{6}$.
$\frac{a+b}{a-b} = \frac{49 + 20\sqrt{6} + 1}{49 + 20\sqrt{6} - 1} = \frac{50 + 20\sqrt{6}}{48 + 20\sqrt{6}} = \frac{25 + 10\sqrt{6}}{24 + 10\sqrt{6}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{(25 + 10\sqrt{6})(24 - 10\sqrt{6})}{(24)^2 - (10\sqrt{6})^2} = \frac{600 - 250\sqrt{6} + 240\sqrt{6} - 600}{576 - 600} = \frac{-10\sqrt{6}}{-24} = \frac{5\sqrt{6}}{12}$.

(B) આપેલ શ્રેણી $\sqrt{3} + \sqrt{75} + \sqrt{243} + \sqrt{507} + \dots$ છે.
આને $\sqrt{3} + 5\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 13\sqrt{3} + \dots$ તરીકે લખી શકાય.
$\sqrt{3}$ સામાન્ય લેતા: $\sqrt{3}(1 + 5 + 9 + 13 + \dots + T_n) = 435\sqrt{3}$
બંને બાજુ $\sqrt{3}$ વડે ભાગતા,આપણને સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો મળે છે: $1 + 5 + 9 + 13 + \dots + T_n = 435$
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 4$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)4] = 435$
$\frac{n}{2}[2 + 4n - 4] = 435$
$\frac{n}{2}[4n - 2] = 435$
$n(2n - 1) = 435$
$2n^2 - n - 435 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-435)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 3480}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3481}}{4} = \frac{1 \pm 59}{4}$
$n$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $n = \frac{1 + 59}{4} = \frac{60}{4} = 15$.

(A) ધારો કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી આપણે $a = b - d$ અને $c = b + d$ લખી શકીએ,જ્યાં $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ છે કે $abc = 8$,તેથી $(b - d)(b)(b + d) = 8$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $b(b^2 - d^2) = 8$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 - d^2 = 8/b$.
ચૂકવણી મુજબ $d^2 \ge 0$ હોવાથી,$b^2 - 8/b = d^2 \ge 0$ થાય.
આથી $b^2 \ge 8/b$,અથવા $b^3 \ge 8$ મળે.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$b \ge 2$ મળે.
આમ,$b$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત $2$ છે.

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ ${T_n} = \frac{1 + 2 + \dots + n}{1^3 + 2^3 + \dots + n^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળા અને પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ઘનનો સરવાળો કરવાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
${T_n} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2} = \frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2}{n(n+1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,${T_n} = 2\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$.
હવે,${S_n} = \sum_{k=1}^n {T_k} = 2 \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: ${S_n} = 2\left( (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) \right) = 2\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = \frac{2n}{n+1}$.
આપેલ છે કે $100 S_n = n$,તેથી $100 \left(\frac{2n}{n+1}\right) = n$.
$n \neq 0$ હોવાથી,આપણે $n$ વડે ભાગી શકીએ: $\frac{200}{n+1} = 1$.
આમ,$n+1 = 200$,જેનો અર્થ છે કે $n = 199$.

(B) આપેલ છે કે $x + y + z = 12$ અને $x^3y^4z^5 = (0.1)(600)^3$.
ભારિત સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક અસમતા $(AM \ge GM)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{3(\frac{x}{3}) + 4(\frac{y}{4}) + 5(\frac{z}{5})}{3+4+5} \ge \sqrt[12]{(\frac{x}{3})^3 (\frac{y}{4})^4 (\frac{z}{5})^5}$
$\frac{x+y+z}{12} \ge \sqrt[12]{\frac{x^3y^4z^5}{3^3 4^4 5^5}}$
$x+y+z = 12$ હોવાથી,$1 \ge \sqrt[12]{\frac{x^3y^4z^5}{3^3 4^4 5^5}}$,જેનો અર્થ છે કે $x^3y^4z^5 \le 3^3 4^4 5^5$.
$3^3 4^4 5^5 = 27 \times 256 \times 3125 = 21600000$ ની ગણતરી કરતા.
આપેલ છે કે $x^3y^4z^5 = 0.1 \times (600)^3 = 21600000$.
સમાનતા જળવાતી હોવાથી,$\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = k$ હોવું જોઈએ.
તેથી $x=3k, y=4k, z=5k$. $x+y+z=12$ માં કિંમત મૂકતા $3k+4k+5k=12$,એટલે કે $12k=12$,તેથી $k=1$.
આમ,$x=3, y=4, z=5$.
અંતે,$x^3 + y^3 + z^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216$.

(A) $A.P.$ માં,શરૂઆતથી અને અંતથી સમાન અંતરે આવેલા પદોનો સરવાળો અચળ હોય છે. ખાસ કરીને,$a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$.
આપેલ સમીકરણ: $a_3 + a_7 + a_{11} + a_{15} = 72$.
અહીં આપણે જોઈએ છીએ કે પદોના ક્રમાંકનો સરવાળો $3+15 = 18$ અને $7+11 = 18$ થાય છે.
ગુણધર્મ $a_m + a_n = a_p + a_q$ જો $m+n = p+q$ હોય,તેનો ઉપયોગ કરતા:
$(a_3 + a_{15}) = (a_1 + a_{17})$ અને $(a_7 + a_{11}) = (a_1 + a_{17})$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(a_1 + a_{17}) + (a_1 + a_{17}) = 72$
$2(a_1 + a_{17}) = 72$
$a_1 + a_{17} = 36$.
$A.P.$ ના પ્રથમ $17$ પદોનો સરવાળો $S_{17} = \frac{17}{2}(a_1 + a_{17})$ દ્વારા મળે છે.
$a_1 + a_{17} = 36$ કિંમત મૂકતા:
$S_{17} = \frac{17}{2} \times 36 = 17 \times 18 = 306$.

(D) આપણે સરવાળો $S = \sum_{r=16}^{30} (r^2 - r - 6)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
આને ત્રણ અલગ-અલગ સરવાળામાં વિભાજિત કરી શકાય છે: $S = \sum_{r=16}^{30} r^2 - \sum_{r=16}^{30} r - \sum_{r=16}^{30} 6$.
પ્રથમ $n$ પૂર્ણાંકો અને તેમના વર્ગોના સરવાળા માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$ અને $\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
પ્રથમ,$\sum_{r=16}^{30} r^2 = \sum_{r=1}^{30} r^2 - \sum_{r=1}^{15} r^2 = \frac{30(31)(61)}{6} - \frac{15(16)(31)}{6} = 9455 - 1240 = 8215$.
બીજું,$\sum_{r=16}^{30} r = \sum_{r=1}^{30} r - \sum_{r=1}^{15} r = \frac{30(31)}{2} - \frac{15(16)}{2} = 465 - 120 = 345$.
ત્રીજું,$\sum_{r=16}^{30} 6 = 6 \times (30 - 16 + 1) = 6 \times 15 = 90$.
તેથી,$S = 8215 - 345 - 90 = 7780$.

(C) આપેલ છે કે પ્રથમ પદ $a_1 = 10$ અને પ્રથમ ત્રણ પદોનો સરવાળો $39$ છે.
$a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 39$
$3a_1 + 3d = 39$
$3(10) + 3d = 39 \Rightarrow 30 + 3d = 39 \Rightarrow 3d = 9 \Rightarrow d = 3.$
ધારો કે કુલ પદોની સંખ્યા $n$ છે. છેલ્લા ચાર પદો $a_{n-3}, a_{n-2}, a_{n-1}, a_n$ છે.
તેમનો સરવાળો $(a_n - 3d) + (a_n - 2d) + (a_n - d) + a_n = 178$ થાય.
$4a_n - 6d = 178.$
$d = 3$ મૂકતા: $4a_n - 6(3) = 178 \Rightarrow 4a_n - 18 = 178 \Rightarrow 4a_n = 196 \Rightarrow a_n = 49.$
$a_n = a_1 + (n-1)d$ હોવાથી,$49 = 10 + (n-1)3 \Rightarrow 39 = (n-1)3 \Rightarrow n-1 = 13 \Rightarrow n = 14.$
$n = 14$ પદો ધરાવતી $A.P.$ માટે,મધ્યસ્થ એ $\frac{n}{2}$-મું અને $(\frac{n}{2} + 1)$-મું પદ એટલે કે $7$-મું અને $8$-મું પદની સરેરાશ છે.
મધ્યસ્થ $= \frac{a_7 + a_8}{2} = \frac{(a_1 + 6d) + (a_1 + 7d)}{2} = \frac{2a_1 + 13d}{2} = \frac{2(10) + 13(3)}{2} = \frac{20 + 39}{2} = \frac{59}{2} = 29.5$.

(D) ધારો કે $G.P.$ ના પ્રથમ ત્રણ પદો $a, ar, ar^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ ત્રણ પદોનો ગુણાકાર $1000$ છે:
$a(ar)(ar^2) = 1000 \Rightarrow (ar)^3 = 1000 \Rightarrow ar = 10$.
તેથી,$a = \frac{10}{r}$.
$3^{rd}$ પદ $(ar^2)$ અને $4^{th}$ પદ $(ar^3)$ નો સરવાળો $60$ છે:
$ar^2 + ar^3 = 60 \Rightarrow ar^2(1 + r) = 60$.
$ar = 10$ મૂકતા:
$10r(1 + r) = 60 \Rightarrow r(1 + r) = 6 \Rightarrow r^2 + r - 6 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(r + 3)(r - 2) = 0$,તેથી $r = 2$ અથવા $r = -3$.
જો $r = 2$ હોય,તો $a = \frac{10}{2} = 5$ (ધન).
જો $r = -3$ હોય,તો $a = \frac{10}{-3} = -\frac{10}{3}$ (ઋણ,અસ્વીકાર્ય).
$a = 5$ અને $r = 2$ નો ઉપયોગ કરીને,$7^{th}$ પદ $T_7 = ar^6 = 5(2^6) = 5 \times 64 = 320$ થાય.

(C) આપેલ પદનું સામાન્ય પદ તફાવતની રીતનો ઉપયોગ કરીને આ રીતે લખી શકાય:
$T_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)} - \frac{1}{(n + 1)(n + 2)(n + 3)} \right]$
બંને બાજુ $n = 1$ થી $5$ સુધીનો સરવાળો લેતા,આપણને ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી મળે છે:
$\sum_{n = 1}^5 T_n = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} - \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{5 \cdot 6 \cdot 7} - \frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8} \right) \right]$
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$\sum_{n = 1}^5 T_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{6} - \frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8} \right] = \frac{k}{3}$
$\Rightarrow \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{6} - \frac{1}{336} \right] = \frac{k}{3}$
$\Rightarrow \frac{1}{6} - \frac{1}{336} = k$
$\Rightarrow k = \frac{56 - 1}{336} = \frac{55}{336}$

(C) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ આપેલ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત છે.
બીજું પદ,$a + d = 12$ .....$(1)$
પ્રથમ નવ પદોનો સરવાળો,$S_9 = \frac{9}{2}(2a + 8d) = 9(a + 4d)$.
આપેલ છે કે $S_9$ એ $200$ થી વધુ અને $220$ થી ઓછો છે:
$200 < 9(a + 4d) < 220$
$200 < 9(a + d + 3d) < 220$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(a + d)$ ની કિંમત મૂકતા:
$200 < 9(12 + 3d) < 220$
$200 < 108 + 27d < 220$
બધી બાજુઓમાંથી $108$ બાદ કરતા:
$92 < 27d < 112$
તમામ પદો ધન પૂર્ણાંકો હોવાથી,$d$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ. $92 < 27d < 112$ ને સંતોષતો એકમાત્ર પૂર્ણાંક $d = 4$ છે (કારણ કે $27 \times 3 = 81$,$27 \times 4 = 108$ અને $27 \times 5 = 135$).
$d = 4$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a + 4 = 12 \Rightarrow a = 8$.
$4^{th}$ પદ $a + 3d = 8 + 3(4) = 8 + 12 = 20$ થાય.

(A) આપેલ શ્રેણીનું $n$-મું પદ નીચે મુજબ છે:
$a_n = \frac{2n + 1}{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}$
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a_n = \frac{2n + 1}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{6}{n(n+1)}$
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીને $a_n$ ને સરળ બનાવતા:
$a_n = 6 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$
હવે,$20$ પદોનો સરવાળો $S_{20} = \sum_{n=1}^{20} a_n = 6 \sum_{n=1}^{20} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S_{20} = 6 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{20} - \frac{1}{21}) \right]$
$S_{20} = 6 \left( 1 - \frac{1}{21} \right) = 6 \left( \frac{20}{21} \right) = \frac{120}{21}$
આપેલ છે કે $S_{20} = \frac{k}{21}$,સરખામણી કરતા,આપણને $k = 120$ મળે છે.

(C) ધારો કે ગુણોત્તર શ્રેણી $a, ar, ar^2, ar^3, ar^4$ છે.
પ્રથમ $5$ પદોનો સરવાળો $S_5 = a(1+r+r^2+r^3+r^4) = a\frac{r^5-1}{r-1}$ છે.
તેમના વ્યસ્તો $\frac{1}{a}, \frac{1}{ar}, \frac{1}{ar^2}, \frac{1}{ar^3}, \frac{1}{ar^4}$ છે.
વ્યસ્તોનો સરવાળો $S'_5 = \frac{1}{a}(1 + \frac{1}{r} + \frac{1}{r^2} + \frac{1}{r^3} + \frac{1}{r^4}) = \frac{1}{a} \frac{\frac{1}{r^5}-1}{\frac{1}{r}-1} = \frac{r^5-1}{ar^4(r-1)}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{S_5}{S'_5} = 49$ છે:
$\frac{a(r^5-1)/(r-1)}{(r^5-1)/(ar^4(r-1))} = 49$
$a^2 r^4 = 49$
$(ar^2)^2 = 7^2 \Rightarrow ar^2 = 7$.
પ્રથમ અને ત્રીજા પદનો સરવાળો $35$ આપેલ છે:
$a + ar^2 = 35$.
$ar^2 = 7$ ની કિંમત મૂકતા:
$a + 7 = 35$
$a = 28$.

(B) પ્રથમ શ્રેણી $3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, \dots$ છે,જેમાં સામાન્ય તફાવત $d_1 = 4$ છે.
બીજી શ્રેણી $1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, \dots$ છે,જેમાં સામાન્ય તફાવત $d_2 = 5$ છે.
પ્રથમ સામાન્ય પદ $11$ છે. ત્યારબાદનું સામાન્ય પદ $11 + \text{lcm}(4, 5) = 11 + 20 = 31$ થશે.
આમ,સામાન્ય પદો એક સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) બનાવે છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 11$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 20$ છે.
આપણે આ સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n = 20$ પદોનો સરવાળો શોધવાનો છે.
સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_{20} = \frac{20}{2} [2(11) + (20 - 1)20]$.
$S_{20} = 10 [22 + 19 \times 20] = 10 [22 + 380] = 10 [402] = 4020$.
તેથી,સરવાળો $4020$ છે.

(A) આપેલ છે કે $G$ એ $a$ અને $b$ નો ગુણોત્તર મધ્યક છે,તેથી $G = \sqrt{ab}.$
$M$ એ $\frac{1}{a}$ અને $\frac{1}{b}$ નો સમાંતર મધ્યક છે,તેથી $M = \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} = \frac{a+b}{2ab}.$
તેથી,$\frac{1}{M} = \frac{2ab}{a+b}.$
ગુણોત્તર $\frac{1}{M}:G = 4:5$ આપેલ છે,તેથી $\frac{2ab}{(a+b)\sqrt{ab}} = \frac{4}{5}.$
પદને સરળ બનાવતા,$\frac{2\sqrt{ab}}{a+b} = \frac{4}{5},$ જેનો અર્થ છે કે $\frac{a+b}{2\sqrt{ab}} = \frac{5}{4}.$
યોગ-વિયોગની રીત (Componendo and Dividendo) વાપરતા,$\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a+b-2\sqrt{ab}} = \frac{5+4}{5-4}.$
આને સરળ બનાવતા $\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = 9$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = 3$ અથવા $-3$ મળે.
$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = 3$ ઉકેલતા $\sqrt{a}+\sqrt{b} = 3\sqrt{a}-3\sqrt{b}$ મળે,તેથી $4\sqrt{b} = 2\sqrt{a},$ જેનો અર્થ છે કે $2\sqrt{b} = \sqrt{a}.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4b = a,$ તેથી $\frac{a}{b} = 4,$ જે $a:b = 4:1$ આપે છે.
જો આપણે ગુણોત્તર $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = -3$ લઈએ,તો $\sqrt{a}+\sqrt{b} = -3\sqrt{a}+3\sqrt{b}$ મળે,તેથી $4\sqrt{a} = 2\sqrt{b},$ જેનો અર્થ છે કે $2\sqrt{a} = \sqrt{b}.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4a = b,$ તેથી $\frac{a}{b} = \frac{1}{4},$ જે $a:b = 1:4$ આપે છે.
આમ,$a:b$ એ $1:4$ હોઈ શકે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $1 - \left( \frac{2}{3} + \frac{2}{3^2} + \dots + \frac{2}{3^{n-1}} \right) < \frac{1}{100}$ છે.
કૌંસની અંદરનું પદ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{2}{3}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{3}$ છે,જેમાં કુલ $(n-1)$ પદો છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S_{n-1} = a \frac{1 - r^{n-1}}{1 - r} = \frac{2}{3} \frac{1 - (1/3)^{n-1}}{1 - 1/3} = \frac{2}{3} \frac{1 - (1/3)^{n-1}}{2/3} = 1 - \frac{1}{3^{n-1}}$ થાય.
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા: $1 - (1 - \frac{1}{3^{n-1}}) < \frac{1}{100}$.
$\Rightarrow \frac{1}{3^{n-1}} < \frac{1}{100}$.
$\Rightarrow 3^{n-1} > 100$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $3^4 = 81$ અને $3^5 = 243$ થાય છે.
તેથી,$n-1$ ની કિંમત ઓછામાં ઓછી $5$ હોવી જોઈએ,એટલે કે $n-1 \ge 5$,જેનો અર્થ છે કે $n \ge 6$.
આમ,સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $n$ એ $6$ છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$,સામાન્ય તફાવત $d$ અને પદોની કુલ સંખ્યા $2n$ છે. શ્રેણીના પદો $a, a+d, a+2d, ..., a+(2n-1)d$ છે.
એકી સ્થાન પરના પદોની સંખ્યા $= n$,અને બેકી સ્થાન પરના પદોની સંખ્યા $= n$ છે.
એકી સ્થાન પરના પદોનો સરવાળો $(S_o)$:
$S_o = a + (a+2d) + ... + (a+(2n-2)d) = \frac{n}{2}[2a + (n-1)(2d)] = n[a + (n-1)d] = 24$ --- $(i)$
બેકી સ્થાન પરના પદોનો સરવાળો $(S_e)$:
$S_e = (a+d) + (a+3d) + ... + (a+(2n-1)d) = \frac{n}{2}[2(a+d) + (n-1)(2d)] = n[a + d + (n-1)d] = 30$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$n[a + d + (n-1)d - (a + (n-1)d)] = 30 - 24$
$nd = 6$ --- $(iii)$
આપેલ છે કે છેલ્લું પદ પ્રથમ પદ કરતાં $10\frac{1}{2} = \frac{21}{2}$ જેટલું વધારે છે:
$(a + (2n-1)d) - a = \frac{21}{2}$
$(2n-1)d = \frac{21}{2}$
$2nd - d = \frac{21}{2}$
$nd = 6$ ની કિંમત મૂકતા:
$2(6) - d = \frac{21}{2}$
$12 - d = 10.5$
$d = 1.5 = \frac{3}{2}$
$nd = 6$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n(1.5) = 6 \Rightarrow n = 4$
પદોની કુલ સંખ્યા $= 2n = 2(4) = 8$.

(D) આપેલ છે કે $f(n) = [\frac{1}{3} + \frac{3n}{100}]n$,જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે.
જ્યારે $1 \le n \le 22$ હોય,ત્યારે $\frac{1}{3} + \frac{3n}{100} < \frac{1}{3} + \frac{66}{100} = \frac{1}{3} + 0.66 < 1$,તેથી $f(n) = 0 \cdot n = 0$.
જ્યારે $23 \le n \le 55$ હોય,ત્યારે $1 \le \frac{1}{3} + \frac{3n}{100} < \frac{1}{3} + \frac{165}{100} = 0.33 + 1.65 = 1.98 < 2$,તેથી $f(n) = 1 \cdot n = n$.
જ્યારે $n = 56$ હોય,ત્યારે $\frac{1}{3} + \frac{3(56)}{100} = 0.333 + 1.68 = 2.013$,તેથી $f(56) = 2 \cdot 56 = 112$.
તેથી,$\sum_{n=1}^{56} f(n) = \sum_{n=1}^{22} 0 + \sum_{n=23}^{55} n + 112$.
સરવાળો $\sum_{n=23}^{55} n$ એ $33$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે: $\frac{33}{2}(23 + 55) = \frac{33}{2}(78) = 33 \cdot 39 = 1287$.
આમ,કુલ સરવાળો $1287 + 112 = 1399$ થાય.

(B) સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{S_p}{S_q} = \frac{p^3}{q^3}$,તેથી $\frac{\frac{p}{2}[2a_1 + (p-1)d]}{\frac{q}{2}[2a_1 + (q-1)d]} = \frac{p^3}{q^3}$.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{2a_1 + (p-1)d}{2a_1 + (q-1)d} = \frac{p^2}{q^2}$.
પદોનો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે જો સરવાળાનો ગુણોત્તર $\frac{n^3}{m^3}$ હોય,તો પદોનો ગુણોત્તર $\frac{a_n}{a_m} = \frac{3n^2 - 3n + 1}{3m^2 - 3m + 1}$ થાય.
$n=6$ અને $m=21$ માટે:
$\frac{a_6}{a_{21}} = \frac{3(6)^2 - 3(6) + 1}{3(21)^2 - 3(21) + 1} = \frac{108 - 18 + 1}{1323 - 63 + 1} = \frac{91}{1261} = \frac{31}{121}$.

(C) શ્રેણીનું $r$-મું પદ $T_r = \frac{1}{1 + 2 + 3 + \dots + r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $r$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$1 + 2 + 3 + \dots + r = \frac{r(r + 1)}{2}$.
તેથી,$T_r = \frac{2}{r(r + 1)} = 2 \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r + 1} \right)$.
પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $S_{10} = \sum_{r=1}^{10} T_r = 2 \sum_{r=1}^{10} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r + 1} \right)$ છે.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે $S_{10} = 2 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{10} - \frac{1}{11}) \right]$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે જેમાં વચ્ચેના પદો ઉડી જાય છે,તેથી $S_{10} = 2 \left( 1 - \frac{1}{11} \right)$.
$S_{10} = 2 \left( \frac{10}{11} \right) = \frac{20}{11}$.

(B) આપેલ છે કે પ્રથમ $A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 3n^2 + 2n$ છે.
પ્રથમ પદ $a = S_1 = 3(1)^2 + 2(1) = 5$.
પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો $S_2 = 3(2)^2 + 2(2) = 12 + 4 = 16$.
બીજું પદ $a_2 = S_2 - S_1 = 16 - 5 = 11$.
સામાન્ય તફાવત $d = a_2 - a = 11 - 5 = 6$.
નવા $A.P.$ માટે,પ્રથમ પદ $a' = a = 5$ અને સામાન્ય તફાવત $d' = 2d = 2(6) = 12$.
નવા $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S'_n = \frac{n}{2}[2a' + (n - 1)d']$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $S'_n = \frac{n}{2}[2(5) + (n - 1)12] = \frac{n}{2}[10 + 12n - 12] = \frac{n}{2}[12n - 2] = n(6n - 1) = 6n^2 - n$.

(C) આપેલી શ્રેણી $\sum_{n=1}^{11} T_n$ છે,જ્યાં $n$-મું પદ $T_n$ નીચે મુજબ છે:
$T_n = \frac{2n+1}{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}$
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_n = \frac{2n+1}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{6}{n(n+1)}$
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$T_n = 6 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$
હવે,$n$ પદોનો સરવાળો $S_n$:
$S_n = \sum_{k=1}^n 6 \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = 6 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) \right]$
$S_n = 6 \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{6n}{n+1}$
$n=11$ પદો માટે:
$S_{11} = \frac{6 \times 11}{11+1} = \frac{66}{12} = \frac{11}{2}$

(C) આપેલી શ્રેણી $S = 1(2)^2 + 2(4)^2 + 3(6)^2 + ...$ $10$ પદો સુધી છે.
શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = n(2n)^2 = n(4n^2) = 4n^3$ છે.
$10$ પદોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે $\sum_{n=1}^{10} 4n^3$ ની ગણતરી કરીશું.
$S = 4 \sum_{n=1}^{10} n^3$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ઘનનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $\sum_{n=1}^{n} n^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ છે.
$n = 10$ માટે,$\sum_{n=1}^{10} n^3 = [\frac{10 \times 11}{2}]^2 = (55)^2 = 3025$.
તેથી,$S = 4 \times 3025 = 12100$.