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Matter Waves and de Broglie Wavelength Questions in Hindi
Class 12 Physics · Dual Nature of Radiation and matter · Matter Waves and de Broglie Wavelength
437+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 437 questions in Hindi
251
DifficultMCQ
एक इलेक्ट्रॉन और एक फोटॉन के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य क्रमशः $\lambda_{e}$ और $\lambda_{p}$ हैं। इलेक्ट्रॉन और फोटॉन की समान गतिज ऊर्जा $K$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा दोनों के डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के बीच सही संबंध प्रस्तुत करता है?
A
$\lambda_{p} \propto \lambda_{e}^{2}$
B
$\lambda_{p} \propto \lambda_{e}$
C
$\lambda_{p} \propto \sqrt{\lambda_{e}}$
D
$\lambda_{p} \propto \lambda_{e}^{-1}$
Solution
(A) $K$ गतिज ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{e} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ द्वारा दी जाती है।
इससे,हम गतिज ऊर्जा को $K = \frac{h^{2}}{2m\lambda_{e}^{2}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E = K = \frac{hc}{\lambda_{p}}$ द्वारा दी जाती है।
इलेक्ट्रॉन और फोटॉन की गतिज ऊर्जा की तुलना करने पर: $\frac{h^{2}}{2m\lambda_{e}^{2}} = \frac{hc}{\lambda_{p}}$.
$\lambda_{p}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\lambda_{p} = \frac{2mc}{h} \lambda_{e}^{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $2, m, c,$ और $h$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\lambda_{p} \propto \lambda_{e}^{2}$ है।
इससे,हम गतिज ऊर्जा को $K = \frac{h^{2}}{2m\lambda_{e}^{2}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E = K = \frac{hc}{\lambda_{p}}$ द्वारा दी जाती है।
इलेक्ट्रॉन और फोटॉन की गतिज ऊर्जा की तुलना करने पर: $\frac{h^{2}}{2m\lambda_{e}^{2}} = \frac{hc}{\lambda_{p}}$.
$\lambda_{p}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\lambda_{p} = \frac{2mc}{h} \lambda_{e}^{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $2, m, c,$ और $h$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\lambda_{p} \propto \lambda_{e}^{2}$ है।
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MediumMCQ
$V_{p}$ और $V_{d}$ विभव द्वारा त्वरित प्रोटॉन और ड्यूटेरॉन की तरंगदैर्ध्य का अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है। तो $V_{p}$ और $V_{d}$ का अनुपात क्या होगा?
A
$1 : 1$
B
$\sqrt{2} : 1$
C
$2 : 1$
D
$4 : 1$
Solution
(D) $V$ विभव द्वारा त्वरित आवेशित कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ द्वारा दी जाती है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{d}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ दिया गया है।
सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{d}} = \sqrt{\frac{m_{d} q_{d} V_{d}}{m_{p} q_{p} V_{p}}}$ प्राप्त होता है।
प्रोटॉन के लिए,$m_{p} = m$ और $q_{p} = e$ है। ड्यूटेरॉन के लिए,$m_{d} = 2m$ और $q_{d} = e$ है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{(2m)(e)V_{d}}{(m)(e)V_{p}}} = \sqrt{\frac{2V_{d}}{V_{p}}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{2} = \frac{2V_{d}}{V_{p}}$।
अतः,$\frac{V_{p}}{V_{d}} = 4$,यानी $4 : 1$।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{d}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ दिया गया है।
सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{d}} = \sqrt{\frac{m_{d} q_{d} V_{d}}{m_{p} q_{p} V_{p}}}$ प्राप्त होता है।
प्रोटॉन के लिए,$m_{p} = m$ और $q_{p} = e$ है। ड्यूटेरॉन के लिए,$m_{d} = 2m$ और $q_{d} = e$ है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{(2m)(e)V_{d}}{(m)(e)V_{p}}} = \sqrt{\frac{2V_{d}}{V_{p}}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{2} = \frac{2V_{d}}{V_{p}}$।
अतः,$\frac{V_{p}}{V_{d}} = 4$,यानी $4 : 1$।
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EasyMCQ
$M$ द्रव्यमान का एक नाभिक विराम अवस्था में है,जो $\frac{M'}{3}$ और $\frac{2M'}{3}$ (जहाँ $M' < M$) द्रव्यमान वाले दो भागों में विभाजित हो जाता है। इन दो भागों की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य का अनुपात क्या होगा?
A
$1:2$
B
$2:1$
C
$1:1$
D
$2:3$
Solution
(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चूंकि प्रारंभिक नाभिक विराम अवस्था में है,इसलिए कुल प्रारंभिक संवेग शून्य है।
अतः,दोनों भागों के संवेगों के परिमाण समान और विपरीत होने चाहिए:
$|\vec{P}_1| = |\vec{P}_2| = P$
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य $\lambda$ को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$\lambda = \frac{h}{P}$
चूंकि दोनों भागों के संवेग का परिमाण $P$ समान है,इसलिए उनकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य भी समान होगी।
अतः,उनकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य का अनुपात $\lambda_1 : \lambda_2 = 1 : 1$ होगा।
अतः,दोनों भागों के संवेगों के परिमाण समान और विपरीत होने चाहिए:
$|\vec{P}_1| = |\vec{P}_2| = P$
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य $\lambda$ को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$\lambda = \frac{h}{P}$
चूंकि दोनों भागों के संवेग का परिमाण $P$ समान है,इसलिए उनकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य भी समान होगी।
अतः,उनकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य का अनुपात $\lambda_1 : \lambda_2 = 1 : 1$ होगा।
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DifficultMCQ
एक इलेक्ट्रॉन (द्रव्यमान $m$) जिसका प्रारंभिक वेग $\overrightarrow{v} = v_{0} \hat{i} \left(v_{0} > 0\right)$ है,एक विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = -E_{0} \hat{i} \left(E_{0} > 0\right)$ में गति कर रहा है,जहाँ $E_{0}$ नियत है। यदि $t = 0$ पर डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{0} = \frac{h}{mv_{0}}$ है,तो $t$ समय के बाद इसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य क्या होगी?
A
$\lambda_{0}$
B
$\lambda_{0} \left(1 + \frac{e E_{0} t}{mv_{0}}\right)$
C
$\lambda_{0} t$
D
$\frac{\lambda_{0}}{\left(1 + \frac{e E_{0} t}{mv_{0}}\right)}$
Solution
(D) विद्युत क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{E} = (-e)(-E_{0} \hat{i}) = eE_{0} \hat{i}$ है।
चूंकि बल प्रारंभिक वेग की दिशा में है,इसलिए इलेक्ट्रॉन एक समान त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{eE_{0}}{m}$ का अनुभव करता है।
$t$ समय पर इलेक्ट्रॉन का वेग $v(t) = v_{0} + at = v_{0} + \frac{eE_{0}t}{m}$ है।
$t$ समय पर डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv(t)}$ द्वारा दी जाती है।
$v(t)$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\lambda = \frac{h}{m(v_{0} + \frac{eE_{0}t}{m})} = \frac{h}{mv_{0} + eE_{0}t}$।
हर में से $mv_{0}$ को कॉमन लेने पर,$\lambda = \frac{h}{mv_{0}(1 + \frac{eE_{0}t}{mv_{0}})}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\lambda_{0} = \frac{h}{mv_{0}}$,इसलिए $\lambda = \frac{\lambda_{0}}{1 + \frac{eE_{0}t}{mv_{0}}}$ होगा।
चूंकि बल प्रारंभिक वेग की दिशा में है,इसलिए इलेक्ट्रॉन एक समान त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{eE_{0}}{m}$ का अनुभव करता है।
$t$ समय पर इलेक्ट्रॉन का वेग $v(t) = v_{0} + at = v_{0} + \frac{eE_{0}t}{m}$ है।
$t$ समय पर डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv(t)}$ द्वारा दी जाती है।
$v(t)$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\lambda = \frac{h}{m(v_{0} + \frac{eE_{0}t}{m})} = \frac{h}{mv_{0} + eE_{0}t}$।
हर में से $mv_{0}$ को कॉमन लेने पर,$\lambda = \frac{h}{mv_{0}(1 + \frac{eE_{0}t}{mv_{0}})}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\lambda_{0} = \frac{h}{mv_{0}}$,इसलिए $\lambda = \frac{\lambda_{0}}{1 + \frac{eE_{0}t}{mv_{0}}}$ होगा।
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EasyMCQ
इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य ज्ञात करने के लिए $\lambda = \frac{1.227}{x} \text{ nm}$ समीकरण का उपयोग किया जा सकता है। इस समीकरण में $x$ क्या दर्शाता है?
A
$\sqrt{mK}$
B
$\sqrt{P}$
C
$\sqrt{K}$
D
$\sqrt{V}$
Solution
(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$,इसलिए $p = \sqrt{2mK}$ होता है।
जब एक इलेक्ट्रॉन को $V$ विभव के तहत त्वरित किया जाता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा $K = eV$ होती है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
अतः,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
प्लांक नियतांक $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}$,इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}$,और आवेश $e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}$ के मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.602 \times 10^{-19} \times V}} \text{ m}$.
इसकी गणना करने पर $\lambda \approx \frac{1.227 \times 10^{-9}}{\sqrt{V}} \text{ m} = \frac{1.227}{\sqrt{V}} \text{ nm}$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण की तुलना $\lambda = \frac{1.227}{x} \text{ nm}$ से करने पर,$x = \sqrt{V}$ प्राप्त होता है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$,इसलिए $p = \sqrt{2mK}$ होता है।
जब एक इलेक्ट्रॉन को $V$ विभव के तहत त्वरित किया जाता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा $K = eV$ होती है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
अतः,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
प्लांक नियतांक $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}$,इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}$,और आवेश $e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}$ के मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.602 \times 10^{-19} \times V}} \text{ m}$.
इसकी गणना करने पर $\lambda \approx \frac{1.227 \times 10^{-9}}{\sqrt{V}} \text{ m} = \frac{1.227}{\sqrt{V}} \text{ nm}$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण की तुलना $\lambda = \frac{1.227}{x} \text{ nm}$ से करने पर,$x = \sqrt{V}$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
$q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान का एक कण $E_{0} \hat{j}$ के अनुप्रस्थ विद्युत क्षेत्र में $v_{0} \hat{i}$ के प्रारंभिक वेग के साथ प्रवेश करता है। आवेश की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के प्रारंभिक मान $\lambda_{0}$ से $\lambda_{0} / 3$ तक बदलने में लगा समय किसके समानुपाती है?
A
$q/m$
B
$m/q$
C
$\sqrt{q/m}$
D
$\sqrt{m/q}$
Solution
(B) प्रारंभिक डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{0} = h / (m v_{0})$ है।
जब तरंगदैर्ध्य $\lambda_{0} / 3$ हो जाती है,तो अंतिम संवेग $p_f = 3 p_0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि अंतिम गति $v_f = 3 v_{0}$ है।
कण $y$-दिशा में $a = (q E_{0} / m) \hat{j}$ का निरंतर त्वरण अनुभव करता है।
$t$ समय पर वेग $\vec{v} = v_{0} \hat{i} + (q E_{0} t / m) \hat{j}$ द्वारा दिया जाता है।
वेग का परिमाण $v = \sqrt{v_{0}^{2} + (q E_{0} t / m)^{2}}$ है।
$v = 3 v_{0}$ रखने पर,हमें $9 v_{0}^{2} = v_{0}^{2} + (q E_{0} t / m)^{2}$ प्राप्त होता है।
यह $8 v_{0}^{2} = (q E_{0} t / m)^{2}$ में सरल हो जाता है।
$t$ के लिए हल करने पर,$t = \frac{2 \sqrt{2} v_{0}}{E_{0}} \cdot \frac{m}{q}$ प्राप्त होता है।
अतः,$t \propto m/q$.
जब तरंगदैर्ध्य $\lambda_{0} / 3$ हो जाती है,तो अंतिम संवेग $p_f = 3 p_0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि अंतिम गति $v_f = 3 v_{0}$ है।
कण $y$-दिशा में $a = (q E_{0} / m) \hat{j}$ का निरंतर त्वरण अनुभव करता है।
$t$ समय पर वेग $\vec{v} = v_{0} \hat{i} + (q E_{0} t / m) \hat{j}$ द्वारा दिया जाता है।
वेग का परिमाण $v = \sqrt{v_{0}^{2} + (q E_{0} t / m)^{2}}$ है।
$v = 3 v_{0}$ रखने पर,हमें $9 v_{0}^{2} = v_{0}^{2} + (q E_{0} t / m)^{2}$ प्राप्त होता है।
यह $8 v_{0}^{2} = (q E_{0} t / m)^{2}$ में सरल हो जाता है।
$t$ के लिए हल करने पर,$t = \frac{2 \sqrt{2} v_{0}}{E_{0}} \cdot \frac{m}{q}$ प्राप्त होता है।
अतः,$t \propto m/q$.
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DifficultMCQ
एक इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी में $v_{0} \hat{i}$ प्रारंभिक वेग वाला एक इलेक्ट्रॉन $E_{0} \hat{j}$ के अनुप्रस्थ विद्युत क्षेत्र के क्षेत्र में प्रवेश करता है। इसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के प्रारंभिक मान $\lambda$ से $\lambda / 3$ तक बदलने में लगा समय किसके समानुपाती है?
A
$E_{0}$
B
$\frac{1}{E_{0}}$
C
$\frac{1}{\sqrt{E_{0}}}$
D
$\sqrt{E_{0}}$
Solution
(B) इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,$\lambda = \frac{h}{mv_{0}}$.
अंत में,तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{\lambda}{3} = \frac{h}{mv'}$ हो जाती है।
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{\lambda}{\lambda/3} = \frac{h/mv_{0}}{h/mv'} \implies 3 = \frac{v'}{v_{0}}$,अतः अंतिम वेग का परिमाण $v' = 3v_{0}$ है।
विद्युत क्षेत्र के कारण इलेक्ट्रॉन $y$-दिशा में $a = \frac{eE_{0}}{m}$ का त्वरण अनुभव करता है।
$t$ समय के बाद वेग सदिश $\vec{v}' = v_{0}\hat{i} + \frac{eE_{0}t}{m}\hat{j}$ है।
अंतिम वेग का परिमाण $|v'| = \sqrt{v_{0}^{2} + (\frac{eE_{0}t}{m})^{2}}$ है।
$|v'| = 3v_{0}$ रखने पर,$9v_{0}^{2} = v_{0}^{2} + (\frac{eE_{0}t}{m})^{2}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $8v_{0}^{2} = (\frac{eE_{0}t}{m})^{2}$,जिससे $t = \frac{m}{eE_{0}} \sqrt{8v_{0}^{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$t \propto \frac{1}{E_{0}}$।
प्रारंभ में,$\lambda = \frac{h}{mv_{0}}$.
अंत में,तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{\lambda}{3} = \frac{h}{mv'}$ हो जाती है।
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{\lambda}{\lambda/3} = \frac{h/mv_{0}}{h/mv'} \implies 3 = \frac{v'}{v_{0}}$,अतः अंतिम वेग का परिमाण $v' = 3v_{0}$ है।
विद्युत क्षेत्र के कारण इलेक्ट्रॉन $y$-दिशा में $a = \frac{eE_{0}}{m}$ का त्वरण अनुभव करता है।
$t$ समय के बाद वेग सदिश $\vec{v}' = v_{0}\hat{i} + \frac{eE_{0}t}{m}\hat{j}$ है।
अंतिम वेग का परिमाण $|v'| = \sqrt{v_{0}^{2} + (\frac{eE_{0}t}{m})^{2}}$ है।
$|v'| = 3v_{0}$ रखने पर,$9v_{0}^{2} = v_{0}^{2} + (\frac{eE_{0}t}{m})^{2}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $8v_{0}^{2} = (\frac{eE_{0}t}{m})^{2}$,जिससे $t = \frac{m}{eE_{0}} \sqrt{8v_{0}^{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$t \propto \frac{1}{E_{0}}$।
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EasyMCQ
डी-ब्रोग्ली तरंगों के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य नहीं है?
A
गति में सभी परमाणु कणों के साथ एक निश्चित तरंग दैर्ध्य की तरंगें जुड़ी होती हैं।
B
संवेग जितना अधिक होगा,तरंग दैर्ध्य उतनी ही लंबी होगी।
C
कण जितना तेज़ होगा,तरंग दैर्ध्य उतनी ही छोटी होगी।
D
समान वेग के लिए,एक भारी कण की तरंग दैर्ध्य छोटी होती है।
Solution
(B) डी-ब्रोग्ली तरंग दैर्ध्य $\lambda$ को संबंध $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ कण का संवेग है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $\lambda$ संवेग $p$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(\lambda \propto \frac{1}{p})$।
इसलिए,जैसे-जैसे संवेग $p$ बढ़ता है,तरंग दैर्ध्य $\lambda$ कम होती जाती है।
कथन $B$ का दावा है कि उच्च संवेग से लंबी तरंग दैर्ध्य प्राप्त होती है,जो व्युत्क्रम संबंध का खंडन करता है।
अतः,कथन $B$ सत्य नहीं है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $\lambda$ संवेग $p$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(\lambda \propto \frac{1}{p})$।
इसलिए,जैसे-जैसे संवेग $p$ बढ़ता है,तरंग दैर्ध्य $\lambda$ कम होती जाती है।
कथन $B$ का दावा है कि उच्च संवेग से लंबी तरंग दैर्ध्य प्राप्त होती है,जो व्युत्क्रम संबंध का खंडन करता है।
अतः,कथन $B$ सत्य नहीं है।
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EasyMCQ
निम्नलिखित में से एकमात्र सही कथन चुनिए:
A
केवल गतिमान आवेशित कण के साथ ही द्रव्य तरंगें जुड़ी होती हैं।
B
केवल गतिमान उप-परमाणु कणों के साथ ही द्रव्य तरंगें जुड़ी होती हैं।
C
गति में कोई भी कण, चाहे वह आवेशित हो या अनावेशित, द्रव्य तरंगों के साथ जुड़ा होता है।
D
कोई भी कण, चाहे वह स्थिर हो या गति में, कभी भी द्रव्य तरंगों के साथ नहीं जुड़ा होता है।
Solution
(C) डी ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार, प्रत्येक गतिमान कण, चाहे वह आवेशित हो (जैसे इलेक्ट्रॉन) या अनावेशित (जैसे न्यूट्रॉन), के साथ एक तरंग जुड़ी होती है जिसे द्रव्य तरंग या डी ब्रोग्ली तरंग कहा जाता है。
इस तरंग की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ का मान संबंध $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ कण का संवेग है。
अतः, सही कथन यह है कि गति में कोई भी कण, चाहे वह आवेशित हो या अनावेशित, द्रव्य तरंगों के साथ जुड़ा होता है।
इस तरंग की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ का मान संबंध $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ कण का संवेग है。
अतः, सही कथन यह है कि गति में कोई भी कण, चाहे वह आवेशित हो या अनावेशित, द्रव्य तरंगों के साथ जुड़ा होता है।
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EasyMCQ
वेग के साथ द्रव्यमान में परिवर्तन की उपेक्षा करते हुए,$E$ गतिज ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन से जुड़ी तरंगदैर्ध्य किसके समानुपाती होती है?
A
$E^{\frac{1}{2}}$
B
$E$
C
$E^{-\frac{1}{2}}$
D
$E^{-2}$
Solution
(C) किसी कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $\lambda = \frac{h}{p}$ संबंध द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ कण का संवेग है।
$m$ द्रव्यमान वाले कण की गतिज ऊर्जा $E$ और उसके संवेग $p$ के बीच का संबंध $E = \frac{p^2}{2m}$ है,जिसका अर्थ है कि $p = \sqrt{2mE}$।
$p$ के इस व्यंजक को डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $h$ और $m$ नियतांक हैं,हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$,जिसे $\lambda \propto E^{-1/2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।
$m$ द्रव्यमान वाले कण की गतिज ऊर्जा $E$ और उसके संवेग $p$ के बीच का संबंध $E = \frac{p^2}{2m}$ है,जिसका अर्थ है कि $p = \sqrt{2mE}$।
$p$ के इस व्यंजक को डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $h$ और $m$ नियतांक हैं,हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$,जिसे $\lambda \propto E^{-1/2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।
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EasyMCQ
समान गतिज ऊर्जा वाले निम्नलिखित कणों में से किसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक है?
A
अल्फा कण
B
न्यूट्रॉन
C
प्रोटॉन
D
इलेक्ट्रॉन
Solution
(D) गतिज ऊर्जा $E$ और द्रव्यमान $m$ वाले कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $E$ और प्लांक नियतांक $h$ सभी कणों के लिए समान हैं,इसलिए हमारे पास $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ का संबंध है।
इसका अर्थ है कि जिस कण का द्रव्यमान $m$ सबसे कम होगा,उसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ सबसे अधिक होगी।
दिए गए कणों के द्रव्यमान की तुलना करने पर: $m_{\text{electron}} < m_{\text{proton}} < m_{\text{neutron}} < m_{\text{alpha particle}}$.
चूंकि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान सबसे कम है,इसलिए इसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक होगी।
चूंकि गतिज ऊर्जा $E$ और प्लांक नियतांक $h$ सभी कणों के लिए समान हैं,इसलिए हमारे पास $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ का संबंध है।
इसका अर्थ है कि जिस कण का द्रव्यमान $m$ सबसे कम होगा,उसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ सबसे अधिक होगी।
दिए गए कणों के द्रव्यमान की तुलना करने पर: $m_{\text{electron}} < m_{\text{proton}} < m_{\text{neutron}} < m_{\text{alpha particle}}$.
चूंकि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान सबसे कम है,इसलिए इसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक होगी।
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MediumMCQ
यदि एक प्रोटॉन का संवेग $p_0$ कम कर दिया जाए,तो उससे जुड़ी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ में $25 \%$ की वृद्धि होती है। प्रारंभिक संवेग क्या था?
A
$4 p_0$
B
$\frac{p_0}{4}$
C
$5 p_0$
D
$\frac{p_0}{5}$
Solution
(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और संवेग $p$ के बीच का संबंध $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
दिया गया है कि तरंगदैर्ध्य में $25 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \lambda_1 + 0.25 \lambda_1 = 1.25 \lambda_1 = \frac{5}{4} \lambda_1$ है।
चूंकि $\lambda \propto \frac{1}{p}$,इसलिए $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{p_1}{p_2} = \frac{5}{4}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $p_2 = \frac{4}{5} p_1$ है।
हमें दिया गया है कि संवेग $p_0$ कम हो जाता है,इसलिए $p_2 = p_1 - p_0$ है।
$p_2$ का मान रखने पर: $\frac{4}{5} p_1 = p_1 - p_0$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $p_0 = p_1 - \frac{4}{5} p_1 = \frac{1}{5} p_1$।
अतः,प्रारंभिक संवेग $p_1 = 5 p_0$ है।
दिया गया है कि तरंगदैर्ध्य में $25 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \lambda_1 + 0.25 \lambda_1 = 1.25 \lambda_1 = \frac{5}{4} \lambda_1$ है।
चूंकि $\lambda \propto \frac{1}{p}$,इसलिए $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{p_1}{p_2} = \frac{5}{4}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $p_2 = \frac{4}{5} p_1$ है।
हमें दिया गया है कि संवेग $p_0$ कम हो जाता है,इसलिए $p_2 = p_1 - p_0$ है।
$p_2$ का मान रखने पर: $\frac{4}{5} p_1 = p_1 - p_0$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $p_0 = p_1 - \frac{4}{5} p_1 = \frac{1}{5} p_1$।
अतः,प्रारंभिक संवेग $p_1 = 5 p_0$ है।
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EasyMCQ
एक प्रोटॉन को $225 \,V$ के विभवांतर द्वारा त्वरित किया जाता है। इसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य ........ $nm$ है।
A
$0.1$
B
$0.2$
C
$0.3$
D
$0.4$
Solution
(B) विभवांतर $V$ द्वारा त्वरित कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$।
प्रोटॉन के लिए,द्रव्यमान $m \approx 1.67 \times 10^{-27} \,kg$ और आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ है।
प्रोटॉन के लिए सरलीकृत सूत्र: $\lambda \approx \frac{0.286}{\sqrt{V}} \,nm$ है।
यहाँ $V = 225 \,V$ दिया गया है,इसलिए $\sqrt{V} = \sqrt{225} = 15$।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{0.286}{15} \,nm \approx 0.019 \,nm$।
दिए गए विकल्पों के आधार पर,निकटतम मान $0.2 \,nm$ है।
प्रोटॉन के लिए,द्रव्यमान $m \approx 1.67 \times 10^{-27} \,kg$ और आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ है।
प्रोटॉन के लिए सरलीकृत सूत्र: $\lambda \approx \frac{0.286}{\sqrt{V}} \,nm$ है।
यहाँ $V = 225 \,V$ दिया गया है,इसलिए $\sqrt{V} = \sqrt{225} = 15$।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{0.286}{15} \,nm \approx 0.019 \,nm$।
दिए गए विकल्पों के आधार पर,निकटतम मान $0.2 \,nm$ है।
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EasyMCQ
आकृति चार स्थितियाँ दर्शाती है जिसमें एक इलेक्ट्रॉन विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र में गति कर रहा है। किस मामले में इलेक्ट्रॉन की डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य बढ़ रही है?
A
B
C
D
Solution
(A) इलेक्ट्रॉन की डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h}{p}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ द्रव्यमान है,और $v$ इलेक्ट्रॉन का वेग है।
$\lambda$ को बढ़ने के लिए,इलेक्ट्रॉन के वेग $v$ को कम होना चाहिए।
स्थिति $(A)$ में,इलेक्ट्रॉन (आवेश $-e$) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ की दिशा में गति करता है। इलेक्ट्रॉन पर बल $\vec{F} = -e\vec{E}$ है,जो उसकी गति के विपरीत कार्य करता है,जिससे इलेक्ट्रॉन का वेग कम हो जाता है।
स्थिति $(B)$ में,इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ के विपरीत गति करता है। बल $\vec{F} = -e\vec{E}$ गति की दिशा में कार्य करता है,जिससे इलेक्ट्रॉन का वेग बढ़ जाता है।
स्थितियों $(C)$ और $(D)$ में,चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ वेग के लंबवत होता है,इसलिए इलेक्ट्रॉन की गति स्थिर रहती है।
अतः,केवल स्थिति $(A)$ में वेग कम होता है,जिससे डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य में वृद्धि होती है।
$\lambda$ को बढ़ने के लिए,इलेक्ट्रॉन के वेग $v$ को कम होना चाहिए।
स्थिति $(A)$ में,इलेक्ट्रॉन (आवेश $-e$) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ की दिशा में गति करता है। इलेक्ट्रॉन पर बल $\vec{F} = -e\vec{E}$ है,जो उसकी गति के विपरीत कार्य करता है,जिससे इलेक्ट्रॉन का वेग कम हो जाता है।
स्थिति $(B)$ में,इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ के विपरीत गति करता है। बल $\vec{F} = -e\vec{E}$ गति की दिशा में कार्य करता है,जिससे इलेक्ट्रॉन का वेग बढ़ जाता है।
स्थितियों $(C)$ और $(D)$ में,चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ वेग के लंबवत होता है,इसलिए इलेक्ट्रॉन की गति स्थिर रहती है।
अतः,केवल स्थिति $(A)$ में वेग कम होता है,जिससे डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य में वृद्धि होती है।
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EasyMCQ
इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी (इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप) के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा कथन गलत है?
A
यह इलेक्ट्रॉन बीम को अभिसरित करने के लिए चुंबकीय लेंस का उपयोग करता है
B
इसकी विभेदन क्षमता (resolving power) इलेक्ट्रॉनों के त्वरित विभव (accelerating potential) के सीधे समानुपाती होती है
C
इसकी विभेदन क्षमता इलेक्ट्रॉनों की तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है
D
इसकी सहायता से प्राप्त आवर्धन (magnification) $10^6$ की कोटि का होता है
Solution
(B) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता $(RP)$ को $RP \propto \frac{1}{\lambda}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\lambda$ उपयोग किए गए कण की तरंगदैर्ध्य है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ होती है,जहाँ $V$ त्वरित विभव है।
अतः,$RP \propto \frac{1}{\lambda} \propto \sqrt{V}$।
इसलिए,विभेदन क्षमता त्वरित विभव के वर्गमूल के सीधे समानुपाती होती है,न कि विभव के।
विकल्प $(b)$ गलत है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ होती है,जहाँ $V$ त्वरित विभव है।
अतः,$RP \propto \frac{1}{\lambda} \propto \sqrt{V}$।
इसलिए,विभेदन क्षमता त्वरित विभव के वर्गमूल के सीधे समानुपाती होती है,न कि विभव के।
विकल्प $(b)$ गलत है।
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MediumMCQ
कथन $(A):$ $M$ द्रव्यमान का एक स्थिर कण $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान के दो कणों में क्षयित होता है,जिनके वेग शून्य नहीं हैं। उनकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का अनुपात इकाई (unity) है।
कारण $(R):$ यहाँ,हम रैखिक संवेग संरक्षण के नियम को लागू नहीं कर सकते हैं।
कारण $(R):$ यहाँ,हम रैखिक संवेग संरक्षण के नियम को लागू नहीं कर सकते हैं।
A
यदि कथन और कारण दोनों सत्य हैं और कारण,कथन की सही व्याख्या है।
B
यदि कथन और कारण दोनों सत्य हैं लेकिन कारण,कथन की सही व्याख्या नहीं है।
C
यदि कथन सत्य है लेकिन कारण असत्य है।
D
यदि कथन और कारण दोनों असत्य हैं।
Solution
(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चूंकि $M$ द्रव्यमान का प्रारंभिक कण स्थिर है,इसलिए कुल प्रारंभिक संवेग $0$ है।
अतः,परिणामी दो कणों के पास समान और विपरीत संवेग होना चाहिए: $|p_1| = |p_2| = p$।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों कणों का संवेग परिमाण $p$ समान है,इसलिए उनकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \frac{h}{p}$ और $\lambda_2 = \frac{h}{p}$ होगी।
इस प्रकार,अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = 1$ है,जिसका अर्थ है कि अनुपात इकाई है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
हालाँकि,कारण $(R)$ कहता है कि हम रैखिक संवेग संरक्षण को लागू नहीं कर सकते,जो गलत है क्योंकि बाहरी बलों की अनुपस्थिति में रैखिक संवेग संरक्षण हमेशा लागू होता है। इसलिए,कारण असत्य है।
अतः,परिणामी दो कणों के पास समान और विपरीत संवेग होना चाहिए: $|p_1| = |p_2| = p$।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों कणों का संवेग परिमाण $p$ समान है,इसलिए उनकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \frac{h}{p}$ और $\lambda_2 = \frac{h}{p}$ होगी।
इस प्रकार,अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = 1$ है,जिसका अर्थ है कि अनुपात इकाई है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
हालाँकि,कारण $(R)$ कहता है कि हम रैखिक संवेग संरक्षण को लागू नहीं कर सकते,जो गलत है क्योंकि बाहरी बलों की अनुपस्थिति में रैखिक संवेग संरक्षण हमेशा लागू होता है। इसलिए,कारण असत्य है।
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MediumMCQ
$1\,MeV$ की समान ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन $(e)$,प्रोटॉन $(p)$,न्यूट्रॉन $(n)$ और $\alpha-$ कण $(\alpha)$ की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ का परिमाण बढ़ते क्रम में किस प्रकार होगा?
A
$\lambda_{ e }, \lambda_{ p }, \lambda_{ n }, \lambda_\alpha$
B
$\lambda_{ e }, \lambda_{ n }, \lambda_{ p }, \lambda_\alpha$
C
$\lambda_\alpha, \lambda_{ n }, \lambda_{ p }, \lambda_{ e }$
D
$\lambda_{ p }, \lambda_{ e }, \lambda_\alpha, \lambda_{ n }$
Solution
(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p$ संवेग है।
गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m}$ होने के कारण,$p = \sqrt{2mE}$ होता है।
इसे तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
चूंकि सभी कणों के लिए ऊर्जा $E$ समान है,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
द्रव्यमान की तुलना करने पर: $m_e < m_p \approx m_n < m_\alpha$.
चूंकि $\lambda$ द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए तरंगदैर्ध्य का क्रम $\lambda_\alpha < \lambda_n \approx \lambda_p < \lambda_e$ होगा।
अतः,बढ़ता हुआ क्रम $\lambda_\alpha, \lambda_n, \lambda_p, \lambda_e$ है।
गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m}$ होने के कारण,$p = \sqrt{2mE}$ होता है।
इसे तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
चूंकि सभी कणों के लिए ऊर्जा $E$ समान है,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
द्रव्यमान की तुलना करने पर: $m_e < m_p \approx m_n < m_\alpha$.
चूंकि $\lambda$ द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए तरंगदैर्ध्य का क्रम $\lambda_\alpha < \lambda_n \approx \lambda_p < \lambda_e$ होगा।
अतः,बढ़ता हुआ क्रम $\lambda_\alpha, \lambda_n, \lambda_p, \lambda_e$ है।
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MediumMCQ
एक $\alpha$-कण,प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा समान है। उनकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के मामले में निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
A
$\lambda_{\alpha} > \lambda_{p} > \lambda_{e}$
B
$\lambda_{\alpha} < \lambda_{p} < \lambda_{e}$
C
$\lambda_{\alpha} = \lambda_{p} = \lambda_{e}$
D
$\lambda_{\alpha} > \lambda_{p} < \lambda_{e}$
Solution
(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p$ संवेग है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ होती है,इसलिए $p = \sqrt{2mK}$ होगा।
इसे तरंगदैर्ध्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी कणों के लिए गतिज ऊर्जा $K$ समान है,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
हम जानते हैं कि कणों के द्रव्यमान का संबंध $m_{\alpha} > m_{p} > m_{e}$ है।
इसलिए,उनकी तरंगदैर्ध्य के बीच का संबंध $\lambda_{\alpha} < \lambda_{p} < \lambda_{e}$ होगा।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ होती है,इसलिए $p = \sqrt{2mK}$ होगा।
इसे तरंगदैर्ध्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी कणों के लिए गतिज ऊर्जा $K$ समान है,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
हम जानते हैं कि कणों के द्रव्यमान का संबंध $m_{\alpha} > m_{p} > m_{e}$ है।
इसलिए,उनकी तरंगदैर्ध्य के बीच का संबंध $\lambda_{\alpha} < \lambda_{p} < \lambda_{e}$ होगा।
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MediumMCQ
इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप में उपयोग की जाने वाली इलेक्ट्रॉन बीम,जब $20\,kV$ के वोल्टेज द्वारा त्वरित होती है,तो उसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ होती है। यदि वोल्टेज को बढ़ाकर $40\,kV$ कर दिया जाए,तो इलेक्ट्रॉन बीम से जुड़ी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य क्या होगी?
A
$3 \lambda_0$
B
$9 \lambda_0$
C
$\frac{\lambda_0}{2}$
D
$\frac{\lambda_0}{\sqrt{2}}$
Solution
(D) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$
इस व्यंजक से स्पष्ट है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$।
प्रारंभिक वोल्टेज $V_1 = 20\,kV$ और प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \lambda_0$ दी गई है।
नया वोल्टेज $V_2 = 40\,kV$ है।
समानुपातिकता $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_0} = \sqrt{\frac{20}{40}}$
$\frac{\lambda_2}{\lambda_0} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{\lambda_0}{\sqrt{2}}$ होगी।
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$
इस व्यंजक से स्पष्ट है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$।
प्रारंभिक वोल्टेज $V_1 = 20\,kV$ और प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \lambda_0$ दी गई है।
नया वोल्टेज $V_2 = 40\,kV$ है।
समानुपातिकता $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_0} = \sqrt{\frac{20}{40}}$
$\frac{\lambda_2}{\lambda_0} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{\lambda_0}{\sqrt{2}}$ होगी।
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EasyMCQ
विराम अवस्था से समान विभव द्वारा त्वरित $\alpha$-कण और प्रोटॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{1}{\sqrt{m}}$ है। $m$ का मान $........$ है।
A
$4$
B
$16$
C
$8$
D
$2$
Solution
(C) $V$ विभव द्वारा त्वरित $M$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2MqV}}$ द्वारा दी जाती है।
$\alpha$-कण के लिए,$M_{\alpha} = 4M_p$ और $q_{\alpha} = 2e$ है। प्रोटॉन के लिए,$M_p = M_p$ और $q_p = e$ है।
अनुपात $\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_p} = \sqrt{\frac{M_p q_p}{M_{\alpha} q_{\alpha}}} = \sqrt{\frac{M_p \cdot e}{4M_p \cdot 2e}} = \sqrt{\frac{1}{8}}$ है।
इसे $\frac{1}{\sqrt{m}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $m = 8$ प्राप्त होता है।
$\alpha$-कण के लिए,$M_{\alpha} = 4M_p$ और $q_{\alpha} = 2e$ है। प्रोटॉन के लिए,$M_p = M_p$ और $q_p = e$ है।
अनुपात $\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_p} = \sqrt{\frac{M_p q_p}{M_{\alpha} q_{\alpha}}} = \sqrt{\frac{M_p \cdot e}{4M_p \cdot 2e}} = \sqrt{\frac{1}{8}}$ है।
इसे $\frac{1}{\sqrt{m}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $m = 8$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
$V_1$ विभवांतर द्वारा त्वरित एक इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ है। जब विभव को बदलकर $V_2$ कर दिया जाता है,तो इसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $50 \%$ बढ़ जाती है। $\left(\frac{V_1}{V_2}\right)$ का मान किसके बराबर है?
A
$3$
B
$\frac{9}{4}$
C
$\frac{3}{2}$
D
$4$
Solution
(B) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$,या $V \propto \frac{1}{\lambda^2}$.
प्रथम स्थिति के लिए,$V_1 \propto \frac{1}{\lambda^2}$.
दूसरी स्थिति में,तरंगदैर्ध्य $50 \%$ बढ़ जाती है,इसलिए नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \lambda + 0.5\lambda = 1.5\lambda = \frac{3}{2}\lambda$.
अतः,$V_2 \propto \frac{1}{(\frac{3}{2}\lambda)^2} = \frac{1}{\frac{9}{4}\lambda^2}$.
अनुपात लेने पर,$\frac{V_1}{V_2} = \frac{1/\lambda^2}{1/(\frac{9}{4}\lambda^2)} = \frac{9}{4}$.
इसका अर्थ है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$,या $V \propto \frac{1}{\lambda^2}$.
प्रथम स्थिति के लिए,$V_1 \propto \frac{1}{\lambda^2}$.
दूसरी स्थिति में,तरंगदैर्ध्य $50 \%$ बढ़ जाती है,इसलिए नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \lambda + 0.5\lambda = 1.5\lambda = \frac{3}{2}\lambda$.
अतः,$V_2 \propto \frac{1}{(\frac{3}{2}\lambda)^2} = \frac{1}{\frac{9}{4}\lambda^2}$.
अनुपात लेने पर,$\frac{V_1}{V_2} = \frac{1/\lambda^2}{1/(\frac{9}{4}\lambda^2)} = \frac{9}{4}$.
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प्रकाश के वेग के दसवें भाग से गति कर रहे एक प्रोटॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य $\lambda$ है। एक अल्फा कण जिसकी गतिज ऊर्जा कुछ निश्चित है,उसकी भी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य $\lambda$ है। प्रोटॉन और अल्फा कण की गतिज ऊर्जा का अनुपात क्या है?
A
$2: 1$
B
$4: 1$
C
$1: 2$
D
$1: 4$
Solution
(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $p$ संवेग है।
गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है।
$p = \frac{h}{\lambda}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों कणों की तरंगदैर्घ्य $\lambda$ समान है,इसलिए गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती है: $K \propto \frac{1}{m}$।
अतः,प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा $(K_p)$ और अल्फा कण की गतिज ऊर्जा $(K_\alpha)$ का अनुपात $\frac{K_p}{K_\alpha} = \frac{m_\alpha}{m_p}$ होगा।
चूंकि अल्फा कण का द्रव्यमान प्रोटॉन के द्रव्यमान का लगभग $4$ गुना होता है $(m_\alpha \approx 4m_p)$,इसलिए $\frac{K_p}{K_\alpha} = \frac{4m_p}{m_p} = 4:1$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है।
$p = \frac{h}{\lambda}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों कणों की तरंगदैर्घ्य $\lambda$ समान है,इसलिए गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती है: $K \propto \frac{1}{m}$।
अतः,प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा $(K_p)$ और अल्फा कण की गतिज ऊर्जा $(K_\alpha)$ का अनुपात $\frac{K_p}{K_\alpha} = \frac{m_\alpha}{m_p}$ होगा।
चूंकि अल्फा कण का द्रव्यमान प्रोटॉन के द्रव्यमान का लगभग $4$ गुना होता है $(m_\alpha \approx 4m_p)$,इसलिए $\frac{K_p}{K_\alpha} = \frac{4m_p}{m_p} = 4:1$ प्राप्त होता है।
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एक इलेक्ट्रॉन,$\alpha$-कण और प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा क्रमशः $4K, 2K$ और $K$ दी गई है। इलेक्ट्रॉन $(\lambda_e)$,$\alpha$-कण $(\lambda_\alpha)$ और प्रोटॉन $(\lambda_p)$ से जुड़ी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का संबंध इस प्रकार है:
A
$\lambda_\alpha = \lambda_p < \lambda_e$
B
$\lambda_\alpha > \lambda_p > \lambda_e$
C
$\lambda_\alpha < \lambda_p < \lambda_e$
D
$\lambda_\alpha = \lambda_p > \lambda_e$
Solution
(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है।
इलेक्ट्रॉन के लिए: $m_e \approx \frac{m_p}{1840}$,$K_e = 4K$. अतः,$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2(m_p/1840)(4K)}} = \frac{h}{\sqrt{2m_pK/230}}$.
प्रोटॉन के लिए: $m_p = m$,$K_p = K$. अतः,$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$.
$\alpha$-कण के लिए: $m_\alpha = 4m_p$,$K_\alpha = 2K$. अतः,$\lambda_\alpha = \frac{h}{\sqrt{2(4m_p)(2K)}} = \frac{h}{\sqrt{16m_pK}} = \frac{h}{4\sqrt{m_pK}}$.
मानों की तुलना करने पर:
$\lambda_e = \sqrt{230} \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_pK}} \approx 15.16 \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_pK}}$
$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_pK}}$
$\lambda_\alpha = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_pK}} \approx 0.35 \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_pK}}$
अतः,$\lambda_\alpha < \lambda_p < \lambda_e$.
इलेक्ट्रॉन के लिए: $m_e \approx \frac{m_p}{1840}$,$K_e = 4K$. अतः,$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2(m_p/1840)(4K)}} = \frac{h}{\sqrt{2m_pK/230}}$.
प्रोटॉन के लिए: $m_p = m$,$K_p = K$. अतः,$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$.
$\alpha$-कण के लिए: $m_\alpha = 4m_p$,$K_\alpha = 2K$. अतः,$\lambda_\alpha = \frac{h}{\sqrt{2(4m_p)(2K)}} = \frac{h}{\sqrt{16m_pK}} = \frac{h}{4\sqrt{m_pK}}$.
मानों की तुलना करने पर:
$\lambda_e = \sqrt{230} \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_pK}} \approx 15.16 \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_pK}}$
$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_pK}}$
$\lambda_\alpha = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_pK}} \approx 0.35 \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_pK}}$
अतः,$\lambda_\alpha < \lambda_p < \lambda_e$.
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प्रोटॉन $(P)$ और इलेक्ट्रॉन $(e)$ की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य समान होगी जब उनके संवेग का अनुपात होगा (मान लीजिए,$m_{p} = 1849 \, m_{e}$)
A
$1: 43$
B
$43: 1$
C
$1: 1849$
D
$1: 1$
Solution
(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $h$ प्लैंक नियतांक है और $p$ कण का संवेग है।
चूंकि प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य समान दी गई है,इसलिए $\lambda_{p} = \lambda_{e}$ होगा।
तरंगदैर्ध्य का सूत्र रखने पर,हमें $\frac{h}{p_{p}} = \frac{h}{p_{e}}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $p_{p} = p_{e}$ हो जाता है,जिसका अर्थ है कि उनके संवेग का अनुपात $p_{p} : p_{e} = 1: 1$ है।
चूंकि प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य समान दी गई है,इसलिए $\lambda_{p} = \lambda_{e}$ होगा।
तरंगदैर्ध्य का सूत्र रखने पर,हमें $\frac{h}{p_{p}} = \frac{h}{p_{e}}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $p_{p} = p_{e}$ हो जाता है,जिसका अर्थ है कि उनके संवेग का अनुपात $p_{p} : p_{e} = 1: 1$ है।
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MediumMCQ
कमरे के तापमान $(300 \ K)$ पर एक गैस के अणु की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ है। यदि गैस का तापमान बढ़ाकर $600 \ K$ कर दिया जाए,तो उसी गैस के अणु की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $..............$ हो जाएगी।
A
$\frac{1}{\sqrt{2}} \lambda_1$
B
$2 \lambda_1$
C
$\frac{1}{2} \lambda_1$
D
$\sqrt{2} \lambda_1$
Solution
(A) गैसों के गतिज सिद्धांत ($K$.$T$.$G$.) के अनुसार,गैस के अणु का वर्ग माध्य मूल वेग $v_{RMS} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है कि $v_{RMS} \propto \sqrt{T}$।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v_{RMS}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $v_{RMS} \propto \sqrt{T}$,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$।
अतः,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$ होगा।
यहाँ $T_1 = 300 \ K$ और $T_2 = 600 \ K$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{300}{600}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इस प्रकार,नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{\sqrt{2}}$ होगी।
इसका अर्थ है कि $v_{RMS} \propto \sqrt{T}$।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v_{RMS}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $v_{RMS} \propto \sqrt{T}$,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$।
अतः,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$ होगा।
यहाँ $T_1 = 300 \ K$ और $T_2 = 600 \ K$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{300}{600}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इस प्रकार,नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{\sqrt{2}}$ होगी।
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MediumMCQ
समान गतिज ऊर्जा वाले प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का अनुपात क्या है? (मान लीजिए $m_p = 1849 \times m_e$)
A
$1: 43$
B
$1: 30$
C
$1: 62$
D
$2: 43$
Solution
(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ है,इसलिए $p = \sqrt{2mK}$ होता है।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ प्राप्त होता है।
समान गतिज ऊर्जा $K$ वाले प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन के लिए,उनकी तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2m_p K}}}{\frac{h}{\sqrt{2m_e K}}} = \sqrt{\frac{m_e}{m_p}}$ होगा।
दिया गया है कि $m_p = 1849 \times m_e$,इसलिए $\frac{m_e}{m_p} = \frac{1}{1849}$ है।
अतः,$\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \sqrt{\frac{1}{1849}} = \frac{1}{43}$।
इस प्रकार,अनुपात $1: 43$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ है,इसलिए $p = \sqrt{2mK}$ होता है।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ प्राप्त होता है।
समान गतिज ऊर्जा $K$ वाले प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन के लिए,उनकी तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2m_p K}}}{\frac{h}{\sqrt{2m_e K}}} = \sqrt{\frac{m_e}{m_p}}$ होगा।
दिया गया है कि $m_p = 1849 \times m_e$,इसलिए $\frac{m_e}{m_p} = \frac{1}{1849}$ है।
अतः,$\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \sqrt{\frac{1}{1849}} = \frac{1}{43}$।
इस प्रकार,अनुपात $1: 43$ है।
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MediumMCQ
एक प्रोटॉन और एक $\alpha$-कण को क्रमशः $2\,V$ और $4\,V$ के विभव द्वारा विरामावस्था से त्वरित किया जाता है। उनकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का अनुपात क्या है ($:1$ में)?
A
$4$
B
$2$
C
$8$
D
$16$
Solution
(A) विभवांतर $\Delta V$ द्वारा त्वरित आवेशित कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mq\Delta V}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रोटॉन $(p)$ और $\alpha$-कण $(\alpha)$ के लिए:
प्रोटॉन का द्रव्यमान $m_p = m$, आवेश $q_p = e$ है।
$\alpha$-कण का द्रव्यमान $m_\alpha = 4m$, आवेश $q_\alpha = 2e$ है।
दिए गए विभव: $V_p = 2\,V$ और $V_\alpha = 4\,V$ हैं।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{m_\alpha q_\alpha V_\alpha}{m_p q_p V_p}}$ है।
मान रखने पर:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{4m \times 2e \times 4V}{m \times e \times 2V}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$.
अतः, अनुपात $\lambda_p : \lambda_\alpha = 4:1$ है।
प्रोटॉन $(p)$ और $\alpha$-कण $(\alpha)$ के लिए:
प्रोटॉन का द्रव्यमान $m_p = m$, आवेश $q_p = e$ है।
$\alpha$-कण का द्रव्यमान $m_\alpha = 4m$, आवेश $q_\alpha = 2e$ है।
दिए गए विभव: $V_p = 2\,V$ और $V_\alpha = 4\,V$ हैं।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{m_\alpha q_\alpha V_\alpha}{m_p q_p V_p}}$ है।
मान रखने पर:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{4m \times 2e \times 4V}{m \times e \times 2V}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$.
अतः, अनुपात $\lambda_p : \lambda_\alpha = 4:1$ है।
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EasyMCQ
$E$ गतिज ऊर्जा वाले एक इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ है। यदि इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $\frac{E}{4}$ हो जाती है,तो इसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य क्या होगी?
A
$\frac{\lambda}{\sqrt{2}}$
B
$\frac{\lambda}{2}$
C
$2 \lambda$
D
$\sqrt{2} \lambda$
Solution
(C) $E$ गतिज ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$।
जब गतिज ऊर्जा $E' = \frac{E}{4}$ हो जाती है,तो नई डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ होगी:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2mE'}} = \frac{h}{\sqrt{2m(\frac{E}{4})}}$।
व्यंजक को सरल करने पर:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{\frac{2mE}{4}}} = \frac{h}{\frac{1}{2}\sqrt{2mE}} = 2 \left( \frac{h}{\sqrt{2mE}} \right)$।
$\lambda$ का मान रखने पर:
$\lambda' = 2\lambda$।
जब गतिज ऊर्जा $E' = \frac{E}{4}$ हो जाती है,तो नई डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ होगी:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2mE'}} = \frac{h}{\sqrt{2m(\frac{E}{4})}}$।
व्यंजक को सरल करने पर:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{\frac{2mE}{4}}} = \frac{h}{\frac{1}{2}\sqrt{2mE}} = 2 \left( \frac{h}{\sqrt{2mE}} \right)$।
$\lambda$ का मान रखने पर:
$\lambda' = 2\lambda$।
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DifficultMCQ
एक प्रोटॉन और एक $\alpha$ कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य क्रमशः $\lambda$ और $2\lambda$ है। प्रोटॉन और $\alpha$ कण के वेग का अनुपात क्या होगा?
A
$1: 8$
B
$1: 2$
C
$4: 1$
D
$8: 1$
Solution
(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ द्रव्यमान है और $v$ वेग है।
इससे,वेग $v = \frac{h}{m\lambda}$ होता है।
प्रोटॉन के लिए,$m_p = m$ और $\lambda_p = \lambda$ है। $\alpha$ कण के लिए,$m_\alpha = 4m$ और $\lambda_\alpha = 2\lambda$ है।
वेग का अनुपात $\frac{v_p}{v_\alpha} = \frac{h / (m_p \lambda_p)}{h / (m_\alpha \lambda_\alpha)} = \frac{m_\alpha}{m_p} \times \frac{\lambda_\alpha}{\lambda_p}$ है।
मान रखने पर: $\frac{v_p}{v_\alpha} = \frac{4m}{m} \times \frac{2\lambda}{\lambda} = 4 \times 2 = 8$.
अतः,अनुपात $8: 1$ है।
इससे,वेग $v = \frac{h}{m\lambda}$ होता है।
प्रोटॉन के लिए,$m_p = m$ और $\lambda_p = \lambda$ है। $\alpha$ कण के लिए,$m_\alpha = 4m$ और $\lambda_\alpha = 2\lambda$ है।
वेग का अनुपात $\frac{v_p}{v_\alpha} = \frac{h / (m_p \lambda_p)}{h / (m_\alpha \lambda_\alpha)} = \frac{m_\alpha}{m_p} \times \frac{\lambda_\alpha}{\lambda_p}$ है।
मान रखने पर: $\frac{v_p}{v_\alpha} = \frac{4m}{m} \times \frac{2\lambda}{\lambda} = 4 \times 2 = 8$.
अतः,अनुपात $8: 1$ है।
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DifficultMCQ
एक प्रोटॉन और एक इलेक्ट्रॉन समान डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य से जुड़े हैं। उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात क्या है?
(मान लीजिए $h=6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$,$m_{e}=9.0 \times 10^{-31} \ kg$ और $m_{p}=1836 \times m_{e}$)
(मान लीजिए $h=6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$,$m_{e}=9.0 \times 10^{-31} \ kg$ और $m_{p}=1836 \times m_{e}$)
A
$1: 1836$
B
$1836: 1$
C
$1: \sqrt{1836}$
D
$\sqrt{1836}: 1$
Solution
(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p$ संवेग है।
चूंकि दोनों कणों के लिए $\lambda$ समान है,इसलिए उनका संवेग $p$ भी समान होगा।
गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है।
यहाँ $p$ स्थिर है,इसलिए $K \propto \frac{1}{m}$ होगा।
अतः,प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा $(K_p)$ और इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K_e)$ का अनुपात:
$\frac{K_p}{K_e} = \frac{m_e}{m_p}$ होगा।
दिया गया है कि $m_p = 1836 \ m_e$,मान रखने पर:
$\frac{K_p}{K_e} = \frac{m_e}{1836 \ m_e} = \frac{1}{1836}$।
इस प्रकार,अनुपात $1: 1836$ है।
चूंकि दोनों कणों के लिए $\lambda$ समान है,इसलिए उनका संवेग $p$ भी समान होगा।
गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है।
यहाँ $p$ स्थिर है,इसलिए $K \propto \frac{1}{m}$ होगा।
अतः,प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा $(K_p)$ और इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K_e)$ का अनुपात:
$\frac{K_p}{K_e} = \frac{m_e}{m_p}$ होगा।
दिया गया है कि $m_p = 1836 \ m_e$,मान रखने पर:
$\frac{K_p}{K_e} = \frac{m_e}{1836 \ m_e} = \frac{1}{1836}$।
इस प्रकार,अनुपात $1: 1836$ है।
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DifficultMCQ
एक प्रोटॉन और एक इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य समान है। यदि $K_p$ और $K_e$ क्रमशः प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जाएँ हैं,तो सही संबंध चुनें:
A
$K_{p} > K_{e}$
B
$K_{p} = K_{e}$
C
$K_{p} = K_{e}^2$
D
$K_{p} < K_{e}$
Solution
(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ संवेग है।
चूंकि प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य समान है,इसलिए उनका संवेग भी समान होगा: $p_p = p_e = p$.
किसी कण की गतिज ऊर्जा $K$ का उसके संवेग $p$ और द्रव्यमान $m$ के साथ संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ होता है।
प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन के लिए,हमारे पास $K_p = \frac{p^2}{2m_p}$ और $K_e = \frac{p^2}{2m_e}$ है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m_e$ प्रोटॉन के द्रव्यमान $m_p$ से बहुत कम होता है $(m_e < m_p)$,इसलिए $\frac{1}{2m_e} > \frac{1}{2m_p}$ होगा।
अतः,$K_e > K_p$,या $K_p < K_e$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य समान है,इसलिए उनका संवेग भी समान होगा: $p_p = p_e = p$.
किसी कण की गतिज ऊर्जा $K$ का उसके संवेग $p$ और द्रव्यमान $m$ के साथ संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ होता है।
प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन के लिए,हमारे पास $K_p = \frac{p^2}{2m_p}$ और $K_e = \frac{p^2}{2m_e}$ है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m_e$ प्रोटॉन के द्रव्यमान $m_p$ से बहुत कम होता है $(m_e < m_p)$,इसलिए $\frac{1}{2m_e} > \frac{1}{2m_p}$ होगा।
अतः,$K_e > K_p$,या $K_p < K_e$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
एक प्रोटॉन,एक इलेक्ट्रॉन और एक अल्फा कण की गतिज ऊर्जा समान है। उनकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य की तुलना इस प्रकार की जाएगी:
A
$\lambda_{e} > \lambda_{p} > \lambda_{\alpha}$
B
$\lambda_{\alpha} < \lambda_{p} < \lambda_{e}$
C
$\lambda_{p} < \lambda_{e} < \lambda_{\alpha}$
D
$\lambda_{p} > \lambda_{e} > \lambda_{\alpha}$
Solution
(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ द्रव्यमान है और $K$ गतिज ऊर्जा है।
चूंकि सभी कणों के लिए गतिज ऊर्जा $(K)$ समान है,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ होगा।
हम जानते हैं कि कणों के द्रव्यमान का क्रम $m_{e} < m_{p} < m_{\alpha}$ है।
चूंकि तरंगदैर्ध्य द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है,इसलिए तरंगदैर्ध्य का क्रम $\lambda_{e} > \lambda_{p} > \lambda_{\alpha}$ होगा।
चूंकि सभी कणों के लिए गतिज ऊर्जा $(K)$ समान है,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ होगा।
हम जानते हैं कि कणों के द्रव्यमान का क्रम $m_{e} < m_{p} < m_{\alpha}$ है।
चूंकि तरंगदैर्ध्य द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है,इसलिए तरंगदैर्ध्य का क्रम $\lambda_{e} > \lambda_{p} > \lambda_{\alpha}$ होगा।
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MediumMCQ
वह ग्राफ जो $\left(\frac{1}{\lambda^2}\right)$ और उसकी गतिज ऊर्जा $E$ के बीच परिवर्तन को दर्शाता है,वह है (जहाँ $\lambda$ एक मुक्त कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य है):
A
B
C
D
Solution
(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ कण का द्रव्यमान है और $E$ इसकी गतिज ऊर्जा है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\lambda^2 = \frac{h^2}{2mE}$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{1}{\lambda^2} = \left(\frac{2m}{h^2}\right) E$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $y = mx$ के रूप में है,जहाँ $y = \frac{1}{\lambda^2}$,$x = E$,और ढाल $m = \frac{2m}{h^2}$ एक नियतांक है।
इसलिए,$\frac{1}{\lambda^2}$ बनाम $E$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\lambda^2 = \frac{h^2}{2mE}$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{1}{\lambda^2} = \left(\frac{2m}{h^2}\right) E$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $y = mx$ के रूप में है,जहाँ $y = \frac{1}{\lambda^2}$,$x = E$,और ढाल $m = \frac{2m}{h^2}$ एक नियतांक है।
इसलिए,$\frac{1}{\lambda^2}$ बनाम $E$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
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AdvancedMCQ
de-Broglie तरंगदैर्ध्य $\lambda$ वाले इलेक्ट्रॉन एक $X$-ray ट्यूब में लक्ष्य पर गिरते हैं। उत्सर्जित $X$-rays की कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य क्या है?
A
$\lambda_0 = \frac{2 mc \lambda^2}{h}$
B
$\lambda_0 = \frac{2h}{mc}$
C
$\lambda_0 = \frac{2 m^2 c^2 \lambda^3}{h^2}$
D
$\lambda_0 = \lambda$
Solution
(A) गतिज ऊर्जा $E$ वाले इलेक्ट्रॉन की de-Broglie तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\lambda^2 = \frac{h^2}{2mE}$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $E$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।
उत्सर्जित $X$-rays की कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ फोटॉन की अधिकतम ऊर्जा के अनुरूप होती है,जो आपतित इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा के बराबर होती है: $E = \frac{hc}{\lambda_0}$।
$E$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।
$\lambda_0$ के लिए हल करने पर,$\lambda_0 = \frac{2mc\lambda^2}{h}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\lambda^2 = \frac{h^2}{2mE}$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $E$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।
उत्सर्जित $X$-rays की कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ फोटॉन की अधिकतम ऊर्जा के अनुरूप होती है,जो आपतित इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा के बराबर होती है: $E = \frac{hc}{\lambda_0}$।
$E$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।
$\lambda_0$ के लिए हल करने पर,$\lambda_0 = \frac{2mc\lambda^2}{h}$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
जब कोई कण $x$-अक्ष पर $x=0$ और $x=a$ के बीच गति करने के लिए प्रतिबंधित होता है,जहाँ $a$ नैनोमीटर आयाम का है,तो उसकी ऊर्जा केवल कुछ विशिष्ट मान ही ले सकती है। ऐसे प्रतिबंधित क्षेत्र में गति करने वाले कण की अनुमत ऊर्जाएँ इसके सिरों $x=0$ और $x=a$ पर नोड्स (nodes) वाले स्थिर तरंगों के निर्माण के अनुरूप होती हैं। इस स्थिर तरंग की तरंगदैर्ध्य डी-ब्रोग्ली संबंध के अनुसार कण के रैखिक संवेग $p$ से संबंधित है। $m$ द्रव्यमान वाले कण की ऊर्जा उसके रैखिक संवेग से $E = \frac{p^2}{2m}$ के रूप में संबंधित है। इस प्रकार,कण की ऊर्जा को एक क्वांटम संख्या $n$ द्वारा दर्शाया जा सकता है जो $1, 2, 3, \ldots$ मान लेती है ($n=1$,जिसे ग्राउंड स्टेट कहा जाता है) जो स्थिर तरंग में लूप्स की संख्या के अनुरूप है।
ऊपर वर्णित मॉडल का उपयोग करके $x=0$ से $x=a$ रेखा में गति करने वाले कण के लिए निम्नलिखित तीन प्रश्नों के उत्तर दें। $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$ और $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ लें।
$1.$ $n$ के किसी विशेष मान के लिए कण की अनुमत ऊर्जा किसके समानुपाती है?
$(A) \ a^{-2} \ (B) \ a^{-3/2} \ (C) \ a^{-1} \ (D) \ a^2$
$2.$ यदि कण का द्रव्यमान $m = 1.0 \times 10^{-30} \ kg$ और $a = 6.6 \ \text{nm}$ है,तो ग्राउंड स्टेट में कण की ऊर्जा किसके सबसे करीब है?
$(A) \ 0.8 \ \text{meV} \ (B) \ 8 \ \text{meV} \ (C) \ 80 \ \text{meV} \ (D) \ 800 \ \text{meV}$
$3.$ कण की गति,जो अलग-अलग मान ले सकती है,किसके समानुपाती है?
$(A) \ n^{-3/2} \ (B) \ n^{-1} \ (C) \ n^{1/2} \ (D) \ n$
ऊपर वर्णित मॉडल का उपयोग करके $x=0$ से $x=a$ रेखा में गति करने वाले कण के लिए निम्नलिखित तीन प्रश्नों के उत्तर दें। $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$ और $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ लें।
$1.$ $n$ के किसी विशेष मान के लिए कण की अनुमत ऊर्जा किसके समानुपाती है?
$(A) \ a^{-2} \ (B) \ a^{-3/2} \ (C) \ a^{-1} \ (D) \ a^2$
$2.$ यदि कण का द्रव्यमान $m = 1.0 \times 10^{-30} \ kg$ और $a = 6.6 \ \text{nm}$ है,तो ग्राउंड स्टेट में कण की ऊर्जा किसके सबसे करीब है?
$(A) \ 0.8 \ \text{meV} \ (B) \ 8 \ \text{meV} \ (C) \ 80 \ \text{meV} \ (D) \ 800 \ \text{meV}$
$3.$ कण की गति,जो अलग-अलग मान ले सकती है,किसके समानुपाती है?
$(A) \ n^{-3/2} \ (B) \ n^{-1} \ (C) \ n^{1/2} \ (D) \ n$
A
$(D, B, C)$
B
$(A, B, D)$
C
$(B, B, D)$
D
$(A, D, C)$
Solution
(B) $1.$ $x=0$ और $x=a$ पर नोड्स वाली स्थिर तरंग के लिए,लंबाई $a$ आधी तरंगदैर्ध्य का पूर्णांक गुणज होनी चाहिए: $a = \frac{n\lambda}{2} \Rightarrow \lambda = \frac{2a}{n}$.
डी-ब्रोग्ली संबंध $\lambda = \frac{h}{p}$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $\frac{2a}{n} = \frac{h}{p} \Rightarrow p = \frac{nh}{2a}$.
ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m} = \frac{n^2h^2}{8ma^2}$ है। इस प्रकार,$E \propto a^{-2}$। सही विकल्प $(A)$ है।
$2.$ ग्राउंड स्टेट के लिए,$n=1$। $E_1 = \frac{h^2}{8ma^2}$।
दिया गया है $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$,$m = 1.0 \times 10^{-30} \ kg$,और $a = 6.6 \times 10^{-9} \ m$।
$E_1 = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{8 \times (1.0 \times 10^{-30}) \times (6.6 \times 10^{-9})^2} = \frac{6.6^2 \times 10^{-68}}{8 \times 10^{-30} \times 6.6^2 \times 10^{-18}} = \frac{10^{-68}}{8 \times 10^{-48}} = 0.125 \times 10^{-20} \ J$.
$\text{eV}$ में परिवर्तित करने पर: $E_1 = \frac{0.125 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 0.0078 \ \text{eV} = 7.8 \ \text{meV} \approx 8 \ \text{meV}$। सही विकल्प $(B)$ है।
$3.$ चूंकि $p = mv = \frac{nh}{2a}$,इसलिए $v = \frac{nh}{2ma}$। चूंकि $h, m, a$ स्थिरांक हैं,इसलिए $v \propto n$। सही विकल्प $(D)$ है।
डी-ब्रोग्ली संबंध $\lambda = \frac{h}{p}$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $\frac{2a}{n} = \frac{h}{p} \Rightarrow p = \frac{nh}{2a}$.
ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m} = \frac{n^2h^2}{8ma^2}$ है। इस प्रकार,$E \propto a^{-2}$। सही विकल्प $(A)$ है।
$2.$ ग्राउंड स्टेट के लिए,$n=1$। $E_1 = \frac{h^2}{8ma^2}$।
दिया गया है $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$,$m = 1.0 \times 10^{-30} \ kg$,और $a = 6.6 \times 10^{-9} \ m$।
$E_1 = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{8 \times (1.0 \times 10^{-30}) \times (6.6 \times 10^{-9})^2} = \frac{6.6^2 \times 10^{-68}}{8 \times 10^{-30} \times 6.6^2 \times 10^{-18}} = \frac{10^{-68}}{8 \times 10^{-48}} = 0.125 \times 10^{-20} \ J$.
$\text{eV}$ में परिवर्तित करने पर: $E_1 = \frac{0.125 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 0.0078 \ \text{eV} = 7.8 \ \text{meV} \approx 8 \ \text{meV}$। सही विकल्प $(B)$ है।
$3.$ चूंकि $p = mv = \frac{nh}{2a}$,इसलिए $v = \frac{nh}{2ma}$। चूंकि $h, m, a$ स्थिरांक हैं,इसलिए $v \propto n$। सही विकल्प $(D)$ है।
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EasyMCQ
एक $\alpha$-कण और एक प्रोटॉन को $100 \ V$ के विभवांतर द्वारा विरामावस्था से त्वरित किया जाता है। इसके बाद,उनकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य क्रमशः $\lambda_\alpha$ और $\lambda_{p}$ हैं। अनुपात $\frac{\lambda_{p}}{\lambda_\alpha}$ का निकटतम पूर्णांक मान क्या है?
A
$2$
B
$6$
C
$8$
D
$3$
Solution
(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ है।
प्रोटॉन के लिए,$m_p = m$ और $q_p = e$ है। अतः,$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
$\alpha$-कण के लिए,$m_\alpha = 4m$ और $q_\alpha = 2e$ है। अतः,$\lambda_\alpha = \frac{h}{\sqrt{2(4m)(2e)V}} = \frac{h}{\sqrt{16meV}} = \frac{1}{4} \frac{h}{\sqrt{meV}}$.
अब अनुपात लेने पर,$\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \frac{h / \sqrt{2meV}}{h / \sqrt{16meV}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{2}} = \sqrt{8} \approx 2.828$.
$2.828$ का निकटतम पूर्णांक $3$ है।
प्रोटॉन के लिए,$m_p = m$ और $q_p = e$ है। अतः,$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
$\alpha$-कण के लिए,$m_\alpha = 4m$ और $q_\alpha = 2e$ है। अतः,$\lambda_\alpha = \frac{h}{\sqrt{2(4m)(2e)V}} = \frac{h}{\sqrt{16meV}} = \frac{1}{4} \frac{h}{\sqrt{meV}}$.
अब अनुपात लेने पर,$\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \frac{h / \sqrt{2meV}}{h / \sqrt{16meV}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{2}} = \sqrt{8} \approx 2.828$.
$2.828$ का निकटतम पूर्णांक $3$ है।
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MediumMCQ
$10^{-30} \ kg$ द्रव्यमान का एक उप-परमाणु कण $2.21 \times 10^6 \ m/s$ के वेग से गति कर रहा है। द्रव्य तरंग की अवधारणा के अनुसार,यह कण . . . . . . की तरह व्यवहार करेगा। $(h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s)$
A
इन्फ्रारेड विकिरण
B
$X$-किरणें
C
गामा किरणें
D
दृश्य विकिरण
Solution
(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s}{(10^{-30} \ kg) \times (2.21 \times 10^6 \ m/s)}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2.21 \times 10^{-24}} \ m$
$\lambda = 3 \times 10^{-10} \ m = 3 \ \mathring{A}$.
$X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य सीमा लगभग $0.01 \ \mathring{A}$ से $100 \ \mathring{A}$ होती है।
चूंकि $3 \ \mathring{A}$ इस सीमा के अंतर्गत आता है,इसलिए यह कण $X$-किरणों की तरह व्यवहार करेगा।
दिए गए मानों को रखने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s}{(10^{-30} \ kg) \times (2.21 \times 10^6 \ m/s)}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2.21 \times 10^{-24}} \ m$
$\lambda = 3 \times 10^{-10} \ m = 3 \ \mathring{A}$.
$X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य सीमा लगभग $0.01 \ \mathring{A}$ से $100 \ \mathring{A}$ होती है।
चूंकि $3 \ \mathring{A}$ इस सीमा के अंतर्गत आता है,इसलिए यह कण $X$-किरणों की तरह व्यवहार करेगा।
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MediumMCQ
$m$ द्रव्यमान का एक इलेक्ट्रॉन जिसका प्रारंभिक वेग $\overrightarrow{v}=v_0 \hat{i}$ $(v_0>0)$ है,एक विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}=-E_0 \hat{k}$ में प्रवेश करता है। यदि प्रारंभिक डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ है,तो $t$ समय के बाद इसका मान क्या होगा $:-$
A
$\frac{\lambda_0}{\sqrt{1+\frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}}$
B
$\frac{\lambda_0}{\sqrt{1-\frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}}$
C
$\lambda_0$
D
$\lambda_0 \sqrt{1+\frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}$
Solution
(A) इलेक्ट्रॉन का प्रारंभिक वेग $\overrightarrow{v}_i = v_0 \hat{i}$ है।
विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = -E_0 \hat{k}$ में इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{E} = -e(-E_0 \hat{k}) = e E_0 \hat{k}$ है।
त्वरण $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{e E_0}{m} \hat{k}$ है।
$t$ समय पर वेग $\overrightarrow{v}(t) = \overrightarrow{v}_i + \overrightarrow{a}t = v_0 \hat{i} + \frac{e E_0 t}{m} \hat{k}$ है।
वेग का परिमाण $|\overrightarrow{v}(t)| = \sqrt{v_0^2 + \left(\frac{e E_0 t}{m}\right)^2} = v_0 \sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}$ है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m|\overrightarrow{v}|}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = \frac{h}{m v_0}$ है।
$t$ समय पर तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{h}{m v_0 \sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}} = \frac{\lambda_0}{\sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}}$ है।
विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = -E_0 \hat{k}$ में इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{E} = -e(-E_0 \hat{k}) = e E_0 \hat{k}$ है।
त्वरण $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{e E_0}{m} \hat{k}$ है।
$t$ समय पर वेग $\overrightarrow{v}(t) = \overrightarrow{v}_i + \overrightarrow{a}t = v_0 \hat{i} + \frac{e E_0 t}{m} \hat{k}$ है।
वेग का परिमाण $|\overrightarrow{v}(t)| = \sqrt{v_0^2 + \left(\frac{e E_0 t}{m}\right)^2} = v_0 \sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}$ है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m|\overrightarrow{v}|}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = \frac{h}{m v_0}$ है।
$t$ समय पर तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{h}{m v_0 \sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}} = \frac{\lambda_0}{\sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}}$ है।
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MediumMCQ
$m_p$ द्रव्यमान वाले एक प्रोटॉन की ऊर्जा $\lambda$ तरंगदैर्ध्य वाले एक फोटॉन की ऊर्जा के समान है। यदि प्रोटॉन गैर-सापेक्षवादी गति से चल रहा है,तो इसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य और फोटॉन की तरंगदैर्ध्य का अनुपात क्या है?
A
$\frac{1}{c} \sqrt{\frac{2 E}{m_p}}$
B
$\frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{m_p}}$
C
$\frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2 m_p}}$
D
$\frac{1}{2 c} \sqrt{\frac{E}{m_p}}$
Solution
(C) मान लीजिए कि प्रोटॉन और फोटॉन दोनों की ऊर्जा $E$ है।
फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda_{photon}}$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $\lambda_{photon} = \frac{hc}{E}$।
प्रोटॉन के लिए,गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m_p v^2$ है। प्रोटॉन का संवेग $p = \sqrt{2 m_p E}$ है।
प्रोटॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{proton} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2 m_p E}}$ है।
प्रोटॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य और फोटॉन की तरंगदैर्ध्य का अनुपात है:
$\frac{\lambda_{proton}}{\lambda_{photon}} = \frac{h / \sqrt{2 m_p E}}{hc / E} = \frac{h}{\sqrt{2 m_p E}} \times \frac{E}{hc} = \frac{E}{c \sqrt{2 m_p E}} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2 m_p}}$।
फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda_{photon}}$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $\lambda_{photon} = \frac{hc}{E}$।
प्रोटॉन के लिए,गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m_p v^2$ है। प्रोटॉन का संवेग $p = \sqrt{2 m_p E}$ है।
प्रोटॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{proton} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2 m_p E}}$ है।
प्रोटॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य और फोटॉन की तरंगदैर्ध्य का अनुपात है:
$\frac{\lambda_{proton}}{\lambda_{photon}} = \frac{h / \sqrt{2 m_p E}}{hc / E} = \frac{h}{\sqrt{2 m_p E}} \times \frac{E}{hc} = \frac{E}{c \sqrt{2 m_p E}} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2 m_p}}$।
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MediumMCQ
यदि $\lambda$ और $K$ एक स्थिर द्रव्यमान वाले कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य और गतिज ऊर्जा हैं,तो कण के लिए सही ग्राफिकल निरूपण क्या होगा?
A
B
C
D
Solution
(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और $m$ द्रव्यमान वाले कण की गतिज ऊर्जा $K$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\lambda^2 = \frac{h^2}{2mK}$.
इस समीकरण को $\frac{1}{K}$ के रूप में व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{K} = \left( \frac{2m}{h^2} \right) \lambda^2$.
यह समीकरण $y = cx^2$ के रूप में है,जहाँ $y = \frac{1}{K}$,$x = \lambda$,और $c = \frac{2m}{h^2}$ एक स्थिरांक है।
यह ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाला ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय दर्शाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\lambda^2 = \frac{h^2}{2mK}$.
इस समीकरण को $\frac{1}{K}$ के रूप में व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{K} = \left( \frac{2m}{h^2} \right) \lambda^2$.
यह समीकरण $y = cx^2$ के रूप में है,जहाँ $y = \frac{1}{K}$,$x = \lambda$,और $c = \frac{2m}{h^2}$ एक स्थिरांक है।
यह ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाला ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय दर्शाता है।
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MediumMCQ
$m$ द्रव्यमान वाला एक इलेक्ट्रॉन जिसका प्रारंभिक वेग $(t=0)$ $\vec{v} = v_0 \hat{i}$ $(v_0 > 0)$ है,एक चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = B_0 \hat{j}$ में प्रवेश करता है। यदि $t=0$ पर प्रारंभिक डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ है,तो $t$ समय के बाद इसका मान क्या होगा?
A
$\frac{\lambda_0}{\sqrt{1-\frac{e^2 B_0^2 t^2}{m^2}}}$
B
$\frac{\lambda_0}{\sqrt{1+\frac{e^2 B_0^2 t^2}{m^2}}}$
C
$\lambda_0 \sqrt{1+\frac{e^2 B_0^2 t^2}{m^2}}$
D
$\lambda_0$
Solution
(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ हमेशा वेग $\vec{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र इलेक्ट्रॉन पर कोई कार्य नहीं करता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ स्थिर है,इसलिए इलेक्ट्रॉन की चाल $v$ स्थिर रहती है।
जैसे ही चाल $v$ स्थिर रहती है,संवेग $p = mv$ भी स्थिर रहता है।
इसलिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ समय के साथ स्थिर रहती है।
अतः,$t$ समय पर तरंगदैर्ध्य प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ के बराबर होगी।
चूंकि चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ हमेशा वेग $\vec{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र इलेक्ट्रॉन पर कोई कार्य नहीं करता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ स्थिर है,इसलिए इलेक्ट्रॉन की चाल $v$ स्थिर रहती है।
जैसे ही चाल $v$ स्थिर रहती है,संवेग $p = mv$ भी स्थिर रहता है।
इसलिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ समय के साथ स्थिर रहती है।
अतः,$t$ समय पर तरंगदैर्ध्य प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ के बराबर होगी।
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DifficultMCQ
एक इलेक्ट्रॉन को $-\sigma$ समान आवेश घनत्व वाली एक अनंत अचालक शीट के पास विरामावस्था से छोड़ा जाता है। इलेक्ट्रॉन से जुड़ी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के परिवर्तन की दर समय की $n^{\text{th}}$ घात के व्युत्क्रमानुपाती है। $n$ का संख्यात्मक मान . . . . . . है।
A
$2$
B
$3$
C
$7$
D
$9$
Solution
(A) अनंत अचालक शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ होता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन को विरामावस्था से छोड़ा गया है,उस पर लगने वाला बल $F = eE = \frac{e\sigma}{2\varepsilon_0}$ है।
इलेक्ट्रॉन का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{e\sigma}{2m\varepsilon_0}$ है,जो कि नियत है।
समय $t$ पर इलेक्ट्रॉन का वेग $v = at = \left(\frac{e\sigma}{2m\varepsilon_0}\right)t$ है।
इलेक्ट्रॉन का संवेग $p = mv = m(at) = \left(\frac{e\sigma}{2\varepsilon_0}\right)t$ है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{(e\sigma / 2\varepsilon_0)t}$ है।
तरंगदैर्ध्य के परिवर्तन की दर $\frac{d\lambda}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ \frac{2h\varepsilon_0}{e\sigma t} \right] = -\frac{2h\varepsilon_0}{e\sigma} \cdot \frac{1}{t^2}$ है।
अतः,तरंगदैर्ध्य के परिवर्तन की दर का परिमाण $t^2$ के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए $n = 2$।
चूंकि इलेक्ट्रॉन को विरामावस्था से छोड़ा गया है,उस पर लगने वाला बल $F = eE = \frac{e\sigma}{2\varepsilon_0}$ है।
इलेक्ट्रॉन का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{e\sigma}{2m\varepsilon_0}$ है,जो कि नियत है।
समय $t$ पर इलेक्ट्रॉन का वेग $v = at = \left(\frac{e\sigma}{2m\varepsilon_0}\right)t$ है।
इलेक्ट्रॉन का संवेग $p = mv = m(at) = \left(\frac{e\sigma}{2\varepsilon_0}\right)t$ है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{(e\sigma / 2\varepsilon_0)t}$ है।
तरंगदैर्ध्य के परिवर्तन की दर $\frac{d\lambda}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ \frac{2h\varepsilon_0}{e\sigma t} \right] = -\frac{2h\varepsilon_0}{e\sigma} \cdot \frac{1}{t^2}$ है।
अतः,तरंगदैर्ध्य के परिवर्तन की दर का परिमाण $t^2$ के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए $n = 2$।
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MediumMCQ
एक फोटॉन और एक इलेक्ट्रॉन (द्रव्यमान $m$) की ऊर्जा $E$ समान है। उनकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\left(\frac{\lambda_{\text{photon}}}{\lambda_{\text{electron}}}\right)$ क्या है? ($c$ प्रकाश की गति है)
A
$\sqrt{E / 2m}$
B
$c \sqrt{2mE}$
C
$c \sqrt{\frac{2m}{E}}$
D
$\frac{1}{c} \sqrt{E / 2m}$
Solution
(C) फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda_{\text{photon}}}$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $\lambda_{\text{photon}} = \frac{hc}{E}$ है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\text{electron}} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों तरंगदैर्ध्य का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_{\text{photon}}}{\lambda_{\text{electron}}} = \frac{hc/E}{h/\sqrt{2mE}} = \frac{hc}{E} \times \frac{\sqrt{2mE}}{h} = c \frac{\sqrt{2mE}}{E} = c \sqrt{\frac{2mE}{E^2}} = c \sqrt{\frac{2m}{E}}$।
इलेक्ट्रॉन के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\text{electron}} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों तरंगदैर्ध्य का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_{\text{photon}}}{\lambda_{\text{electron}}} = \frac{hc/E}{h/\sqrt{2mE}} = \frac{hc}{E} \times \frac{\sqrt{2mE}}{h} = c \frac{\sqrt{2mE}}{E} = c \sqrt{\frac{2mE}{E^2}} = c \sqrt{\frac{2m}{E}}$।
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MediumMCQ
$m_0$ विराम द्रव्यमान वाला एक भौतिक कण प्रकाश के वेग $C$ से गति कर रहा है। तो इससे संबद्ध डी$-$ब्रोग्ली तरंग की तरंगदैर्ध्य क्या होगी?
A
$\frac{h}{m_0 C}$
B
शून्य
C
$\infty$
D
$\frac{m_0 C}{h}$
Solution
(B) $v$ वेग से गति कर रहे कण का आपेक्षिक द्रव्यमान $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{C^2}}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण प्रकाश के वेग से गति कर रहा है,इसलिए $v = C$ है।
इस मान को द्रव्यमान के सूत्र में रखने पर: $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{C^2}{C^2}}} = \frac{m_0}{\sqrt{1 - 1}} = \frac{m_0}{0} = \infty$.
डी$-$ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
मान रखने पर,$\lambda = \frac{h}{\infty \cdot C} = 0$.
अतः,कण से संबद्ध डी$-$ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $0$ है।
चूंकि कण प्रकाश के वेग से गति कर रहा है,इसलिए $v = C$ है।
इस मान को द्रव्यमान के सूत्र में रखने पर: $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{C^2}{C^2}}} = \frac{m_0}{\sqrt{1 - 1}} = \frac{m_0}{0} = \infty$.
डी$-$ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
मान रखने पर,$\lambda = \frac{h}{\infty \cdot C} = 0$.
अतः,कण से संबद्ध डी$-$ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $0$ है।
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View Solution295
MediumMCQ
एक प्रोटॉन को $100 \ V$ के विभवांतर द्वारा त्वरित किया जाता है। समान डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य प्राप्त करने के लिए,द्वि-आयनित $_4^8 Be$ नाभिक पर कितना विभवांतर लागू किया जाना चाहिए ($V$ में)?
A
$1.25$
B
$12.5$
C
$0.625$
D
$6.25$
Solution
(D) विभवांतर $V$ द्वारा त्वरित कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रोटॉन के लिए,$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V_p}}$.
द्वि-आयनित $^8_4 Be$ नाभिक के लिए,द्रव्यमान $m_{Be} = 8m_p$ और आवेश $q_{Be} = 2q_p$ है। अतः,$\lambda_{Be} = \frac{h}{\sqrt{2(8m_p)(2q_p)V_{Be}}}$.
चूंकि $\lambda_p = \lambda_{Be}$ दिया गया है,हम हर (denominators) की तुलना करते हैं:
$2m_p q_p V_p = 2(8m_p)(2q_p)V_{Be}$.
$m_p q_p V_p = 16 m_p q_p V_{Be}$.
$V_p = 16 V_{Be}$.
$V_p = 100 \ V$ दिया गया है,इसलिए $100 = 16 V_{Be}$.
$V_{Be} = \frac{100}{16} = 6.25 \ V$.
प्रोटॉन के लिए,$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V_p}}$.
द्वि-आयनित $^8_4 Be$ नाभिक के लिए,द्रव्यमान $m_{Be} = 8m_p$ और आवेश $q_{Be} = 2q_p$ है। अतः,$\lambda_{Be} = \frac{h}{\sqrt{2(8m_p)(2q_p)V_{Be}}}$.
चूंकि $\lambda_p = \lambda_{Be}$ दिया गया है,हम हर (denominators) की तुलना करते हैं:
$2m_p q_p V_p = 2(8m_p)(2q_p)V_{Be}$.
$m_p q_p V_p = 16 m_p q_p V_{Be}$.
$V_p = 16 V_{Be}$.
$V_p = 100 \ V$ दिया गया है,इसलिए $100 = 16 V_{Be}$.
$V_{Be} = \frac{100}{16} = 6.25 \ V$.
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DifficultMCQ
एक प्रोटॉन और एक $\alpha-$कण को $100 \ V$ के विभवांतर द्वारा त्वरित किया जाता है। प्रोटॉन से संबद्ध तरंगदैर्घ्य और $\alpha-$कण से संबद्ध तरंगदैर्घ्य का अनुपात क्या है?
A
$\sqrt{2}: 1$
B
$2: 1$
C
$2 \sqrt{2}: 1$
D
$\frac{1}{2 \sqrt{2}}: 1$
Solution
(C) विभवांतर $V$ द्वारा त्वरित आवेशित कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mQV}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $h$ और $V$ दोनों कणों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{mQ}}$ होगा।
प्रोटॉन के लिए,$m_p = m$ और $Q_p = e$ है। $\alpha-$कण के लिए,$m_\alpha = 4m$ और $Q_\alpha = 2e$ है।
तरंगदैर्घ्य का अनुपात $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{m_\alpha Q_\alpha}{m_p Q_p}}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{4m \times 2e}{m \times e}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$।
अतः,अनुपात $2\sqrt{2} : 1$ है।
चूंकि $h$ और $V$ दोनों कणों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{mQ}}$ होगा।
प्रोटॉन के लिए,$m_p = m$ और $Q_p = e$ है। $\alpha-$कण के लिए,$m_\alpha = 4m$ और $Q_\alpha = 2e$ है।
तरंगदैर्घ्य का अनुपात $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{m_\alpha Q_\alpha}{m_p Q_p}}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{4m \times 2e}{m \times e}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$।
अतः,अनुपात $2\sqrt{2} : 1$ है।
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DifficultMCQ
एक इलेक्ट्रॉन को $10,000 \ V$ के विभवांतर द्वारा त्वरित किया जाता है। इसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य लगभग है: $(m_{e} = 9 \times 10^{-31} \ kg)$
A
$12.2 \times 10^{-13} \ m$
B
$12.2 \times 10^{-12} \ m$
C
$12.2 \times 10^{-14} \ m$
D
$12.2 \ nm$
Solution
(B) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \mathring{A}$.
यहाँ $V = 10,000 \ V$ दिया गया है,इसलिए $\sqrt{V} = \sqrt{10,000} = 100$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{12.27}{100} \ \mathring{A} = 0.1227 \ \mathring{A}$.
चूंकि $1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ m$,इसलिए $\lambda = 0.1227 \times 10^{-10} \ m = 1.227 \times 10^{-11} \ m$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $12.2 \times 10^{-12} \ m$ प्राप्त होता है।
यहाँ $V = 10,000 \ V$ दिया गया है,इसलिए $\sqrt{V} = \sqrt{10,000} = 100$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{12.27}{100} \ \mathring{A} = 0.1227 \ \mathring{A}$.
चूंकि $1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ m$,इसलिए $\lambda = 0.1227 \times 10^{-10} \ m = 1.227 \times 10^{-11} \ m$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $12.2 \times 10^{-12} \ m$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
$200 \ eV$ की गतिज ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य की गणना करें। [इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $= 1 \times 10^{-30} \ kg$,इलेक्ट्रॉन पर आवेश $= 1.6 \times 10^{-19} \ C$,प्लांक नियतांक $(h) = 6.6 \times 10^{-34} \ Js$].
A
$9.60 \times 10^{-11} \ m$
B
$8.25 \times 10^{-11} \ m$
C
$6.25 \times 10^{-11} \ m$
D
$5.00 \times 10^{-11} \ m$
Solution
(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है।
दिया गया है:
गतिज ऊर्जा $K = 200 \ eV = 200 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 3.2 \times 10^{-17} \ J$.
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m = 1 \times 10^{-30} \ kg$.
प्लांक नियतांक $h = 6.6 \times 10^{-34} \ Js$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times (1 \times 10^{-30}) \times (3.2 \times 10^{-17})}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{6.4 \times 10^{-47}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{64 \times 10^{-48}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{8 \times 10^{-24}}$
$\lambda = 0.825 \times 10^{-10} \ m = 8.25 \times 10^{-11} \ m$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।
दिया गया है:
गतिज ऊर्जा $K = 200 \ eV = 200 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 3.2 \times 10^{-17} \ J$.
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m = 1 \times 10^{-30} \ kg$.
प्लांक नियतांक $h = 6.6 \times 10^{-34} \ Js$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times (1 \times 10^{-30}) \times (3.2 \times 10^{-17})}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{6.4 \times 10^{-47}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{64 \times 10^{-48}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{8 \times 10^{-24}}$
$\lambda = 0.825 \times 10^{-10} \ m = 8.25 \times 10^{-11} \ m$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।
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EasyMCQ
इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप में उपयोग किए जाने वाले इलेक्ट्रॉनों को $25 \ kV$ के वोल्टेज द्वारा त्वरित किया जाता है। यदि वोल्टेज को बढ़ाकर $100 \ kV$ कर दिया जाए,तो इलेक्ट्रॉनों से जुड़ी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य कितनी हो जाएगी?
A
$2$ गुना हो जाएगी
B
$\frac{1}{2}$ गुना हो जाएगी
C
$4$ गुना हो जाएगी
D
$\frac{1}{4}$ गुना हो जाएगी
Solution
(B) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \mathring{A}$।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$ है।
यहाँ प्रारंभिक वोल्टेज $V_1 = 25 \ kV$ और अंतिम वोल्टेज $V_2 = 100 \ kV$ है।
मान लीजिए $\lambda_1$ प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य है और $\lambda_2$ अंतिम तरंगदैर्ध्य है।
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \sqrt{\frac{25}{100}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
अतः,नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{1}{2} \lambda_1$ होगी।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$ है।
यहाँ प्रारंभिक वोल्टेज $V_1 = 25 \ kV$ और अंतिम वोल्टेज $V_2 = 100 \ kV$ है।
मान लीजिए $\lambda_1$ प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य है और $\lambda_2$ अंतिम तरंगदैर्ध्य है।
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \sqrt{\frac{25}{100}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
अतः,नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{1}{2} \lambda_1$ होगी।
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DifficultMCQ
$27^{\circ} C$ पर एक न्यूट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ है। $927^{\circ} C$ पर इसकी तरंगदैर्ध्य क्या होगी?
A
$\lambda / 2$
B
$\lambda / 3$
C
$\lambda / 4$
D
$\lambda / 9$
Solution
(A) $T$ तापमान पर $m$ द्रव्यमान वाले कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $h$,$m$ और $k$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$ है।
दिया गया है कि $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ और $T_2 = 927^{\circ} C = 927 + 273 = 1200 \ K$ है।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$,हमें प्राप्त होता है $\frac{\lambda_2}{\lambda} = \sqrt{\frac{300}{1200}}$.
$\frac{\lambda_2}{\lambda} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{2}$.
चूंकि $h$,$m$ और $k$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$ है।
दिया गया है कि $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ और $T_2 = 927^{\circ} C = 927 + 273 = 1200 \ K$ है।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$,हमें प्राप्त होता है $\frac{\lambda_2}{\lambda} = \sqrt{\frac{300}{1200}}$.
$\frac{\lambda_2}{\lambda} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{2}$.
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View SolutionDual Nature of Radiation and matter — Matter Waves and de Broglie Wavelength · Frequently Asked Questions
1Are these Dual Nature of Radiation and matter questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
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