Biot-Savart's Law and its application Questions in Gujarati

(A) ધારો કે વાહકના બે ભાગ $ABC$ અને $ADC$ ની લંબાઈ અનુક્રમે $l_1$ અને $l_2$ છે અને વાહકનો એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $\rho$ છે.
ભાગ $ABC$ નો અવરોધ $R_1 = \rho l_1$ છે.
ભાગ $ADC$ નો અવરોધ $R_2 = \rho l_2$ છે.
બંને ભાગ સમાંતર હોવાથી,$AC$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન રહેશે:
$V = I_1 R_1 = I_2 R_2$
$I_1 (\rho l_1) = I_2 (\rho l_2)$
$I_1 l_1 = I_2 l_2 \quad \dots (i)$
ચાપ $ABC$ માં વહેતા પ્રવાહ $I_1$ ને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_1 = \frac{\mu_0 I_1 \theta_1}{4 \pi R} = \frac{\mu_0 I_1 l_1}{4 \pi R^2}$ (પાનાની અંદરની તરફ,$\otimes$)
ચાપ $ADC$ માં વહેતા પ્રવાહ $I_2$ ને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_2 = \frac{\mu_0 I_2 \theta_2}{4 \pi R} = \frac{\mu_0 I_2 l_2}{4 \pi R^2}$ (પાનાની બહારની તરફ,$\odot$)
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,$I_1 l_1 = I_2 l_2$,તેથી:
$B_2 = \frac{\mu_0 I_1 l_1}{4 \pi R^2}$
$B_1$ અને $B_2$ ના મૂલ્યો સમાન છે અને દિશાઓ વિરુદ્ધ હોવાથી,કેન્દ્ર $O$ પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B = B_2 - B_1 = 0$.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને કેન્દ્ર પર $\theta$ ખૂણો બનાવતા વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,$r$,$2r$,અને $3r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ત્રણ ચાપ છે.
$1$. પ્રથમ ચાપ (ત્રિજ્યા $r$) માટે,પ્રવાહ એવી દિશામાં વહે છે કે જેથી $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાનાની અંદરની તરફ હોય (જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરીને). ધારો કે આ $B_1 = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi r}$ છે.
$2$. બીજા ચાપ (ત્રિજ્યા $2r$) માટે,પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાનાની બહારની તરફ હોય. ધારો કે આ $B_2 = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi (2r)} = \frac{\mu_0 I \theta}{8\pi r}$ છે.
$3$. ત્રીજા ચાપ (ત્રિજ્યા $3r$) માટે,પ્રવાહ પ્રથમ ચાપની સમાન દિશામાં વહે છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાનાની અંદરની તરફ હોય. ધારો કે આ $B_3 = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi (3r)} = \frac{\mu_0 I \theta}{12\pi r}$ છે.
$O$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 - B_2 + B_3$ થશે:
$B_{net} = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{2r} + \frac{1}{3r} \right)$
$B_{net} = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi r} \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right)$
$B_{net} = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi r} \left( \frac{6 - 3 + 2}{6} \right) = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi r} \left( \frac{5}{6} \right) = \frac{5\mu_0 I \theta}{24\pi r}$.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને કેન્દ્ર પર $\alpha$ ખૂણો આંતરતા વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I \alpha}{4\pi R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ આકૃતિમાં, $R_1$ અને $R_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે વર્તુળાકાર ચાપ અને બે સીધા ત્રિજ્યાવર્તી વિભાગો છે. કેન્દ્ર $O$ પર સીધા ત્રિજ્યાવર્તી વિભાગોને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે કારણ કે પ્રવાહ ખંડ $Idl$ અને સ્થાન સદિશ $r$ એકરેખસ્થ છે ($\theta = 0^\circ$ અથવા $180^\circ$). $R_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I \alpha}{4\pi R_1}$ (પાનાની અંદરની તરફ) છે. $R_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I \alpha}{4\pi R_2}$ (પાનાની બહારની તરફ) છે. $O$ પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0 I \alpha}{4\pi} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.

(C) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_{0} n i}{2 r}$ છે.
અહીં,$n$ એ આંટાઓની સંખ્યા છે,$i$ એ પ્રવાહ છે,અને $r$ એ કોઈલની ત્રિજ્યા છે.
સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $B \propto \frac{n}{r}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = k \frac{n}{r}$ છે.
આપેલ છે કે નવા આંટાઓની સંખ્યા $n' = 2n$ અને નવી ત્રિજ્યા $r' = \frac{r}{2}$ છે.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B'$ આ મુજબ મળે: $B' = k \frac{n'}{r'} = k \frac{2n}{r/2} = 4 \left( k \frac{n}{r} \right) = 4B$.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર મૂળ મૂલ્ય કરતા $4$ ગણું થશે.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $i$ પ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લૂપ $A$ માટે,$B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2r_1}$.
લૂપ $B$ માટે,$B_2 = \frac{\mu_0 i_2}{2r_2}$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{3}$ આપેલ છે.
સૂત્રો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{B_1}{B_2} = \frac{i_1}{r_1} \times \frac{r_2}{i_2} = \frac{1}{3}$.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2}$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_2}{r_1} = 2$.
આ કિંમત ગુણોત્તરના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{i_1}{i_2} \times 2 = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\frac{i_1}{i_2} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.

(A) ચોરસ લૂપને બિંદુ $A$ અને $D$ વચ્ચે બે સમાંતર માર્ગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. માર્ગ $1$ માં ત્રણ બાજુઓ $(AB, BC, CD)$ છે અને માર્ગ $2$ માં એક બાજુ $(AD)$ છે.
માર્ગો સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે. $d$ લંબ અંતરે $i$ પ્રવાહ વહન કરતા સીધા તારના ટુકડાને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi d}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચોરસ માટે,કેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું અંતર $a/2$ છે. દરેક બાજુ કેન્દ્ર પર $45^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે $(\theta_1 = \theta_2 = 45^\circ)$.
$i$ પ્રવાહ વહન કરતી $a$ લંબાઈની એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_s = \frac{\mu_0 i}{4\pi (a/2)}(\sin 45^\circ + \sin 45^\circ) = \frac{\mu_0 i}{2\pi a}(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2}\pi a}$ છે.
આપેલ સર્કિટમાં,પ્રવાહ $i$ એ $i_1$ ($ABC-D$ દ્વારા) અને $i_2$ ($AD$ દ્વારા) માં વિભાજિત થાય છે. $ABC-D$ માર્ગનો અવરોધ $3R/4$ અને $AD$ માર્ગનો અવરોધ $R/4$ હોવાથી,પ્રવાહ $i_1 = i/4$ અને $i_2 = 3i/4$ છે.
ત્રણ બાજુઓ $AB, BC, CD$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = 3 \times \frac{\mu_0 i_1}{\sqrt{2}\pi a}$ (અંદરની તરફ) અને બાજુ $AD$ ને કારણે $B_2 = \frac{\mu_0 i_2}{\sqrt{2}\pi a}$ (બહારની તરફ) છે.
$B_{\text{net}} = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0}{\sqrt{2}\pi a} (3i_1 - i_2) = \frac{\mu_0}{\sqrt{2}\pi a} (3(i/4) - 3i/4) = 0$.

(A) $n$ આવૃત્તિ સાથે ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $i = qn$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $i$ પ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \text{ T m/A}$ લેતા,આપણને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ મળે છે.
તેથી,$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (qn)}{2r}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,$B = \frac{2\pi qn}{r} \times 10^{-7} \text{ T}$ મળે છે.

(A) લંબાઈના સીધા તારને કારણે તેના કેન્દ્રથી $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a = 2L$ બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,કેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું અંતર $r = \frac{a}{2 \tan 60^{\circ}} = \frac{2L}{2 \sqrt{3}} = \frac{L}{\sqrt{3}}$ છે.
કેન્દ્ર પર બાજુના છેડાઓ દ્વારા બનતા ખૂણાઓ $\theta_1 = \theta_2 = 60^{\circ}$ છે.
એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (L/\sqrt{3})} (\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}) = \frac{\mu_0 i \sqrt{3}}{4 \pi L} (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\mu_0 i \sqrt{3}}{4 \pi L} (\sqrt{3}) = \frac{3 \mu_0 i}{4 \pi L}$ છે.
ત્રણ સમાન બાજુઓ હોવાથી,કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 3 \times B_1 = 3 \times \frac{3 \mu_0 i}{4 \pi L} = \frac{9 \mu_0 i}{4 \pi L}$ થાય.

(B) ધારો કે બંને તારમાં વહેતો પ્રવાહ $i$ છે. લાંબા સીધા તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$ છે.
જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $A$ (તારની વચ્ચેનું બિંદુ) પર તાર $1$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાનાની અંદરની તરફ ($-k$ દિશા) અને તાર $2$ ને કારણે પાનાની બહારની તરફ ($+k$ દિશા) હોય છે. અંતર સમાન $(R/2)$ હોવાથી,મૂલ્યો સમાન છે,તેથી $B_A = 0$.
બિંદુ $B$ પર,બંને તાર પાનાની અંદરની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. તાર $1$ થી અંતર $R/2$ અને તાર $2$ થી અંતર $3R/2$ છે. તેથી,$B_B = -\left( \frac{\mu_0 i}{2 \pi (R/2)} + \frac{\mu_0 i}{2 \pi (3R/2)} \right) = -\frac{4 \mu_0 i}{3 \pi R}$.
બિંદુ $C$ પર,બંને તાર પાનાની બહારની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. તાર $2$ થી અંતર $R/2$ અને તાર $1$ થી અંતર $3R/2$ છે. તેથી,$B_C = +\frac{4 \mu_0 i}{3 \pi R}$.
ગુણોત્તર $B_A : B_B : B_C = 0 : -1 : 1$ થાય છે. વિકલ્પો મુજબ,$0 : 1 : -1$ સાચો જવાબ છે.

(D) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહકથી $R$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi R}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ અંતર $R$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $B \propto \frac{1}{R}$.
આ સંબંધ એક લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,આલેખ $D$ આ વ્યસ્ત પ્રમાણને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે,જેમાં $R$ વધતા $B$ ઘટે છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર પ્રવાહધારિત લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રણ રિંગ્સ પરસ્પર લંબ હોવાથી અને ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત હોવાથી,તેમના ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશો અનુક્રમે $x$,$y$ અને $z$ અક્ષોની દિશામાં હશે.
ધારો કે $yz$,$zx$ અને $xy$ સમતલમાં રહેલી રિંગ્સને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્રો અનુક્રમે $\vec{B}_x$,$\vec{B}_y$ અને $\vec{B}_z$ છે.
તેથી,$\vec{B}_x = \frac{\mu_0 I}{2R} \hat{i}$,$\vec{B}_y = \frac{\mu_0 I}{2R} \hat{j}$,અને $\vec{B}_z = \frac{\mu_0 I}{2R} \hat{k}$.
ઉગમબિંદુ પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ સદિશ સરવાળો છે: $\vec{B} = \vec{B}_x + \vec{B}_y + \vec{B}_z = \frac{\mu_0 I}{2R} (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $|\vec{B}| = \sqrt{(\frac{\mu_0 I}{2R})^2 + (\frac{\mu_0 I}{2R})^2 + (\frac{\mu_0 I}{2R})^2} = \sqrt{3 \left(\frac{\mu_0 I}{2R}\right)^2} = \sqrt{3} \frac{\mu_0 I}{2R}$.

(A) બિંદુ $C$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ તારના ત્રણ ભાગો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે: બે અર્ધ-અનંત સીધા તાર અને એક અર્ધ-વર્તુળાકાર ચાપ.
$1$. $x$-અક્ષ પરના અર્ધ-અનંત સીધા તાર માટે (જે ઉગમબિંદુ તરફ પ્રવાહ વહન કરે છે),$C$ પરનું ક્ષેત્ર (અંતર $r$ પર) $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4\pi r} (-\hat{i})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અર્ધ-વર્તુળાકાર ચાપ માટે,કેન્દ્ર પરનું ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 i}{4r} \hat{k}$ છે.
$3$. ઉગમબિંદુથી શરૂ થતા અર્ધ-અનંત સીધા તાર માટે (જે ઉગમબિંદુથી દૂર પ્રવાહ વહન કરે છે),$C$ પરનું ક્ષેત્ર $B_3 = \frac{\mu_0 i}{4\pi r} \hat{k}$ છે.
આ બધાનો સરવાળો કરતા: $\vec{B}_C = B_1 + B_2 + B_3 = \frac{\mu_0 i}{4\pi r} (-\hat{i}) + \frac{\mu_0 i}{4r} \hat{k} + \frac{\mu_0 i}{4\pi r} \hat{k}$.
$\frac{\mu_0 i}{4\pi r}$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે: $\vec{B}_C = \frac{\mu_0 i}{4\pi r} [ (1 + \pi) \hat{k} - \hat{i} ]$.

(D) અનંત લંબાઈના તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $M$ પર,જે બંને તારોથી $a$ અંતરે છે,દરેક તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B_1 = B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a}$ છે.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ઊભી દિશામાં પ્રવાહ ધરાવતા તારને કારણે બિંદુ $M$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલની અંદરની તરફ છે.
બિંદુ $M$ પર કાગળના સમતલની બહાર આવતા પ્રવાહ ધરાવતા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચેની તરફ છે.
આ બંને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશો એકબીજાને લંબ હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_M$ નીચે મુજબ મળે:
$B_M = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{\left(\frac{\mu_0 I}{2 \pi a}\right)^2 + \left(\frac{\mu_0 I}{2 \pi a}\right)^2}$
$B_M = \sqrt{2 \left(\frac{\mu_0 I}{2 \pi a}\right)^2} = \sqrt{2} \cdot \frac{\mu_0 I}{2 \pi a} = \frac{\mu_0 I}{\sqrt{2} \pi a}$.

(C) તાર બે અર્ધ-અનંત વિભાગોનો બનેલો છે. અર્ધ-અનંત તાર માટે,લંબ અંતર $d$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d}$ છે.
અહીં,દરેક વિભાગથી બિંદુ $P$ નું લંબ અંતર $d = r \sin 45^{\circ} = \frac{r}{\sqrt{2}}$ છે.
એક વિભાગને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (r/\sqrt{2})} (\sin 45^{\circ} + \sin 90^{\circ}) = \frac{\mu_0 I \sqrt{2}}{4 \pi r} (\frac{1}{\sqrt{2}} + 1) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (1 + \sqrt{2})$ છે.
બંને વિભાગો સમાન દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરતા હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 2 B_1 = 2 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (1 + \sqrt{2}) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} (1 + \sqrt{2})$ થાય.
જોકે,ખૂણા પર $r$ અંતરે કાટખૂણે વળેલા તાર માટેના પ્રમાણિત સૂત્ર મુજબ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sqrt{2} + 1)$ મળે છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) $N$ આંટા,$R$ ત્રિજ્યા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હેલ્મહોલ્ટ્ઝ કોઈલ માટે,બે લૂપ્સ $R$ અંતરે અલગ થયેલ છે. બિંદુ $P$ મધ્યબિંદુ પર છે,તેથી દરેક કેન્દ્ર ($A$ અને $C$) થી $P$ નું અંતર $x = R/2$ છે.
એક લૂપને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(R^2 + (R/2)^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(R^2 + R^2/4)^{3/2}} = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(5R^2/4)^{3/2}}$ છે.
આને સરળ બનાવતા,$B_1 = \frac{\mu_0 N I R^2}{2 \cdot (5/4)^{3/2} \cdot R^3} = \frac{\mu_0 N I}{2 \cdot (5^{3/2}/8) \cdot R} = \frac{4 \mu_0 N I}{5^{3/2} R}$ મળે છે.
પ્રવાહ સમાન દિશામાં વહેતો હોવાથી,બંને લૂપ્સને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રો સમાન દિશામાં છે. તેથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 2 B_1 = 2 \cdot \frac{4 \mu_0 N I}{5^{3/2} R} = \frac{8 \mu_0 N I}{5^{3/2} R}$ થશે.

(A) આપેલ છે: ત્રિકોણની બાજુ,$l = 4.5 \times 10^{-2} \,m$,વિદ્યુતપ્રવાહ,$I = 1 \,A$.
લંબ અંતર $d$ પર રહેલા સીમિત તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,કેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું લંબ અંતર $d = \frac{l}{2\sqrt{3}}$ છે.
$l = 4.5 \times 10^{-2} \,m$ મૂકતા,આપણને $d = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{2\sqrt{3}} \,m$ મળે છે.
દરેક બાજુ માટે,કેન્દ્ર પર બનતા ખૂણા $\theta_1 = \theta_2 = 60^{\circ}$ છે.
એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (2 \sin 60^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\mu_0 I \sqrt{3}}{4\pi d}$ છે.
$d = \frac{l}{2\sqrt{3}}$ મૂકતા,$B_1 = \frac{\mu_0 I \sqrt{3}}{4\pi (l / 2\sqrt{3})} = \frac{\mu_0 I (3)}{2\pi l} = \frac{3 \mu_0 I}{2\pi l}$ મળે છે.
ત્રણેય બાજુઓને કારણે કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = 3 \times B_1 = 3 \times \frac{3 \mu_0 I}{2\pi l} = \frac{9 \mu_0 I}{2\pi l}$ છે.
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \,T\cdot m/A$,$I = 1 \,A$,અને $l = 4.5 \times 10^{-2} \,m$ નો ઉપયોગ કરતા:
$B_{net} = \frac{9 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times 1}{2\pi \times 4.5 \times 10^{-2}} = \frac{18 \times 10^{-7}}{4.5 \times 10^{-2}} = 4 \times 10^{-5} \,T$ (અથવા $Wb/m^2$).

(B) $n$ આંટા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્રમાં $I$ પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$ છે.
પ્રથમ તાર માટે,તેને $R$ ત્રિજ્યાની એક લૂપમાં વાળવામાં આવે છે $(n_1 = 1)$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 (1) I}{2R} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
બીજા તારની લંબાઈ $L = 2\pi R$ સમાન છે. તેને $n_2 = 3$ લૂપમાં વાળવામાં આવે છે. ધારો કે દરેક નવી લૂપની ત્રિજ્યા $r$ છે. તેથી $L = n_2 (2\pi r) = 3(2\pi r)$.
લંબાઈને સરખાવતા: $2\pi R = 6\pi r$,જે આપણને $r = R/3$ આપે છે.
બીજી કોઈલમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_2 = I/3$ છે.
બીજી કોઈલના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 n_2 I_2}{2r} = \frac{\mu_0 (3) (I/3)}{2(R/3)} = \frac{\mu_0 I}{2(R/3)} = \frac{3\mu_0 I}{2R}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I / 2R}{3\mu_0 I / 2R} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$B_1 : B_2 = 1 : 3$.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{centre}} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈલના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે તેની અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્ર પરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને અક્ષ પરના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર:
$\frac{B_{\text{centre}}}{B_{\text{axis}}} = \frac{\mu_0 I / 2R}{\mu_0 I R^2 / 2(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{(R^2 + x^2)^{3/2}}{R^3} = \left(1 + \frac{x^2}{R^2}\right)^{3/2}$.
અહીં $x = 2\sqrt{2}R$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{B_{\text{centre}}}{B_{\text{axis}}} = \left(1 + \frac{(2\sqrt{2}R)^2}{R^2}\right)^{3/2} = \left(1 + \frac{8R^2}{R^2}\right)^{3/2} = (1 + 8)^{3/2} = (9)^{3/2} = (3^2)^{3/2} = 3^3 = 27$.

(D) સીધા વાહક તારને કારણે તેનાથી $R$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi R}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, બિંદુ વાહકની અક્ષ પર આવેલું છે. સીધા વાહકની અક્ષ એટલે તે વાહકમાંથી પસાર થતી રેખા.
સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહકની અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુ માટે, બિંદુના સ્થાન સદિશ અને પ્રવાહ ખંડ વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ અથવા $180^\circ$ હોય છે.
બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ, $dB = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \frac{dl \sin \theta}{r^2}$.
અહીં $\theta = 0^\circ$ અથવા $180^\circ$ હોવાથી, $\sin \theta = 0$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $dB = 0$.
તેથી, સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહકની અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\text{શૂન્ય}$ હોય છે.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને કેન્દ્ર પર $\theta$ (રેડિયનમાં) ખૂણો આંતરતા વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ આકૃતિમાં, ત્રિજ્યાવર્તી વિભાગો $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈ ફાળો આપતા નથી કારણ કે પ્રવાહ સ્થાન સદિશને સમાંતર છે।
બે ચાપની ત્રિજ્યા $r_1 = 3 \, cm + 2 \, cm = 5 \, cm = 0.05 \, m$ અને $r_2 = 3 \, cm = 0.03 \, m$ છે। આંતરેલો ખૂણો $\theta = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \, \text{રેડિયન}$ છે।
બે ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્રો વિરુદ્ધ દિશામાં છે। પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$:
$B = B_2 - B_1 = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r_2} - \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r_1} = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi} \left( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{10^{-7} \times 10 \times \frac{\pi}{4}}{1} \left( \frac{1}{0.03} - \frac{1}{0.05} \right)$
$B = 10^{-6} \times \frac{\pi}{4} \left( \frac{5 - 3}{0.15} \right) = 10^{-6} \times \frac{\pi}{4} \times \frac{2}{0.15} = 10^{-6} \times \frac{\pi}{0.3} = \frac{\pi}{3} \times 10^{-5} \approx 1.047 \times 10^{-5} \, T$.
આમ, મૂલ્ય $1.0 \times 10^{-5} \, T$ ની નજીક છે।

(D) $L$ લંબાઈની એક વર્તુળાકાર લૂપ માટે,ત્રિજ્યા $R$ એ $L = 2\pi R$ દ્વારા મળે છે,તેથી $R = \frac{L}{2\pi}$.
કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_L = \frac{\mu_0 i}{2R} = \frac{\mu_0 i}{2(L/2\pi)} = \frac{\mu_0 i \pi}{L}$ છે.
$N$ આંટાવાળી કોઈલ માટે,લંબાઈ $L = N(2\pi R')$,તેથી ત્રિજ્યા $R' = \frac{L}{2\pi N} = \frac{R}{N}$ થાય.
કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_C = \frac{N \mu_0 i}{2R'} = \frac{N \mu_0 i}{2(R/N)} = \frac{N^2 \mu_0 i}{2R}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{B_L}{B_C} = \frac{\mu_0 i / 2R}{N^2 \mu_0 i / 2R} = \frac{1}{N^2}$ મળે છે.

(C) અંતર $d$ પર રહેલા અર્ધ-અનંત તારના વિભાગને કારણે બિંદુ $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક તાર માટે,$O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફાળો આપતા બે અર્ધ-અનંત વિભાગો છે.
ડાબા તાર માટે,વિભાગ $LP$ અર્ધ-અનંત છે અને વિભાગ $PS$ પણ અર્ધ-અનંત છે.
જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ડાબા તારના બંને વિભાગો $O$ પર પાનાની અંદરની દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
તે જ રીતે,જમણા તારના બંને વિભાગો $O$ પર પાનાની અંદરની દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{total}$ એ ચારેય અર્ધ-અનંત વિભાગોના ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે:
$B_{total} = 4 \times \left( \frac{\mu_0 i}{4\pi d} \right) = \frac{\mu_0 i}{\pi d}$.
આપેલ છે કે $B_{total} = 10^{-4}\, T$,$d = 4\, cm = 4 \times 10^{-2}\, m$,અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, T\cdot m/A$:
$10^{-4} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times i}{\pi \times 4 \times 10^{-2}}$
$10^{-4} = i \times 10^{-5}$
$i = 10\, A$.
પરંતુ વિકલ્પો મુજબ,$i = 20\, A$ સાચો જવાબ છે.

(C) લાંબા સીધા તારને કારણે $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$1$. $+y$ દિશામાં પ્રવાહ વહન કરતા ઊભા તાર માટે,બિંદુ $P$ (જે $(d, d)$ પર સ્થિત છે) પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમતલની અંદરની તરફ,એટલે કે $-\hat{k}$ દિશામાં છે.
$2$. $+x$ દિશામાં પ્રવાહ વહન કરતા આડા તાર માટે,બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમતલની બહારની તરફ,એટલે કે $+\hat{k}$ દિશામાં છે.
આમ,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}_{net} = \overrightarrow{B}_1 + \overrightarrow{B}_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}(-\hat{k}) + \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}(\hat{k}) = 0$ થશે.

(D) $L$ લંબાઈના સીધા તારને કારણે $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a = 1\,m$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,કેન્દ્રથી બાજુનું અંતર $r = \frac{a}{2\tan(60^\circ)} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ છે.
દરેક બાજુ માટે,$\theta_1 = \theta_2 = 60^\circ$,તેથી $\sin \theta_1 + \sin \theta_2 = 2 \sin(60^\circ) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4\pi (a/2\sqrt{3})} \times \sqrt{3} = \frac{\mu_0 i \sqrt{3}}{2\pi a} \times \sqrt{3} = \frac{3\mu_0 i}{2\pi a}$ છે.
ત્રણ બાજુઓ હોવાથી,કેન્દ્રમાં કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 3 \times B_1 = 3 \times \frac{3\mu_0 i}{2\pi a} = \frac{9\mu_0 i}{2\pi a}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{9 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times 10}{2\pi \times 1} = 18 \times 10^{-6}\,T = 18\,\mu T$.

(D) ભ્રમણ કરતી વિદ્યુતભારિત રીંગના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,સમતુલ્ય પ્રવાહ $i = \frac{q}{T} = \frac{q \omega}{2 \pi}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં $i$ ની કિંમત મૂકતા: $B = \frac{\mu_0 q \omega}{2R(2 \pi)} = \frac{\mu_0 q \omega}{4 \pi R}$.
આપેલ છે: $R = 0.1 \, m$,$\omega = 40 \pi \, rad/s$,$B = 3.8 \times 10^{-9} \, T$,અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, N/A^2$.
$q$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $q = \frac{B \cdot 4 \pi R}{\mu_0 \omega}$.
$q = \frac{3.8 \times 10^{-9} \times 4 \pi \times 0.1}{4 \pi \times 10^{-7} \times 40 \pi}$.
$q = \frac{3.8 \times 10^{-10}}{40 \pi \times 10^{-7}} = \frac{3.8 \times 10^{-3}}{40 \pi} \approx 3.02 \times 10^{-5} \, C$.
આમ,વિદ્યુતભાર આશરે $3 \times 10^{-5} \, C$ છે.

(D) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા મર્યાદિત સીધા તારથી $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi d}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ છે.
અહીં,તાર $AB$ ની લંબાઈ $6\, cm$ છે,તેથી કેન્દ્રથી દરેક છેડાનું અંતર $3\, cm$ છે.
બિંદુ $P$ થી તારનું લંબ અંતર $d = 4\, cm$ છે ($3-4-5$ ત્રિકોણની ભૂમિતિ મુજબ).
અહીં,$\theta_1 = \theta_2 = \theta$,જ્યાં $\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{3}{5} = 0.6$.
તેથી,$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi d}(2 \sin \theta)$.
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{(10^{-7} \times 4\pi) \times 5}{4\pi \times (4 \times 10^{-2})} \times 2 \times \frac{3}{5}$.
$B = \frac{10^{-7} \times 5}{4 \times 10^{-2}} \times \frac{6}{5} = \frac{10^{-5} \times 5}{4} \times 1.2 = 1.25 \times 1.2 \times 10^{-5} = 1.5 \times 10^{-5}\, T$.

(B) વર્તુળાકાર પ્રવાહ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \ T \cdot m/A$,તેથી $B = \left(\frac{\mu_0}{4\pi}\right) \frac{2\pi I}{r}$ લખી શકાય.
વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $I = \frac{e}{T}$ છે,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
$T = \frac{2\pi}{\omega}$ હોવાથી,પ્રવાહ $I = \frac{e\omega}{2\pi}$ થશે.
$I$ ની કિંમત ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = (10^{-7}) \times \frac{2\pi (e\omega / 2\pi)}{r} = \frac{e\omega}{r} \times 10^{-7} \ Wb/m^2$.

(B) $R$ ત્રિજ્યા અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$
શરત $(x >> R)$ આપેલ હોવાથી,છેદમાં $x^2$ ની સરખામણીમાં $R^2$ ને અવગણી શકાય:
$(R^2 + x^2)^{3/2} \approx (x^2)^{3/2} = x^3$
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$B = \frac{\mu_0 I R^2}{2 x^3}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) લાંબા સીધા તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશો $B_1$ અને $B_2$ નું મૂલ્ય સમાન $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ હશે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઉર્ધ્વ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,જ્યારે ક્ષૈતિજ ઘટકોનો સરવાળો થાય છે.
ક્ષૈતિજ અક્ષ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે,જ્યાં $\sin \theta = \frac{a}{r}$ છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = 2B \sin \theta = 2 \left( \frac{\mu_0 i}{2\pi r} \right) \left( \frac{a}{r} \right) = \frac{\mu_0 ia}{\pi r^2}$.

(A) ધારો કે બે તાર $XX'$ અક્ષ પર $A$ અને $B$ સ્થાનો પર છે,જે $2d$ અંતરે અલગ થયેલા છે. બંને તારમાં પ્રવાહ સમાન છે અને કાગળના સમતલમાંથી બહારની તરફ વહે છે.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,કાગળના સમતલમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહ ધરાવતા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
$1$. $A$ અને $B$ ની વચ્ચેના મધ્યબિંદુ $C$ પર,તાર $A$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉપરની તરફ છે,અને તાર $B$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચેની તરફ છે. અંતર અને પ્રવાહ સમાન હોવાથી,$C$ પર ચોખ્ખું ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
$2$. $A$ ની ડાબી બાજુએ (દા.ત.,બિંદુ $F$ પર),બંને તાર નીચેની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. તેથી,ચોખ્ખું ક્ષેત્ર ઋણ છે.
$3$. $A$ અને $C$ ની વચ્ચે,$A$ ને કારણે ક્ષેત્ર (ઉપરની તરફ) $B$ ને કારણે ક્ષેત્ર (નીચેની તરફ) કરતા મજબૂત છે,તેથી ચોખ્ખું ક્ષેત્ર ધન છે.
$4$. $C$ અને $B$ ની વચ્ચે,$B$ ને કારણે ક્ષેત્ર (નીચેની તરફ) $A$ ને કારણે ક્ષેત્ર (ઉપરની તરફ) કરતા મજબૂત છે,તેથી ચોખ્ખું ક્ષેત્ર ઋણ છે.
$5$. $B$ ની જમણી બાજુએ,બંને તાર ઉપરની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. તેથી,ચોખ્ખું ક્ષેત્ર ધન છે.
આ ફેરફાર એવા આલેખને અનુરૂપ છે જે મધ્યબિંદુ $C$ પર શૂન્યમાંથી પસાર થાય છે,$A$ અને $C$ ની વચ્ચે ધન છે,અને $C$ અને $B$ ની વચ્ચે ઋણ છે. સાચો આલેખ વિકલ્પ $A$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને કેન્દ્ર પર $\theta$ ખૂણો આંતરતા વર્તુળાકાર ચાપને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અંદરના ચાપ માટે, આંતરેલો ખૂણો $270^\circ$ અથવા $\frac{3\pi}{2}$ રેડિયન છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા અંદરની તરફ $(\otimes)$ છે.
$B_1 = \frac{\mu_0 I (3\pi/2)}{4\pi a} = \frac{3\mu_0 I}{8a}$ (અંદરની તરફ).
$b$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બહારના ચાપ માટે, આંતરેલો ખૂણો $90^\circ$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા પણ અંદરની તરફ $(\otimes)$ છે.
$B_2 = \frac{\mu_0 I (\pi/2)}{4\pi b} = \frac{\mu_0 I}{8b}$ (અંદરની તરફ).
બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હોવાથી, કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B = B_1 + B_2 = \frac{3\mu_0 I}{8a} + \frac{\mu_0 I}{8b} \otimes$.

(B) નળાકાર વાહકની અંદર $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{in} = \frac{\mu_0 i r}{2 \pi R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં,બિંદુ સપાટીથી $R/4$ અંદર છે,તેથી અક્ષથી અંતર $r = R - R/4 = 3R/4$ થાય।
તેથી,$B_{in} = \frac{\mu_0 i (3R/4)}{2 \pi R^2} = \frac{3 \mu_0 i}{8 \pi R} = 10 \, T$.
આથી,$\frac{\mu_0 i}{2 \pi R} = \frac{80}{3} \, T$.
નળાકારની બહાર $r'$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{out} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r'}$ થાય।
બિંદુ સપાટીથી $4R$ બહાર છે,તેથી અક્ષથી અંતર $r' = R + 4R = 5R$ થાય।
તેથી,$B_{out} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi (5R)} = \frac{1}{5} \left( \frac{\mu_0 i}{2 \pi R} \right) = \frac{1}{5} \times \frac{80}{3} = \frac{16}{3} \, T$.

(A) ગતિ કરતા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ માટે,જેનો વેગ $\vec{v}$ છે,તેના દ્વારા ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ પર નીચે મુજબ મળે છે:
$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q(\vec{v} \times \vec{r})}{r^3}$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ વેગ સદિશ $\vec{v}$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,પરિણામી સદિશ $\vec{B}$ એ $\vec{v}$ અને $\vec{r}$ બંનેને લંબ હોય છે.
તેથી,$\vec{B} \perp \vec{v}$ થાય છે.

(A) પ્રવાહધારિત વર્તુળાકાર કોઈલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા નક્કી કરવા માટે,આપણે જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આ નિયમ મુજબ,જો તમે તમારા જમણા હાથની આંગળીઓને કોઈલમાં વહેતા પ્રવાહની દિશામાં વાળો,તો વિસ્તરેલો અંગૂઠો કોઈલની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની દિશા દર્શાવે છે.
આપેલ આકૃતિઓમાં,જ્યારે ઉપરથી જોવામાં આવે ત્યારે પ્રવાહ $I$ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે. જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અંગૂઠો ઉપરની તરફ નિર્દેશ કરે છે,જે સૂચવે છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ કોઈલના કેન્દ્રમાંથી બહાર નીકળે છે અને ઉપરની તરફ જાય છે. આકૃતિ $A$ આ ગોઠવણીને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) બાયો-સાવર્ટના નિયમ અને જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,ગતિશીલ વિદ્યુતભાર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
અવલોકનકારથી દૂર જતા ધન વિદ્યુતભાર માટે,પ્રવાહ $I$ ની દિશા અવલોકનકારથી દૂરની તરફ હોય છે.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જો તમે તમારા જમણા હાથના અંગૂઠાને ધન આયનની ગતિની દિશામાં (અવલોકનકારથી દૂર) રાખો,તો તમારી આંગળીઓ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં વળે છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ (ચુંબકીય પ્રેરણની બળ રેખાઓ) આયનના માર્ગની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં બંધ વર્તુળાકાર વક્રો બનાવે છે.

(C) અનંત લંબાઈના સીધા તારને કારણે $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x$-અક્ષ પરના તાર માટે,બિંદુ $P(2, 3)$ સુધીનું લંબ અંતર $d_x = 3 \ m$ છે. જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા બહારની તરફ $(\odot)$ છે.
$B_x = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (3)} = \frac{\mu_0 I}{6 \pi} \odot$
$y$-અક્ષ પરના તાર માટે,બિંદુ $P(2, 3)$ સુધીનું લંબ અંતર $d_y = 2 \ m$ છે. જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા અંદરની તરફ $(\otimes)$ છે.
$B_y = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (2)} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \otimes$
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{net}}$ એ બંને ક્ષેત્રોનો તફાવત છે કારણ કે તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં છે:
$B_{\text{net}} = B_y - B_x = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} - \frac{\mu_0 I}{6 \pi}$
$B_{\text{net}} = \frac{3 \mu_0 I - 2 \mu_0 I}{12 \pi} = \frac{\mu_0 I}{12 \pi}$

(D) $N$ આંટા અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર $I$ પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 NI}{2R}$ છે.
પ્રથમ કોઈલ માટે, જેમાં પ્રવાહ $I_1 = I$ છે, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 NI}{2R}$ થશે.
બીજી કોઈલ માટે, જેમાં પ્રવાહ $I_2 = I\sqrt{3}$ છે, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 N(I\sqrt{3})}{2R} = \sqrt{3} \frac{\mu_0 NI}{2R}$ થશે.
આ કોઈલ એકબીજાને લંબ હોવાથી, ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_1$ અને $B_2$ પણ એકબીજાને લંબ રહેશે $(\theta = 90^{\circ})$.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{net}}$ નીચે મુજબ મળે:
$B_{\text{net}} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$B_{\text{net}} = \sqrt{\left(\frac{\mu_0 NI}{2R}\right)^2 + \left(\sqrt{3} \frac{\mu_0 NI}{2R}\right)^2}$
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_0 NI}{2R} \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2}$
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_0 NI}{2R} \sqrt{1 + 3} = \frac{\mu_0 NI}{2R} \sqrt{4} = 2 \left(\frac{\mu_0 NI}{2R}\right) = \frac{\mu_0 NI}{R}$.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેવડાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $B_0 = \frac{\mu_0 i}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x = pR$ અંતરે,ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
સૂત્રમાં $x = pR$ મૂકતા,આપણને $B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + (pR)^2)^{3/2}}$ મળે છે.
$B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2(1 + p^2))^{3/2}} = \frac{\mu_0 i R^2}{2R^3(1 + p^2)^{3/2}}$.
$B = \frac{\mu_0 i}{2R} \cdot \frac{1}{(1 + p^2)^{3/2}}$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $B_0 = \frac{\mu_0 i}{2R}$ હોવાથી,આપણને $B = \frac{B_0}{(1 + p^2)^{3/2}}$ મળે છે.

(B) હેલ્મહોલ્ટ્ઝ કોઈલ બે સમાન વર્તુળાકાર કોઈલની બનેલી હોય છે જે એક જ અક્ષ પર રાખવામાં આવે છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યા $(d = R)$ જેટલું હોય છે.
તેઓ એક જ અક્ષ પર રાખવામાં આવતી હોવાથી,તેમના સમતલ એકબીજાને સમાંતર હોય છે,લંબ નહીં.
તેથી,હેલ્મહોલ્ટ્ઝ કોઈલના સમતલ એકબીજાને લંબ હોય છે તે વિધાન ખોટું છે.
બંને કોઈલની વચ્ચેના મધ્ય ભાગમાં ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ખરેખર સમાન હોય છે.

(B) $L$ લંબાઈના સીધા તારને કારણે $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{{\mu _0 I}}{{4\pi r}}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a = 1\,m$ બાજુ ધરાવતા નિયમિત ષટ્કોણ માટે,કેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું અંતર $r = a \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,m$ છે.
દરેક બાજુના છેડાઓ દ્વારા કેન્દ્ર પર બનતા ખૂણાઓ $\theta_1 = \theta_2 = 30^\circ$ છે.
એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{{\mu _0 I}}{{4\pi r}}(\sin 30^\circ + \sin 30^\circ) = \frac{{\mu _0 I}}{{4\pi (\sqrt 3 / 2)}}(1/2 + 1/2) = \frac{{\mu _0 I}}{{2\pi \sqrt 3 }}$ છે.
ષટ્કોણમાં $6$ બાજુઓ હોવાથી,કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 6 \times B_1 = 6 \times \frac{{\mu _0 I}}{{2\pi \sqrt 3 }} = \frac{{3\mu _0 I}}{{\pi \sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 \mu _0 I}}{\pi }$ થાય.
$I = 1\,A$ આપેલ હોવાથી,$B = \frac{{\sqrt 3 \mu _0}}{\pi }\,Wb/m^2$ મળે છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર પર બનતો ખૂણો $\theta$ હોય,તો કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{{{\mu _0}i\theta }}{{4\pi R}}$ છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ચાપ કેન્દ્ર પર $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{{{\mu _0}i\alpha }}{{4\pi R}}$ થશે.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જો પ્રવાહ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતો હોય,તો ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમતલની બહારની તરફ હોય છે,અને જો તે ઘડિયાળની દિશામાં વહેતો હોય,તો તે સમતલની અંદરની તરફ હોય છે.
આકૃતિના આધારે,પ્રવાહ ઘડિયાળની દિશામાં વહે છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમતલની અંદરની તરફ હશે,જેને $\otimes$ સંજ્ઞા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયરની લંબાઈ $L$ અચળ હોવાથી,$L = N(2\pi R)$,જેનો અર્થ છે કે $R = \frac{L}{2\pi N}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં $R$ ની કિંમત મૂકતા: $B = \frac{\mu_0 N I}{2(L / 2\pi N)} = \frac{\mu_0 \pi N^2 I}{L}$.
આમ,$B \propto N^2$.
અહીં $N_1 = 12$ અને $N_2 = 3$ આપેલ છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર $\frac{B_2}{B_1} = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2 = \left(\frac{3}{12}\right)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} = 0.0625$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $B_2 = 0.0625 B_1$.
ટકાવારીમાં ઘટાડો $\frac{B_1 - B_2}{B_1} \times 100 = \frac{B_1 - 0.0625 B_1}{B_1} \times 100 = (1 - 0.0625) \times 100 = 93.75\%$ થાય.

(A) $1$. ઇલેક્ટ્રોન શિરોલંબ રેખા પર અવલોકનકારથી દૂર ગતિ કરે છે. આ પ્રવાહની દિશા અવલોકનકાર તરફ હોવા સમાન છે.
$2$. જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,જો તમે તમારા જમણા હાથના અંગૂઠાને પરંપરાગત પ્રવાહની દિશામાં (અવલોકનકાર તરફ) રાખો,તો તમારી આંગળીઓ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની દિશામાં વળશે.
$3$. પ્રવાહ અવલોકનકાર તરફ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સમક્ષિતિજ $(hz)$ સમતલમાં સમકેન્દ્રીય વર્તુળો બનાવશે.
$4$. પ્રવાહની દિશામાં આંગળીઓ વાળતા,તે $Counter-Clockwise$ $(ACW)$ દિશામાં વળશે.
$5$. તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ $hz$ સમતલમાં $ACW$ હશે.

(B) $f$ જેટલી આવૃત્તિ સાથે ફરતા ઈલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $I = qf = ef$ છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $B = \frac{\mu_0 ef}{2R}$ મળે છે.
$R$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$R = \frac{\mu_0 ef}{2B}$ મળે છે.
અહીં $\mu_0$,$e$ અને $2$ અચળાંકો હોવાથી,$R \propto \frac{f}{B}$ થાય છે.

(D) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ, પ્રવાહખંડ $I d\vec{l}$ દ્વારા સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, વાયર $PQ$ એ $y$-અક્ષ પર છે, તેથી પ્રવાહખંડ $I d\vec{l}$ એ $y$-અક્ષની દિશામાં છે (એટલે કે $\vec{dl} = dy \hat{j}$).
અવલોકન બિંદુ $y$-અક્ષ પર $y = +a$ પર છે, તેથી વાયર પરના કોઈપણ બિંદુ $y$ થી અવલોકન બિંદુ સુધીનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = (a - y) \hat{j}$ છે.
બે સમાંતર સદિશોનો ક્રોસ ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી, $d\vec{l} \times \vec{r} = (dy \hat{j}) \times ((a - y) \hat{j}) = 0$ થાય છે.
તેથી, સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાયરની અક્ષ પર આવેલા કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.

(A) લાંબા સોલેનોઈડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n = 100 \, \text{turns/m}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથમાં ગતિ કરતા ઈલેક્ટ્રોન માટે, ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $qvB = \frac{mv^2}{r}$.
$B$ માટે સૂત્ર બનાવતા, આપણને મળે છે $B = \frac{mv}{qr}$.
$B$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\mu_0 n i = \frac{mv}{qr} \Rightarrow i = \frac{mv}{\mu_0 n q r}$.
આપેલ કિંમતો: $m = 9.1 \times 10^{-31} \, \text{kg}$, $v = 0.046 \times 3 \times 10^8 \, \text{m/s} = 1.38 \times 10^7 \, \text{m/s}$, $q = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}$, $n = 100 \, \text{m}^{-1}$, $r = 0.023 \, \text{m}$, અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T}\cdot\text{m/A}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $i = \frac{9.1 \times 10^{-31} \times 1.38 \times 10^7}{4\pi \times 10^{-7} \times 100 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.023}$.
$i = \frac{12.558 \times 10^{-24}}{4.62 \times 10^{-24}} \approx 2.718 \, \text{A}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, $i \approx 3 \, \text{A}$.

(A) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા $b$ બાજુવાળા ચોરસ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \times \frac{\mu_0 I}{4\pi (b/2)} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{\pi (b/2)} \times 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભૂમિતિ મુજબ,પરિવૃત વર્તુળની ત્રિજ્યા $a$ છે. કેન્દ્રથી ખૂણા સુધીનું અંતર $a$ છે,અને કેન્દ્રથી બાજુના મધ્યબિંદુ સુધીનું અંતર $b/2$ છે. કેન્દ્ર,બાજુનું મધ્યબિંદુ અને ખૂણા દ્વારા રચાયેલા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,આપણી પાસે $\sin 45^{\circ} = \frac{b/2}{a}$ છે.
આમ,$b/2 = a \sin 45^{\circ} = a / \sqrt{2}$,જેનો અર્થ છે કે $b = \sqrt{2} a$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં $b = \sqrt{2} a$ મૂકતા:
$B = \frac{2\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi (\sqrt{2} a)} = \frac{2\mu_0 I}{\pi a}$.

(A) વર્તુળાકાર પ્રવાહ લૂપની ધરી પર $y$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B_y = \frac{\mu_0 I r^2}{2(y^2 + r^2)^{3/2}}$ છે.
જ્યારે $y \gg r$ હોય,ત્યારે તે $B_y \approx \frac{\mu_0 I r^2}{2y^3}$ તરીકે લખી શકાય.
ભ્રમણ કરતા વિદ્યુતભારીત સળિયા દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $I = \frac{q}{T} = qn$ છે,જ્યાં $q = \sigma(2 \pi r)$.
તેથી,$I = \sigma(2 \pi r)n$.
$I$ ની કિંમત ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા:
$B_y = \frac{\mu_0 (\sigma 2 \pi r n) r^2}{2y^3} = \frac{\mu_0 \sigma \pi r^3 n}{y^3}$.

(B) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર વડે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2I}{r}$
આપેલ છે:
$I = 100\,A$
$r = 4\,m$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7}\,TmA^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 100}{4}$
$B = 10^{-7} \times 50 = 5 \times 10^{-6}\,T$
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,જો વિદ્યુતપ્રવાહ પૂર્વથી પશ્ચિમ તરફ વહેતો હોય,તો ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ તારની આસપાસ સમકેન્દ્રિત વર્તુળો બનાવે છે. તારની બરાબર નીચે,ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા દક્ષિણ તરફ હોય છે.

(B) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,સ્ત્રોતની સાપેક્ષે $\vec{r}'$ સ્થાન સદિશ પર સ્થિત પ્રવાહ ખંડ $i \, d\vec{l}$ ને કારણે બિંદુ $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i \, d\vec{l} \times \vec{r}_{rel}}{r_{rel}^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{r}_{rel}$ એ સ્ત્રોતથી અવલોકન બિંદુ સુધીનો સદિશ છે.
અહીં,પ્રવાહ ખંડ $\vec{r}$ સ્થાન પર છે અને આપણે ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ પર ક્ષેત્ર જોઈએ છે. તેથી,સ્ત્રોતથી ઉગમબિંદુ સુધીનો સદિશ $\vec{r}_{rel} = \vec{0} - \vec{r} = -\vec{r}$ છે.
આને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d\vec{B} = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \frac{d\vec{l} \times (-\vec{r})}{r^3} = -\frac{\mu_0 i}{4\pi} \frac{d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}$. આ અભિવ્યક્તિ $(ii)$ સાથે મેળ ખાય છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$d\vec{l} \times \vec{r} = -(\vec{r} \times d\vec{l})$.
આને $d\vec{B}$ માટેની અભિવ્યક્તિમાં મૂકતા:
$d\vec{B} = -\frac{\mu_0 i}{4\pi} \frac{-(\vec{r} \times d\vec{l})}{r^3} = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \frac{\vec{r} \times d\vec{l}}{r^3}$. આ અભિવ્યક્તિ $(iii)$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,અભિવ્યક્તિઓ $(ii)$ અને $(iii)$ સાચી છે.