Matter Waves and de Broglie Wavelength Questions in Hindi

(N/A) फोटॉन और इलेक्ट्रॉन दोनों के लिए संवेग $p$,डी-ब्रोग्ली संबंध द्वारा दिया जाता है: $p = h / \lambda$।
दिया गया है $\lambda = 1.00 \; nm = 1.00 \times 10^{-9} \; m$ और $h = 6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s$।
$p = (6.63 \times 10^{-34}) / (1.00 \times 10^{-9}) = 6.63 \times 10^{-25} \; kg \cdot m/s$।
$(b)$ फोटॉन की ऊर्जा $E = hc / \lambda$ द्वारा दी जाती है।
$E = (6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s \times 3.00 \times 10^8 \; m/s) / (1.00 \times 10^{-9} \; m) = 1.989 \times 10^{-16} \; J$।
$eV$ में परिवर्तित करने पर: $E = (1.989 \times 10^{-16} \; J) / (1.602 \times 10^{-19} \; J/eV) \approx 1.24 \; keV$।
$(c)$ इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K$,$K = p^2 / (2m_e)$ द्वारा दी जाती है।
$p = 6.63 \times 10^{-25} \; kg \cdot m/s$ और $m_e = 9.11 \times 10^{-31} \; kg$ का उपयोग करने पर:
$K = (6.63 \times 10^{-25})^2 / (2 \times 9.11 \times 10^{-31}) = 4.39569 \times 10^{-49} / 1.822 \times 10^{-30} \approx 2.41 \times 10^{-19} \; J$।
$eV$ में परिवर्तित करने पर: $K = (2.41 \times 10^{-19} \; J) / (1.602 \times 10^{-19} \; J/eV) \approx 1.51 \; eV$।

(N/A) दिया गया है: $\lambda = 1.40 \times 10^{-10} \; m$,$m = 1.675 \times 10^{-27} \; kg$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \; J \cdot s$.
$(a)$ गतिज ऊर्जा $K$ और डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ है।
मान रखने पर: $K = \frac{(6.626 \times 10^{-34})^2}{2 \times 1.675 \times 10^{-27} \times (1.40 \times 10^{-10})^2} \approx 6.68 \times 10^{-21} \; J$.
$(b)$ औसत गतिज ऊर्जा $K = \frac{3}{2} kT$ है।
यहाँ $T = 300 \; K$ और $k = 1.381 \times 10^{-23} \; J/K$ लेने पर,$K = 1.5 \times 1.381 \times 10^{-23} \times 300 = 6.2145 \times 10^{-21} \; J$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है।
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.675 \times 10^{-27} \times 6.2145 \times 10^{-21}}} \approx 1.45 \times 10^{-10} \; m$ या $0.145 \; nm$.

(B) नाइट्रोजन अणु $(N_2)$ का द्रव्यमान $m = 2 \times 14.0076 \;u = 28.0152 \times 1.661 \times 10^{-27} \;kg \approx 4.653 \times 10^{-26} \;kg$ है।
वर्ग-माध्य-मूल गति $(v_{rms})$ $\sqrt{\frac{3kT}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv_{rms}} = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ है।
मान रखने पर: $h = 6.626 \times 10^{-34} \;J \cdot s$, $k = 1.381 \times 10^{-23} \;J/K$, $T = 300 \;K$, और $m = 4.653 \times 10^{-26} \;kg$.
गणना करने पर $\lambda \approx 0.0276 \;nm$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार, $0.038 \;nm$ सही उत्तर है।

(B) समान तरंगदैर्ध्य के लिए $X-$रे प्रोब की ऊर्जा इलेक्ट्रॉन प्रोब की तुलना में अधिक होती है।
प्रोब की तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 1\,\mathring{A} = 10^{-10}\,m$
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान,$m_{e} = 9.11 \times 10^{-31}\,kg$
प्लांक नियतांक,$h = 6.63 \times 10^{-34}\,Js$
इलेक्ट्रॉन पर आवेश,$e = 1.6 \times 10^{-19}\,C$
प्रकाश की गति,$c = 3 \times 10^{8}\,m/s$
$1$. इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $(E_{e})$:
डी-ब्रोग्ली संबंध का उपयोग करते हुए,$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m_{e}E_{e}}}$,हमें $E_{e} = \frac{h^{2}}{2m_{e}\lambda^{2}}$ प्राप्त होता है।
$E_{e} = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^{2}}{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times (10^{-10})^{2}} \approx 2.41 \times 10^{-17}\,J$.
$eV$ में बदलने पर: $E_{e} = \frac{2.41 \times 10^{-17}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 150.6\,eV$.
$2$. $X-$रे फोटॉन की ऊर्जा $(E_{ph})$:
$E_{ph} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{10^{-10}} = 1.989 \times 10^{-15}\,J$.
$eV$ में बदलने पर: $E_{ph} = \frac{1.989 \times 10^{-15}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 12431\,eV \approx 12.43\,keV$.
दोनों की तुलना करने पर,$E_{ph} > E_{e}$। अतः,$X-$रे प्रोब की ऊर्जा काफी अधिक है।

(N/A) गतिज ऊर्जा $K = 150 \; eV = 150 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J = 2.4 \times 10^{-17} \; J$.
न्यूट्रॉन का द्रव्यमान $m_{n} = 1.675 \times 10^{-27} \; kg$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m_{n} K}}$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.675 \times 10^{-27} \times 2.4 \times 10^{-17}}} \approx 2.33 \times 10^{-12} \; m$.
चूंकि क्रिस्टल में अंतर-परमाणु दूरी $\approx 10^{-10} \; m$ होती है,और तरंगदैर्ध्य $2.33 \times 10^{-12} \; m$ इससे बहुत छोटी है,इसलिए न्यूट्रॉन बीम विवर्तन के लिए उपयुक्त नहीं है।
$(b)$ $T = 300 \; K$ तापमान पर,औसत गतिज ऊर्जा $K = \frac{3}{2} k_{B} T$.
$K = \frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300 = 6.21 \times 10^{-21} \; J$.
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m_{n} K}} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.675 \times 10^{-27} \times 6.21 \times 10^{-21}}} \approx 1.45 \times 10^{-10} \; m$.
यह तरंगदैर्ध्य क्रिस्टल की अंतर-परमाणु दूरी $(\approx 10^{-10} \; m)$ के तुलनीय है,जिससे तापीय न्यूट्रॉन विवर्तन प्रयोगों के लिए उपयुक्त हो जाते हैं।

(N/A) इलेक्ट्रॉन $V = 50\; kV = 50 \times 10^{3}\; V$ के वोल्टेज द्वारा त्वरित होते हैं।
इलेक्ट्रॉन पर आवेश,$e = 1.6 \times 10^{-19}\; C$.
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान,$m_{e} = 9.11 \times 10^{-31}\; kg$.
पीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda_{yellow} \approx 5.9 \times 10^{-7}\; m$.
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E = eV = 1.6 \times 10^{-19} \times 50 \times 10^{3} = 8 \times 10^{-15}\; J$ है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m_{e} E}}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 8 \times 10^{-15}}} \approx 5.467 \times 10^{-12}\; m$.
यह तरंगदैर्ध्य पीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य से लगभग $10^{5}$ गुना कम है।
चूंकि सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है,इसलिए इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता ऑप्टिकल सूक्ष्मदर्शी की तुलना में लगभग $10^{5}$ गुना अधिक है।

(C) प्रोब की तरंगदैर्घ्य डी-ब्रोग्ली संबंध $\lambda = h/p$ द्वारा दी जाती है। $\lambda \approx 10^{-15} \;m$ आकार की संरचना के लिए,संवेग $p = h/\lambda = (6.63 \times 10^{-34} \;J \cdot s) / (10^{-15} \;m) = 6.63 \times 10^{-19} \;kg \cdot m/s$ है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा बहुत अधिक है,हम सापेक्षिक ऊर्जा-संवेग संबंध $E^2 = p^2c^2 + m_0^2c^4$ का उपयोग करते हैं। यहाँ $pc \approx (6.63 \times 10^{-19} \;kg \cdot m/s) \times (3 \times 10^8 \;m/s) \approx 1.99 \times 10^{-10} \;J$ है,जो विराम द्रव्यमान ऊर्जा $m_0c^2 = 0.511 \;MeV \approx 8.19 \times 10^{-14} \;J$ से बहुत अधिक है,इसलिए हम $E \approx pc$ मान सकते हैं।
अतः,$E \approx 1.99 \times 10^{-10} \;J$.
इसे इलेक्ट्रॉन-वोल्ट में बदलने पर: $E = (1.99 \times 10^{-10} \;J) / (1.6 \times 10^{-19} \;J/eV) \approx 1.24 \times 10^9 \;eV = 1.24 \;GeV$.
इसलिए,इन इलेक्ट्रॉन बीम की ऊर्जा का क्रम लगभग $1 \;GeV$ है।

(N/A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ है।
दिया गया है: $T = 27^{\circ}C = 300 \; K$,$P = 1.01 \times 10^5 \; Pa$,$m = \frac{4 \times 10^{-3} \; kg/mol}{6.023 \times 10^{23} \; mol^{-1}} \approx 6.64 \times 10^{-27} \; kg$.
$h = 6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s$ और $k = 1.38 \times 10^{-23} \; J/K$ का उपयोग करने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{3 \times 6.64 \times 10^{-27} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300}} \approx 0.73 \times 10^{-10} \; m$.
परमाणुओं के बीच औसत पृथक्करण $r = (V/N)^{1/3} = (kT/P)^{1/3}$ द्वारा दिया जाता है।
$r = \left( \frac{1.38 \times 10^{-23} \times 300}{1.01 \times 10^5} \right)^{1/3} \approx 3.4 \times 10^{-9} \; m$.
दोनों की तुलना करने पर,औसत पृथक्करण $r$,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ से बहुत बड़ा है $(r \approx 46 \lambda)$।

(N/A) तापमान $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \; K$ है。
दो इलेक्ट्रॉनों के बीच औसत पृथक्करण $r = 2 \times 10^{-10} \; m$ है。
तापमान $T$ पर एक इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ है, जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है。
दिए गए स्थिरांक:
$h = 6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s$
$m = 9.11 \times 10^{-31} \; kg$
$k = 1.38 \times 10^{-23} \; J/K$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{3 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{11.30 \times 10^{-51}}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{3.36 \times 10^{-25}} \approx 1.97 \times 10^{-9} \; m$.
इसकी तुलना औसत पृथक्करण $r = 2 \times 10^{-10} \; m$ से करने पर, हम देखते हैं कि $\lambda \approx 19.7 \times 10^{-10} \; m$, जो इलेक्ट्रॉनों के बीच के औसत पृथक्करण से लगभग $10$ गुना अधिक है。

(N/A) इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी में दृश्य प्रकाश के स्थान पर इलेक्ट्रॉन पुंज (इलेक्ट्रॉन बीम) का उपयोग किया जाता है।
इलेक्ट्रॉन पुंज को ठीक से डिज़ाइन किए गए विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों का उपयोग करके केंद्रित किया जा सकता है,जो लेंस के रूप में कार्य करते हैं।
इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी का विभेदन (रिज़ॉल्यूशन) इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति द्वारा सीमित होता है। डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य दृश्य प्रकाश की तुलना में बहुत कम होती है,जो आमतौर पर $1 \; \mathring{A}$ से कम होती है।
इस अत्यंत कम तरंगदैर्ध्य के कारण,इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी लगभग $0.6 \; \mathring{A}$ का रिज़ॉल्यूशन प्राप्त कर सकते हैं।
इस उच्च रिज़ॉल्यूशन के कारण,इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी का उपयोग व्यक्तिगत परमाणुओं और अणुओं को देखने और उन्हें स्पष्ट रूप से पहचानने के लिए किया जाता है।

(N/A) स्कैनिंग टनलिंग माइक्रोस्कोप $(STM)$ नैनोटेक्नोलॉजी और सतह विज्ञान के अध्ययन के लिए विकसित एक शक्तिशाली उपकरण है।
यह क्वांटम टनलिंग के सिद्धांत पर काम करता है,जहाँ इलेक्ट्रॉन एक नुकीले धातु के सिरे और एक प्रवाहकीय सतह के बीच के संभावित अवरोध (potential barrier) से होकर गुजरते हैं।
चूंकि टनलिंग करंट सिरे और सतह के बीच की दूरी के प्रति अत्यधिक संवेदनशील होता है,इसलिए $STM$ $1 \; \mathring{A}$ से बेहतर स्थानिक रिज़ॉल्यूशन (spatial resolution) प्राप्त कर सकता है।
यह उच्च रिज़ॉल्यूशन वैज्ञानिकों को व्यक्तिगत परमाणुओं की छवि लेने और सतह पर उनकी स्थिति को मैप करने की अनुमति देता है,जिससे परमाणु के आकार का सीधा अनुमान लगाना संभव हो जाता है।

(N/A) $(1)$ बहुत छोटी दूरियों (जैसे अणु का आकार, $10^{-8} \,m$ से $10^{-10} \,m$) को मापने के लिए वर्नियर कैलिपर्स या स्क्रू गेज जैसे उपकरणों का उपयोग नहीं किया जा सकता है।
ऑप्टिकल माइक्रोस्कोप दृश्य प्रकाश का उपयोग करते हैं। दृश्य प्रकाश की तरंग दैर्ध्य $4000 \; \mathring{A}$ से $7000 \; \mathring{A}$ की कोटि की होती है (जहाँ $1 \; \mathring{A} = 10^{-10} \,m$)।
प्रकाश में तरंग प्रकृति होती है। इसलिए, दृश्य प्रकाश की तरंग दैर्ध्य के बराबर लंबाई को मापने (रिज़ॉल्व करने) के लिए ऑप्टिकल माइक्रोस्कोप का उपयोग किया जा सकता है।
हालाँकि, इसका उपयोग $10^{-7} \,m$ से $10^{-8} \,m$ से छोटे आयामों को मापने के लिए नहीं किया जा सकता है।
$(2)$ इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप में इलेक्ट्रॉनों से जुड़ी पदार्थ तरंगों (डी-ब्रोग्ली तरंगों) का उपयोग किया जाता है। इलेक्ट्रॉन की तरंग दैर्ध्य आमतौर पर $1 \; \mathring{A}$ से बहुत कम होती है, जो बहुत उच्च रिज़ॉल्यूशन प्रदान करती है।

(D) सूक्ष्मदर्शी के लिए विभेदन की सीमा $d = \frac{1.22 \lambda}{2 n \sin \beta}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि ऑब्जेक्टिव समान है,$n$ और $\beta$ स्थिर हैं,इसलिए $d \propto \lambda$ है।
अतः,न्यूनतम पृथक्करण का अनुपात $\frac{d_1}{d_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ होगा।
प्रकाश के लिए,$\lambda_1 = 5000 \times 10^{-10} \, m = 5 \times 10^{-7} \, m$ है।
$V = 100 \, V$ से त्वरित इलेक्ट्रॉनों के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ है।
$\lambda_2 \approx \frac{12.27}{\sqrt{V}} \, \mathring{A} = \frac{12.27}{\sqrt{100}} \, \mathring{A} = 1.227 \, \mathring{A} = 1.227 \times 10^{-10} \, m$ है।
अब,अनुपात $\frac{d_1}{d_2} = \frac{5000 \times 10^{-10}}{1.227 \times 10^{-10}} \approx 4075$ है।

(N/A) पदार्थ और विकिरण की द्वैत प्रकृति यह बताती है कि वे प्रयोगात्मक स्थितियों के आधार पर तरंग-जैसी और कण-जैसी दोनों विशेषताएं प्रदर्शित करते हैं।
$1$. तरंग प्रकृति: व्यतिकरण,विवर्तन और ध्रुवीकरण जैसी घटनाएं दर्शाती हैं कि प्रकाश और पदार्थ के कण (जैसे इलेक्ट्रॉन) तरंगों के रूप में व्यवहार करते हैं।
$2$. कण प्रकृति: प्रकाश-विद्युत प्रभाव,कॉम्पटन प्रभाव और कृष्णिका विकिरण जैसी घटनाएं दर्शाती हैं कि प्रकाश और पदार्थ ऊर्जा के छोटे पैकेटों के रूप में व्यवहार करते हैं जिन्हें क्वांटा या फोटॉन कहा जाता है।
$3$. डी ब्रोग्ली परिकल्पना: लुई डी ब्रोग्ली ने प्रस्तावित किया कि गतिमान पदार्थ के प्रत्येक कण के साथ एक तरंग जुड़ी होती है,जिसे पदार्थ तरंग कहा जाता है,जिसकी तरंगदैर्ध्य $\lambda = h/p$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ कण का संवेग है।
इस प्रकार,पदार्थ द्वैत प्रकृति प्रदर्शित करता है,जो ऊर्जा विनिमय के संदर्भ में कण के रूप में और प्रसार के संदर्भ में तरंग के रूप में व्यवहार करता है।

(N/A) यदि विकिरण में द्वैत (तरंग-कण) प्रकृति है,तो पदार्थ के कण तरंग जैसा व्यवहार क्यों नहीं प्रदर्शित कर सकते?
इसके आधार पर,वैज्ञानिक लुई विक्टर डी-ब्रोग्ली ने निम्नलिखित परिकल्पना प्रस्तुत की:
पदार्थ के गतिशील कणों को उपयुक्त परिस्थितियों में तरंग जैसे गुण प्रदर्शित करने चाहिए।
प्रकृति सममित है और दो मूल भौतिक इकाइयाँ - पदार्थ और ऊर्जा - का स्वभाव सममित होना चाहिए।
यदि विकिरण द्वैत प्रकृति दिखाता है,तो पदार्थ में भी द्वैत प्रकृति होनी चाहिए।
डी-ब्रोग्ली ने दिखाया कि यदि किसी कण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ है और संवेग $p$ है,तो:
$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$
जहाँ $m =$ कण का द्रव्यमान,$v =$ कण की गति,$h =$ प्लांक नियतांक है।
डी-ब्रोग्ली समीकरण से पदार्थ की द्वैत प्रकृति को आसानी से समझा जा सकता है।
समीकरण का बायां पक्ष तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को दर्शाता है,जबकि दायां पक्ष संवेग $p$ है जो कण से जुड़ा है।
यह समीकरण पदार्थ के कण के लिए परिकल्पना है। यह फोटॉन के लिए भी सत्य है:
फोटॉन के लिए,$E = pc = h\nu$। चूंकि $\nu = \frac{c}{\lambda}$,इसलिए $pc = \frac{hc}{\lambda}$,जिससे $p = \frac{h}{\lambda}$ या $\lambda = \frac{h}{p}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,फोटॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य विद्युत चुम्बकीय तरंग की तरंगदैर्ध्य से जुड़ी होती है। अतः,विकिरण का फोटॉन क्वांटम ऊर्जा और संवेग रखता है।

(N/A) डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,गतिमान सभी पदार्थ कणों में तरंग जैसे गुण होते हैं।
इस परिकल्पना के अनुसार,$m$ द्रव्यमान का एक कण जो $v$ वेग से गति कर रहा है,उससे जुड़ी एक तरंगदैर्ध्य $\lambda$ होती है,जिसे निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$
जहाँ:
$h$ प्लांक नियतांक है,
$p$ कण का रैखिक संवेग है,
$m$ कण का द्रव्यमान है,
$v$ कण का वेग है।
यह दर्शाता है कि पदार्थ की प्रकृति द्वैत होती है,जो कण और तरंग दोनों के रूप में व्यवहार करती है।

(N/A) किसी कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ उसके संवेग $(p)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
यह संबंध डी-ब्रोग्ली समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$\lambda = \frac{h}{p}$
जहाँ:
$\lambda$ डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य है,
$h$ प्लांक नियतांक $(6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s)$ है,
$p$ कण का संवेग है।

(N/A) डी ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,एक निश्चित संवेग $p$ वाले कण के साथ $λ = h/p$ तरंगदैर्ध्य की एक द्रव्य तरंग जुड़ी होती है।
गणितीय रूप से,इस तरंग को एक समतल तरंग फलन द्वारा दर्शाया जाता है: $\psi(x, t) = A e^{i(kx - \omega t)}$।
बोर की प्रायिकता व्याख्या के अनुसार,अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर कण के पाए जाने की प्रायिकता घनत्व $|\psi(x, t)|^2$ द्वारा दी जाती है।
एक समतल तरंग के लिए,$|\psi(x, t)|^2 = |A e^{i(kx - \omega t)}|^2 = |A|^2$।
चूंकि $|A|^2$ एक स्थिर मान है जो स्थिति $x$ से स्वतंत्र है,इसलिए कण के पाए जाने की प्रायिकता पूरे स्थान में समान रहती है।
इसका तात्पर्य यह है कि पूरी तरह से परिभाषित संवेग (और इस प्रकार एक एकल तरंगदैर्ध्य) वाला कण पूरी तरह से विस्थानीकृत (delocalized) होता है,जिसका अर्थ है कि वह पूरे स्थान में फैला हुआ है।

(B) वेव पैकेट तरंग क्रिया का एक छोटा 'बर्स्ट' या 'एनवेलप' है जो एक इकाई के रूप में यात्रा करता है।
क्वांटम यांत्रिकी में,एक एकल डी-ब्रोग्ली तरंग (मोनोक्रोमैटिक तरंग) अंतरिक्ष में अनंत तक फैली होती है,जिससे कण को स्थानीयकृत करना असंभव हो जाता है।
अंतरिक्ष में एक स्थानीय कण का प्रतिनिधित्व करने के लिए,हम थोड़ी अलग तरंग दैर्ध्य और आवृत्तियों वाली तरंगों के एक समूह का अध्यारोपण करते हैं।
यह अध्यारोपण अंतरिक्ष के एक छोटे से क्षेत्र में संपोषी व्यतिकरण और अन्य जगहों पर विनाशी व्यतिकरण का परिणाम देता है,जिससे तरंगों का एक स्थानीय 'पैकेट' बनता है।
इस प्रकार,एक वेव पैकेट किसी विशिष्ट स्थान पर कण को खोजने के प्रायिकता वितरण का प्रतिनिधित्व करता है।

(A) डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,पदार्थ के प्रत्येक गतिशील कण के साथ एक तरंग जुड़ी होती है।
इस तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda$,कण के संवेग $p$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
यह संबंध $\lambda = \frac{h}{p}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है।
चूँकि $p = mv$ (जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ वेग है),इसलिए इस सूत्र को $\lambda = \frac{h}{mv}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(A) $V$ वोल्ट के विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = eV = \frac{p^2}{2m}$ है, इसलिए $p = \sqrt{2meV}$ प्राप्त होता है।
इस मान को डी-ब्रोग्ली समीकरण में रखने पर: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$।
प्लांक नियतांक $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}$, इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}$, और इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}$ के मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.602 \times 10^{-19} \times V}}$।
स्थिरांक की गणना करने पर, हमें $\lambda \approx \frac{12.27 \times 10^{-10}}{\sqrt{V}} \text{ m}$ प्राप्त होता है।
एंग्स्ट्रॉम में बदलने पर $(1 \text{ Å} = 10^{-10} \text{ m})$, हमें $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \text{ Å}$ प्राप्त होता है।

(B) इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी इलेक्ट्रॉनों की तरंग प्रकृति के सिद्धांत पर कार्य करता है। डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,गतिमान इलेक्ट्रॉनों के साथ एक तरंग जुड़ी होती है,जिसे द्रव्य तरंग (matter wave) कहा जाता है। इन इलेक्ट्रॉनों की तरंगदैर्ध्य $\lambda = h/p$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ इलेक्ट्रॉन का संवेग है। चूंकि इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य दृश्य प्रकाश की तुलना में बहुत छोटी होती है,इसलिए इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी ऑप्टिकल सूक्ष्मदर्शी की तुलना में बहुत अधिक रिज़ॉल्यूशन प्राप्त कर सकते हैं।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}} = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ है।
चूंकि विभवांतर $V$ और प्लांक नियतांक $h$ दोनों कणों के लिए समान हैं,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{mq}}$ होगा।
प्रोटॉन के लिए,$q_p = e$ और $m_p = m_p$ है।
$\alpha$-कण के लिए,$q_{\alpha} = 2e$ और $m_{\alpha} = 4m_p$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}} = \sqrt{\frac{(4m_p)(2e)}{(m_p)(e)}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
अतः,$\lambda_p = 2\sqrt{2} \lambda_{\alpha}$।

(D) माना कण का द्रव्यमान $m$ है और इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m_e = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$ है।
माना इलेक्ट्रॉन की गति $v_e = V$ है।
अतः,कण की गति $v_p = 5V$ होगी।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
कण के लिए: $\lambda_p = \frac{h}{m(5V)}$.
इलेक्ट्रॉन के लिए: $\lambda_e = \frac{h}{m_e V}$.
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \frac{h}{5mV} \times \frac{m_e V}{h} = \frac{m_e}{5m}$ है।
दिया गया है कि $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = 1.878 \times 10^{-4}$,इसलिए $\frac{m_e}{5m} = 1.878 \times 10^{-4}$।
$m$ के लिए हल करने पर: $m = \frac{m_e}{5 \times 1.878 \times 10^{-4}} = \frac{9.1 \times 10^{-31}}{9.39 \times 10^{-4}} \approx 9.7 \times 10^{-28} \ kg$।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{m}{2} v_{0} + \frac{m}{3} (0) = \frac{m}{2} v_{A} + \frac{m}{3} v_{B}$
$\frac{v_{0}}{2} = \frac{v_{A}}{2} + \frac{v_{B}}{3} \Rightarrow v_{0} = v_{A} + \frac{2}{3} v_{B} \Rightarrow 3v_{0} = 3v_{A} + 2v_{B} \quad ....(1)$
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है $(e = 1)$:
$e = 1 = \frac{v_{B} - v_{A}}{v_{0}} \Rightarrow v_{0} = v_{B} - v_{A} \quad ....(2)$
समीकरण $(2)$ से,$v_{B} = v_{0} + v_{A}$। इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3v_{0} = 3v_{A} + 2(v_{0} + v_{A})$
$3v_{0} = 3v_{A} + 2v_{0} + 2v_{A}$
$v_{0} = 5v_{A} \Rightarrow v_{A} = \frac{v_{0}}{5}$
कण $A$ की प्रारंभिक डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य:
$\lambda_{0} = \frac{h}{m_{A} v_{0}} = \frac{h}{(\frac{m}{2}) v_{0}} = \frac{2h}{mv_{0}}$
कण $A$ की अंतिम डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य:
$\lambda_{f} = \frac{h}{m_{A} v_{A}} = \frac{h}{(\frac{m}{2}) (\frac{v_{0}}{5})} = \frac{10h}{mv_{0}}$
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन:
$\Delta \lambda = \lambda_{f} - \lambda_{0} = \frac{10h}{mv_{0}} - \frac{2h}{mv_{0}} = \frac{8h}{mv_{0}}$
चूंकि $\lambda_{0} = \frac{2h}{mv_{0}}$,इसलिए $\Delta \lambda = 4 \times (\frac{2h}{mv_{0}}) = 4 \lambda_{0}$.

(C) विवर्तन के लिए ब्रैग के नियम के अनुसार, $2d \sin \theta = n\lambda$। प्रथम अधिकतम के लिए, $n = 1$, अतः $2d \sin \theta = \lambda$।
दिया है $d = 1 \, Å = 10^{-10} \, m$ और $\theta = 60^{\circ}$।
अतः, $\lambda = 2 \times 10^{-10} \times \sin(60^{\circ}) = 2 \times 10^{-10} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \times 10^{-10} \, m$।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सूत्र का उपयोग करते हुए, $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$, हमारे पास $\sqrt{2mE} = \frac{h}{\lambda}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $2mE = \frac{h^2}{\lambda^2}$, इसलिए $E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$।
मान रखने पर: $E = \frac{(6.64 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (\sqrt{3} \times 10^{-10})^2} = \frac{44.0896 \times 10^{-68}}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^{-20}} = \frac{44.0896 \times 10^{-68}}{54.6 \times 10^{-51}} \approx 0.8075 \times 10^{-17} \, J$।
$eV$ में बदलने के लिए, $1.6 \times 10^{-19} \, J/eV$ से विभाजित करें:
$E = \frac{0.8075 \times 10^{-17}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 50.47 \, eV$।
निकटतम पूर्णांक में, $E \approx 50 \, eV$।

(B) गैस के अणु का $r.m.s.$ वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$ द्वारा दिया जाता है।
डी$-$ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
$v$ के स्थान पर $v_{rms}$ रखने पर, हमें $\lambda = \frac{h}{m \sqrt{\frac{3kT}{m}}} = \frac{h}{\sqrt{3kTm}}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$, $k = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$, $T = 400 \ K$, और $m = 4.64 \times 10^{-26} \ kg$.
हर (denominator) की गणना करने पर: $\sqrt{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 400 \times 4.64 \times 10^{-26}} = \sqrt{7.68768 \times 10^{-45}} \approx 2.77 \times 10^{-22} \ kg \cdot m/s$.
अब, $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2.77 \times 10^{-22}} \approx 2.39 \times 10^{-11} \ m$.
एंगस्ट्रॉम में बदलने पर: $2.39 \times 10^{-11} \ m = 0.239 \ \mathring{A} \approx 0.24 \ \mathring{A}$.

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m(KE)}}$।
चूंकि गतिज ऊर्जा $(KE)$ और प्लांक नियतांक $(h)$ सभी कणों के लिए समान हैं,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ होता है।
कणों के द्रव्यमान की तुलना करने पर: $m_{He^{++}} > m_{P} > m_{e}$।
चूंकि $\lambda$ द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए सबसे कम द्रव्यमान वाले कण की तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक होगी।
अतः,सही संबंध है: $\lambda_{e} > \lambda_{P} > \lambda_{He^{++}}$।

(A) $V$ वोल्ट के विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \, \mathring{A}$।
दिया गया है कि $\lambda = 1.227 \times 10^{-2} \, nm$ है।
चूंकि $1 \, nm = 10 \, \mathring{A}$ होता है,इसलिए $\lambda = 1.227 \times 10^{-2} \times 10 \, \mathring{A} = 0.1227 \, \mathring{A}$ होगा।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $0.1227 = \frac{12.27}{\sqrt{V}}$।
$\sqrt{V}$ के लिए हल करने पर: $\sqrt{V} = \frac{12.27}{0.1227} = 100 = 10^{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $V = (10^{2})^{2} = 10^{4} \, V$।

(B) इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{K}} \; \mathring{A}$,जहाँ $K$ $eV$ में गतिज ऊर्जा है।
दिया गया है $K = 144 \; eV$।
सूत्र में $K$ का मान रखने पर:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{144}} \; \mathring{A}$
$\lambda = \frac{12.27}{12} \; \mathring{A} = 1.0225 \; \mathring{A}$।
चूंकि $1 \; \mathring{A} = 0.1 \; nm$,इसलिए:
$\lambda = 1.0225 \times 0.1 \; nm = 0.10225 \; nm$।
इसे $102 \times 10^{-x} \; nm$ के रूप में बदलने पर:
$0.10225 \; nm = 102.25 \times 10^{-3} \; nm$।
निकटतम मान लेने पर,हमें $102 \times 10^{-3} \; nm$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि,एक कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य इस प्रकार दी जाती है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m E}} = \frac{h}{\sqrt{2 m}} \cdot E^{-1/2}$
दोनों पक्षों का लघुगणक (log) लेने पर:
$\log \lambda = \log \left( \frac{h}{\sqrt{2 m}} \cdot E^{-1/2} \right)$
$\log(ab) = \log a + \log b$ और $\log(a^n) = n \log a$ के गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log \lambda = \log \left( \frac{h}{\sqrt{2 m}} \right) + \log(E^{-1/2})$
$\log \lambda = \log \left( \frac{h}{\sqrt{2 m}} \right) - \frac{1}{2} \log E$
इसे सरल रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$\log \lambda = -\frac{1}{2} \log E + \log \left( \frac{h}{\sqrt{2 m}} \right)$
यहाँ,ढाल $m = -1/2$ है,जो ऋणात्मक है। यह एक ऋणात्मक ढाल और $\log \lambda$ अक्ष पर धनात्मक अंतःखंड वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है। अतः,सही ग्राफ विकल्प $C$ में दिखाया गया है।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ होता है।
यहाँ कण $(p)$ और इलेक्ट्रॉन $(e)$ की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = 2:1$ दिया गया है।
साथ ही,कण का वेग $v_p = 4v_e$ है।
सूत्र $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \frac{m_e v_e}{m_p v_p}$ का उपयोग करते हुए,मान रखने पर:
$2 = \frac{m_e v_e}{m_p (4v_e)}$
समीकरण को सरल करने पर:
$2 = \frac{m_e}{4m_p}$
$m_p$ के लिए हल करने पर:
$m_p = \frac{m_e}{4 \times 2} = \frac{m_e}{8}$.
अतः,कण का द्रव्यमान इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान का $\frac{1}{8}$ गुना है।

(D) $V$ विभव द्वारा त्वरित $m$ द्रव्यमान वाले कण के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $h$,$q$ और $V$ दोनों कणों के लिए समान हैं,इसलिए तरंगदैर्ध्य द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती है: $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
अतः,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_{e}}{\lambda_{P}} = \sqrt{\frac{m_{P}}{m_{e}}}$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{\lambda_{e}}{\lambda_{P}} = \sqrt{\frac{1.00727}{0.00055}} \approx \sqrt{1831.4} \approx 42.79$.
इस मान को पूर्णांकित करने पर,हमें लगभग $43: 1$ प्राप्त होता है।

(A) माइक्रोस्कोप की विभेदन क्षमता $(RP)$ उपयोग किए गए कणों की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $RP \propto \frac{1}{\lambda}$।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ द्रव्यमान है और $v$ वेग है।
इसे विभेदन क्षमता के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $RP \propto \frac{1}{h/mv} = \frac{mv}{h}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $h$ और $v$ दोनों स्थितियों में स्थिर हैं,इसलिए $RP \propto m$ है।
अतः,प्रोटॉन माइक्रोस्कोप $(RP_p)$ और इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप $(RP_e)$ की विभेदन क्षमता का अनुपात $\frac{RP_p}{RP_e} = \frac{m_p}{m_e}$ होगा।
यह देखते हुए कि प्रोटॉन का द्रव्यमान $m_p \approx 1837 \times m_e$ है,विभेदन क्षमता $1837$ के कारक से बदल जाएगी।

(D) $V$ विभवांतर से त्वरित कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रोटॉन के लिए,$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}}$.
$\alpha$ कण के लिए,$\lambda_{\alpha} = \frac{h}{\sqrt{2m_{\alpha} q_{\alpha} V}}$.
अनुपात $\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}}$ है।
हम जानते हैं कि $\alpha$ कण का द्रव्यमान $m_{\alpha} = 4m_p$ और उसका आवेश $q_{\alpha} = 2e$ है,जबकि प्रोटॉन के लिए $m_p = m_p$ और $q_p = e$ है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{4m_p \times 2e}{m_p \times e}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ का उपयोग करने पर,$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = 2 \times 1.414 = 2.828 \approx 2.8$ प्राप्त होता है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ द्रव्यमान है और $v$ वेग है।
दिया गया है कि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य समान हैं,इसलिए $\lambda_p = \lambda_{\alpha}$.
अतः,$\frac{h}{m_p v_p} = \frac{h}{m_{\alpha} v_{\alpha}}$.
इसका अर्थ है कि $m_p v_p = m_{\alpha} v_{\alpha}$.
हम जानते हैं कि $\alpha$-कण का द्रव्यमान प्रोटॉन के द्रव्यमान का लगभग $4$ गुना होता है,इसलिए $m_{\alpha} = 4m_p$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $m_p v_p = (4m_p) v_{\alpha}$.
दोनों पक्षों को $m_p$ से विभाजित करने पर,हमें $v_p = 4v_{\alpha}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,उनके वेगों का अनुपात $\frac{v_p}{v_{\alpha}} = 4:1$ है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ द्रव्यमान है और $v$ गति है।
यह दिया गया है कि दोनों कण समान गति $v$ से चल रहे हैं,इसलिए उनकी तरंगदैर्ध्य का अनुपात:
$\frac{\lambda_{e}}{\lambda_{p}} = \frac{\frac{h}{m_{e}v}}{\frac{h}{m_{p}v}} = \frac{m_{p}}{m_{e}}$.
दिए गए संबंध $m_{p} = 1836 m_{e}$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\lambda_{e}}{\lambda_{p}} = \frac{1836 m_{e}}{m_{e}} = 1836$.

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और गतिज ऊर्जा $E$ के बीच संबंध: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
इससे पता चलता है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \lambda$ और प्रारंभिक ऊर्जा $E_1 = E$ है। अंतिम तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = 0.75 \lambda_1 = \frac{3}{4} \lambda_1$ है।
समानुपातिकता $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{E_1}{E_2}}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{3}{4} = \sqrt{\frac{E}{E_2}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{9}{16} = \frac{E}{E_2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $E_2 = \frac{16}{9} E$।
आवश्यक अतिरिक्त ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = \frac{16}{9} E - E = \frac{7}{9} E$ है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{P}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य समान है,$\lambda_p = \lambda_e$,इसका अर्थ है कि उनके संवेग समान हैं: ${P}_p = {P}_e$.
गतिज ऊर्जा और संवेग के बीच संबंध $K = \frac{P^2}{2m}$ है।
प्रोटॉन के लिए: ${K}_p = \frac{{P}_p^2}{2{m}_p}$.
इलेक्ट्रॉन के लिए: ${K}_e = \frac{{P}_e^2}{2{m}_e}$.
चूंकि ${P}_p = {P}_e$,गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{{K}_p}{{K}_e} = \frac{{m}_e}{{m}_p}$ है।
चूंकि प्रोटॉन का द्रव्यमान इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान से बहुत अधिक है $({m}_p > {m}_e)$,इसलिए ${K}_p < {K}_e$ प्राप्त होता है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
$3$-आयामों में एक आदर्श गैस के लिए,औसत गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2} k_B T$ होती है।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(\frac{3}{2} k_B T)}} = \frac{h}{\sqrt{3mk_B T}}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान: $h = 6.6 \times 10^{-34}\, Js$,$m = 9 \times 10^{-31}\, kg$,$k_B = 1.38 \times 10^{-23}\, JK^{-1}$,और $T = 300\, K$ है।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{3 \times 9 \times 10^{-31} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300}}$.
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{11178 \times 10^{-54}}} = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{105.7 \times 10^{-27}} \approx 0.0624 \times 10^{-7}\, m = 6.24 \times 10^{-9}\, m$.
अतः,$\lambda \approx 6.26\, nm$ प्राप्त होता है।

(A) विभवांतर $\Delta V$ द्वारा त्वरित आवेशित कण की गतिज ऊर्जा $K$ को $K = q \Delta V$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन दोनों का आवेश $e$ समान है,इसलिए उनकी गतिज ऊर्जा समान है: $K_{e} = K_{p} = e \Delta V$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य $\lambda$ को $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ द्वारा दिया जाता है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,$\lambda_{e} = \frac{h}{\sqrt{2m_{e}(e \Delta V)}}$.
प्रोटॉन के लिए,$\lambda_{p} = \frac{h}{\sqrt{2m_{p}(e \Delta V)}}$.
दोनों तरंगदैर्घ्यों का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_{e}}{\lambda_{p}} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2m_{e}(e \Delta V)}}}{\frac{h}{\sqrt{2m_{p}(e \Delta V)}}} = \sqrt{\frac{m_{p}}{m_{e}}}$.

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चूंकि $4M$ द्रव्यमान का प्रारंभिक कण स्थिर है,इसलिए कुल प्रारंभिक संवेग $0$ है।
जब यह $M$ और $3M$ द्रव्यमान के दो कणों में विघटित होता है,तो कुल संवेग को शून्य बनाए रखने के लिए उनके अंतिम संवेग परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होने चाहिए।
मान लीजिए $M$ द्रव्यमान वाले कण का संवेग $p_1$ है और $3M$ द्रव्यमान वाले कण का संवेग $p_2$ है। अतः,$|p_1| = |p_2| = p$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $\lambda = \frac{h}{p}$ संबंध द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है।
चूंकि दोनों कणों के संवेग का परिमाण $p$ समान है,इसलिए उनकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य समान होगी:
$\lambda_1 = \frac{h}{p}$ और $\lambda_2 = \frac{h}{p}$.
अतः,उनकी तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h/p}{h/p} = 1:1$ होगा।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
चूंकि सभी कणों के लिए गतिज ऊर्जा $E$ समान है,इसलिए तरंगदैर्ध्य द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
हम जानते हैं कि कणों के द्रव्यमान का संबंध $m_{\alpha} > m_{p} > m_{e}$ है।
इसलिए,उनकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का क्रम $\lambda_{e} > \lambda_{p} > \lambda_{\alpha}$ होगा।

(D) कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
कण के लिए:
$\lambda_{pa} = \frac{h}{m v} = \frac{h}{9.1 \times 10^{-31} \times 10^{6}} = \frac{h}{9.1 \times 10^{-25}} \quad (i)$
फोटॉन के लिए:
$\lambda_{ph} = \frac{h}{p} = \frac{h}{10^{-27}} \quad (ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\lambda_{ph}}{\lambda_{pa}} = \frac{h / 10^{-27}}{h / (9.1 \times 10^{-25})} = \frac{9.1 \times 10^{-25}}{10^{-27}}$
$\frac{\lambda_{ph}}{\lambda_{pa}} = 9.1 \times 10^{2} = 910$
अतः,फोटॉन की तरंगदैर्घ्य,कण की तरंगदैर्घ्य की $910$ गुनी है।

(C) डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,संवेग $(p)$ वाले कण से जुड़ी तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ को इस संबंध द्वारा दिया जाता है: $\lambda = \frac{h}{p}$,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है।
यह समीकरण दर्शाता है कि $\lambda$,$p$ के व्युत्क्रमानुपाती है (अर्थात,$\lambda \propto \frac{1}{p}$)।
जैसे-जैसे संवेग $(p)$ बढ़ता है,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ घटती जाती है।
यह संबंध एक आयताकार अतिपरवलय को दर्शाता है,जिसे विकल्प $C$ में सही ढंग से दिखाया गया है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2Em}}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$E$ गतिज ऊर्जा है और $m$ कण का द्रव्यमान है।
चूंकि सभी कणों के लिए ऊर्जा $E$ समान है,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ है।
कणों के द्रव्यमान का संबंध $m_{e} < m_{p} \approx m_{n} < m_{\alpha}$ है।
विशेष रूप से,$m_{p} \approx m_{n}$ और $m_{\alpha} \approx 4m_{p}$ होता है।
चूंकि $\lambda$ द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए जिस कण का द्रव्यमान सबसे कम होगा,उसकी तरंगदैर्घ्य सबसे अधिक होगी।
अतः,$\lambda_{e} > \lambda_{p} \approx \lambda_{n} > \lambda_{\alpha}$ होगा।

(B) दिया गया है कि $de-Broglie$ तरंगदैर्ध्य समान हैं: $\lambda_{e} = \lambda_{ph}$.
चूंकि $\lambda = \frac{h}{p}$,इसलिए $p_{e} = p_{ph}$ होगा।
इलेक्ट्रॉन का संवेग $p_{e} = mv$ है और फोटॉन का संवेग $p_{ph} = \frac{E_{ph}}{c}$ है।
चूंकि $p_{e} = p_{ph}$,इसलिए $mv = \frac{E_{ph}}{c}$,जिसका अर्थ है $E_{ph} = mvc$.
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E_{e} = \frac{1}{2}mv^{2}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{E_{e}}{E_{ph}} = \frac{\frac{1}{2}mv^{2}}{mvc} = \frac{v}{2c}$.

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p$ संवेग है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ होने के कारण,$p = \sqrt{2mK}$ होता है।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$.
समान गतिज ऊर्जा $K$ के लिए,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
अतः,$\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_{C12}} = \sqrt{\frac{m_{C12}}{m_{\alpha}}}$.
$\alpha$ कण का द्रव्यमान लगभग $4 \text{ amu}$ है और कार्बन $12$ परमाणु का द्रव्यमान $12 \text{ amu}$ है।
$\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_{C12}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3} = \sqrt{3} : 1$.